BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1
Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöryhmät 2
1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä tarvitaan lähes kaikilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Fysikaalisen ongelman saattaminen matemaattiseen muotoon = mallinnus, mallinnuksen tulos = matemaattinen malli. Käsitellään tällä kurssilla tavallisia differentiaaliyhtälöitä, ts. differentiaaliyhtälöitä jotka eivät sisällä osittaisderivaattoja. Tavallinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion y(x) derivaattoja. Yhtälön ratkaisuna saadaan funktio y(x). 3
2 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2.1 Peruskäsitteitä Differentiaaliyhtälön kertaluku = korkeimman yhtälössä esiintyvän derivaatan kertaluku. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan y :n sekä mahdollisesti y:n ja tunnettuja x:n funktioita. Yhtälö voidaan siis kirjoittaa muotoon F(x, y, y ) = 0 (1) tai y = f(x, y) (2) 4
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatta y = h (x) ja joka toteuttaa yhtälön (1) kaikilla x:n arvoilla välillä a < x < b. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa on kyseessä implisiittinen ratkaisu. H(x, y) = 0, (3) Integroimalla saadaan mielivaltaisia vakioita, joten differentiaaliyhtälöllä on yleisessä tapauksessa useita ratkaisuja. Esim. yhtälön y = cos x ratkaisu on y = sinx + c. Tämä on ko. yhtälön yleinen ratkaisu. Jos valitaan c:lle jokin kiinteä arvo, saadaan erityisratkaisu. Jos on olemassa yksittäinen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta, on kyseessä singulaarinen ratkaisu. 5
Fysikaalisen systeemin matemaattinen mallintaminen: 1. Muodostetaan fysikaalista prosessia kuvaava matemaattinen malli. Tämä malli on tyypillisesti differentiaaliyhtälö. 2. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö. 3. Määritetään erityisratkaisu alkuehtojen perusteella. 4. Tarkistus: onko saatu funktio ongelman ratkaisu? Tämä on tyypillinen esimerkki alkuarvoprobleemasta, joka on muotoa y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 (4) Alkuehdon y(x 0 ) = y 0 avulla voidaan määrittää yleisessä ratkaisussa esiintyvä vakio c. 6
2.2 Separoituvat differentiaaliyhtälöt Monet 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan redusoida muotoon Koska y = dy/dx, voidaan kirjoittaa g(y)y = f(x). (5) g(y)dy = f(x)dx (6) Separoituva yhtälö: muuttujat x ja y voidaan erottaa yhtälön eri puolille. Ratkaisu: Integroidaan puolittain x:n suhteen, saadaan g(y) dy dx dx = f(x)dx + c (7) 7
Koska (dy/dx)dx = dy, saadaan g(y)dy = f(x)dx + c (8) Oletetaan, että f ja g ovat jatkuvia funktioita, joten yo. integraalit ovat olemassa; laskemalla nämä integraalit, saadaan yhtälön (5) yleinen ratkaisu. Muotoa y = g ( y x) (9) olevat yhtälöt voidaan muuntaa separoituviksi sijoituksella y x = u (10) 8
2.3 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Lähtökohta: Jos funktiolla u(x, y) on jatkuvat osittaisderivaatat, sen kokonaisdifferentiaali (eksakti differentiaali) on du = u x u dx + dy (11) y Tällöin jos u(x, y) = c, missä c on vakio, niin du = 0 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka on muotoa M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (12) on eksakti, jos sen vasen puoli on jonkin funktion u(x, y) kokonaisdifferentiaali. Yhtälö (12) voidaan tällöin kirjoittaa muotoon du = 0. (13) 9
Integroimalla saadaan ratkaisu u(x, y) = c (14) Vertaamalla yo. yhtälöitä nähdään, että yhtälö (12) on eksakti, jos on olemassa funktio u(x, y) siten, että u x = M, u y = N (15) Oletetaan, että M ja N ovat määritelty xy tason alueessa, jota rajoittaa suljettu itseään leikkaamaton käyrä, ja niillä on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat ko. alueessa. Tällöin M y = 2 u y x, N x = 2 u x y (16) 10
Jatkuvuus M y = N x Välttämätön ja riittävä ehto sille, että Mdx + Ndy on eksakti differentiaali. (17) Funktio u(x, y) saadaan integroimalla: u = Mdx + k(y) (18) Yllä k(y) on x:stä riippumaton integrointivakio, joka voidaan määrittää laskemalla u/ y yhtälöstä (18), ratkaisemalla sitten dk/dy, josta integroimalla saadaan k. Vastaavasti voitaisiin käyttää yhtälöä u = Ndy + l(x) (19) 11
2.4 Integroivat tekijät Oletetaan, että on olemassa yhtälö P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (20) joka ei ole eksakti, mutta josta saadaan eksakti kertomalla se sopivalla funktiolla F(x, y). Uusi yhtälö FPdx + FQdy = 0 (21) on eksakti, ja se voidaan ratkaista edellä kuvatulla tavalla. Funktio F(x, y) on yhtälön (20) integroiva tekijä. Eksaktiusehto integroivan tekijän kanssa on eli F y P + FP y = F x Q + FQ x. y (FP) = (FQ), (22) x 12
Usein on helpompaa etsiä vain yhden muuttujan integroiva tekijä, esim. F = F(x). Tällöin F y = 0 ja F x = F = df/dx, jolloin josta saadaan 1 F FP y = F Q + FQ x, (23) df dx = 1 Q ( P y Q ) x (24) Merkitään oikeaa puolta R:llä, saadaan F(x) = exp R(x)dx (25) Vastaavasti jos F = F(y), saadaan F(y) = exp R(y)dy. (26) 13
2.5 Lineaariset differentiaaliyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y + p(x)y = r(x) (27) Huom. Yhtälö on lineaarinen y:n ja y :n suhteen, p ja r voivat olla mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogeeninen, muulloin se on epähomogeeninen. Homogeeninen yhtälö y + p(x)y = 0 (28) voidaan ratkaista erottamalla muuttujat: 14
eli dy y ln y = = p(x)dx (29) p(x)dx + c, (30) josta saadaan y(x) = ce R p(x)dx (c = ±e c ) (31) Valitsemalla c = 0 saadaan myös triviaaliratkaisu y = 0. Epähomogeenisella yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu ainoastaan x:stä. Kirjoitetaan yhtälö (27) muotoon (py r)dx + dy = 0 (32) Yhtälö on nyt muotoa Pdx + Qdy = 0, missä P = py r ja Q = 1. 15
Näin ollen (ks. yhtälö (24)) 1 F df dx eli yhtälöllä (27) on integroiva tekijä = p(x), (33) F(x) = e R pdx (34) Kerrotaan tällä yhtälö (27) ja saadaan e R pdx y = e R pdx rdx + c, (35) josta saadaan y(x) = e h [ ] e h rdx + c, h = p(x)dx (36) Yhtälön (27) yleinen ratkaisu integraalimuodossa. 16
2.5.1 Bernoullin yhälö Yhtälö y + p(x)y = g(x)y a, (37) missä a on reaaliluku, on Bernoullin yhtälö. Jos a = 0 tai a = 1, yhtälö on lineaarinen, muulloin epälineaarinen. Asetetaan u(x) = [y(x)] 1 a (38) Derivoimalla ja sijoittamalla y yhtälöstä 37 saadaan u = (1 a)y a y = (1 a)y a (gy a py) = (1 a)(g py 1 a ), (39) missä y 1 a = u. Saadaan lineaarinen yhtälö u + (1 a)pu = (1 a)g (40) Epälineaarinen yhtälö on näin saatu redusoitua lineaariseen muotoon. 17
2.6 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat Yhtälö F(x, y, c) = 0 (41) esittää käyrää xy tasossa kiinteällä c:n arvolla. Vaihtelemalla c:n arvoa saadaan äärettömän monta käyrää, c on tämän käyräparven parametri. Esittämällä käyräparven yhtälö differentiaaliyhtälönä y = f(x, y) (42) saadaan käyrät kohtisuorasti leikkaavien käyrien yhtälö ratkaisemalla yhtälö y = 1 (43) f(x, y) 18