4 Derivaatta 4. Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen Eräitä kiinnostavimmista asioista funktioita tutkittaessa ovat funktion kasvavuus ja vähenevs. Funktio on jollain välillä kasvava, jos f(a) f(b) aina kun a > b. Vastaavasti funktio on vähenevä, jos f(a) f(b) aina kun a > b. Esimerkiksi funktio, jonka kuvaaja näk alla, on kasvava, kun tai 3, ja vähenevä, kun on välillä [, 3]. 3 3 4 5 6 Kuinka funktion kasvavuutta voidaan tutkia täsmällisesti? Ensin tät olla jokin keino mitata kasvamisnopeutta. Jos funktion kuvaaja olisi suora, voitaisiin sanoa, että funktion kasvunopeus on suoran kulmakerroin. Yleisen funktion tapauksessa kuvaajalle asetetaan tutkittavaan pisteeseen sivuaja eli suora, joka koskettaa kärää paikallisesti vain hdessä pisteessä. Funktion kasvunopeudeksi tutkittavassa pisteessä sovitaan tuon sivuajan kulmakerroin. Oheisessa kuvassa näk joitakin funktion kuvaajalle piirrettjä sivuajia ja niiden kulmakertoimia. 3 k = 3 k = 0 3 4 5 6 k = 3
Kun funktion f kuvaajalle piirretään sivuaja pisteeseen (, f()), tuon sivuajan kulmakerrointa kutsutaan funktion derivaataksi pisteessä. Derivaattaa pisteessä merkitään f (). Esimerkiksi edellisen kuvan funktiolle piirrettiin sivuajat pisteisiin (, 3 ), (, 3 ) ja (4, 3 ). Kuvan mukaan vastaavat derivaatan arvot ovat f () = 0, f () = ja f (4) = 3. Funktion derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta: mitä suurempi on derivaatan arvo, sitä jrkempi on sivuajasuora, ja sitä nopeammin funktio nättää kasvavan. Koska derivaatta kuitenkin lasketaan vain hdessä pisteessä, siitä ei ksinään voi päätellä kasvua tai vähenemistä. Yleensä tät tutkia derivaatan arvoja jollakin välillä tai hahmotella funktion kehitstä pisteen mpäristössä jollakin toisella tavalla. Tähän palataan möhemmin. Derivaattaa ei aina voida määrittää. Joissakin pisteissä ei funktion kuvaajalle nimittäin voida piirtää sivuajaa. Tämä voi tapahtua lähinnä kolmessa tapauksessa: ) funktiolla on epäjatkuvuuskohta kseisessä pisteessä ) funktion kuvaajalla on terävä kärki kseisessä pisteessä 3) funktion kuvaaja nousee hetkellisesti pstn. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa ei sivuajaa voida lainkaan järkevästi piirtää. Viimeisessä tapauksessa sivuaja olisi pstsuora, mutta pstsuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. Kaikista tapauksista on esimerkkikuvat alla. 4. Derivaatan laskeminen, osa I Derivaatan määritteleminen kuvaajan avulla ei riitä kovin pitkälle, sillä sivuajan piirtäminen on melko epätäsmällistä. Derivaatta voidaan kuitenkin laskea mös funktion lausekkeesta. Tarkasti ottaen tässä kätettäisiin raja-arvoja, mutta tällä kurssilla riittää osata laskukaavat eritppisille funktioille. Aloitetaan laskukaavojen opettelu ksinkertaisista perussäännöistä. Lausekkeen derivointia merkitään kirjaimella D. Esimerkiksi lausekkeen derivaattaa merkitään D. Ensimmäiset säännöt koskevat potenssin ja vakiofunktion derivointia sekä lausekkeiden summaa ja vakiolla kertomista. 4
D k = k k, kun k on jokin reaaliluku D a = 0, kun a on jokin vakio D ( f() ± g() ) = D f() ± D g() D ( af() ) = a D f(), kun a on jokin vakiokerroin Esimerkit valaisevat parhaiten sääntöjen soveltamista. Esimerkki 4.. Polnomifunktion lauseke on summa :n potensseista joillakin vakiokertoimilla kerrottuina. Edellä on esitett derivointisäännöt potensseille, summille ja vakiokertoimille, joten polnomin derivoimisen ei pitäisi tuottaa ongelmia. Tarkastellaan esimerkiksi ksinkertaista lauseketta 3 4. Lausekkeessa esiintvät potenssitermit ja derivoidaan vastaavan säännön mukaan seuraavasti (huomaa, että = ): D = =, D = 0 = =. Koko lauseke derivoidaan nt välivaiheineen seuraavasti: D(3 4) = D(3 ) D(4) = 3 D 4 D = 3 4 = 6 4. Alla on derivoitu muutamia polnomilausekkeita hieman vähemmillä välivaiheilla: D( 3 + 5) = D 3 + 5 D = 3 + 5 = 3 + 5, D( 3 5 + 4 ) = 3 D 5 + D 4 = 3 5 4 + 4 3 = 5 4 + 4 3, D(4 8 + ) = 4 D 8 + D = 4 8 7 + 0 = 3 7. Viimeisessä kohdassa kätettiin vakion derivoimissääntöä D a = 0. Tätä ei pidä sekoittaa vakiokertoimen derivoimissääntöön, jonka mukaan vakiokerroin säil derivoitaessa sellaisenaan, esimerkiksi D(a) = a D = a = a. Esimerkki 4.. Potenssin derivoimissääntö ei rajoitu pelkästään niihin tapauksiin, missä eksponentti on positiivinen kokonaisluku, vaan sitä voidaan soveltaa mös negatiivisiin ja murtolukueksponentteihin. Esimerkiksi murtolauseke / voidaan kirjoittaa mös muodossa, jolloin siihen voidaan soveltaa potenssin derivointisääntöä. Näin saadaan ( ) D = D = 3 = 3 = 3. Tät vain muistaa, että eksponentti todellakin pienenee hdellä. Tällöin positiivisesta luvusta tulisi, mutta negatiivisesta luvusta tuleekin 3. Murtopotenssiksi muuntaminen on ainoa tapa neliö- ja muiden juurten derivointiin. Esimerkkinä neliöjuuren derivoiminen: D( ) = D / = / = / = =. 5
Mös vakion derivointisääntö voidaan johtaa potenssin derivoinnista, kun muistetaan, että = 0. Tällöin nimittäin vakiolle a pätee a = a = a 0, ja saadaan D a = D(a 0 ) = a D 0 = a 0 = a 0 = 0. Kätevintä on kuitenkin vain muistaa, että vakion derivaatta on aina 0. Kun osataan derivoida erilaisia lausekkeita, funktioiden derivaatat lötvät helposti. Esimerkiksi polnomifunktion f() = 3 4 derivaatan arvo pisteessä saadaan derivoimalla funktion lauseke. Tämä tehtiin esimerkissä 4., ja tuloksena oli 6 4. Funktion f derivaatta pisteessä on siis f () = 6 4. Tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi funktion f kuvaajalle pisteeseen kohtaan = piirretn sivuajan kulmakerroin on Alla on vielä kuva tilanteesta. f () = 6 4 =. k = f () = 3 4.3 Derivaatan sovelluksia Kuten jo luvun alussa mainittiin, derivaattaa voi kättää funktion kasvun ja vähenemisen tutkimiseen ja mittaamiseen. Mikäli funktion derivaatta jossain pisteessä on positiivinen, funktio on hetkellisesti kasvava tuossa pisteessä, ja mikäli derivaatta on negatiivinen, funktio on vähenevä. Siellä, missä derivaatta on nolla, funktion kasvu on hetkellisesti psähtnt. Mainitun kaltainen tarkastelu ei kuitenkaan ole aivan riittävää. Katsotaan esimerkiksi funktiota f() = 3, jonka kuvaaja on piirrett seuraavaan kuvaan. Funktion derivaatan lauseke on f () = 3, ja kohdassa = 0 derivaatta on f (0) = 0. Funktion kasvu on siis hetkellisesti psähtnt, mutta funktio on silti koko ajan aidosti kasvava. Toisin sanoen jos > millä tahansa reaaliluvuilla ja, niin f() > f(). Kasvun hetkellinen psähtminen ei siis oikeastaan vaikuta kasvuun mitenkään. 6
Tarkempaa tietoa kasvavuudesta ja vähenevdestä saadaan, kun tutkitaan derivaatan arvoja laajemmilla väleillä. Seuraava sääntö on niin tärkeä, että puemme sen lauseen muotoon. Lause 4.3. Oletetaan, että funktio f on määritelt vähintään avoimella välillä ]a, b[ (voi olla mös rajoittamaton väli, vaikka koko R) ja että sillä on derivaatta kaikissa välin ]a, b[ pisteissä. Jos f () > 0 kaikilla ]a, b[, niin f on aidosti kasvava koko välillä ]a, b[. Jos f () < 0 kaikilla ]a, b[, niin f on aidosti vähenevä koko välillä ]a, b[. Lisäksi edellisten kohtien tilanne ei muutu, vaikka f () olisi 0 välin ]a, b[ ksittäisissä pisteissä. Aidosti kasvava tarkoittaa, että jos >, niin f() > f() eikä funktio voi olla edes väliaikaisesti vakio. Lisähuomautus ksittäisistä pisteistä viittaa sen kaltaiseen tilanteeseen, kuin mitä tarkasteltiin edellä: vaikka funktion f() = 3 derivaatta saa ksittäisessä pisteessä = 0 arvon nolla, ei funktion kasvavuus muutu. Tarkastellaan erästä toista esimerkkiä hieman ksitiskohtaisemmin. Esimerkki 4.4. Määritellään polnomifunktio f() = 3 +. Sen kuvaaja on piirrett alla olevaan kuvaan. Tutkitaan derivaatan avulla tarkasti, milloin funktio f on kasvava ja milloin vähenevä. 3 Polnomilausekkeiden derivointisääntöjen mukaan saadaan funktion derivaataksi f () = 3. 7
Tämä lauseke kertoo derivaatan arvon (eli funktion hetkellisen kasvunopeuden) riippuvuuden lähtöarvosta. Se määrittelee siis itsekin erään funktion, ns. derivaattafunktion. Jotta voitaisiin selvittää funktion f kasvavuus, on edellä olevan lauseen mukaan tutkittava derivaatan etumerkkiä. Kätetään apuna tuttua jatkuviin funktioihin liittvää sääntöä: Jatkuvan funktion arvojen etumerkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa tai siellä, missä funktio ei ole määritelt. Koska derivaattafunktio f () = 3 on polnomifunktio, se on määritelt kaikkialla ja lisäksi jatkuva. Derivaatan etumerkki voi siis vaihtua vain derivaatan nollakohdissa. Selvitetään ensin derivaattafunktion nollakohdat toisen asteen htälön ratkaisukaavalla: 3 = 0 = ± 4 3 () 3 = ± 8 = ± 7 = ± 7 6 6 3,5 tai 0,549. Laaditaan sitten derivaatan merkkikaavio. Koska derivaatan merkki voi vaihtua vain derivaatan nollakohdissa, riittää tarkistaa merkki näiden nollakohtien välissä vaikkapa laskimella. Esimerkiksi f () = 3 (+), f (0) = ( ) ja f () = 6 (+). Näin saadaan seuraavan näköinen kaavio: < 0,549 0,549 < <,5 >,5 f () + + Derivaatan etumerkki nollakohtien eri puolilla olisi voitu päätellä mös siitä, että derivaattafunktion kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Derivaatan merkkikaaviosta nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun < 0,549 tai >,5, ja negatiivinen, kun on välillä ] 0,549,,5[. Kättämällä lausetta 4.3 voidaan derivaatan merkkikaavio tädentää alkuperäisen funktion kulkukaavioksi: < 0,549 0,549 < <,5 >,5 f () + + f() ր ց ր Kulkukaaviossa nuolet osoittavat funktion kulkusuunnan. Nt on selvitett tarkasti, milloin funktio f() = 3 + on kasvava ja milloin vähenevä. Kerrataan vielä lhesti tarkastelun vaiheet: 8
. Etsitään derivaattafunktio f.. Määritetään derivaattafunktion f nollakohdat. 3. Laaditaan derivaattafunktion merkkikaavio määrittämällä derivaatan etumerkki nollakohtien välissä. 4. Tädennetään merkkikaavio funktion f kulkukaavioksi. Derivaatan avulla voidaan selvittää mös funktion pienin ja suurin arvo. Sellaisessa kohdassa, jossa funktion kasvaminen vaihtuu vähenemiseksi tai päinvastoin, kasvu psäht hetkellisesti ja derivaatta on nolla. Tällaisessa kohdassa funktiolla on niin sanottu paikallinen ääriarvo, joko minimi tai maksimi. Funktion suurin arvo voi lötä tällaisesta maksimikohdasta. Toinen mahdollisuus on, että suurin arvo löt määrittelvälin päätepisteestä. Vastaava pätee pienimmälle arvolle. Toisaalta esimerkiksi funktiolla f() = 3 ei ole lainkaan suurinta eikä pienintä arvoa. Esimerkki 4.5. Jatketaan edellisen esimerkin funktion f() = 3 + tarkastelua. Sovitaan kuitenkin tällä kertaa, että funktio on määritelt vain välillä [0, 5]. Tuolla välillä funktion kulkukaavio on seuraavanlainen (kopioituna edellisestä esimerkistä): 0 < <,5,5 < < 5 f () + f() ց ր Vain ksi derivaattafunktion nollakohta osuu määrittelvälille, nimittäin =,5. Koska funktio on tuon kohdan edellä vähenevä ja sen jälkeen kasvava, kseessä on minimikohta. Lisäksi nähdään, että kseisessä kohdassa funktio mös saa pienimmän arvonsa, koska funktio ei enää käänn laskevaksi määrittelalueellaan eikä siksi voi saavuttaa pienempiä arvoja. Tuo pienin arvo on f(,5),. Kun funktio f määritellään suljetulla välillä, sillä on mös suurin arvo. Kulkukaavion perusteella suurin arvo saavutetaan määrittelvälin jommassakummassa päätepisteessä. Kokeillaan kumpi funktion arvo on suurempi: f(0) = ja f(5) = 9. Selvästi jälkimmäinen arvo on suurempi. Funktion suurin arvo on siis f(5) = 9. Suurimman ja pienimmän arvon lötäminen on eritisen tärkeää seuraavan esimerkin kaltaisissa optimointitehtävissä. Esimerkki 4.6. Halutaan rakentaa suorakulmion muotoinen aitaus. Aitatarpeita riittää hteensä 50 metrin pituiseen aitaan, mutta aitauksen hdelle sivulle on tarkoitus jättää metrin levinen aukko. Tilanne on siis seuraavan kuvan mukainen. m 9
Halutaan lötää sellaisen aitauksen mitat, jonka pinta-ala on suurin mahdollinen. Tämä ongelma ratkeaa muodostamalla funktio, joka kuvaa aitauksen pinta-alaa, sekä etsimällä derivaatan avulla funktion suurin arvo. Aloitetaan valitsemalla suure, josta pinta-ala riippuu. Suorakulmion pinta-ala lasketaan kaavalla A =, kun kätetään oheisen kuvan merkintöjä. Sivujen mitat ja eivät kuitenkaan ole toisistaan riippumattomia, sillä aidan kokonaispituus on rajoitettu: mikäli pituutta kasvatetaan, pituus vähenee, ja päinvastoin. Tarkemmin sanottuna rajoittava ehto on + = 50. Tästä htälöstä voidaan ratkaista, jos oletetaan tunnetuksi: = 50 + = 5 = 76. Nt on selvitett, että jos aitauksen toisen sivun pituus on, toisen sivun pituus on = 76. Voidaan siis muodostaa pinta-alaa kuvaava funktio A() = (76 ) = 76 = + 76. Selvitetään funktion A määritteljoukko. Voidaan ajatella, että pahimmassa tapauksessa voi olla 0, jolloin aitauksella ei ole pinta-alaa. Toinen ääritapaus olisi se, jossa = 0 eli = 76. Möskään tällöin aitauksella ei ole pinta-alaa, vaikka kaikki aitamateriaali on kätössä. Määritteljoukoksi voidaan siis valita suljettu väli [0, 76]. Tämän välin luvut kuvaavat sivun pituuden mahdollisia arvoja. Kun tutkittava funktio on selvitett, lasketaan sen derivaatta: A () = + 76. Derivaattafunktiolla on ksi nollakohta, ja se on = 38. Koska derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora, derivaatan arvot ovat positiivisia nollakohdan vasemmalla puolella ja negatiivisia oikealla. Näin voidaan muodostaa derivaatan merkkikaavio. (Voitaisiin mös tutkia derivaatan arvoja kokeilupisteissä nollakohdan eri puolilla.) Tädennetään merkkikaavio saman tien funktion A kulkukaavioksi: 0 < < 38 38 < < 76 A () + A() ր ց Kulkukaaviosta nähdään, että kohdassa = 38 on funktion A maksimikohta ja samalla sen suurin arvo. Suurin aitaus saadaan siis, kun sivun pituus on 38. Tällöin toinen sivun pituus on = 76 38 = 38, eli aitaus on neliön muotoinen. Sen pinta-ala on A(38) = 38 = 444 (m ). 30
4.4 Derivaatan laskeminen, osa II Tähän mennessä opittujen laskusääntöjen avulla psttään derivoimaan polnomifunktioita sekä hvin ksinkertaisia rationaali- ja juurifunktioita. Seuraavaksi opetellaan funktioiden tulon ja osamäärän sekä hdistettjen funktioiden derivointisäännöt. Näiden avulla voidaan derivoida kaikki rationaalifunktiot sekä suuri joukko sellaisia funktioita, jotka voidaan tulkita hdistetiksi funktioiksi. D ( f()g() ) = f ()g() + f()g () D ( ) f() = f ()g() f()g () g() g() D ( f(g()) ) = f (g())g () Aloitetaan tutkimalla rationaalifunktion derivoimista. Esimerkki 4.7. Tarkastellaan rationaalifunktiota h: R \ {, } R, h() = 3 + 4. Rationaalifunktion lauseke on kahden polnomin osamäärä. Merkitään osoittajapolnomia f() = 3 + ja nimittäjäpolnomia g() = 4. Lausekkeiden osamäärän derivointisäännön nojalla derivaataksi tulee h () = D ( ) f() g() = f ()g() f()g () g(). (4.) Lasketaan derivaatta vaiheittain. Ensinnäkin osoittajan derivaatta on ja nimittäjän derivaatta on f () = D(3 + ) = 3 g () = D( 4) =. Nt voidaan koota osamäärän derivaatta sijoittamalla f(), g(), f () ja g () kaavaan (4.): h () = f ()g() f()g () g() = 3 ( 4) (3 + ) ( 4) = 3 6 ( 4) = 3 ( 4). Rationaalifunktioita derivoitaessa ei nimittäjän lauseketta kannata leensä kertoa auki. 3
Katsotaan seuraavaksi, miten hdistett funktio derivoidaan. Esimerkki 4.8. Tarkastellaan funktiota k() = ( ) 9. Tämä funktio voitaisiin derivoida kertomalla se auki, mutta kertolasku olisi hvin töläs. Pääsemme helpommalla, kun tulkitsemme lausekkeen hdistetn funktion lausekkeeksi. Valitaan sisäfunktioksi g() = ja ulkofunktioksi f() = 9. Tällöin pätee k() = f(g()), joten k () = D(f(g()). Voidaan siis kättää hdistetn funktion derivointisääntöä. Sitä varten derivoidaan ensin valmiiksi ulko- ja sisäfunktiot: f () = 9 8 ja g () =. Nt hdistetn funktion derivoimissäännön mukaan pätee k () = f (g())g () = f ( ) = 9( ) 8 = 8( ) 8. Yhdistettä funktiota derivoitaessa ideana on, että derivoidaan ensin ulkofunktio ja pidetään sisäfunktio paikallaan, ja sen jälkeen kerrotaan saatu lauseke sisäfunktion derivaatalla. Toisena esimerkkinä voitaisiin ottaa juurifunktio p() =. Tätä ei osata derivoida ilman hdistetn funktion sääntöä. Nt sisäfunktioksi valitaan g() = ja ulkofunktioksi f() = = /. Yhdistetn funktion sekä potenssin derivointisääntöjen mukaan saadaan ( p () = D ( ) }{{} /) = ( ) }{{} / }{{} = ( ) /. g() g() g () Vastaus voidaan vielä haluttaessa muuttaa muotoon p () = /. Tarkastellaan viimeisenä esimerkkinä rationaalifunktion kasvamisen tutkimista. Esimerkki 4.9. Palataan vielä kerran esimerkin.5 funktioon h: R \ {0, } R, h() = +. Tämän funktion kuvaaja näk oheisessa kuvassa. Olemme todenneet, että funktio h ei ole määritelt lähtöarvoilla 0 ja. Lisäksi olemme päätelleet esimerkissä 3.3, että funktion arvot lähestvät nollaa hvin suurilla ja hvin pienillä lähtöarvoilla. Tutkitaan nt derivaatan avulla funktion kasvuominaisuuksia. 3
3 6 5 4 3 3 4 5 6 3 4 Derivoidaan funktio h osamäärän derivointisäännön mukaan. Osoittaja on f() = + ja nimittäjä on g() =. Saadaan h () = f ()g() f()g () g() = ( ) ( + ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) = + ( ) = + ( ). Selvitetään seuraavaksi derivaatan etumerkki. Derivaatan nollakohdat ovat samat kuin derivaatan osoittajan nollakohdat: h () = 0 + = 0 = ± 4 () () = ± = ± 3 = ± 3 = 0,73 tai =,73. Derivaatan merkkikaaviota varten on nt otettava huomioon mös kohdat, joissa derivaatta h ei ole määritelt. Nämä ovat samat kohdat kuin missä funktio ei ole määritelt, eli lähtöarvot = 0 ja =. Näissä kohdissa derivaatan merkki voi muuttua. Derivaatan merkki on siis tarkistettava kullakin osaväleistä ],,73[, ],73, 0[, ]0, 0,73[, ]0,73, [ ja ], [. 33
Lasketaan esimerkiksi arvot h ( 3) 4,4, h () 0,3, h (0,5),3, h () = ja h (3),4. Nt voidaan laatia funktion h kulkukaavio: <,73,73 < < 0 0 < < 0,73 0,73 < < > h () + + h() ց ր ր ց ց Kulkukaavio kertoo, että funktio h on kasvava väleillä ],73, 0[ ja ]0, 0,73[, muulloin h on vähenevä. Tämän vahvistaa käsitksen, joka saatiin aiemmin h:n kuvaajasta. 34