Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei sido ylioilastutkintolautakunnan avostelua Loullisessa avostelussa käytettävistä kiteeeistä äättää tutkintoaineen sensoikunta Hyvästä suoituksesta näkyy miten vastaukseen on äädytty Ratkaisussa on oltava tavittavat laskut tai muut iittävät eustelut loutulos Avioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen atkaisu yitään avioimaan kolmiosaisesti: alku välivaiheet loutulos Laskuviheet jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta eivät alenna istemääää mekittävästi Sen sian tehtävän luonnetta muuttavat lasku- mallinnusviheet saattavat alentaa istemääää huomattavasti Laskin on kokeen auväline jonka ooli avioidaan tehtäväkohtaisesti Jos atkaisussa on käytetty symbolista laskinta sen on käytävä ilmi suoituksesta Analysointia vaativien tehtävien atkaisemisessa elkkä laskimella saatu vastaus ei iitä ilman muita eustelu Sen sian laskimesta saatu tulos yleensä iittää utiinitehtävissä laajemien tehtävien utiiniosissa Tällaisia ovat esimekiksi lausekkeiden muokkaaminen yhtälöiden atkaiseminen sekä funktioiden deivointi integointi a) 7( ) ( ) 7 0 0 7 0 b) Positiivisuusehto on ( ) 0 Vasemman uolen nollakohdat ovat c) 0 Mekkikaavion eusteella ehto toteutuu kun a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) a b a b a b a b 7 0 ( a b) ( a b) a Taulukko on f( ) g ( ) h ( ) 4 Matematiikan koe itkä oimäää 904
a) Pinta-ala saadaan integoimalla eotus b) jolloin kysytty ala on 6 d 4 ln 469 ln g( ) f ( ) f ( ) g( ) ( ) Koska Siis 4 4 6 6 f ( ) g() 9 niin 4 Jos Jos a 0 a 0 niin yhtälö on astetta sillä on täsmälleen yksi atkaisu kun diskiminantti niin yhtälö on muotoa D a0 0 eli kun a jolla on täsmälleen yksi atkaisu y Pisteen (6) kautta kulkevan suoan 4 0 4 4 y 6 ( ) y nomaalin yhtälö on Ymyän keskiiste siitsee nomaalilla Jos ymyän säde on niin keskiisteen tulee olla alkueäisestä suoasta etäisyydellä Näin saadaan ehto 9 7 4 4 9 6 7 4 4 0 0 0 0 Taauksessa 0 ymyä sivuaa negatiivista -akselia Kysytty säde on siis 0 0 0 keskiiste 6 Olkoon n k f ( ) ( a ) jolloin Deivaatan nollakohta on k n ak n k f kuvaa on ylösäin aukeava aaabeli n f ( ) ( ak ) n n a k k k Kyseessä on minimikohta koska funktion Matematiikan koe itkä oimäää 904
7 Taulukoidaan kaikki mahdolliset silmälukujen summat: 6 7 9 0 6 7 9 4 6 7 4 6 7 4 6 4 4 Kaikkiaan alkeistaauksia on 6 4 4 kaaletta a) Taulukon eusteella saadaan todennäköisyydet: n P( X n) 4 6 7 9 0 4 4 4 44 44 44 4 4 4 b) Summan odotusavo on 4 ( 4 4 4 6 4 7 9 0) 6 Se voidaan laskea myös seuaavalla tavalla Tavallisen noan silmäluvun odotusavo on tetaedinoan silmäluvun odotusavo on joten kysytty odotusavo saadaan näiden summana Säteet leikkaavat toisensa jos yhtälö Tällöin s0 t0 OA su OB t v toteutuu joillakin ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k Vetaamalla komonentte saadaan yhtälöyhmä t s 9 t s t s t s Ratkaistaan kahdesta ylimmästä yhtälöstä Huomataan että tällöin myös kolmas yhtälö toteutuu Näin ollen säteet leikkaavat kysytty leikkausiste on (7 6) Matematiikan koe itkä oimäää 904
A(600) B(00) C (00) 9 a) Leikkausisteiksi saadaan Tällöin kolmio OAB on tetaedin oh na OC sen kokeus Sämien ituudet ovat OA 6 OB b) Kolmion sivuina ovat vektoit OC Tetaedin tilavuus on OAOB 6 OC 6 Niiden väliselle kulmalle ätee u AB 6i j v AC 6i k uv 6 6 cos u v 4 40 0 h v Olkoon h isteestä C mitattu kolmion kokeus Koska sin niin 6 4 h 40 sin 40 0 u h 4 Kolmion ABC inta-ala on 0 Juustonalan leikkauskuvio ystysuoan tason suoakulmio jonka kanta on saadaan veannosta h H h t a t H h A( t) a H t t 0 t h 0 0 A( t) dt ( t) t dt t t kanssa on Suoakulmion kokeus H Leikkauskuvion inta-ala on Juustoalan tilavuus on t h 0 h 0 a) f ( ) 4 C 0 b) Integoimalla saadaan f ( ) C C 4 Matematiikan koe itkä oimäää 904
Koska f (0) 0 integaalifunktio on tkuva niin Ratkaisuksi saadaan C 0 C C 0 f ( ) 4 C 0 C C C C 4 Tällöin c) Funktio f on deivoituva välillä 0 4 vain kohdassa Mahdolliset ääiavokohdat välillä 0 4 ovat siis 0 4 Koska f (0) 0 avo on 0 f () f (4) f( ) 0 niin funktion suuin avo on ienin Deivaatan likiavo gafiikkalaskimella TI-6: lauseke viheen itseisavo 077470 4 0779 4 0 4 4 0 07706 6 4 0 6 077 7 0776 4 0 7 0 077 7 44 0 9 0779 74 0 6 0 0776 7 0 cos(0) 07769 7 antaa ahaan likiavon Oikea vastaus saattaa iiua käytetys- Avo tä laskimesta Matematiikan koe itkä oimäää 904
a) Kyseessä on aitmeettinen summa jonka avo on Näin saadaan yhtälö ( ) ( k ) n n k ( )( ) k n k ( k )( n k ) 007 ( )( ) 04 k n k b) 04 007 9 c) Edellisten kohtien nolla lauseke 9 Tutkimalla kaikki vaihtoehdot havaitaan että vain seuaavat tekijöihinot antavat ositiivisia kokonaislukuatkaisu k k 04 007 kun nk 007 n 0 9 04 04 906 kun kun k nk k 9 nk 06 k voi saada avot 9 9 k 7 n k n 44 4 a) Kuvion mukainen käyä koostuu kahdesta ymyän kaaesta Ymyän säde on kolmion sivun ituus 9 ituus on 4 kaata vastaava keskuskulma on Kysytty b) Piietty kuviot c) Kysytty käyä koostuu kolmesta ymyän kaaesta joista ensimmäinen kolmas ovat yhtä itkät Ensimmäisen säde on neliön sivun ituus 4 toisen säde on neliön lävistäjän ituus keskuskulma on Kysytty ituus on 4 Jokaista kaata vastaava ( ) 4 4 d) Kysytty käyä koostuu viidestä ymyän kaaesta joista ensimmäinen viides sekä toinen neljäs ovat yhtä itkät Ensimmäisen kaaen säde on kuusikulmion sivun ituus lävistäjän ituus 6 lävistäjän ituus ituus on 6 toisen säde kuusikulmion lyhyemmän kolmannen säde kuusikulmion idemmän Jokaista kaata vastaava keskuskulma on ( ) 6 6 9 9 Kysytty Matematiikan koe itkä oimäää 904
a) Koska g 0 ( ) 0 g( ) 0 g f d 0 g * f d 0 Koska 0 g ( ) b) Koska 0 g * g d 0 ( ) 0 0 0 g f d g g d g g d d niin otogonaalisuus on voimassa c) Lasketaan skalaaitulot: g g d niin 0 g g ( ) d 0 4 4 6 niin 0 h g0 a b cd h g a b c d a 4 b c 4 4 a b 4 c 4 a b c d b h g a b c d 4 a b c ( ) ( ) a b c d 6 4 a b ca b c 6 9 6 a 6ca c 9 4 a a c Funktiot ovat otogonaaliset kun a c b a 0 josta 4 ac0 b Matematiikan koe itkä oimäää 904
Alustava isteitys a) b) Ehto: c) 7( ) ( ) 7 0 7 0 ( ) 0 0 7 0 0 Vasemman uolen nollakohdat: 0 Koska lausekkeen kuvaa on alasäin aukeava aaabeli niin ehto toteutuu kun Tekijöihin ko: 0 a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) a b a b a b a b a b a b a josta suistamalla: ( ) ( ) f( ) g ( ) h ( ) Funktio Deivaatta 4 a a) b) Käyien väliin jää: jolloin kysytty ala y y 6 A 6 d ln 6 ln ln 4 ln 469 469 g( ) f ( ) ( ) ( ) g( ) 4 josta joten g() 9 TAI: g( ) f ( ) f ( ) Koska niin g() f() 9 f ( ) Matematiikan koe itkä oimäää 904
4 Jos jolla on vain yksi at- kaisu a 0 niin yhtälö on muotoa a 0 0 Jos niin yhtälö on astetta sillä on täsmälleen yksi atkaisu kun diskiminantti eli kun [tällöin ] a D a0 4 Suoan s: isteeseen (6) iietyn nomaalin yhtälö on 4 4y 0 y Kysytyn ymyän säde 4 4 y 6 ( ) y tulee olla suoasta s etäisyydellä Saadaan ehto: 9 7 4 0 0 0 0 4 9 6 Tällöin sen keskiisteen joista jälkimmäinen avo ei kelaa (tällöin ymyä sivuaisi negatiivista -akselia) Kysytty säde on siis 7 4 4 ( ) 0 0 keskiiste 0 6 Lauseke josta n f ( ) ( a ) n k k f ( ) ( a ) Nollakohta: k k f ( ) 0 n n ak k n a n k kuvaa on ylös- Kyseessä on minimikohta koska funktion äin aukeava aaabeli k [= vakioiden a k keskiavo)] f( ) Matematiikan koe itkä oimäää 904
7 a) Pistesumma saa avot 4 0 Näillä on suotuisia alkeistaauksia vastaavasti 444 kl Kaikkiaan alkeistaauksia kl Tulos = todennäköisyys = Tulokset oheissa taulukossa: 64 4 i i 6 7 9 0 6 7 9 4 6 7 4 6 7 4 6 4 4 Taulukon eusteella saadaan todennäköisyydet: 4 6 7 9 0 i 4 4 4 44 44 44 4 4 4 b) Summan odotusavo on 4 i ( 4 4 4 6 4 7 9 0) 6 TAI: Odotusavo myös suoaan: 60 Säteet leikkaavat toisensa jos st R: OA su OB tv ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k Tämä toteutuu kun s 9 t s t s t Kahdesta ylimmästä yhtälöstä saadaan t s jotka avot toteuttavat myös alimman yhtälön joten säteet leikkaavat Sijoittamalla s:n t:n avot saadaan leikkausisteeksi (7 6) Matematiikan koe itkä oimäää 904
9 a) Nollaamalla tason yhtälössä muuttua keallaan saadaan tetaedin käkiisteiksi O Olkoon kolmio OAB tetaedin oh OC sen kokeus Sämien ituudet ovat Tällöin tetaedin tilavuus on b) Tulkitaan nyt V ABC Ah on ohn ala Edellä on saatu V 6 Kokeus h on sama kuin oigon etäisyys ohtasosta eli h Kysytty ala on siten TAI istitulolla: AB 6i j u i j k A(600) B(00) OA 6 OB OC 6 C (00) OAOB OC 6 tetaedin ohksi Koska tetaedin tilavuus V A h 0006 6 4 9 4 6 A 6 4 4 AC 6i k v u v 6 0 6i j k A ABC 6 0 u v 6 4 9 4 TAI istetuloilla: uv6 u 6 9 Vektoin v ojektiovektoi vektoilla u vu 6 4 4 4 u u i j vu u u u Kantaa vastaan kohtisuoa kokeusvektoi on tällöin 6 i j k Tällöin A ABC josta uh h 6 44 00 70 h v v 70 4 u Matematiikan koe itkä oimäää 904
0 Leikataan juustoalaa lieiön ohn halkaisin suuntaisella ystysuoalla tasolla etäisyydellä ohn halkaisista Leikkauskuvio on suoakulmio jonka kanta jossa a Suoakulmion kokeus H saadaan veannosta: Leikkauskuvion inta-ala: Juustoalan tilavuus on siten h a H (0 ) h H A( ) a H 0 h 0 0 A( ) d ( ) d h h 0 h 0 h Matematiikan koe itkä oimäää 904
a) b) Koska mutoviivan ensimmäinen osa on osa suoaa suoaa y kolmas suoaa niin deivaattafunktio on Integoimalla saadaan: y 0 f ( ) 4 Koska integaalifunktio on tkuva niin Mekitään Alkuehto Tällöin C C f (0) 0 Tällöin antaa: y C 0 f ( ) C C C C C 0 C 0 f ( ) 4 c) Funktio f on deivoituva välillä 0 4 Ääiavoehdokkaat ovat siten: suuin avo on ienin 0 f (0) 0 4 C C C C 4 C C C f( ) 0 f () toinen osa vain kohdassa f (4) joista Matematiikan koe itkä oimäää 904
Deivaatan likiavo gafiikkalaskimella TI-6: Avo lauseke viheen itseisavo 077470 4 0779 07706 4 0 4 4 0 4 0 6 6 077 7 4 0 7 0776 0 077 9 0779 0 0776 cos(0) 07769 44 0 7 74 0 6 7 0 7 antaa ahaan likiavon Oikea vastaus saattaa iiua käytetystä laskimesta Matematiikan koe itkä oimäää 904
a) Kyseessä on aitmeettinen summa temejä a n jossa k kl Summakaavalla saadaan S a n an n k k n ( n k) ( k ) k n k ( )( ) Koska 04 007 9 ( k )( n k ) 007 k n k niin( )( ) 04 b) c) Edellisten kohtien nolla tekijä 9 9 9 Tutkimalla kaikki vaihtoehdot havaitaan että vain seuaavat tekijöihinot antavat ositiivisia kokonaislukuatkaisu: k voi saada avot 9 04 007 kun 04 kun k nk 007 k nk k n 0 k 7 n 04 9 06 kun k 9 nk 06 k n 44 Matematiikan koe itkä oimäää 904
*4 a) Kolmion sivu = s Tällöin s s Käyä koostuu kahdesta identtisestä s-säteisestä ymyän kaaesta joissa keskuskulma = 0 Käyän ituus 4 9 b) Piietty käyät c) Käyä koostuu kolmesta ymyän kaaesta joista ensimmäinen kolmas ovat yhtä itkät Ensimmäisen säde = neliön sivu säde = neliön lävistäjä Käyän ituus 4 4 4 4 4 toisen Jokaista kaata vastaava keskuskulma = ( ) d) Käyä koostuu nyt viidestä ymyän kaaesta joista ensimmäinen viides sekä toinen neljäs ovat yhtä itkät Ensimmäinen säde = 6-kulmion sivu 6 6 toinen säde = 6-kulmion lyhyemi lävistäjä kolmas säde = 6-kulmion itemi lävistäjä Kutakin kaata vastaava keskuskulma = Käyän ituus ( ) 9 9 6 6 = 9 9 9 Matematiikan koe itkä oimäää 904
* a) Koska b) g0( ) 0 0 niin g( ) Koska g * f d 0 0 g f d g g d niin Koska sekä 0 ( ) g g * g d 0 0 ( ) g g d 0 0 g f d 0 g g d d 4 4 6 0 c) Lasketaan skalaaitulot: 0 0 g g ( ) d 0 niin otogonaalisuus on voimassa h g a b c d 4 a b 4 c h g a b c d 4 a b c 4 4 a b c d b h g a b c d 4 a b c ( ) ( ) a b c d 6 4 a b ca b c 6 9 6 a 6ca c 9 ac 4 a Funktiot ovat otogonaaliset kun a c b a 0 4 josta ac0 b Matematiikan koe itkä oimäää 904