Moodle-ympäristöön kirjaudutaan yliopiston sähköpostitunnuksilla. Kurssiavain on DiffisOulu2016
|
|
- Pirkko Hanna-Mari Toivonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Differentiaaliyhtälöiden perusteet Käsitteistö: Mikä on differentiaaliyhtälö? Tunnistaminen: Millaiset differentiaaliyhtälöt voi ratkaista? Ratkaiseminen: Miten ratkaisen differentiaaliyhtälön? Mallintaminen: Miten muodostan differentiaaliyhtälön? Ratkeavuusteoria: Milloin differentiaaliyhtälön ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen? Suoritus välikokein tai loppukokeella: Välikokeita on kaksi: 1. välikoe, 4 tehtävää, arvostelu -6p (max 24 p). 2. välikoe, 4 tehtävää, arvostelu -6p (max 24 p). Pistesumman maksimi välikokeista on 48 pistettä. Varma läpäisy vaatii vähintään 24 pistettä. Lisäpisteet: palautettavat kotitehtävät (max 6p) ja aktiivinen osallistuminen harjoituksiin (max 4p). Huom! Lisäpisteet ovat voimassa vain kevään 216 välikokeissa. Kurssimateriaali on moodle-verkkoympäristössä: Moodle-ympäristöön kirjaudutaan yliopiston sähköpostitunnuksilla. Kurssiavain on DiffisOulu216 Erinomainen kirja on: Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics. 1 Johdanto Yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Esimerkki: y (x)+y(x) = 3x, jossa x muuttuja ja y = y(x) tuntematon funktio. Differentiaaliyhtälön ratkaisu: sellainen funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön identtisesti (eli kaikilla muuttujan arvoilla). Nyt y(x) = 3x 3 on differentiaaliyhtälön eräs ratkaisu, sillä y (x) + y(x) = 3x eli 3 + (3x 3) = 3x identtisesti (kaikilla x:n arvoilla). Myös y(x) = 3x 3+ e x on ratkaisu. Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen: yhtälön identtisesti toteuttavien funktioiden määrääminen. Differentiaaliyhtälön y (x)+y(x) = 3x kaikki ratkaisut: y(x) = 3x 3+Ce x, missä C R. 1.1 Merkitys Ratkaisufunktio y(x) kuvaa systeemin tilaa. Funktion derivaatta y (x) kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta. Differentiaaliyhtälö kuvaa systeemin tilan ja muutosnopeuden välistä yhteyttä. Sovelluksia: mekaniikasta, lämpöopista, virtapiireistä, virtausmekaniikasta ja lujuusopista. 1.2 Esimerkki: Heittoliike ylöspäin Heittoliike maan vetovoimakentässä suoraan ylöspäin. Väliaineen vastusta (ilmanvastus) ei oteta huomioon. Koordinaatiston x-akselin suunta ylöspäin. Merkitsemme: t aika x(t) kappaleen paikka hetkellä t v(t) = x (t) kappaleen nopeus hetkellä t a(t) = v (t) = x (t) kappaleen kiihtyvyys hetkellä t. 1
2 DY:n muodostaminen ja ratkaisu Kappaleen kiihtyvyys (maan vetovoima) on vakio: a(t) = g (=9.81 m/s 2 ). Newtonin toinen laki ma = F sievenee liikettä kuvaavaksi differentiaaliyhtälöksi Alkutila: x() =, x () = v (alkunopeus). DY:n ratkaiseminen integroimalla: x (t) = g. (1) x (t) = g, eli x (t) = ( g)dt = gt+c 1 x(t) = ( gt+c 1 )dt = 1 2 gt2 +C 1 t+c 2. Alkutilanteen huomioiminen Yleinen ratkaisu: x(t) = 1 2 gt2 +C 1 t+c 2, x (t) = gt+c 1 Alkutila: x() =, x () = v (alkunopeus). Siis 1 2 g 2 +C 1 +C 2 =, g +C 1 = v eli C 2 = ja C 1 = v. Alkutilanteen toteuttava ratkaisu: x(t) = 1 2 gt2 +v t+ = 1 2 gt2 +v t 1.3 Väestönkasvumallit Thomas Robert Malthus ( ): Väkiluvun muutos aikayksikössä on suoraan verrannollinen väkilukuun. Merkinnät: t aika N(t) väkiluku ajanhetkellä t N() = N väkiluku alkuhetkellä N (t) väkiluvun muutosnopeus ajanhetkellä t Differentiaaliyhtälö: k > verrannollisuuskerroin DY:n ratkaisu: N(t) = N e kt. 1.4 Peruskäsitteitä N (t) = kn(t) tai toisin dn dt = kn. (2) Tavallinen differentiaaliyhtälö: Yhtälö, jossa esiintyy yksi riippumaton muuttuja sekä tämän tuntematon funktio derivaattoineen. Eräs differentiaaliyhtälö: y (x)+2cos(x)y (x)+y(x) = sinx Lyhyt muoto: y +2cos(x)y +y = sinx Differentiaaliyhtälön kertaluku: Yhtälössä esiintyvän korkeimman kertaluvun derivaatan kertaluku. Normaalimuotoinen eli eksplisiittinen differentiaaliyhtälö: Korkein derivaatta y (n) on ratkaistavissa yhtälöstä. Kertaluvun n normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö: Voidaan esittää muodossa y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ). Differentiaaliyhtälön implisiittinen esitysmuoto on Φ(x,y,y,...,y (n) ) =. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö: On muotoa n p k (x)y (k) = q(x), k= missä kertoimet p,p 1,...,p n ovat riippumattoman muuttujan x funktioita. Vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö: Lineaariyhtälön erikoistapaus. Kertoimet p,p 1,...,p n ovat vakioita. Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä funktio q(x) on ns. häiriöfunktio. Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen eli täydellinen. 2
3 1.5 Lineaarinen differentiaaliyhtälö jatkoa Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan aina saattaa normaalimuotoon jakamalla kertoimella p n (x) mikäli p n (x) kaikilla x:n arvoilla. Jos differentiaaliyhtälö ei ole lineaarinen, niin se on epälineaarinen. 1.6 Diff.yhtälöiden luokittelu Tunnista lineaarinen ja epälineaarinen differentiaaliyhtälö. p n (x)y (n) +p n 1 (x)y (n 1) +...+p 2 (x)y +p 1 (x)y +p (x)y = q(x) Kertaluku Lineaarinen Homogeeninen Epähomogeeninen Epälineaarinen 1.7 Differentiaaliyhtälön ratkaisu Differentiaaliyhtälön klassinen ratkaisu välillä I : y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ) n kertaa derivoituva funktio y = y(x) = ϕ(x), joka yhtälöön sijoitettuna toteuttaa yhtälön identtisesti eli ϕ (n) (x) = f(x,ϕ(x),ϕ (x),...,ϕ (n 1) (x)), kaikilla x I. Esimerkki: y (x) = 5 Eräs ratkaisu y(x) = 5 2 x2 +3x, sillä y (x) = 5x+3 ja y (x) = 5, eli toteuttaa d.y:n. Ratkaisun kuvaaja xy-tasossa on ratkaisukäyrä. 1.8 Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu Kertalukua n olevan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sisältää yleensä n kappaletta oleellisia parametreja. Esimerkki: y (x) = 5 Yleinen ratkaisu on y(x) = 5 2 x2 +C 1 x+c 2, missä C 1,C 2 R Perustelu: y (x) = 5x+C 1 ja y (x) = 5, eli toteuttaa d.y:n. 1.9 Ratkaisujen käyräparvi Pääsääntö: Kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on n parametrinen käyräparvi. Esimerkki: y (x) = 5 Yleinen ratkaisu: y(x) = 5 2 x2 +C 1 x+c 2 Yksityisratkaisu: Kiinnittämällä yleisen ratkaisun parametrien arvot. Esimerkki: y (x) = 5 Yleinen ratkaisu: y(x) = 5 2 x2 +C 1 x+c 2 Yksityisratkaisuja: y = 5 2 x2, y = 5 2 x2 +4x, y = 5 2 x2 +6, y = 5 2 x2 2x 15. Yleinen ratkaisu ei aina sisällä kaikkia yhtälön ratkaisuja. Tällaisessa tapauksessa yhtälöllä on erikoisratkaisuja eli singulaariratkaisuja. Differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä ole olemassa ratkaisuja! 3
4 Differentiaaliyhtälön ratkaisu ja ratkeavuus 1.1 Parametrien kiinnitys y 2 = 1 yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja y 2 +y 2 = ainoa ratkaisu on y(x)= y 2 = y yleinen ratkaisu y(x) = 1 4 (x C)2 y 2 = y erikoisratkaisu: y(x) = Yksityisratkaisu kiinnitetään asettamalla lisäehtoja. Alkuarvotehtävässä lisäehdot liittyvät samaan muuttujapisteeseen. Reuna-arvotehtävässä lisäehdot liittyvät eri pisteisiin. Eri tehtävätyyppejä Tehtävä Yleinen muoto Esimerkki 1. kl:n AAT y = f(x,y), x > x, y = y, x >, y(x ) = α y() = 1 2. kl:n AAT y = f(x,y,y ), x > x, y(x ) = α, y (x ) = α 1 y +y =, x >, y() =, y () = kl:n RAT y = f(x,y,y ), x <x<x 1, y(x ) = α, y(x 1) = β. HUOM! AAT= alkuarvoteht. ja RAT=reuna-arvoteht Käyräparven differentiaaliyhtälö y +y =, <x<π, y() =, y(π) =. Kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu: Käyräparvi, jossa on n kappaletta parametreja. Kääntäen: n-parametrinen käyräparvi on yleensä jonkin kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Pääsääntö: Käyräparven differentiaaliyhtälö voidaan määrätä derivoimalla käyräparven yhtälöä implisiittisesti n kertaa ja eliminoimalla näin saadusta n n yhtälöryhmästä käyräparven parametrit Käyräparvi f(x, y) = C Esim. 1 Määrää käyräparven x 2 +4y 2 = C differentiaaliyhtälö. ) 2 Ratk. Kyseessä ellipsiparvi: ( x C +( y )2 C = 1. 4 Implisiittinen derivointi puolittain : x 2 +4y 2 = C d dx ( y = y(x) ja C on vakio) 2x+8yy =. 4
5 Ellipsiparven implisiittinen differentiaaliyhtälö: x+4yy =. Diff.yhtälön eksplisiittinen muoto: y = x 4y Käyräparvi f(x,y,c) = Esim. 2 Muodosta käyräparven Cx 2 +y 2 C = differentiaaliyhtälö. Ratk. Implisiittinen derivointi puolittain: Cx 2 +y 2 C = d dx ( y = y(x) ja C on vakio) 2Cx+2yy = Eliminoidaan parametri C yhtälöparista { 2Cx+2yy =, Cx 2 +y 2 = C. Ylemmästä saadaan yy x x2 +y 2 = yy x C = yy x x. Tulokseksi saadaan differentiaaliyhtälö 1.14 Parametrin eliminointi: tapa 2 Käyräparvi: Cx 2 +y 2 C = 1. Ratkaistaan parametri C yhtälöstä: Cx 2 +y 2 C = eli C = y2 1 x 2 2. Derivoidaan implisiittisesti. C häviää Sijoitetaan alempaan: y (1 x 2 )+yx =. y 2 1 x 2 = C d dx eli 2yy (1 x 2 )+2xy 2 (1 x 2 ) 2 = 2yy (1 x 2 )+2xy 2 = 3. Sievennetään: y (1 x 2 )+yx = Useita parametreja Mikäli käyräparvessa on useampia parametreja, on implisiittiderivointeja suoritettava yhtä monta kertaa kuin käyräparvessa on parametreja. 2 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Ensimmäisen kertaluvun yhtälö: Φ(x,y,y ) =. Rajoitus: eksplisiittinen ensimmäisen kertaluvun yhtälö y = f(x,y), jossa f on jatkuva kahden muuttujan funktio. y +(e x 2x)y sin(5x) = Φ(x,y,y ) = y +(e x 2x)y sin(5x) Φ(x,y,y ) = 5
6 2.1 Vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö Esim Ratkaise differentiaaliyhtälö y (x)+ 1 2 y(x) = Ratk. Erikoisratkaisu y(x) = kaikilla x. Oletus: y. y = 1 2 y : y y y = 1 2 Integroidaan puolittain y (x) y(x) dx = 1 2dx eli ln y = 1 2 x+c y = e 1 2 x+c eli y = e C e 1 2 x y(x) = Nyt e C > kun C R. Merkitään C 1 = e C. Erikoisratkaisu y = saadaan, kun valitaan C 1 =. { e C e 1 2 x, kun y(x) >, e C e 1 2 x, kun y(x) < y(x) = C 1 e 1 2 x C 1. Yleinen ratkaisu: y(x) = C 1 e 1 2 x, C 1 R. Differentiaaliyhtälön y (x)+ 1 2y(x) = yleinen ratkaisu y(x) = C 1 e 1 2 x, C 1 R. Yksiparametrinen käyräparvi. Eräitä ratkaisukäyriä: Tarkistus: y(x) = C 1 e 1 2 x y (x) = 1 2 C 1e 1 2 x, joten y (x)+ 1 2 y(x) = 1 2 C 1e 1 2 x C 1e 1 2 x eli y (x)+ 1 2y(x) = kaikilla x. 2.2 Esimerkin oppi Differentiaaliyhtälöiden käsittelytekniikoita: yhtälön kertominen puolittain nollasta eroavalla funktiolla yhtälön integroiminen puolittain funktion ottaminen puolittain yhtälöstä funktion ja käänteisfunktion ominaisuuksien käyttäminen 6
7 tunnettujen funktioiden laskusääntöjen käyttäminen itseisarvojen poistaminen vakion merkin valinnalla yhtälön ratkaisujoukkona on käyräparvi kl:n vakiokertoiminen yhtälö yleisesti p 1 y +p y =, p, p 1, p 1 reaalisia vakioita. y + p p 1 y = Merkitään p p 1 = a. Erikoisratkaisu: y(x) = kaikilla x R. Oletus: y(x) Integroidaan puolittain: y (x) y(x) = y +ay =. y +ay = y = ay y (x) y(x) = a. Logaritmifunktion derivaatta on d dx ln y(x) = y (x) y(x) Nyt adx ln y(x) = ax+c, jossa C R. e ln y(x) = y(x) = e ax+c, Eksponenttifunktion laskukaavat: y(x) = e C e ax, jossa e C >, kun vakio C R. Merkitään C 1 = e C. y(x) = e C e ax y(x) = { e C e ax, kun y(x) >, e C e ax, kun y(x) < Ratkaisu: y(x) = C 1 e ax, missä C 1. Erikoisratkaisu y = saadaan, kun valitaan C 1 =. Yhtälön y +ay = yleinen ratkaisu on yksiparametrinen käyräparvi y(x) = C 1 e ax, C 1 R. 2.4 Integroimalla ratkeava yhtälö y = f(x) Yleinen ratkaisu integroimalla yhtälö puolittain: x y(x) = f(x)dx = f(t)dt+c 1, jossa C 1 on mielivaltainen reaalinen vakio. Alkuarvotehtävän { y = f(x), y(x ) = y, x x y (t)dt = x x f(t)dt eli / x y(x) y = ratkaisulle: y(t) = x x x f(t)dt x x f(t)dt eli y(x) = y + x x f(t)dt Integraalifunktiota ei aina voida kirjoittaa käytettävissä olevien alkeisfunktioiden avulla. Tällöin ratkaisun integraaliesitys määrittelee uuden funktion. Erikoisfunktioita käsittelevä kirjallisuus: Esim. Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables. Erikoisfunktioiden pisteittäisiä arvoja voidaan laskea numeerisesti integroimalla integraaliesityksistä tai sarjakehitelmien avulla. 7
8 2.5 Esimerkkejä erikoisfunktioista x erf(x) = 2 π e t2 dt Γ(x) = t x 1 e t dt e Ei(x) = t dt t x x sint Si(x) = dt t Ci(x) = J n(x) = k= F(k,x) = x cost dt t x ( 1) k k!(n+k)! (x 2 )n+2k dt 1 k 2 sin 2 (t) Virhefunktio Gammafunktio Eksponentti-integraali Sini-integraali Kosini-integraali Ensimmäisen lajin Besselin funktio 1. lajin elliptinen integraali, < k < 1 E(k,x) = x 1 k2 sin 2 (t)dt 2. lajin elliptinen integraali, < k < Yhtälö muotoa y = f(y) Palautuu integrointitehtävään. f on jokin tunnettu jatkuva funktio. Tarkastelu kahteen osaan: f(y) = ja f(y). 1. Jos y = y toteuttaa yhtälön f(y ) =, niin vakiofunktio y = y on yhtälön ratkaisu (ns. erikoisratkaisu). 2. f(y) : y y (x) = f(y(x)) eli (x) f(y(x)) = 1. Integroidaan puolittain: y (x) f(y(x)) dx = 1dx = x+c. Muuttujanvaihto: z = y(x). Silloin dz = y (x)dx ja dz = x+c eli f(z) dy f(y) = x+c. Yleisen ratkaisun määrääminen on palautunut integrointitehtäväksi. Esim. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = y Separoituva yhtälö Separoituva yhtälö: y = f(x)g(y). Tarkastelu kahteen osaan: g(y) = ja g(y). 1. Jos y = y toteuttaa yhtälön g(y ) =, niin vakiofunktio y = y on yhtälön ratkaisu (ns. erikoisratkaisu). 2. Tapaus g(y) : Integroidaan puolittain: y (x) = g(y(x))f(x) y (x) g(y(x)) = f(x). y (x) g(y(x)) dx = f(x)dx Tehdään muuttujanvaihto z = y(x), dz = y (x)dx. Silloin y (x) g(y(x)) dx = dz g(z) = dy g(y). 8
9 Yhtälö y (x) g(y(x)) dx = f(x)dx muuntuu muotoon: dy x g(y) = f(x)dx = f(t)dt+c Yleisen ratkaisun määrääminen on palautunut integrointitehtäväksi. 2.8 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö y = y 1 x. Ratk. y = 1 x (y 1) Yhtälö on separoituva, jossa f(x) = 1 x, g(y) = (y 1). Funktion g nollakohdat eli tapaus y 1 =. Erikoisratkaisu on vakiofunktio y = 1. Tapaus y 1: dy dx = y 1 x. Siis dy y 1 1 dx = 1 x dy y 1 = dx x eli dy y 1 = dx x Saatiin: ln y 1 = ln x +C 1. Otetaan eksponenttifunktio puolittain ln y 1 = ln x +C 1. e ln y 1 = e ln x +C1 = e C1 e ln x y 1 = e C1 x y 1 = Cx, C, ( C = e C1 ) Ratkaisu on käyräparvi y = C 2 x+1, C 2. Yleinen ratkaisu y = Cx + 1, C R, sisältää myös erikoisratkaisun. 2.9 Separoituvan yhtälön ratkaisuohje 1. Tunnista muoto y = f(x)g(y). 2. Tutki ensin tapaus g(y) =, joka antaa erikoisratkaisut y = y. 3. Ratkaise tapaus g(y) : dy dy = f(x)g(y) dx g(y) = f(x)dx dy g(y) = f(x)dx. Kirjoita derivaatan differentiaalien osamääräksi. Saata yhtälön muotoon, jossa y-riippuvat ja x-riippuvat termit ovat omalla puolellaan (differentiaalit osoittajassa). Integroi yhtälön oikean ja vasemman puolen. Lopuksi ratkaise muuttujan y suhteen. 2.1 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö y = x y 1. Yhtälö on separoituva: ( f(x) = x, g(y) = 1 y 1 ). Funktiolla g ei ole nollakohtia. Ei erikoisratkaisuja. Separointi: dy dx = x y 1 (y 1)dy = xdx. Integrointi: (y 1)dy = xdx 1 2 (y 1)2 = 1 2 x2 +C. Ratkaistaan y:n suhteen: (y 1) 2 = x 2 +2C y = 1± x 2 +2C. Merkitään D = 2C. Yleinen ratkaisu: y = 1± x 2 +D, D R. 9
10 Ratkaisut ovat hyperbelejä, joiden keskipiste on (x,y) = (,1): (y 1) 2 = x 2 +2C x 2 (y 1) 2 = D, D = 2C. Parametrin D etumerkistä riippuu se, onko kyseessä tavallinen hyperbeli vai liittohyperbeli. Arvo D = antaa parven kaikkien hyperbelien asymptoottisuorat y = 1 ± x Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö y = 2(y 1) 1 2. Yhtälö on separoituva, f(x) = 2, g(y) = (y 1) 1 2. Funktion g nollakohdat: Erikoisratkaisu y = 1. Tapaus y 1: dy dx = 2(y 1)1 2 (y 1) 1 2 dy = 2dx. Integroimalla: (y 1) 1 2 dy = 2dx,eli 2(y 1) 1 2 = 2x+2C, Ratkaistaan y:n suhteen (y 1) 1 2 = x+c y 1 = (x+c) 2 Yleinen ratkaisu: y = 1+(x+C) 2, C R. Huom. Yleinen ratkaisu y = 1+(x+C) 2, C R, ei sisällä erikoisratkaisua y = 1. Paloittain määritellyt funktiot (a R) y(x) = ovat differentiaaliyhtälön y = 2(y 1) 1 2 ratkaisuja. { 1, kun x a, 1+(x a) 2, kun x > a, 3 1 kl:n täydellinen differentiaaliyhtälö 3.1 Vakiokertoiminen täydellinen lineaariyhtälö y +ay = f(x), x (x,x 1 ). Käytämme kaavaa d dx (yeax ) = y e ax +ye ax a = (y +ay)e ax. Kerromme yhtälön puolittain nollasta eroavalla funktiolla e ax : Integroidaan puolittain: Eli: y e ax +ye ax a = e ax f(x) d dx (yeax )dx = d dx (yeax ) = e ax f(x). e ax f(x)dx. x ye ax = e at f(t)dt+c 1 Ratkaistaan y: 1
11 ye ax = x e at f(t)dt+c 1 eli y = e ax ( x e at f(t)dt+c 1 ) = e ax x e at f(t)dt+c 1 e ax. Termi e ax on yhtälön y +ay = f(x) integroiva tekijä. 3.2 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö 1 3 y +y = 4. Ratk. Normaalimuotoinen yhtälö: Kerrotaan puolittain e 3x :llä: eli Integroidaan puolittain: Eli: y +3y = 12 y e 3x +3ye 3x = 12e 3x d dx (ye3x ) = 12e 3x d dx (ye3x )dx = ye 3x = 4 e 3x 12dx. 3e 3x dx = 4e 3x +C 1 Siis y = e 3x (4e 3x +C 1 ) = 4+C 1 e 3x, C 1 R 3.3 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö 1 2 y +xy = 5x. Ratk. Normaalimuotoinen yhtälö: Kerrotaan puolittain e x2 :llä: eli Integroidaan puolittain: Eli: y +2xy = 1x y e x2 +ye x2 2x = 1xe x2 d dx (yex2 ) = 1xe x2 d )dx = dx (yex2 ye x2 = 5 e x2 1xdx. e x2 2xdx = 5e x2 +C 1 Siis y = e x2 (5e x2 +C 1 ) = 5+C 1 e x2, C 1 R. 3.4 Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö Normaalimuoto: y +a(x)y = f(x), x (x,x 1 ). Funktiot a = a(x) ja f = f(x) ovat jatkuvia välillä [x,x 1 ]. Integroiva tekijä on nollasta eroava funktio p = p(x) siten, että p(x) > kaikilla x (x,x 1 ) (3) d dx (yp(x)) = (y +a(x)y)p(x). 11
12 3.5 Integroivan tekijän käyttö Oletus: On olemassa sellainen integroiva tekijä p(x), jolle d dx (yp(x)) = (y +a(x)y)p(x). y ( +a(x)y = f(x) y +a(x)y ) p(x) = p(x)f(x) d dx (yp(x)) = p(x)f(x) yp(x) = p(x)f(x)dx ( 1 xp(t)f(t)dt+c1 ) y = p(x). Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö ratkeaa, jos löytyy ehdot toteuttava funktio p. p(x) > kaikilla x ja d dx (yp(x)) = (y +a(x)y)p(x). (4) 3.6 Integroiva tekijä p = p(x) Ehto: ( y +a(x)y ) p(x) = d dx (yp(x)) y p(x)+a(x)yp(x) = y p(x)+yp (x), Siis Jaetaan puolittain p(x):llä: p (x) = a(x)p(x) kaikilla x. p (x) p(x) = a(x) Integroidaan puolittain (p(x) > ): x lnp(x) = a(x)dx = a(t)dt+c. Jokainen integraalifunktio x a(t)dt+c kelpaa. Valinta C = antaa lnp(x) = x a(x)dx = a(t)dt. Integroiva tekijä: p(x) = exp( x a(t)dt). 3.7 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö xy +5y = 7x 3, kun x > Ratk. Normaalimuoto: y + 5 x y = 7x2 Integroiva tekijä: Kerrotaan normaalimuoto integroivalla tekijällä x 5. e x 5 t dt = e 5 x dx = e 5 1 x dx = e 5ln(x) = (e ln(x) ) 5 = x 5 y + 5 x y = 7x2 y x 5 +y 5 x x5 = 7x 2 x 5 y x 5 +y5x 4 = 7x 7 12
13 eli Integroidaan puolittain:; d dx (yx5 ) = 7x 7 d dx (yx5 )dx = 7x 7 dx. yx 5 = 7 8 x8 +C 1 y = 7 8 x3 +C 1 x 5, C 1 R 3.8 Ratkaisuohje 1. kl:n lineaariyhtälölle Kirjoitetaan lineaariyhtälö p 1 (x)y +p (x)y = q(x) normaalimuotoon y +a(x)y = f(x) x (x,x 1 ). Lasketaan integroiva tekijä p(x) = e x a(t)dt = exp ( xa(t)dt ). Yleinen ratkaisu saadaan seuraavien yhtäpitävyyksien nojalla y +a(x)y = f(x) p(x)(y +a(x)y) = p(x)f(x) (p(x)y) = p(x)f(x) d dx integroimalla yhtälö puolittain ja jakamalla integroivalla tekijällä y(x) = 1 ( x ) p(t)f(t)dt+c 1 p(x) Älä opettele kaavaa ulkoa vaan opiskele menetelmä ja toista päättely aina. 3.9 Liouksen konsentraatio Säiliössä on 1 l vettä, johon on liuennut 4 kg suolaa. Tietyllä hetkellä hanat aukaistaan ja säiliöstä virtaa ulos 1 l/min suolavesiliuosta. Samanaikaisesti säiliöön virtaa 5 l/ min suolavesiliuosta, jonka suolapitoisuus on.1 kg/l. Sekoitin pitää liuoksen homogeenisena. Johda alkuarvotehtävä hetkelliselle suolamäärälle ja ratkaise se. Oletamme, että suolan liukenemisesta aiheutuva tilavuuden muutos voidaan jättää huomiotta. Millä hetkellä säiliössä on eniten suolaa? Vastaus: x(t) = 3 2 t t+4, t = 3 min 2 sek. Merkinnät: t (min) Aika t (min) Aikavälin pituus x = x(t) (kg) Suolan määrä t x = x(t + t) x(t) (kg) Suolamäärän muutos Liouksen määrä hetkellä t V(t) = V +(5 1)t = 1 5t [l] Konsentraatio (= väkevyys) hetkellä t Suolamäärän muutos x aikavälillä [t, t + t]. x(t) V(t) = x(t) 1 5t (kg/l) x(t+ t) = x(t)+5.1 t 1 x(t 1 ) 1 5t 1 t, t 1 [t,t+ t]. 13
14 Siis eli Apupiste t = t 1 on sopiva ajanhetki keskimääräiselle pitoisuudelle. Suolamäärän muutosnopeus aikavälillä [t, t + t] on x t =.5 1x(t 1). 1 5t 1 Raja-arvo, kun t, jolloin t 1 t sekä x t dx dt = x (t). Rajalla saamme differentiaaliyhtälön dx dt =.5 1x(t) 1 5t = 1 2 2x(t) 2 t. x (t) = 1 2 2x(t) 2 t x 2 (t)+x(t) 2 t = 1 2 Tarkastelun alussa suolaa liuenneena 4 kg, eli x() = 4. Ratkaistavana alkuarvotehtävä: { x (t)+x(t) 2 2 t = 1 2 x() = 4 x (t)+x(t) 2 2 t = kertaluvun lineaarinen dy normaalimuodossa: Integroiva tekijä: Kerrotaan yhtälö puolittain integroivalla tekijällä: e 2 2 t dt = e ( 2) 1 2 t ( 1)dt = e ( 2)ln(2 t) = (e ln(2 t) ) 2 = (2 t) 2 x (t)(2 t) 2 2 +x(t) 2 t (2 t) 2 = 1 2 (2 t) 2 x (t)(2 t) 2 +x(t)2(2 t) 3 = 1 2 (2 t) 2 Integroidaan puolittain: d dt (x(t)(2 t) 2 ) = 1 2 (2 t) 2 x(t)(2 t) 2 = Kerrotaan puolittain lausekkeella (2 t) 2 : 1 2 (2 t) 2 dt = 1 2 (2 t) 1 +C Alkuehdon avulla määrätään C: x() = 4 eli 1 2 (2 )+C(2 )2 = 4 4C = 4 1, eli C = 3 2 x(t) = 1 2 (2 t)+c(2 t)2 14
15 Alkuehdon toteuttava ratkaisu: Suolan määrä ajanhetkenä 4t (min): x(t) = 3 2 t t+4 x(t) = 1 2 (2 t) 3 2 (2 t)2 x(t) = 3 2 t2 + 1 t+4 kunt. 1 Kuvaaja alaspäin aukeava paraabeli. Maksimiarvo huipun kohdalla, eli kun x (t) =, eli t+ 1 1 = Silloin t = 2 6 = 31 3 (min) Suolaa eniten, kun t = 3min2s. 4 Sijoituksen käyttö differentiaaliyhtälön ratkaisussa Sijoituksen avulla voidaan usein muuntaa differentiaaliyhtälö helposti ratkaistavaan muotoon. Idea: Lausutaan tuntematon funktio y(x) toisen funktion z(x) avulla Lausutaan y (x) funktioiden z(x), z (x) avulla ja sijoitetaan alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön Saatu differentiaaliyhtälö ratkaistaan funktion z(x) suhteen. Saadaan tuntematon funktio y(x). 4.1 Bernoullin (differentiaali)yhtälö dy dx +A(x)y = B(x)yk, (k R,k,k 1) (5) Bernoullin yhtälö ratkeaa sijoituksella z(x) = (y(x)) 1 k. Ratkaistaan sijoitus y:n suhteen: z = y 1 k eli y = z 1 1 k Ratkaistaan y : y = dy dx = 1 (1 k) z k (1 k) dz dx = 1 (1 k) z k (1 k) z. Sijoitetaan y = z 1 1 k ja y = 1 (1 k) z k (1 k) z yhtälöön y +A(x)y = B(x)y k Sijoitus Bernoullin yhtälöön ja sievennys 1 (1 k) z k (1 k) z +A(x)z 1 1 k = B(x)(z 1 1 k ) k dz +(1 k)a(x)z = (1 k)b(x). dx Sijoitus johti lineaariseen yhtälöön, joka osataan ratkaista. Bernoullin yhtälön ratkaisu sijotuksella y = z 1 1 k. Jos k >, niin erikoisratkaisu on y =. 15
16 4.2 Esimerkki Ratkaise differentiaaliyhtälö y 1 4 xy = 1 4 xy5. Ratkaisu: Kyseessä on Bernoullin yhtälö, jossa k = 5. Erikoisratkaisu on y =. Sijoitus z = y 4, y = z 1 4, y = 1 4 z 5 4 z. Lineaariyhtälö z:n ja x:n välillä Lineaariyhtälön z +xz = x ratk. Integroiva tekijä: p(x) = exp( x xdx) = exp( 1 2 x2 ). Integroivan tekijän menetelmän mukaisesti y 1 4 xy = 1 4 xy5 1 4 z 5 4z 1 4 xz 1 4 = 1 4 xz 5 4 z +xz = x. (z +xz)e 1 2 x2 = d dx (ze1 2 x2 ) = xe 1 2 x2. Puolittain integroimalla yhtälö ze 1 2 x2 = xe 1 2 x2 dx = e 1 2 x2 +C. Ratkaistaan z ja palataan alkuperäiseen muuttujaan: z = 1+Ce 1 2 x2 = 1 y4. Implisiittinen ratkaisu on y 4( 1+Cexp( 1 2 x2 ) ) = 1. Erikoisratkaisu on y(x) =. 4.3 Muoto y = f(ax+by +c) Olkoot a, b, c reaalisia vakioita ja ab. Tarkastelemme yhtälöä Tehdään sijoitus Ratkaistaan y:n suhteen ja lasketaan derivaatta y. Tulos on y = 1 (z ax c), b y Sijoitetaan lausekkeet (7) ja (8) yhtälöön (6). Saadaan y = dy = f(ax+by +c). (6) dx z = z(x) = ax+by(x)+c. (7) dz dx = bf(z)+a. = dy dx = 1 b (dz a). (8) dx Yhtälö on separoituva. Ratkaistaan z. Ratkaisu y saadaan yhtälön (8) avulla. Erikoisratkaisut saadaan yhtälöstä bf(z)+a =. 16
17 4.4 Lineaarinen muunnos. Ratkaise yhtälö dy dx = (x y +2)2 +1. Ratkaisu: Sijoitetaan z = x y +2, jolloin y = x z +2 ja y = 1 z. Yhtälö muuntuu separoituvaksi dy dx = (x y +2) z = z 2 +1 dz dx = z2. Separoidaan ja integroidaan (z = on erikoisratkaisu) dz dz z 2 = dx z 2 = dx 1 z = x+c Yleinen ratkaisu on z = 1 x+c = x y +2. Yleinen ratkaisu on y = x+2 1 x+c. Erikoisratkaisu on z = = x y +2 eli y = x Tasa-asteinen yhtälö y = dy dx = h(y x ), x (9) Sijoitetaan z(x) = y(x) x, josta saadaan y = zx ja y = z x+z. Sijoittamalla yhtälöön (9), saadaan separoituva yhtälö dz dx = h(z) z dz x tai h(z) z = dx x, joka integroidaan puolittain dz dx h(z) z = x = ln Cx. Ratkaistaan z. Alkuperäinen yhtälö ratkeaa yhtälöllä y(x) = xz(x). Nimittäjän h(z) z nollakohdat z = z ovat erikoisratkaisuja. Vastaavat ratkaisukäyrät ovat y = z x. 4.6 Esimerkki Ratkaise tasa-asteinen yhtälö 2xy +(x 2 +y 2 )y =. Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon y = 2xy x 2 +y = 2( y 2 x ) Sijoitus z = y x johtaa separoituvaan yhtälöön josta ratkaistaan z 3 +3z = C x 3. Yleinen ratkaisu on y 3 +3x 2 y = C, C R. 4.7 Koordinaatiston vaihtaminen 1+( y x )2. dz dx = 1 (z 3 +3z), x 1+z 2 Olkoon f = f(x, y). Yleisen koordinaatistomuunnoksen { x = x(u,v), y = y(u,v), avulla voimme kirjoittaa z = f(x,y) = f(x(u,v),y(u,v)). Differentiaaliyhtälön y = f(x,y) muuntuminen saadaan kokonaisdifferentiaalin avulla y = dy y dx = x u + y dv v du u + x dv v du = f(x(u,v),y(u,v)). 17
18 Differentiaaliyhtälö u ja v kordinaatistossa on y u + y dv v du x u + x dv v du = f(x(u,v),y(u,v)). Tämän voi saattaa muotoon v = dv du = y u + x u f(x(u,v),y(u,v)). y v x v f(x(u,v),y(u,v)) Esim. napakoordinaatistomuunnos: { x = rcosϕ, y = rsinϕ. 4.8 Affiini muunnos. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = x y 1 x+4y 1 affiinilla muunnoksella. Ratkaisu: Suorien leikkauspiste on x = 1,y =, joten kannattaa valita sijoitus { { u = x 1, du = dx v = y, dv = dy. Saadaan tasa-asteinen yhtälö dv du = u v u+4v, joka ratkaistaan ja sitten palataan alkuperäisiin muuttujiin. Implisiittinen ratkaisu on ln(4y 2 +(x 1) 2 )+arctan( 2y x 1 ) = C. Affiinia muunnosta voidaan aina käyttää muotoa y ax+by +c = f( Ax+By +C ) olevan yhtälön ratkaisemisessa. Valitaan muunnokseksi se, joka siirtää origon suorien ax + by + c = ja Ax + By + C = leikkauspisteeseen. Kyseinen muunnos johtaa tasa-asteiseen differentiaaliyhtälöön. 5 Kohtisuorat leikkaajat 5.1 Kohtisuorat leikkaajat Tunnetun käyräparven kohtisuorien leikkajien määrääminen on tehtävä, jolla on useita tärkeitä fysikaalisia sovelluksia. Sähkökentän kenttäviivat tai voimaviivat ja sähköisen potentiaalin tasa-arvokäyrät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ideaalisen nestevirtauksen (kitkaton, kokoonpuristumaton ja pyörteetön virtaus) virtaviivat ja nestepotentiaalin tasa-arvokäyrät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Käyrät, joita pitkin lämpö virtaa, ovat kohtisuorassa isotermejä vastaan. Jyrkimmän nousun tai laskun reitti on kohtisuorassa korkeuskäyriä vastaan. 5.2 Ongelman muotoilu Tunnetaan parametrista C riippuva käyräparvi F(x, y, C) =. Halutaan määrätä kohtisuorien leikkaajien käyräparvi. Muodostetaan käyräparven F(x, y, C) = differentiaaliyhtälö eliminoimalla implisiittiderivoinnilla saadusta yhtälöparista { F(x,y,C) =, F F x (x,y,c)+ y (x,y,c)y =, parametri C. Tuloksena saadaan käyräparven differentiaaliyhtälö, joka on muotoa y = G(x,y). Kohtisuorien leikkaajien differentiaaliyhtälö on y = 1 G(x,y), joka ratkaistaan ja saadaan kohtisuorien leikkaajien käyräparvi. 18
19 5.3 Esimerkki Määrää hyperbeliparven xy = C kohtisuorat leikkaajat. Ratkaisu: Määrätään implisiittiderivoinnilla käyräparven xy = C differentiaaliyhtälö y +xy =. Lasketaan differentiaaliyhtälön eksplisiittinen muoto y = y x. Muodostetaan kohtisuorien leikkaajien differentiaaliyhtälö y = x y. Separoituvan yhtälön ratkaisu on hyperbeliparvi x 2 y 2 = C. 6 Ratkeavuusteoriaa Esimerkki yhtälöstä, johon keinomme eivät tehoa on Riccatin I differentiaaliyhtälö y (x) = (y(x)) 2 +x 2. (1) Mitä voidaan sanoa yhtälön (1) ratkeavuudesta ja ratkaisujen lukumäärästä? Jos yhtälöllä on ratkaisu, niin miten se löydetään? 6.1 Alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän ratkeavuus. { y = f(x,y(x)), x ]x δ,x +δ[, y(x ) = y, Lokaali olemassaolo ja yksikäsitteisyystulos Lause 1 Olkoon D = {(x,y) x x < a, y y < b} R 2 suorakulmio. Olkoon funktio f(x,y) : D R jatkuva molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Oletamme, että osittaisderivaatta f y (x,y) : D R on olemassa ja jatkuva molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Tällöin on olemassa luku δ > siten, { että alkuarvotehtävällä y = f(x,y(x)), y(x ) = y, (x,y ) D, on yksikäsitteinen ratkaisu välillä ]x δ,x +δ[. Tulos on puhdas olemassaolotulos ja sen todistus sivuutetaan. Tulos ei tässä muodossa sano mitään siitä, kuinka pitkä on väli, jolla ratkaisua voidaan hakea. Mitä tapahtuu, jos lauseen oletukset eivät ole voimassa? 19
20 6.2 Esimerkki Tutki alkuarvotehtävän y = 2y 2 x, y() = a ratkeavuutta eri arvoilla a R. Ratkaisu: Funktio f(x,y) = 2y 2 x ja sen osittaisderivaatta f y (x,y) = 4xy ovat määriteltyjä ja jatkuvia koko tasossa. Suorakulmio D on koko taso. Lauseen oletukset ovat voimassa kaikilla alkuarvopisteillä(x,y ) = (,a),a R. Tällöin kaikilla parametrin a arvoilla alkuarvotehtävällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä ] δ,δ[, jossa δ >. Osaamme ratkaista yhtälön separoimalla, joten voimme tutkia tilannetta analyyttisen ratkaisun avulla. Tehtävällä on erikoisratkaisu y = sekä yleinen ratkaisu y = 1 x 2 +C,C R. Alkuehdon y() = toteuttaa erikoisratkaisu y =, jolloin väli ] δ, δ[= R. Tapauksessa a > alkuehdon y() = a toteuttaa funktio y = 1. Väli ] δ,δ[= R. x a 1 Tapauksessa a < alkuehdon y() = a toteuttaa funktio y =. Tällöin ratkaisun määrittelyväli x 2 1 a ] δ,δ[ = ] 1,+ 1 [ on lyhyt itseisarvoltaan suurilla a:n arvoilla. a a x 1 y Esimerkki, kun osittaisderivaatta f y ei ole jatkuva. Tutki alkuarvotehtävän (y ) 3 = y 2, y() = ratkaisujen lukumäärää. Ratkaisu: Tässä differentiaaliyhtälö on muotoa y = f(x,y), jossa funktio f(x,y) = 3 y 2 = y 2 3. Funktio f on määritelty ja jatkuva koko tasossa. Sen osittaisderivaatta muuttujan y suhteen on { f + y (x,y) = 2 3 3, y >, y , y 1 y <. Osittaisderivaatta f y ei ole määritelty x-akselilla, jolloin y =. Tutkitaan alkuarvotehtävän ratkaisuja ja ratkaisujen lukumäärää tarkastelemalla separoimalla määrättyä analyyttistä ratkaisua. Yleinen ratkaisu on y = 1 27 (x+c)3, jossa C R. Erikoisratkaisu on y =. Erikoisratkaisu y = toteuttaa alkuehdon y() =. Yleisestä ratkaisusta saatu funktio y = 1 27 x3 toteuttaa alkuehdon y() =. Lisää ratkaisuja saadaan valitsemalla luku a > ja määrittelemällä funktio paloittain seuraavasti {, x a, y a (x) = 1 27 (x a)3, x > a. Funktio y a on alkuarvotehtävän ratkaisu. Se on derivoituva funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdon. Alkuarvotehtävällä on äärettömän monta ratkaisua. 2
21 1, 7,5 y 5, 2,5, 2 x Globaali olemassaolo ja yksikäsitteisyystulos Lause 2 Olkoon D = {(x,y) x x a, y R} R 2. Olkoon funktio f : D R sekä osittaisderivaatta f y : D R olemassa ja jatkuvia molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Lisäksi oletamme, että f y (x,y) on rajoitettu joukossa D. Tällöin alkuarvotehtävällä { y = f(x,y(x)), y(x ) = y, (x,y ) D, on yksikäsitteinen ratkaisu, joka on määritelty välillä [x a,x +a]. 6.5 Differentiaaliyhtälön ja integraaliyhtälön yhteys Olkoon D = {(x,y) x x < a, y y < b} R 2 suorakulmio ja olkoon funktio f : D R ja osittaisderivaatta f y : D R jatkuvia molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Alkuarvotehtävä { y = f(x,y(x)),x [x δ,x +δ], (11) y(x ) = y,(x,y ) D, on yhtäpitävä integraaliyhtälön x y(x) = y + x f(t,y(t))dt, x [x δ,x +δ], (12) kanssa. Tuloksen perustelemiseksi on osoitettava, että alkuarvotehtävällä (11) ja integraaliyhtälöllä (12) on samat ratkaisut. Suunta 1 Alkuarvotehtävän ratkaisu toteuttaa integraaliyhtälön: Jos funktio y = y(x) on alkuarvotehtävän { y = f(x,y(x)), x [x δ,x +δ], y(x ) = y,(x,y ) D, ratkaisu, niin saamme integroimalla puolittain differentiaaliyhtälöä x y (t)dt = x f(t,y(t))dt, x [x δ,x +δ], x x josta seuraa (käyttämällä alkuarvoa y(x ) = y ) integraaliyhtälö x y(x) = y + f(t,y(t))dt. x Ts. alkuarvotehtävän ratkaisu toteuttaa integraaliyhtälön. 21
22 Suunta 2 Integraaliyhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävän ratkaisu: Jos funktio y = y(x) on integraaliyhtälön y(x) = y + x x f(t,y(t))dt, x [x δ,x +δ], ratkaisu, niin y(x ) = y. Derivoimalla puolittain x:n suhteen saadaan differentiaaliyhtälö y (x) = f(x,y(x)). Ts. integraaliyhtälön ratkaisu toteuttaa { alkuarvotehtävän y = f(x,y(x)), x [x δ,x +δ], y(x ) = y, (x,y ) D. 6.6 Picard-Lindelöf-menetelmä Picard-Lindelöf-menetelmä on likimääräismenetelmä, jossa muodostetaan jono peräkkäisiä approksimaatioita alkuarvotehtävän ratkaisulle käyttämällä hyväksi integraaliyhtälöä x y(x) = y + x f(t,y(t))dt, x [x δ,x +δ]. Likiratkaisujono ϕ n (x), n =,1,2,... muodostetaan kiinnittämällä jatkuva funktio ϕ (x). Seuraavat approksimaatiot saadaan ϕ n (x) kaavasta x ϕ n (x) = y + x f(t,ϕ n 1 (t))dt, n = 1,2,... (13) Seuraavat esimerkit havainnollistavat menetelmän käyttöä. Ratkaise Picard-Lindelöf-menetelmällä alkuarvotehtävä y = 2xy,y() = 1. Laske approksimaatiot ϕ 1 (x),ϕ 2 (x),ϕ 3 (x),ϕ 4 (x) aloittaen arvauksesta ϕ (x) =. Vertaa tuloksia tarkan ratkaisun sarjakehitelmään. Ratkaisu: Määrätään vastaava integraaliyhtälö. Puolittain integroimalla saadaan x 2ty(t)dt = x y (t)dt = y(x) y() = y(x) 1, joten alkuarvotehtävää vastaava integraaliyhtälö ja Picard-Lindelöf-menetelmä ovat y(x) = 1+ x 2ty(t)dt, ϕ n (x) = 1+ x 2tϕ n 1 (t)dt, n = 1,2,... Oli annettu ϕ (x) =, jolloin saadaan iteraatiojono x x ϕ 1 (x) = 1+ 2tϕ (t)dt = 1+ 2tdt = 1, ϕ 2 (x) = 1+ x 2tϕ 1 (t)dt = 1+ x 2tdt = 1+x 2, ϕ 3 (x) = 1+ x 2tϕ 2 (t)dt = 1+ x 2t(1+t 2 )dt x = 1+ (2t+2t 3 )dt = 1+x x4, x x ϕ 4 (x) = 1+ 2tϕ 3 (t)dt = 1+ 2t(1+t t4 )dt = 1+ x (2t+2t 3 +t 5 )dt = 1+x x x6. Picard-Lindelöf-menetelmän likiratkaisu y(x) ϕ 4 (x) = 1 + x x x6, on hyvä approksimaatio ratkaisulle alkuarvopisteen ympäristössä. 22
23 Separoimalla saadaan tarkka ratkaisu y dy dy dx = 2xy y = 2xdx 1 x dy y = 2xdx lny = x 2 y = e x2. Ratkaisun Taylorin kehitelmä y(x) = e x2 = 1+ x2 1! + x4 2! + x6 3! x2k k! +... yhtyy likiratkaisuun ϕ 4 (x) kuudennen asteen termiin saakka. Picard-Lindelöf-menetelmän avulla voidaan laskea ratkaisun sarjakehitelmän termejä. Menetelmä sopii numeeristen menetelmien perustaksi. Sitä voi käyttää symbolisen matematiikan ohjelmistojen kanssa siten, että ohjelmoi iterointikaavan tietokoneelle ja antaa koneen laskea integroinnit. Picard-Lindelöf-menetelmä suppenee, mikäli olemassaolo ja yksikäsitteisyyslauseen oletukset ovat voimassa. Oletuksia voidaan jossain määrin lieventää. Picard-Lindelöf-menetelmä ei aina suppene. Sarjakehitelmää käytettäessä on muistettava käsitteiden suppenemissäde ja suppenemisväli merkitykset. 6.7 Taylorin kehitelmään perustuva menetelmä Oletamme, että alkuarvotehtävällä { y = f(x,y(x)), x [x a,x +a], y(x ) = y, (x,y ) D, on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu alkuarvopisteen (x,y ) ympäristössä. Likiratkaisu voidaan muodostaa derivoimalla yhtälöä implisiittisesti ja laskemalla korkeamman kertaluvun derivaattoja alkuarvopisteessä. Taylorin lauseen mukaan y(x) = y(x )+y (x )(x x )+ 1 2! y (x )(x x ) voimme approksimoida ratkaisufunktiota potenssisarjalla. Alkuarvotehtävän ratkaisun derivaatoille on yleisesti voimassa y = f(x,y(x)), y = f x (x,y(x))+f y (x,y(x))y (x), y = f xx +2f xy y +f yy (y ) 2 +f y y = f xx +2f xy y +f yy (y ) 2 +f y (f x +f y y ). Potenssisarjaa määrättäessä derivaatat lasketaan pisteessä (x,y ). Ratkaise alkuarvotehtävä y = y, y() = 1 Taylorin menetelmällä. Ratkaisu: Tässä tapauksessa derivaatat on helppo laskea, sillä derivoimalla differentiaaliyhtälöä y = y saadaan y = y = y. Seuraavalla derivoinnilla saadaan y = y = y. Yleisesti saadaan y (k) = y. Täten y (k) () = y() = 1. Tarkan ratkaisun kehitelmä origossa on y(x) = y()+y ()x+ 1 2! y ()x = 1+x+ 1 2! x = e x. Ratkaise alkuarvotehtävä y = x 2 +y 2, y() = 1 Taylorin menetelmällä. 23
24 6.8 Yksinkertaiset virtapiirit Virtapiirien analysointi differentiaaliyhtälöllä Piirin sähkömotorinen voima E = E(t) [V] (volttia) saa riippua ajasta. Tasavirtapiiri, jossa E on vakio. Vaihtovirtapiiri, jossa E = E sin(ωt+φ) on sinimuotoinen. Piirin hetkellinen varaus on Q = Q(t) [Q] (coulombia, 1Q = 1As). Piirin sähkövirta I = I(t) [A] (ampeeria) on hetkellisen varauksen muutosnopeus eli I = dq dt. Kääntäen, hetkellinen varaus voidaan esittää integraalina Jännitelähteeseen kytketty RL-piirit (vastus-kela). t Q(t) = Q(t )+ I(v)dv. t Jännitelähteeseen kytketty RC-piirit (vastus-kondensaattori). Lausekkeet jännitehäviöille vastuksessa, kelassa ja kondensaattorissa. Jännitehäviö vastuksessa U R on verrannollinen hetkelliseen sähkövirtaan I. Verrannollisuuskerroin R on vastuksen resistanssi, sen yksikkö on ohmi, 1Ω = 1 V A. Jännitehäviö kelassa U L on verrannollinen sähkövirran I hetkelliseen muutosnopeuteen. Verrannollisuuskerroin L on kelan induktanssi, sen yksikkö on henry, 1H = 1 Vs A. Jännitehäviö kondensaattorissa U C on verrannollinen kondensaattorin hetkelliseen varaukseen Q, Verrannollisuuskerroin on 1 C, jossa C on kondensaattorin kapasitanssi. Yksikkö on faradi, 1F = 1 As V = 1Q V. Kirchoffin lait Kirchhoffin ensimmäinen laki: virtapiirin tiettyyn pisteeseen saapuvien virtojen summa ja siitä lähtevien virtojen summa ovat yhtäsuuret. Kirchhoffin toinen laki: suljetussa virtapiirissä hetkellisten jännitehäviöiden summa on nolla. Virtapiirejä mallintavat differentiaaliyhtälöt: RL-piiri: U R +U L E = L di dt +RI = E(t), RC-piiri: U R +U C E = R dq dt + 1 C Q = E(t). RC-piiriä kuvaava differentiaaliyhtälö sähkövirran suhteen (derivointi ja dq dt = I) 6.9 RL-piiri R di dt + 1 C I = de dt. Esimerkki Virtapiirissä on sarjaan kytkettynä vastus R = 1Ω, kela L = 2 [H] ja jännitelähde, jonka sähkömotorinen voima on E = 1sin(5t) [V]. Hetkellä t = [s] piirissä ei ole ole virtaa. Määrää piirin sähkövirta I = I(t) [A]. Ratkaisu: RL-piirin differentiaaliyhtälö: L di dt +RI = E(t). L = 2, R = 1, E(t) = 1sin(5t) Yhtälö on 2 di +1I = 1sin(5t). dt 24
25 Normaalimuoto: di dt +5I = 5sin(5t). Integroiva tekijä: P(t) = e 5t. Integroivan tekijän avulla saadaan yleinen ratkaisu Alkuehdon I() = toteuttava ratkaisu missä δ = arctan( 1). I(t) = Ce 5t (sin(5t) 1cos(5t)). I(t) = 1 11 (sin(5t) 1cos(5t)) = 1 11 e 5t sin(5t+δ), 11 e 5t + 1 Pitkän ajan kuluttua virta on I(t) = (sin(5t) 1cos(5t)) = 11 sin(5t+δ). 25
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 37P MARTTI HAMINA Tasa-arvopinnat x + y x + y y u(x, y) C x x(y, C) x x(y, C) x x (y, C) x x + y y + y y x x Φ(x, y, y )? y F (x,y) F (x(t),y) y y(x, C) y y (x, C)?? F (x, y) dt F
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotPeruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotTAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedotlnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Lisätiedot1 Johdanto. 1.1 Vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö y = ay. Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2013
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2013 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedot