Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x ja y suhteen jossain tason R osajoukossa. ikaisemmissa esimerkeissä tämä integrointijoukko on ollut suorakulmio eli [a, b] [c, d]. la- ja yläsummien laskemisessa ideana oli osittaa tämä suorakulmio osiin ja laskea tämän avulla arvio tälle tasointegraalille. Kun tätä ositusta hienonnetaan, niin tämä arvio paranee ja on lähempänä integraalin todellista arvoa. Jos tasointegraali f (x, ydxdy on olemassa, niin se voidaan määritellä näiden ylä- ja alasummien raja-arvona. Tasointegraalin f (x, ydxdy geometrinen intuitio on, että se antaa funktion f (x, y ja xy-tason välissä olevan alueen tilavuuden, kun x ja y rajoitetaan joukkoon. Esimerkki.. Jos integroinnin alue on suorakulmio [, ] [, ] ja integroitavana on vakiofunktio f (x, y, niin integraali f (x, ydxdy antaa funktion f (x, y ja xy-tason suorakulmion [, ] [, ] välissä olevan alueen tilavuuden, joka selvästi on. Toinen intuitiivinen tulkinta tasointegraalille on, että se antaa funktion f keskiarvon joukossa kerrottuna tämän joukon pinta-alalla. Eli f (x, ydxdy (Funktion f keskiarvo joukossa (joukon pinta-ala.
Tästä seuraa suoraan, että funktion f keskiarvo joukossa saadaan jakamalla integraali f (x, ydxdy joukon alalla: f (x, ydxdy Funktion f keskiarvo joukossa Joukon pinta-ala Esimerkiksi yllä olevassa esimerkissä joukon [, ] [, ] pinta-ala oli, joten funktion keskiarvo tässä joukossa oli /. Nyt kun tasointegraalille on esitetty intuitiivinen tulkinta, käsittelemme kuinka tämä tasointegraali käytännössä lasketaan. Tämä on yllättävän helppoa, kun integrointialue on suorakulmio [a, b] [c, d]. Tällöin funktion f (x, y integrointi joukossa voidaan laskea integroimalla tämä funktion ensin x:n suhteen ja integroimalla tämän jälkeen syntynyt lauseke y:n suhteen. Merkitään integraalia seuraavasti: xydxdy d b c a f (x, ydxdy. Nyt tämä integrointi sujuu laskemalla aluksi sisäintegraali, jota merkitään alla sulkujen sisässä olevana lausekkeena: d b c a f (x, ydxdy d ( b c a f (x, ydx dy Eli lasketaan aluksi sisäintegraali b a f (x, ydx. Tämän jälkeen integroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen, kuten alla oleva esimerkki valaisee: Esimerkki.. Laske tasointegraali xydxdy, kun on suorakulmio [, ] [5, 6]. Ratkaisu. Nyt tehtävän suorakulmiolla on rajat x ja 5 y 6. Täten tämä tasointegraali voidaan kirjoittaa muodossa xydxdy 6 5 xydxdy. Tämä on helppo laskea: integroidaan ensin x:n suhteen ja tämän jälkeen
integroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen: 6 6 ( xydxdy 5 5 ( 6 5 6 5 6 y 5 xydx x y (y dy 6 5 36 5. Voit integroida tämän tasointegraalin myös toisessa järjestyksessä eli laskea integraalin ( 6 xydy dx. Tästä saatava tulos on sama. 5 Kun integrointialue on suorakulmio, lasketaan tasointegraali integroimalla funktio f (x, y ensin joko x:n tai y:n suhteen ja tämän jälkeen jäljellä olevan muuttujan suhteen. Esimerkki.3. Laske tasointegraali y3 dxdy integroimalla ensiksi y:n suhteen, kun on suorakulmio [, ] [3, 4]. Nyt tätä tasointegraalia voidaan jälleen merkitä seuraavasti: y 3 dxdy 4 3 dy y 3 dxdy. dy 3
Integroinnin järjestystä voi nyt vaihtaa vapaasti: 4 ( ( 4 y 3 dx dy y 3 dy dx 3 3 ( 4 y 4 dx 3 4 ( 4 4 4 34 dx 4 ( 54 7 dx 4 ( 89 dx 4 89 4 x 89 4. Yllä olevissa esimerkeissä integrointi sujui yhtä helposti kummassakin järjestyksessä: integrointi ensin x:n suhteen ja sen jälkeen y:n suhteen oli yhtä helppoa kuin integrointi ensin y:n suhteen ja tämän jälkeen x:n suhteen. Käytännössä näin ei kuitenkaan aina ole, joten jos integrointi ei tunnu sujuvan tietyssä järjestyksessä, kannattaa yrittää vaihtaa integrointijärjestystä. Yllä olevista esimerkeistä nähtiin, että tasointegraalin laskeminen on yleensä helppoa, jos integrointialue on suorakulmio. Ikävä kyllä integrointi muuttuu huomattavasti vaikeammaksi heti, kun tämä integrointialue ei enää ole yksinkertainen suorakulmio. lla kappaleessa käsittelemme tapausta, jossa integrointi yli monimutkaisempien alueiden onnistuu valitsemalla sopiva integrointijärjestys. Kappaleessa 3 taas käsitellään tapaus, jossa integrointi onnistuu muuttujanvaihdoksella. Tasointegraalin laskeminen monimutkaisemmassa joukossa Tasointegraalin f (x, ydxdy laskeminen suorakulmiossa [a, b] [c, d] ei ole sen vaikeampaa kuin yhden muuttujan funktion integroiminen. Tässä tapauksessa tämä yhden muuttujan integrointi pitää vain suo- 4
rittaa kaksi kertaa peräkkäin: ensin x:n ja sen jälkeen y:n suhteen tai toisin päin. Jatkossa käsitellään vaikeampaa tapausta, jossa ei ole suorakulmio. Käsitellään aluksi esimerkkitapaus, jossa integrointi tapahtuu kolmiossa, jonka kärkipisteinä ovat (,, (, ja (,. Tämä integrointialue näyttää nyt seuraavalta: Huomataan aluksi, että kolmion kärjet (, ja (, yhdistää viiva, joka on osa suoraa y x. Tämän jälkeen huomataan, että tämä kolmio voidaan esittää alueena, jossa x on välillä [, ] ja y on välillä y x. Tämä huomio mahdollistaa integroinnin tässä kolmiossa. Esimerkki.. Integroidaan tässä kolmiossa funktio f (x, y xy. Kuten yllä mainittiin, tämä kolmio voidaan esittää alueena, jossa x ja y x. Täten haluttu integraali saadaan laskemalla seuraava integraali: x xydydx. Huomaa, että tässä sisäintegraalina on y:n suhteen integroitava lauseke x xydy. Tämä johtuu siitä, että y:n rajat ovat monimutkaiset eli si- 5
sältävät x:n termejä. Nyt tämän integrointi sujuu suoraviivaisesti: x ( x xydydx xydy dx ( x x y dx ( x ( x (x x 3 dx ( x x4 4 ( 4 8. dx Yllä olevassa esimerkissä siis integrointialue esitettiin muodossa, jossa x oli kahden vakion välissä eli a x b samalla kun y oli kahden x:ää sisältävän lausekkeen välissä eli g (x y g (x. Yllä olevassa esimerkissä siis g (x ja g (x x. Usein siis integrointialue voidaan esittää nimenomaan tällaisessa muodossa eli alueena a x b g (x y g (x. Tällaisen alueen yli integrointi suoritetaan laskemalla integraali b g (x a g (x f (x, ydydx. Esimerkki.. Tutkitaan nyt alla olevassa kuvassa näkyvää integrointialuetta, jossa x on välillä [, ] ja y on välillä x y x: 6
Integroidaan tällä alueella funktio f (xy xy. Tämän integrointi sujuu yllä esitellyllä tavalla: b g (x a g (x (xydydx x x x x (xydydx (xy dx x (x x4 dx (x x 5 dx ( 3 x3 6 x6 ( 3 6 Näissä kahdessa esimerkissä siis x oli yksinkertaisella välillä [a, b] ja y oli x:n funktioiden välillä. Palataan nyt kolmioon, jossa x ja y x. Huomataan, että täsmälleen saman kolmion voi esittää myös alueena y ja x y. Eli tässä y on tietyllä yksinkertaisella välillä [a, b] ja x on kahden y:n funktion välissä eli g (y x g (y. Nyt 7
tällä välillä voi integroida esimerkiksi funktion f (x, y x: y y xdxdy x dy ( y dy ( y + y dy (y y + 3 y3 ( + 3 3 6. Monet alueet voi siis esittää kahdessa muodossa: joko muodossa jossa x on välillä [a, b] ja y välillä [g (x, g (x] tai muodossa y on välillä [c, d] ja y välillä [g 3 (x, g 4 (x]. Näiden alueiden muodostaminen on usein vaikeaa ellei niitä piirrä paperille. Jos tehtävän integroimisalue voidaan esittää kahdessa eri muodossa (kuten yllä, niin usein integrointi on helpompaa toisella näistä alueista. Täten jos integrointi ei onnistu tietyllä alueella helposti, kannattaa miettiä josko tämän alueen voisi esittää eri muodossa. 3 Muuttujien vaihto: siirtyminen napakoordinaatteihin Yhden muuttujan funktioiden tapauksessa integraalit ratkesivat usein muuttujanvaihdolla, jossa integraaliin b a f (xdx tehtiin korvaus x g(t. Tämän jälkeen korvattiin vielä termi dx termillä g (tdt ja laskettiin integraali g (b f (g(tg (tdt, g (a jossa integroinnit rajat on myös muutettu, kuten aina muuttujaa vaihdettaessa on muistettava tehdä. Yhden muuttujan tapauksessa muuttujan vaihdossa ideana on siis laittaa x:n paikalle t:tä sisältävä lauseke g(t, jonka avulla integraali on usein 8
helppo laskea. Yhden muuttujan muuttujanvaihdos sisältää siis kolme elementtiä:. Jokainen integroitavan lausekkeen termi x korvataan termillä g(t eli jollakin t:n lausekkeella.. Termi dx korvataan termillä g (tdt. 3. Integroinnin rajat ovat alun perin x a ja x b. Nyt kun tehdään sijoitus x g(t, niin myös nämä rajat muuttuvat. Kun alkuperäinen raja on x a, niin sijoituksesta x g(t saadaan g(t a t g (a. Samoin rajasta x b saadaan raja t g (b. Täten integraali saadaan muotoon b a f (xdx g (b g (a f (g(tg (tdt. Tasointegraalin muuttujanvaihdoksessa on myös mukana nämä kolme elementtiä. Tarkastellaan nyt tasointegraalia (xydxdy. Ensimmäinen muuttujanvaihdoksen elementti on sijoitus. Tässä siis x ja y korvataan joillakin muilla termeillä. Nyt x korvataan termillä jota merkitään x(u, v eli x korvataan kahden muuttujan funktiolla x(u, v. Samoin y korvataan kahden muuttujan funktiolla y(u, v. Otetaan esimerkiksi muunnos, jossa x(u, v u + v ja y(u, v u v Tällöin integroitava lauseke xy saadaan muotoon (u + v(u v u v. Toinen muuttujanvaihdoksen elementti on, että termi dxdy korvataan jollakin toisella termillä. Tämä termi on monimutkaisempi kuin yhden muuttujan tapauksessa, koska sijoitetut funktiot ovat nyt kahden muuttujan funktioita. Tarkastellaan yleistä sijoitusta x x(u, v y y(u, v. Nyt termi dxdy korvataan termillä J dudv. Tässä termi J on Jakobin determinantti, joka on yhtä kuin J x(u, v u y(u, v v x(u, v v y(u, v. u 9
Jos esimerkiksi x(u, v u + v y(u, v u v, niin x(u,v u, x(u,v v, y(u,v u ja y(u,v v. Tällöin Jakobin determinantti on ( (. Täten tämän muuttujanvaihdoksen tapauksessa termi dxdy korvataan termillä dudv eli termillä dudv. Esimerkki 3.. Tarkastellaan edelleen muuttujanvaihdosta x(u, v u + v, y(u, v u v. Lasketaan integraali (x + ydxdy tällä muuttujanvaihdoksella. Olkoon integrointialue suorakulmio [, ] [, ]. Ensin pitää katsoa miten tämä alue muuntuu tässä muuttujanvaihdoksessa. Ratkaistaan ensin yhtälöt x u + v ja y u v muuttujien u ja v suhteen. Tästä saadaan ratkaistua u x + y v x y. Täten, kun x on välillä x ja y on välillä y, niin yllä olevista yhtälöistä nähdään, että u on välillä ( /, 3/ ja v on välillä [ 3/, /].
Lisäksi pitää muistaa sijoittaa termin dxdy paikalle termi J dudv dudv: / 3/ (x + ydxdy ((u + v + (u vdudv 3/ / / 3/ 3/ / / 3/ 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / (ududv (4ududv (u dv (9/ /dv (4dv (4vdv ( 3 5. Tässä siis tehtiin kohtalaisen yksinkertainen muuttujanvaihto: siinä siirryttiin muuttujista x ja y muuttujiin u ja v. Usein tehdään kuitenkin kunnianhimoisempia muuttujanvaihtoja. Tasointegraalin tapauksessa tyypillisin lienee siirtyminen napakoordinaatteihin. Tässä ideana on vaihtaa muuttujat x ja y muuttujiin r ja θ tekemällä muuttujanvaihto x(r, θ r cos θ y(r, θ r sin θ. Tämä muuttujanvaihto voi vaikuttaa nopeasti katsottuna hieman eksoottiselta, mutta tässä on ideana se että kun summataan näiden neliöt eli x + y, niin saadaan (x(r, θ + (y(r, θ r cos θ + r sin θ r (cos θ + sin θ r koska cos θ + sin θ. Täten jos integroitavassa lausekkeessa on termi x + y, niin napakoordinaattimuunnoksella x(r, θ r cos θ y(r, θ r sin θ
tämä termi x + y voidaan korvata termillä r. Tämä mahdollistaa monien integraalien laskemisen. Napakoordinaattimuunnoksessa termi dxdy pitää luonnollisesti korvata termillä J drdθ. Lasketaan siis nyt Jakobin determinantti: x(r, θ y(r, θ x(r, θ y(r, θ J r θ θ r cos θ(r cos θ ( r sin θ(sin θ r cos θ + r sin θ r(cos θ + sin θ r. Täten Jakobin determinantti on napakoordinaattimuunnoksen tapauksessa r. Esimerkki 3.. Integroi x + y dxdy, kun on yksikköympyrä eli {(x, y : x + y }. Ratkaisu. Siirrytään napakoordinaatteihin, mikä tässä tapauksessa onnistuu sijoituksella x + y r. Tällöin integroitava lauseke x + y saadaan muotoon r r. Nyt integroinnin rajat pitää myös muuttaa. Koska alueena on x + y, niin r. Täten laitetaan r väille [, ]. Vastaavasti napakoordinaattimuunnoksessa θ tulkitaan kulmana. Koska integrointialueena on koko yksikköympyrä, annetaan tämän kulman θ kulkea koko matkansa eli
θ π. Täten integrointi suoritetaan seuraavasti: π x + y dxdy π π π π π 3. (rrdrdθ r drdθ 3 r3 dθ 3 θ 3 dθ Esimerkki 3.3. Olkoon joukko {(x, y : x + y } eli yksikköympyrä. Lasketaan nyt integraali e x +y dxdy. Tätä on vaikeaa integroida ilman muuttujanvaihtoa. Koska integroitava lauseke sisältää termin x + y, on napakoordinaattimuunnos luonnollinen tapa edetä. Eli tehdään korvaus x r cos θ, y r sin θ, jolloin termi x + y voidaan korvata termillä r. Jakobin determinantti J laskettiinkin jo yllä: se on r. Lopuksi muunnetaan vielä integrointirajat: kun x + y niin luonnollisesti r. Täten saadaan raja r. 3
Vastaavasti θ π. Täten integrointi sujuu seuraavasti: e x +y dxdy π e r J drdθ e r rdr dθ ( dθ π ( π π π er (e dθ (e θ (e π π (e Näissä esimerkeissä integrointialue oli siis koko yksikköympyrä. Käsitellään seuraavaksi tapaus, jossa integroitavana on kahden ympyrän välissä oleva alue. Esimerkki 3.4. Integroi x + y dxdy, kun on alue {(x, y : x + y 4}. Ratkaisu. Nyt integrointialue on x + y 4 eli r 4 eli 4
r. Lisäksi kulman θ annetaan jälleen olla välillä [, π]: π x + y dxdy r rdrdθ π π π π π (rrdrdθ r drdθ 3 r3 dθ ( 8 3 3 dθ ( 7 3 θ 4π 3. Toinen tapa, jolla integroinnin rajat voivat erota aiemmasta, on että meillä ei ole integrointialueena enää täysi ympyrä, vaan ainoastaan tietty ympyrän osa. Tällöin kulma θ ei enää mene täyttä kierrosta [, π], vaan ainoastaan osan tästä. Esimerkki 3.5. Integroi x + y dxdy, kun on nyt alue {(x, y : x + y 9, y }. Ratkaisu. Nyt integrointialueella pätee x + y 9 eli r 3. Nyt on kuitenkin voimassa lisärajoitus y. Tällöin integrointialueena on puoliympyrä eli kuvassa näkyvä alue: 5
Tällöin kulma θ kulkee puoliympyrän verran, jolloin θ π. Lasketaan nyt tämä integraali näillä rajoilla: π x + y dxdy 3 π 3 π 3 π π 9θ 9π. (rrdrdθ r drdθ 3 r3 dθ (9dθ 6