.4 Rollen lause. Funktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lauseessa 0 väitettiin ja uskon asiaksi jätettiin, että suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Luvattiin myös palata käsittelemään, millä muuttujan arvoilla funktio tällaiset arvot saavuttaa. Sovitaan kuitenkin ensin intuitiota täsmällisemmin, mitä tällaisilla niin sanotuilla ääriarvoilla tarkoitetaan. MÄÄRITELMÄ 9 Funktio f saavuttaa jollakin välillä (voi olla avoin tai suljettu, mahdollisesti koko R) (globaalisen, absoluuttisen) maksimiarvon pisteessä x 0, jos välin jokaisessa pisteessä f(x 0 ) > f(x). Jos yhtäsuuruus suljetaan pois, puhutaan aidosta maksimiarvosta. Tällaisesta x:n arvosta käytetään nimitystä maksimipiste tai maksimikohta. Sanotaan edelleen, että funktiolla on pisteessä x 0 paikallinen maksimiarvo, jos on olemassa jokin pisteen x 0 ympäristö, jonka jokaisessa pisteessä f(x 0 ) > f(x). Kääntämällä sopimuksissa esiintyvät epäsuuruusmerkit toisin päin tullaan määritelleeksi absoluuttinen minimiarvo ja paikallinen minimiarvo. Miten löydetään se x:n arvo, kohta, missä funktio saavuttaa ääriarvonsa? LAUSE 7 Oletus: Välillä I määritelty funktio saavuttaa ääriarvon (paikallisen tai absoluuttisen) välin sisäpisteessä x 0 ja (x ) on olemassa. Väite: f (x0) 0. f 0
f (x h) f (x ) Tod.: Tarkastellaan funktion f erotusosamäärää 0 0, nimenomaan pisteessä x 0 olettaen, että funktiolla on tässä kohden maksimi- h arvo. Koska nyt f(x 0 ) on maksimi, niin erotusosamäärän osoittaja on ei-positiivinen, paikallisenkin ääriarvon tapauksessa, kunhan vain h on tarpeeksi pieni. f Jos h < 0, niin koko erotusosamäärä 0 ja samalla sen vasemmanpuoleinen raja-arvo 0. Tämä raja-arvo f (x0 ) 0, h 0 x koska, oletuksen mukaan, derivaatta on olemassa pisteessä x 0, ja x f tällöin erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat molemmat olemassa ja keskenään yhtä suuret.. f Jos taas h > 0, niin erotusosamäärä 0 ja samalla sen oikeanpuoleinen raja-arvo 0. Tämä raja-arvo f (x0 ) 0. x x f h 0 Derivaatasta f (x0) on nyt saatu tiedoksi kaksi varmaa tosiasiaa. Se on toisaalta positiivinen tai nolla ja toisaalta se on negatiivinen tai nolla. Siis funktion maksimikohdassa f (x0) 0. Vastaavasti osoitetaan, että myös funktion minimikohdassa derivaatta saa arvon nolla. Huom.! Lause ei puhu mitään funktion f määritysjoukon I sellaisista pisteistä, joissa funktiolla ei ole derivaattaa. Tällaisessakin pisteessä funktiolla SAATTAA olla ääriarvo. Nyt palataan jatkuvuusasioiden yhteydessä esiteltyihin lauseisiin. Tässä on puhuttava ainoastaan lauseiden esittelystä, koska niiden paikkansapitävyyttä ei todistettu. Korostetaan kuitenkin, että lauseet voidaan todistaa. Jos funktio f on jatkuva äärellisellä suljetulla välillä I: a < x < b, niin tältä väliltä on löydettävissä piste x 0, jolle f(x 0 ) > f(x) kaikille välin I pisteille. Tämä merkitsee siis sitä, että suljetulla välillä jatkuva funktio aina saavuttaa suurimman arvonsa
tällä välillä. Voidaan ilmaista niinkin, että tällaisella funktiolla on aina maksimiarvo. Toisaalta pitää paikkansa myös väite: Jos funktio f on jatkuva äärellisellä suljetulla välillä I: a < x < b, niin tältä väliltä on löydettävissä piste x, jolle f(x ) < f(x) kaikille välin I pisteille. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa siis myös pienimmän arvonsa tällä välillä. Ääriarvoprobleemoissa on usein keskeistä kyetä määrittämään funktion suurin ja/tai pienin arvo tai sellaiset muuttujan arvot, joilla nämä, jollakin suljetulla välillä saavutetaan. Jos siis jokin funktio on jatkuva jollain äärellisellä suljetulla välillä, ja yritetään etsiä funktion suurinta/pienintä arvoa, niin tiedetään varmaksi, että ne ovat löydettävissä eikä touhuta turhaa. Lauseesta 7 saadaan jo paljon viitettä, miltä suunnalta kannattaa etsiä. Huomautetaan kuitenkin, että funktiolla saattaa olla useitakin ääriarvoja, kun otetaan myös paikalliset ääriarvot huomioon. Niin sanotut absoluuttiset (globaaliset) ääriarvot löydetään kuitenkin paikallisten ääriarvojen joukosta aina. LAUSE 8 ROLLEN LAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b. f on derivoituva välillä a < x < b f(a) f(b) Väite: On olemassa ainakin yksi välille a < x < b kuuluva derivaatan nollakohta, ts. on olemassa x 0, jolle f (x0) 0. Geometrisesti väite merkitsee sitä, että avoimella välillä on ainakin yksi sellainen piste, missä käyrän y f(x) kuvaajalle asetettu tangentti on x-akselin suuntainen. Tod.: Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa tällä välillä suurimman arvonsa M ja pienimmän arvonsa m. Jos erikoistapauksessa M m, niin f on vakiofunktio koko välillä ja vakion derivaatta on nolla. Tällöin avoimen välin jokainen piste on derivaatan nollakohta. Yleensä kuitenkin M m, ja tällöin ainakin yksi funktion arvoista eroaa päätepistearvoista f(a) f(b). Oletetaan, että M > f(a). Tällöin funktio saavuttaa suurimman arvonsa välin sisäpisteessä ja lauseen 7.7 nojalla tässä pisteessä derivaatta saavuttaa arvon nolla.
a x 0 b Esim. Olkoon f(x) x x. Tämä funktio on määritelty joukossa x > 0. Vaikka potenssifunktion jatkuvuus saattaa tässä vaiheessa olla hiukan löysissä perusteissa, funktio on kuitenkin jatkuva joukossa x > 0 ja derivoituva, kun x > 0. Jos erikoisesti tarkastellaan väliä 0 < x <, niin tällä välillä f täyttää Rollen lauseen oletukset, joten voidaan varmuu-della sanoa, että välillä 0 < x < on ainakin yksi sellainen piste, jolle f () 0. Huomaa, että f (0) ei ole olemassa, vaikka f on oikealta derivoituva. Monet sovellutustehtävät palautuvat suljetulla välillä jatkuvan funktion suurimman/pienimmän arvon määrittämiseksi. Nämä tällaiset arvot, kuten on jo useasti todettu, aina ovat olemassa. Rollen lauseen nojalla on pääteltävissä erinomaisen käyttökelpoinen tulos, joka sangen merkittävästi auttaa hylkäämään tarkasteltavalta väliltä sellaiset muuttujan x arvot, joilla funktio ei missään tapauksessa saavuta suurinta tai pienintä arvoaan. Tällaisia ovat kaikki ne pisteet, joissa derivaatta saavuttaa nollasta poikkeavan arvon ja lisäksi välin päätepisteet, joissa derivoituvuutta ei oletettu. Näiden pohdintojen nojalla voidaan katsoa oikeaksi näytetyn seuraava
LAUSE 9 Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b. f on derivoituva välillä a < x < b Tällöin funktio f saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa pisteessä, joka on joko välin päätepiste tai välille kuuluva derivaatan nollakohta. Esim. Määritä funktion f: f(x) (x 6x ) suurin ja pienin. välillä [,5] saavuttamista arvoista ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä. f (x) (x 6x ) ja f (x) (x x) x f (x) 0 (x x) 0 (x 4) 0 x 0 tai x 4. Derivaatan nollakohdista vain x 4 kuuluu tarkasteltavalle välille. 5 f () ( 6 ) f (4) (4 6 4 ) 6 5 f (5) (5 6 5 ) Funktio f on polynomifunktiona jatkuva välillä suljetulla välillä [,5] Vastaus: Suurin arvo on ½ ja pienin 6. Kun eteen tulee tehtävä, jossa on määritettävä suljetulla välillä jatkuvan ja vastaavalla avoimella välillä derivoituvan funktion f suurin ja/tai pienin arvo, niin päämäärään vievää toimintaa voi pitää melko kaavamaisena.
Totea/selvitä jatkuvuus ko. suljetulla välillä. Totea/selvitä derivoituvuus vastaavalla avoimella välillä Ratkaise yhtälö f (x) 0 Laske funktion päätepistearvot sekä funktion arvo niissä derivaatan nollakohdissa, jotka kuuluvat tarkasteltavalle välille Nouki näin määrittämistäsi funktion arvoista suurin/pienin. Monenlaisia ääriarvoprobleemoita voidaan palauttaa suljetulla välillä jatkuvan ja vastaavalla avoimella välillä derivoituvan funktion suurimman tai pienimmän arvon määrittämiseksi. Tällaisissa tehtävissä hankalin vaihe saattaa olla tutkittavan funktion lausekkeen muodostaminen ja tähän liittyen probleemaa luonnehtivan määrittelyvälin selvittely. Esim. Isäntä osti 400 metriä piikkilankaa tarkoituksenaan pystyttää poneilleen suorakulmion muotoinen aitaus. Maaston epätasaisuuden vuoksi aitauksen yhdelle sivulle tarvittiin kaksinkertainen piikkilanka, mutta kolmelle sivulle riitti yksi. Määritä aitauksen suurin mahdollinen pintaala. y x Jos lausutaan ala kahden muuttujan funktiona, niin se on kannan ja korkeuden tulo A(x, y) xy. Tämäntyylisissä tehtävissä on ensimmäinen asia siirtyä yhden muuttujan funktioon, mihin tarjoaa keinon tieto siitä, että piikkilankaa oli 400 metriä, joka on syytä käyttää kaikki, eikä sitä osin varastoida. Aitauksen piirihän on x y ja tämä olisi tasan 400 metriä, ellei yksi sivu vaatisi kaksinkertaista lankaa. Olkoon tämä sivu x, jolloin langan pituuden avulla saadaan 400 x x y 400, ja tästä y sekä edelleen 400 x 400x x A(x) x.
Myös funktion määritysjoukko on syytä selvittää heti. Noin matemaattisessa mielessä voidaan rakentaa aitaus, jossa joko kanta tai korkeus on nolla, mutta kumpikaan niistä ei voi olla negatiivinen. 400 x Tulee siten olla x > 0 ja > 0. Jälkimmäinen epäyhtälö rajaa muuttujan x ylöspäin: 400 x > 0 eli x < 400. Funktio A on polynomifunktiona jatkuva välillä 0 < x derivoituva vastaavalla avoimella välillä. 400 sekä 400x x 400 6x A(x) A (x) 00 A (x) 0 00 x 0 x. 00 x Lasketaan funktion A päätepistearvot sekä arvo derivaatan nollakohdassa. A(0) 0 400 400 400 600 600 400 A( ) 0, mikä olisi selvä asia laskemattakin. 00 00 400 80000 40000 00 40000 A( ) 6666 6 Kun piikkilangan pituus on annettu metreinä, ja kun myös aitauksen pituus ja leveys ovat metreinä ilmoitetut, saatu suurin arvo on neliömetrejä. Sen tarkka arvo on siis 6666 m eli suunnilleen 0.67 ha. Edellä esitetty teoria ja käsitelty esimerkki koskevat suljetulla välillä jatkuvaa ja vastaavalla avoimella välillä derivoituvaa funktiota. Voidaan mennä teoriassa eteenpäin pysytellen edelleen suljetulla välillä jatkuvissa funktioissa, mutta ei enää oleteta derivoituvuutta avoimen välin jokaisessa pisteessä. Käytännössä tämä
oletusten väljennys tarkoittaa sitä, että funktio on derivoituva tarkasteltavalla avoimella välillä yleensä, mutta ko. välillä on äärellinen määrä pisteitä, joissa derivaattaa ei lainkaan ole tai derivoituvuudesta ei ole täyttä varmuutta. Kun joudutaan määrittämään suljetulla välillä jatkuvan funktion suurinta ja/tai pienintä arvoa, voidaan pääpiirtein edelleenkin nojata lauseeseen 9. Kuten Rollen lauseen todistuksesta ja sitä edeltävän lauseen 7 sisällöistä voidaan päätellä, funktio ei missään tapauksessa saavuta suurinta/pienintä arvoaan pis-teessä, jossa derivaatta saa nollasta poikkeavan arvon. Derivoituvuusoletuksesta luovuttaessa jäljelle jäävät päätepistearvojen ja derivaatan nollakohtien lisäksi funktion arvot pisteissä, joissa derivaattaa ei ole. Funktion jatkuvuus on tietenkin aina selvitettävä/todettava. Kannattaa ehkä vielä mainita, että pisteissä, joissa derivaatan olemassaolosta ei olla varmoja, voi derivoituvuuden selvittää. Jos todetaan, huomattavan työmäärän jälkeen, että funktio olisi avoimella välillä derivoituva, voidaan tietenkin nojata lauseeseen 9. Vaan jos todetaan, että joissakin epävarmuuskohdissa ei ole derivaattaa, saa kohautella olkapäitään turhan työn tähden, koska lauseen 9 oletukset eivät kuitenkaan ole täytetyt. Ja vaikka olisivatkin, useimmissa tapauksissa on tehty työtä enemmän kuin on siitä saavutettu hyöty. Suoraviivaisempaa on nojata seuraavaan lauseeseen: LAUSE 0 Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b. Tämä funktio saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa pisteessä, joka on joko välin päätepiste, välille kuuluva derivaatan nollakohta tai kohta, jossa derivaattaa ei ole tai derivoituvuudesta ei olla varmoja. Kohtia joissa derivaattaa ei ole, ovat tässä vaiheessa yleensä vain paloittain määritellyn funktion lainvaihtumiskohdat. Näissähän jatkuvuus joka tapauksessa joudutaan heti alussa selvittämään.
Esim. 4 Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä < x < 5, kun x x, kun x f (x) x 4x 7, kun x > Funktio f on kahtena paloittain määriteltynä polynomifunktiona jatkuva kaikkialla R:ssä ja erikoisesti R:n suljetulla osavälillä [,5] paitsi mahdollisesti lainvaihtumiskohdassa. Se on tutkittava heti aluksi jatkuvuuden määritelmän perusteella: x x f (x) x x f (x) ( x (x x ) f () 4x 7) Jatkuvuusehto täyttyy myös pisteessä x. x, kun x < f (x) x 4, kun x > 4 7 Huomaa, että derivoitaessa yhtäsuuruusmerkki tippuu pois. Jos sen jätät paikoilleen, samalla tulet väittäneeksi, että funktio on derivoituva pisteessä. Et voi väittää poikaa varkaaksi sen nojalla, että isä on joskus tuomittu varastetun tavaran kätkemisestä. x 0 x, voimassa kun x < f (x) 0 x 4 0 x 4, voimassa, kun x > Näistä molemmat kuuluvat siihen määrittelyalueeseen, missä derivaattakin on asianomaisella lausekkeella määritelty ja lisäksi molemmat nollakohdat ovat avoimen välin < x < 5 pisteitä. Piste x on epävarma sen suhteen, onko funktiolla f siinä derivaattaa vaiko ei, mutta sellaisena se on ehdokas mahdolliseksi ääriarvokohdaksi.
f ( ) ( ) f () f () (laskettu jo edellä) 4 f (4) 5 f (5) ( ) 4 0 4 4 7 4 5 7 Vastaus: Suurin arvo on 4 ja pienin arvo on. Käydään vielä läpi esimerkki suljetulla välillä epäjatkuvasta funktiosta. Esim. 5 Tutki, onko funktiolla f suurinta tai pienintä arvoa välillä [, 6] x f (x) x x 5x, 8x 4, kun x > kun x 0, kun Funktio f on kahtena paloittain määriteltynä polynomifunktiona jatkuva koko välillä paitsi mahdollisesti pisteessä x. x x f (x) f (x) x x x ( (x x 5x) 8x 4) 5 6 8 4 Funktio ei ole jatkuva pisteessä x, koska f (x) x olemassa. Tutkimustehtävää on silti jatkettava. ei ole lainkaan x x 8, kun f (x) x 5, kun x > x <
Määritetään derivaatan nollakohdat: Väli 0 < x < : x x 8 0 x tai x 4. Näistä vain x kelpaa. Väli < x < 6: x 5 0 eli x ½, mikä ei kuulu alueeseen. Funktion arvoja kriittisissä kohdissa: f (0) 4 f () f () 8 4 5 x f (x) 6 f(6) 6 5 6 6. Edellä suoriteltujen funktion arvojen laskemisen ja jatkuvuusselvittelyn perusteella on pääteltävissä, että funktiolla on suurin arvo f(6), mutta ei ole pienintä arvoa. Funktio x:n lähestyessä oikealta lukua lähestyy rajattomasti arvoa 6, mutta ei saavuta sitä koskaan. Toimenpiteellä, jossa funktion määrittelyssä lainvaihtumiskohdan yhtäsuuruusmerkin paikka vaihdettaisiin, olisi sellainen vaikutus, että funktio saavuttaisi arvon f() 6. Tällöin kuvaajassa olevat avotäppä ja umpitäppä vaihtaisivat paikkaa (kuva seur. sivulla). Usein on määritettävä toisen asteen polynomifunktion kuvaajan, paraabelin huippu. Sehän on opittu jo analyyttisen geometrian puolella, mutta lauseen 7.7 nojalla on yksinkertaisesti pääteltävissä, että paraabelin huipussa paraabelilla on aina ääriarvo, ja siten paraabelin huipun x-koordinaatti on derivaatan nollakohta.
6 y 4-4 6 x -4 Kuva. Esimerkki 5 Jos ääriarvoprobleema johtaa toisen asteen polynomifunktion tarkasteluun, voidaan monesti selvitä sitovaan lopputulokseen tarvitsematta mennä tarkastelemaan jotain suljettua väliä. Jos toisen asteen termin kerroin on positiivinen, tällä funktiolla on pienin arvo derivaatan nollakohdassa. Vastaavasti on derivaatan nollakohdassa suurin arvo toisen asteen termin kertoimen ollessa negatiivinen. Olkoon kuitenkin probleemaa ratkaistaessa tilanne sellainen, että derivaatan nollakohta sijaitsee muuttujalle sallitulla alueella!! Esim. 6 Määritä vakiot b ja niin, että paraabelin y bx x huippu sijaitsee pisteessä (,). Paraabelin lausekkeessa on kaksi tuntematonta, joiden määrittäminen vaatii kaksi yhtälöä. Toinen saadaan siitä, että paraabeli kulkee huippunsa kautta, eli pisteen (, ) koordit toteuttavat paraabelin yhtälön. Toinen tuntemattomia sitova yhtälö saadaan siitä tiedosta, että paraabelin huipun x koordinaatti eli derivaatan nollakohta on kakkonen.
4b b 0 b 0 () y ja bx y x bx y 4 b 0 4b 0 4b 4b 0 4b 4b Vastaus: 4 b