Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön muodossa ΣF i = ma. Muutamissa tämän jakson tehtävissä pitää muistaa, että ympyräliikkeessä normaalikiihtyvyys eli kiihtyvyys kohtisuoraan liikettä vastaan on. T 3.1 (pakollinen): uettele alla esitetyissä tilanteissa kappaleisiin vaikuttavat kaikki voimat ja niiden suunnat. Voimien suuruutta tai kiihtyvyyttä ei tarvitse laskea. a) Henkilö vetää vaakasuoralla narulla voimalla F kelkkaa tasaisella vaakasuoralla jäällä siten, että systeemi on kiihtyvässä liikkeessä. Kelkan massa kuormineen on m. iukukitkakerroin kelkan jalasten ja jään välillä on µ. b) Henkilö vetää kelkkaa mäkeä ylös mäen pinnan suuntaisella narulla voimalla F siten, että kelkka on kiihtyvässä liikkeessä oikealle. Kelkan kuormineen on m. iukukitkakerroin kelkan jalasten ja jään välillä on µ. Mäen kaltevuuskulma on 27 o. c) Heiluri koostuu kappaleesta, jonka massa on m, ja langasta, jonka pituus on. luksi heiluri on levossa kohdassa (katso kuvaa). Heiluria poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja vapautetaan kohdassa B, missä langan ja pystysuoran suunnan välinen kulma on 15 o. Määritä kappaleeseen kohdistuvat voimat kohdissa ja B. 15 o B
d) lla olevassa kuvassa on kartioheiluri. Siinä kappale, jonka massa on m, liikkuu pitkin vaakasuoraa ympyrärataa (säde r) vakionopeudella v kulman α pysyessä vakiona. angan pituus on ja kulma α = 15 o. α r e) Volkswagen Golfia (massa m) ajetaan vakionopeudella v pitkin tietä, jossa on ympyränkaaren muotoinen mutka (kaarevuussäde r). Tietä on kallistettu 10 o sisäkaarretta kohden. epokitkakerroin auton renkaiden ja tien pinnan välillä on µ. Ilmoita vain ne voimat, jotka ovat kohtisuorassa auton kulkusuuntaa vastaan. Huomaa: Kitkavoima voi osoittaa kahteen eri suuntaan erilaisissa tapauksissa. T 3.2: Kappale, jonka massa on 2,9 kg, liikkuu siten että sen paikka ja nopeus ajanhetkellä t = 0 on r = (3i 4j 7k) m ja v = (2i + j + 3k) m/s. janhetkellä t = 1,0 s voima F = (i 3j + 2k) N alkaa vaikuttaa kappaleeseen ja vaikutus kestää kaksi sekuntia. aske kappaleen paikka ja nopeus, kun t = 4,5 s.
T 3.3: Tässä tehtävässä arvioidaan erään automallin moottorijarrutusvoimaa, jonka oletamme vakioksi. utoa ajetaan moottoritiellä nopeudella 119 km/h. Poistumisrampin alkupäässä autolla on edelleen tämä nopeus, jolloin kuljettaja nostaa jalan kaasulta ja moottorijarrutus alkaa. Kuljettaja ei käytä muuta jarrutusta. Poistumisramppi on nousevan suoran muotoinen ja sen pituus on 620 metriä. Rampin loppupää on 8,0 metriä korkeammalla kuin alkupää. uton nopeus rampin yläpäässä on 42 km/h. aske auton kiihtyvyys (hidastuvuus) ja moottorijarrutusvoiman suuruus, kun auton massa kuormineen on 1300 kg. Käsittele vierimiskitkavoimaa samalla tavalla kuin liukukitkavoimaa, jonka kitkakerroin on 0,01 eli yhtälöllä µn. Tämä lasku on tarkoitettu laskettavaksi liikeyhtälöllä, ei energiaperiaatteella. T 3.4: Heiluri koostuu kappaleesta, jonka massa on m = 120 g ja langasta, jonka pituus on = 1,50 m. Heiluria poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja vapautetaan kohdassa B, missä langan ja pystysuoran suunnan välinen kulma on 15 o. Määritä langan jännitys ja kappaleen kiihtyvyys kohdassa B. 15 o B T 3.5: Ihminen (m = 70,2 kg) seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin kiihtyvyyden ollessa 1,41 m/s 2. Kuinka suurella voimalla ihminen painaa hissin lattiaa? Kuinka suuri tämä lattiaan kohdistuva voima olisi, jos hissi liikkuisi alaspäin samalla kiintyvyydellä 1,41 m/s 2? T 3.6: lla olevassa kuvassa on kartioheiluri. Siinä kappale, jonka massa on m = 25 g, liikkuu pitkin vaakasuoraa ympyrärataa (säde r) vakionopeudella v kulman α pysyessä vakiona. angan pituus on = 24 cm ja kulma α = 15 o. Määritä langan jännitys ja kappaleen nopeus v. α r
T 3.7: Volkswagen Golfia (massa m) ajetaan vakionopeudella pitkin tietä, jossa on ympyränkaaren muotoinen mutka (kaarevuussäde r = 52 m). Tietä on kallistettu 10 o sisäkaarretta kohden. epokitkakerroin auton renkaiden ja tien pinnan välillä on (huonolla ajokelillä) 0,15. Mikä on pienin ja suurin nopeus, jolla kaarteessa voi ajaa ilman, että auto joutuisi sivuluisuun. T 3.8: Kappale, jonka massa on m, lähtee liikkeelle paikasta x 0 pitkin x-akselia voiman F K 2 x vaikutuksen alaisena. Osoita, että kappaleen nopeus paikassa x noudattaa yhtälöä v 2K 1 m x x 2 1 0 Opastus: Kiihtyvyys on a dv dt dv dx dx dt dv dx v
Jakso 3: Vastaukset T 3.2: r = (13,7i 4,67j + 9,95k) m T 3.3: -0,77 m/s 2, 710 N T 3.4: 1,14 N, 2,54 m/s 2 T 3.5: 788 N, 590 N T 3.6: 0,25 N, 0,40 m/s T 3.7: