Jännitysten jakautuminen Lasken ntaesimerkit 1. Jännitysanalyysi Mohrin ympyrällä... 1 2. Pystysuuntaisten jännitysten laskenta... 1 3. Jännitys maaperässä perustuksen alla... 3 4. Jännitys penkereen alapuolella: leveä penger... 4 5. Jännitys penkereen alapuolella: kapea pengerr... 7 6. Boussineqin teoria ja superpositioperiaate taipuisan laatan alla... 9 7. Lähekkäisten anturoiden vaikutuss jännitysjakautumaan... 14 Kevät 2013 Rak 50 kurssit Maamekaniikan ja pohjarakentamisen laboratorio
1. Jännitysanalyysi Mohrin ympyrällä (Atkinson 2007, example 2.3) Tehtävässä määritetään Mohrin jännitysympyrän avulla maa alkiossa a vaikuttavat tehokkaatt jännityksett sekä leikkausjännitykset. Kuvassa 1 on esitetty maa alkio tukiseinän takana. Tehokkaat jännityksett vertikaali ja horisontaalisuunnassa ovat σ z = 300 kpa ja σ h = 100 kpa ja nämä oletetaan olevan pääjännitykset. Tämä edellyttää, että tukiseinä on liikkumaton. Kuvassa 2 on esitetty Mohrin ympyrä maa alkiossa vaikuttavien jännityksen osalta. Kuvasta mitattuna Ф m = 30⁰, kriittisten tasojen kulmat ovat α = β = 60⁰ ja näiden tasojen jännitykset ovat σ = 150 kpa sekä s τ = ±87 kpa. Kuva 1. Maaelementti tukiseinän takana. Kuva 2. Mohrin ympyrä. 2. Pystysuuntaisten jännitysten laskenta (Atkinson 2007, example 6.1) Tehtävässä määritetään mittasylinterin pohjallaa vaikuttava pystysuuntai inen jännityss erilaisissa olosuhteissa. Mittasylinterissä on hiekkanäyte, joka on ensinn kuiva (kuva 3a), jota kastellaan k sitten hiekan pintaan asti (kuva 3b) ja lopuksi sylinteriä koputetaan muutaman kerran siten, että hiekka tiivistyy vähän (kuva 3c). Laske kokonaispystyjännitys, huokosvedenpainee ja tehokas pystyjännitys mittasylinterin pohjalla. LÄHTÖTIEDOT Kuva 3. Hiekka mittasylinterissä. 1
veden tilavuuspaino γ w =9,81 kn/m 3 Tilanne a): hiekan korkeus z = 0,40 m kuivatilavuuspaino γ d = 15,5 kn/m 3 Tilanne b): hiekan korkeus z = 0,40 m tilavuuspaino γ = 19,5 kn/m 3 vesipatsaan korkeus h w = 0,40 m Tilanne c): hiekan korkeus z = 0,37 m tilavuuspaino γ = 20,4 kn/m 3 vesipatsaan korkeus h w = 0,40 m hiekan päällä olevan veden korkeus z w = 0,03 m RATKAISU a) hiekka on kuivaa ja löyhää: Huokosvedenpaine u = 0, koska tilanteessa ei ole lainkaan vettä. Kuivassa tapauksessa tehokas pystyjännitys on yhtä suuri kuin kokonaispystyjännitys, koska huokosvedenpainetta ei ole. 15,5/ 0,40 6,2 b) hiekka on kyllästynyttä ja löyhää: Kokonaispystyjännitys: 19,5/ 0,40 7,8 Huokosvedenpaine: 9,81/ 0,40 3,9 Tehokas pystyjännitys: 7,83,93,9 c) hiekka on kyllästynyttä ja tiivistä: Kokonaispystyjännitys: 20,4/ 0,37 9,81/ 0,03 7,8 Huokosvedenpaine: 2
Betoninen sillan pilari on 4 metriä korkea, sen poikkipinta ala on 10 m 2 ja se kantaaa 1 MN:n kuormaa (kuva 1). Teräsbetonin tilavuuspaino on γ c =25 kn/m 3. Pilari on perustettu joen j pohjalle, jossa on ainakin 5 m hiekkaa, jonka tilavuuspaino on γ = 20 kn/m 3. Joessa esiintyy vuorovesi ilmiö. Kuvassa 4a joen pohja on matalanveden aikana ja kuvassa 4b korkeanveden aikana, jolloin vesisyvyys on 3m. Laske tehokas pystyjännitys molemmissa tapauksissa 2 m joen pohjan alapuolella pilarin keskilinjalla alla olevassa maa alkiossa. 9,81/ 0,40 3,9 Tehokas pystyjännitys: 7,83,9 3,9 Huom! Hiekan tiivistyminen koputtamalla sylinteriä ei muuttanut kokonaispystyjännitystä eikä tehokastaa pystyjännitystä sylinterin pohjalla. Se johtuu siitä, että hiekan ja veden kokonaismask ssat eivät muuttuneet. 3. Jännitys maaperässä perustuks sen alla (Atkinson 2007, example 6.3) LÄHTÖTIEDOT Kuva 4. Jännitys maaperässä perustuksen alla. teräsbetonin tilavuuspaino γ c = 25 kn/m pilarin korkeus H c = 4 m pilarin poikkipinta ala A =10 m 2 pilarille tuleva pystysuuntainen kuormitus F = 1000 kn hiekan tilavuuspaino γ = 20 kn/m 3 tarkastelusyvyys z = 2 m veden tilavuuspaino γ w = 10 kn/m 3 Tilanne a): vedenpinnan korkeus h w = 2 m (eli veden pinta on joen pohjassa) Tilanne b): m 3 3
vedenpinnan korkeus h w = 5 m vesipatsaan korkeus joen pohjan yläpuolella z w = 3 m RATKAISU Kokonaisjännitys pilarin ja maan välillä (pohjapaine) koostuu pilarin painosta ja siihen kohdistuvasta kuormasta. Tässä tarkastellaan vain kuormien ominaisarvoja! 25kN/m 4m 1000kN 10m a) matalanveden aikana: Pystyjännitys: 200 kpa 20/ 2 200 240 Huokosvedenpaine: 10/ 220 Tehokas pystyjännitys: 240 20 220 b) korkeanveden aikanaa: Pystyjännitys: 20/ 2 10/ 3200 10/ 3 240 Huokosvedenpaine: 10/ 550 Tehokas pystyjännitys: 240 50 190 Huom! Tässä tapauksessa vesisyvyyden kasvu on pienentänyt tehokasta jännitystä maaperässä. Se johtuu siitä, että kuormitus on vähentynyt nosteen seurauksena. 4. Jännitys penkereen alapuolella: leveä penger (Atkinson 2007, example 6.4) Kuvan 5 maaprofiili koostuu 4 m:n savikerroksesta ja 2 m:n hiekkakerroksesta kallion päällä. Sekä saven (clay) että hiekan (sand) tilavuuspaino on 20 kn/m 3 ja tasapainotilassa vedenpinta on maanpinnan tasolla. Leveä ja 4 m korkea penger (fill) rakennetaan täytemateriaalista, jonka tilavuuspaino on 15 kn/m 3. Laske kokonaispystyjännitys ja tehokas pystyjännitys saven ja hiekan keskellä a) ennen penkereen rakentamista, b) heti rakentamisen jälkeen ja c) pitkän ajan kuluttua rakentamisesta. 4
LÄHTÖTIEDOT Kuva 5. Jännitys maaperässä a) lähtötilanteessaa ja b) penkereen rakentamisen jälkeen. saven ja hiekan tilavuuspaino γ = 20 kn/ /m 3 täyttömateriaalin tilavuuspaino γ f = 15 kn/m 3 saven paksuus z c = 4 m hiekan paksuus z s = 2 m penkereen korkeus z f = 4 m RATKAISU a) ennen penkereen rakentamista: Vedenpinta on maanpinnan tasolla eli korkeudella h w = 2 m savikerroksen keskipisteestä ja korkeudella h w = 5 m hiekkakerroksen keskipisteestä. Savessa: Pystyjännitys: 20/ 240 Huokosvedenpaine: 10/ 2 20 Tehokas pystyjännitys: 40 20 20 Hiekassa: Pystyjännitys: 20/ 5 100 Huokosvedenpaine: 10/ 5 50 Tehokas pystyjännitys: 100 50 500 b) heti rakentamisen jälkeen: 5
Hiekkakerros on salaojitettu, joten sen huokosvedenpaine purkaantuu rakentamisen ja aikana ja heti rakentamisen jälkeen huokosvedenpaine pysyy vakiona. Penger on leveä, joten ei esiinny vaakasuuntaisia muodonmuutoksia, eli sen kuorman voidaan olettaa pysyvän vakiona koko tarkasteltavalla syvyydellä. Savi on kuivattamaton ja tehokkaat jännitykset pysyvät savessa muuttumattomina, eli savi kerää ylimääräistä huokosvedenpainetta. Savessa: Pystyjännitys: 15/ 4 20/ 2 100 Tehokas pystyjännitys on sama kuin a) kohdassa: 20 Huokosvedenpaine: 100 20 80 Hiekassa: Pystyjännitys: 15/ 4 20/ 5 160 Huokosvedenpaine on sama kuin a) kohdassa: 50 Tehokas pystyjännitys: 160 50 110 c) pitkän ajan kuluttua rakentamisesta: Pitkän ajan kuluttua rakentamisesta huokosveden ylipaine savessa on ehtinyt tasaantua tasapainotilaan, joka vastaa vedenpintaa alkuperäisellä maanpinnan korkeudella. Savessa: Pystyjännitys on sama kuin b) kohdassa: 100 Huokosvedenpaine on sama kuin a) kohdassa: 20 Tehokas pystyjännitys: 100 20 80 Hiekassa: Hiekassa jännityksissä ei tapahdu muutoksia kohtien b) ja c) välillä. Kokonaispystyjännitys ja huokosvedenpaine ovat siis samat hiekassa pitkän ajan kuluttua rakentamisesta ja heti rakentamisen jälkeen. KOMMENTTEJA ESIMERKISTÄ: Esimerkki on UK:sta, joten siinä sekä saven että hiekan tilavuuspainot ovat merkittävän suuria ja selkeästi suurempia kuin Suomessa. Sitä vastoin täytön tilavuuspaino 15 kn/m 3 viittaa löyhään materiaalin tai läjitettävään heikkolaatuiseen materiaaliin. Jännitystilatietoja eri kerrosten keskellä tarvitaan esim. painumalaskelmissa. 6
5. Jännitys penkereen alapuolella: kapea penger (RIL 157 I, esimerkki 9.64) Tässä esimerkissä esitetään ohje pengerkuorm masta aiheutuvan pystyjännityksen arvioimiseksi kuvassa 7 esitettyä nomogrammia käyttäen sekä penkereen alapuolella, että penkereen ulkopuolella tarkastelupisteissä P. Penkereen geometriatie edot ja tarkastelupisteiden sijainti on esitetty kuvassa 6. Penkereen tilavuuspaino γ = 20 kn/m 3. Penkereen alla oleva maapohja on homogeeninen. Tehtävässää lasketaan pystyjännitys pisteissä P. LÄHTÖTIEDOT Penkereen korkeus h = 2,0 m Penkereen tilavuuspaino γ = 20 kn/m 3 Tarkasteltavan pisteen P syvyys z = 2,0 m Kuva 6. Lähtötilanne. RATKAISU 7
Kuva 7. Pengerkuormasta aiheutuvan pystyjännityksen määrittäminen. Pystyjännitys pisteessä P penkereenn alla (kuva 6 ylempi tapaus) Pengerkuorma jaetaan osakuormaksi I (ABED) jaa osakuormaksi II (BCFE). Kuorma I: 2,0 2,0 1, 1,0 2,0 0,5 Kuorma II: 0,40 2,0 2,0 1, 4,0 2,0 2 0,49 Kokonaispystyjännitys pisteessä P: 0,400,49 0,89 2,0 20/ 40 0,89 40 35,6 Pystyjännitys pisteessä P penkereenn sivulla (kuvaa 6 alempi) 8
Pengerkuorma BCFE jaetaan positiiviseksi osakuormaksi ABCFED (kuorma I) ja negatiiviseksi osakuormaksi ABED (kuorma II). Kuorma I: 2,0 2,0 1, 9,0 2,0 4,5 0,5 Kuorma II: 2,0 2,0 1, 2,0 2,0 1 0,45 Kokonaispystyjännitys pisteessä P: 0,5 0,45 0,05 2,0 20/ 40 0,05 402,0 KOMMENTTEJA ESIMERKISTÄ: Esimerkissä esitetty kuormien yhdistelytapa toimii, jos oletetaan maapohjan olevan lineaarisesti kimmoinen, jolloin superpositioperiaate toimii. Tarkempia laskelmia varten on tarpeen suorittaa numeerisia tai muita mallinnuksia. 6. Boussineqin teoria ja superpositioperiaate taipuisan laatan alla (RIL 157 I, esimerkki 9.61) Taipuisa peruslaatta, jonka koko 10 x 10 m 2, perustetaan 1 m syvyyteen maanpinnasta. Laatta rajoittuu alaosastaan 1 m paksuiseen kuivakuorikerrokseen, jonka alapuolella on 9 m paksuinen normaalikonsolidoitunut pehmeä savikerrostuma. Pohjasuhdetiedot on esitetty kuvassa 8. Laatalle aiheutuva tasaisesti jakautunut pohjapaine on suuruudeltaan 50 kpa, josta aiheutuva nettopohjapaine on perustamissyvyydessä 1 metriä on 30 kpa. (Eli 50 kpa 1,0m x 20 kn/m 3 = 30 kpa). Esimerkissä oletetaan, että maapohja on homogeenista, lineaarisesti elastista materiaalia, jolloin superpositioperiaate on voimassa. Jännitysjakautuma määritetään Boussineqin teorialla. Pystyjännityksen arvot lasketaan kuvassa 8 esitettyjen numeroitujen pisteiden kohdilla: laatan keskellä (piste 1) laatan sivun keskellä (piste 2) laatan nurkassa (piste 3) laatan merkitsevän pisteen kohdalla (piste 4) 9
LÄHTÖTIEDOT pohjapaine p = 50 kpa nettopohjapaine p N = 30 kpa kuivakuoren paksuus z kk = 1 m saven paksuus z sa = 9 m anturan leveys B = 10 m anturan pituus l = 10 m Kuivakuori: moduuliluku m 2 = 60 moduulieksponentti β 2 = 1,0 Poissonin luku v = 0,4 lepopainekerroin K 0 = 0,67 Pehmeä savi: moduuliluku m 1 = 10 moduulieksponentti β 1 = 0,00 Poissonin luku v = 0,4 lepopainekerroin K 0 = 0,67 Kuva 8. Pohjasuhdetiedot. Laskenta etenee siten, että ensin määritetään laatan kuormasta tarkastelupisteisiin aiheutuva pystyjännitys s laatan alapinnan tasolla. Sitten tämän ja syvyysjakaantuma nomogrammin avullaa lasketaan syvyyssuuntaiset jännitysjakaantumat tarkastelupisteiden alapuolella. Tässä T alkuvaiheessa on oletettu, että maapohjaa on homogeeninen ja lineaarisesti elastinen. 10
RATKAISU Hyödynnetään laskennassa Boussinesqin nomogrammeja, vaikuttavat jännitykset laskentapisteissä. kun määritetään aluksi laatan pohjan tasollaa Kuva 9. Tasaisesti kuormitetusta aipuisasta laatasta aiheutuvan pystyjännityksenn määrittäminen laatan nurkan alapuolella maapohjassa. Kuva 10. Superpositioperiaatteen soveltaminen jännitysten määrittämiseksi suorakaiteen kuormitusalueen alla tai sivulla sijaitsevassa mielivaltaisessaa pisteessä maapohjassam a. muotoisen 11
Piste 1 (kuva 8) laatan keskipiste Käytetään superpositioperiaatetta jännityksenn laskemiseen anturan keskipisteen alla (kuva 10 vasen alanurkka). Tällöin käytetty leveys on /2 10/ /2 5 jaa pituus /210/2 5.. Kuormasta aiheutuva jännityslisäys syvyydellä z saadaan laskettua nomogrammista luettavasta arvosta σ z /p seuraavasti: / 4 Piste 2 (laatan sivun keskellä) Käytetään superpositioperiaatetta jännityksen laskemiseen anturann reunan keskipisteen alla (kuva 10vasemmalla toinen ylhäältä). Tällöin käytetty leveys on /2 10/2 5 ja pituus 10. Kuormasta aiheutuva jännityslisäys syvyydellä z saadaan laskettua nomogrammista luettavastaa arvosta σ z /p seuraavasti: / 2 Piste 3 (laatan nurkassa) Käytetään superpositioperiaatetta jännityksen j laskemiseen anturan nurkan alla (kuva 10 vasen ylänurkka). Tällöin käytetty leveys on 5 ja pituus 10. Kuormasta K aiheutuva jännityslisäyss syvyydellä z saadaan laskettua nomogrammista luettavasta arvosta σ z /pp seuraavasti: / Piste 4 (merkitsevä piste), jossa taipusan ja jäykän laatan painumat ovat yhtä suuria. Käytetään superpositioperiaatetta jännityksenn laskemiseen merkitsevän pisteen alla (kuva 10 oikea ylänurkka, kuva 11). Tällöin käytetty leveys on /2 0,74 /2 10/ /2 1 0,74 1,3 ja 10 1,38,7. Samoin pituudet 8,7 jaa 1,3. - - - täy ysin taipuisaa täysin jäykkää Kuva 11. Täysin jäykän ja täysin taipuisan laatann merkitsevissä pisteissä painuma onn sama. Kuormasta aiheutuva jännityslisäys syvyydellä z saadaan laskettua nomogrammista luettavasta arvosta σ z /p seuraavasti: / / / / Nomogrammin käyttämistä varten lasketaan anturan pituuden ja leveyden suhde. Esim. piste 1: 5 5 1 12
Laskenta on esitetty allaa olevassa taulukossa. Syvyys z (m) perustamis 1,0 tasosta 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 σ z /p 0,25 0,24 0,222 0,2 0,175 0,152 0,13 0,11 0,095 0,082 Piste 1 σ z 30,0 28,8 26,6 24,0 21,0 18,2 15,6 13,2 11,4 9,8 Pystyjännityksen lisäys σ z (kpa) Piste 2 σ z /p σ z 0,25 15,0 0,243 14,6 0,232 13,9 0,219 13,1 0,2 12,0 0,18 10,8 0,165 9,9 0,15 9,0 0,135 8,1 0,12 7,2 σ z z/p 0,,25 0,,25 0,247 0,,24 0,234 0,223 0,213 0,2 0,,19 0,177 Piste 3 σ z 7,5 7,5 7,4 7,2 7,0 6,7 6,4 6,0 5,7 5,3 Syvyys z (m) perustamis 1,0 tasostaa 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 σ z,i /p 0,225 0,165 0,124 0,095 0,078 0,062 0,055 0,045 0,035 0,032 Pystyjännityksen lisäys σ z (kpa) Piste 4 σ z,ii /p 0,208 0,125 0,069 0,044 0,029 0,021 0,015 0,012 0,01 0,007 σ z,iii /p 0,25 0,247 0,241 0,235 0,223 0,213 0,2 0,182 0,172 0,16 σ z,iv /pp 0,2255 0,1655 0,1244 0,0955 0,0788 0,0622 0,0555 0,0455 0,0355 0,0322 σ z 27,2 21,1 16,7 14,1 12,2 10,7 9,8 8,5 7,6 6,9 Kuva 12. Pystyjännityksen jakautumat laskentapisteissä. 13
7. Lähekkäisten anturoiden vaikutus jännitysjakautumaann (RIL 157 I, esimerkki 9.65, muokattu) Lasketaan pystyjännitysjakautuma kuvassa 13 esitettyjen anturaperustusten keskipisteiden alla.. Anturoidenn perustamistaso on kerroksellisen maaperän pinnalla. Anturan 5 koko on 3 x 3 m 2 ja keskimääräinenn pohjapaine 75 kpa. Muut anturat ovat 2 x 2 m 2 kokoisia. Perustamissyvyys on 0 m, eli maan pinnassa. Seinien keskellä olevien anturoiden keskimääräinen pohjapaine on 60 kpa k ja nurkka anturoidenn pohjapaine 40 kpa. Laskelmissa sovelletaan likimääräistä pistekuormamenetelmäää Boussinesqin teorian mukaisesti ja tulos tarkistetaan keskimmäisen anturan kohdalta. Havainnollisuuden vuoksi v lasketaan lisäksi pystyjännitys s anturan 5 avulla syvyydessä z = 3,0 m. LÄHTÖTIEDOT Kuva 13. Anturaperustusten sijainti ja j niihin vaikuttava keskimääräinen pohjapaine Kuva 14. Pohjasuhdetiedot. Antura 5: Koko 3 x 3 m 2 Keskimääräinenn pohjapaine 75 kpa Muut anturat: Koko 2 x 2 m 2 Anturoiden 2, 4, 6, 8 keskimääräinen pohjapaine 60 kpa Anturoiden 1, 3, 7, 9 keskimääräinen pohjapaine 40 kpa 14
RATKAISU Symmetriasyistä riittää, kun laskelmat suoritetaan anturoiden 1, 2 ja 5 keskipisteiden kohdilla. Ko. anturasta aiheutuva pystyjännitys määritetään kuvassaa 15 esitetyn nomogrammin avulla, jolloin pohjapainejakautuman otaksutaan olevan tasainen. Nomogrammia käytettäessä arvioidaan pystyjännitys s laatan nurkan alla. Muista anturoista aiheutuva pystyjännitys määritetään kuvan 16 avulla. Kuva 15. Tasaisesti kuormitetusta taipuisasta t laatasta aiheutuvan pystyjännityksenn määrittäminen laatan nurkan alapuolella maapohjassa. Kuva 16. Pistekuormasta P aiheutuva pystyjännityksen σ z influenssiarvott K. 15
Lasketaan ensin anturasta 5 aiheutuva pystyjännitys kuvan 15 nomogrammin avulla. Koska jännitys lasketaan anturan keskipisteen alla, saadaan kokonaisjännitys superpositioperiaatteen perusteella jakamalla antura neljään yhtä suuren osaa, jonka sivun pituus on 3m/2=1,5 m. Nämä osien jännitykset voidaan summata. Lasketaan pystyjännitys syvyydellä z=3m. 1,5 1,5 1, 3 1,5 2 15 0,082 0,082 40,082 75 424,6 Toiseksi lasketaan anturoista 2,4,6 ja 8 aiheutuva pystyjännitys pistekuormana yhteensä (kuva 16): Anturoiden etäisyys 6. 6 3 2 16 0,01 Anturoiden 2, 4, 6, 8 pohjapaineesta aiheutuva pistekuorma P anturan keskellä on: 60 2 2 240 Yhden anturan pistekuorman aiheuttama pystyjännitys anturan 5 alla on: 0,01 240 3 0,27 Lisäpystyjännitys anturoista 2, 4, 6 ja 8 yhteensä: 4 0,271,1 Kolmanneksi lasketaan anturoista 1, 3, 7, ja 9 aiheutuva pystyjännitys yhteensä (kuva 16): Anturoiden etäisyys 6 6 8,5. 8,5 3 2,8 0,005 Yhden anturan pistekuorma anturan keskellä on: 40 2 2 160 Yhden anturan pistekuorman aiheuttama pystyjännitys anturan 5 alla on: 160 0,005 3 0,089 16
Anturoiden 1, 3, 7 ja 9 aiheuttama lisäpystyjännitys yhteensä: 4 0,089 0,4 Kaikista anturoista aiheutuva pystyjännitys yhteensä: 24,6 1,1 0,4 26,1 Taulukkoon 1 on laskettu jännitysjakauma anturan 5 keskipisteen alapuolella. Anturan omasta pohjapaineesta aiheutuva jakauma on laskettu lukemalla kuvan 15 nomogrammista termi ja laskemalla jännitys eri syvyyksillä seuraavalla kaavalla superpositioperiaatteen mukaisesti: 4 Muitten anturoiden vaikutus jännitysjakaumaan on huomioitu kuvan 16 nomogrammin avulla. Lisäjännitys on laskettu samalla tavalla kuin tässä esimerkissä aiemmin ja lisätty anturan itse aiheuttamaan jännitykseen. Taulukon 1 arvoista havaitaan, että tässä tapauksessa lähekkäisillä anturoissa on vain vähäinen vaikutus pystyjännitysjakautumaan. Taulukko 1. jännitysjakauma anturan 5 alapuolella. Antura 5 Syvyys Yksin Anturat 2, 4, 6 ja 8 Anturat 1, 3, 7 ja 9 Yhteensä z/b σ (m) z /p σ z (kpa) r/z K r/z K σ z (kpa) 0 75,0 75,0 0,5 0,33 0,244 73,2 12 0 17 0 73,2 1,0 0,67 0,215 64,5 6 0 8,5 0 64,5 2,0 1,33 0,138 41,4 3 0 4,25 0 41,4 3,0 2 0,082 24,6 2 0,01 2,83 0,005 26,1 4,6 3,07 0,043 12,9 1,30 0,044 1,85 0,014 15,3 6,3 4,2 0,025 7,5 0,95 0,09 1,35 0,04 10,3 8,0 5,33 0,016 4,8 0,75 0,15 1,06 0,075 7,8 9,0 6 0,013 3,9 0,67 0,19 0,94 0,10 6,9 10,0 6,67 0,010 3,3 0,60 0,21 0,85 0,12 6,1 17