2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
|
|
- Kalle Risto Korpela
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan y:n sekä mahd. y:n ja x:n funktioita. Yhtälö voidaan kirjoittaa tai F(x,y,y ) = 0 y = f(x,y) Yhtälön ratkaisu jollakin avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatta y = h (x), ja joka toteuttaa DY:n kaikilla x(a,b).
2 2 Muotoa y = h(x) kutsutaan eksplisiittiseksi ratkaisuksi. Muotoa H(x,y) = 0 kutsutaan implisiittiseksi ratkaisuksi. Integroimalla saadaan mielivaltaisia vakioita, joten DY:llä on yleisessä tapauksessa useita ratkaisuja. Jos y on ainoastaan x:n funktio y = f(x), ratkaisu suoraan integroimalla. Esimerkki: y = cos x Ratkaisu y = cos x dx sin x C
3 3 Yleinen ratkaisu sisältää integroimisvakion Yksityisratkaisu, erityisratkaisu: integroimisvakioille on annettu jokin arvo Erikoisratkaisu, singulaarinen ratkaisu: ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta Alkuarvotehtävä muodostuu DY:stä ja alkuehdoista, esim. y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0 missä x 0 ja y 0 ovat annettuja arvoja. Alkuarvotehtävän ratkaisu on se DY:n y = f(x,y) yksityisratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon y(x 0 ) = y 0.
4 4 Fysikaalisen systeemin matemaattinen mallintaminen: 1. Muodostetaan fysikaalista prosessia kuvaava matemaattinen malli. Tämä malli on tyypillisesti differentiaaliyhtälö. 2. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö. 3. Määritetään yksityisratkaisu alkuehtojen perusteella. 4. Tarkistus: onko saatu funktio ongelman ratkaisu?
5 5 Esimerkki (Eksponentiaalisen kasvun ja vähenemisen malli) Kun y(x) = ce kx eli y (x) = kce kx y = ky
6 6 Käytännön tilanne: Jos tiedetään, että suureen y kasvunopeus on suoraan verrannollinen y:n suuruuteen, saadaan differentiaaliyhtälö y = ky Yleinen ratkaisu: y = ce kx Eksponentiaalisen kasvun tapauksessa k > 0, vähenemisen tapauksessa k < 0.
7 Radioaktiivinen hajoaminen 7 Tiedetään, että radioaktiivinen aine hajoaa siten, että aineen määrän y(t) muutosnopeus hetkellä t (sekuntia), y (t) on suoraan verrannollinen ainemäärään hetkellä t. Ilmiön malliksi sopii DY y = ky jonka yleinen ratkaisu on y = ce kt
8 Vakio k < 0 riippuu tarkasteltavasta aineesta. 8 Olkoon k = -1,5. Jos radioaktiivista ainetta on 0,5 g alkuhetkellä t=0, mikä on ainemäärä t sekunnin kuluttua? Alkuehdosta y(0) = 0,5 saadaan ce 0 = 0,5 josta c = 0,5. Differentiaaliyhtälön (yksityis)ratkaisu eli ainemäärä hetkellä t on y(t) = 0,5e -1,5t.
9 2.2 Separoituvat differentiaaliyhtälöt 9 Jos differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon g(y)y = f(x) kyseessä on separoituva yhtälö: muuttujat x ja y voidaan erottaa yhtälön eri puolille kirjoittamalla g(y)dy = f(x)dx josta integroimalla ratkaisu g (y)dy f (x)dx C
10 10 Esimerkki Ratkaise x + yy = 0.
11 Esimerkki Ratkaise separoimalla 11 y = ky eli dy ky dx => dy k dx y => dy k dx, y <=> ln y = kx + C <=> y = e kx+c = e C e kx Yleinen ratkaisu: y = ce kx Koska myös y 0 on ratkaisu, vakio c voi saada mitä tahansa arvoja.
12 Tapauksia, joissa DY voidaan muuttaa separoituvaksi muuttujanvaihdolla: 12 Tapaus 1) Sijoitus y f y x u y x => y = ux => y = u + xu missä u = du/dx => y = u + xu = f(u) => xu = f(u) u => du dx f (u) u x
13 Tapaus 2) y = f(ax + by + c) 13 Jos b=0, voidaan integroida puolittain. Jos b0, tehdään sijoitus z = ax + by + c => z = a + by = a +bf(z) dz => dx a bf (z)
14 Esimerkki Ratkaise 2xyy = y 2 x 2 14
15 Esimerkki Logistinen differentiaaliyhtälö: 15 y = ky(m-y) missä k ja M ovat vakioita. Esim. infektioiden leviämisen malli. Olkoon M populaation koko ja y(t) tartunnan saaneiden lukumäärä hetkellä t. Tulkinta: Infektoituneiden määrän kasvunopeus on suoraan verrannollinen infektoituneiden ja ei-infektoituneiden lukumäärien tuloon.
16 Ratkaisu: Yhtälö on separoituvaa muotoa 16 1 y(m dy y) k dt Integroimalla + osamurtokehitelmällä 1 y(m y) dy k dt 1/ M y 1/ M dy M y kt C 1 M ln y 1 M ln M y kt C
17 Ratkaisuksi: 17 y c cm e Mkt
18 Esimerkki (Newtonin jäähtymislaki) 18 Lämpömittari, joka näyttää ulkolämpötilan lukemaa 10 o C, tuodaan huoneeseen, jossa lämpötila on 23 o C. Kahden min. kuluttua mittari näyttää 18 o C. a) Mikä on mittarin lämpötila t min kuluttua alkuhetkestä? Newtonin jäähtymislaki: Kappaleen lämmön T muutosnopeus on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäröivän ilman lämpötilaeroon. dt / dt = m(t T A )
19 Jos kappale lämpimämpi kuin ympäristö, T T A > 0 ja kappale jäähtyy: dt/dt < 0, joten m < 0 19 Jos kappale kylmempi kuin ympäristö, T T A < 0 ja kappale lämpenee: dt/dt > 0, joten m < 0 m:n oltava < 0, joten merk. dt / dt = k(t T A ) missä k>0 a) Separoimalla muuttujat dt (T T A ) = (-k) dt ln T T A = -kt + c
20 20 Mittari lämpenee: T < T A => T T A = T A T T A T = e -kt e c = Ce -kt T = T A Ce -kt = 23 Ce -kt Yleinen ratkaisu : T = 23 Ce -kt Alkuehdot: T(0) = 10 T(2) = 18 T(0) = 23 Ce -k0 = C = 10 C = 13 T(2) = 23 13e -2k = 18 e -2k = 5/13 k = -ln(5/13) / 2 0,478
21 Mittarin lämpötila t min kuluttua 21 T = 23 13e -0,478t b) Milloin mittari on lämmennyt 22,8 o C:een? T(t) = 22, e -0,478t = 22,8 e -0,478t = 0,2/13 t = ln(0,2/13) / (-0,478) 8,73 min kuluttua
22 2.3 Eksaktit differentiaaliyhtälöt 22 Funktion u(x,y) kokonaisdifferentiaali du u x dx u y dy Jos u(x,y) = c (vakio), niin du = 0. Muotoa M(x,y) + N(x,y)y = 0 eli M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (16) oleva differentiaaliyhtälö on eksakti, jos vasen puoli on jonkin funktion u(x,y) kokonaisdifferentiaali.
23 Yhtälö on silloin 23 du u u dx dy= 0 (17) x y Implisiittinen ratkaisu u(x,y) = c (18) Yhtälö (16) on eksakti, jos on olemassa funktio u(x,y), jolle u x M(x, y), u y N(x, y) (19)
24 24 Tällöin (eräin oletuksin) y x u x N x y u y M 2 2 (20) Välttämätön ja riittävä ehto sille, että Mdx + Ndy = 0 on eksakti: x N y M (21)
25 Ratkaiseminen: u 1. Integroi funktiota M(x, y) x:n suhteen, pitäen y:tä vakiona. x => u M(x, y)dx k(y) missä k(y) on x:stä riippumaton integroimisvakio Derivoi edellistä lauseketta y:n suhteen ja ratkaise k (y) = dk/dy ehdosta u y N(x, y) 3. Integroi k (y):n lauseketta y:n suhteen => k(y) => u(x,y) Implisiittinen ratkaisu u(x,y) = c.
26 26 Muuttujien x ja y rooleja voi vaihtaa, jos laskenta helpottuu: Integroi funktiota u/dy = N(x,y) y:n suhteen pitäen x:ää vakiona. Ratkaisuna u N(x, y)dy k(x) missä k(x) on y:stä riippumaton integroimisvakio. Edellisen derivaatta x:n suhteen = M(x,y), josta k (x) ja integroimalla k(x).
27 27 Esimerkki Ratkaise cos(x+y) dx + (3y 2 + 2y + cos(x+y)) dy = 0 Merk. M(x,y) = cos(x+y) N(x,y) = 3y 2 + 2y + cos(x+y) M y sin(x y) N x DY on eksakti. u M(x, y)dx k(y) = cos( x y)dx k(y) = sin(x+y) + k(y)
28 u = sin(x+y) + k(y) 28 Ratkaistaan k(y) ehdosta u y N(x, y) u y cos(x y) k (y) N(x, y) cos(x+y) + k (y) = 3y 2 + 2y + cos(x+y) => k (y) = 3y 2 + 2y => k(y) = y 3 + y 2 + C
29 29 Valitaan C = 0 (ei tarvita yleistä ratkaisua k(y):lle, mikä tahansa kelpaa.) Implisiittinen ratkaisu on u(x,y) = c eli sin(x+y) + y 3 + y 2 = c.
30 2.4 Integroivat tekijät 30 Jos differentiaaliyhtälö ei ole eksakti, se voidaan muuntaa eksaktiksi kertomalla se sopivalla funktiolla. Esimerkki Ratkaise DY y = y/x eli y dx + x dy = 0 Kun DY kerrotaan termillä 1/x 2, saadaan y 1 dx dy 2 x x 0 Vasen puoli on funktion u(x,y) = y/x kokonaisdifferentiaali, joten du = 0 Ratkaisu: u = y/x = c eli y = cx.
31 Yleisesti: Ei-eksakti differentiaaliyhtälö 31 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (24) voidaan muuntaa eksaktiksi kertomalla se sopivalla funktiolla F(x,y), jota kutsutaan integroivaksi tekijäksi: F(x,y)P(x,y)dx + F(x,y)Q(x,y)dy = 0 (25) eli FP dx + FQ dy = 0 Eksaktisuuden ehto: (FP) y (FQ) x (26) eli F y P + FP y = F x Q + FQ x
32 32 Helpompi tapaus: integroiva tekijä riippuu vain toisesta muuttujasta, olkoon F = F(x). Silloin F y = 0, F x = F (x) = df/dx. Eksaktisuuden ehto FP y = F Q + FQ x F /F = (P y Q x )/Q 1 df F dx 1 P Q R, missä R Q y x
33 33 Lause Ratkaistavana DY P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 1 P Q a) Jos R Q y x riippuu vain muuttujasta x, niin DY:llä on vain x:stä riippuva integroiva tekijä F (x) e R(x)dx
34 34 1 Q P b) Jos S P x y riippuu vain muuttujasta y, niin DY:llä on vain y:stä riippuva integroiva tekijä G (y) e S( y)dy
35 35 Esimerkki Ratkaise DY (e x+y + ye y )dx + (xe y 1)dy = 0 P(x,y) = e x+y + ye y Q(x,y) = xe y 1 Eksaktisuus? P y e x y e y ye y Q x e y P y DY ei ole eksakti.
36 36 Onko x:stä riippuva integroiva tekijä? R 1 (e y xe 1 x y e y ye y e y ) riippuu sekä x:stä että y:stä, ei kelpaa. Onko y:stä riippuva integroiva tekijä? S e x y 1 ye y (e y e x y e y ye y ) 1 ei riipu x:stä, kelpaa.
37 37 Integroiva tekijä on G(y) e ( 1)dy e y Kertomalla yhtälö puolittain G(y):llä: M = e x + y N = x e -y (e x + y)dx + (x e -y )dy = 0 M y 1 N x on eksakti
38 u x x (e y)dx e xy k(y) 38 u y x k (y) x e y N(x, y) => k (y) = - e -y => k(y) = e -y + c (vakion voi unohtaa, se sisältyy yleiseen ratkaisuun) Yleinen ratkaisu implisiittisessä muodossa: e x + xy + e -y = C
39 2.5 Lineaariset differentiaaliyhtälöt 39 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö: + p(x)y = r(x) Yhtälö on lineaarinen y:n ja y:n suhteen, p ja r mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogeeninen: + p(x)y = 0 Muulloin epähomogeeninen. Jos yhtälö on f(x)y + g(x)y = h(x) jaa se f(x):llä ( 0 jollain välillä).
40 2.5.1 Homogeeninen yhtälö 40 + p(x)y = 0 on separoituva: => => dy y p(x)dx kun y 0 ln y y Ce p(x)dx p(x) dx c on yleinen ratkaisu kaikilla vakioilla C. (koska myös triviaaliratkaisu y(x) 0 toteuttaa DY:n).
41 2.5.2 Epähomogeeninen yhtälö 41 + p(x)y = r(x) => (py r)dx + dy = 0 Tällä DY:llä on x:stä riippuva integroiva tekijä F(x). P = py r Q = 1 1 df F dx 1 P Q = Q y x = p(x) => 1 df p(x) dx F => ln F(x) p(x) dx
42 42 Integroiva tekijä: F (x) e p(x)dx Kerro tekijällä p(x)dx F (x) e yhtälö y + p(x)y = r(x) => e pdx (y py) e pdx r Vasen puoli e pdx d (e y) e dx pdx pdx y pe y. pdx y on tulon e pdx y derivaatta, merk. => (e pdx y) e pdx r => e pdx pdx y e rdx C
43 43 Yleinen ratkaisu: y(x) h h e ( e rdx C) missä h p(x) dx
44 Differentiaaliyhtälön y + p(x)y = r(x) ratkaiseminen integroivan tekijän avulla Laske integroiva tekijä p(x)dx F (x) e (vakiota ei tarvita). 2. Kerro DY puolittain tekijällä F(x). Silloin yhtälö on muotoa d dx F(x)y F(x)r(x) 3. Integroi puolittain ja lisää integroimisvakio. Ratkaise y. Voi käyttää suoraan kaavaa (35). Integroiva tekijä tarkoittaa että se muuttaa DY:n muotoon joka voidaan laskea suoraan integroimalla. Lineaarista tapausta ei tarvitse ratkaista eksaktin DY:n tapaan koska ratkaisu saadaan helpommin.
45 Esimerkki Ratkaise y y = e 2x 45
46 Esimerkki Sekoitustankissa on 1000 l vettä, jossa on liuenneena 4 kg suolaa. Tankkiin virtaa tasaisella nopeudella 50 l/min suolaliuosta, jonka suolapitoisuus on 200 g/l. Liuos pidetään tasaisena jatkuvalla sekoittamisella. Liuosta virtaa myös tankista ulos 50 l/min. Paljonko tankissa on suolaa 10 min kuluttua? 46 Ohje: Olkoon y(t) = suolan määrä tankissa hetkellä t. Muodosta yhtälö seuraavalla periaatteella: suolamäärän muutosnopeus on y =virtausnopeus sisään virtausnopeus ulos. Sisäänvirtaus: 0,2 kg/l 50 l/min = 10 kg/min. Ulosvirtaus: (y kg/1000 l) 50 l/min = 20 y kg/min Ratkaistava differentiaaliyhtälö: y = 10 y/20 = (200 y )/20
47 y = dy/dt = (200 y )/ ) Separoimalla dy 200 y 1 20 dt josta integroimalla ln 200 y = t/20 + C ln (200 y) = t/20 C (200 > y) 200 y = e -t/20 e -C = ce -t/20 y = 200 ce -t/20
48 48 Alkuehto: y(0) = 200 c = 4 => c = 196 Suolan määrä (g) hetkellä t on y(t) = e -t/20 10 min kuluttua y(10) = e -1/2 = 81.1 kg
49 2) Lineaarisen DY:n ratkaisukaavalla 49 y(x) h h e ( e rdx C) missä h = p(x)dx y = 10 y/20 1 y y p(t) = 1/20 r(t) = 10 1 dt 20 h(t) = p (t)dt t 20 y(t) e t / 20 ( e t / 20 10dt C) = e t / 20 (200e t / 20 C) 200 Ce t / 20
50 2.5.3 Homogeenisen ja epähomogeeninen lineaarisen differentiaaliyhtälön välinen yhteys 50 Homogeeninen: y + p(x)y = 0 Epähomogeeninen: y + p(x)y = r(x) Lause Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen, epähomogeenisen DY:n yleinen ratkaisu on missä y(x) = y h (x) + y p (x) y h (x) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu (sisältäen vakion) y p (x) on epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu
51 Epähomogeeninen DY: 51 JOKO integroivan tekijän menetelmällä TAI hakemalla yksityisratkaisu seuraavilla kokeellisilla menetelmillä. 1) Yritemenetelmä eli määräämättömien kertoimien menetelmä: kokeile samankaltaista funktiota kuin oikean puolen funktio r(x) ja määrää funktion parametrit siten, että DY toteutuu. Kun DY on vakiokertoiminen eli p(x) vakio, voidaan valita esim. r(x) yrite y p (x) polynomi saman asteen polynomi cos(x), sin(x) A cos(x) + B sin(x) e kx Ae kx b) Vakion variointi: käytä yritteenä homogeenisen DY:n yleistä ratkaisua, jossa integroimisvakio korvataan funktiolla u(x).
52 52 Esimerkki Ratkaise y y = e 2x a) määräämättömien kertoimien menetelmällä b) vakion varioinnilla
53 2.5.4 Bernoullin differentiaaliyhtälö 53 Bernoullin DY: y + p(x)y = g(x)y a Yhtälö on epälineaarinen, kun a0, a1. Voidaan muuttaa lineaariseksi asettamalla Derivoimalla u(x) = [y(x)] 1-a u =(1-a)y -a y = (1-a)y -a (gy a py) = (1-a)(g py 1-a ) = (1-a)(g pu) => u + (1-a)pu = (1-a)g joka on lineaarinen u:n ja u :n suhteen.
54 Esimerkki Ratkaise 54 y + 4y = 3e 2x y 2. p(x) = 4, g(x) = 3e 2x, a = 2 u = y -1 u 4u = -3e 2x h ( 4)dx 4x Integroiva tekijä F(x) = e h = e -4x. e -4x (u 4u) = e -4x (-3e 2x )
55 Vasen puoli e -4x u 4e -4x u on tulon e -4x u derivaatta: 55 Integroimalla (ue -4x ) = -3e -2x josta ue -4x = u 3 2 e 3 ( e Ce 2x )dx 3e C 2x 2x 4x 3 2 e 2Ce 2 2x 4x C Sijoittamalla u = 1/y yleinen ratkaisu: 2 y 2x 4x 3e Ce
56 2.6 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat 56 Yhtälö F(x, y, c) = 0 esittää käyrää xy tasossa kiinteällä c:n arvolla. Vaihtelemalla c:n arvoa saadaan äärettömän monta käyrää. Vakio c on käyräparven parametri. Käyräparven kohtisuorat leikkaajat eli ortogonaalileikkajat ovat käyriä, jotka leikkaavat kaikki parven käyrät 90 :een kulmassa. Tarkoittaa että käyrien tangentit kohtisuoria!
57 57 Olkoon = f(x, y) differentiaaliyhtälö, jonka yleinen ratkaisu käyräparven yhtälö on. Huom. vakio c ei esiinny differentiaaliyhtälössä. Ensin muodostetaan DY y = f(x,y) derivoimalla käyräparven yhtälöä F(x,y,c) = 0. Tähän derivaattaan sijoitetaan c, joka ratkaistaan käyräparven yhtälöstä. Jos f(x,y) on käyrän tangentin kulmakerroin, kohtisuorilla käyrillä tangentin kulmakerroin on 1/f(x,y).
58 58 Parven kohtisuorasti leikkaavien käyrien yhtälöt saadaan ratkaisemalla DY 1 y Eri y! f (x, y) Esimerkki Etsi paraabelien y = cx 2 kohtisuorat leikkaajat. Käyrän tangentin kulmakerroin on y = 2cx. Sijoitetaan tähän käyrän yhtälöstä c = y/x 2 y = 2y/x joten kohtisuoran leikkaajan tangentin kulmakerroin on x/2y.
59 Ratkaistaan yhtälö 59 y = x 2y Ratkaisu (separoimalla): x y C x y eli 1 2C C Kohtisuorat leikkaajat ovat ellipsejä.
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotJouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013
B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
Lisätiedot2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT kevät 2000
1. harjoitukset, viikko 3 1. Mitkä seuraavista differentiaaliyhtälöistä ovat lineaarisia? a) x = t 2 b) x + t 3 x = t c) x x = x d) x - (x ) 2 = 0 e) e t x + e -t x = (1-t 2 ) ½ f) (x ) 2 = x 2 2. Määritä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
Lisätiedot3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit
Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotTAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotPeruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotDerivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot1 Johdanto. 1.1 Vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö y = ay. Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2013
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2013 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
Lisätiedot