Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia yhtälöitä. Näiden lisäksi käsitellään joitakin helppoja yhtälöitä, joiden ratkaiseminen voidaan palauttaa yhden tai useamman perusyhtälön ratkaisemiseksi. Ratkaisuprosessiin on AINA SYYTÄ PIIRTÄÄ YKSIKKÖYMPYRÄ JA SIIHEN ASIANOMAISEN EHDON TÄYTTÄVIEN KULMIEN KEHÄPISTEET NÄKY-VIIN. Tämä menettely tarjoaa myös erinomaisen keinon ratkaisun oikeellisuuden kontrollointiin. Esim. 11. Ratkaise yhtälö 7sinx =. Yhtälö saadaan perusyhtälön muotoon ( normaalimuotoon ) jakamalla se puolittain luvulla 7: sinx = 7. Tässä yhtälössä sin x:n arvo on sellainen, ettei se kuulu millekään kulmista o o o,, (, 45, ). 4 Ratkaisu on siis likiarvo. Laskin antaa yhtälölle yhden ratkaisun 1 x = sin ( ) = 1,998... 1. 7 Tätä lukua vastaavan kulman kehäpiste on ensimmäisen neljänneksen piste, mutta tämän lisäksi löytyy koordinaatiston toisesta neljänneksestä myös ehdon täyttävä kehäpiste, jota vastaava kulma on saadun kulman (luvun) supplementtikulma 1 sin ( ) =,11189....11. 7 Ratkaisuja ovat sinin jaksollisuuden perusteella kaikki ne luvut, jotka saadaan lisäämällä saatuihin kahteen lukuun kaikki jakson monikerrat: 1()
Vastaus: x = 1.99...+n tai x =.11189... + n ja likiarvoina x 1. + n tai x.11 + n taikka asteissa o o o o x = 58. 9978... + n tai x = 117.... + n o o o o x 59. + n tai x 11. + n Huom.! Vastaukset on syytä kirjoittaa niin, että jakso on samassa yksikössä, kuin (yleensä) koneista saatu yksityisratkaisu. Ei siis tule kirjoitella asteita ja radiaaneja sekaisin. Kypsyyttä ei lainkaan osoita esim. edellisen esimerkin vastaus tyyliin x 59. + n tai... Esim. 1. Ratkaise yhtälö sin x =. Saatellaan taas perusmuotoon, piirretään myöskin yksikköympyrä ja sinne tilanne: sin x =. Nyt sinin arvo on tuttu. Käytetään ovelalla tavalla hyväksi sin x:n parittomuutta ja ratkaistaankin aluksi x: sin x = sin( x) = x = + n x = + n n n x = + x = + 9 9 5 n 4 n x = + x = +. 9 9 Viimeiselle riville tultaessa on negatiivisiin yksityisratkaisuihin siirretty jakso-osasta kaksi piin kolmannesta. Tämä ei ole välttämättömyys. Jos jakso-osasta tällä tavoin jotakin siirretään, ei jaksossa olevaa n:ää tarvitse silti muuttaa (n 1):ksi. Kun n juoksee läpi kokonaislukujen ()
joukon, ei yhden n:n vähentäminen äärettömästä vielä niin paljon tunnu, että yksi juuri jäisi ilmoittamatta. Minkähän takia tultaessa toiseksi viimeiselle riville, jolloin yhtälöt on puolittain jaettu luvulla, jaksoja ilmaisevien osien etumerkit eivät ole muuttuneet?? Esim. 1. Ratkaise yhtälö cos x cos x = Tämä ei ole mikään perusyhtälö, mutta voidaan tekijöihin jaolla sellaisiksi palauttaa. Kun cos x otetaan yhteiseksi tekijäksi ja käytetään tulon nolla-sääntöä, saadaan Ratkaistaan kumpikin perusyhtälö erikseen. Alkuperäisen yhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki ne, jotka toteuttavat jommankumman saaduista perusyhtälöistä. cos x = x = + n cos cos x = 1 x = ± + n x cos x = cos x(cos x 1) = cos x = cos x = Vastaus: x = + n x = ± + n. Huom.!! Itkua ja hiusten raastamista seuraa sille, joka jakaa alkuperäisen yhtälön cos x:llä!!! Esim. 14. Ratkaise yhtälö cosx =.8144. Yhtälön oikea puoli ei ole minkään tunnetun reaaliluvun kosini. Tämä on siis laskintehtävä. Piirtämällä yksikköympyrän sisältävään koordinaatistoon myös suora x =.8144, havaitaan tämän kohtaavan ympyrän kehän kahdessa pisteessä, jotka vat toistensa vastalukujen kehäpisteitä. 1 x = ± cos (. 8144) + n = ±,54715... + n ±. + n (x ± 1. + n o ) 1 ()
Esim. 15. Ratkaise yhtälö tanx =.9 Tangenttia sisältävissä perusyhtälöissä on hyvä piirtää yksikköympyrä ja sille pisteeseen (1,) tangentti ja kulman tangenttipiste. Koska tangentin jakso on, laskimen antamaan kulmaan tarvitsee lisätä vain jakso: tan x =.9 x = tan 1 ( 9. ) + n x = 1,15149... + n x 1.1 + n (Muista astelevytarkistus!). Jos tan x:n arvo on negatiivinen, luvun tangenttipiste osuu koordinaatiston IV neljännekseen ja laskimen antama alkukuva on negatiivinen; yksityisratkaisu on siis neljännen neljänneksen kulma. Sen sijaan voit aivan hyvin ilmoittaa ratkaisuksi II neljänneksen kulman, jonka saat lisäämällä laskimen antamaan kulmaan 18 astetta tai :n riippuen nyt siitä, missä asennossa laskin on sattunut olemaan. Monimutkaisimmissa tangenttia sisältävissä yhtälöissä tulee muistaa, että vastaus-joukkoon saattaa päästä livahtamaan luku, jolla alkuperäinen yhtälö ei ole edes määritelty. Tosin tällainen tilanne on lukiomatematiikassa aika harvinainen, mutta muistissa tangentin määritysjoukko silti kannattaa pitää. Kun kaikkiin kolmeen yleisimpään trigonometriseen funktioon liittyvistä tai sellaisiin johtavista yhtälöistä on esimerkit käsitelty, voidaan kuin yhteenvetona antaa menettelytapaohjeistoksi LAUSE 11. Jos a on sellainen luku, joka toteuttaa yhtälön sinx = k, niin yhtälön täydellinen ratkaisu on x = a + n tai x = a + n. Jos b on sellainen luku, joka toteuttaa yhtälön cosx = k, niin yhtälön täydellinen ratkaisu on x = ± b + n. Jos c on jokin sellainen luku, että se toteuttaa yhtälön tanx = k, niin yhtälön täydellinen ratkaisu on x = c + n 4()
Joskus käy niinkin, että yhtälö voidaan sieventää muotoon, missä kahden luvun - sinit ovat yhtäsuuret - kosinit ovat yhtäsuuret - tangentit ovat yhtäsuuret. Näistä yhtälöistä ei päästä kirjoittamaan lukuja (kulmia) yhtä suuriksi, koska trigonometrisistä funktioista yksikään ei ole bijektio eli että lähtöarvojen ja funktion arvojen välillä vallitsisi kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus. Tämän tyyppisille yhtälöille ratkaisuohjeisto on kirjoitettavissa vähän yksikköympyrää katselemalla ja jaksollisuuteen tukeutumalla. Todettakoon vielä, että esimerkiksi eksponenttifunktio y = k x, missä < k < 1 tai k > 1, on bijektio ja menettely f( x) g( x) k = k f( x) = g( x) on eksponenttifunktiolle tiukkaa asiaa, mutta trigonometristen yhtälöiden tapauksessa ei KANNATA yrittää moista. Yhtälöstä sin [ f( x) ] = sin [ g( x) ] ei saa siirtyä yhtälöön f(x) = g(x)! Jos näin teet, viimeksi saamasi yhtälön ratkaisu yleensä toteuttaa kyllä alkuperäisen yhtälön, mutta ratkaisu on siksi vaillinainen, ettei siitä pistesaalistaan merkittävän paljon kartuta. Juuria on kateissa sangen paljon. LAUSE 1. 1 o Jos kahden lausekkeen sinit ovat, niin nämä lausekkeet vastaavat jaksoa vaille yhtäsuuria kulmia taikka toistensa supplementtikulmia: sinx = siny x = y + n tai x = y + n o Jos kahden lausekkeen kosinit ovat samat, niin lausekkeet vastaavat jaksoa vaille yhtä suuria kulmia tai toistensa vastakulmia: cosz = cosp z = ± p + n o Jos kahden lausekkeen tangentit ovat samat, niin jaksoa vaille lausekkeetkin ovat samat. On syytä tarkistaa, että saatu ratkaisu ei sisällä määrittelyjoukkoon kuulumattomia lukuja: tant = tans t = s + n 5()
Esim. 1. Ratkaise yhtälö sin x = sin( x + ). Lauseen 1 ykköskohdan nojalla saadaan kirjoittaa suoraan x = x + + n x = x + n x = + n 5x = + n n x = + n x = + 5 Esim. 17. Ratkaise yhtälö cosx = cos(x + 75 ). Lauseen 1 kakkoskohdan nojalla saadaan taas suoraan x = ± (x + 75 x = x + 75 x = 75 x = 75 + n + n ) + n + n tai tai tai x = 75 x = 5 x = x 75 + n 1 + n + n Yhtälö tan x = sin x on yksinkertaisen näköinen, mutta ei kovin helposti ratkea. Useita trigonometrisia funktioita sisältävissä yhtälöissä on yleensä pyrittävä sievennyksin yhteen trigonometriseen funktioon ja siihen, että tämä otettaisiin samasta kulmasta. Tällaisia muunnoksia mahdollistavat peruskaavat sin x sin x + cos x = 1 taikka tan x =, cosx ja osaltaan myös jatkossa seuraavat yhteen- ja vähennyslaskukaavat ja sikäli kun asiaan ehditään, yhteenlaskukaavoihin perustuvat kaksinkertaisen kulman kaavat, joiden taustana on kosinin vähennyslaskukaava cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y. Tämä voidaan johtaa mm. vektoreiden pistetulon avulla. Varmaan jo yleisesti tiedetään yhtälön juurella olevan sellainen ominaisuus, että se toteuttaa yhtälön. Kannattaa siis trigonometristenkin yhtälöiden yhteydessä likiarvoin laskimella tarkistaa, että ainakin yksi saaduista juurista toteuttaa yhtälön. On nimittäin hyvin todennäköistä, että suorituksesta saa pisteitä, jos yksikin yksityis-ratkaisu yhtälön toteuttaa. Älä koskaan unohda jaksoa! Tosin tätä ei-suorakulmaista kolmiota ratkaistaessa ei ole tapana huomioida, muttei se sielläkään haitaksi ole mainita. Jo sinilausetta sovellettaessa saattavat kulma ja supplementtikulma molemmat kelvata ratkaisuksi. ()