Suhteellisuusteorian perusteet kevät 014 Luennot maanantaisin ja tiistaisin 1-14, D101 Syksy Räsänen: C36 Laskuharjoitukset (5% arvosanasta) Kuusi suomenkielistä ryhmää ja yksi ruotsinkielinen ryhmä, alk. viikolla 4 Tehtävät ilmestyvät kotisivulle maanantaisin Sähköpostiosoitteet: etunimi.sukunimi@helsinki.fi Lopputenttiin osallistuminen edellyttää 5%:a laskuharjoituspisteistä Kurssin uusiminen edellyttää 5%:a kokonaispisteistä. Loppukokeen tekemisestä myöhemmin pitää sopia etukäteen Kotisivu http://theory.physics.helsinki.fi/~specrel/ 1
Kurssin sisältö Suppeaa suhteellisuusteoriaa Perusta: Suhteellisuusperiaate, Lorentzin muunnos. Kausaliteetti, nopeuksien yhteenlasku, lipputankoparadoksi, kelloparadoksi. Neliulotteinen aika-avaruus Relativistinen dynamiikka (peruslait, E=mc, fotonit, Dopplerin ilmiö) Hiukkaskinematiikkaa (periaatteet ja esimerkkejä) Yleistä suhteellisuusteoriaa Perusta: Gravitaatio aika-avaruuden kaarevuutena, metriikka Schwarzschildin metriikka ja mustat aukot, gravitaatiopunasiirtymä Valon taipuminen, gravitaatiolinssit ja gravitaatioaallot Kosmologiaa Maailmankaikkeuden laajeneminen, alkuräjähdys Maailmankaikkeuden geometria Valon kulku maailmankaikkeudessa, kosmologinen horisontti Pimeä aine ja pimeä energia
Isaac Newton ja Principia Mathematica Isaac Newton (164 177) Principia 1687 3
NEWTONIN LAIT 1. JATKUVUUS Vapaan kappaleen liiketila säilyy. v = vakio Vakionopeudella tapahtuva liike on inertiaalista.. VOIMA voima = liiketilan muutos ; On olemassa absoluuttinen aika ja absoluuttinen avaruus, mutta matematiikka ei vaadi absoluuttista nopeutta. dp F = p= mv dt 3. VOIMA JA VASTAVOIMA Jos A vaikuttaa B:hen voimalla F, niin B vaikuttaa A:han voimalla F. 4
ABSOLUUTTISUUS JA SUHTEELLISUUS Suure on absoluuttinen, jos sen arvo on sama kaikille havaitsijoille, joiden liike on inertiaalista. (Usein käytetään myös ilmaisua invariantti, joka tarkoittaa samaa kuin absoluuttinen.) Inertiaalinen liike tarkoittaa liikettä vakionopeudella. Absoluuttisen vastakohta on suhteellinen. Klassisessa mekaniikassa (=Newtonin mekaniikassa) absoluuttisia suureita ovat esimerkiksi aika, etäisyys, massa ja kiihtyvyys. Klassisessa mekaniikassa suhteellisia suureita ovat esimerkiksi paikka ja energia. Jos yhtälön muoto on sama kaikille inertiaalisille havaitsijoille, yhtälö on kovariantti. 5
AALTOYHTÄLÖ GALILEI-MUUNNOKSESSA Koordinaatistossa K! f!x " 1 c! f!t = 0 x' = x! vt t ' = t Koordinaatistossa K : Lasketaan aalto-operaattorin muunnos:!!x =!x'!!x!x' +!t '!!x!t ' =!!x'!!t =!x'!!t!x' +!t '!!t!t ' =!!t ' " v!!x'!!x =!!x'!!t =!!t ' " v!!x' #!!x " 1! c!t!!t ' +! v!x' $ v ' = 1" & )! % c (!x' + v! c!t '!x' " 1! c aaltoyhtälön muoto ei ole sama K :ssa!t ' *!!x' " 1 c!!t ' 6
Millainen tulisi koordinaattimuunnoksen olla, jotta valon nopeus on sama sekä koordinaatistossa K että sen suhteen vakionopeudella v liikkuvassa koordinaatistossa K? Oletetaan, että muunnos aika- ja paikkavälien välillä on sama kaikkialla (otetaan yksiulotteinen tapaus yksinkertaisuuden vuoksi): dx' = Adx + Bdt dt ' = Ddt + Edx x' = Ax + Bt + x 0 t ' = Dt + Ex + t 0 Jos x=x =0, kun t=t =0 t 0 =x 0 =0 Määrättäväksi jää neljä vakiota A, B, D ja E, joten tarvitaan neljä yhtälöä sitomaan ne toisiinsa. Nämä saadaan, kun vaaditaan, että: 1. Valon nopeus on sama kaikissa koordinaatistoissa. Liike on suhteellista 3. Käänteismuunnos on konsistentti 7
1. Valon nopeus on sama K:ssa ja K :ssa Kappaleen nopeus K:ssa on dx/dt, ja vastaavasti K :ssa dx /dt. Tällöin x' = Ax + Bt t ' = Dt + Ex dx A + B dx ' Adx + Bdt = = dt dt ' Ddt + Edx dx D+ E dt Jos dx/dt=c, vaaditaan siis että myös dx /dt =c. Näin saadaan Ac + B D+ Ec c= Ec = ( A D) c+ B 8
. Liikkeen suhteellisuus K liikkuu K:n suhteen nopeudella v; toisin sanoen, koordinaatti x = 0 on K:ssa x(x =0) = vt. Mutta K :sta katsoen K liikkuu vastakkaiseen suuntaan nopeudella v, joten koordinaatti x = 0 on K :ssa x (x=0) = -vt. Näin saadaan kaksi ehtoa: x( x ' = 0) = vt Avt + Bt = 0 B = Av x '( x = 0) = vt ' Bt = vt '( x = 0) = vdt D= B/ v= A x' = Ax + Bt t ' = Dt + Ex Koska A=D, kohdasta 1 luetaan nyt, että Ec = B = Av Näin saadaan yleisimmäksi mahdolliseksi muunnokseksi ( ) x ' = A x vt ( ) t ' = A t vx / c 9
3. Käänteismuunnos x' = A(x! vt) t ' = A(t! vx / c ) Jos siirrytään ensin koordinaatistoon nopeudella v, ja sieltä uuteen koordinaatistoon nopeudella v, pitää päästä takaisin alkuun. t = A(t '+ vx'/ c ) = A (t! vx / c + v(x! vt) / c ) = A t(1! v / c ) " A = 1 1! v / c #! Lorentz-muunnos on siis kaikkiaan: ( ) x' = γ x vt ( ) t' = γ t vx/ c γ = 1/ (1 v / c ) 10
kolmessa ulottuvuudessa K(x,y,z,t) K (x,y,z,t ) v=ve x x' = γ ( x vt), y' = t' = γ ( t γ = vx ) c 1 1 v / c y, z' = z Voidaan aina valita koordinaatistot siten, että K liikkuu K:n x-akselin suuntaan HUOM: v voi olla myös < 0: K voi liikkua negatiiviseen suuntaan x-akselilla Lorentzin muunnos Jos v = 0, K on K :n lepokoordinaatisto. 11
Miten aaltoyhtälö käyttäytyy Lorentz-muunnoksissa? K:ssa! f!x " 1 c! f!t = 0 Hypätään K :n koordinaatteihin Lasketaan aalto-operaattori x t x' t' γv = + = γ x x' x t' x' c t' x' t' = + = γv + γ t x' t t' x' t'!!x =!!!x' + " $!v # c!!t =! v! )!!x ( 1 c! % ' &!!t ' (! v! c!x'!!t '!x' +!!!t ' (! v!!!x'!t '!t =! " % $ 1( v '! # c &!x' (! " $ c # 1( v c aaltoyhtälön muoto sama myös K :ssa % '! &!t ' =!!x' ( 1! c!t ' 1
Maxwellin yhtälöt säilyvät muuttumattomina siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen suppeassa suhteellisuusteoriassa vaaditaan, että kaikki fysiikan lait pysyvät muuttumattomina siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen (eli ne ovat kovariantteja) muutoksia Newtonin lakeihin (palataan tähän myöhemmin) 13
Newtonin mekaniikassa absoluuttisuus tarkoittaa muuttumattomuutta (invarianssia) Galilei-muunnoksessa. x' = x! vt t ' = t Suppeassa suhteellisuusteoriassa absoluuttisuus tarkoittaa muuttumattomuutta Lorentz-muunnoksessa. t ' =! ( t! vx / c ) x' =! ( x! vt)! "1/ 1! v / c Suppeassa suhteellisuusteoriassa absoluuttisia ovat esimerkiksi massat, valonnopeus ja kausaalisuhteet. Suhteellisia taasen ovat esim. nopeudet, paikat, energia sekä etäisyydet ja aikavälit. 14
NOPEUKSIEN YHTEENLASKU Kappaleen liike K :ssa näyttää myös erilaiselta verrattuna K:hon dx dt v 1 dx' dt' Kappaleen nopeus K K dx( t) dx'( t') dt dt' K K' Lorentz-muunnokset dx' =!(v)[dx! vdt] " dt ' =!(v) dt! vdx % $ ' # c & 15
dx' dt ' = dx! vdt dt! vdx c = dx dt! v 1! v c dx dt u' = u! v 1! uv c u'(t ') = dx' dt ', dx u(t) = dt Huom! Kaikki yo. nopeudet voivat olla negatiivisia tai positiivisia riippuen siitä, mihin suuntaan eri koordinaatistot kulkevat toistensa suhteen. 16
ESIMERKKI Koordinaatisto K liikkuu K :n suhteen nopeudella -3c/5, ja K liikkuu K:n suhteen nopeudella 4c/5. Mikä on K :n nopeus K:ssa? v K K v (K ) K v( K ʹ ʹ ) v vv( Kʹ ʹ ) v'( Kʹ ʹ ) = v'( K ʹ ʹ ) 1 = v( Kʹ ʹ ) v vv( K ʹ ʹ ) 1 c c vv'( Kʹ ʹ ) v( Kʹ ʹ ) 1+ = v'( Kʹ ʹ ) + v c 3 4 5 + 5 5 v( Kʹ ʹ ) = c = 13 c 3 4 1+ 5 - Huolellisesti etumerkkien kanssa! - Jos saa tulokseksi >c, on tehnyt virheen! 17
ENTÄ JOS KAPPALE (= INERTIAALIKOORDINAATISTO K ) LIIKKUU VALON NOPEUDALLA K:SSA? jos valo matkaa pitkin x-akselia negatiiviseen suuntaan c v c ' = = c vc 1 c c' = c v vc 1+ c = c OK eli valon nopeus on vakio, kuten olla pitääkin Suhteellisuusteoria on rakennettu siten, että valon nopeus on vakio kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämä on matemaattinen tosiseikka, jota mikään päättely tai argumentti ei pysty muuttamaan. 18
ESIMERKKI: AMMUTAAN KAKSI VALONSÄDETTÄ VASTAKKAISIIN SUUNTIIN K K K v (K) = -c v (K ) = c Mikä on K :n nopeus K:ssa? EI ainakaan c! Käytetään yhteenlaskukaavaa. Siellä esiintyy v, K :n nopeus K:ssa, joka nopeuden suhteellisuuden perusteella on v (K) = c v'( Kʹ ʹ ) + v c + c v ( Kʹ ʹ ) = v( K ʹ ʹ ) = = c vv'( K ʹ ʹ ) c c 1+ 1+ c c K siis näkee toisen valonsäteen etääntyvän valon nopeudella, kuten pitääkin. (Huom: havaitsijat liikkuvat aina alle valon nopeutta, lasku pitää ymmärtää raja-arvona!) 19
ESIMERKKI: JUNAT OHITTAVAT ASEMAN v -v K K K liikkuu nopeudella v K :ssa K liikkuu nopeudella -v K:ssa K liikkuu nopeudella +v K:ssa K asema v =!v! v 1+ v " v c =!v 1+ v c! # kun v<<c $ '! v& 1! v ) % c ( v v Suht.nopeus 0.1 c -0.198 c 99% x v 0.5 c -0.8 c 80% x v 0.9 c -0.994 c 55% x v 0.95 c -0.999 c 53% x v 0
KAUSAALISUHDE Koska samanaikaisuus on suhteellista, meidän tulee olla huolestuneita syy-seuraus suhteesta. Voisiko seuraus olla ennen syytä jossakin inertiaalikoordinaatistossa? Tämä kuulostaisi järjettömältä! A on B:n syy A:n aikakoordinaatti on pienempi kuin B:n aikakoordinaatti t A! t B " #t = t B $ t A % 0 #!t ' =!!t " v c!x & % ( $ ' # =!!t% 1" $ v!x /!t c & ( ' 1
Jos otetaan tunnetuksi, että pätee aina v<c (koska muutoin Lorentzmuunnoksissa esiintyvä γ-tekijä olisi imaginaarinen!), niin nähdään, että tapahtumien aikajärjestys säilyy kunhan!x!t " c v Epäyhtälön tulee päteä kaikilla v:n arvoilla, eli saadaan ehto!x!t < c Jos kahden tapahtuman välinen paikkaetäisyys on niin pieni verrattuna aikaetäisyyteen, että valo olisi ehtinyt kulkea niiden välillä, niin tapahtumien aikajärjestys on kaikille havaitsijoille sama, eli absoluuttinen. Jos kaksi tapahtumaa ovat niin etäällä, että valo ei olisi ehtinyt kulkea niiden välillä, niiden aikajärjestys on suhteellinen. Jos kausaliteetin halutaan säilyvän, c on isoin mahdollinen signaalinopeus.
Erikoistapauksena on tilanne, jossa Δt=0. Tästä ei seuraa, että Δt =0: v Δ t' = 0 Δ t = Δx c Samanaikaisuus on suhteellista, paitsi jos Δx=0. K:ssa samanaikaisille tapahtumille Δt = 0 K :ssa samanaikaisille tapahtumille Δt = 0 yleisesti Δt Δt 3
LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAUKSIA Lorentzin kontraktio: liikkuva sauva kutistuu Aikadilataatio: liikkuva kello jätättää Aberraatio: kulmat pienenevät Nämä fysikaaliset ilmiöt johtavat arkijärjen kannalta vaikeasti ymmärrettäviin seurauksiin, paradokseihin : Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi aikadilataatio kaksosparadoksi Hyvä www-sivu: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/relcon.html#relcon 4
Lorentzin kontraktio #!t ' =!!t " v c!x & % ( $ '!x' =!(!x " v!t) K=sauvan lepokoordinaatisto l 0 =!x koordinaatisto K liikkuu K:n suhteen!x' =!(!x " v!t) l =!x' l K K päät mitataan samanaikaisesti = γ 1 l = 1 β l β v / c 0 0 $! "t ' =! "t # v c "x ' & ) = 0 % (! "t = v c "x Liikkuva sauva lyhenee ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen levossa oleva havaitsija. 5
esimerkki: l 0 = 100 cm β l [cm] 0.9 43.6 0.99 14.1 0.999 4.5 Kaikki avaruudelliset etäisyydet ovat liikkuvalle havaitsijalle lyhyempiä. Esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa näkee Auringon ja Maan etäisyyden pienempänä. 6
Aikadilataatio v K on kellon lepokoordinaatisto K K ajan mittaus = kaksi tapahtumaa Δt ' = t ' t1 ' Δx'= 0 kellon paikka ei muutu K:ssa v Δ t = γ Δt ' + Δx ' c Δt ' = Δt 1 β K liikkuu K :n suhteen nopeudella -v =0 aika venyy : liikkuvassa koordinaatistossa aika kuluu hitaammin 7
Oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello K:n mielestä jätättää verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Aika ei kulu hitaammin K :ssa: kello on siellä levossa, mutta liike on suhteellista: K :sta katsottuna K:n kello jätättää verrattuna K :n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa oikeaa (absoluuttista) aikaa esimerkki: Δt = 1 vuosi β Δt [päiviä] 0.9 159 0.99 51.4 0.999 16.4 0.9999 5.16 Entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K ), joka palaa takaisin niin, että K ja K voivat lopulta verrata kellojaan kumman kello on jätättänyt? = kaksosparadoksi (kelloparadoksi) Tähän palataan myöhemmin 8
Esimerkki: epästabiilit hiukkaset Kosmisten säteiden (pääasiassa protonien) törmätessä ilmakehään syntyy mm. korkeaenergisiä myoneja. Myonin elinikä on noin τ =. x 10-6 sekuntia. Keskimäärin myoni siis kulkee c τ = 660 m ennen hajoamista. Jos myoneja syntyy 10 km:n korkeudessa kymmenen miljoonaa, maan pinnalla nähtäisiin siis 10 7 x e -10 000/660 = 3 myonia. Myoneja nähdään kuitenkin paljon. Tämä johtuu aikadilataatiosta. 9
Myonin massa on m = 106 MeV/c. Tyypillisen kosmisista säteistä syntyvän myonin energia on noin E = 6 GeV. Myonin kello käy γ = E/(m c )=57 kertaa hitaammin kuin levossa. (Palataan tähän energian ja massan suhteeseen myöhemmin!) Niinpä myoni elää 1.3 x 10-4 s, missä ajassa se matkaa 38 km. Myoneja siis nähdään 10 7 x e -10 000/38 000 = 8 x 10 6. (Itse asiassa myonit menettävät osan energiastaan törmätessään ilmakehän hiukkasiin matkallaan, mutta suuruusluokka menee oikein.) Tämä on Maapallon lepokoordinaatistossa. Myonin lepokoordinaatistossa sen elinikä ei muutu, mutta sen sijaan kuljettava matka on vain 10 km/57 = 17 m, jonka myoni ehtii hyvin matkata. Aikadilataatio ja Lorentz-kontraktio ovat eri näkökulmia samaan ilmiöön. 30
LIPPUTANKOPARADOKSI valittu mukavuussyistä lipputanko omassa lepokoordinaatistossaan: l 0 = 10 m v = 3c / tallin lepokoordinaatistossa: l = β l = 5 m mahtuu talliin! 1 0 5 m Nopeus aina suhteellista: lipputangon lepokoordinaatistossa v = 3c / l 0 = 10 m l =!!1 " 5m =.5m 7.5 m tankoa jää ulkopuolelle? 31
Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti. Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä? Samanaikaisuus on suhteellista. signaali etenee korkeintaan valon nopeudella Tieto saapuu toiseen päähän ajassa Δt l / c tässä ajassa lipputanko on kulkenut max. matkan 0 3 vδt = c l0 / c = 8. 7 m eli takapää saa tiedon, kun se on 8.7 m - 7.5 m = 1. m tallin sisäpuolella Ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista. 3
KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI A jää Maahan koordinaatistoon K A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan samassa lepokoordinaatistossa Kumman kello on jätättänyt? B kokee kiihtyvyyksiä lähtiessään, kääntyessään ja lopuksi pysähtyessään koordinaatistoon K. (Lähtökiihtyvyyden voi jättää pois, jos Kiihtyvyys on absoluuttista. B:n kello on kulkenut lyhyemmän ajan: hän on palatessaan nuorempi. Ongelmaa voi tarkastella seuraamalla, miten A ja B vertailevat kellojaan. Yksityiskohtainen tarkastelu löytyy oppikirjasta. 33
VALOA NOPEAMMIN? Eikö nyt sitten kuitenkin... ω B Liikutetaan taskulamppua nopeasti valovuosien päässä olevalla sermillä valotäplä näyttää liikkuvan paljon valoa nopeammin Mikään fysikaalinen ei oikeasti kulje välillä A, B Vrt. valon sijasta kanuuna, jota käännetään 180 astetta A triviaalisti väärin A ammus ei kulje A:sta B:hen B 34
B kärjen pituus monta valovuotta >> käsiosa väärin mielenkiintoisella tavalla A Voima etenee A:sta B:hen nopeudella v < c kärjet jäävät jälkeen; kun yksittäisen metalliatomin nopeus lähestyy valon nopeutta, sen kineettinen energia kasvaa niin suureksi, että metallihilan sidosenergia ei enää pysty pitämään saksien rakennetta koossa sakset murtuvat ennen kuin valon nopeus saavutetaan Luonnossa ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita 35
Tserenkov-valo Suhteellisuusteoriassa valon nopeus c on 99 79 458 m/s. Väliaineessa valo kuitenkin kulkee nopeudella c/n, missä n on taitekerroin. ilma n = 1.0003 vesi n = 1.33 On mahdollista, että väliaineessa elektroni voi kulkea nopeammin kuin valo. Tällöin elektroni lähettää tserenkov-valoa, joka siis on osoitus valoa nopeammasta liikkeestä. Elektronin nopeus on kuitenkin aina pienempi kuin valon nopeus tyhjiössä, c > v elektroni > c/n. Oleellista suhteellisuusteoriassa on se, että on olemassa maksimisignaalinopeus c. Se, millä nopeudella sähkömagneettinen säteily kulkee, on toissijaista. 36
Pitää siis erottaa tuo maksimisignaalinopeus valonnopeus ja sähkömagneettisen aaltojen nopeus, valon nopeus. Maxwellin yhtälöiden mukaan sähkömagneettisten aaltojen nopeus tyhjössä on sama kuin maksimisignaalinopeus. Väliaineessa sähkömagneettisten aaltojen nopeus on kuitenkin pienempi kuin maksimisignaalinopeus. 37
Ryhmä Ryhmä on joukko alkioita (A, B, C,...) joille on määritelty laskutoimitus *, ja jotka toteuttavat seuraavat ehdot. 1. Laskutoimitus on assosiatiivinen: (A*B)*C=A*(B*C). Joukko on suljettu: A*B kuuluu joukkoon 3. On olemassa identiteettielementti: e*a=a*e=a 4. Kaikilla alkioilla on käänteisalkio: A -1 *A=A*A -1 =e Esimerkiksi avaruuden kerrot muodostavat ryhmän, samoin Lorentz-muunnokset. 38
Hiukkaskinematiikkaa 39
Klassinen mekaniikka vrt. suppea suhteellisuusteoria t! t ' = t x 0! x' 0 =!(x 0 "!x 1 ) x! x' = x " vt x 1! x' 1 =!(x 1 "!x 0 ) Galilei-muunnos Lorentz-muunnos Paikka Suhteellinen Suhteellinen Aika ja aikaväli Absoluuttinen Suhteellinen Paikkaväli Absoluuttinen Suhteellinen Kappaleiden nopeus Suhteellinen Suhteellinen x 0 = ct! = v / c! =1/ 1! " Valon nopeus Suhteellinen Absoluuttinen Massa Absoluuttinen Absoluuttinen Energia Suhteellinen Suhteellinen Liikemäärä Suhteellinen Suhteellinen c t! x! y! z Suhteellinen Absoluuttinen Avaruus Absoluuttinen Suhteellinen Aika-avaruus - Absoluuttinen 40
Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto Avainasemassa ovat vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot, eli inertiaalikoordinaatistot. Fysiikan lait eivät riipu koordinaatistosta, eli ovat kovariantteja. Erona klassiseen mekaniikkaan, valon nopeus on sama kaikille havaitsijoille, eli invariantti eli absoluuttinen. Tästä johtuen inertiaalikoordinaatistojen välillä siirrytään Lorentzmuunnosten avulla: t! t ' =!(t " v c x) x! x' =!(x " vt) Fysiikan lait ovat Lorentz-kovariantteja. x 0! x' 0 =!(x 0 "!x 1 ) x 1! x' 1 =!(x 1 "!x 0 ) Valon nopeus on korkein mahdollinen signaalinopeus, mikä takaa sen, että kausaliteetti ei rikkoudu eli seuraus ei tule ennen syytä. 41
Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto Aika- ja paikkavälit riippuvat havaitsijasta, eli ne ovat suhteellisia: aikadilataatio ja Lorentz-kontraktio. Pituusmittauksessa paikka on otettava samalla ajanhetkellä, aikamittaus on tehtävä samassa paikassa. Aika-avaruudessa mitattu etäisyys on invariantti: dt! dt ' =!(dt " v c dx) dx! dx' =!(dx " vdt) c t! x! y! z Aika ja avaruus muodostavat absoluuttisen neliulotteisen aikaavaruuden, joka on epäeuklidinen. 4
Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto Newtonin. lakia pitää muuttaa, jotta se olisi Lorentz-kovariantti: F! = ma! = dp! d" ; p! = mu! itseisaika Neli-impulssi säilyy:!! p n =!! p n n=alkutila n=lopputila ( ) ( ) x! = ct, x u! = "c,"v! a! = " d" d" c," dt dt v +! $ # a& " %! p! = # E " c,"mv $ % & =! # E " c, p $ & % v = dx dt a = dv dt p =!mv F = dp dt Lepoenergia: " p! p = E % $ ' # c & ( p = m c ) E = m c 4 + p c 43
Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa Miksi vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat erityisasemassa (eli miksi Lorentz-muunnos tehdään samalla tavalla joka paikassa aika-avaruudessa)? Newtonin gravitaatiolaki ei ole Lorentz-kovariantti. Miten se pitäisi yleistää? 44