A = {a 1,a 2,...,a n } a ij = (a i,a j ) α, 1 i,j n.

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ È ÙÐ Ò ÁÐÑÓÒ Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÝØØÝØÝÑ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ ÁÄÅÇÆ Æ È ÍÄÁÁÆ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÝØØÝØÝÑ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÂÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ) α, i,j n. Ë Ó Ò ÀÓÒ Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝ ØØÚØ ÖØ Ð ÝÑÔØÓØ ¹ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ Ð Ö Ò Ñ ØÖ ¹ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ º Ä ÖØ Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ n Ú Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò ÙÙÖ º Ì ØÙØ ÐÑ ÝÚ ÒÒÝØÒ Ý ØÝ Ó Ø Ø ÖØ Ð Ò ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ ØÓ ØÙ Òº

Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾ ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÅÖ Ø ÐÑ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ä Ù Ø Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ½ ¾º½ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØ¹ ØÝØÝÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ º º ¼ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ø Î ØØ Ø Ä Ø ¼ ¾ Ú

ÂÓ ÒØÓ Ì ØÙØ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ð ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ¹ ¹Ñ ØÖ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º Ë Ì¹ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ø Ö ÑÖ Ø ÐÑ Ø ØÒ Ð ÐÙÚÙ ½º¾ºµ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ë Ì¹ Ñ ØÖ Ò Ð ØØÝÚ ØÙØ ÑÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ò Ø È ÒØØ À Ù Ò Ò Á ÑÓ ÃÓÖ¹ ÂÙ Ë ÐÐ ÒÔº Á ÑÓ ÃÓÖ Ø Ö Ø Ð ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ø Ö Ø ØÙ ¹ Ú Ø Ö Ò ÇÒ Å Ø Ò ÂÓ Ò Å ØÖ Ó Ø Û Ø ÁÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð Ø ÓÖ ØØ ÓÑ Ò ÙÙ º Ì ØÙØ ÐÑ ¹ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ó Ò ÀÓÒ Ò Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝÒ ÖØ Ð ÝÑÔØÓØ¹ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ ØØÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó Ú ØÙÐÓ º ÌÙØ ÐÑ ÝÚ ÒÒÝØÒ Ý ØÝ Ó Ø Ø ÖØ Ð Ø ØØÝ Ò Ð Ù ¹ Ò Ò Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÙØ ÐÑ Ó ØØÙÙ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ô Ö Ò ÑÙØØ Ø Ö¹ Ø ÐÙ ÝØ ØÒ ÑÝ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø ØÓ º ÌÑÒ ÚÙÓ ¹ ÐÙ ÐÐ ØÙÐ ÓÐÐ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø ØÓ Ò Ð Ò ÐÝÝ Ò Ð Ò Ö Ð¹ Ö Ò ØÙÒØ ÑÙ Ø º ÃÝ Ø Ò ÝÑÑÖØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ú Ú ØØÓÑ Ø ÐÙ Ò ØÙÐ Ó Ø Ö ¹ ØÝ Ø Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÓØ ØÙÒØ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ð Ò¹ Ø Ò Ð ØØÝÚØ ÝÐ ÑÑØ ØØ Øº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø Ð ¹ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÒØ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÔÓÓ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ØÙÒØ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÐ Ò Ý Ø Ý Òº ÄÙ ¹ Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ó Ú Ò Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØº Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø Ó Ø ÐÙ Ò ØÙÐ ÐÐ Ø Ö ØÝ Ø Ö ¹ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑº Ä ÐÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø ÙÒ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒÓ Ó ÓÒÓ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÓÒÓ Ú Ò Ú ÓÒÓ ÙÔÔ Ò ¹ Ú ÓÒÓ ÒØÙÚ ÓÒÓ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÒÓ Ö Ö Ò ÙÑÑ ÙÔÔ Ò Ú Ö ÒØÙÚ Ö º ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÐÙ ÐÐ ØÙØØÙ º ÄÙ ÙØ ÓÖ Ò Ó ¹ ÐÙ ÐØ ÐÙ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ØÙØÙ ØÙÒÙØ Ð ÙÐÙ Ù Ò ÔÓ ¹ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÒÓÒ Ò Ð ÙØ ØÝ Òº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ØØÝÚØ ØØ Ø ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ö Ð Ø Ó Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÄÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒØ Ú Ò ØØ Ø ÓÙ ÓÒ Ñ Ø ÚÙÙ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÙÐ ØØÙ ÓÙ Ó Ø ÙÐ ØØÙ ÓÙ Óº ½

ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø Ö Ø ÐØ Ú ØÙÐÓ Ø ØÒ Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ¹ ØØ º ÄÙÚÙ ½ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ¾ ØÓ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ð Ù Ø º ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò ØÙØ ÐÑ ÝØ ØØÚ Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ø ØÒ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ º Ä Ø ØÒ ØÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ò ØÙØ Ð¹ Ñ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ù Ø º ½º½ Å Ö ÒØ Ì Ð ÐÙÚÙ ÖÖÓØ Ò ØÙØ ÐÑ ÝØ ØØÚ Ø Ñ Ö ÒÒ Øº ÌÙØ ÐÑ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ a,b,c,... a,a 2,...,b,b 2,... Ó ÓÒ µðù Ù º Ð ÙÐÙ Ù Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ p,p,p 2,... Á Ó ÐÐ Ö¹ Ñ ÐÐ A,B,C,... Ñ Ö ØÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó º Å Ö ÒÒÐÐ R Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ C Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒØ F ÝØ ØÒ ÓÙ Ó Ø Ó ÓÒ Ú ØÓ ØÓ Ø Ó Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº Å Ö ÒÒÐÐ Z Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z + ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ P Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒÒÐÐ a Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ a Ø ¹ ÖÚÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ A Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ñ Ø ÚÙÙØØ º Å Ö ÒÒÐÐ Ñ ÒA Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò ÒØ Ð ÓØ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ñ ÜA Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ ÒØ Ð ÓØ º Å Ö ÒÒÐÐ ā Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ a ÓÑÔ¹ Ð ÓÒ Ù ØØ º Å Ö ÒÒÐÐ a Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÙÙÖ ÒØ Ñ ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ ÐÙ Ù a a º È Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ x,y,z,... Ñ Ö ØÒ Ú ØÓÖ Ø Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ X,Y,Z,... Ñ ØÖ º ÂÓ Ñ ØÖ Ò X i. Ú Ö Ú Ò j. ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ð Ó ÓÒ a ij ÚÓ Ò Ñ Ö Ø X = [a ij ]º Ä Ñ Ö ØÒ X = [ a ij ]. Å Ö ÒÒÐÐ E n Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ó Ò Ò Ð Ó ÓÒ ½º Å Ö ÒÒÐÐ I Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý Ø ÝØ Ò ÓÔ Ú Ò Ó Ó Ø ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Å Ö ÒÒÐ¹ Ð (a,a 2,...,a n ) Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ii = a i ÙÒ i nº Å Ö ÒÒÐÐ ØX Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ º Å ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ð ÐÐ Ö Ñ Ð¹ Ð λ µ γº Å Ö ÒÒÐÐ X T Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X ØÖ Ò ÔÓÓ Ú ¹ Ø Ú Ø Ñ Ö ÒÒÐÐ x T Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ò x ØÖ Ò ÔÓÓ º Å Ö ÒÒÐÐ X Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò X ÓÒ Ù ØØ ØÖ Ò ÔÓÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ x Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò Ú ØÓÖ Ò x ÓÒ Ù ØØ ØÖ Ò ÔÓÓ º ¾

ÌÙØ ÐÑ Ñ Ö ÒÒÐÐ R m n Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð Ð Ó Ø Ò m n¹ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó º Å Ö ÒØ R n Ø Ö Ó ØØ n¹ Ð Ó Ø Ò Ö Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÙ Ó º Å Ö Ò¹ ÒÐÐ Θ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý Ø ÝØ Ò ÓÔ Ú ÒÓÐÐ ¹ Ð ÓØ º Å Ö ÒÒÐÐ a(p) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð ÙÐÙÚÙÒ p ÔÓØ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙÚÙÒ a ÒÓÒ Ð ÙØ ØÝ º Ë ÐÙÚÙÒ a ÒÓÒ Ò Ò Ð ÙØ ¹ ØÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ p P pa(p). Å Ö ÒÒÐÐ (a,b) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ò a b ÙÙÖ ÒØ Ý Ø Ø Ø º Ë Ð Ý Ò ÚÙÓ ÒÒÙ Ø Ò ØÑ ØÙØ ÐÑ Ò Ó Ò Ó ÓÒ ÔÓ ØØÙ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐÐ Ø ØÝ Ø Ñ Ö ÒÒ Øº ÃÝ Ó Ñ Ö ÒØ ÓÒ Ý Ø Ý Ø ÐÚ Ø ÓÒ Ð Ø ØØÝ Ö Òº ½º¾ ÅÖ Ø ÐÑ Ñ Ö Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ØÙØ ÐÑ Ø ÖÚ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö º Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ø ØÝÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A = {a,a 2,a 3,...,a n } Ö Ø¹ Ø ÑÐÐ Ö Ø ØÝÐÐ ÓÙ ÓÐÐ B = {b,b 2,b 3,...} Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÐ ÐÙ Ù¹ ÓÙ Ó Ó Ò Ð ÓØ ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ ¹ Òº ÂÓ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÔÓ Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ØØÙ Ö Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ º ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ñ Ò Ø ØÓ Ò ÓÚ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø Ñ ØÖ Ø ÓÙ ÓÒ F m n Ð Ó Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º Ã º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö¹ Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ (A) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ), i,j n. ÃÓ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù º Ñ Ö ½º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2, 4, 6} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò (, ) (, 2) (, 4) (, 6) (A) = (2, ) (2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, ) (4, 2) (4, 4) (4, 6) = 2 2 2 2 4 2. (6, ) (6, 2) (6, 4) (6, 6) 2 2 6

ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ã º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) = [a ij ] ÓÒ n n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó a ij = (a i,a j ) α, i,j n. ÃÙÒ A ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ö Ð ÐÙ Ù α = Ò Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (A α ) ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ (A)º ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù º ÌÑÒ ÚÙÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò ÓÙ ÓÒ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ÚÓ ¹ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÔÓØ Ò ÐÐ α Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ì ØÙØ ÐÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÔÓØ Ò ÐÐ º Ñ Ö ¾º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2, 4, 6} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò (A 2 ) = (, ) 2 (, 2) 2 (, 4) 2 (, 6) 2 (2, ) 2 (2, 2) 2 (2, 4) 2 (2, 6) 2 (4, ) 2 (4, 2) 2 (4, 4) 2 (4, 6) 2 (6, ) 2 (6, 2) 2 (6, 4) 2 (6, 6) 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 6. ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º º ½½ ºµ Å ØÖ X ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò Y Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØÝÚ Ñ ØÖ Z ØØ X = ZY Z. ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X Y. ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ º ºµ ÃÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó x Xx > 0 Ó ÐÐ x C n \ {Θ}.

Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÒØÝÚº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÂÓ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x C n \ {Θ} Ñ Ö ¹ ØÒ Xx = y, Ò Ò x X Xx = (Xx) Xx = y y. Å ØÖ X ÓÒ ÒØÝÚ ÓØ Ò Xx = y Θ. ÌØ Ò y y > 0. Å ØÖ X X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ º ºµ ÃÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó x Xx 0 Ó ÐÐ x C n \ {Θ}. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X n m¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ÓÒ Ù¹ ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò n n¹ñ ØÖ º ÂÓ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x C n \ {Θ} Ñ Ö ØÒ Xx = y, Ò Ò x X Xx = (Xx) Xx = y y. ÃÓ y y 0, Ò Ò Ñ ØÖ X X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º Ã Ö Ð Ð Ó Ø ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÑÝ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ º ÂÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ò ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ú Ø ÑÙ Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ø ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ø ÑÙ ÐÐ ÝÑ¹ Ñ ØÖ ÝÝ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ º ¼ ºµ Ê Ð Ð Ó Ò Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X > 0. Î Ø Ú Ø Ö Ð Ð Ó Ò Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ X 0. ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ì Ø Ù¹ Ö ØØ Ë Ì¹Ñ ØÖ Ø Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÑÝ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÑÝ ¹Ò Ø Ú Ò Òº

ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ Ù Ò Ñ ØÖ Y Ó ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ º ¼ ºµ Å ØÖ X ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ X Y 0. X Y. ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò X Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ X = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ}. ÅÖ Ø ÐÑ º Ã º ½ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X = [a ij ] R m n Y R k l º ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò X Y ÃÖÓÒ Ö Ò ØÙÐÓ X Y ÓÒ Ñ ØÖ a Y a n Y º º R mk nl. a m Y a mn Y Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X = [ 2 3 4 ] Y = 0 º ÌÐÐ Ò [ Y 2Y X Y = 3Y 4Y Y X = X X X 0X X X ] = = 2 2 0 2 0 2 2 3 3 4 4 3 0 4 0 3 3 4 4 2 2 3 4 3 4 2 0 0 3 4 0 0 2 2 3 4 3 4. ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÃÖÓÒ Ö Ò ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÒÒ Ò Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ò ÓÙ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ º

ÅÖ Ø ÐÑ ½¼º Ã º º ºµ ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ a b ÓÚ Ø Ù Ø ÐÐ Ð Ù¹ ÐÙ Ù Ó (a,b) =. Ñ Ö º ÄÙ Ù Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø (4, 9) = ÓØ Ò ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÄÙÚÙØ ÚØ Ù Ø Ò Ò ÙÑÔ Ò ÓÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÅÖ Ø ÐÑ ½½º Ã º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓØ A = {a,a 2,...,a n } B = {b,b 2,...,b m } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó Ò A B ÙÓÖ ØÙÐÓ A B ÓÒ Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó A B = {a b,...,a b m,a 2 b,...,a 2 b m,...,a n b,...,a n b m }. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓØ A = {, 2} B = {, 2, 4} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò A B = {, 2, 4, 2, 2 2, 2 4} = {, 2, 4, 2, 4, 8} B A = {, 2, 2, 2 2, 4, 4 2} = {, 2, 2, 4, 4, 8}. ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ñ Ö Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ ÚÐ ¹ Ò Ò ÙÓÖ ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÒÒ Ò Òº Ä ÙÓÖ ØÙÐÓ ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ ÓÙ Ó Ð Ó Ò Ö ØÝ ÚÐØØÑØØ ÒÓÙ Ø ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ ¹ Ö ØÝ Øº Ë ÙÖ Ú Ø Ø ØÒ Ö ØÑ ØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ø ØØÝ Ö ØÑ ØØ ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ø ÝØ ØÒ Ð ÐÙÚÙÒ ¾º ØÓ ¹ ØÙ º Ã Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½ ¹¾½ Ø ØØÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ¹ ÐÝ ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óºµ ÅÖ Ø ÐÑ ½¾º Ã º º ºµ ÙÐ Ö Ò Ú Ó C ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ( C = lim + n 2 + 3 + + ). n log n ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g ÙÑÑ f + g ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº (f + g)(n) = f(n) + g(n), ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g ØÙÐÓ fg ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº (fg)(n) = f(n)g(n),

ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º ½¼ º ¾ ºµ Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò f g Ö ØÐ Ø³Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó f g ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ (f g)(n) = ( n f(d)g, d) d n ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º ½¼ º ¼ ºµ ÇÐ ÓÓØ m n ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ó f() = Ò ÙÒ (m,n) =. f(mn) = f(m)f(n) ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º º ºµ ÇÐ ÓÓÒ g(x) > 0 ÙÒ x a. ÌÐÐ Ò Ñ Ö ÒØ f(x) = O(g(x)) Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó M ØØ f(x) Mg(x), x a. Å Ö ÒØ f(x) = h(x) + O(g(x)) Ø Ö Ó ØØ ØØ f(x) h(x) = O(g(x)). ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º Ö Ú Ø º ¾ ºµ Å Ù Ò ÙÒ Ø Ó µ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ ÂÓ n = Ò Ò µ(n) =. ÂÓ n > Ò Ò Ø ØÒ n Ð ÙÐÙ Ù Ò ØÙÐÓÒ n = p a p a 2 2 p a k k. ÌÐÐ Ò { µ(n) = µ(p a p a 2 2 p a k k ) = ( ) k, Ó a = a 2 = = a k =, 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½ º Ã º ½¼ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ α Ö Ð ÐÙ Ùº ÙÒ Ø Ó N α ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ ÙÖ Ú Ø N α (n) = n α. ÃÙÒ α = Ò Ò Ñ Ö ØÒ N α = N.

Ñ Ö º Ã º ½¼ º ¾ ºµ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ N(n) = n = n N 0 (n) = n 0 = ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÑ ¾¼º Ã º ½¼ Ö Ú Ø º ¾ ºµ ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ϕ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ ϕ(n) = {a a n, (a,n) = }. Ñ Ö º Ë ÐÚ Ø ϕ() =, ϕ(2) = ϕ(n) 2 ÙÒ n > 2. ÅÖ Ø ÐÑ ¾½º Ã º ½¾ º ½ ºµ ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÂÓÖ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α ÓÒ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α = µ N α. ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾º Ã º ½¾ º ½ ºµ Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ζ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÂÓ 0 < s < Ò Ò ( ) ζ(s) = lim x n x s. s s n x ÂÓ s > Ò Ò ζ(s) = n= n s. ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ê ¹ Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ÖÓ Ú ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ê Ñ ÒÒ Ò Þ Ø ¹ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ º ½º Ä Ù Ø Ñ Ö Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ¾ ØÓ ØÙ ÔÙÒ Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ù Ø º Ç Ð Ù Ø ØÓ Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ù Ø ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ Ú ØØ Ù Ø Ò ÑÙ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó Ø º Ä Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÝØ¹ Ø ÐÔÓ ÙÙØØ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö º Ë ÙÖ Ú Ø ØØÚØ Ð Ù Ø Ð ØØÝÚØ Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ Òº

Ä Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò (A α ) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÓ ØÙ º Ã º º ¾ ¾ º Ä Ù ¾º Ã º ½ º ¼ Ø ØÚ ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ X R n n ÒØÝÚ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ y R n \ {Θ} Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ ¹ Ò Ú ØÓÖ ÓÐÐÓ Ò Xy = λy. ÃÓ Ñ ØÖ X ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò Ø ØÒ ØØ λ 0. ÆÝØ X Xy = X λy, ÓØ Ò X y = λ y. Ä Ù º Ë Ñ Ð Ö ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º º [ ] [ ] 2 4 Ñ Ö ½¼º ÇÐ ÓÓÒ X = Y = º Æ Ò Ð¹ 0 3 ÔÓ Ø ØØ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ ØÖ Ò X Ò ÖØ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÂÓ Ø ØÒ ØØ Ñ ØÖ Y ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò X Ò ÚÓ Ò Ø Ø Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÔØ ÐÐ ØØ ÑÝ Ñ ØÖ Ò Y Ò ÖØ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ½º ÂÓ ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ Ø ØÝ ÐÐ Ñ Ð Ö ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓØ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ð ÙÑÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ Ö Ò Ù Ò Ó Ó ØØ Ñ ØÖ Ø Ñ Ð Ö º Ä Ù º ÈÓ Ø Ú Ø Ö Ð ÐÙ Ù º Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ x ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò 0 < x Xx = x λx = λx x. ÃÓ x x > 0 Ò ÙÒ x C n \ {Θ} Ò Ò λ > 0. ½¼

ÃÙÒ ØÙÒÒ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÐ Ò Ò Ù Ò Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ø ØÒ ØØ Ó Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø ¹ Ò ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÒØÝÚº Ä Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ó Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò 0. ÄÙÚÙ ¾º Ø ØÒ ØØ Ô Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ð Ö º Ä Ù º ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ x ÓÑ Ò ÖÚÓ λ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò 0 x Xx = x λx = λx x. ÃÓ x x > 0 Ò ÙÒ x C n \ {Θ} Ò Ò λ 0. Ä Ù º ÂÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ n ÔÓ Ø ¹ Ú Ø ÚÐØØÑØØ Ö ÙÙÖØ µ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ó ÐÐ ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ n ¹Ò Ø Ú Ø ÚÐØØÑØØ Ö ÙÙÖØ µ ÓÑ Ò ÖÚÓ º ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ½ ¾ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ n n¹ñ ØÖ Ø X Y ÐÐ ØØ X Y ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º ÇÐ ÓÓØ λ λ 2 λ n Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ µ µ 2 µ n Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò λ i µ i, i n. ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ½ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X,Y R n n º ÂÓ X Y Ò Ò max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ }. ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ½ º ½½

Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X R n n Y R m m º ÂÓ {λ,λ 2,...,λ n } ÓÒ Ñ ØÖ Ò X {µ,µ 2,...,µ n } Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ò Ò ØÐÐ Ò {λ i µ j i n, j m} ÓÒ Ñ ØÖ Ò X Y ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Óº ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ¾ º Ä Ù ½¼º ÇÐ ÓÓÒ n n¹ñ ØÖ X ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ m ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ m n. ÇÐ ÓÓÒ Y Ñ ØÖ Ò X ÐÐ Ò Ò m m¹ Ð Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø X ÔÓ Ø Ñ ÐÐ n m Ö Ú Ò Ø Ú Ø Ú Ø Ö Øº ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÐ ÓÓØ λ λ 2 λ n µ µ 2 µ m Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ l ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ l m. ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ½ º λ l µ l λ l+n m. Ä Ù ½½º ÇÐ ÓÓØ X Y n n¹ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ a ÓÑÔÐ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ½º XY X Y ¾º ax = a X. ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ¾ ¼ º ¾ º ¾ º º Ä Ù ½¾º Ã º ½ º ½¾ Ø ØÚ ½½ºµ ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò X X = X X. ½¾

ÌÓ ØÙ º ËÔ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ñ Ö Ò Ð Ù Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ X X = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò XX ÓÑ Ò ÖÚÓ} Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = (Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ}) 2 = Ñ Ü{λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X X ÓÑ Ò ÖÚÓ} = Ñ Ü{ λ λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò (X X) (X X) ÓÑ Ò ÖÚÓ} = X X. Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ X n n¹ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ λ Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ¾ º λ X. Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÓÒÓ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒØÙÑ Ø Ó Ú Ð Ù Ø º Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ (a i ) i= Ú Ò Ú Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÐÐ Ò (a i ) i= ÙÔÔ Ò º ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º º Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÙ Ù ÓÒÓÒ (a i ) i= Ó ÓÒÓº ÂÓ (a i ) i= ÙÔÔ Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ a Ò Ò ÓÒÓ (b i ) i= ÙÔÔ Ò ÑÝ Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ aº ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ¼ º ½

Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë Ö i= a i ÙÔÔ Ò Ó Ú Ò Ó Ö ÙÔÔ Ò º i=n a i ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º ½ º Ä Ù ½ º ÈÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ò Ö i= Ó Ó ÙÔÔ Ò Ø ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø ÒØº ÌÓ ØÙ º Ã º ¾ º ½ º Ä Ù ½ Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö Ø µº ÇÐ ÓÓØ a i i= a i i= b i ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ a i b i ÐÐ i Z + º ÌÐÐ Ò Ó Ö ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø ÒØ Ò Ò Ö i= a i b i i= ÒØÙÙ Ó Ø Ö Ø ÒØ ÑÝ º ÌÓ ØÙ º Ã º ½ º º Ä Ù ½ Ð Ø ØÝ Ð Ù µº ÎÖØº º ½¼ ºµ ÇÐ ÓÓØ a i, i= i= b i ½ i= c i

ÐÐ Ö Ó ØØ a i c i b i ÐÐ i Z + º ÌÐÐ Ò Ó Ö Ø ÙÔÔ Ò Ú Ø Ò Ò ÑÝ Ö ÙÔÔ Ò ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ i= a i a i = i= i= b i b i = L, i= i= c i c i = L. i= n a i = l a (n), i= n b i = l b (n) i= n c i = l c (n). i= ÇÐ ÓÓÒ ε Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ n a n b ØØ ÙÒ n > n a Ò Ò ÙÒ n > n b Ò Ò l a (n) L ε, l b (n) L ε. ÇÐ ÓÓÒ n c = Ñ Ü{n a,n b }. ÆÝØ ÙÒ n > n c Ò Ò ÓØ Ò ÙÒ n > n c Ò Ò Ë ε + L l a (n) l c (n) l b (n) ε + L, l c (n) L ε. c i = L. i= ½

Ä Ù ¾¼º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò a b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ (a,b) = p P p min{a(p),b(p)}. ÌÓ ØÙ º Ã º º ½ º Ä Ù ¾½º ÇÐ ÓÓØ a b c ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ½º (a,a) = a ¾º (a,b) = (b,a) º (ca,cb) = c(a,b). ÌÓ ØÙ º Ã º º º ½ º Ä Ù Ò ¾½ Ó Ø ¾ ÙÖ ØØ Ó Ò Ò Ë Ì¹Ñ ØÖ Ó Ò Ò Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº Ñ Ö ½½º ÄÙÚÙØ ¾ ÓÚ Ø Ð ÙÐÙ Ù ÓØ Ò Ø ØÒ ØØ (2, 3) = º ÃÓ 26 = 3 2 39 = 3 3 Ò Ò Ð Ù Ò ¾½ ÒÓ ÐÐ (26, 39) = 3 (2, 3) = 3 = 3. Ä Ù ¾¾º ÎÖØº º ¾½ Ø ØÚ ¾ºµ ÇÐ ÓÓØ a b c d Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò (ab,cd) =. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº ÆÝØ Ð Ù Ø ¾¼ Ø ØØ a b c d ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù ÙÖ ØØ Ñ Ò{(ab)(p), (cd)(p)} = Ñ Ò{a(p) + b(p),c(p) + d(p)} = 0. ÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¼ ÒÓ ÐÐ (ab,cd) =. Ä Ù ¾ Ö Ð Ø³Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ a Ó ÓÒ ÐÙ Ù b ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ (a,b) =. ÌÐÐ Ò Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù º ÌÓ ØÙ º Ã º º ½ º A = {a,a + b,a + 2b,a + 3b,...} ½

Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ a Ó ÓÒ ÐÙ Ù b ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ (a,b) =. ÇÐ ÓÓØ Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º Ã º º º A = {a,a + b,a + 2b,a + 3b,...} B = {p p A p P} = {p,p 2,p 3,...} i= p i =. Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ º Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓØ f g ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó f g ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÌÓ ØÙ º Ã º ½¼ º ¼ º ÙÒ Ø ÓØ µ N α ÓÚ Ø ÐÚ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Òº Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ f ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÂÓ Ò Ò ÌÓ ØÙ º Ã º º ¾ ¼ º lim p n f(pn ) = 0, lim f(n) = 0. n Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ n Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÌÓ ØÙ º Ã º ½¼ º º ϕ(n) = n p n,p P ( p ). Ä Ù ¾ º Ã º º Ø ØÚ ½ ºµ ÇÐ ÓÓÒ n Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÂÓÖ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó J α (n) = n α ( p α). p n,p P ½

ÌÓ ØÙ º ÂÓ n =, Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø ÙÒ ÙÓÑ Ó Ò ØØ ØÝ ØÙÐÓ ÓÒ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n >. Ö ØÐ Ø³Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ J α (n) = µ N α (n) = ( n ) µ(d)n α. d d n ÌÑ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó ( n ) µ(d)n α = d d n d n µ(d) nα d α = nα d n µ(d) d α. ÇÐ ÓÓØ q,q 2,...,q l ÐÙÚÙÒ n Ö ÙÙÖ Ø Ð ÙÐÙ ÙØ Øº ÌÐÐ Ò p n,p P ( l p α) = ( i= q α i ). Ì Ö Ó Ø ØØ ÓÓÒ Ñ Ö ÒÒÐÐ (q i q j ) α ÐÐ Ø ÙÑÑ Ó ØÙÐÓ q i q j ÓÓ ¹ ØÙÙ Ò Ø ÐÙÚÙÒ n Ö Ð ÙÐÙ ÙØ Ø ÖÖ ÐÐ Òº ÃÝØ ØÒ Ú ¹ Ø Ú ÒÐ Ø Ñ Ö ÒØ ÙÒ ØÙÐÓÒ Ø Ø ÓÒ Ù ÑÔ ºµ ÌÐÐ Ò l ( qi α i= ) = q α i ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ + (q i q j ) α (q i q j q k ) α + + ( ) l (q q 2 q l ) α. q α i + (q i q j ) α (q i q j q k ) α + + ( ) l (q q 2 q l ) α = d n µ(d) d α. Ë n α p n,p P ( p α) = nα d n µ(d) d α = d n ( n ) µ(d)n α = J α (n). d Ñ Ö ½¾º ÇÐ ÓÓÒ α =. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ¾ ÒÓ ÐÐ J α = ϕ. ½

Ñ Ö ½ º ÎÖØº ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø J α () =. ÃÙÒ Ø ØÒ ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ð Ù ¾ ÓÐ Ú ÑÙÓ Ó Ò Ò ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ J α (n), n 2. Ä Ù ¾ º ÇÐ ÓÓÒ s > ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ζ(s) = p P ( p s) ÌÓ ØÙ º Ã º º ¾ ½ º Ä Ù ¼º ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Óº ÌÐÐ Ò p P,p x ÌÓ ØÙ º Ã º º ¾ º ( ( p ) = e C ) log x + O log 2. x ¾ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ÖÚ Ó Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÒØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ñ ØÖ ¹ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º ¾º½ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓÒ Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØØ ÑÒ ÓÒÓÒ ÐÐ Ø Ö ÐÐ Ø Ó ¹ ÓÒÓ Ø ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÒÒ Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ØØ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÝÑÑ ØÖ º Ì Ö Ø ÐÙ ÐÓ Ø Ø Ò Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ ÝÑ¹ Ñ ØÖ Ñ ØÖ º ½

ÔÙÐ Ù ½º ÎÖØº ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓØ a,a 2,...,a n ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù ØØ Ó Ò Ò a i, ÙÒ i nº ÌÐÐ Ò a a 2 º º º a n = + n i= a a i a a 2 a n a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ a X = a 2 º º º a n Y = + n i= a a i a a 2 a n a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÌÐÐ Ò XY = a a 2 º º º a n + n i= a i a a 2 a n a a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n = + n + n i= + n i= i= n a i n a i i= º n a i i= i= a i + a a + a n a n + a a i a + a a a + a n a n º º + an a i a n + a a a + an a n a n ¾¼

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0, º º 0 0 0 0 ÓØ Ò X = Y º ÔÙÐ Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ b >. ÇÐ ÓÓÒ X = E n + (0,b,b 2,...,b n ) = 0 0 0 0 0 b 0 0 + 0 0 b 2 0 º º º º º º 0 0 0 b n = b b 2 º º º b n. ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º Ä Ó ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò X Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ò λ λ 2 λ n µ µ 2 µ n λ i µ n i+ =, i n. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ñ ØÖ X ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ º Ë ÐÚ Ø X = X T Ð Ñ ØÖ X ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ ¾½

ÌÐÐ Ò x = c c 2 º c n Cn \ {Θ}. x Xx = [ ] c c 2 c n (En + (0,b,b 2,...,b n )) = [ ] c c 2 c n En c c 2 º c n + [ ] c c 2 c n (0,b,b 2,...,b n ) = [ n i= c i n i= c i n i= c i ] + [ 0 c 2 (b ) c n (b n ) ] = = = n c i i= n i= c i n c i + i= n c i + i= n c i 2 + i= n (b i )c i c i i=2 n (b i )c i c i i=2 n (b i ) c i 2 > 0. i=2 Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ λ i µ n i+ =, ÙÒ i nº c c 2 º c n c c 2 º c n c c 2 º c n c c 2 º c n ¾¾

Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÙÙ¹ Ö ÑÔ Ö Ð ÐÙ Ù ÓØ Ò ÒØ Ñ ØÖ X ÓÒ ÓÐ Ñ º ÂÓ λ λ 2 λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ X ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ò ØÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ λ n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌØ Ò λ n λ λ i µ n i+ = λ i λ i =, i n. ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a >. ÇÐ ÓÓÒ n 2 ÓÐ ÓÓÒ X = E n + (0,a,a 2,...,a n ) = 0 0 0 0 0 a 0 0 + 0 0 a 2 0 º º º º º º 0 0 0 a n = a a 2 º º º a n ÓÐ ÓÓÒ µ n ÒØ Ñ ØÖ Ò X ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò µ n > + n i= a i. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ + n i= a i a a n a Y = 0 0 º º º a n 0 0. ¾

ÌÐÐ Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ø(λI Y ) = Ø λ n a i i= a a 2 a n a λ 0 0 a 2 0 λ 0 º º º º a n 0 0 λ = (λ n i= a i ) Ø λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 º º λ º 0 0 0 λ a Ø a 2 a n 0 λ 0 0 a 0 0 λ 0 º º º º 0 0 0 λ + a 2 Ø a 2 a n λ 0 0 0 a 0 0 λ 0 º º º º 0 0 0 λ a n Ø a 2 a n λ 0 0 0 a 0 λ 0 0 º º º 0 0 λ 0 = (λ n i= a i )λn (a ) 2λn 2 ¾

(a 2 ) 2λn 2 (a n ) 2λn 2 = λ n 2 (λ 2 ( + n i= n a i )λ i= ). (a i ) 2 ÃÙÒ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò ØÓ Ñ Ñ ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ù Ò ÐÐ Ô ÝØÒ Ñ Ò ØÙÐÓ Òº ÌØ Ò Ñ ØÖ Ò Y Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ k(λ) = λ n 2 (λ 2 ( + n i= n a i )λ i= ), (a i ) 2 ÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Y ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò p(λ) = λ 2 ( + n i= n a i )λ i= (a i ) 2 ÒÓÐÐ Ó Øº ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(λ) ÑÙÙØØÙ Ò λ ÓÐÐ Ò Ò Ú Ø Ò ØØ p( + = ( + n i= n i= a i ) + n a i )2 ( + i= n = (a i ) < 0. 2 i= n i= a i, n a i )( + i= n a i ) i= (a i ) 2 ÃÓ p(λ) ÓÒ ØÓ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö¹ ÖÓ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ò ÐÐ Ø ÙÖ ØØ Ñ ØÖ Ò Y ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ n > + n i= a i. ÔÙÐ Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÒØ Ñ ØÖ ¾

X = + n i= a i a a 2 a n a a 0 0 a 2 0 a 2 0 º º º a n 0 0 a n. ÇÐ ÓÓÒ Z = (,,..., ) R n n º Ë ÐÚ Ø Ñ ØÖ Z ÓÒ ÒØÝÚ Z = Zº ÃÓ ZY Z = ZY Z = 0 0 0 0 º 0 0 + n i= a i a a n a 0 0 º º º a n 0 0 0 0 0 0 º 0 0 = 0 0 0 0 º 0 0 + n i= a i a a n a 0 0 º º º a n 0 0 = + n i= a i a a n a 0 0 º º º a n 0 0 = Y Ð ZX Z = ZX Z = 0 0 0 0 º 0 0 + n i= a a i º 0 a n a n a 0 a º 0 a n 0 0 0 0 º 0 0 ¾

= 0 0 0 0 º 0 0 + n i= a i a º 0 a n a a n a 0 º 0 a n = + n i= a a i a a n a 0 º 0 a n º 0 a n = X, Ò Ò Y ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò Y X ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò X Ò º ÌØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Y Y ÓÒ ÒÒ Ñ Ø ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ X X ÓÒ ÒÒ Ñ Ø ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓØº ÃÓ Ð ÔÙÐ Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù Ó X Y Ò Ò ÒÝØ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò X ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{ λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ } = max{λ : λ ÓÒ Ñ ØÖ Ò Y ÓÑ Ò ÖÚÓ }. ÐÐ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò Y ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ n > + n i= a i, ÓØ Ò Ø Ø ÙÖ ÐÐ Ò ØØ ÒØ Ñ ØÖ Ò X ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ n > + n i= a i. ¾

Ë ÙÖ Ù Ð Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a > =. a i ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò i= X(n) = E n + (0,a,a 2,...,a n ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò lim λ (n) = 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÔÙÐ Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÐÙ Ù 0 ÓÐ Ñ ØÖ Ò X(n) ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓº ÌØ Ò ÒØ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ µ n (n) ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ò X(n) ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò λ (n) = µ n (n) < λ (n) = µ n (n). µ n (n) > + n i= + n i= a i, a i < + n i= ÌÓØ ÑÑ ØØ Ñ ØÖ X(n) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ 0 < λ (n). Ë ÃÓ Ò Ò ÒÝØ 0 < λ (n) < lim n ÌØ Ò Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò i= + n i= a i =, + n i= lim λ (n) = 0. n = 0. a i. a i. a i ¾

Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (b i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ b =. b i ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò i= Y (n) = E n + (b,b 2,...,b n ) ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ Å ØÖ lim λ (n) = b. n Y (n) = E n + (b,b 2,...,b n ) ( ) = (b )I + E n + 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ). ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ B = {b 2 b +,b 3 b +,b 4 b +,...} ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÙ Ó ØØ ÇÐ ØÙ Ø ÙÖ ÑÝ ØØ ÓØ Ò Ó Ò Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ b 2 b + >. b i b + b i, i=2 i= b i =, b i b + =. ÇÐ ÓÓÒ ( ) Z(n) = E n + 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ) ¾

ÓÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò Z(n) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ x R n Ø Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò = = Y (n)x ( (b )I n + E n + ( 0, (b 2 b + ), (b 3 b + ),...,(b n b + ) )) x ( ) (b )I n + Z(n) x = (b )I n x + Z(n)x = (b )x + µ (n)x = (b + µ (n))x. Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò lim µ (n) = 0, n lim λ (n) = b. n ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ º Æ Ø Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÝØ ØÒ ÝÚ ÙÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÑÝ Ø ÖÖÝØÒ ØÙØ Ñ Ò Ø ¹ ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ø Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓÒ Ö ÝØ¹ ØÝØÝÑ Øº Ä Ù ½º ÇÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α, ÓÐ ÓÓÒ a ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù (a i,a j ) = a, i j, i= a i =. ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,a 3,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A ÐÙ¹ ÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò lim n λ (n) = a α a α. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ b i ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ a i = ab i ÙÒ i Z +. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾½ Ó Ò ÒÓ ÐÐ a = (a i,a j ) = (ab i,ab j ) = a(b i,b j ), ¼

ÓØ Ò ÃÓ Ò Ò ÓØ Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ ÇÐ ÓÓÒ (b i,b j ) =, i j. a i b i, i Z +, a i b i, i Z +, i= b i =. B = {b,b 2,b 3,...,b n } ÓÐ ÓÓÒ (B α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò (B α ) = E n + (b α,b α 2,b α 3,...,b α n ). ÇÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò (B α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ c i = b α i, i Z +. ÃÓ 0 < α Ó b i ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÙÒ i Z + Ò Ò ÓØ Ò ÆÝØ Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ c i b i, i Z +, c i b i, i Z +. i= c i =. ÃÓ Ð Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ c = b α, lim µ (n) = c. n ÃÓ (A) α = a α (B α ), ½

Ò Ò ÒÝØ lim λ (n) = a α lim µ (n) n n = a α (c ) = a α c a α = a α b α a α = (ab ) α a α = a α a α. ¾º¾ Ì ØÝÒÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ø Ò ÓÒÓ Ò Ð Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ¹ Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º Ì Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÒ ØÐÐ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò (λ m (n)) n=m lim λ m(n) 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ Ä Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ ÓÒÓ (λ m (n)) n=m ÓÒ Ú Ò Ú Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ ÙÔÔ Ò º Ä Ù Ø ½ ÙÖ ØØ λ m (n) > 0 ÙÒ n Z +, ÓØ Ò lim n λ m(n) 0. ¾

ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓØ n m ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓØ A = {a,a 2,...,a n } B = {b,b 2,...,b m } ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ó Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ØØ ÓÙ ÓÒ A Ð ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù ÓÙ ÓÒ B Ð ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ù Ø Ð¹ Ð Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ Ø Ø Ò Ð Ú Ð ØØ ÓÙ Ó Ò A B Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ô Ö ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (A α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (B α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ((A B) α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ A B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ((A B) α ) = (A) α (B α ). ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÇÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ (A) α = a α a α 2 º º a α n (B α ) = b α b α 2 º º. b α m ÇÐ ÓÓØ i,j n k,l mº ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾½ ¾¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò, Ó i j k l a (a i b k,a j b l ) = i, Ó i = j k l b k, Ó i j k = l a i b k, Ó i = j k = l,

((A B) α ) = = = (a b,a b ) α (a b,a b m ) α (a b,a n b ) α (a b,a n b m ) α º º º º (a b m,a b ) α (a b m,a b m ) α º º º (a b m,a n b m ) α º º (a n b,a b ) α º (a n b,a n b ) α (a n b,a n b m ) α º º º º (a n b m,a b ) α (a n b m,a b m ) α (a n b m,a n b ) α (a n b m,a n b m ) α a α (B α ) (B α ) (B α ) (B α ) a α 2(B α ) º º (B α ) (B α ) (B α ) a α n(b α ) a α a α 2 º º (Bα ) a α n = (A) α (B α ). ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ A = {, + a, + 2a,..., + (n )a} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ Ö Ð Ø³Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó {, + a, + 2a, + 3a,...} ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó B = {p,p 2,p 3,...}

Ò Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÃÓ 0 < α Ò Ò i= ÌØ Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ p i =., i Z p i p α +. i p α i= i =. ÇÐ ÓÓÒ q i = p m +i ÙÒ i Z +. ÌÐÐ Ò k q α i= i = k+m i=m p α i, k Z +. ÐÐ ØÓØ ÑÑ ØØ p α i= i ÓØ Ò ÒÝØ Ð Ù Ò ½ ½ ÒÓ ÐÐ q α i= i =, =. ÇÐ ÓÓÒ l 2 ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓØ C = {,p,p 2,...,p m } D = {,q,q 2,...,q l } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º ÇÐ ÓÓÒ (C α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ (D α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ D ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ((C D) α ) Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ C D ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÂÓÙ ÓÒ C D Ð Ó Ò Ö ØÝ ÚÐØ¹ ØÑØØ ÒÓÙ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ Øº Ð ÓØ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ø Ø Ô Ù Ö Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÐÐ Ð Ó Ò ÙÙ ÐÐ Ò Ö ØÑ Ò Ò Ú ÙØ Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Òºµ

ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ((C D) α ) = (C α ) (D α ). ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (C α ) µ (m) µ m (m) γ (l) γ l (l) Ñ ØÖ Ò (D α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ Ó {µ i (m)γ j (l) i m, j l} ÓÒ Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓØ k r ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÐÐ Ò ( + ka)( + ra) = + ka + ra + kra 2 = + (k + r + kra)a ÑÓ a), ÓØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó {, + a, + 2a, + 3a,...} ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌØ Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ C D Ð Ó ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ {, + a, + 2a, + 3a,...} Ð Óº ÇÐ ÓÓÒ ÌÐÐ Ò Ö ØÝ Ø n s = p m q s a n l = p m q l a +, s 2. ( pm q l ) + (n l )a = + + a = + p m q l = p m q l, a + ÓØ Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ C D Ð Ó ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ E = {, + a, + 2a, + 3a,..., + (n l )a}

Ð Óº ÌØ Ò Ñ ØÖ ((C D) α ) ÓÒ Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ E ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑÒ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò (E α ) Ð Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ η (ml) η ml (ml) Ñ ØÖ Ò ((C D) α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ λ m (n s ) η m (ml). ÃÓ Ð Ò Ò ÌØ Ò µ (m)γ (l) µ m (m)γ (l), η m (ml) µ m (m)γ (l). λ m (n s ) µ m (m)γ (l). ÆÝØ Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ú Ð ØØ a = a = a i = q i ÙÒ i 2 ÔØ lim γ (l) = 0. l ÃÓ Ð Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÓÒÓÒ (λ m (n)) n= Ó ÓÒÓ (λ m (n s )) s= ÙÔ¹ Ô Ò lim s λ m(n s ) 0, Ò Ò Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò ÌØ Ò Ð Ù Ò ½ ¾ ÒÓ ÐÐ lim λ m(n s ) = 0. s lim λ m(n) = 0. n ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÔÙÐ Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ø Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ñ Ö ØØÚ Òº Ë Ø ØÒ ÙÖ Ú º

Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ d 0 Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a + db,a + (d + )b,a + (d + 2)b,...,a + (d + n )b} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ l ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ l(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ Ó ÓÒÓ º ¼ ºµ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÑ ØØ Ò ÓÒÓÒ (a + ib) i=d (a + (d + (a + bd)i)b) i=0 = (a + db + (a + bd)ib) i=0 = (( + ib)(a + db)) i=0. ÇÐ ÓÓÒ B = {a + db, ( + b)(a + db), ( + 2b)(a + db),...,( + (m )b)(a + db)} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (B α ) ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (B α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ µ (m) µ m (m) C = {, + b, + 2b,..., + (m )b} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (C α ) ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ Ñ ØÖ Ò (C α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº Ë ÐÚ Ø γ (m) γ m (m) (B α ) = (a + db) α (C α ), ÓØ Ò ÌØ Ò Ö ØÝ Ø µ j (m) = (a + db) α γ j (m), ÙÒ j m. µ l (m) = (a + db) α γ l (m).

ÇÐ ÓÓÒ ÌÐÐ Ò m n = + n a + db. a + (d + n )b ( + (m n )b)(a + db), ÓØ Ò (B α ) ÓÒ Ñ ØÖ Ò (A α ) Ð Ñ ØÖ º Î Ð Ø Ò n Ø Ò ØØ m n l. ÆÝØ Ð Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ λ l (n) µ l (m n ). ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò λ l (n) µ l (m n ) = (a + db) α γ l (m n ). lim γ l(m) = 0, m lim γ l(m n ) = 0. n ÌØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ð Ø ØÝ Ð Ù ØØ ÓÚ ÐØ Ò lim n λ l(n) = 0. Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ a b ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ d 0 Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ (c i ) i= ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÓÒÓ ((a + ib)) i=d ÓÒ Ò Ó ÓÒÓº ÇÐ ÓÓÒ C = {c,c 2,...,c n } Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (C α ) ÓÙ ÓÒ C ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (C α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ¼ ºµ Î Ø ÙÖ Ð Ù Ø ½¼ ¾ º

Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ØØ 0 < α º ÇÐ ÓÓÒ A = {, 2,...,n} Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò ¹ Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ m ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò lim λ m(n) = 0. n ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ½ ºµ Î Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ð Ù Ø º ¾º Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝ¹ ØÝÑ Ò Ò Ð Ö Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ô Ò Ñ¹ ÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ ÐÐ Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ë Ì¹Ñ ØÖ º Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÙ Ð ÒÒ Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó ¹ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ò ÑÖÑ Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ¹ Òº ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÓÒÓ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ ¹ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº Ä Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ (A α ) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø ¹ Ò ØØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ i (n) > 0 ÙÒ i nº Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÒ ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓÒ λ (n) Ð Ö Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÝØØÝ¹ ØÝÑ Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ º Ã º ½¾ º ½ ºµ ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ B = {b,b 2,...,b m } ¼

ÐÐ Ò Ò Ø ÙÐ ØØÙ Ö Ø ØØÝ ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø¹ Ø A Bº ÇÐ ÓÓÒ J α ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ Y = [c ij ] ÐÐ Ò Ò n m¹ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó { Jα (b j ), Ó b j a i, c ij = 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ÌÐÐ Ò (A α ) = Y Y T. ÌÓ ØÙ º Ã º ½½ º ½ º ÇÐ ÓÓÒ K(n) ÐÐ Ø Ò n n¹ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò ÓÙ Ó Ó Ò Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ð Ó ÓÒ ½ Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò Ð Ó ÓÒ ¼ Ø ½º Ë ÐÚ Ø ÓÙ Ó K(n) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓ Ò ÓÙ ÓÓÒ K(n) ÙÙÐÙÚ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò ÒÓ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ½ ÓØ Ò ÓÙ ÓÒ K(n) Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒØÝÚ Ñ Ø¹ Ö º Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ Ó L(n) = {ZZ T Z K n } ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ n n¹ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ L µ (n) = {µ (n) ZZ T L(n) µ (n) ÓÒ Ñ ØÖ Ò ZZ T Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ}. Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÙ ÓÒ L µ (n) Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º Ë L µ (n) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓ ¹ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø n Ö ÔÔÙÚ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó v n = Ñ ÒL µ (n). ( ) Ã º ½¾ º ½ ºµ Î ÓÒ v n ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ J α ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ Ð Ö Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò ÑÑÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÐÐ λ (n)º Ã º ½¾ º ¾ ºµ Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. ½

ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ¾ ºµ ÇÐ ÓÓÒ Y ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ n m¹ Ñ ØÖ º ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ (A α ) = Y Y T. ÇÐ ÓÓÒ P Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÑ ØÖ º ÌÐÐ Ò (A α ) = Y Y T = Y IY T = Y (PP T )Y T = (Y P)(P T Y T ) = (Y P)(Y P) T. Å ØÖ Ò Y Ö Ø ÚÓ Ò ØØ Ò Ô ÖÑÙØÓ Ú Ô Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ b i = a i, i n. Ø ØÒ ÒÝØ Ñ ØÖ Y ÑÙÓ Ó Y = [W V ], Ó W ÓÒ n n¹ñ ØÖ V ÓÒ n (m n)¹ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ÇÐ ÓÓØ [ W Y Y T = [W V ][W V ] T T ] = [W V ] = WW T + V V T. V T Ñ ØÖ Ò WW T ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÃÓ γ (n) γ n (n) V V T = Y Y T WW T Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ V V T ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ i (n) γ i (n), i n. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ W = [d ij ]º ÆÝØ { Jα (a j ), Ó a j a i, d ij = 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº Å ØÖ W ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ó Ò Ò ÓÒ Ð Ð Ó d ii = J α (a i )º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø U D Ø Ò ØØ Ñ ØÖ Ò U = [u ij ] Ð Ó D = ( J α (a ), J α (a 2 ),, J α (a n )) u ij = {, Ó a j a i, 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº ¾

Å ØÖ W ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó W = UD. ÆÝØ WW T = (UD)(UD) T = (UD)(D T U T ) = U(DD T )U T = U(DD)U T = UD 2 U T, ÓØ Ò (WW T ) = (UD 2 U T ) = (U T ) (D 2 ) U. Ë ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ø U W ÓÚ Ø ÒØÝÚ ÓØ Ò Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ UU T WW T ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò UU T WW T ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÑÒ ÚÙÓ Ñ ØÖ Ò UU T WW T Ø ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ µ (n) Ñ ØÖ Ò UU T Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÐ ÓÓÒ β = (D 2 ) = ( J α (a ), J α (a 2 ),, J α (a n ) ) = Ñ Ü{ J α (a i ) i n} = Ñ Ò{J α (a i ) i n}. ÆÝØ Ð Ù Ò ½½ ÒÓ ÐÐ (WW T ) = (U T ) (D 2 ) U (U T ) (D 2 ) U = β (U T ) U. Ä Ù Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò (UU T ) = (U ) T U = (U T ) U, (WW T ) β (UU T ). Å ØÖ UU T ÓÒ ÓÒ Ù ØØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÓØ ÑÑ ÐÐ ØØ Ò ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù º ÌÑÒ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ (UU T ) = µ (n). ÆÝØ (WW T ) β µ (n).

Å ØÖ UU T ÓÒ ÐÚ Ø ÓÙ ÓÒ L µ (n) Ð Ó ÓØ Ò µ (n) v n. ÌØ Ò ÆÝØ β µ (n) β v n = (WW T ) Ä Ù Ò ¾ ½ ÒÓ ÐÐ ÃÓ Ò Ò ØØ Ò λ (n) γ (n) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. (WW T ) γ (n). λ (n) γ (n), (WW T ) v n Ñ Ò{J α (a i ) i n}. Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A) ÓÙ ÓÒ A ÑÖÑ Ë Ì¹Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n Ñ Ò{ϕ(a i ) i n}. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÃÓ Ñ Ö Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ J (a) = ϕ(a) ÙÒ a ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ð Ó Ò Ò ÓÒÓ ØØ a = ÓÐ ÓÓÒ α Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ λ (n) v n.

ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÃÓ Ñ Ö Ò ½ ÒÓ ÐÐ J α () = J α (a) ÙÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù a 2, Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,a 3 } ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ λ 2 λ 3 Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÌÐÐ Ò Ó ( ) ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ó v 3 > 0.98 º Ð Ø µ ÓØ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > Ñ Ò{0.98 J α (a ), 0.98 J α (a 2 ), 0.98 J α (a 3 )}. ÂÓ α =, Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > Ñ Ò{0.98 ϕ(a ), 0.98 ϕ(a 2 ), 0.98ϕ(a 3 )}. ÂÓ a =, Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ λ > 0.98. ÔÙÐ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a > ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ Ø α δ Ö ÔÔÙÚ ÙÒ Ø Ó g ÓÐÐ ÔØ lim n g(n) = ØØ ½º jos α >, niin J α (a) aα ζ(α) ; ¾º jos α =, niin J (a) a ( e C k ) ; log a log a º jos 0 < α <, niin J α (a) = a α( δ) g(a); º jos α > 0, niin lim a J α (a) =. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÃÙÒ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ( J α (a) = a α ), p α p P, p a

ÓØ Ò ÙÒ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò J α (a) a α p P ÃÙÒ α > Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ p P ( p α ). ( p α ) = ζ(α). ÌØ Ò Ó α >, Ò Ò J α (a) aα ζ(α). ÃÙÒ α =, Ò Ò Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò Ä Ù Ò ¼ ÒÓ ÐÐ p P, p a J (a) = a J (a) a p P, p a p P, p a ( ), p ( ). p ( ) ( ( = e C )) + O, p log a log a ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó k > 0, ØØ p P, p a ( ) ( e C k ). p log a log a ÌØ Ò Ó α =, Ò Ò J (a) a ( e C k ). log a log a ÇÐ ÓÓÒ 0 < α <. ÇÐ ÓÓÒ f(n) = nα( δ) J α (n). Ç Ó Ø Ø Ò ØØ lim f(n) = 0. n

ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÐÚ Ø ÑÝ f ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø Ú Ò Òº Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ lim p n f(pn ) = 0. ÃÓ Ð Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ( lim p n f(p n ) = lim p n pnαδ ) =, p α Ò Ò lim f(n) = 0. n ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ g = f. ÌÐÐ Ò J α(a) = a α( δ) g(a) lim g(n) =. n ÌØ Ò Ó 0 < α < Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó δ, 0 < δ <, ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ Ø α δ Ö ÔÔÙÚ ÙÒ Ø Ó g ÓÐÐ ÔØ lim x g(x) = ØØ J α (a) = a α( δ) g(a). Ì ØÒ ØØ º ¾ º ½ µ lim x x log x =, ÓØ Ò Ð Ù Ò Ú Ñ Ò Ò Ó Ø ÙÖ ÐÐ Ø Ó Ø Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ¹ Ø ØØ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù ÓÒÓ ØØ a >, ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓÒ λ (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Ó ÓÐ ÓÓÒ g ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ØØ ½º jos α >, niin λ (n) v n a α ζ(α) ; { ai e C ( ¾º jos α =, niin λ (n) v n Ñ Ò k ) } i n ; log a i log a i º jos 0 < α <, niin λ (n) v n Ñ Ò{a α( δ) n i g(a n i ) i n}.

ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ Î Ø ÓÒ ØÓ Ð Ù Ò ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ (a i ) i= ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ú Ö Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ ØØ a >, ÓÐ ÓÓÒ α ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓØ m n ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ n > mº ÇÐ ÓÓÒ A = {a,a 2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (A α ) ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ λ (n) λ 2 (n) λ n (n) Ñ ØÖ Ò (A α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ C ÙÐ Ö Ò Ú Ó ÓÐ ÓÓÒ g ÔÙÐ Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ k > 0 δ, 0 < δ <, ØØ ½º jos α >, niin λ n m+ (n) v m aα n m+ ζ(α) ; { an i e C ( k ) } ¾º jos α =, niin λ n m+ (n) v m Ñ Ò 0 i m ; log a n i log a n i º jos 0 < α <, niin λ n m+ (n) v m Ñ Ò{a α( δ) i g(a i ) 0 i m }; º jos α > 0, niin lim n λ n m+ (n) =. ÌÓ ØÙ º Ã º ½¾ º ºµ ÇÐ ÓÓÒ B = {a n m+,a n m+2,...,a n } ÓÐ ÓÓÒ (B α ) ÓÙ ÓÒ B ÐÙÚÙÒ α ÑÖÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ º ÇÐ ÓÓØ µ (m) µ 2 (m) µ m (m) Ñ ØÖ Ò (B α ) ÓÑ Ò ÖÚÓØº ÇÐ ÓÓÒ v m Ó ( ) ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Óº Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ µ (m) v m Ñ Ò{J α (a n i ) 0 i m }. Ä Ù Ò ½¼ ÒÓ ÐÐ Ë λ n m+ (n) µ (m). λ n m+ (n) v m Ñ Ò{J α (a n i ) 0 i m }.

ÌØ Ò ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ú Ø ØØ ÓÚ Ø ØÓ ÔÙÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ º Ä Ù Ò Ú Ñ Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÐÐ Ø Ó Ø ÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ñ ÒÓÖ ÒØØ Ô Ö ¹ Ø ØØ º Ë Ì¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ø ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÐÙÚÙ ¾ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ë Ó Ò ÀÓÒ Ò Ê Ô Ð ÄÓ ÛÝÒ ÖØ Ð ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú¹ ÓÖ Å ØÖ ØØÑ Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö ÝØØÝ¹ ØÝÑ Ø Ó Ú ØÙÐÓ º ÌÓ ÒÒ Ø Ð ØÙÐ Ú ÙÙ Ý ØÒ Ø¹ ØÑÒ Ø Ö ÑÔ ÖÚ Ó Ø Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÌÙÐ Ú ¹ ÙÙ Ò ØÒ Ò ÑÝ È Å¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ð Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ÑÓÒ Ö¹ Ø ¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ÚÓ ¹ Ò ÓØØ Ñ Ö ÑÝ ÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ó Ð Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Ò Ò ÝÐ Ø ÙÙ¹ Ö ÒØ Ý Ø Ø Ø º Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ø Ò Ë Ì¹ÔÓØ Ò Ñ ØÖ ¹ Ò Ð ØØÝÚ ØÙØ ÑÙ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØÙÐ Ú ÙÙ ÓÑ Ò ÖÚÓ¹ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ý ØÙØ ÑÙ ÐÙ º

Î ØØ Ø ½ Ñ ÊÓ ÖØ º ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ò ÁÒº ÌÓÖÓÒØÓ ¾¼¼ º ¾ Ñ ÊÓ ÖØ º ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ ËØÙ ÒØ ËÓÐÙØ ÓÒ Å ÒÙ Ðº È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ò ÁÒº ÌÓÖÓÒØÓ ¾¼¼ º ÔÓ ØÓÐ ÌÓÑ Åº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ò ÐÝØ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝº ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÁÒº ½ º ÓÙÖÕÙ Ã Ø ² Ä ËØ Ú Å ØÖ Ó Ø Û Ø Ö Ø Ñ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ º Ä Ò Ö Ò ÅÙÐØ Ð Ò Ö Ð Ö º ÎÓÐº º ½ µ ¾ ½ ¾ º ÍË ½ º Ú ÒÔÓÖØ À ÖÓÐ ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝº ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ÁÒº ½ ¼º Ø Ò ÖÖ ØØ À ÐÐ Ò Ö ² Ë Ð Ë ØÙÖÒ ÒÓ ÐÙÐÙ ÇÒ Ò Ë Ú Ö Ð Î Ö Ð º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ¾¼¼ º Ö Ö ËØ Ô Ò Àº ÁÒ Ð ÖÒÓÐ Âº ² ËÔ Ò Ä ÛÖ Ò ºº Ä Ò Ö Ð Ö º È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÁÒº ¾¼¼ º À Ö Ý Ó Ö Ý ² ÏÖ Ø Û Ö Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÆÙÑ Ö º ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º ÀÓÒ ÃÓÒ ½ º À Ù Ò Ò È ÒØØ Ð Ö ½ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º ØØÔ»»ÑØÐºÙØ º»ÇÔ ÐÙ» Ð Ö ½ º º¾¼¼ µº ½¼ À Ù Ò Ò È ÒØØ ÄÙ ÙØ ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º ØØÔ»»ÑØÐºÙØ º»ÇÔ ÐÙ» Ð Ö» ÄÙ ÙØ ÓÖ ½ º º¾¼¼ µº ½½ ÀÓÒ Ë Ó Ò ÓÙÒ ÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ñ ØÖ Ó Ø Û Ø Ö Ø Ñ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ º Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾ ½ ½ µ ½½ ¾¾º ½¾ ÀÓÒ Ë Ó Ò ² ÄÓ ÛÝ Ê Ô Ð ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Å ØÖ º Ð ÓÛ Å Ø º Âº ¾¼¼ µ ½ º ÍÃ ¾¼¼ º ½ ÀÓÖÒ ÊÓ Ö º ² ÂÓ Ò ÓÒ ÖÐ Êº Å ØÖ Ü Ò ÐÝ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ñ Ö ½ º ½ ÀÓÖÒ ÊÓ Ö º ² ÂÓ Ò ÓÒ ÖÐ Êº ÌÓÔ Ò Å ØÖ Ü Ò ÐÝ º Ñ¹ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ñ Ö ½ ½º ½ ÃÓÖ Á ÑÓ ÇÒ Å Ø Ò ÂÓ Ò Å ØÖ Ó Ø Û Ø ÁÒ Ò ÙÒØ ÓÒ º Ì ÑÔ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ì ÑÔ Ö ¾¼¼ º ¼

½ Ä Ý Ú º Ä Ò Ö Ð Ö Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÓÒ Ï Ð Ý ÄÓÒ Ñ Ò ÁÒº ¾¼¼½º ½ ÅÝÖ Ö Ä ÙÖ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ Ó Áº ÃÙ Ø ÒÒÙ ¹ Ó Ý Ø Ì ÑÑ º Ì ÑÔ Ö ¾¼¼½º ½ ÅÝÖ Ö Ä ÙÖ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ Ó ÁÁº ÃÙ Ø ÒÒÙ ¹ Ó Ý Ø Ì ÑÑ º Ë Ö ÖÚ ¾¼¼½º ½

Ä Ø Å ØÐ ¹Ó ÐÑ Ò ØÙÐÓ Ø Ø ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ À ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ³µ Ò ½ ½ ½ ³µ Ò ¼º ¼ ¼ ¼º ½ º¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º ¾¼ ½º¼¼¼¼ ¾º ½ ¼ ³µ Ò ¼º¾ ½º¼¼¼¼ º ¾½ ¾

³µ Ò ¼º½ ½ ½º ¼ º¾ ¼ À À³µ Ò ¼º¾ ½º¼¼¼¼ º ¾½