Mekaiika jatkokurssi Fysp102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 13
Superpositio Aalto ilmeee aiehiukkase liikkeeä tasapaioasema ympärillä. Liikkee syyä o aapurihiukkaste aiheuttama voima. Ku hiukkase kohdalle saapuu samaa aikaa kaksi aaltoa, hiukkasee vaikuttaa kaksi voimaa. Voimie resultatti määrää hiukkase liikkee. Aaltoliikkeet yhdistyvät yhdeksi liikkeeksi eli tapahtuu aaltoje superpositio. Hiukkase ettopoikkeama tasapaiosta o eri aaltoihi liittyvie poikkeamie summa: D x, D ( x, D ( x,... D ( x, etto( 1 2 i i
Seisova aalto Tarkastellaa kahta siiaaltoa, joilla o sama taajuus f = /2p, sama aallopituus l = 2p/k ja sama amplitudi a, mutta vastakkaie eteemissuuta. Mikä o iide superpositio? Superpositio o D1 ( x, asi( kx. D ( x, asi( kx 2 Eteee +x-akseli suutaa Eteee x-akseli suutaa Detto( x, D1 ( x, D2 ( x, asi( kx asi( kx a[sikxcost coskxsit] a[sikxcost coskxsit] (2asikx)cost. Yhdistety aallo poikkeama o siis D( x, A( x)cos( A(x) = 2a si kx Amplitudifuktio Tämä ei ole x vt : eikä x + vt : fuktio, jote se ei etee. Se o seisova aalto.
Seisovassa aallossa aiehiukkaset heilahtelevat taajuudella, mutta heilahteluje amplitudi o erilaie eri pisteissä x. Solmut: kohdat, jossa aallot kumoavat toisesa A( x) 2asikx 0 2 eli kx x, 0,1,2,... x, 0,1,2,... 2 Kuvut: kohdat, jossa aallot vahvistavat toisiaa eite A( x) 2asikx 2a x (2 1), 4 0,1,2,...
Aaltoje vaikutus toisiisa = iterferessi. Solmuje kohdalla aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa. Tapahtuu destruktiivie iterferessi. Aie ei liikuu solmuje kohdalla. Kupuje kohdalla tapahtuu kostruktiivie iterferessi. Kupuje kohdalla hiukkaste poikkeama tasapaiosta heilahtelee 2a: ja -2a: välillä.
Esimerkki
Poikittaie seisova aalto Poikittaise seisova aallo saa parhaite sytymää lakaa, joka päät o kiiitetty paikallee. Ku aalto kohtaa epäjatkuvuuskohda lagassa, osa aallosta heijastuu takaisi. Aalto eteee ohuessa lagassa opeammi kui paksussa (pituustiheys m o pieempi). Eergiaa ei etee ohuessa lagassa samalla tavalla kui paksussa, jote osa eergiasta (ja aallosta) heijastuu epäjatkuvuuskohdasta. Ku siirrytää ohuesta lagasta paksuu lakaa, aalloopeus pieeee. Silloi tilae o erilaie: ohuee lakaa heijastuee aallo poikkeama käätyy vastakkaiseksi. Heijastuksessa tapahtuu p: vaihesiirto (si( + p) = si ). v T s
Äärimmäie epäjatkuvuuskohta o laga kiiityskohta seiää, jossa köysi muuttuu äärimmäise paksuksi. Silloi koko aalto heijastuu. Aalto ei jatku seiää, jote kaikki eergia heijastuu ja aallo amplitudi säilyttää suuruutesa. Laka aiheuttaa seiää voima ylöspäi ja seiä lakaa alaspäi (Newtoi III laki). Tämä saa poikkeama suua muuttumaa.
Seisovat aallot molemmista päistä kiiitetyssä lagassa Poikkeama o D( x, (2asikx)cost Laga molemmissa päissä o solmukohta, jote si( k 0) 0, Täte L k 1 2 si( k L) 0 ( 0,1,2,...) Seisova aallo aallopituus o site 2L ( 1,2,...) Seisova aallo mahdolliset aallopituudet L: pituisessa lagassa. o kupuje lukumäärä.
Seisova aallo taajuus o = 1 v v f 2L = 2 Perustaajuus o f 1 2L = 3 Harmoiset taajuudet f f1 ( 2,3,...) = 4 Laga ormaalit moodit.
Ku laka paaa värähtelemää, siihe harvoi sytyy yksi ormaaleista moodeista. Yleesä laka värähtelee useassa moodissa yhtä aikaa eli se värähtely o useamma siiaallo superpositio. Huom. Edellie poikittaise seisova aallo käsittely soveltuu myös sähkömageettiselle aallolle. Tyypillisesti L = 30 cm ja l = 600 m, jote solmuje määrä laseri sisällä o = 2L / l 10 6
Seisovat pitkittäiset aallot Ku fluidissa (esteessä tai kaasussa) eteee kaksi pitkittäistä aaltoa vastakkaisii suutii, tuloksea voi olla seisova aalto. Solmu eri puolilla olevat hiukkaset värähtelevät ii, että e liikkuvat samaaikaisesti joko solmua kohti tai siitä poispäi. Paiee vaihtelut ovat suurimpia solmuje kohdalla, missä hiukkaste poikkeamat ovat pieimpiä. Paiee vaihtelut ovat pieimpiä kupuje kohdalla, jossa hiukkaste poikkeamat tasapaiosta ovat suurimpia. x Solmuissa paiekupu, kuvuissa paiesolmu. http://www.physics.smu.edu/~oless/www/05fall1320/applet/pipe-waves.html
Suljettu putki Molemmissa päissä o solmu, koska päätyseiät estävät hiukkaste pitkittäise värähtely (reuaehto). Vastaava tilae kui molemmista päistä kiiitetyssä lagassa poikittaisille aalloille. Näide solmuje välimatka o L, ja putkee sytyy puolet yhdestä aallosta, jote L = l / 2. Solmuja voi sytyä päide lisäksi muualleki. Seisova aalto voi sytyä aallopituuksilla 2L ( 1,2,...) Vastaavat taajuudet ovat f v v 2L ( 1,2,...) Kuvaa hiukkaste poikkeamaa putke suuassa. f f 1
Toisesta päästä avoi putki Ku pitkittäie aalto tulee putke avoimee päähä, osa aallosta jatkaa ympäröivää tilaa, osa heijastuu takaisi putkee. Tämä vastaa poikittaise aallo käyttäytymistä laga paksuude muutoskohdassa. Putkee heijastuut aalto voi muodostaa toisee suutaa eteevä aallo kassa seisova aallo. Putke avoimessa päässä vallitsee ympäröivä ilma (fluidi) paie eli paie o siellä vakio. Avoimessa päässä o siis paiesolmu eli värähtely kupu. Reuaehdot ovat siis: suljetussa päässä solmu, avoimessa päässä kupu. Pisimmästä seisovasta aallosta putkee mahtuu aallo eljäes eli l = 4L. Yleisesti seisovie aaltoje aallopituudet ja taajuudet ovat 4L v f 4L ( 1,3,5,...) f 1 ( tai 4L 2 1 ( 0,1,2,...) )
Molemmista päistä avoi putki Molemmat päät vakiopaieessa, jote molemmissa päissä o kupu. Pisimmä seisova aallo aallopituus o l = 2L. Yleisesti seisovie aaltoje aallopituudet ja taajuudet ovat ovat 2L v f 2L ( 1,2,...) f 1 http://ocw.mit.edu/ocwweb/physics/8-01physics- IFall1999/VideoLectures/detail/embed31.htm