Lujuusopin jatkokurssi I.28 3 JÄNNITYS- JA MUODONMUUTOSTILAN YHTYS 3. Materiaalimalleista Jännits- ja muodonmuutostila ovat ktkennässä toisiinsa ja ktkennän antavia htälöitä sanotaan materiaalihtälöiksi eli konstitutiivisiksi htälöiksi. Materiaalihtälöt on etsittävä kokeellisesti ja ne ovat todellisilla aineilla mutkikkaita. Tästä johtuen lujuusopissa kätetään materiaalimalleja joiden konstitutiiviset htälöt ovat ksinkertaisia ja analttisesti esitettävissä mutta sisältävät aineiden tärkeimmät ominaisuudet. Materiaalille oletetaan kontinuumimalli jolloin aineen ajatellaan jakaantuvan jatkuvasti kappaleeseen. Kontinuumi on homogeeninen jos sen materiaalihtälöt ovat samat kaikissa pisteissä ja isotrooppinen jos materiaalihtälöt ovat suunnasta riippumattomat. päisotrooppisia ja epähomogeenisia materiaaleja ovat mm. puu valssattu teräs ja lasikuituvahvisteinen muovi. Jos konstitutiivisissa htälöissä on aika mukana on materiaali ajasta riippuva. Ajasta riippuvia materiaaleja ovat esimerkiksi nesteet muovit asfaltti lakat tekstiilikuidut leensä orgaaniset aineet ja metallit korkeissa lämpötiloissa. Ajasta riippumattomat materiaalit voidaan jakaa niihin sntvän muodonmuutoksen perusteella jäkkiin kimmoisiin ja plastisiin materiaaleihin. Jäkässä materiaalissa ei ole muodonmuutoksia. Kimmoisen materiaalin muodonmuutokset palautuvat mutta plastisen materiaalin muodonmuutoksista ainakin osa jää palautumatta kun kuormitukset poistetaan. Materiaali on lineaarinen jos konstitutiiviset htälöt ovat jännits- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia htälöitä. 3.2 Kimmoteoria Tarkastellaan lineaarisesti kimmoista materiaalia jolloin materiaalihtälöt ovat ajasta riippumattomia jännits- ja muodonmuutoskomponenttien välisiä lineaarisia htälöitä. Kun lämpötilan vaikutusta ei oteta huomioon materiaalihtälöt ovat tällöin muotoa 2 3 4 5 6 2 22 32 42 52 62 3 23 33 43 53 63 4 24 34 44 54 64 5 25 35 45 55 65 6 26 36 46 56 66 (3. jossa on otettu huomioon jännits- ja muodonmuutosmatriisin smmetriss. Kun Lujuusopin perushtälöt
Lujuusopin jatkokurssi I.29 materiaali oletetaan homogeeniseksi ovat kertoimet ij htälössä (3. materiaalille ominaisia vakioita. Yhtälöissä (3. on 36 materiaalivakiota joista vain 2 on erilaista sillä voidaan osoittaa että ij ji. Jos materiaalilla on smmetriaominaisuuksia pienenee toisistaan riippumattomien materiaalivakioiden lukumäärä. Yksinkertaisinta tapausta edustaa isotrooppinen materiaali jolla materiaaliominaisuudet ovat suunnasta riippumattomat. Seurauksena on että isotrooppisella materiaalilla on vain kaksi vapaata materiaalivakiota. Teknillisessä kirjallisuudessa näiksi valitaan tavallisesti kimmomoduuli ja Poissonin vakio jotka on helppo mitata. Usein kätetään apuna mös liukumoduulia G / [ 2(+ ]. Toinen sovelluskelpoinen materiaali on ortotrooppinen materiaali jolla on kolmessa toisiaan vastaan kohtisuorassa suunnassa erilaiset ominaisuudet eli kullakin suunnalla on oma kimmomoduuli ja kullakin suuntaparilla oma liukumoduuli ja Poissonin vakio jolloin materiaalivakioita on hdeksän. Rajoitutaan isotrooppisen materiaalin tarkasteluun jolloin materiaalihtälöt ovat (+ ( (+ ( (+ ( [( + ( + ] [( + ( + ] [( + ( + ] G G G (3.2 Yhtälöistä (3.2 saadaan jännitskomponentit kun muodonmuutoskomponentit tunnetaan. Muodonmuutoskomponenttien suhteen ratkaistut materiaalihtälöt ovat [ ( + ] [ ( + ] [ ( + ] (3.3 Rhmää (3.2 tai (3.3 sanotaan leistetksi Hooken laiksi. Materiaalihtälöistä näk että isotrooppisessa materiaalissa jännits- ja muodonmuutostilojen pääsuunnat htvät. Näin ei ole epäisotrooppisessa materiaalissa. Yhtälöt (3.2 voidaan laittaa muotoon 2G 2G 2G + λe + λe + λe G G G e + + λ / [(+ ( ] (3.4 Liukumoduuli G ja λ ovat Lamén vakiot joita kätetään vakioiden ja asemesta. Lujuusopin perushtälöt
Lujuusopin jatkokurssi I.3 Suureelle e saadaan tulkinta tarkastelemalla kuvan 2.5 differentiaalisärmiön muodonmuutoksesta johtuvaa tilavuuden muutosta. Alkutilassa tilavuus on ΔΔΔ ja muodonmuutostilassa V m (+ Δ(+ Δ(+ Δ. Saadaan siis V V m V + Δ V (+ + + + + + + + V (3.5 (+ + + V V + ev (3.6 Vm Vm V ΔV e + + (3.7 V V joten e on suhteellinen tilavuuden muutos. Se voidaan lausua jännitskomponenttien avulla sijoittamalla venmäkomponentit htälöstä (3.3 jolloin saadaan e + + ( + + (3.8 Kun tarkastellaan jännitselementtiä jonka tahoihin kohdistuu hdrostaattinen paine eli p ja saadaan htälöstä (3.8 p e 3( p / K (3.9 e 3( Vakiota K sanotaan materiaalin puristusmoduuliksi. Jos materiaali on kokoonpuristumatonta eli sen e on kaavan (3.8 mukaan silloin 5. Koska toisaalta K > kun e saadaan lisäksi ehto 5 ja edelleen 5. 3.2. Tasojännitstila Tasojännitstilan (TJT konstitutiiviset htälöt saadaan htälöistä (3.3 sijoittamalla jolloin tasojännitstila on -tasossa. Tulokseksi saadaan ( ( ( + (3. Kaavasta (3. saadaan muodonmuutoskomponentit kun jännitskomponentit tunnetaan. Ratkaisemalla htälöt (3. jännitskomponenttien suhteen saadaan Lujuusopin perushtälöt
Lujuusopin jatkokurssi I.3 G 2 ( + 2 ( + (3. 3.2.2 Tasomuodonmuutostila Tasomuodonmuutostilan (TMT konstitutiiviset htälöt saadaan htälöistä (3.2 ottamalla huomioon että jolloin tasomuodonmuutostila on -tason suuntainen. Tulokseksi saadaan (+ ( (+ ( ( (+ ( [( + ] [( + ] + G (3.2 Kaavasta (3.2 saadaan jännitskomponentit kun muodonmuutoskomponentit tunnetaan. Ratkaisemalla htälöt (3.2 muodonmuutoskomponenttien suhteen saadaan + + [( ] [( ] (3.3 4 YHTNVTO dellä esitetssä lineaarisen lujuusopin perusteoriassa kätettävät tuntemattomat funktiot ovat Jännitskomponentit Muodonmuutoskomponentit Siirtmäkomponentit u v w 3 kpl joiden ratkaiseminen on lujuusopin tavoitteena. Tuntemattomien ratkaisemiseksi ovat kätettävissä seuraavat riippumattomat osittaisdifferentiaalihtälöt ja htälöt Lujuusopin perushtälöt
Lujuusopin jatkokurssi I.32 Jännitskomponenttien tasapainohtälöt 3 kpl + + + + + + + f + f + f Kinemaattiset htälöt u u + v v u + w w v + w Materiaalihtälöt [ ( + ] [ ( + ] [ ( + ] Yhteensä 5 kpl Yhtälöitä ja tuntemattomia on siis sama määrä. Kun tilavuusvoimat sekä pintakuormitukset ja tuennat on annettu on tehtävä matemaattisesti ksikäsitteinen. Kappaleen reunan pisteissä ksmkseen tulevat reunaehdot ovat Pintavoimavektori on annettu. Jännitskomponenttien reunaehdot. Siirtmävektori on annettu. Siirtmäkomponenttien reunaehdot. Sekareunaehdot. Yhdistelmä jännits- ja siirtmäkomponenttien reunaehtoja. Kuvassa 4. on esitett kaavio lujuusopin perussuureista sekä niitä koskevista ja ktkevistä htälöistä. Voidaan osoittaa että jokaisella lineaarisen lujuusopin tehtävällä on aina olemassa ksikäsitteinen ratkaisu. Sen lötäminen analttisesti on kuitenkin usein hvin vaikeaa mutta onnistuu tavallisesti likimääräisesti numeerisilla menetelmillä joista tärkein on elementtimenetelmä (FM. Lineaarisen lujuusopin ongelmassa on aina pohjimmiltaan ksms edellä kuvatun htälöjärjestelmän reuna-arvotehtävän ratkaisemisesta. Sovellettaessa lujuusoppia eri rakennetppeihin kannattaa ottaa huomioon näiden eritispiirteet. Näin saadaan tiettihin rakennetppeihin soveltuvia lujuusopin teorioita (palkkiteoria laattateoria kuoriteoria joissa edellä esitettjä perushtälöitä on kehitelt tarkoituksenmukaiseen muotoon kätössä voi olla perustuntemattomista johdettuja suureita (taivutusmomentti jännitsresultantti suuntakulma tai osa tuntemattomista on merkitksettömi- Lujuusopin perushtälöt
Lujuusopin jatkokurssi I.33 nä oletettu nolliksi. Nämä lujuusopin eritisteoriat eivät ulkoiselta olemukseltaan välttämättä muistuta enää kovinkaan paljon tässä käsiteltjä perushtälöitä mutta on hvä muistaa että niissä on joka tapauksessa sisään rakennettuna perushtälöiden mukaiset fsikaaliset ja geometriset lainalaisuudet. Reunaehdot JÄNNITYSTILA Yhteensopivuushtälöt Tasapainohtälöt Materiaalihtälöt MUODONMUUTOSTILA Kinemaattiset htälöt SIIRTYMÄTILA u v w Reunaehdot Kuva 4. Lujuusopin htälöjärjestelmä. Lujuusopin perushtälöt