TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
|
|
- Sinikka Uotila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAT Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö Se on yleisessä muodossaan yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja Jos derivaatoissa on osittaisderivaattoja, kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jos vain tavallisia derivaattoja, tavallinen differentiaaliyhtälö Tällä kurssilla käsittelemme vain jälkimmäisiä Differentiaaliyhtälön kertaluku on siinä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku n+ Jos D, F: D, niin yhtälö ( n) () F( x, y, y,, y ) = 0 määrittelee kertalukua n olevan implisiittisen differentiaaliyhtälön n+ Jos G, f : G, niin yhtälö ( n) ( n ) () y = f( x, y, y,, y ) on kertalukua n oleva eksplisiittinen differentiaaliyhtälö eli normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö
2 Olkoon I on avoin väli Silloin n kertaa derivoituva funktio y: I on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu välillä I, jos kaikille x I on voimassa ( n) ( n (3) ( xyx, ( ), y ( x),, y ( x)) Dja Fxyx (, ( ), y ( x),, y ) ( x) ) = 0 tai vastaavasti ( ) ( ) ( (4) ( xyx, ( ), y ( x),, y n ( x)) Gja y n = f( xyx, ( ), y ( x),, y n ) ( x) ) Olkoon B ja H : B jatkuvasti differentioituva funktio, joka määrittelee yhtälöllä H( xy, ) = 0 implisiittisesti välillä I funktion y Jos y on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu, niin yhtälöä H ( xy, ) = 0 sanotaan silloin yhtälöiden () tai () implisiittiseksi ratkaisuksi Esim Yhtälö y = xy on eksplisiittinen kertaluvun yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu on yx ( ) = + x 3 Esim Yhtälö ( yy ) + xy + lny = 0 on toisen kertaluvun implisiittinen yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu välillä on yx= ( ) Esim 3 Implisiittisellä ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä yy + x = 0 on mm implisiittinen ratkaisu x + y = Differentiaaliyhtälön yleiseen ratkaisuun sisältyy kertaluvun ilmoittama määrä toisistaan riippumattomia vakioita eli parametreja Jos parametreille annetaan jokin tietty arvo, saadaan yhtälön yksityisratkaisu eli partikulaarinen ratkaisu Sellainen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta parametrien kiinnittämisellä, on erikoisratkaisu tai singulaarinen ratkaisu Jos yleinen ratkaisu sisältää kaikki yhtälön ratkaisut, se on täydellinen ratkaisu Usein ratkaisua haetaan jollakin avoimella välillä I Joskus pyritään siihen, että tämä väli on laajin mahdollinen
3 3 Esim 4 Eksplisiittisellä differentiaaliyhtälöllä y = y on välillä I = (, ) x yleinen ratkaisu yx ( ) = ce, joka eksponenttifunktion ominaisuuksien nojalla on täydellinen ratkaisu Esim 5 Implisiittisellä kertaluvun yhtälöllä ( y ) 4xy + 4y= 0 on yleinen ratkaisu yx ( ) = cx c, c, joka ei ole täydellinen, koska yhtälöllä on myös erikoisratkaisu yx ( ) = x Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen yhtälössä esiintyvät derivaatat esiintyvät siinä lineaarisesti eli asteluvulla Jos silloin tuntemattoman funktion ja derivaattojen kertoimet ovat vakioita, kyseessä on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö Tuntematon funktio ja sen derivaatat laitetaan pääsääntöisesti yhtälön vasemmalle puolelle Jos silloin oikealle puolelle jää 0, kyseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen Esim 6 Tarkastellaan seuraavia differentiaaliyhtälöitä: a) y '''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = 0 Näistä a ja c ovat lineaarisia, b on epälineaarinen Yhtälön a kertaluku on 3, yhtälön b kertaluku on 4 ja c on toisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen yhtälö Yhtälöt a ja b ovat epähomogeenisia Yhtälö b on lisäksi implisiittinen
4 4 Yleisen ratkaisun parametrit tai osa niistä voidaan kiinnittää alkuehdoilla tai reunaehdoilla, jolloin kyseessä on alkuarvoprobleema tai reunaarvoprobleema Koska yleisessä ratkaisussa on kertaluvun n ilmaisema määrä vakioita, tarvitaan kaikkien määrittämiseksi yleensä n ehtoa Alkuehdot annetaan aina yhdessä pisteessä, jos ehtopisteitä on kaksi tai useampia, kyseessä on reuna-arvoprobleema Kertaluvun n alkuarvoprobleema on siis muotoa (5) ( n) ( n ) y = f( x, y, y,, y ) ( n ) y( x0) = y0, y ( x0) = y,, y ( x0) = yn, ( x0, y0, y,, yn ) G Esim 7 Yhtälön y''( x) + y( x) = 0 yleinen ratkaisu on y( x) = csinx+ ccosx, missä c, c ovat parametreja Tämä ratkaisu on myös täydellinen Alkuarvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = ratkaisu (yksikäsitteinen) on yx ( ) = sinx Reuna-arvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = 0 ratkaisuja ovat kaikki funktiot yx ( ) = csin x, c Reuna-arvoprobleemalla y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = taas ei ole ratkaisua lainkaan Kuten esimerkistä näkyy, differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä tarvitse olla olemassa ratkaisua, ja jos sellaisia on, niiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä Käsittelemme tätä kysymystä seuraavassa luvussa ja tarkemmin sitten differentiaalisysteemien kohdalla Alkuarvoprobleemalla on lokaali ratkaisu, jos sillä on ratkaisu pisteen x 0 jossakin ympäristössä I = ( x0 ε, x0+ ε), ε > 0
5 5 Kun differentiaaliyhtälöitä sovelletaan käytäntöön ja lasketaan ratkaisujen arvoja, seuraava Hadamard'in vaatimuslista on hyödyksi: Alkuarvoprobleema on oikein asetettu (properly posed, sachmässig gestellt), jos ratkaisu on olemassa lokaalisti ratkaisu on yksikäsitteinen 3 ratkaisu riippuu alkuehdoista jatkuvasti Kolmas ehto takaa sen, että ratkaisu on stabiili, se muuttuu pienistä alkuarvon häiriöistä hallitun vähän
6 6 Ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys Tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvoprobleemaa () y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 Tällä ei välttämättä ole ratkaisua olemassa y Esim Yhtälön y = yleinen ratkaisu on x x yx ( ) =, kun x, c 0 cx c Siis jos alkuehdoksi asetetaan y (0) =, ratkaisua ei ole Toisaalta jos ratkaisuja on, niitä voi olla useampia, jopa äärettömän monta Esim Tarkastellaan alkuarvoprobleemaa /3 y ( x) = 3 y( x), y(0) = 0 Todetaan, että probleemalla on kaksi ratkaisua: vakiofunktio y ( x) 0, x ja 0, kun x < 0 derivoituva funktio y( x) = 3 x, kun x 0 Osoittautuu, että sopiva säännöllisyysominaisuus yhtälön (6) oikean puolen funktiolle yhtälön ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaamiseksi on seuraava tavallista ankarampi jatkuvuuden muoto: n+ Funktio f : G, G, on Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa G, jos f( x, y ) f( x, y ) L y y, kaikilla ( x, y),( x, y) G () Kerroin L epäyhtälössä (8) on Lipschitz-vakio Jatkossa oletamme usein ilman eri mainintaa, että Lipschitz-jatkuvuus on muuttujan y suhteen
7 7 Esim 3 Funktio f ( xy, ) = y on Lipschitz-jatkuva jokaisessa kompaktissa osajoukossa S, koska silloin f( x, y) f( x, y) = y+ y max y+ y = : L y y S Funktio ei ole kuitenkaan Lipschitz-jatkuva rajoittamattomassa kaistaleessa T = ( x, y) a x b, koska y+ y ei ole ylhäältä rajoitettu siellä { } :n Tavallisin tilanne, jossa Lipschitz-jatkuvuus on voimassa, on seuraava: Lause Oletetaan, että funktiolla f ( xy, ) on joukossa G olemassa f f osittaisderivaatta, joka on G:ssä rajoitettu: ( x, y) M ( x, y) G y x jollakin positiivisella vakiolla M Silloin f on G:ssä Lipschitz-jatkuva Todistus: Väliarvolauseen nojalla on jokaisella kiinteällä x olemassa sellainen η, että f f ( xy, ) f( xy, ) = ( x, η)( y y) My y y Lause (Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause) n+ Olkoon f : G avoimessa joukossa G jatkuva ja muuttujan y suhteen Lipschitz-jatkuva ja ( x0, y0) G Silloin alkuarvoprobleemalla (3) y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 on olemassa täsmälleen yksi lokaali ratkaisu Tämä lause todistetaan myöhemmin yleisemmässä muodossaan Esim 4 Yhtälöllä y = y on alkuarvon y(0) = y0, y0 > 0 toteuttava y0 yksikäsitteinen ratkaisu yx ( ) =, kun x < y x y 0 0
8 8 3 Ensimmäisen kertaluvun separoituvat yhtälöt Merkitsemme jatkossa usein tuntematonta funktiota x:llä ja muuttujaa t:llä Tällä ennakoimme differentiaalisysteemien teoriaa, jossa tuntemattomana on tilavektori x ( t) ja muuttujana aika t Tarkastellaan yhtälöä x = f( x, t), jossa oikealla puolella on erityisrakenne: () x'( t) = h( t) g( x( t)) Tämä on siis muoto, missä oikealla puolella muuttujat t ja x ovat "separoituneet" Silloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (vasemmalle separoituneet x, oikealle pelkästään t:stä riippuvat) () x'( t) / g( x( t)) = h( t), josta puolittain integroituna (3) x'( t) / g( x( t)) dt = h( t) dt Tämä integrointi onnistuessaan antaa yhtälön yleisen ratkaisun (yleensä implisiittisen, mutta joskus eksplisiittisenkin) Esim x '( t) t x( t) = t (epälineaarinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t ( + x( t) ) = t dt = t dt + xt ( ) + xt ( ) Sijoitetaan vasempaan integraaliin u = x(), t du = x'() t dt, jolloin saadaan du 3 tdt arctan u 3 t c + u = = + 3 x( t) = tan( t + c) Siis yleinen ratkaisu on 3
9 9 Esim x '( t) = x( t)(- sin( t)) x'( t) x'( t) = sin( t) dt = ( sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x ja t separoitiin eri ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, merk t cos( t) =, c on mielivaltainen vakio c d =± e : Klassinen merkintätapa yhtälölle () on dx (4) htgx () ( ) dt =, joka separoituna esitetään muodossa dx (5) htdt () gx ( ) = Tämä integroituna on dx (6) htdt () gx ( ) =, joka on sama kuin yhtälö (), missä vasemmanpuoleisessa integraalissa on tehty sijoitus x = xt ( ) Alkuehto x( t0) = x0 voidaan ottaa suoraan huomioon käyttämällä määrättyjä integraaleja: (7) x dx gx ( ) = x0 t0 t htdt ()
10 0 4 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Olkoot P, Q alueessa G jatkuvia funktioita Silloin differentiaaliyhtälö () Pxy (, ) + Qxyy (, ) = 0 on eksakti, jos on olemassa sellainen jatkuvasti differentioituva funktio u, että u u () = Pxy (, ) ja = Qxy (, ) x y Tällöin yhtälöllä () on implisiittinen yleinen ratkaisu (3) uxy (, ) = c, mikä nähdään ketjusäännöllä: dc u u (4) 0= = + y = P ( x, y ) + Q ( x, y ) y dx x y Lause (Eksaktiustesti) Yhtälö () on eksakti täsmälleen silloin, kun (5) P Q = y x Todistus: Jos () on eksakti, niin ehtojen () nojalla saadaan P u u Q = = = y y x x y x Jos ehto (5) on voimassa, niin yhtälöllä x (6) uxy (, ) = Ptbdt (, ) + Qxsds (, ), ( ab, ) G a y määritelty funktio toteuttaa ehdot (): y u Q P = Pxb (, ) + ( xsds, ) = Pxb (, ) + ( xsds, ) x x y b b y Pxb (, ) + / b Pxs (, ) = Pxb (, ) + Pxy (, ) Pxb (, ) = Pxy (, ), u vastaavasti = Qxy (, ) y y b
11 Esim Yhtälö y y e + ( xe ) y = 0 on eksakti, koska y y ( e ) = ( xe ) y x Yleinen ratkaisu on siis uxy (, ) u y u y = e ja = xe x y Integroimalla ensimmäinen ehto saadaan y y u e = dx+ h( y) = e x+ h( y), joka derivoituna y:n suhteen antaa ehdon h:lle: u y y = xe + h ( y) = xe h ( y) = h( y) = y y Siis yhtälön yleinen implisiittinen ratkaisu on y uxy (, ) = xe + y= c = c, missä u määräytyy ehdoista Jos yhtälö () ei ole eksakti, se voidaan joissain tapauksissa muuntaa sellaiseksi kertomalla yhtälö integroivalla tekijällä μ ( x, y) : (7) μ( x, ypxy ) (, ) + μ( xyqxyy, ) (, ) = 0 Eksaktisuusehto (5) saa muodon (8) ( μp) ( μq) =, y x josta osittaisderivoimalla saadaan funktiota μ koskeva osittaisdifferentiaaliyhtälö (9) u u P Q ( Q = μ P ) y x x y Tämä on yleensä vaikeampi ratkaista kuin alkuperäinen yhtälö (), paitsi tietyissä erityistapauksissa
12 Lause (Integroivan tekijän menetelmä) P Q Jos funktio ϕ = riippuu vain muuttujasta x, niin funktio Q y x ( x) dx μ( x) = e ϕ on yhtälön () integroiva tekijä Vastaavasti, jos funktio P Q ψ = riippuu vain muuttujasta y, niin funktio P y x ( ydy ) e ψ μ( x) = on yhtälön () integroiva tekijä μ Todistus: Oletetaan, että μ riippuu vain muuttujasta x Silloin = 0, y Q P joten (9) saa muodon μ ( xq ) = μ( x) Siis μ on separoituvan x y differentiaaliyhtälön μ ( x) = μ( x) ϕ( x) ratkaisu, jolloin voidaan valita ( x) dx μ( x) = e ϕ Toinen tapaus menee vastaavasti Esim Differentiaaliyhtälö ( ) ( ) ( x+ y )cos x+ sin x + ysin x y = 0 ei ole eksakti: ( ( x + y ) cos x+ sin x) = 4 ycos x, ( ysin x) = ycos x, y x P Q cos = x Q y x = = ysinx sinx muuttujasta x Siis integroivaksi tekijäksi käy mutta ϕ ( 4ycosx ycosx) cos x ϕ ( x) dx dx sin x lnsin x μ( x) = e = e = e = sinx Saatu eksakti yhtälö on ( x+ y ) cos xsin x+ sin x + ysin x y = 0, ( ) ( ) riippuu vain Haettaessa ratkaisufunktiota u aloitetaan yhtälöstä u = y sin x, y joka on kahdesta mahdollisuudesta helpompi integroida Saadaan uxy (, ) = ysin x+ hx ( ), josta edelleen u = y sin xcos x+ h ( x) = ( x+ y )cos xsin x+ sin x x Tästä saadaan funktiolle h yhtälö h ( x) = xsin xcos x+ sin x,
13 3 joka integroituna antaa hx ( ) = xsin x Siis yhtälön implisiittinen ratkaisu on ( ) x y sin x c + =
14 4 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt Käymme seuraavassa läpi yksinkertaisimmat mahdolliset differentiaaliyhtälöt, eli lineaariset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt Osoittautuu, että ne voidaan aina ratkaista, kun hyväksytään, että ratkaisuun voi jäädä integraaleja, joita ei voida suljetussa muodossa pitemmälle integroida Todetaan ensin lineaarisuuden seurauksena homogeenisen ja epähomogeenisen yhtälön ratkaisujen yhteys: Olkoon Lx= b epähomogeeninen yhtälö ja Lx = 0 vastaava homogeeninen yhtälö, missä L on lineaarinen differentiaalioperaattori Jos x h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja xp epähomogeenisen jokin yksityisratkaisu, niin xh + xp on epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisu Silloin nimittäin lineaarisuuden ansiosta L( xh+ xp) = Lxh+ Lxp = 0 + b = b Jos xp, x p ovat kaksi epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisua, niin niiden erotus toteuttaa homogeenisen yhtälön: L( xp x p) = Lxp Lx p = b b = 0, joten erotus saadaan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta joillakin kertoimien arvoilla Kohdissa 5-53 lineaarisena operaattorina on Lx= x ax
15 5 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: () x'( t) ax( t) = 0 eli x'( t) = ax( t), joka voidaan esittää separoituna muodossa ( x( t) 0 ) () x'( t) = a xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = at + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon at d at d x( t) = exp( at+ d) = e + = e e Koska jokainen nollasta eroava luku c on esitettävissä lausekkeena ±e d jollakin d, saadaan itseisarvomerkit poistettua Koska funktio x( t) 0 selvästi on myös yhtälön () ratkaisu, on yleinen ratkaisu at (3) x( t) = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : (4) x() t = e at x0
16 6 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (5) x'( t) ax( t) = b( t) eli x'( t) = ax( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=ax(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on edellisen nojalla (6) x h (t)=e at c Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=ax(t)+b(t) yksityisratkaisu saadaan ns vakion varioinnilla eli etsimällä ratkaisua muodossa (7) x(t)=e at c(t) Silloin saadaan derivoimalla ja sijoittamalla epähomogeeniseen yhtälöön: josta sievenee yhtälö ae at c(t)+e at c'(t)=ae at c(t) + b(t) c'(t)=e -at b(t), eli eräs yksityisratkaisu on at at (8) x () t = e e b() t dt p Silloin yleinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yksityisratkaisu: at at at (9) x() t = e c+ e e b() t dt at Todetaan, että ratkaisussa esiintyvä määräämätön integraali e b( t) dt voidaan esittää myös määrättynä integraalina ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon t t0 e as b() s ds Silloin (0) t t0 e at ( s) at x() t = e c + b() s ds, ( t 0 mielivaltainen)
17 7 Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttava ratkaisu on silloin () x(t)=e at at ( s) x 0 + e b() s ds t 0
18 8 53 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: () x'( t) a( t) x( t) = 0 eli x'( t) = a( t) x( t) Kyseessä on separoituva yhtälö Siis kuten kohdassa 5, yhtälö voidaan esittää muodossa ( ( ) 0 x t ) (3) x'( t) = at () xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = a( t) dt + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon ( ) exp( ( ) ) + d a() t dt a() t dt x t = a t dt+ d = e = e e Tästä saadaan yleinen ratkaisu atdt () (4) x() t = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : t asds () xt () e x (5) = 0 0 d
19 9 54 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: (6) x'( t) a( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = a( t) x( t) + b( t) Ratkaisun johto menee vakioiden varioinnilla lähes samalla tavalla, kuin kohdassa 5, kun termi at korvataan integraalilla atdt () Mutta johdetaan ratkaisu vaihteeksi toisella tavalla, integroivan tekijän menetelmällä Kun yhtälö (6) kirjoitetaan muotoon atx () bt () + x = 0, (7) ( ) nähdään, ettei yhtälö ole eksakti: x () () = (), = 0 t ( atx bt) at ( ) Funktio ϕ = ( at () 0 ) = at () on pelkästään t:n funktio, joten atdt () integroivaksi tekijäksi käy μ() t = e Kun tällä kerrotaan yhtälö (7), saadaan siis eksakti differentiaaliyhtälö atdt () atdt () atx () bt () e + e x = 0 (8) ( ) Haetaan funktiota utx (, ), jolle u atdt u = ( at ( ) bt ( )) e, = e t x Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan atdt () e utx (, ) = x, josta edelleen osittaisderivoimalla () atdt () u t e atdt () atdt () x( a( t)) h( t) = ( a( t) b( t)) e = + atdt () Siis h () t = b() t e, joten ratkaisu on ht () = bte () atdt () dt Implisiittinen
20 0 atdt () atdt () x = utx (, ) = e bte () dt c, josta ratkaisemalla x saadaan yleiseksi ratkaisuksi (9) atdt () atdt () atdt () x() t = e c+ e e b() t dt Tälle saadaan ekvivalentti esitysmuoto määrättyinä integraaleina t t s asds ( ) asds ( ) t audu ( ) t0 t0 to (0) x() t = e c+ e e b() s ds t0 Silloin alkuarvon x( t0) = x0 toteuttava ratkaisu saadaan vakion arvolla c= x 0 π π Esim 3 x '( t) + (tan t) x( t) = cos t, < t < sin t Koska atdt ( ) = ( tan tdt ) = dt= ln(cos t) cost kaavan (9) mukainen yleinen ratkaisu on, niin e a() t dt = cost, joten x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t cost Jos tehtävä ratkaistaan suoraan integroivan tekijän menetelmällä (nojautumatta kaavaan (9)), todetaan, että integroiva tekijä on sin t atdt () ( tan t) dt dt cost ln cost e = e = e = e = /cost Siis eksakti differentiaaliyhtälö on sin t cost x x 0 cos t) + = cost Haettavana on funktio utx (, ), jolle u sin t u = x cos t, = t cos t x cost x Ensimmäisestä ehdosta saadaan utx (, ) = + sin t+ hx ( ), josta osittaisderivoinnilla cost u = + h ( x) = ja edelleen hx ( ) = c Siis implisiittinen ratkaisu on x cost cost x utx (, ) = sint= c, josta x( t) = ccos t+ cos tsin t cost
21 6 Separoituvaksi palautuvia differentiaaliyhtälöitä Laajennamme vähitellen käsiteltävien differentiaaliyhtälöiden kokoelmaa Ensiksi käsittelemme sellaisia, jotka sopivalla muunnoksella saadaan separoituviksi 6 Yhtälöt muotoa y = f( ax+ by+ c) Tekemällä sijoitus vx ( ) = ax+ byx ( ) + csaadaan derivoimalla v = a+ by, josta sijoittamalla y seuraa separoituva yhtälö v:lle v = a+ bf( v) Jos tästä saadaan v, niin yx ( ) = ( vx ( ) ax c), kun b 0 b Esim Tarkastellaan yhtälöä y = ( x+ y+ 3) Valitsemalla v = x+ y+ 3 ja dv v = + y, saadaan yhtälö = + v Se on separoituna dx dv = dx + v, josta x = arctan v+ c, joten v = tan( x c) Siis y = tan( x c) x 3
22 6 Homogeenit yhtälöt Jos yhtälön y = f( x, y) oikean puolen funktio riippuu vain suhteesta y, yhtälöä sanotaan homogeeniksi (Termiä ei pidä sekoittaa lineaaristen x yhtälöiden yhteydessä esiintyviin homogeenisiin yhtälöihin Ly = 0) Yhtälö voidaan silloin kirjoittaa muotoon y () y = F( ) x Homogeenit yhtälöt voidaan palauttaa separoituviksi seuraavasti: yx ( ) Sijoitetaan zx ( ) =, jolloin yx ( ) = xzx ( ) Yhtälö () muuntuu silloin x muotoon () zx ( ) + xz ( x) = Fzx ( ( )) eli (3) z = ( F( z) z), x joka on separoituva y + x + y Esim Yhtälö y = on homogeeni, koska se on muotoa y = x x y y x y + z + z Sijoituksella z = saadaan uusi yhtälö z = z = x, joka x z x z separoituna antaa z dz dx = + z eli arctan( z) ln( + z ) + ln c = ln x x Tästä saadaan yhtälön implisiittinen ratkaisu arctan y ln x y = x c+
23 3 7 Lineaarisiin palautuvia kertaluvun yhtälöitä Joitakin epälineaarisia ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä voidaan sopivalla sijoituksella muuntaa lineaarisiksi Tarkastelemme ohessa paria klassista tapausta 7 Bernoullin differentiaaliyhtälö () y + P( x) y= Q( x) y r Oletetaan, että r, r 0, r (Tapauksissa r = 0 tai r = yhtälö on r lineaarinen) Valitsemalla uudeksi muuttujaksi v= y saadaan v r y=, josta r y = v rv r Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (), saadaan r r v v + P ( x ) v r r r r = Qxv ( ) josta edelleen sieventämällä v + ( r) P( x) v= rqx () ( ) ( ), joka on lineaarinen, 4 Esim Tehdään yhtälöön xy + 6y = 3xy sijoitus jolloin yhtälö muuttuu muotoon v v = x Tämän ratkaisu on dx dx dx x x x vx ( ) = e c+ e e ( ) dx= cx + x yx ( ) = 3 ( x + cx ) v y, y v, y 3v v = = =,, josta saadaan lopulta
24 4 7 Riccatin yhtälö (3) y = A( x) + B( x) y+ C( x) y Jos yhtälön (3) jokin yksityisratkaisu y 0 tunnetaan, niin yhtälö saadaan ensin palautettua Bernoullin yhtälöksi ja sitä kautta lineaariseksi Tarvittava sijoitus on y= y0 + z, jolloin y = y 0 + z ja yhtälö (3) saa muodon y 0 + z = A( x) + B( x)( y0+ z) + C( x)( y0 + y0z+ z ) Koska y 0 on yhtälön (3) yksityisratkaisu, tämä sievenee muotoon z = B( x) z+ C( x) y0z+ C( x) z, joka on Bernoullin yhtälö
25 5 8 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden geometriaa ja grafiikkaa Joukko C on (taso)käyrä, jos on olemassa sellainen jatkuva funktio u : I, että C = u ( I), jollakin välillä I Funktio u on silloin käyrän parametriesitys Jos u on differentioituva ja x () t () u = 0, y () t niin u ( t) on käyrän tangentti Käyrä C on säännöllinen, jos parametriesityksen määrittelyväli I on avoin, parametriesitys on jatkuvasti differentioituva ja u () t 0, t I Funktiota u sanotaan silloin säännölliseksi parametriesitykseksi Esimerkkinä käyrästä on reaalifunktion kuvaaja Olkoon g: I reaaliarvoinen reaalimuuttujan jatkuvasti derivoituva funktio avoimella välillä I Silloin sen kuvaaja () C = {( x, g( x)) x I} on säännöllinen käyrä, jonka parametriesitys on (3) u: I, u( x) = ( x, g( x)) Tangenttivektori on silloin (4) u ( x) = g ( x) ja pisteen ( x, gx ( )) kautta kulkevan tangenttisuoran kulmakerroin on siis g ( x), kuten derivaatan määritelmästä jo tiedetään
26 6 Käyrä voidaan määritellä myös implisiittisesti, esimerkiksi funktion tasaarvokäyränä: hxy (, ) = a, missä a on vakio Tällöin pisteessä ( x, y ) oleva normaalivektori on hx( x, y) hxy (, ) =, hy( x, y) mikäli h on differentioituva Tangenttivektori on tälle kohtisuorassa, joten hy( x, y) sen suunta on hx( x, y) Tarkastellaan nyt eksplisiittistä differentiaaliyhtälöä (5) y = f( x, y) ja oletetaan, että Luvun Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletukset ovat voimassa Silloin kun funktio ϕ on yhtälön (5) jokin ratkaisufunktio välillä I, sanotaan käyrää C = {( x, ϕ( x)) x I} yhtälön (erääksi) integraalikäyräksi eli ratkaisukäyräksi Tällöin käyrän C pisteessä ( x, y), y= ϕ( x), käyrän tangenttivektori on ja tangenttisuoran kulmakerroin f ( xy, ) f ( xy, ) Pisteeseen ( x, y ) piirretty lyhyt vektorin suuntainen jana on f ( xy, ) suuntaelementti (viivaelementti) ja niistä syntyy funktion f määrittelyalueeseen suuntaelementtikenttä (suuntakenttä, slope field) Kun samansuuntaiset suuntaelementit yhdistetään, saadaan isokliini Isokliinit ovat siis käyriä f ( xy, ) = keli funktion f tasa-arvokäyriä, joiden kaikissa pisteissä suuntaelementit ovat vektorin suuntaisia k Kun suuntaelementtikenttä on visualisoitu, integraalikäyrät saadaan sovittamalla ne suuntaelementtien väliin niin, että suuntaelementtijanat ovat käyrien tangentteja (Tämä ole ennen tietokoneiden aikaa käytetty graafinen ratkaisukeino)
27 7 Differentiaaliyhtälöä (5) voidaan ajatella myös systeeminä, jolloin tuntematonta tilaa merkitään tavallisesti x( t ) :llä, missä t on aika Silloin yhtälö (5) kirjoitetaan muotoon (6) x = f( t, x) Systeemin tasapainopisteitä ovat ne tilat, joissa x ( t) 0 Jos systeemi on autonominen eli muotoa (7) x = f( x), niin tasapainopisteet löytyvät yhtälön (8) f ( x ) = 0 ratkaisuista Tilat x( t ) ovat faasiavaruuden pisteitä Systeemi (6) on yksiulotteinen, joten faasiavaruus on yksiulotteinen faasisuora Graafisessa esityksessä faasikuvaan merkitään tasapainopisteet lihavoituina pisteinä, ja nuolet kuvaavat systeemin etenemistä tasapainopisteeseen päin tai siitä pois Oheisessa kuvassa on ylempänä differentiaaliyhtälön y = x y suuntaelementtikenttä ja alkuarvon y( 4) = 4 toteuttavan yksityisratkaisun integraalikäyrä Alempana on systeemin x = x( x) suuntaelementtikenttä, sitten 8 yksityisratkaisun integraalikäyrät ja viimeisenä faasikuva
28
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotPeruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
Lisätiedot