Kun alat vetää jotain esinettä pitkin alustaa, huomaat, että tarvitaan tietty nollaa suurempi voima ennen kuin mainittu esine lähtee edes liikkeelle. Yleensä on vielä niin, että liikkeelle lähteminen vaatii suuremman ylimääräisen voiman kuin esineen pitäminen liikkeellä. Tämä johtuu siitä tavallisesta tilanteesta, että lepokitka on suurempi kuin liikekitka. Tämä toteamus puolestaan on vain havaitun tilanteen kuvaus vähän arkikieltä muodollisemmin sanottuna. Monissa käytännön tilanteissa on järkevää verrata kitkan voittamiseen tarvittavaa voimaa siihen voimaan, jolla Maa vetää kappaletta puoleensa eli voimaa F g = mg. Kun vertailuun käytetään nimenoman näitten kahden voiman suhdetta, kyseessä on kitkakerroin, jota merkitään kreikkalaisella kirjaimella μ, joka äännetään myy. Jossain vaiheessa aiemmin jo mainitsin, että merkitsen kitkavoimaa usein F :llä, koska kitkakertoimesta käytetään tuota kirjainta μ. Kitkakertoimen arvo riippuu molemmista toisiinsa koskevista pinnoista. Erilaisten pintojen välisiä kitkakertoimen arvoja löytyy taulukoista. Asetetaan kitkakertoimelle seuraava määritelmä. Merkitään kappaleen massaa kirjaimella m ja voimaa, jolla Maa vetää sitä puoleensa, kirjaimella F g. Merkitään F μ :llä voimaa, joka vähintään tarvitaan kyseessä olevien pintojen välisen kitkan voittamiseen eli siis kitkavoimaa lepo- tai liikekitkavoimaa. Silloin Kitkakerroin = F F g = F mg Kuten huomaat, kaavassa ei ole mitään muuta kuin vetovoiman kiihtyvyys, kappaleen massa ja kitkan ja kitkavoiman symboli, mutta ei esimerkiksi kosketuspinnan alaa. Samoin on heti syytä panna merkille, että kitkakertoimella ei ole yksikköä: se on paljas luku. Huomaa, että 0 kitkakerroin 1. Aika harvoin kitka on tasan 0. Koska kitkakerroin 1, niin F = mg 1 mg=mg eli F mg. Kiihdytyskoeautojen kumien kitkakerroin on yli yhden, mutta ne ovatkin eri maailmasta: ne sulavat kiinni asvalttiin. Huomaa, että kitkakerroin riippuu kosketusvuorovaikutuksessa olevista pinnoista, mutta ei riipu koskettavien pintojen alasta ainakaan, jos neulan kärjen ja puun muodostaman tilanteen kaltaisia ääritilanteita ei lasketa. 1(7)
Esimerkki 33 Piku työntää rekeä pitkin ison avopakun rautaisen lavan pohjaa. Reki painaa vain 300 kiloa ja sen jalakset samoin kuin pakun lava ovat puhtaat ja sileät. Silti Piku huomaa tarvitsevansa 1765 newtonin voiman saadakseen koko kapineen edes liikkeelle. Laske reen jalasten ja pakun lavan välinen kitkakerroin. Kitkakertoimen määritelmän mukaan: = F mg =1765 N 300 kg g = 1765 N 300 kg 9,80665 m =0,6 s 2 Kahden teräspinnan välinen kitkakerroin on aika iso! Vastaus: Kitkakerroin on 0,6. Esimerkki 34 Jos pintojen välinen kitkakerroin on 0,15, niin kuinka suuren kiihtyvyyden saa kappale, johon vaikuttaa 3500 newtonin voima? Kappaleen massa on 1400 kg. Lepo- ja liikekitkakertoimet oletetaan nyt samoiksi. Koska kitkakerroin on 0,15, niin kitka vie voimasta 0,15 1400 kg 9,80665 m eli 2059 N. s 2 Kappaletta kiihdyttää siis voima 3500 N 2059 N. Tämä antaa kiihtyvyyden 1,03 m s 2. Vastaus: Kappale saa kiihtyvyyden, joka on vähän yli 1 m s 2. Kitkakertoimen arvo 0,15 on karkeasti jään ja kumin välinen kitkakerroin. Esimerkki 35 Puupalikka, jonka massa on 850 g, lepää kaltevalla puupinnalla. Puupalikan ja puupinnan yhteiseksi kitkakertoimeksi tiedetään 0,3. Palikkaan kohdistetaan voima, jonka kulma vaakasuoraan nähden on 18,2 ja joka työntää palikkaa pintaa pitkin ylös. Pinnan kaltevuus on 10. Kappale kiihtyy 2(7)
määrällä 5 m s 2. Kuinka suuri voima kappaleeseen kohdistettiin? Vapaakappalekuva: + F a N F μ G Merkitsen työntävää voimaa F :llä ja F = F. Lisäksi merkitsen kitkavoimaa F μ:llä sekä pinnan tukivoimaa N:llä ja gravitaatiovoimaa G:llä. Nyt jaan työntävän voiman ja palikkaan kohdistuvan gravitaatiovoiman pinnan suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Piirrän voimien komponentteihin jakamisesta uudet kaaviokuvat. Gravitaatio Työntävä voima x 18,2 +10 F y G 10 mg cos(10 ) mg sin(10 ) 3(7)
Vetovoiman tasoa vastaan kohtisuora osa tekee oman lisänsä kappaleen liikettä vastustavaan voimaan. Liikeyhtälö on komponenttimuodossa nyt seuraavannäköinen: G sin 10 F x = mg sin (10 ) μ mg cos(10 ) μ F sin(18,2 +10 )+ F cos(18,2 +10 ) = mg sin(10 ) μ mg cos(10 ) F [μ sin(18,2 +10 ) cos(18,2 +10 )] ma=0,850 kg 5 m s 2 Tämän hässäkän eli liikeyhtälön oliot eli lausekkeet ovat seuraavat: Olio G sin(10 ) F μ μ F sin(18,2 +10 ) x a Selitys palikkaan vaikuttavan vetovoiman pinnan suuntainen komponentti eli mg sin(10 ) kitkavoimat, toisin sanoen μ mg cos(10 ) + työntävän voiman kitkaa lisäävä komponentti työntävän voiman kitkaa lisäävä komponentti työntövoiman pinnan suuntainen komponentti eli F cos(18,2 +10 ) sama määritelmän mukaan kappaleen kiihtyvyys, jonka suuruus annettiin ja on 5 m s 2 Saan tästä ratkaisemalla tuloksen: mg sin(10 )+μ mg cos(10 )+ma F = cos(18,2 +10 ) 0,850kg 9,81 m s 2 sin(10 )+0,3 0,850 kg 9,81 m s 2 cos(10 )+0,850kg 5 m s 2 = cos(18,2 +10 ) 0,850 kg 9,81 m s 2 sin(10 )+0,3 0,850 kg 9,81 m s 2 cos(10 )+0,850 kg 5 m s 2 0,30 sin(18,2 +10 ) cos(18,2 +10 ) 4(7)
=11,0 N. Vastaus: Kappaleeseen kohdistettiin noin 11 newtonin voima. Esimerkki 36 Puupalikan massa on m ja se lepää kaltevalla pinnalla. Aluksi palikka pysyy kitkan ansiosta paikoillaan. Kun pintaa kallistetaan aina lisää, niin huomataan, että palikka alkaa liukua kiihtyvällä vauhdilla, kun pinnan kaltevuuskulma on juuri saavuttanut pintojen materiaaleista riippuvan arvon α. Lisäksi huomataan, että kun palikka on alkanut liukua ja tason kallistuskulmaa sitten loivennetaan, palikan kiihtyvyys vähenee kunnes kaltevuuden arvolla β palikka liikkuu tasaisella nopeudella. Tässä siis α > β. Laske palikan ja pinnan välisten lepo- ja liikekitkakerrointen arvot. Palikka on levossa m Palikka kiihdyttää a m 21 Palikka liikkuu vakionopeudella m Voimakuvio y v Ñ 17 x F μ mg θ 5(7)
Yllä olevat kuviot määrittelevät koordinaatiston ja muut tarvittavat merkinnät. Yleisessä tilanteessa, missä pinnan kaltevuudella θ, kitkakertoimella μ eikä millään muullakaan parametrilla ole mitään kiinnitettyä arvoa, liikeyhtälö on muotoa Σ F = ma, missä m on tarkasteltavan kappaleen massa sekä a sen kiihtyvyys. Kun yhtälöt kirjoitetaan komponenteittain, niin Newtonin liikeyhtälö saa muodon x komponentti : F x =F mg sin =ma y komponentti : F y =N mg cos =0. Kun tutkit tätä yhtälöparia, pane merkille, että jos pinta on vaakasuorassa, jolloin sen kaltevuuskulma eli kulma θ on nolla, niin pintaan kohdistuvan normaalivoiman suuruus on N = mg cos(0) = mg. Lasketaan ensin lepokitkakerroin. Sinä hetkenä, jona palikka juuri ja juuri ei lähde liikkeelle, voima F μ on suurimmillaan ja on sama kuin μn eli F μ = μn. Silloin kappale on vielä paikallaan, joten v = 0 ja erityisesti a = 0. eli F mg sin =0 F =mg sin. Koska yllä olevan yhtälöparin jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan myös, että Täten N =mg cos. = N N = F N = mg sin =tan mg cos eli saadaan tulos: =tan. Lasketaan sitten liukukitkakerroin. Kun palikka liikkuu vakionopeudella, niin jälleen a = 0 ja lisäksi pinnan kaltevuuskulma, jota yleisessä tapauksessa merkittiin θ:lla, on nyt β. Se, että θ vaihdetaan nyt β:ksi, on vain merkintäkysymys. Tällä vaihdoksella haluan vain korostaa sitä seikkaa, että kulmalla on jokin tietty, käytännön kokeesta mittauksena saatu arvo. Edellä olevan yhtälöparin x komponentista saadaan, että F μ = mg sin(β). Toisaalta, koska kappale 6(7)
liukuu kiihtymättä, niin F μ = μmg cos(β). Yhdistämällä nämä saadaan mg sin mg sin = mg cos = mg cos =tan. Vastaus: Lepokitkakerroin on tan(α), liikekitkakerroin on tan(β). 7(7)