uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia tuloksia ja joka harvinaisen kauneutensa ansiosta on älyllisen nautinnon lähde kaikille sen esikartanoiden läpi kulkeneille." Anders Wedberg: Johdatus nykyiseen logiikkaan, 1947. 2 uonnehdintoja logiikasta 2 "ogiikka formaalisena oppiaineena on pirullisen vaikeaa, ja se onkin parasta jättää omiin oloihinsa." Jim Hankison: Bluff Your Way in Philosophy, 1985, 38. Russell langetti keskustelujemme kuluessa usein tuomion: ogiikka on yhtä helvettiä!. udwig Wittgenstein, Yleisiä huomautuksia, 1979, 69. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä Kertausta: Esimerkki loogisesti pätevästä päätelmästä: Kaikki linnut osaavat lentää. Tipi on lintu. Siis: Tipi osaa lentää. = lintujen joukko F = lentotaitoisten yksilöiden joukko t = Tipi (-niminen yksilö) 3 4 1. premissi: 2. premissi: F 5 6 1
Yhdessä: F Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 5 Siis jos oletamme premissit tosiksi tulee myös johtopäätös todeksi. Emme pysty piirtämään kuviota, jossa premissit olisivat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis toisin sanoen: kun päätelmä on loogisesti pätevä emme pysty kuvittelemaan tilannetta, jossa premissit olisivat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis (jos olemme rationaalisia) kaikissa niissä mahdollisissa maailmoissa, joissa hyväksymme kaikki pätevän päätelmän premissit, meidän on hyväksyttävä myös johtopäätös. 7 8 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 6 Esimerkki loogisesti epäpätevästä päätelmästä: Tipi on lintu. Tipi osaa lentää. Siis: Kaikki linnut osaavat lentää. = lintujen joukko F = lentotaitoisten yksilöiden joukko t = Tipi (-niminen yksilö) 1. premissi: 9 10 2. premissi: Yhdessä: F F 11 12 2
Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 10 Nyt pystymme helposti piirtämään kuvion, jossa premissit ovat tosia ja johtopäätös epätosi. Siis toisin sanoen: kun päätelmä ei ole loogisesti pätevä, pystymme kuvittelemaan päätelmää vastaavan tilanteen, jossa premissit ovat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis voimme kuvitella sellaisia mahdollisia maailmoja (tai olosuhteita), joissa kaikki päätelmän premissit ovat tosia mutta johtopäätös epätosi. Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 11 Esim. 1. iisa ja Matti ovat shakinpelaajia. Siis: iisa on shakinpelaaja. - ON PÄTEVÄ! Esim. 2. iisa ja Matti ovat shakinpelaajia. Siis: iisa on ihminen. - EI OE PÄTEVÄ! 13 14 1.4... ja mitä logiikka ei ole? 1 Käsitystä, jonka mukaan logiikka on oppi oikeasta ajattelusta ja että logiikan lait ovat ajatuslakeja, kutsutaan psykologismiksi. Psykologismin mukaan logiikan tutkimuskohde on inhimillinen ajattelu, ihmisten mielessä tosiasiallisesti tapahtuvat ajatusprosessit. Psykologismin mukaan logiikasta tulisi psykologian osa - logiikka olisi empiirinen tiede, jonka lakien pätevyys olisi riippuvainen siitä, miten ihmiset sattuvat tosiasiassa ajattelemaan. 15... ja mitä logiikka ei ole? 2 Mutta: ogiikka nykyään tieteenalana pyrkii olemaan ehdottomasti psykologismin vastainen. Itse asiassa modernin logiikan kehitysvaiheet 1800-luvulla liittyvät kiinteästi psykologismin kritisoimiseen. Keskeisistä 1800-luvulla vaikuttaneista psykologismin kriitikoista mainittakoon Frege ja Husserl. Siis logiikka siinä mielessä kuin me sen tälläkin opintojaksolla ymmärrämme ei ole empiirinen tiede. 16... ja mitä logiikka ei ole? 3 ogiikka ei ole deskriptiivinen, kuvaileva tiede, jonka lakien pätevyys riippuu satunnaisista tosiasioista. Sen sijaan logiikka on normatiivinen tiede muodollisesti pätevän päättelyn säännöistä - se pyrkii antamaan normit tai kriteerit päättelyn muodolliselle pätevyydelle.... ja mitä logiikka ei ole? 4 "ogiikka" ja "looginen" -termejä käytetään arkikielessä yleensä laajemmassa merkityksessä kuin esimerkiksi tällä kurssilla. Kun puhutaan "naisen logiikasta", "islamilaisesta logiikasta", "kertomuksen logiikasta", "tietokoneen logiikasta", "naurun logiikasta" tai "unen logiikasta" olemme tekemisissä selkeästi psykologististen näkemysten kanssa. 17 18 3
... ja mitä logiikka ei ole? 5 Mutta logiikka tieteenalana on kiinnostunut systeemistä, jonka lainalaisuudet ja päättelyaskeleet ovat voimassa kaikkien mahdollisten asiaintilojen vallitessa. Tällöin ei ole mitään merkitystä sillä, kuka tai mikä päättelyaskeleen suorittaa - vai suorittaako sitä kukaan. 2 AUSEOGIIKKAA 2.1 Yleistä luonnehdintaa 2.1.1 auseet 2.1.2 auseiden formalisointi 2.1.3 Sulkujen käyttö 19 20 2.1 Yleistä luonnehdintaa 2.1.1 auseet 1. Kajaani on Suomen pääkaupunki. 2. Taivas on sininen, ja ruoho on vihreää. 3. Jos kuu on juustoa, niin minä olen hiiri. 4. Rakastatko minua? 5. Sulje ikkuna! 6. Voi, voi! auseet auselogiikassa tutkitaan väitelauseita ja niiden välisiä suhteita. Klassinen logiikka on kaksiarvologiikkaa. Sen mukaan jokaisella väitelauseella on täsmälleen yksi kahdesta mahdollisesta totuusarvosta. Tällä tarkoitetaan, että jokainen väitelause on joko tosi tai epätosi. Sovitaan, että lauseilla tarkoitetaan ilmaisuja, joilla on totuusarvo (edellä 1 3). 21 22 auseen totuus auseen totuus riippuu siitä, vastaako se objektiivista asiantilaa vai ei. Alfred Tarski: ause P on tosi, jos ja vain jos P. Esim. ause Kajaani on Suomen pääkaupunki on tosi, jos ja vain jos Kajaani on Suomen pääkaupunki. Ero maininnan ja käytön välillä: kun sana tai lause mainitaan, se laitetaan lainausmerkkeihin. vrt. Kissa on matolla. Kissa on viisikirjaiminen. 23 4
Valehtelijaparadoksi 1 Pohdiskele seuraavaa: Epimenides kreetalainen sanoo: "Kaikki kreetalaiset valehtelevat aina". Onko se mitä Epimenides sanoo totta vai epätotta? Tästä esimerkistä käytetään nimitystä "valehtelijaparadoksi". Valehtelijaparadoksi 2 Koska Epimenides itsekin on kreetalainen, hänkin siis valehtelee aina. Siis myös sanoessaan, että kaikki kreetalaiset valehtelevat aina. Eli kaikki kreetalaiset eivät valehtelekaan aina. Mutta tällöinhän Epimenides saattoikin puhua totta. Eli kaikki kreetalaiset kuitenkin valehtelevat aina... 25 26 Semanttiset paradoksit 1 Tarkastellaan seuraavaksi lausetta (*)Tämä lause on epätosi. a)oletetaan, että (*) on tosi. Silloin se, mitä (*) sanoo, pitää paikkansa, eli (*) on epätosi. Mutta tällöin (*) ei ole tosi, mikä on ristiriidassa tekemämme oletuksen kanssa. Siis (*) ei voi olla tosi. Semanttiset paradoksit 2 b)oletetaan, että (*) on epätosi. Silloin se, mitä (*) sanoo, ei pidä paikkaansa, eli (*) ei ole epätosi. Mutta tämä on ristiriidassa tekemämme oletuksen kanssa. Siis (*) ei voi olla epätosi. 27 28 Semanttiset paradoksit 3 ause (*) on esimerkki ns. semanttisista paradokseista. Kyseessä on aito paradoksi, joka tarkoittaa sitä, että uskottavista tai hyväksyttävistä lähtökohdista seuraa hyväksyttävillä päättelysäännöillä jotain epäuskottavaa tai ei-hyväksyttävää. Russellin paradoksi 1 Paradoksin mukaan joukko M sisältää kaikki ne joukot, jotka eivät sisällä itseään. Joukko A on siis joukon M jäsen (alkio) vain, jos joukko A ei ole oma jäsenensä. Paradoksi: kuuluuko joukko M itseensä? Matemaattisesti: Olkoon M = {x x x}. Tällöin jos M M, määritelmän mukaan M M. Vastaavasti jos M M, määritelmän mukaan M M. 29 30 5
Russellin paradoksi 2 Asian voi esittää myös esimerkin avulla (vrt. valehtelijaparadoksi): Kylässä on miehiä, joista osa ajaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran vain niiltä miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen. Nykyään onkin tapana sanoa, että M = {x x x} on luokka eikä joukko. Konnektiivit auselogiikassa tutkitaan lauseita ja niiden välisiä suhteita ilmaisujen ei, ja, tai, jos...niin ja jos ja vain jos ( joss ) kannalta. Näitä ilmaisuja sanotaan (lause)konnektiiveiksi. 31 32 Atomilauseet ja molekyylilauseet Esim. 1. Ulkona sataa. 2. ogiikka ei ole vaikeaa. 3. Frege ja Russell ovat loogikkoja. 4. Jos ulkona sataa, niin en viitsi mennä luennolle. auseita, joissa ei esiinny konnektiiveja, sanotaan atomilauseiksi. auseita, joissa esiintyy ainakin yksi konnektiivi, sanotaan molekyylilauseiksi. 2.1.2 auseiden formalisointi Formalisoitaessa luonnollisen kielen väitelauseita lauselogiikassa käytetään isoja kirjaimia. Erityisesti atomilauseisiin viitataan aakkosten alkupään isoilla kirjaimilla A, B, C jne. Esim.A = Maija on opiskelija. B = Vompatti on pussieläin. 33 34 auseiden formalisointi 2 Aakkosten loppupään kirjaimia P, Q, R jne. käytetään silloin, kun viitataan mihin tahansa lauseisiin (eli kun halutaan korostaa, että kyseessä voi olla joko atomilause tai molekyylilause). Esim.P = Vompatit elävät Tasmaniassa. Q = Jos sataa, niin tuulee. ause ei P P ja Q P tai Q Jos P niin Q P joss Q Formalisointi P P Q P Q P Q P Q Nimi Negaatio Konjunktio Disjunktio Implikaatio Ekvivalenssi Negaatiota sanotaan yksipaikkaiseksi, muita kaksipaikkaisiksi konnektiiveiksi. 35 6
Formalisoi lauselogiikassa seuraavat suomen kielen lauseet: 1. "Ulkona sataa tai tuulee. Symbolit: A = "Ulkona sataa" B = "(Ulkona) tuulee ause: A B 2. "Kajaani ei ole Ruotsin eikä Norjan pääkaupunki. Symbolit: A = "Kajaani on Ruotsin pääkaupunki" B = "Kajaani on Norjan pääkaupunki ause: A B 37 38 3. "Jos illalla sataa, niin menemme elokuviin tai ravintolaan. Symbolit: A = "Illalla sataa" B = "Menemme elokuviin" C = "Menemme ravintolaan ause: A (B C) 4. "iisa menee lenkille ja kuntosaliin tai ravintolaan. Symbolit: A = "iisa menee lenkille" B = "iisa menee kuntosaliin" C = "iisa menee ravintolaan ause voidaan ymmärtää kahdella toisistaan poikkeavalla tavalla: 39 40 1. tulkinta: "iisa menee lenkille - ja (sitten) kuntosaliin tai ravintolaan. ause: A (B C) 2. Tulkinta: "iisa menee lenkille ja kuntosaliin - tai (pelkästään) ravintolaan. 2.1.3 Sulkujen käyttö Jokainen lause on atomilause tai jotain taulukossa näkyvää muotoa. Jälkimmäisessä tapauksessa ko. konnektiivia sanotaan lauseen pääkonnektiiviksi. auseen muodon osoittamiseksi tarvitaan sulkuja. ause: (A B) C 41 42 7
Sulkujen käyttö 2 Esim. auseesta A B C ei tiedetä, kumpi on pääkonnektiivi. Sen sijaan lause A (B C) on muotoa P Q, joten siitä tiedetään, että pääkonnektiivi on konjunktio. ause (A B) C puolestaan on muotoa P Q, eli sen pääkonnektiivi on disjunktio. Sulkujen käyttö 3 Sopimus suluista: konjunktio-, disjunktio-, implikaatio- tai ekvivalenssilauseen ympärille laitetaan sulut, jos se on osana laajempaa lausetta. 43 44 Poikkeuksia: 1. auseita A (B C) ja (A B) C kutsutaan ketjukonjunktioiksi. auseita A (B C) ja (A B) C kutsutaan ketjudisjunktioiksi. Näiden lukemisjärjestystä ei tarvitse osoittaa suluilla. Voidaan siis kirjoittaa seuraavasti: A B C ja A B C Poikkeuksia (jatkoa): 2. Esim. A B C Tarkoitetaanko: (A B) C? vai A (B C)? Usein noudatetaan seuraavaa sopimusta konnektiivien vahvuusjärjestyksestä (ei edellytetä tällä kurssilla): (vahvin),, (heikoimmat) 45 Siis: A B C (A B) C vrt.3 2+4 = (3 2)+4 = 10 3 (2+4) = 18 46 Sulkujen käyttö 3 Siis symbolijono A B C voidaan tulkita kahdella eri tavalla, joten se ei tästä eteenpäin kelpaa lausekalkyylin lauseeksi. auseet A (B C) ja (A B) C poikkeavat toisistaan merkitystensä ja rakenteidensa puolesta. Ero lauseiden rakennustavassa nähdään muodostamalla lauseiden rakennepuut (tästä lisää harjoituksissa). Seuraavaksi 2.2 auselogiikan syntaksia 2.3 auselogiikan semantiikkaa 47 48 8