Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 5 Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. a) x 6y+ = x + y + = x 6y+ = + x + 6y + 4 = 7 = aina epätosi Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, joten suorilla ei ole yhteisiä pisteitä. b) 6x+ y = y = x + 6 Sijoitetaan yhtälöön (). Yhteiset pisteet voidaan esittää myös parametrimuodossa c) x= t y = t + 6 ( t ) R. x y 7= ( ) 4 x+ 4y = 6x+ 9y+ = 8x y 8 = + + 6x+ 8y 4= 9x+ y 6= 7y+ 7 = 7x 4 = 7 4 y= x= 7 7 y= x= Suorien yhteinen piste on (, ). 6x+ ( x+ 6) = 6x 6x+ = = aina tosi Suorat ovat sama suora, joten yhteisinä pisteinä ovat kaikki suoran y = x+ 6 pisteet eli pisteet ( x, y ), missä x R ja y = x+ 6. Vastaus a) ei yhteisiä pisteitä b) x R y = x + 6 c) (, )
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 5 a) () y = x Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4x+ y = 5 4x+ ( x) = 5 5x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = x= = Yhtälöparin ratkaisu on on (, ). b) x =, joten suorien yhteinen piste y = x 4y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). 4 x 4 x + = 4 x x+ 4+ = 5 = aina epätosi Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, joten suorilla ei ole yhteisiä pisteitä. c) 5x+ y = x= y 5x+ y = 5x = y 5x+ y = 5x+ y = Suorat ovat sama suora, joten yhteisiä pisteitä ovat kaikki suoran 5x y x, y, missä x R ja + = pisteet eli pisteet y = x+. Yhteiset pisteet voidaan esittää myös parametrimuodossa x= t y = t + Vastaus a) (, ) ( t R ) b) ei yhteisiä pisteitä x R c) y = x +
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 5 Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä x y+ 5= y = x x + y = Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu Yhtälön x+ y = x = y = vasen puoli on + = oikea puoli on myös yhtälön (). Koska yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, muodostetaan yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt () ja (). Saadaan yhtälöpari x y+ 5= y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x ( x) + 5= 5x + 5= 5 x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). Koska yhtälö () toteutuu, on yhtälöryhmän ratkaisu joten suorat leikkaavat toisensa pisteessä (, ). Vastaus Leikkauspiste on (, ). x =, y = y = ( ) =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 84 Päivitetty 7.5.6 54 Kolmion kärkipisteiden koordinaatit saadaan määrittämällä suorien leikkauspisteet. ) Suorien 6x + y+ 9 = ja y = x+ leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari 6x+ y+ 9= y = x + Sijoitetaan yhtälöön (). 6x x+ + 9= 5x + = y = ( 4) + = 5 x = 4 Sijoitetaan yhtälöön ( ). Suorien leikkauspiste on ( 4,5). ) Suorien y = x+ ja x y 8 = leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari y = x+ Sijoitetaan yhtälöön ( ). x y 8= x ( x+ ) 8= x+ x 8= 5x = x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = + = Suorien leikkauspiste on (, ). ) Suorien 6x + y+ 9 = ja x y 8 = leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () 6x+ y+ 9= x y 8= ( ) 6x + y+ 9= x+ y+ 8= + + 6x+ 4y+ 6= x y 8= 5y+ 5 = 5x + = y= 7 x= Suorien leikkauspiste on (, 7). Vastaus Kolmion kärkipisteet ovat 4,5,, ja, 7.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitetty 7.5.6 55 Määritetään suorien leikkauspisteet. ) ) () y= x Sijoitetaan yhtälöön ( ). x y = x ( x ) = x x+ = x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = = Suorien leikkauspiste on A = (,). y= x Sijoitetaan yhtälöön ( ). x+ y+ 6= ) x y = + x+ y+ 6= 4x + 6= 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4 y = y = Suorien leikkauspiste on C =,. Piirretään mallikuva, jossa kolmion ABC ympärille on piirretty suorakulmio AFED. x+ x + 6= 5 x = = Sijoitetaan yhtälöön (). 5 y = ( ) = Suorien leikkauspiste on B = (, ). Kolmion ABC ala saadaan vähentämällä suorakulmion AFED alasta suorakulmaisten kolmioiden CEB, BDA ja AFC alat.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitetty 7.5.6 Sivun DA pituus on DA = y = y y = ( ) = 4 A Sivun ED pituus on ED = x = xd xe = = Vastaavasti saadaan AF = ED = FC = y = = CE = y = ( ) = EB = x = = BD = x = = Kolmion ABC ala on AABC = AAFED ACEB ABDA AAFC 4 = 4 5 8 = 4 = 6 = 8 8 8 Vastaus D Kolmion ala on. 56 Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y ( ) 5 k = = = x 4 ( ) 7 ja suoran yhtälö on 5 y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 7 5 y+ = ( x+ ) 7 5 5 y+ = x+ 7 7 5 y = x+ 7 7 Pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 7 6 k = = = x ( 5) 8 ja suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = ( 5,6 ), k = 8 y 6= ( x+ 5) 8 5 y 6 = x+ 8 8 5 y = x+ 6 8 8
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 87 Päivitetty 7.5.6 Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () 5 y = x + Sijoitetaan yhtälöön (). 7 7 5 y = x + 6 8 8 5 5 x+ = x+ 6 7 7 8 8 8) 7) 7) 8) 5 5 x x= 7 8 8 7 4 7 7 8 x = 56 56 56 x = 6 57 Piirretään mallikuva, jossa on piirrettynä nelikulmion ABCD lävistäjät ja nelikulmion ympärille piirretty suorakulmio EFGH. 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 5 5 64 y = + 6 = + = = 8 8 8 8 8 8 Suorat leikkaavat pisteessä (,8 ). Vastaus Suorien leikkauspiste on (,8 ). Lävistäjien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla suorien l ja l yhtälöiden muodostama yhtälöpari. AC BD
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 88 Päivitetty 7.5.6 Määritetään suorien l ja l yhtälöt. AC BD ) Suoran l AC kulmakerroin on k AC y 5 ( ) = = = 4 x Suoran yhtälö on y y = k x x x, y =,5, k = 4 y 5= 4( x ) y = 4x 7 ) Suoran l BD kulmakerroin on k BD y = = = x 4 Suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = ( 4, ), k = y = ( x 4) y = x+ Ratkaistaan yhtälöpari () y= 4x 7 Sijoitetaan yhtälöön (). y = x + 4x 7= x+ 4 x = 9 x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = 4 7= Lävistäjien leikkauspiste on siis (, ). Nelikulmion ABCD ala saadaan vähentämällä suorakulmion EFGH alasta suorakulmaisten kolmioiden AEB, BFC, CGD ja DHA alat. Määritetään sivujen pituudet. HE = x = 4 ( ) = 6 EF = y = 5 ( ) = 8 AE = x = 4 = EB = y = ( ) =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 89 Päivitetty 7.5.6 BF FC GC DG HD HA = y = 5 = 5 = x = 4 = = x = ( ) = 5 = y = 5 = = y = ( ) = 6 = x = ( ) = 58 Piirretään mallikuva, jossa Onnela valitaan koordinaatiston origoksi ja ruudun sivu vastaa yhtä kilometriä. Nelikulmion ABCD ala on AABCD = AEFGH AAEB ABFC ACGD ADHA 5 5 6 = 68 = 48 4 5 9 = 7 Määritetään pisteiden L ja K sekä pisteiden O ja N kautta kulkevien suorien yhtälöt. Suoran l LK kulmakerroin on Vastaus Nelikulmion lävistäjien leikkauspiste on (, ) ja pinta-ala on 7. k y ( ) = = =, x ( ) Suoran yhtälö on y y = k x x x, y =,, k = y+ = x+ y = x
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 Suoran l ON yhtälö on muotoa (, ) ( 6, 4) y = kx x y = 4= k 6 k = Siis suoran yhtälö on y = x Polut leikkaavat suorien l ja l leikkauspisteessä. LK ON 5 5 x = : 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön (). 5 5 4 y = = 5 5 Suorien l ja l leikkauspiste on kuljettava LK ON 4,, joten origosta on 5 5, 5 = ruutua oikealle ja sitten 4,8 5 = ruutua alas. Määritetään leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. () y = x Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x x = x x+ x= Vastaus Polut leikkaavat toisensa pisteessä, joka on Onnelasta, km itään ja sitten,8 km pohjoiseen.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 59 Piirretään mallikuva. Janan BC keskipisteen koordinaatit ovat xb + xc 8+ x = = = 5 yb + yc + y = = = Siis piste E = ( 5,). Janan AC keskipisteen koordinaatit ovat xa + xc + x = = = ya + yc + y = = = Määritetään kolmion sivujen AB, BC ja AC keskipisteet D, E ja F. Siis piste F =,. Janan AB keskipisteen koordinaatit ovat xa + xb + 8 x = = = y A + yb + y = = = Siis piste D =,. Määritetään pisteiden A ja E, B ja F sekä C ja D kautta kulkevien suorien l, l ja l yhtälöt.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 Kulmakertoimet ovat k k k AE BF CD y ya ye = = = = x x x 5 A E y yb yf = = = = x x B xf 8 5 y y C yd = = = = 4 x x C xd Suorien yhtälöt ovat y y = k x x l ( ) : y = x k =, x, y =, y+ = x+ y+ 6= x+ x y 5= y y = k x x l : y = x 8 5 k =, x, y = 8, 5 6 y+ = x+ 5 5 5 5y+ 5= x+ 6 x+ 5y = l : y = 4( x ) y = 4x+ 8 4x+ y = y y = k x x k = 4, x, y =, Mediaanien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöryhmä. x y 5= x+ 5y = 4x+ y = ( ) 5 x+ 4y+ = 5x y 5 = + + x+ 5y = 4x+ y = 9y + 9= 9x 7= y= x= Tarkistetaan, toteuttaako saatu ratkaisu x = myös yhtälön (). y =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 Yhtälön 4x+ y = vasen puoli on 4 = oikea puoli on Yhtälöryhmän ratkaisu on siis leikkauspiste on (, ). x =, joten mediaanien y = Huomautus: Olisi riittänyt tarkastella vain kahta mediaania, sillä kolmion kaikki mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Vastaus Mediaanien leikkauspiste on (, ). 5 Piirretään mallikuva. Kulmanpuolittajaa jatkamalla saadaan suora s, jonka suuntakulma on 45. Suoran s kulmakerroin on k = tan 45 =. Suora s kulkee origon kautta, joten sen yhtälö on y = x. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari x+ y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x+ x+ = 5x + = x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 5 5 y = 5 Vastaus Pisteessä, 5 5
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 94 Päivitetty 7.5.6 5 Suoraparven yhteinen piste toteuttaa suoraparven kaikkien suorien yhtälöt. Tapa Suoraparven suorien yhteinen piste on suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Kun k =, saadaan suora 4y+ = eli y =. 4 Kun k =, saadaan suora 4x 4y+ = eli y = x+. 4 Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4 y = x + 4 = x + 4 4 x = = 4 4 Leikkauspiste on, 4. On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen, 4, kautta. Osoitetaan, että pisteen, 4 koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin k arvoilla. Kun x= ja y = suoraparven yhtälön 4 vasen puoli on 4 k 4 + k + 4 = k + k + = oikea puoli on Kaikki parven suorat kulkevat siis pisteen, 4 kautta. Tapa Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, jossa havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta. 4kx 4y + k + = 4kx + k + 4y = k x+ + 4y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin k arvoilla vain, kun x+ = ja 4y = eli x= ja y =. 4
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 95 Päivitetty 7.5.6 Tapa Kun suoran kulmakerroin on k ja suora kulkee pisteen ( x, y ) kautta, sen yhtälö on y y = k( x x ). Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. 4kx 4y + k + = 4y+ = 4kx k :( 4) k y = kx+ 4 y = k x+ 4 Suoraparven suorat kulkevat siis pisteen Vastaus, 4 Suoraparven suorat kulkevat pisteen kautta., 4 kautta. 5 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun a =, saadaan suora y = x 6 + 5 eli y = 5. Kun a =, saadaan suora y = x 6 + 5 eli y = x. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. () 5 Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = y = x 5= x eli x= Leikkauspiste on (,5 ). On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (,5 ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin a arvoilla.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 96 Päivitetty 7.5.6 Kun x = ja y = 5, suoraparven yhtälön vasen puoli on 5 ja oikea puoli on a 6a+ 5 = 5. Kaikki suorat kulkevat siis pisteen,5 kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta. y = ax 6a+ 5 ax 6a + 5 y = a x 6 + 5 y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin a arvoilla, kun x 6 = ja 5 y = eli x= ja y = 5. Piste (,5 ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka kulmakerroin Yhtälö on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. y = ax 6a+ 5 y 5= ax 6a y 5= a x y y = k x x Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina a ja joka kulkee pisteen (,5 ) kautta. Koska piste (,5 ) ei riipu parametrin a arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. 5 Suorien yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. ax + y = 5 + x y= 5a ( a+ ) x = 5+ 5a :( a+ ), a. Tapaus a = on tutkittava erikseen.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 97 Päivitetty 7.5.6 5+ 5a x = a + 5 ( + a) x = a + x = 5 Sijoitetaan yhtälöön (). a 5+ y = 5 y = 5 5a 54 Piirretään tilanteesta mallikuva. ) Jos a, suorilla on siis vain yksi yhteinen piste. ) Jos a =, niin alkuperäisistä yhtälöistä saadaan yhtälöpari x+ y= 5 + x y= 5 = aina tosi Siis suorat yhtyvät, eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä. Suorilla on siis kaikilla vakion a arvoilla vähintään yksi yhteinen piste. Vastaus a) ei millään vakion a arvolla b) a c) a = Suorakulmaisesta kolmiosta KAR saadaan AR = tan 4, KA A =, y = tan 4, x ( ) y = tan 4, ( x+ ) ( x ) Vastaavasti suorakulmaisesta kolmiosta EBR saadaan
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 98 Päivitetty 7.5.6 BR = tan 58,4 EB B=, ( ) = tan 58,4 y = tan 58,4 x y x ( x ) Suorien leikkauspiste R saadaan suorien yhtälöiden muodostaman yhtälöparin ratkaisuna. () y tan 4, ( x ) Sijoitetaan yhtälöön ( ). = + y = tan 58,4 x tan 4, ( x+ ) = tan 58,4 x tan 4, x+ tan 4, = tan 58,4 x x tan 4, tan 58,4 = tan 4, tan 4, x = tan 4, tan 58,4 =,6698..., 67( km) Leikkauspisteen koordinaattien likiarvot ovat x,67, y,4 joten rajapyykki sijaitsee likimain pisteessä (,67;,4 ). b) Ketse kulkee matkan KR = ( x ( ) ) + ( y ) = ( x+ ) + y nopeudella 5 km/h, joten hän käyttää rajapyykille kulkemiseen ajan (yksikkönä tunti) t K KR ( x+ ) + y x,67 ( km) = = 5 5 y,4 ( km),99 ( h) Vastaavasti Eemeliltä kuluu matkaan ER aika t E, 67 ( km) ER x + y+ x = = 8 8 y,4 ( km), 67 ( h) Sijoittamalla muuttujan x arvo yhtälöön () saadaan Koska t E < t, ehtii Eemeli rajapyykille ennen Ketseä. K y = tan 58,4 x x=,6698... =,87...,4 ( km) Vastaus a) Rajapyykki on likimain pisteessä,67;,4. b) Eemeli on ensin perillä.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 99 Päivitetty 7.5.6 55 Määritetään pisteet, joissa suora x + y = leikkaa koordinaattiakselit. ) Suoran ja x-akselin leikkauspiste Kun y =, niin x + = eli x =. Leikkauspiste on siis A = (,). b) Piirretään mallikuva ) Suoran ja y-akselin leikkauspiste Kun x =, niin + y = eli y =. Leikkauspiste on siis B =,. a) Piirretään mallikuva. OA OB = x = = = y = = Kolmion OAB ala on A OAB 9 = = 4 Kolmio OAB on suorakulmainen kolmio, joten suurin kulma on 9. Suoran kulman puolittavan suoran yhtälö on muotoa y = kx, missä k = tan 45 =. Suoran yhtälö on siis y = x. Kolmion OAP ala on puolet kolmion OAB alasta, joten määritetään suorien y = kx ja x+ y = leikkauspisteen P y-koordinaatti, joka on kolmion OAP korkeus.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 Leikkauspiste P saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x+ y = y = kx Sijoitetaan yhtälöön (). x+ kx = ( + k) x= :( + k)(, koska k > ) x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). + k k y= k = + k + k k Leikkauspiste on siis P =, + k + k. k Kolmion OAP kanta on ja korkeus on, joten + k Saadaan yhtälö 9 AOAP = AOAB AOAB = 4 k 9 = + k 4 k = + k 4 k = ( + k) k = + 6k 6k = k = Suoran yhtälö on siis y = x A OAP k = + k Vastaus a) y = x b) y = x
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 56 Väite. Suora Tapa C + x C y+ C = kulkee vakion C kaikilla arvoilla saman pisteen kautta. Todistus. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun C =, saadaan suora + x y+ = x = x = Kun C =, saadaan suora + x y+ = x y = y = x Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x y = = Osoitetaan, että kaikki suorat kulkevat pisteen Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on oikea puoli on C + C + C = C + C + C = Siis kaikki suorat kulkevat pisteen, kautta. Tapa, kautta. Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin C arvosta riippumatta. C + x C y+ C = C x+ x C y+ C = C x y+ + x = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin C arvoilla, kun x y+ = ja x = eli y = x+ ja x= eli y = ja x=
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin C arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka Yhtälö kulmakerroin on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. C + x C y+ C = C y C = C + x C C y C = C + x C C y C = C + x C + ( C + ) Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina joka kulkee pisteen (, ) kautta., ei riipu parametrin C ( C ) arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. Koska piste Jos C =, suoraparven yhtälö saa muodon + x y+ = x = x = eli pisteen (, ) kautta kulkeva pystysuora suora. Täten kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta C ja ( C y C = C + )( x ) ( C + ) y = x, C C : C, C. Tapaus C = tutkitaan erikseen. Vastaus Piste on (, ).
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 57 Annetaan kulmakertoimelle k esimerkiksi arvot k =, k =, k = ja k =. Vastaavat suorien yhtälöt ovat y = x+, y = x+, y = x+ ja y = x+. 58 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun a =, saadaan suora x y = eli y = x. Kun a =, saadaan suora x x y y = eli y = eli y =. Muunnetaan suoraparven yhtälö y = kx+ muotoon y y = k x x y = kx+ y = kx y = k( x ) ( x, y) = (,) Suorat kulkevat siis pisteen (, ) kautta kulmakertoimen k arvosta riippumatta. Kun kulmakerroin saa kaikki reaaliarvot, saadaan kaikki pisteen (, ) kautta kulkevat suorat lukuun ottamatta suoraa x =, sillä pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. Vastaus Suorat kulkevat pisteen, kautta. Suora x = ei kuulu suoraparveen. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. y = x y = Sijoitetaan yhtälöön (). = x x = Leikkauspiste on (, ). On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin a arvoilla.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on a oikea puoli on a = ja Kaikki suorat kulkevat siis pisteen, kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta. ax x ay y= ax ay x y= a x y x+ y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin a arvoilla, kun x y = ja x+ y = eli x = y ja x = y eli x = y =. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka kulmakerroin Yhtälö on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. ax x ay y= a y+ y = a x x ( ) ( ) ( ) a + y = a x : a + > a y = x a + a y = x y y = k x x a + a Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina ja joka a + kulkee pisteen (, ) kautta. Koska piste (, ) ei riipu parametrin a arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 7.5.6 a Suoran kulmakerroin on a +. Kulmakerroin on aina olemassa, sillä a + kaikilla parametrin a arvoilla. Suoraparvessa ei siis ole pystysuoria suoria. Vaakasuora suora saadaan kulmakertoimen arvolla, joten suoraparveen kuuluu vaakasuora suora y = eli x-akseli. Vastaus Suoraparveen kuuluu vaakasuora suora, mutta ei pystysuoria suoria. 59 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun k =, saadaan suora ( + ) x+ ( ) y 8 5= eli x y 5=. Kun k =, saadaan suora ( + ) x+ ( ) y 8 5= eli 5x y =. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x y 5= 5 5x y = ( ) ( ) x y 5 = 5x y 5 = + + x+ y+ 6= 5x + y+ 9= 7x + = 7y + 4= x= y= Leikkauspiste on (, ).
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 7.5.6 On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin k arvoilla. Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on ( + k) + ( k ) 8k 5 = 9+ 6k + k 4 8k 5= oikea puoli on Kaikki suorat kulkevat siis pisteen, kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta. ( + k) x+ ( k ) y 8k 5= x+ kx+ ky y 8k 5= kx + ky 8k + x y 5 = x+ y 8 k + x y 5 = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin k arvoilla, kun x+ y 8= ( ) x y 5= 4x+ y 6= 6x y+ 4= + + x y 5= 6x 4y = 7x = 7y+ 4= x= y= Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon y = kx+ b. ( + k) x+ ( k ) y 8k 5= ( k ) y= ( + k) x+ 8k + 5 :( k ), k Tapaus k = on tutkittava erikseen. + k 8k + 5 y= x+ k k Jos k, niin suoralla on kulmakerroin, joten suora ei voi silloin olla pystysuora..
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 7.5.6 Jos k =, suoraparven yhtälö saa muodon ( + ) x+ ( ) y 8 5= 7x 6 5= 7x = x = eli saatiin pisteen (, ) kautta kulkeva pystysuora suora. Vastaus Pystysuora suora on mukana parvessa. 5 Suorien yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. 4x+ ay= ax y = 4x+ ay= + ax ay= a ax 4x= a+ a, a. Tapaus a = tutkittava erikseen. ( ) ( a ) a 4 x= a+ : 4, a ±. Tapaus a =± on tutkittava erikseen. a + x = a 4 a + x = ( a+ )( a ) x=, a, a ± a
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Sijoitetaan x = a yhtälöön (). a y = a a y = a a ( a ) a a+ y = = = a a a Suorien yhteinen piste on,, kun a, a ±. a a ) Jos a, a ±, niin suorilla on siis vain yksi yhteinen piste. ) Jos a =, alkuperäisistä yhtälöistä saadaan yhtälöpari 4x+ y = x y = ) Jos a =, niin saadaan 4x+ y= x y= 4x+ y= + 4x y= = 4 aina epätosi Suorat ovat yhdensuuntaiset eivätkä yhdy, joten niillä ei ole yhteisiä pisteitä. 4) Jos a =, niin saadaan 4x y= x y = ( ) 4x = y = x = y = Siis suorilla on vain yksi yhteinen piste,, jos a =. 4x y= + 4x+ y= = aina tosi Siis suorat yhtyvät eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos a =. Vastaus a) Suorilla on vain yksi yhteinen piste, jos a ±. b) Suorilla vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos a =. c) Suorilla ei ole yhtään yhteistä pistettä, jos a =.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 5 Suorien leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. x+ ty+ t + = tx + y + t + = ( t), t. Tapaus t = on tutkittava erikseen. x+ ty+ t + = + tx ty t t = x t x + t = ( ) ( ) t x = t t x = t ( t) x = ( + t)( t) x=, t + t : t, t ±. Tapaus t =± on tutkittava erikseen., t ± Sijoitetaan x = + t yhtälöön (). t + y+ t + = + t t y = t + t t t( + t) ( + t) y = + t t t t t y = + t t t y = + t Suorien ainoa leikkauspiste on t t,, kun t, t ± + t + t Saatiin siis seuraava tulos ) Jos t, t ±, suorilla on siis vain yksi leikkauspiste. Tutkitaan vielä erikseen tapaukset t =, t = ja t =.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 ) Jos t =, niin alkuperäisestä yhtälöstä saadaan yhtälöpari + + + = x y x+ y+ + = x + = y + = 4) Jos t =, niin saadaan x y+ + = + x + y + = = aina epätosi Siis suorilla ei ole yhteisiä pisteitä, jos t =. x = y = Siis suorilla on vain yksi yhteinen piste,, jos t =. Vastaus a) Suorilla on vain yksi yhteinen piste, jos t ± b) Suorilla on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos t =. c) Suorilla ei ole yhteisiä pisteitä, jos t =. ) Jos t =, niin saadaan x+ y+ + = x + y + + = ( ) Huomautus: Tutkitaan, sieveneekö yhteisen pisteen y-koordinaatin lauseke. t t, + t + t x+ y+ = + x y = = aina tosi Siis suorat yhtyvät eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos t =. Osoittaja on toisen asteen polynomi, jolla ei ole nollakohtia, koska diskriminantti D= ( ) 4 ( ) ( ) = <. Polynomi t t on siis jaoton, joten y-koordinaatin lauseke ei sievene. Tehtävän ratkaisun kannalta tämä tutkiminen ei ollut oleellista.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 5 Lasketaan suorien kulmakertoimet ja verrataan niitä keskenään. a) l: x 4y = l : 4x+ y 5= 4y = x y = 4x+ 5 k = 4 y = x 4 k = 4 Koska k k = 4 =, suorat ovat kohtisuorassa 4 toisiaan vastaan. b) l: x 6y 7= l : 8x 4y+ 7= 6y = x 7 4y = 8x+ 7 7 7 y = x y = x+ 6 4 k = Koska k = k, suorat ovat yhdensuuntaiset. k = d) e) Koska k k ja k k, niin suorat eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä kohtisuorassa toisiaan vastaan. l: x 4= l : y+ 5= x= 4 y = 5 Suoralla ei ole k = kulmakerrointa. Toinen suora on pystysuora ja toinen vaakasuora, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. l: x+ 6= l : x= x = Suoralla ei ole Suoralla ei ole kulmakerrointa. kulmakerrointa. Molemmat suorat ovat pystysuoria, joten ne ovat yhdensuuntaiset. c) l : 9x+ y+ = l : 5x 5y = y = 9x 5y = 5x y = x y = x 5 k = k = Vastaus a) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Suorat ovat yhdensuuntaiset. c) Suorat eivät ole kumpaakaan. d) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. e) Suorat ovat yhdensuuntaiset.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 5 a) Suora on suoran y = 5x+ 8 suuntainen, joten sen kulmakerroin on k = 5. Suoran yhtälö on y = 5( x+ ) y = 5x 5 y = 5x y y = k x x x, y =,, k = 5 b) Suora on suoran y = 5x+ 8 normaali, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja k k =. Saadaan yhtälö k n ( 5) = kn = 5 Suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 5 y = ( x ( ) ) 5 y = x+ 5 5 y= x+ 5 5 5 5y= x+ x 5y+ = Vastaus a) y = 5x b) x 5y + =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 54 Janan AB keskinormaali n kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa AB vastaan. Janan keskipisteen koordinaatit ovat xa + yb x = = = ya + yb + 6 y = = = Keskinormaali n kulkee siis pisteen P = (, ) kautta. Koska n AB, on k k =. n AB Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 6 ( ) 8 k = = = = 4, x ( ) joten saadaan yhtälö Keskinormaalin n yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 4 y = ( x ( ) ) 4 y = ( x+ ) 4 y = x 4 4 6 y= x+ 4 4 4 4y= x+ 6 x+ 4y 6= Vastaus Keskinormaalin yhtälö on x + 4y 6 =. k n 4= kn = 4
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 55 Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari x+ y = x y + 7 = x+ y 4= + x y+ 7= x + = x+ y = + y = y = Siis leikkauspiste on (, ). x = Sijoitetaan yhtälöön (). Määritetään suoran x y = kulmakerroin k. y = x k = Suoran l kulmakerroin k saadaan yhtälöstä k k = k = k = Suoran l yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = y = k x x y = ( x ( ) ) y = x x+ y + = x+ y 5= Vastaus x + y 5 =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 7.5.6 56 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. s x ay a : + = ay = x + a ) Jos a, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla a. ay = x + a : a, a. Tapaus a = on tutkittava erikseen y = x+ a y = kx+ b a k = ja b = a a s : ax+ y+ a+ 4= y = ax ( a+ 4) a a+ 4 y = x y = kx+ b a a+ 4 k = ja b = Suorat s ja s ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b a a+ 4 = ja a a a = 9 ja a ( a+ 4) a =± ja a a 4 4a 4 a Siis a =±. Koska a =± toteuttaa myös ehdon a, niin arvoilla a =± suorat ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy. ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat s : x= eli x= 4 s : y+ 4= eli y = Suora s on pystysuora ja suora s on vaakasuora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset, kun a =. Vastaus a = ±
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 7.5.6 57 Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : x + ry s = ry = x + s ) Jos r, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla r. ry = x + s : r, r. Tapaus r = on tutkittava erikseen. s y = x+ r r k = r l : x+ y = y = x+ y = x+ k = Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset eli l l, kun k = k. Saadaan yhtälö = r r = = Koska r = toteuttaa myös ehdon r, niin arvolla suora l on suoran l suuntainen. ) Jos r =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x s = eli x= s l : x+ y = eli y = x+ r = Suora l on pystysuora ja suora l on vino suora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset, kun r =. Suora l kulkee pisteen (, ) yhtälön. Sijoitetaan piste (, ) suoran l yhtälöön. + r s = r s = r = s = s = Vastaus r = ja s =. kautta, joten piste toteuttaa suoran
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 7.5.6 58 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ by = by = ax + ) Jos b, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla b. by = ax + a y= x+ b b a k = ja b= b b l : ax y+ = y= ax+ a y= x+ a k = ja b = : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. Suorat l ja l yhtyvät, kun k = k ja b = b. Saadaan yhtälöpari () a a = b = b a a = b b = 6 Sijoitetaan yhtälöön (). a a = 6 6 a = a 4a = a = a = a = Koska toteuttaa myös ehdon b, niin arvoilla b = 6 b = 6 suorat yhtyvät. ) Jos b =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : ax = eli x= a a l : ax y+ = eli y = x+ Suorat eivät yhdy millään vakion a arvoilla, sillä jos a, on suora l pystysuora ja l on vino suora. jos a =, ei suoraa l ole ja suora l on vaakasuora. Vastaus Suorat yhtyvät, kun a = ja b= 6.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 59 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ y ay = ( a) y = ax ) Jos a, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla ( a). ( a) y= ax :( a), a. Tapaus a= on tutkittava erikseen. a y= x y= kx+ b a a k= ja b= a l : x+ y a= y= x+ a a y= x+ y= kx+ b a k = ja b = ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x+ y y = eli x= l : x+ y = eli y = x+ Suora l on pystysuora ja suora l on laskeva suora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä toistensa normaaleja. Siis a = ei voi olla tehtävän ratkaisu missään kohdissa a), b) tai c). a) Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b a a = ja a a = a ja a a = 5 Ratkaisu a = kelpaa, koska myös ehto a toteutuu. 5
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 b) Suorat yhtyvät, kun k = k ja b = b a a = ja = a a = 5 ja a = ei ratkaisua Siis suorat eivät yhdy millään vakion a arvolla. c) Suorat l ja l toistensa normaaleja, kun k k =. Saadaan yhtälö a = a a = a a = + a a = Ratkaisu a = kelpaa, koska myös ehto a toteutuu. Vastaus a) Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun a =. 5 b) Suorat eivät yhdy millään vakion a arvolla. c) Suorat ovat toistensa normaaleja, kun a =. 5 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y = x+ l : 5x+ y+ = y = 5x 5 y = x 5 k = k = Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. 5 tanα = tanα = α α = 6,565... = 68,98... Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6,565... 68,98... = 85,7... 85
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k 5 α = = = tan k, k + kk 5 tanα = = = 5 + 4 α = 85,6... 85 b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: 6x 8y = l : x 4y+ 7= 8y = 6x+ 4y = x 7 6 7 y = x y = x+ 8 8 4 4 6 k = = k = 8 4 4 Suorien kulmakertoimet ovat samat. Suorat ovat siis yhdensuuntaiset, joten niiden välinen kulma on Vastaus Suorien välinen kulma on a) 85 b). 5 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y = x+ 5 l : x 4y+ 7= 4y = x 7 7 y = x 4 4 k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α = 6,44... α = 6,869... Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6,44... 6,869... = 79,697... 8
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k α = k = k = 4 tan, + kk 4 4 tanα = = = 5 + 4 Suorien välinen kulma on l, l = 6,869... 7 α = 79,695... 8 b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y+ 9= l : x 4y+ 4= y = 9 4y = x 4 y = x+ 4 k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α = = 6,869... α Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = = = 4 tanα k, k + kk 4 4 tanα = = = + 4 4 α = 6,869... 7 Vastaus Suorien välinen kulma on a) 8 b) 7.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 5 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l : x y+ = l : y = x+ 5 y = x y = x+ k = k = Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = α α = 6,565... = 7,565... Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6,565... 7,565... = 8,869... 8 Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = = = tan α k, k + kk tanα = = = 7 + α = 8,869... 8 b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: 4 x= l : 9x 8y+ 7= x= 4 8y = 9x 7 Suoralla ei ole kulma- 9 7 kerrointa, sillä suora y = x+ 8 8 on pystysuora. 9 k = 8 k k Yhtälöä tanα = ei voida käyttää, sillä toisella suoralla + kk ei ole kulmakerrointa.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 Suorien suuntakulmat ovat α = 9 tanα = k 9 tanα = 8 α = 48,66... 5 Suora x + = eli x = on pystysuora, joten yhtälöä k k tanα = ei voida käyttää. + kk Piirretään mallikuvat. Suorien välinen kulma on, = = 9 l l α α = 9 48,66... = 4,6... 4 Vastaus Suorien välinen kulma on a) 8 b) 4 Kuvien perusteella suoran y = kx+ suuntakulman pitää olla joko tai. Kulmakertoimiksi saadaan ) k = tan = = ja ( ) k = tan = tan = = Vastaus k =± =±
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 54 Suora l kulkee origon kautta, joten sen yhtälö on y = kx. Lasketaan suorien kulmakertoimet. s : x y = l: y = kx y = x k = k = k Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä tanα = k =, k = k ja α = 45 + kk tan 45 = k k tan 45 = k a a + k = b b k = + k + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + k = + k 4k = tai k = 4 k = tai k = Vastaus Suoran yhtälö on y = x tai y = x. 55 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: x+ y 5= l : y = x+ 4 y = x+ 5 5 y = x+ k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α α =,69... = 4,6... Suorien välinen kulma on (, ) l l = α + α = 4,6... +,69... = 47,76... 48
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 7.5.6 Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = k = k = 4 tan α, + kk 4 tanα = = = 5 + 4 6 α = 47,76... 48 56 Lasketaan suorien kulmakertoimet ja suuntakulmat. l: x+ = l : 5x+ 6y = x= 6y = 5x+ Suoralla ei ole 5 5 kulmakerrointa, sillä y = x+ 6 suora on pystysuora. 5 k = 6 5 tanα = 6 α = 9 = 9,85... α Vastaus Suorien välinen kulma on 48. Suorien välinen kulma on, = = 9 = 9 9,85... l l α α = 5,94... 5 Vastaus Suorien välinen kulma on 5.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 7.5.6 57 Piirretään mallikuva, missä talo on sijoitettu koordinaatistoon siten, että y-akseli sijaitsee talon keskellä. Merkitään A = B = C = D = (,4) ( 5,) (,6) ( x,) Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (,6 ), k = 5 y 6= ( x ) 5 5 5y = x x+ 5y = Piste D saadaan yhtälöparista x+ 5y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). x = x = Siis piste D = (,) Huipun varjopisteen etäisyys talon seinästä on m 5m = 5m. k AB y 4 = = = x 5 5 Vastaus Varjo on 5 metrin päässä seinästä.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 7.5.6 58 Piirretään mallikuva koordinaatistoon, jossa yksikkönä on m. Vaijereita kuvaavat suorat l ja l. Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = α =,69... tanα = α = 45 Lasketaan suorien l ja l kulmakertoimet. k y y = = = ja k = = = x x Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k α = = = tan k, k + kk 5 tanα = = = 5 + Suorien välinen kulma on (, ) l l = α + α =,69... + 45 = 78,69... 79 Vastaus Vaijerit leikkaavat toisensa 79 kulmassa. α = 78,69... 79
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 59 Piirretään mallikuva. Määritetään suoran x y + = normaalin kulmakerroin. x y+ = y = x y = x+ k = Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kn = kn = ) Normaalin AA kautta kulkevan suoran yhtälö on y = ( x+ ) y = x 4 y = x y y = k x x x, y =,, k = Lasketaan normaalin ja suoran leikkauspiste A ratkaisemalla yhtälöpari x y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x ( x ) + = x+ 4x+ + = 5x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = ( ) = Siis A ' = (,) ) Normaalin BB kautta kulkevan suoran yhtälö on y 5= ( x+ ) y 5= x y= x+ y y = k x x x, y =,5, k = Lasketaan normaalin ja suoran leikkauspiste B ratkaisemalla yhtälöpari x y+ = y = x + Sijoitetaan yhtälöön ().
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 x ( x+ ) + = x+ 4x 6+ = 5x = x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 5 9 y = + = 5 5 9 Siis B ' =, 5 5. Janan AB projektio suoralla x y + = on A B. Janan A B pituus on A' B' = x x + y y 9 = 5 5 8 4 = + 5 5 64 + 6 8 4 5 = = = 5 5 5 54 Suorat kulkevat pitkin suorakulmaisen kolmion kateetteja, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l: x+ y+ a = l : ax y+ 5a 6= y = x a y = ax+ 5a 6 a y = x k = k = a Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö a = a = Vastaus Projektion pituus on 4 5 5. Vastaus Suorat kulkevat pitkin suorakulmaisen kolmion kateetteja, kun a =.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 54 Merkitään kysyttyä pistettä C (, b) Piirretään mallikuva. =. l : k k y y C yb b = = = x x x 4 b + = 4 C B Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö Kulma ACB on suora, joten pisteiden A ja C sekä B ja C kautta kulkevat suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Määritetään suorien kulmakertoimet. b b+ = 4 ( b )( b+ ) = 8 ( 8) ( b )( b+ ) = 8 a+ b a b = a b b = 8 b = 9 b = ± Piste C on (, ) tai (,). l : k k y y y x x x C A = = = b = C A b ( ) Vastaus Pisteistä (, ) ja (,).
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 54 Piirretään mallikuva Janan AB pituus on AB = y = t = t Saadaan yhtälö Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l: kx y = l : kx+ y+ t = y = kx y = kx t k = k k = k Suora y = kx kulkee origon kautta, joten janan toinen päätepiste on origo. A =,. Siis Suoran l leikkauskohta y-akselilla saadaan ratkaisemalla yhtälöpari t = 6 a = b, b> a = b tai a = b t =± 6 Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö k ( k) = k = k = k =± =± () x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = kx t y= k t = t Siis B (, t) =. Vastaus t = 6 ja k =± tai t = 6 ja k =±
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 54 Merkitään k on suoran l kulmakerroin. Suoran yhtälö on (, ) (, ) y y = k x x x y = y+ = k( x ) y = kx k Suorien välinen kulma saadaan yhtälöstä tanα = k=, k = k ja α = + kk tan k k tan = k = + k a a = b b k = + k + k = k =, a b = ab + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + = + k k = tai = 4 aina epätosi k = tai ei ratkaisua Suoran yhtälö on y= x tai suora on pystysuora y= x tai x= x y = tai x= Vastaus x y = tai x=
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 7.5.6 544 Määritetään suorien kulmakertoimet. k k k = tanα = tan 6 tan 6 = = Suorien välisen kulman tangentti on tanα tan 45 k k k = k k =, k = k = + kk ja α = 45 = tan 45 = k a a + k = b b k = + k ) + ) + k = tai k = + + k = tai k = + + + k = tai k = 4 4 k = tai k = k = tai k = Vastaus Toisen suoran kulmakerroin on tai. + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + k = k k + k = tai k k = + k = tai k =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 545 Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste. K = xy, ja kolmion kärkiä Merkitään keskipistettä A (, ), B (, ) ja C (,) = = =. Piirretään mallikuva. Määritetään sivujen keskinormaalien yhtälöt. ) Sivu AB Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y y A yb kab = = = = = x x x A Janan AB keskipisteen koordinaatit ovat xa + xb + x = = = y A + yb + y = = = B Normaali kulkee siis pisteen, kautta. Normaali n AB, joten kn kab = eli kn = =. kab Keskinormaalin yhtälö on y y = k( x x) k =, ( x, y) =, y = x y = x+ y = x+ x y+ = ) Sivu BC Kulmakerroin on y yb yc kbc = = = = x x x Keskipiste on xb + xc + x = = = yb + yc + y = = = B Normaali kulkee siis pisteen (,) kautta. C
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 7.5.6 Normaalin kulmakerroin on k n = =. k Keskinormaalin yhtälö on y y = k x x k =, x, y =, y = ( x ) y = x+ y = x+ x+ y 4= ) Sivu AC Kulmakerroin on y ya yc kac = = = = x x x 5 Keskipiste on xa + xc + x = = = ya + yc + 5 y = = = Normaali kulkee siis pisteen A BC C 5, kautta Normaalin kulmakerroin onkn = = = 5. k AC 5 Keskinormaalin yhtälö on 5 y y = k( x x) k = 5, ( x, y) =, 5 y = 5 x 5 5 y = 5x+ y = 5x+ 5 5x+ y 5= Sivujen keskinormaalien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä () x y+ = ( ) x+ y 4= 5x+ y 5= x y+ = x+ y = + + x+ y 4= x+ y 4= x = y 5= 5 x= y= =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 7.5.6 Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (). Kun x= ja y =, yhtälön 5x + y 5 = 5 vasen puoli on 5 + 5= + 5= ja oikea puoli on Yhtälöryhmän ratkaisu on siis x= ja y =. 546 Piirretään mallikuva. Janan AB kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on,. Vastaus Ympyrän keskipiste on,. Huomautus: Keskipisteen määrittämiseksi olisi riittänyt ratkaista kahden keskinormaalin leikkauspiste, sillä kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa aina samassa pisteessä. k AB = Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö on y = ( x ) y = x y y = k x x x, y =,, k = Piste B on suoralla y = x, joten pisteen B koordinaatit ovat x ja y = x eli B = x,x. Janan AB pituus on ( ) AB = x + y = x + x,
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 7.5.6 joten saadaan yhtälö x + x = x x ( x ) x x + + 9x 8x + 9= + = x = Tulon nollasääntö x= tai x = x= tai x = y= x y= y= y = y = 4 Siis piste B on (, ) tai (,4). Vastaus Janan loppupiste on (, ) tai (,4). 547 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suoran yhtälöt ratkaistuun muotoon. l ax x y : + = l : ay+ x = ay = x + y = a x x+ ( ) y = a x+ : a y = x+ a k = ja b = ) Jos a, niin suoran l yhtälö voidaan jakaa luvulla a. ay = x + y= x+ a a k = ja b = a a : a, a. Tapaus a = on tutkittava erikseen.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 a) Suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun k k =. Saadaan yhtälö a = ( a) a a a = a a = ± ( ) 4 ( ) ± 4 a = = a= tai a= Kelpaavat, koska ehto a toteutuu. Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a = tai a =. b) Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b. a a = ja a a a a= ja a 4 a+ = Etsitään kolmannen asteen yhtälön ratkaisut kokeilemalla. Kolmannen asteen yhtälöllä on korkeintaan kolme reaaliratkaisua. Kokeillaan, onko a = yhtälön a a+ = ratkaisu. Yhtälön vasen puoli on + = ja oikea puoli on Siis a = on yhtälön ratkaisu. Kokeillaan, onko a = yhtälön ratkaisu. Yhtälön vasen puoli on ( ) ( ) + = 8+ 6+ = ja oikea puoli on Siis a = on yhtälön ratkaisu. Muita reaalijuuria ei löydy helposti, joten yritetään löytää kolmas juuri polynomin tekijöihin jaon avulla. Kolmannen asteen polynomin P a = a a+ tekijöitä ovat ( a ) ja ( a+ ), sillä vastaavalle yhtälölle saatiin juuret a = ja a =. Koska korkeimman asteen termin kerroin on, on polynomin kolmas tekijä. astetta ja muotoa a x. Siis a a+ = ( a )( a+ )( a x) ( a a+ = a + a )( a x) a a+ = a a x+ a ax a+ x a a+ = a + x a + ( x ) a+ x
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 7.5.6 Yhtälön oikea ja vasen puoli ovat samat, jos termien kertoimet ovat samat. Saadaan yhtälöryhmä x = x = x = Kaikki yhtälöryhmän yhtälöt toteutuvat, kun x =. Siis kolmas tekijä on ( a ) eli yhtälön a a+ = ratkaisut ovat a = ja a = ( a = on kaksinkertainen juuri). Nämä kelpaavat, sillä myös ehdot a ja a 4 toteutuvat. Suorat ovat siis yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun a = tai a =. c) Suorat l ja l yhtyvät, kun k = k ja b = b. Kohdan b) mukaan k = k, kun a = tai a =. I Kun a =, niin b = ja b = =. Arvo a = ei kelpaa, sillä b b. ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x y+ = y = x+ y = x+ l : x = x = Suora l on vino ja suora l on pystysuora, joten mikään kohdista a), b) tai c) ei toteudu. Vastaus a) a = tai a = b) a = tai a = c) ei millään luvun a arvolla II Kun a =, niin b = ja b =. Arvo a = ei kelpaa, sillä b b. Suorat eivät siis yhdy millään luvun a arvolla.
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 548 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ x by+ = ( a+ ) x+ = by by = ( a + ) x + ) Jos b niin suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla b. by = ( a + ) x + : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. a + y = x+ y = kx+ b b b a + k = ja b = b b l : x y 4= x 4= y 4 y = x 4 k = ja b = l : 6x by+ 5= 6x+ 5= by : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. 6 5 y = x+ b b 6 5 k = ja b = b b Suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun k k =. Saadaan yhtälö a + = b a + 6 = b () a+ 6= b Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b. Saadaan yhtälö a + 6 5 = ja b b b b ( a+ ) b= 6 b ja b 5b ab + b = 6b aina tosi ab b =
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty 7.5.6 Ratkaistaan yhtälöiden () ja () muodostama yhtälöpari. a+ 6= b ab b = Ratkaistaan a. ab b = b( a ) = b a = a = Sijoitetaan yhtälöön (). l : x y 4 = 4 y = x l : 6 x+ 5 = 5 x = 6 Suorat l ja l ovat pystysuoria ja suora l on nouseva suora, joten arvolla b = ei toteudu l l ja l l. + 6= b = b b = 4 a = Koska ratkaisu toteuttaa myös ehdon b, niin näillä b = 4 arvoilla suora l l ja l l. Vastaus a = b = 4 ) Jos b =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : ax+ x+ = ( a+ ) x = x = a +