3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös, että lim x c f (x) ja lim x c+ f (x) ovat olemassa, kun c ]a,b[. 44. Todista monotonisuuden määritelmään nojautuen, että seuraavat funktiot ovat monotonisia mainitulla välillä: a) x 3 + 3x 3, x R, b) x+2 1 x, x ]1, [. 45. Olkoot f ja g kasvavia välillä I. Todista, että f + g on kasvava välillä I. 46. Olkoot f ja g kasvavia välillä I. Todista, että h(x) = max f (x),g(x)} on kasvava välillä I. 47. Olkoon f aidosti kasvava joukossa R + = x R x > 0} ja lim x 0+ f (x) = 0. Todista: x > 0 = f (x) > 0. 48. Osoita, että jos funktiot f ja g ovat parillisia, niin myös f + g ja f g ovat parillisia. Osoita edelleen, että jos f ja g ovat parittomia, niin f + g on pariton ja f g parillinen. 49. Funktio f olkoon määritelty reaaliakselin välillä ] a,a[. Todista, että f voidaan kirjoittaa muotoon f = f 1 + f 2, missä f 1 on parillinen ja f 2 pariton funktio. f (x) = 1 2 [ f (x) + f ( x)] + 1 2 [ f (x) f ( x)]. 50. Olkoon L reaalimuuttujan funktion f jakso. Mitä muita jaksoja funktiolla on? 51. Olkoon f 1 (x) = x + 1, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = 2x + 3, f 4 (x) = x 2 + x. Muodosta seuraavat yhdistetyt funktiot: a) f 4 ( f 3 ( f 2 (x))), b) f 2 ( f 3 ( f 4 (x))), c) f 4 ( f 1 ( f 1 (x 3 ))).
a) 4x 2 2x; b) 2x 2 + 2x + 1; c) x 6 + 5x 3 + 6. 52. Olkoon f (x) = ax 2 + bx + c. Määritä a, b ja c siten, että f (x + 2) = f (x) + 2 kaikilla x R. a = 0, b = 1, c R. 53. Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat: a) f (x) = 1 + x x, b) f (x) = x + 1 + x 1 2 x, c) f (x) = x 2 1 x 2. 3.2. Funktion raja-arvo 54. Todista suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että lim x 10 x 2 = 100. 55. Todista suoraan raja-arvon määritelmään perustuen, että lim x = a (a > 0), ts. etsi annettua lukua ε vastaava δ. 56. Todista, että lim f (x) = A, jos ja vain jos lim [ f (x) A] = 0. 57. Olkoon f (x) g(x) h(x) pisteen a aidossa ympäristössä sekä lisäksi lim f (x) = lim h(x) = A. Todista, että lim g(x) = A. 58. Olkoon lim f (x) = 0 ja olkoon g(x) rajoitettu eräässä pisteen a ympäristössä. Todista: lim( f (x)g(x)) = 0. 59. Olkoon lim f (x) = A 0 ja älköön lim g(x) olko olemassa. Todista, että lim ( f (x)g(x)) ei ole olemassa.
60. Määritä seuraavat raja-arvot: a) lim x 1 x 4 + 2x 2 3 x 2 3x + 2, 2 x c) lim, 29 2x 5 x 2 x 3 e) lim, 13 + x 4 x 9 ( 1 b) lim x 1 1 x 3 ) 1 x 3, 1 + 2x + 3x d) lim 2 1 x x 0 x 6 + 2x 6 + x 2 f) lim. 2 + 3x 2 x 3 x 0 a) 8; b) 1; c) 5; d) 3 2 ; e) 8; f) 2 9 3. 61. Määrittele täsmällisesti a) lim f (x) = A, b) lim f (x) =, x x d) lim f (x) =, e) lim f (x) =. c) lim f (x) =, 62. Etsi jokaista positiivilukua ε kohti jokin luku M siten, että Esimerkiksi M = max1, 2/ε}. 63. Määritä infs, kun S = M x > M = Mitä tekemistä tällä on raja-arvon määritelmän kanssa? 64. x > M = x2 + x x 4 + 2 < ε. 4x 3 2x 5 2 < 1 1000 Olkoon a R, A R. Todista seuraavat raja-arvoa koskevat tulokset suoraan määritelmään perustuen: a) lim f (x) = A ja lim g(x) = = lim( f (x) + g(x)) =, b) lim f (x) = ja lim g(x) = = lim ( f (x)g(x)) =, c) lim f (x) = A x ja lim g(x) = x = f (x) lim x g(x) = 0. }.
65. Todista, että jos toinen raja-arvoista lim f (x) ja lim x 0+ f (1/x) on olemassa, niin on toinenkin ja raja-arvot ovat yhtä suuret. 66. Määritä seuraavat raja-arvot: x 7 3x 5 a) lim x x 5 (1 3x 2 + x), c) lim ( x + x x x), e) lim x 5 b) lim ( x 2 + 1 x), x 6 6x 5 d) lim x 7 x 7, x 2 x 2 10x + 25 x 2 x 5, f) lim x 5 x 5+ x 5. a) 3 1 ; b) 0; c) 1; d) ; e) 25; f) 25. 67. Määritä a) lim c) lim x 1 x 2 + 2x 3 x 3 3x 2, b) lim x 0 n 1 + x 1, x 1 + 3 x x 2 a 2 2 x a 1 + 5, d) lim x + 3 x 3 a 3 + x a. a) 1; b) 1 n ; c) 5 3 ; d) 0, jos a 0, 2, jos a = 0. 68. Olkoon Osoita, että lim x 0 f (x) = 0. Jos x 0, niin f (x) = 0. 5 f (x) = lim y 1 + yx 5. 69. Olkoon ABCD 0. Määritä ( lim lim y Ax + By Cx + Dy ) ( lim lim y Ax + By Cx + Dy ). A C B D. 70. Tutki numeerisesti raja-arvoa x 3 lim. 13 + x 4 x 9
71. Tutki raja-arvoa 1 cosx lim x 0 x 2 sijoittamalla muuttujalle x yhä lähempänä origoa olevia arvoja. 72. Tutki raja-arvoa lim (sinx) tan2 x x π 2 sijoittamalla muuttujalle x yhä lähempänä origoa olevia arvoja. 73. Piirrä funktion y(x) = (sinx) tan2 x kuvaaja pisteen π 2 ympäristössä. Miten funktion arvo tässä pisteessä on määriteltävä, jotta siitä tulisi jatkuva? Mikä mahtaa olla raja-arvon tarkka arvo? 74. Hahmottele funktioiden sin 1 x ja xsin 1 x kuvaajat, ja tutki funktioiden raja-arvoja origossa. 75. Määritellään reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot f ja g seuraavasti: xsin 1 f (x) = x, kun x 0, g(x) = 0, kun x = 0; 0, kun x 0, 1, kun x = 0. Määritä funktioiden raja-arvot origossa. Onko yhdistetyllä funktiolla g f raja-arvoa origossa? 3.3. Funktion jatkuvuus 76. Funktio f (x) = x2 4 x 3 8 on määritelty, kun x 2. Mikä on sovittava f (2):n arvoksi, jotta funktio olisi jatkuva kaikilla muuttujan x R arvoilla?
f (2) = 1 3. 77. Olkoon x 1, kun x a, a) f (x) = 1 x 2, kun x > a, x 3 4x, kun x > 2, b) f (x) = a x, kun x 2. Määritä ne a:n arvot, joilla vastaava f on jatkuva kaikilla muuttujan x R arvoilla. Piirrä kuvaajat. a) Kaksi ratkaisua: a = 2, a = 1, b) a = 2. 78. Olkoon f jatkuva arvolla x = 0 ja f (0) > 0. Osoita, että on olemassa positiiviluvut m ja δ siten, että x < δ = f (x) > m. 79. Todista, että jos f on jatkuva ja g on epäjatkuva, kun x = a, niin f + g on epäjatkuva tässä pisteessä. 80. Todista, että jos pisteessä x = a funktio f on jatkuva ja 0 sekä g epäjatkuva, niin tulo f g on epäjatkuva. 81. Määritellään funktio floor : R R asettamalla Olkoon f tämän avulla määritelty funktio: floor(x) = suurin kokonaisluku, joka on x. f (x) = floor(x) + floor( x) + 1. Tutki funktioiden floor ja f jatkuvuutta. Piirrä funktioiden kuvaajat. Ovatko funktiot jaksollisia? 82. Määritä sups, kun S = δ x 3 < δ = x 1 2x + 2 1 4 < 1 100 Mitä tekemistä tällä tehtävällä on funktion jatkuvuuden kanssa? }.
83. Funktio f olkoon määritelty ja aidosti kasvava välillä [a,b]. Funktion arvojoukko olkoon väli [ f (a), f (b)]. Osoita, että funktio on jatkuva. 84. Olkoon funktio f jatkuva välillä ] 1,1[ ja f (0) = 0. Funktio g olkoon määritelty (mutta ei välttämättä jatkuva) samalla välillä ja se toteuttakoon tällä välillä ehdon g(x) m > 0, missä m on vakio. Osoita, että funktio f /g on jatkuva origossa. Osoita esimerkillä, että tulos ei välttämättä pidä paikkaansa, jos funktiota g koskeva ehto muutetaan muotoon g(x) > 0. (Valitse esimerkiksi f (x) = x ja tämän jälkeen sopiva origossa epäjatkuva g.) 85. Etsi seuraavien funktioiden käänteisfunktioiden lausekkeet: a) y = x + 1 x, b) y = 1 x + 1 + x. a) x = 1 2 (y2 2 ± y y 2 4); b) x = y 2 1 4 y4 ( 2 y 2). 86. Osoita, että jos niin x = f (y). Oletetaan, että a 2 bc. Miksi? y = f (x) = ax b cx a, 87. Olkoon A = x R x 0 tai x 1} ja B = y R 0 < y 2}. Osoita, että funktio f : A B, e x, kun x 0, f (x) = x+1 x, kun x 1, on jatkuva bijektio, mutta sen käänteisfunktio ei ole jatkuva. 88. Olkoon f joukossa R + aidosti kasvava ja jatkuva sekä olkoon lim x 0+ f (x) = 0. Olkoon y = g(x) = x f (x) kaikilla x > 0. Osoita, että funktiolla g on arvoilla y > 0 määritelty käänteisfunktio. 3.4. Jatkuvat reaalifunktiot 89. Todista, että jos funktio f on tasaisesti jatkuva välillä I, niin f on jatkuva välillä I.
90. Osoita tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että x 2 a) on tasaisesti jatkuva välillä [0,1], b) ei ole tasaisesti jatkuva joukossa x x 0}. 91. Osoita tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että 100 + x 2 on tasaisesti jatkuva joukossa R. 92. Todista, että jos funktiot f ja g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I, niin f + g on tasaisesti jatkuva välillä I. 93. Anna esimerkki a) avoimella välillä jatkuvasta, ei-rajoitetusta funktiosta, b) suljetulla välillä määritellystä ja rajoitetusta funktiosta, jonka arvojoukolla ei ole maksimia eikä minimiä. 94. Todista, että joukolla } x 1 + x 2 x R on maksimi ja minimi. 95. Olkoon funktio f joukossa R jatkuva ja rajoitettu. Todista, että joukolla } f (x) 1 + x 2 x R on maksimi tai minimi (tai molemmat). 96. Osoita esimerkeillä, että seuraavat lauseet eivät päde, jos luovutaan olettamasta, että väli [a, b] on suljettu tai että funktio f on jatkuva: a) Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f on tällä välillä rajoitettu, ts. on olemassa luku M > 0, jolle pätee f (x) M kaikilla x [a,b]. b) Olkoon f jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Tällöin f saavuttaa suuurimman ja pienimmän arvonsa välillä [a, b], ts. on olemassa x 1,x 2 [a,b] siten, että max f (x) = f (x 1), x [a,b] min f (x) = f (x 2). x [a,b]
97. Olkoon f suljetulla välillä [a,b] jatkuva funktio, f (a) 0, f (b) = 0. Todista, että joukolla x ]a,b] f (x) = 0} on minimi. Päteekö väite, jos sallitaan, että f (a) = 0? Ei päde, jos f (a) = 0. 98. Olkoon funktio f jatkuva suljetulla välillä [a,b]. Osoita, että funktion arvojoukko f (x) x [a,b]} on suljettu väli tai sisältää vain yhden pisteen. 99. Olkoon funktio f jatkuva ja 0 välillä I. Osoita, että f saa välillä I vain joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. 100. Osoita, että yhtälöllä x 3 5x 2 + 3 = 0 on ainakin kolme reaalijuurta ja rajoita nämä väleille, joiden pituus on 0.1. 101. Osoita, että yhtälöllä on 0.1. 1 x 1 + 1 x 2 + 1 = 0 on ainakin kaksi reaalijuurta ja rajoita nämä väleille, joiden pituus x 3