Matematiikkaa b Eszter C. Neményi Anikó Wéber Anni Lampinen Soili Paavola Pirjo Peltola Matematiikkaa b Matematiikkaa b oppilaan kirja Asenteet matematiikkaan pysyvät myönteisinä, kun oppiminen tuo onnistumisen kokemuksia ja ymmärrystä ja kun oppilas voi huomata oppivansa uutta! Hyvä oppimateriaali haastaa oppilaan ja opettajankin oppimaan! Matematiikkaa b perehdyttää oppilaita likiarvoilla laskemiseen, jota tarvitaan tuloksen suuruusluokan arvioimisessa. Vasta tämän jälkeen myöhemmin keväällä on oikea aika oppia allekkainlaskuja. Keväällä opitaan ratkaisemaan monipuolisia sanallisia tehtäviä ja innostutaan geometriasta. Murtolukujen oppiminen alkaa monipuolisilla kokemuksilla siitä, mikä kaikki voi olla kokonainen ja miten murtoluku jaetaan yhtäsuuriin osiin, murtoluvut liitetään myös mittaamiseen. -91-19-8 Näytesivuilla on esimerkkejä johdattelusta likiarvoilla laskemiseen, sanallisista tehtävistä, allekkainlaskusta ja murtoluvuista. Eszter C. Neményi Anikó Wéber Márta Sz. Oravecz Anni Lampinen Kirsi Puumalainen Soili Paavola 91198 Varga Neményi ry Sisällys Matematiikkaa a Laskeminen lukualueella 0 1000... Monenlaisia sanallisia tehtäviä... 0 Geometriaa... Yhteen- ja vähennyslasku allekkain... 61 Nimi: Kertolasku allekkain... 90 Luokka: Murtoluvut... 98 Geometriaa... 19 Varga Neményi ry Varga Neményi ry
Yhteenlaskun likiarvo Isä! Osaan laskea aika suuria lukuja yhteen jo hyvin nopeasti, jos ei tarvitse tietää ihan tarkalleen, kehuskeli Heikki. No, kokeillaan, sanoi isä ja luetteli: 186 91 0 1. Heikki laittoi eteensä kunkin luvun sijasta yhden värisauvan: Suunnilleen tuhat, vastasi Heikki. Isä tarkisti tuloksen laskimella ja sai 999. Hän ihmetteli, minkä näppärän tempun Heikki olikaan keksinyt. Keksitkö sinä? 18 km Jyväskylä 69 km Helsinki Iisalmi 61 km Lahti 10 km. Heikin isä kuljettaa tavaraa rekalla. Huomenna hän lähtee Helsingistä Lahteen, Lahdesta Iisalmeen. Hän jatkaa sieltä Jyväskylän kautta Helsinkiin. Arvioi, kuinka monta kilometriä isä ajaa matkan aikana. Pyöristä matkat ensin täysiksi sadoiksi kilometreiksi. =. Tutki Suomen reittikarttaa. Millä paikkakunnilla olet käynyt? Tai minne haluaisit matkustaa? Suunnittele rengasmatka. Mieti, mitä kautta reittisi kulkee. Arvioi, kuinka pitkä matkasta tulee yhteensä. Pyöristä matkat ensin täysiksi sadoiksi kilometreiksi.. Käytä Heikin menetelmää ja arvioi, kuinka monta sataa summa suunnilleen on. Tee tehtävät värisauvoilla. 8 109 81 9 0 1 9 11 690 0 16 069 9 1 11 6 1 108 1 1 8 60 6 6 9 1 1 18 091 99 1 81 168 8 86 18 0 19 9 0 0 6 61 161 68
. Yhteenlaskun 8 69 1 likiarvon voi esittää värisauvoilla: 00 = Mikä värisauvarakennelma kuvaa soikioiden sisällä olevien lukujen summaa likimäärin. Yhdistä. 16 189 10 1 99 68 11 0 6 60 11 8 106 10 96 86 90 19 6. Vertaa lausekkeita keskenään. Lisää vertailumerkki <, > tai =. Käytä satoihin pyöristettyjä likiarvoja. 0000000000000008 608 6 9 000000000011 1 0 16 8 0 00000000000000000000 6 09 11 0 8 6 86 96 106 06 16 00000000008 9 161 0
. Kuinka paljon ostokset maksavat suurin piirtein? Käytä Heikin tapaa arvioimisessa. Muuta hinnat mielessäsi ensin senteiksi. Laske täysiin euroihin pyöristetyillä hinnoilla. Ostokset: Juusto, jogurtti, lenkkimakkara Lasku: Ostokset: Kananmunia, pillimehua, makkara Lasku: Ostokset: Pikkuleipiä, maitoa, vaalea leipä, mansikoita Lasku: Ostokset: Jäätelötikku, hot dog, maitoa Lasku: Ostokset: lenkkimakkaraa, juusto, kananmunia Lasku:
Vähennyslaskun likiarvo Vähennyslaskun 8 611 likiarvon voi esittää värisauvoilla: Sinisen ja violetin värisauvan erotus: 900 600 = 00 8. Laske lukujen satoihin pyöristetyillä likiarvoilla. Kokeile ensin värisauvoilla. 16 1 = 89 1 = 6 9 = 10 91 = 8 = 90 99 = 9. Vertaa lausekkeita keskenään. Käytä satoihin pyöristettyjä likiarvoja. Lisää vertailumerkki <, > tai =. 60 198 99 6 8 16 9 6 6 90 98 88 681 9 11 1 19 68 0 96 61 9 11 0. Kahdessa taskussani on saman verran rahaa. = Käytän vasemmasta taskusta 1,0 eli 10 ja oikeasta 1, 9 eli 19. Kumpaan taskuun jää enemmän rahaa? Kuinka paljon enemmän? 10 19
1. Yhden kilogramman punnus on tasapainossa kymmenen 100 gramman punnuksen kanssa: Kuinka paljon kevyempi? Piirrä vaakojen alle, mitä puuttuu, jotta vaa at olisivat tasapainossa.. Keinulaudat asettuivat näin: Kerro kuvista. Eeva antaa jokaisen vertailun jälkeen painavammalle lapselle omenan. Kuinka monta omenaa kukin sai vertailun jälkeen? Tia Kim Aki Jan Täydennä piirros. Piirrä nuoli osoittamaan kevyempään päin. Tia Kim Aki Jan Tarkista, kuinka monta nuolta osoittaa kohti kevyintä lasta ja kuinka monta kohti painavinta. 6
Monenlaisia sanallisia tehtäviä Ainakin tuhat! 1. Sanna kertoo, että hänellä on ainakin tuhat erilaista pullonkorkkia. Jos joka päivä löytäisit 10 erilaista pullonkorkkia, niin kuinka monta päivää tarvitsisit 1000 pullonkorkin löytämiseen?. Aatu huokaa olevansa ihan poikki. Varmasti on kävelty ainakin 1000 metriä! Ellan mielestä matkaa on tehty vasta 0 m. Kuinka paljon enemmän on Aatun mielestä kävelty kuin Ellan?. Netasta tuntuu, että isä on ollut ainakin 1000 päivää työmatkalla. Isän työmatka on kestänyt 10 päivää. Kuinka paljon Netan käsitys eroaa isän todellisen työmatkan pituudesta?. Äiti parahtaa, että Eetu on hukannut ainakin tuhat pyyhekumia. Eetu muistelee, että viime jouluna hän sai lahjaksi 0 pyyhekumia, syntymäpäivänä serkut toivat 0 pyyhekumia, opettaja antoi pyyhekumia ja hänellä oli 8 pyyhekumia jo entuudestaan. Kuinka monta pyyhekumia Eetun olisi vielä pitänyt saada, jotta pyyhekumeja olisi ollut hukattavaksi yhteensä tuhat?. a) Isä sanoo, että hän kysyy joka päivä sata kertaa, onko läksyt tehty. Jos tämä pitäisi paikkaansa, niin kuinka monessa päivässä isä on kysynyt läksyistä tuhat kertaa? b) Aino laski, että oikeasti isä kysyy läksyistä noin viisi kertaa. Kuinka monta päivää tällä tahdilla tarvittaisiin, jotta kysymyksiä olisi yhteensä tuhat? Minä ja tuhat kokeile ja laske suurin piirtein. 6. Kuinka monta minuuttia kuluu aikaa, kun sydämesi lyö tuhat kertaa?. Kuinka monen minuutin aikana vedät henkeä tuhat kertaa? 8. Oletko jo syönyt elämäsi aikana 1000 kg leipää? 9. Kuinka monen vuorokauden aikana nukut 1000 tuntia? 10. Pystyisitkö opettelemaan ulkoa kertomuksen tai runon, jossa on noin 1000 kirjainta? 11. Keksi lisää tuhatmatematiikkaa itsestäsi. 0
Avoimet lauseet Ajattelin erästä lukua: Lisäsin siihen 10: 10 Summa on 00: 10 = 00 Mitä lukua ajattelin? Voit etsiä luvun näinkin: 10 10 00 00 Ajattelemani luku on 10 pienempi kuin 00, 00 10 = 10. Mitä lukuja ajattelin? Kirjoita avoimella lauseella ja ratkaise.
60. Tarvitset kaksi eriväristä noppaa. Minkä luvun saat useimmin, jos lasket yhteen kahdella nopalla heitetyt luvut? Kirjoita vastaaviin sarakkeisiin noppien silmälukujen summa. Esim. jos saat, niin kirjoitat sen tietenkin viiden yläpuolelle. 6 8 9 10 11 Minkä luvun sait useammin? Mikä mahtaa olla syynä tähän? 61. Kirjoita jokaiseen kenttään, kuinka paljon kahden nopan silmäluvut ovat yhteensä. Mikä summa on yleisin? Mitkä ovat harvinaisimmat summat? Jos kahdella nopalla heitettäessa voittaa ensin heitetyllä tuloksella, niin minkä luvun valitsisit? Minkä luvun valitset, jos voittotulos on sadassa heitossa eniten esiintynyt summa? 0
Yhteen- ja vähennyslasku allekkain Kun suuremmilla luvuilla täytyy laskea tarkasti, niin silloin käytetään usein laskinta. Laskemista voidaan helpottaa myös allekkainlaskulla. Ennen laskemista allekkain on tärkeää arvioida tuloksen suuruus. Sitä varten olet jo oppinut pyöristämään lukuja ja laskemaan niillä päässä. Arvioimisessa riittää, että tiedät suurin piirtein, mikä on lopputulos. Tarvitset tätä taitoa esimerkiksi silloin, kun teet ostoksia ja mietit, riittävätkö rahasi. Milloin muulloin arviointitaidosta on hyötyä? 1. Pyöristä ensin satojen tarkkuudella ja laske. Pyöristä vielä kymmenien tarkkuudella ja laske. 1 89 = = 08 = = 690 = = 91 9 = = = = 1 = = 0 = = 68 9 = = 98 = = 61 6 = = 89 = = 96 8 = = Mitä huomaat? 61
. Arvioi ensin summa. Laske allekkain. 0 6 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 6 1 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 1 6 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 96 01 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 6 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 9 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 1 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 0 11 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = 9 = Arvio satojen tarkkuudella = Arvio kymmenien tarkkuudella = Onnistuuko täysillä sadoilla tehty arvio aina tarpeeksi lähelle? 6
. Arvioi ensin summa. Laske allekkain. 0 = = 68 110 = = 18 10 = = 1 = = 1 6 = = 6 1 = = Summapeli Tarvitaan noppa. Sovitaan tavoitesumma, esimerkiksi mahdollisimman suuri, pieni tai lähellä lukua 00 oleva summa. Tehdään kaksi kolminumeroista lukua. Heitetään noppaa kuusi kertaa. Jokaisen heiton jälkeen pelaaja siirtää numeron pelipohjalle. Numeron paikkaa ei saa sen jälkeen enää vaihtaa. Lasketaan summat. Voittaja on se, joka pääsee lähimmäksi tavoitelukua. Arvioi ensin summa. Tee arvio päässälaskuna. Laske allekkain.. 1 11. 96 01 6. 18 11. 1 0 8. 6 1 10 10 91 06 1 61 1 6 9 0 801 1 1 6 16 1 6
9. Arvioi ensin summa, pyöristä luvut kymmenien tarkkuudella. Laske. Vertaile tarkkaa tulosta arvioon. Lisää vertailumerkki. 1 = = Arvio: Tulos: 6 = = Arvio: Tulos: 08 = = Arvio: Tulos: 69 = = Arvio: Tulos: 601 9 = = Arvio: Tulos: 68 = = Arvio: Tulos: 19 6 = = Arvio: Tulos: 8 0 = = Arvio: Tulos: 6 9 = = Arvio: Tulos: Arvioi ensin summa. Tee arvio päässälaskuna. Laske allekkain. 10. 6 6 11. 6 1. 96 1. 8 96 1. 8 189 6 9 8 6 66 69 96 9 18 9 6 888 90 98 6
Summapeli Käytetään joko 0 9-noppaa tai kahta 1 6 -noppaa. Kahta 1 6-noppaa käytettäessä silmälukujen summa 10 tarkoittaa nollaa, 11 ykköstä ja 1 kakkosta. Sovitaan tavoitesumma, esimerkiksi mahdollisimman suuri, pieni tai lähellä lukua 00 oleva summa. Tehdään kaksi kolminumeroista lukua. Heitetään noppaa kuusi kertaa. Jokaisen heiton jälkeen pelaaja siirtää numeron pelipohjalle. Numeron paikkaa ei saa sen jälkeen enää vaihtaa. Lasketaan summat. Voittaja on se, joka pääsee lähimmäksi tavoitelukua. 68
69 1. Täydennä allekkainlaskut. 9 1 6 8 1 6 8 9 6 1 8 8 9 1 1 9 1 6 1 8 0 6 8 0 6 8 6 1 6 0 9 0 1 0 16. Keksi omia täydennystehtäviä ja anna parisi ratkaista ne. 1. Laske. Tee uusi yhteenlasku, joissa käytetään samoja numeroita ja summakin on samansuuruinen. 1 1 1 1
Ostoksilla useampi yhteenlaskettava allekkainlaskussa 1 euro on 100 senttiä. Esimerkiksi 1, on 1. 18. Muuta hinnat senteiksi.,6 =,0 = 1,0 =,0 = 6, =,08 =,99 =, = 6, = 8,10 = 9,99 =, = 19. Mitä haluat ostaa? Muuta hinnat ensin senteiksi. Kuinka paljon ostoksesi maksavat suurin piirtein? KUITTI Ostos: Hinta: Arvioi ostosten loppusumma ennen kuin lasket. Yhteenlaskettavia voi allekkainlaskussa olla useampiakin. Yhteensä: Muuta euroiksi ja senteiksi 0
0. Millan ostokset maksoivat noin. Mitä hän mahtoi ostaa? KUITTI Ostos: Hinta: Yhteensä: Muuta euroiksi ja senteiksi 1. Juhon ostokset maksoivat noin 9. Mitä hän mahtoi ostaa? KUITTI Ostos: Hinta: Yhteensä: Muuta euroiksi ja senteiksi. Christianin ostokset maksoivat noin 10. Mitä hän mahtoi ostaa? KUITTI Ostos: Hinta: Yhteensä: Muuta euroiksi ja senteiksi. Tee omia ostoksia. 1
Päätähuimaavan korkeita rakennuksia rakennus korkeus kaupunki Burj Khalifa Tokyo Skytree CN Tower Eiffel-torni 168 m Tokio. Näsinneula on 168 metriä korkea. Kun lisäät Näsinneulan korkeuteen 16 metriä, niin saat Eiffel-tornin korkeuden. Kuinka korkea on Eiffel-torni?. CN Tower on metriä korkea. Burj Khalifa -pilvenpiirtäjä on sitä metriä korkeampi. Kuinka korkea on Burj Khalifa? 6. Eiffel-torni on 0 metriä lyhempi kuin Burj Khalifa. Kuinka korkea on Burj Khalifa?. Tokyo Skytree on 10 metriä korkeampi kuin Eiffel-torni. Kuinka korkea Tokyo Skytree on? 8. Arvioi, mitkä torneista olisivat yhdessä korkeampia kuin Burj Khalifa. Laske, kuinka korkean tornin niistä saisi, jos ne laitettaisiin päällekkäin. 9. Kuinka paljon korkeampi CN Tower on kuin Tokyo Skytree? Tarkista, saitko saman tuloksen kuin edellisestä laskusta. 0. Selvitä vihjeiden perusteella, missä rakennukset sijaitsevat. Korkein rakennuksista on Dubaissa sijaitseva pilvenpiirtäjä. Tampereella sijaitsee torni, jonka pituutta kuvaavassa luvussa on eniten kymmeniä. Torontossa sijaitsevan tornin korkeutta kuvaavassa luvussa on vähiten ykkösiä. Vanhin ja ehkä myös kuuluisin näköalatorni sijaitsee Pariisissa.
1. Mitä lukua ajattelin? Kirjoita matematiikan kielellä. Ratkaise tehtävät. Etsi sopivat luvut kolminumeroisista kokonaisluvuista. a) Ajattelin erästä lukua 00 suurempaa lukua. Lisäsin siihen 89 ja sain näinkin vähemmän kuin 00. Mitä lukua mahdoin ajatella? Etsi kaikki luvut. b) Ajattelin erästä lukua 00 pienempää paritonta lukua. Vähensin siitä 89 ja sain vielä näinkin lukua 00 suuremman luvun. Mitä lukua mahdoin ajatella? c ) Ajattelin erästä lukua. Sen ensimmäinen numero on. Lisäsin siihen 91. Summa on lukua 800 pienempi. Mikä ajattelemani luku mahtoi olla? d) Ajattelin erästä lukua. Lisään siihen 8 ja saan näin 00. Mitä lukua mahdoin ajatella? e) Ajattelin kahta lukua. Molemmissa on sataa. Suuremmassa luvussa on enemmän kymmeniä kuin pienemmässä. Lukujen summa on 9. Mitkä nämä kaksi lukua ovat?. Laske pitkät yhteenlaskut niin kuin luvut olisivat allekkain. Aloita laskeminen ykkösistä, jatka vaihtamisen jälkeen seuraaviin kymmeniin ja sitten satoihin. 6 19 11 61 1 = 8 1 18 1 6 1 119 1 = 18 99 1 8 118 101 = 8 66 11 108 1 9 81 66 = 1 6 6 8 = 109 118 1 16 1 1 16 1 181 =
Murtoluvut Kokonaisen jakaminen yhtä suuriin osiin Äiti oli varannut aamiaiselle appelsiinin ja omenan. Hän pyysi Teemua jakamaan appelsiinin tasapuolisesti perheen lasten kesken. Siiri Väinö Helmi Teemu Äiti: Siiri: Teemu, appelsiinin jakaminen ei onnistunut tasapuolisesti. Sinulle jäi vähemmän kuin muille. Minä tiedän, miten appelsiinin voi jakaa tasapuolisesti. Jokaisen pitää saada appelsiinista neljäsosa. Silloin saamme saman verran. Väinö: Eivätkö nämä ole neljäsosia? Siiri: Eivät! Ei riitä, että jakaa appelsiinin neljään osaan. Osien täytyy olla yhtä suuria. Helmi: Siiri, jaa meille omena niin, että kaikki saavat tasan saman verran. Siiri: Selvä! Ensin omena leikataan tarkasti puoliksi. Sitten vielä puolikkaat leikataan tarkasti puoliksi. Helmi: Mikä olisi yhden osan nimi, jos omena leikattaisiin tarkasti kolmeen yhtä suureen osaan? Siiri: Kolmasosa. Väinö: Entä viiteen yhtä suureen osaan leikattuna? Teemu: Viidesosa. Siiri: Mutta vain, jos omena on leikattu tarkasti viiteen yhtä suureen osaan. Sanoja puolikas tai kahdesosa, kolmasosa, neljäsosa, viidesosa ja kuudesosa voidaan käyttää vain silloin, kun kokonainen on jaettu täsmälleen kahteen, kolmeen, neljään, viiteen tai kuuteen yhtä suureen osaan. 98
Pitsa jaettiin kolmeen yhtä suureen osaan. Yhden osan nimi on kolmasosa. Pitsa leikattiin kuuteen yhtä suureen osaan. Yksi viipale pitsasta on 1 kuudesosa. Yksi kokonainen on 6 kuudesosaa. Pitsa leikattiin kymmeneen yhtä suureen osaan. Yksi viipale pitsasta on 1 kymmenesosa. Yksi kokonainen on 10 kymmenesosaa. Pitsa leikattiin kuuteentoista yhtä suureen osaan. Yksi viipale kakusta on 1 kuudestoistaosa. Yksi kokonainen on 16 kuudestoistaosaa. 1. Isä ja Leena leipoivat pitsan. Se jaettiin tasan isän, Leenan, Laurin ja Leevin kesken. Jaa pitsa. Kuinka suuren osan jokainen sai pitsasta? Vastaus: 99