Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon jäsenet määrittävät joukon täydellisesti joukko on yhtä kuin jäsenensä. Täten joukot A = {1, 2, 5} ja B = {1, 2, 1, 5, 2} ovat samoja, sillä niillä on samat jäsenet; sillä kuinka monta kertaa kyseiset jäsenet luetellaan kaarisulkeiden välissä ei ole väliä. Esimerkki 1. Joukkoa johon kuuluu kaikki positiiviset kokonaisluvut voidaan merkitä Z + = {1, 2, 3, 4,...}. Esimerkki 2. Joukkoa, johon ei kuulu yhtään jäsentä, eli tyhjää joukkoa {} merkitään yleensä symbolilla. Esimerkki 3. Jos A = {2, 7, e} ja B = {7, 8, 12}, joukkoa C, joka sisältää A:n ja B:n voidaan merkitä C = {A, B} = {{2, 7, e}, {7, 8, 12, }}. Siispä joukkojen jäsenet voivat olla myös itse joukkoja. Joukkoon kuulumista merkitään symbolilla. Jos A = {1, 2, 5}, 1 A, mutta 75 / A (eli 75 ei sisälly A:han). Joukko B on joukon A osajoukko (merkitään B A), jos jokainen B:n jäsen on myös A:n jäsen eli jos x B niin x A. Esimerkki 4. Jos A = {1, 2, 7} ja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, niin selvästi jokainen A:n alkio on myös B:n alkio eli A B. Esimerkki 5. Jos N (= {1, 2, 3, 4, 5...}) on luonnollisten lukujen joukko, niin nämä luonnollisesti sisältyvät reaalilukuihin R eli N R Esimerkki 6. Joukko on aina oma osajoukkonsa eli A A (yritä perustella tämä itsellesi). 1

Esimerkki 7. Joukot A ja B ovat samoja (merkitään A = B), jos niillä on samat jäsenet, eli jos jokainen A:n jäsen on B:n jäsen ja jokainen B:n jäsen on A:n jäsen. Yritä perustella itsellesi, että tällöin A = B tarkoittaa täsmälleen samaa kuin A B ja B A. Yleinen todistustekniikka matematiikassa on osoittaa kahden joukon, A ja B, yhtäsuuruus osoittamalla ensiksi että A B ja tämän jälkeen että B A. Joukkoa A voi merkitä luettelemalla kaarisulkeiden välissä kaikki sen jäsenet, kuten edellisissä esimerkeissä. Usein joukossa on kuitenkin niin monta jäsentä, että tämä on mahdotonta. Tällöin joukkoa merkitään yleensä kuvaamalla sen jäsenet jollain kaavalla. Täten esimerkiksi parillisten lukujen joukkoa A voi merkitä A = {x x on parillinen } = {0, 2, 2, 4, 4,... } ja alkulukujen joukkoa voidaan merkitä P = {2, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... } = {x x on alkuluku} = {y y on jaollinen ainoastaan itsellään ja yhdellä}. Esimerkki 8. Täten väite b {x x on parillinen } tarkoittaa, että b kuuluu parillisten lukujen joukkoon, eli että b on parillinen. Esimerkki 9. Väite S {x x on parillinen } puolestaan tarkoittaa, että S on joukko parillisia lukuja. Voi olla esimerkiksi, että S = {2} tai S = {0, 4, 8888} tai S = A. Esimerkki 10. Kirjoita yllä olevalla tavalla (kaavatavalla) joukko A = {0, 5, 10, 15,... } Ratkaisu: Selkeästi A koostuu viidellä jaollisista luvuista eli A = {x x on viidellä jaollinen}. Esimerkki 11. Kirjain x on tässä kirjain, jolla ei ole itsessään mitään erityistä merkitystä. Täten edelliseen tehtävään kelpaa yhtä hyvin vastaukseksi vaikkapa A = {y y on viidellä jaollinen} tai A = {l l on viidellä jaollinen} tai A = {ξ ξ on viidellä jaollinen} Joukkojen A ja B yhdiste A B on joukko, johon kuuluu kaikki jäsenet, jotka kuuluvat A:han, B:hen tai kumpaankin. Esimerkki 12. Jos A = {1, 2, 5} ja B = {1, 2, 7}, A B = {1, 2, 5, 7}. Esimerkki 13. Jos joukko A sisältää maailman kaikki naiset ja B maailman kaikki miehet, A B sisältää maailman kaikki ihmiset. Joukkojen A ja B leikkaus A B on yksinkertaisesti joukko, joka sisältää kaikki jäsenet, jotka kuuluvat sekä A:han että B:hen. Esimerkki 14. Jos edelleen A = {1, 2, 5} ja B = {1, 2, 7}, A B = {1, 2} Esimerkki 15. Jos N on luonnollisten lukujen joukko ja R on reaalilukujen joukko, on N R = N. Siis aina kun A B, A B = A (miksi?). 2

2 Funktiokäsitteestä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokainen lähtöjoukon A alkio johonkin maalijoukon B alkioon. Tätä määritelmää kannatta pohtia pitkään ja hartaasti. Matemaattisin symbolein se näyttää seuraavalta: f : A B. Eli: f on funktio joukosta A joukkoon B. Siis lähtöjoukko, tässä A, on joukko, jonka alkioita liitetään B:n eli maalijoukon alkioihin. Toinen tapa ilmaista että f on funktio A:sta B:hen on seuraava: x A!y B, f(x) = y Eli: kaikille ( ) alkioille A:ssa on olemassa tasan yksi (!) alkio y B:ssä siten että f(x) = y. Funktio siis liittää jokaiseen A:n alkioon yhden alkion B:stä. Tätä määritelmää kannattaa pohtia kunnes sen tajuaa. Esimerkki 16. Funktio f : R R, f(x) = 1 on funktio, sillä se toteuttaa edellä mainitun määritelmän. Lähtöjoukko on tässä koko reaalilukujen joukko, kuten maalijoukkokin. Huomaa, että maalijoukko voi sisältää alkioita jotka eivät maalaudu, eli arvoja y joita funktio ei saa millään x:n arvolla. Esimerkki 17. f : R R, f(x) = 1/x ei ole funktio sillä se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon R alkioon maalijoukon alkiota: kyseinen funktio ei ole nollalla määritelty, joten kaikille lähtöjoukon alkioille (nimenomaan nollalle) se ei liitä maalijoukon alkiota. Esimerkki 18. Sen sijaan jos edellisen esimerkin lähtöjoukosta poistetaan nolla, saamme funktion: f : R \ {0} R, f(x) = 1/x. Esimerkki 19. Funktio-käsitettä lienee syytä valaista ei-numeerisilla esimerkeillä. Jos vaikkapa A sisältää kaikki maailman valtiot ja B kaikki maailman pääkaupungit funktio f : A B voidaan määrittää funktioksi, joka ilmaisee jokaisen maan pääkaupungin. Esimerkiksi f(suomi)= Helsinki ja f(vietnam) = Hanoi. Onko kyseessä funktio? Yllä mainittu funktio ei itse asiassa olekaan funktio, jos: 3

1. Kaikilla mailla ei ole pääkaupunkia (miksi?) 2. Joillain mailla on monta pääkaupunkia (miksi?) Funktion määrittelyjoukko on helppo ymmärtää. Kyseessä on niiden x- arvojen joukko, joilla funktio on määritelty. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x ei ole määritelty nollassa, koska nollalla ei saa jakaa ja x ei ole määritelty kun x < 0. Itse asiassa nämä ovatkin määritelmät, joita yleisesti tarvitaan useat kurssilla käsiteltävät funktiot ovat määriteltyjä koko reaaliakselilla. Funktio on injektio, jos se maalaa eri lähtöjoukon alkioille ( x-arvoille) eri maalijoukon alkiot ( y-arvot). Eli f on injektio, jos x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Funktion injektiivisyyden (eli sen että se on injektio) voi todistaa valitsemalla kaksi eri maalijoukon arvoa, x 1 ja x 2, ja osoittamalle että funktio saa näissä pisteissä eri arvon, eli että f(x 1 ) f(x 2 ). Toinen tapa todistaa injektiivisyys on valita kaksi pistettä, x 1 ja x 2 siten että f(x 1 ) = f(x 2 ) ja todistaa, että tästä seuraa x 1 = x 2. Esimerkki 20. f(x) = x 2 ei ole injektio, sillä esimerkiksi f(1) = 1 = f( 1). Näin siis yllä oleva ehto ei toteudu: 1 1, mutta f(1) = f( 1). Helppo tapa tarkistaa onko jokin funktio injektio on piirtää sen kuvaaja ja katsoa leikkaako mikään vaakasuora viiva funktion kuvaajaa enemmän kuin kerran. Jos leikkaa, funktio ei ole injektio. Funktio f on surjektio, jos se maalaa koko maalijoukkonsa, eli jos jokaisella maalijoukon alkiolla y on olemassa lähtöjoukon alkio x siten että f(x) = y. Esimerkki 21. f : R R, f(x) = x 2 ei ole surjektio, sillä jos valitaan vaikkapa y = 1, ei ole olemassa x:ää jolla f(x) = 1. Toisaalta f : R R +, f(x) = x 2 on surjektio. Jos funktio on sekä injektio, että surjektio, se on bijektio. Tällöin sillä on käänteisfunktio f 1. Esimerkki 22. Valitaan funktio f : R R, f(x) = 4x 3. Todista että tällä on käänteisfunktio. Etsi se. Ratkaisu. Funktiolla on käänteisfunktio, jos se on bijektio (eli surjektio ja injektio). Todistetaan että f on bijektio: 4

1. Injektio. Valitaan x 1 x 2. On todistettava, että f(x 1 ) f(x 2 ). Jos x 1 ja x 2 ovat erimerkkisiä (eli toinen positiivinen ja toinen negatiivinen), on selvästi f(x 1 ) f(x 2 ), koska silloin myös näistä toinen on negatiivinen ja toinen positiivinen. Oletetaan siis, että x 1 ja x 2 ovat samanmerkkisiä. Muokataan kyseistä yhtälöä: x 1 x 2 x 1 x 2 0 (x 1 x 2 )(x 2 1+x 1 x 2 +x 2 ) 0 x 3 1 x 3 2 4x 3 1 4x 3 2. Tässä siis valittiin kaksi erillistä x-arvoa, ja osoitettiin, että funktio saa näillä arvoilla eri y-arvot. Tämä on sama asia kuin että funktio on injektio. 2. Surjektio. Valitaan jokin y, joka kuuluu maalijoukkoon, eli y R. On todistettava, että on olemassa x siten, että y = 4x 3. Mikä tämä x on? Muokataan yhtälö: y = 4x 3 y/4 = x 3 (y/4) 1/3 = x. Nyt f((y/4) 1/3 ) = y eli jokaisella maalijoukon alkiolla y on olemassa jokin lähtöjoukon alkio x nimen omaan alkio x = (y/4) 1/3 jolla f(x) = y. Tämä on sama asia kuin että funktio on surjektio. 3. Käänteisfunktio. Käänteisfunktion etsimiseksi yhtälö y = 4x 3 pitää ratkaista x:n suhteen. Tämä tehtiin jo äskeisessä kohdassa, saatiin (y/4) 1/3 = x. Siispä käänteisfunktioksi on ehdolla f 1 (x) = (x/4) 1/3. Tämän todistamiseksi on osoitettava, että ja f 1 (f(x)) = x f(f 1 (x)) = x. Toisin sanottuna: kun funktion lauseke sijoitetaan käänteisfunktion lausekkeeseen, pitäisi saada x, samoin kuin jos käänteisfunktion lauseke sijoitetaan funktion lausekkeeseen. Tehdään näin: Ja: f 1 (f(x)) = f 1 (4x 3 )) = (4x 3 /4) 1/3 = (x 3 ) 1/3 = x. f(f 1 (x)) = f((x/4) 1/3 ) = y = 4((x/4) 1/3 ) 3 = 4(x/4) = x. Joten f ja f 1 ovat toistensa käänteisfunktioita. 5

Huomioi, että jos jotain ei-injektiivistä funktiota yritetään yllä käytetyllä menetelmällä todistaa injektioksi, jokin menee pieleen. Jos esimerkiksi f(x) = x 2 edellinen todistus menisi pieleen: Valitaan x 1 x 2. Muokataan kyseistä yhtälöä: x 1 x 2 x 2 1 x 2 2 on epäpätevä päättelyketju, sillä se ei päde esimerkiksi arvoilla x 1 = 1, x 2 = 1. Samoin jos ei-surjektiivista funktiota yrittää todistaa surjektiiviseksi, käytetty päättelyketju ei etene loogisesti jossain kohdassa. Kahden funktion, f ja g, yhdistetty kuvaus, f g = f(g(x)) on funktio, joka kuvaa g:n lähtöjoukon alkion x ensin g:n maalijoukon alkioksi g(x) ja tämän jälkeen kuvaa kyseisen maalijoukon alkion f:n maalijoukon alkioksi f(g(x)). Esimerkki valaisee asiaa. Esimerkki 23. Jos f(x) = 2x 5 ja g(x) = 4x, voidaan muodostaa yhdistetty kuvaus f g = f(g(x)) = f(4x) = f(x) = 2(4x) 5 = 1024x 5. Tässä siis x matkaa seuraavasti x 4x 1024x 5. Toisaalta g f määritellään vastaavasti: g f = g(f(x))) = g(2x 5 ) = 4(2x 5 ) = 8x 5. Yleensä siis f g g f Harjoitus 1. Yhtälö y 2 = x ei määritä funktiota. Miksi ei? Harjoitus 2. Edellisen tehtävän käyrä voidaan jakaa kahteen funktioon f 1 ja f 2. Tee näin (käytä graasta laskinta apuna). Muodosta kyseisten funktioiden lausekkeet. Harjoitus 3. Miksi f : R R, f(x) = x ei ole funktio? Kuinka lähtöjoukkoa pitäisi rajoittaa, jotta siitä saataisiin funktio? Harjoitus 4. Olkoon f(x) = x 2 ja g(x) = 5x + 12. Etsi f g ja g f. Harjoitus 5. Onko f : R + R, f(x) = x 4 surjektio? Injektio? Harjoitus 6. Osoita, että f : R R, f(x) = 4x + 5 on bijektio. Etsi sen käänteisfunktio. 6