Matematiikan johdantokurssi

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi Martti Pesonen, Pekka Smolander, joulukuuta 05

2 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti, että matematiikka on sitä mitä matemaatikot tekevät! Matemaatikkojen työ taas sisältää arvailua ja asioiden yhdistelyä, laskemista ja kokeilua, pähkäilyä ja eksaktia päättelyä, sekä runsaasti uuden opiskelua. Opintojen myötä tuon hämärän kuvan pitäisi tarkentua, kun eri kursseilla harjoitellaan matemaattisten käsitteiden ja prosessien verkoston rakentamista. Millaista matematiikka on? eksaktia: tarkkaa ja täsmällistä, väitteet perustuvat loogiseen päättelyyn, ei uskotteluun tai arvailuun. Eksakti ei kuitenkaan tarkoita mitään absoluuttista totuutta, vain sitä, että johdetut tulokset ovat totta lähtien joistain sovituista totuuksista, aksioomista. abstraktia: matematiikka sisältää paljon käsitteitä, joille ei ole todellisuuspohjaa, siis vastinetta elämässä tai luonnossa. Matematiikkaa ei siis aina käytetä jonkin havaintotodellisuuteen kuuluvan ilmiön kuvaamiseen tai selittämiseen. formaalia: käsitellään merkkejä, symboleja, joilla pitää olla sovittu merkitys. Matematiikka on muodollista kieltä, jossa on tarkat säännöt, esimerkkinä vaikkapa laskusääntö (a + b) = a + ab + b, joka sekin pitää paikkansa vain tietyillä sovituilla olettamuksilla. Seuraava sääntö on totta väljemmillä ehdoilla: (a + b) = a + ab + ba + b. Edellisessä tarvitaan oletuksena vaihdannaisuus ja osittelulaki, jälkimmäisessä vain osittelulaki. ikinuorta: matemaattinen tietous ei vanhene: esimerkkinä Pythagoraan lause, vrt. 50-luvun elektroniikka. Matematiikka on edelleen intensiivisen tutkimuksen kohde, se on vahvasti haarautunut ja erikoistunut. Esimerkiksi jo viime vuosikymmenellä julkaistiin vuosittain yli matemaattista artikkelia tai kirjaa ( that can generally be classified as research in the mathematical sciences ). Onko matematiikka tieteiden kuningatar vai tieteiden palvelijatar? (saksaksi die Mathematik)

3 3 Matematiikan osa-alueita Muinoin pythagoralaiset jakoivat matematiikan Kuvion mukaisesti. matematiikka diskreetti jatkuva absoluuttinen suhteellinen staattinen dynaaminen aritmetiikka musiikki geometria t htitiede Kuva : Pythagoralainen matematiikan jaotus Perinteisesti ymmärretään, että matematiikka on oppi luvusta (aritmetiikka ja algebra) ja tilasta (geometria). Nykyisin matematiikka jaetaan yli 60 eri haaraan, hienommassa jaottelussa noin 5000 osa-alueeseen. Algebralle ominaista ovat laskutoimitukset ja niitä koskevat säännöt, samoin lineaarialgebralle. Analyysi on yleisnimitys matematiikalle, joka pohjautuu raja-arvon käsitteeseen, se sisältää mm. differentiaali- ja integraalilaskennan. Calculus on analyysin alkeismuoto, jossa todistaminen ja perusteleminen on esillä vaatimattomammin; lukiomatematiikka on luonteeltaan lähellä calculusta. Geometria on enemmän tai vähemmän abstraktien olioiden piste ja suora tarkastelua. Nykyään tunnetaan monia erilaisia sovelluskelpoisiakin geometrioita. Logiikka yksinkertaisimmillaan on keino mekanisoida totuuksien käsittelyä ja perustelemista. Tutkimusalana logiikka on pedanttista ja vaativaa. Joukko-oppi pohjautuu matemaattiseen logiikkaan ja yleensä jo ns. naiivi joukkooppi riittää mm. analyysin tarpeisiin. Tutkimusalana joukko-oppi on kaikkea muuta kuin yksinkertaista, se on lähellä filosofiaa. Topologia on joukon lokaalin rakenteen ja jatkuvan tutkimista; keskeisiä ovat ominaisuudet, jotka eivät muutu jatkuvissa muunnoksissa. Sovelletun matematiikan osa-alueet pohjautuvat pitkälti perinteisen matematiikan haaroihin, mutta painottuvat enemmän matematiikan soveltamiseen ja algoritmien kehittämiseen. Vaikka menetelmät ovat usein approksimatiivisia, niiden on oltava perusteltavissa eksaktein menetelmin, joista käyvät selville mm. virhearviot ja pätevyysehdot. Matematiikan osa-alueiden rajat eivät suinkaan aina ole tarkkoja, on mm. sen kaltaisia tutkimusaloja kuin algebrallinen topologia ja analyyttinen geometria.

4 4 Matematiikan johdantokurssista Sana kurssi voi tarkoittaa opintojaksoa, josta saadaan suoritus opintopisteinä, tai siihen liittyvää opetustapahtumaa, joka on fyysinen toimenpide opintojakson suorittamista varten. Tämä jaotus tulee Oodi-järjestelmästä. Opintojakson voi suorittaa osallistumalla opetustapahtumaan (arkikielessä siis tämä kurssi ) kertauskuulusteluineen tai suorittaa erikseen järjestettävällä loppukuulustelulla, joita on nk. yleisinä ainekohtaisina tenttipäivinä. Matematiikan johdantokurssin merkityksestä Opintojakson nimi Matematiikan johdantokurssi viittaa siihen, että siinä käsitellään matematiikan perusasioita, joita tarvitaan pääasiassa muiden matematiikan kurssien pohjatietoina. Se antaa melko kattavan valikoiman käsitteistöä ja perustyökaluja, joita käytetään hyvin monilla matematiikan osa-alueilla. Johdantokurssissa lähtökohtana ovat logiikka ja joukko-oppi, joista lähtien lisätään rakennetta kohti systeemiä, josta muilla kursseilla voidaan alkaa käsitellä mm. algebrallisia rakenteita ja differentiaalilaskentaa. Matematiikan johdantokurssi ei siis ole lukion peruskurssien jatkoa, vaan siinä pyritään luomaan perustaa, jonka pohjalta mm. lukiossa varsin pinnallisesti ja yksipuolisesti yleensä myös perustelematta opetetut asiat voidaan perustella, todistaa. Matematiikan johdantokurssin sisällöstä Logiikkaa käytämme perustellessamme väitteitä, usein jopa tätä tiedostamatta. Arkielämässä perusteluksi käy monesti päättely, jonka osaset, premissit, ovat totta riittävällä todennäköisyydellä tai sovitaan tosiksi. Kun lapsi sanoo: Mutta kaikilla muilla jo on! olisi vanhemman yleensä helppo napauttaa: Selvitetäänpä onko asia ihan niin. Eri asia tietysti on, unohtuuko vaatimus yhden tai edes useamman vastaesimerkin avulla, eli löytämällä kaveripiiristä henkilö(i)tä, joilla sitä turhaketta ei ole (eikä ehkä tulekaan olemaan). Erityisesti matematiikassa on tarve todistaa lauseiden muotoon puettuja väitteitä, jotta voidaan rakentaa yhä rikkaampia teorioita. Silloin on lähdettävä koko popu-

5 5 laation yhteisesti sopimista perusolettamuksista, joista kuka tahansa voi ainakin periaatteessa johtaa samat totuudet. Logiikka ja joukko-oppi tarjoavat hyvin moneen tilanteeseen sopivan kielen. Miten suhtautua henkilöön, joka sanoo hänellä olevan kolme miljoonaa postimerkkiä? Määrä on suuri, ja voi hyvinkin olla, että hänellä on esimerkiksi täydellinen kokoelma suomalaisia merkkejä. Toisaalta hänellä voisi olla vaikkapa vain kahdenlaisia merkkejä, eikä tämä enää tee vastaavaa vaikutusta. Kun puhutaan kokoelmasta, tarkoitetaan yleensä erilaisten merkkien määrää. Matematiikassa puhutaan silloin joukosta ja sen alkiomäärästä. Jos yhdistetään kaksi postimerkkikokoelmaa, ei kokoelman laajuus tavallisesti ole kokoelmien laajuuksien summa, vaan merkkijoukkojen yhdisteen alkiomäärä. Kun henkilö maksaa laskun pankkitililtään, hän varmasti uskoo systeemien toimivan niin, että maksu menee juuri oikeaan osoitteeseen, eikä esimerkiksi moninkertaisesti useille eri tileille. Sähköpostilista mahdollistaa viestin lähettämisen usealle vastaanottajalle ja samaa listaa voi käyttää hyvinkin moni lähettäjä. Nämä ovat esimerkkejä relaatioista. Tässä kurssimateriaalissa tutustutaan logiikan ja joukko-opin tarjoaman matemaattisen kielen avulla erilaisiin relaatioihin kuten ekvivalenssi, järjestys ja funktio, sekä lukujoukkoihin ja niihin liittyviin funktioihin. Vaikka monet käsiteltävistä asioista ovat tuttuja jo koulumatematiikasta, voi opiskelu- ja tarkastelunäkökulman abstraktius ja formaalisuus aluksi hämmentää. Toisaalta aiheiden käsittelyn perusteellisuuden vuoksi itse käsitteellinen sisältö voi tuntua varsin suppealta. Tätä on kuitenkin vaikea välttää, koska kurssin päätarkoitus on orientoida korkeampaan matematiikkaan, siis antaa vankka teoreettinen ja käytännöllinen pohja mm. aksiomatiikkalähtöisiä matematiikan haaroja käsitteleviä kursseja varten (algebra, lineaarialgebra, todennäköisyyslaskenta, topologia). Luentomoniste on koottu pääasiassa laitoksella vuosien mittaan pidettyjen peruskurssien luento- ja harjoitusmateriaaleista. Kokoomatyössä oli keskeisenä apuna Isa Pakarinen, ja työtämme tuki rahallisesti Joensuun yliopiston Opetusteknologiakeskus syksyllä 005. Tämä esitys on siitä hieman parannettu, laajennettu ja v. 007 uudelleen järjestetty versio, jota on senkin jälkeen vielä vähän korjailtu vv Muu oppiaines julkaistaan pääasiassa sähköisessä muodossa ja se sisältää harjoituksia ja visualisointeja sekä vuorovaikutteisia opiskelumoduleja. Matematiikan muilla peruskursseilla ja analyysin kursseilla perehdytään tarkemmin mm. yhden ja useamman muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan. Joensuussa 7. joulukuuta 05

6 SISÄLTÖ 6 Sisältö Lauselogiikkaa 0. Logiikan lauseet ja totuusarvot Tautologia ja looginen ekvivalenssi Looginen päättely Sumeasta logiikasta Joukko-oppia 0. Joukko ja alkio Joukkojen merkitseminen Joukko-opin käsitteitä Joukko-opin kaavoja Joukko-opin väitteiden todistaminen Yleisempää joukko-oppia Joukkojen alkiomääristä Joukko-opin ongelmista Sumeasta joukko-opista Lausefunktiot Avoin lause ja kvanttorit Lausefunktion negaatio Relaatiot 4 4. Tulojoukko Relaatio Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen Funktio Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä Ekvivalenssirelaatio Järjestysrelaatio

7 SISÄLTÖ 7 5 Funktiot Injektio ja surjektio Yhdistetty funktio Käänteisfunktio Osajoukkojen kuvautuminen Reaalifunktiot Reaalifunktio ja sen esittämistapoja Reaalifunktiotyyppejä Käänteiskuvaus Funktioiden yhdistäminen Reaalifunktioiden luokittelusta Algebralliset alkeisfunktiot Polynomit Algebrallisista yhtälöistä Rationaalifunktiot Potenssi- ja juurifunktio Transkendenttiset alkeisfunktiot 0 8. Yleiset potenssi- ja juurifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Trigonometriset ja arkusfunktiot Hyperboliset ja areafunktiot Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus 8 9. Kahden muuttujan funktio Laskutoimitus Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta Matemaattisen teorian käsitteitä Induktioperiaate ja induktiotodistus

8 SISÄLTÖ Suora ja epäsuora todistus Ekvivalenssin osoittaminen Todistuksen esitysjärjestys Väitteen osoittaminen vääräksi Arviointitekniikka Tietokone todistuksen apuna Joukkojen mahtavuuksista 58. Mahtavuusvertailujen määrittely Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys Joukon kardinaliteetti Lukualueet 66. Luonnolliset luvut Kokonaisluvut Rationaaliluvut Reaaliluvut Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Binomikertoimet ja binomikaava Numeroituvuus Kompleksiluvut Kompleksinen. ja 3. asteen polynomiyhtälö Parametrikäyrät ja vektorifunktiot Parametrikäyrät Vektorifunktiot

9 SISÄLTÖ 9

10 Lauselogiikkaa Logiikka on teoria oikeasta päättelystä. Logiikka jaetaan usein etenkin teknillisillä ja tietoteknisillä aloilla kahteen osaan: propositiologiikka eli lauselogiikka ja sen laajennus predikaattilogiikka, jossa tarkastellaan nk. avoimia lauseita (predikaatteja, lausefunktioita), joista saadaan joukko-opin ja kvanttorien ja avulla logiikan (suljettuja) lauseita. Luvuissa -3 tarkastelemme lauseita ja niiden yhdistämistä konnektiiveilla sekä joukko-opin alkeita ja lausefunktioita.. Logiikan lauseet ja totuusarvot Logiikan perusalkioina ovat lauseet ja niiden arvoina totuusarvot. Määritelmä.. Logiikassa lause (proposition, statement) on väite tai ilmaisu, jolla on täsmälleen yksi mahdollisista totuusarvoista tosi (true) ja epätosi (false). Totuusarvoja merkitään jatkossa tosi = T ja epätosi = E (myös symboleja tosi = ja epätosi = 0 käytetään, erityisesti tietotekniikassa). Matemaattinen logiikka ei tunne muita totuusarvoja: tämä nk. kielletyn kolmannen laki tarkoittaa, että lause ei voi olla muuta kuin tosi tai epätosi. Toiseksi, lause ei voi olla yhtä aikaa tosi ja epätosi: tämä on nk. kielletyn ristiriidan laki. Logiikan tehtävä ei ole ottaa kantaa lauseiden havainnolliseen totuuteen tai totuusarvoon sinänsä, vaan siinä pyritään esittämään menetelmiä, joiden avulla tosina pidetyistä väitteistä voidaan johtaa uusia tosia väitteitä. On kuitenkin järkevää liittää reaalielämään liittyvään lauseeseen sen havainnollinen totuusarvo. Esimerkki.. Ilmaisut Rooma on Ranskassa. Luku on jaollinen luvulla 3. 3 <. ovat kaikki logiikan lauseita, koska niiden totuusarvo on kiistatta selvitettävissä. Sen sijaan ilmaisut Avaa ikkuna! +. Tämä lause on epätosi. eivät ole logiikan mielessä lauseita. Myöskään väitteen Ydinvoimaa tarvitaan lisää. totuusarvo ei ole ilmeinen.

11 LAUSELOGIIKKAA Lauseita merkitään tässä esityksessä isoilla kirjaimilla P, Q, R, S,... Ainoat logiikan vakiot ovat identtisesti tosi lause T ja vastaavasti epätosi lause E. Annetuista peruslauseista eli atom(ilaus)eista voidaan johtaa uusia lauseita, molekyylilauseita eli johdettuja lauseita loogisten konnektiivien avulla: negaatio ( ei ) vaihtaa totuusarvon disjunktio ( tai ) edes yksi tosi konjunktio ( ja ) kaikki tosia implikaatio ( jos... niin ) seuraa ekvivalenssi ( jos ja vain jos ) sama(narvoise)t totuusarvot Määritelmä..3 Olkoot P ja Q logiikan lauseita. a) Lauseen P negaatio P on lause, jolla on päinvastainen totuusarvo kuin lauseella P. b) Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P on tosi tai Q on tosi, ja epätosi, jos P ja Q ovat epätosia. c) Lauseiden P ja Q konjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P ja Q ovat tosia, muutoin epätosi. d) Lauseiden P ja Q implikaatio P Q on lause, jonka totuusarvo on epätosi, jos P on tosi ja Q epätosi, muulloin tosi. e) Lauseiden P ja Q ekvivalenssi P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos lauseilla P ja Q on sama totuusarvo, muulloin epätosi. Johdettuja lauseita ovat kaikki ne lauseet, jotka saadaan äärellisen monella logiikan operaatiolla äärellisen monesta peruslauseesta. Huomautus..4 Negaatio kohdistuu yhteen, sitä seuraavaan lauseeseen, muut yhdistävät kahta lausetta, jotka voivat olla itsekin konnektiiveilla johdettuja; vrt. lukujen laskutoimitukset! Loogisten symbolien avulla saatujen lauseiden totuusarvot ilmaistaan usein nk. totuusarvotaulukon (truth table) avulla. Seuraavat perustotuusarvotaulukot on siis sovittu logiikan perustaksi:

12 LAUSELOGIIKKAA Negaatio ei P P T E E T Implikaatio jos... niin P Q P Q T T T T E E E T T E E T Konjunktio ja P Q P Q T T T T E E E T E E E E Disjunktio tai P Q P Q T T T T E T E T T E E E Ekvivalenssi jos ja vain jos P Q P Q T T T T E E E T E E E T Huomautus..5 a) Negaatio tarkoittaa täydellistä vastakohtaa, esimerkiksi reaalilukujen tilanteessa lauseen a < b negaatio ei ole a > b vaan a b. Mikähän on lauseen auto on musta negaatio? b) Disjunktio tai poikkeaa kieliopillisesta tai-sanasta siinä, että se ei ole poissulkeva tai ; arkikielessähän tai tarkoittaa usein joko... tai. c) Implikaatio voidaan lukea monilla eri tavoilla. Lause P Q luetaan Jos P, niin Q. Q, jos P. Q, mikäli P. P on riittävä ehto lauseelle Q. Q on välttämätön ehto lauseelle P. d) Lauseita yhdistettäessä on aina käytettävä tarpeellinen määrä sulkeita osoittamaan, missä järjestyksessä lauseet on yhdistetty. Sovitaan kuitenkin, että jos negaatio vaikuttaa vain seuraavaan atomilauseeseen, niin sulkeita ei tarvita. e) Jos johdetussa lauseessa on n eri atomilausetta, niin totuuarvotaulukossa johdetun lauseen kuvaamiseen tarvitaan n vaakariviä. Esimerkki..6 Olkoot seuraavassa P, Q ja R logiikan lauseita. Näistä johdettuja lauseita ovat mm. a) Q, T Q, P Q, b) (P Q) R, c) (P Q) R.

13 LAUSELOGIIKKAA 3 Esimerkki..7 Oletetaan, että Esimerkin..6 peruslauseella P on arvo tosi eli T, ja olkoot Q ja R epätosia. Silloin johdettujen lauseiden totuusarvot ovat: a) Q tosi, T Q tosi, P Q epätosi, b) (P Q) R tosi, c) (P Q) R tosi. Annetuista lauseista konnektiiveilla johdetun lauseen kaikki mahdolliset totuusarvot saadaan selville mekaanisella laskulla totuusarvotaulukon avulla. Esimerkki..8 Lauseen P Q totuusarvot ovat P Q Q P Q T T E E T E T T E T E E E E T E Esimerkki..9 Olkoon S lause ( P Q) Q. Määritä lauseen S totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko, josta lauseen totuusarvot näkyvät. P Q P P Q Q S T T E T T T T E E E E T E T T T T T E E T T E E Esimerkki..0 Määritä lauseen P (Q R) totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan taas totuusarvotaulukko: P Q R P R Q R P (Q R) T T T E E E E T T E E T T T T E T E E E E T E E E T E E E T T T E E T E T E T T T T E E T T E E T E E E T T E T Huomautus.. Logiikan lause on erotettava matematiikan lauseesta, joka on tosi väite. Matematiikan lause on usein kahden logiikan lauseen implikaatio, siis muotoa A B, missä A on oletus ja B väitös.

14 LAUSELOGIIKKAA 4. Tautologia ja looginen ekvivalenssi Identtisesti tosi lause on tautologia (nk. ajatuslaki, yleispätevä looginen totuus). Johdettu lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta siitä, mitkä totuusarvot atomilauseilla on. Tällöin totuusarvotaulukon sarakkeessa on vain arvoja T. Esimerkki.. Tutki, onko lause (P (P Q)) Q tautologia. Ratkaisu. Merkitään S:llä tehtävän lauseketta ja muodostetaan totuusarvotaulukko. Koska lauseen S sarakkeeseen tulee vain arvoja T, on S tautologia. P Q P Q P (P Q) S T T T T T T E E E T E T T E T E E T E T Esimerkki.. Osoita tautologiaksi lause R := (P Q) (P Q). Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko P Q P Q (P Q) Q P Q R T T T E E E T T E E T T T T E T T E E E T E E T E T E T Koska lauseen R sarakkeeseen tuli vain arvoja T, on R tautologia. Lause..3 Seuraavat logiikan lauseet ovat tautologioita:. (P Q) (Q P ) vaihdannainen. (P Q) (Q P ) vaihdannainen 3. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 4. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 5. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] I osittelulaki 6. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] II osittelulaki 7. ( P ) P kaksoisnegaatio

15 LAUSELOGIIKKAA 5 8. (P Q) ( Q P ) I de Morganin laki 9. (P Q) ( Q P ) II de Morganin laki 0. (P Q) ( Q P ) kontrapositio. (P Q) [(P Q) (Q P )] ekvivalenssi implikaatioiksi. (P Q) ( P Q) implikaatio disjunktioksi Todistus. Todistetaan malliksi lauseen kohta 0 (kontrapositio) tautologiaksi: P Q Q P P Q Q P koko lause T T E E T T T T E T E E E T E T E T T T T E E T T T T T Muut todistetaan vastaavaan tapaan (ks. mm. Tehtävä..4). Tehtävä..4 Todista Lauseesta..3 kohta. Määritelmä..5 Jos P ja P ovat lauseita ja jos ekvivalenssi P P on tautologia, niin sanotaan, että P ja P ovat loogisesti yhtäpitäviä eli loogisesti ekvivalentteja (logical equivalence). Tätä merkitään P P. Esimerkki..6 Koska (P (Q R)) ((P Q) (P R)) on tautologia, on P (Q R) (P Q) (P R). Kahden lauseen looginen ekvivalenssi mahdollistaa logiikan lausekkeiden sieventelyn, jossa lausekkeen osia pyritään korvaamaan yhtäpitävillä (yksinkertaisemmilla) lausekkeilla. Esimerkki..7 Sievennetään lauseke ( P Q) ( P Q). Sovelletaan ensin II osittelulakia (takaperin): Nyt Q Q T, joten ( P Q) ( P Q) ( P ) (Q Q). ( P Q) ( P Q) ( P ) (Q Q) ( P ) T P. Tehtävä..8 Sievennä lauseet P (P Q) ja P (P Q). Vihje: Muodosta totuusarvotaulukko...

16 LAUSELOGIIKKAA 6.3 Looginen päättely Looginen päättely (argument) muodostuu äärellisen monesta oletuksesta eli premisseistä (premise) A, A,..., A n ja johtopäätöksestä (conclusion) B, joiden kaikkien tulee olla logiikan lauseita. Päättelyt ovat siis muotoa: A, A,..., A n. Siis B. Määritelmä.3. Äärellisen monesta lauseesta koostuva päättely A, A,..., A n. Siis B. on johdonmukainen eli sitova (valid argument), jos päättelylause on tautologia. (A A A n ) B Esimerkki.3. Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos 7 < 4, niin 7 ei ole alkuluku. Luku 7 ei ole < 4. Siis 7 on alkuluku. Ratkaisu. Merkitään P := 7 < 4 ja Q := 7 on alkuluku. Päättely voidaan kirjoittaa muotoon A : P Q A : P B: Q Muodostetaan totuusarvotaulukko päättelylausetta (A A ) B varten: A A A A B (A A ) B P Q Q P Q P (P Q) P Q T T E E E E T T T E T T E E E T E T E T T T T T E E T T T T E E Päättelylause ei ole tautologia, sillä viimeisellä rivillä on arvo epätosi. Siten päättely ei ole johdonmukainen. Esimerkki.3.3 Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos on opiskelija, saa alennusta VR:ltä. En ole opiskelija, joten en saa alennusta VR:ltä. Ratkaisu. Merkitään P := Olen opiskelija. ja Q := Saan alennusta VR:ltä. Päättely on muotoa

17 LAUSELOGIIKKAA 7 A : P Q A : P B: Q Totuusarvotaulukon A A A A B (A A ) B P Q P Q P Q T T T E E E T T E E E E T T E T T T T E E E E T T T T T rivillä 3 on nyt päättelylauseessa epätosi arvo, joten lause ei ole tautologia ja siten päättely ei ole johdonmukainen. Koska implikaatio on tosi aina paitsi silloin, kun siinä todesta seuraa epätosi, riittää päättelyn sitovuuden toteamiseksi tutkia ne tapaukset, jolloin premissien konjunktiolause A A A n on tosi. On siis perusteltu Käytännön sääntö: Päättely on johdonmukainen eli sitova, jos johtopäätös B on tosi aina silloin, kun kaikki premissit A, A,..., A n ovat tosia. Esimerkki.3.4 Tutki logiikan menetelmin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta. a) Jos ei sada, menen ulos. Sataa. Siis en mene ulos. b) Jos ei sada, menen ulos. En mene ulos. Siis sataa. Ratkaisu. a) Merkitään P := Sataa. ja Q := Menen ulos. Päättely on muotoa A : P Q A : P B: Q Tutkitaan tätä nyt edellä olevan käytännön säännön avulla. Totuusarvotaulukon

18 LAUSELOGIIKKAA 8 A A B P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T ensimmäisellä rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Päättely ei ole johdonmukainen. b) Olkoot edelleen P = Sataa. ja Q = Menen ulos. Päättely on nyt muotoa A : P Q A : Q B: P Tämän totuusarvotaulukossa B A A P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T ainoastaan toisella rivillä ovat kaikki premissit tosia. Koska myös johtopäätös on tällä tosi, on päättely johdonmukainen. Huomautus.3.5 On syytä tarkentaa, että edellä on logiikalla tarkoitettu nimenomaan perinteistä kaksiarvoista matemaattista logiikkaa, jossa totuusarvot ovat E ja T. Tämä sopii hyvin teorianmuodostukseen, jossa tavoitellaan ehdotonta totuutta. Vaikka formaalin logiikan juuret ovat antiikin kreikassa (Aristoteles), pidetään englantilaista George Boolea (85-864) logiikan (ja samalla myös joukkoopin) matematisoijana. Häneltä on peräisin symbolien ja loogisten operaatioiden käyttö; nyt logiikka nousi formaaliudessaan algebran ja analyysin rinnalle. Boolen työtä jatkoivat mm. britti Augustus de Morgan (806-87) ja amerikkalainen Benjamin Peirce ( ). Tekniikassa ja teollisuudessa käytetään nykyään paljon kulmikkaan kaksiarvoisen logiikan pehmeämpää laajennusta, nk. sumeaa logiikkaa, jonka alkuna pidetään Lotfi A. Zadeh in (9 -) julkaisua Fuzzy sets vuonna 965.

19 LAUSELOGIIKKAA 9.4 Sumeasta logiikasta Sumea logiikka (fuzzy logic) on matemaattisen logiikan laajennus, jossa lauseella on diskreetin totuusarvon E = 0 ja T = sijasta reaalinen totuusarvo suljetulla välillä [0, ]. Sumeassa logiikassa ei siis ole kyse siitä, mitä jokin on, vaan siitä, kuinka varmasti tai paremminkin kuinka paljon jokin asia on. Siis esimerkiksi kuinka paljon numero 3 on sama kuin numero 5. Numero 3 on selvästikin paljon enemmän sama kuin numero 5 kuin esimerkiksi numero 3. Sumeassa logiikassa peruskonnektiivit määritellään seuraavasti: jos P ja Q ovat totuusarvoja väliltä [0, ], niin P := P P Q := max(p, Q) P Q := min(p, Q) Sumeaan logiikkaan liittyy analogisesti mm. sumea joukko-oppi (ks. Luku ) ja niin edelleen. Sumeat systeemit soveltuvat erinomaisesti kaikenlaiseen prosessien säätöön, jopa automaattipesukoneen ohjaukseen. Esimerkki.4. Sumea logiikka on sisäänrakennettuna myös inhimillisessä elämässä: Pitkillä ihmisillä on iso jalka. Pasi on melko pitkä. Siis: Pasilla on melko iso jalka. Esimerkki.4. Seuraavassa voitaisiin varmaan jopa laskea, jos skaalauksista sovittaisiin: Jos x on vähän alle 5, niin y on vähän alle 0. Luku x on vähän yli 5. Siis: Luku y on varmaankin vähän yli 0. Esimerkki.4.3 Entä nyt: Jos x on noin 0, niin y on erittäin pieni. Luku x on lähes 00. Siis:??

20 Joukko-oppia Logiikka ja joukko-oppi ovat modernin matematiikan kulmakiviä. Esimerkiksi todennäköisyyslaskentaa on vaikea kuvitella ilman joukkoja ( tapahtumat ), ja tavanomaiset todistusmekanismit ovat helposti muotoiltavissa logiikan ja joukkojen avulla. Mutta ei joukko-opin käyttö rajoitu pelkästään matematiikan piiriin, sen käyttöalueina ovat esimerkiksi tietotekniikka, lingvistiikka ja informaatioteoria: Loogiselta kannalta tarkasteltuna käänteistiedoston käyttö on joukkoopin sovellus ja joukko-oppi on siten käänteistiedostoihin perustuvan tiedonhaun matemaattinen perusta. Jokaisen ammattimaisen tiedonhakijan on tarpeen hallita sen alkeet. Joukko-opin tuntemus on tärkeää myös tiedonhaun tutkimuksessa. Internetix/Informaatiotutkimus. Joukko ja alkio Joukko-opin peruskäsitteet ovat joukko (set) ja alkio (element, point). Näitä käsitteitä emme määrittele, sanomme vain, että joukko koostuu alkioista tai että tietyt alkiot muodostavat tietyn joukon. Alkeellisimmillaan joukko voidaan ilmaista luettelemalla sen alkiot, esimerkiksi arpanopan silmäluvut S = {,, 3, 4, 5, 6}. Merkintä a A tarkoittaa a on joukon A alkio eli alkio a kuuluu joukkoon A. Sen negaatio a / A := (a A) tarkoittaa a ei ole joukon A alkio eli alkio a ei kuulu joukkoon A. Edellä esimerkiksi 3 S mutta 8 / S. Käsitteelle joukko asetetaan seuraavat vaatimukset: ) Jos A on joukko ja a mikä tahansa alkio, niin täsmälleen yksi väittämistä a A ja a / A on tosi (vrt. Luku.). ) Joukko ei saa esiintyä itsensä alkiona. Huomautus.. Kohta ) sitoo joukko-opin kaksiarvoiseen logiikkaan ja kohta ) sulkee pois ristiriitoja; esimerkiksi seuraavat määrittelyt eivät tuota joukkoja: a) A := {, A} (kehämääritelmä). b) A := kaikkien joukkojen joukko (kehämääritelmä). c) Joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita (Russellin paradoksi, ks. Luku.8). Joukko voi toki olla jonkin toisen joukon alkio muttei itsensä alkio. Ongelmilta välttyy yleensä sillä, että ottaa avuksi jonkin selkeän perusjoukon X, joka sisältää kaikki tarkasteltavat alkiot, ja tutkii sitten joukon X alkioista koostuvia osajoukkoja (Luku.3).

21 JOUKKO-OPPIA. Joukkojen merkitseminen Joukkoja voidaan esittää a) luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa pilkulla erotettuina: {, 6} ja {, 4, 6,... }. b) antamalla aaltosulkeissa alkio ja pystyviivan jälkeen ehto, joka joukon alkioiden pitää toteuttaa: { x ehto alkiolle x }, esimerkiksi { x x on kahdella jaollinen kokonaisluku }. c) kuvaamalla joukon alkiot sanallisesti, esimerkiksi parittomien kokonaislukujen joukko. d) tavanomaisten sovittujen symbolien avulla: N, jne.... (ks. alla). e) tuloksena muista joukoista saaduilla joukko-operaatiolla (ks. alla). Tällä kurssilla käytetään seuraavia merkintöjä lukujoukoille: N := {,, 3,... } N 0 := {0,,, 3,... } Z := {...,,, 0,,,... } Q := { m m Z, n N } n R C := { x + iy x R, y R } A + luonnollisten lukujen joukko peruslukujen joukko kokonaislukujen joukko rationaalilukujen joukko reaalilukujen joukko kompleksilukujen joukko joukon A aidosti positiivinen osa Huomautus.. Joskus merkitään N = {0,,, 3,...}. Nollan kuuluminen luonnollisten lukujen joukkoon on kuitenkin sopimuskysymys. Reaaliakselin väleille käytetään tavanomaisia hakasulkumerkintöjä: ]a, b[ := { x R a < x < b } [a, b[ := { x R a x < b } ]a, b] := { x R a < x b } [a, b] := { x R a x b } avoin väli puoliavoin väli (avoin loppupäästä) puoliavoin väli (avoin alkupäästä) suljettu väli Esimerkki.. Joukoissa {x + x ], ] } ja ]3, 5] on samat alkiot. Huomautus..3 Hakasulut varataan yleensä välien merkitsemiseen. Kuitenkin äärellisen lukumääräjoukon määrittelemme seuraavasti: {, jos n = 0, [n] := {,, 3,..., n} muutoin. Lisäksi on muistettava: Alkiot aaltosulkeissa: kyseessä on joukko. Alkiot kaarisulkeissa: kyseessä on järjestetty jono lukuja (vektori).

22 JOUKKO-OPPIA.3 Joukko-opin käsitteitä Seuraavassa luetellaan joitakin joukko-oppiin liittyviä peruskäsitteitä ja annetaan niille vastaavuudet logiikassa. Tyhjä joukko: Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko (empty set). Tyhjää joukkoa merkitään (joskus myös {}). Logiikan vastaavuus: lause x on identtisesti epätosi, ts. epätosi kaikilla alkioilla x. Perusjoukko: Jos kaikkien tarkasteltavien joukkojen alkiot ovat tietyssä laajemmassa joukossa X, tätä sanotaan perusjoukoksi (fundamental, universal set). Logiikan vastaavuus: x X on lause, joka on identtisesti tosi, siis tosi koko perusjoukossa X. Osajoukko: Joukko A on joukon B osajoukko (subset), jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Merkintä on tällä kurssilla A B, vaikka usein käytetään myös (epäloogista) merkintää A B (joka vastaisi paremmin aitoa osajoukkoa, ks. myöh.) Logiikan vastaavuus: A B, jos lause x A x B on tosi kaikilla x X. Esimerkki.3. a) Olkoon A := {, } ja B := {,, 3}. Tällöin A B. b) N N 0 Z Q R C. Samuus: Joukot A, B X ovat identtiset eli sama joukko (identical, same, equal), jos niissä on täsmälleen samat alkiot. Samuutta merkitään A = B. Logiikan vastaavuus: A = B, jos lause x A x B on tosi kaikilla x X. Esimerkki.3. Olkoot A := {, }, B := {, } ja C := {,, }. Tällöin A = B = C. Huomautus.3.3 a) Aina pätee A A. b) A = B jos ja vain jos A B ja B A. c) On erotettava merkit ja : a B : a on joukon B alkio A B : A on joukon B osajoukko Esimerkki.3.4 a) Olkoon A := {, }. Tällöin on voimassa A, A, A, 3 / A, {} A, {} A, {, } A ja {, } = A, mutta esimerkiksi merkinnät A ja {} A eivät ole mielekkäitä.

23 JOUKKO-OPPIA 3 b) Jos kuitenkin B := {, {}}, niin myös {} B on mielekäs ja totta! c) Mitähän tarkoittaa lauseen A B negaatio A B? Aito osajoukko: Jos A B ja A B, niin A on joukon B aito osajoukko (proper subset). Aitoa osajoukkoa merkitsemme jatkossa A B. Esimerkki.3.5 Selvästi {, } {,, 3}, samoin N Z ja Q R. Mitenkä muut lukujoukot? Yhdiste: Joukkojen A, B X yhdiste (union) on joukko, joka koostuu kaikista joukkojen A ja B alkioista, ts. yhdiste on joukko (ks. Kuva ) A B := { x X x A tai x B } = { x X x A x B }. Logiikan vastaavuus: (x A B) (x A x B) tosi kaikilla x X. X X A B A B Kuva : Kahden joukon yhdiste A B ja leikkaus A B Esimerkki.3.6 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A B = {,, 3}. Leikkaus: Joukkojen A, B X leikkaus (intersection) on joukko, joka koostuu joukkojen A ja B yhteisistä alkioista, ts. leikkaus on joukko (ks. Kuva ) A B := { x X x A ja x B } = { x X x A x B }. Logiikan vastaavuus: (x A B) (x A x B) tosi kaikilla x X. Esimerkki.3.7 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A B = {}. Erilliset joukot: Joukot A ja B ovat erilliset eli pistevieraat (disjoint), jos A B =. Esimerkki.3.8 Jos A := {, } ja B := {3, 4}, niin A B = eli A ja B ovat erilliset.

24 JOUKKO-OPPIA 4 Joukkoerotus: Joukkojen A, B X erotus (difference) on joukko, johon kuuluvat ne joukon A alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B, ts. joukko (ks. Kuva 3) A \ B := { x X x A ja x / B } = { x X x A x / B }. Logiikan vastaavuus: (x A \ B) (x A (x B)) tosi kaikilla x X. X X A B A Kuva 3: Joukkojen erotus A \ B ja joukon komplementti A = X \ A Esimerkki.3.9 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A \ B = {}. Komplementti: Joukon A X komplementti (complement) on joukko, johon kuuluvat kaikki ne perusjoukon X alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A, ts. komplementti on joukko (ks. Kuva 3) A = X \ A := { x X x / A }. Muita merkintöjä: A, A c tai A. Logiikan vastaavuus: x A (x A) tosi kaikilla x X. Esimerkki.3.0 Olkoon X := {,, 3, 4, 5} (perusjoukko), A := {, } ja B := {, 3}. Tällöin A = {3, 4, 5} ja B = {, 4, 5}. Edellä olevia joukko-operaatioita havainnollistavia kuvioita ja 3 sanotaan Venndiagrammeiksi (englantilainen John Venn, ). Tulojoukko: Joukkojen X ja Y tulojoukko (product) eli karteesinen tulo on joukko, jonka alkioina ovat kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on joukosta X ja jälkimmäinen alkio on joukosta Y, ts. joukko X Y := { (x, y) x X ja y Y }. Logiikan vastaavuus: (x, y) X Y ((x X) (y Y)). Esimerkki.3. Olkoon X := {, } ja Y := {, 3}. Tällöin X Y = {(, ), (, 3), (, ), (, 3)}.

25 JOUKKO-OPPIA 5 Tehtävä.3. Olkoon X := {, } ja Y := {,, }. Mitkä seuraavista olioista ovat joukon X Y alkioita: a) (, ) b) (, ) c) (,, ) d) (, ) e) (3, ) f) {, } g) (, )? Tulojoukkoja ja niiden osajoukkoja, relaatioita, käsitellään Luvussa 4. Potenssijoukko: Joukon A X potenssijoukko (power set) on joukon A kaikkien osajoukkojen joukko P(A) = A := { B X B A }. Esimerkki.3.3 Olkoon A := {, } ja B := {, 3, 4}. Tällöin P(A) = {, {}, {}, A} P(B) = {, {}, {3}, {4}, {, 3}, {, 4}, {3, 4}, B}. Huomautus.3.4 Jokaisen joukon potenssijoukko on aidosti suurempi joukko kuin joukko itse. Tätä asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa.. Tehtävä.3.5 Olkoon A := {, {, 4}, 5}. Mitkä seuraavista ovat totta: a) A b) A c) {} A d) {} A e) 4 A f) 4 A g) {4} A h) {4} A i) {, 4} A j) {, 4} A k) {{, 4}} A l) {{, 4}} A.4 Joukko-opin kaavoja Myös mutkikkaampia joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Venndiagrammeilla kuten Kuvassa 4. X X A B A B C Kuva 4: Joukko-operaatio A (B C) ja yhtälö (A \ B) (A B) = A

26 JOUKKO-OPPIA 6 Lause.4. Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin a) A B = B A vaihdannainen b) A B = B A vaihdannainen c) A (B C) = (A B) C liitännäinen d) A (B C) = (A B) C liitännäinen e) A (B C) = (A B) (A C) I osittelulaki f) A (B C) = (A B) (A C) II osittelulaki g) A = A kaksoiskomplementti h) A B = A B I de Morganin laki i) A B = A B II de Morganin laki j) A B B A k) A = B A B ja B A l) A \ B = A B m) A A = A, A A = A idempotenssi n) A X = X, A X = A o) A = A, A = p) X =, = X q) A A = X, A A = r) A B A, A B B s) A A B, B A B. Todistus. Väitteet voidaan todistaa esimerkiksi käyttäen Lauseen..3 tautologioita, siis loogisia ekvivalenttiuksia. Todistetaan malliksi kohdat e) ja h).

27 JOUKKO-OPPIA 7 Olkoot A, B, C X joukkoja. Kohdan e) osoittaa seuraava looginen muunnosketju: Jokaisella x X on totta x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x A B x A C x (A B) (A C). Tämä tarkoittaa, että joukoissa on samat alkiot, eli A (B C) = (A B) (A C). Todistetaan vastaavaan tapaan h), siis että A B = A B. Käytetään kuitenkin nyt yhtäpitävyyksiä matematiikan arkisemmassa muodossa: x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B. Siis A B = A B. Täydennä molempiin perustelut! Tehtävä.4. Lisää todistukseen kunkin vaiheen perustelut, esimerkiksi viittaukset sopiviin lauselogiikan kaavoihin. Huomautus.4.3 Koska liitäntälait c) ja d) ovat voimassa, on mielekästä ja yksikäsitteistä käyttää merkintäjä A B C ja A B C. Merkinnöillä A B C ja A B C ei ole sovittua tarkoitusta, vrt. kaavat e) ja f). Tällaisia ei pidä käyttää..5 Joukko-opin väitteiden todistaminen Venn-diagrammien avulla voi usein havaita, onko väite voimassa vai ei, mutta Venn-diagrammit eivät todista väitettä. Väitteitä todistetaan sieventämällä lausekkeita tunnettuja kaavoja käyttäen tai soveltamalla logiikan tautologioita lauseisiin x A, x B jne. Se, ettei väite ole voimassa, osoitetaan aina näyttämällä vastaesimerkki. Muotoa A = B oleva väite kannattaa usein osoittaa kahdessa vaiheessa: A B ja B A eli x A x B ja x B x A.

28 JOUKKO-OPPIA 8 Esimerkki.5. Osoita, että A = (A \ B) (A B). Ratkaisu. Olkoon perusjoukkona X. Kuvan 5 Venn-diagrammin mukaan kaava näyttäisi pätevän. A\B X A B U A B Kuva 5: Esimerkin.5. Venn-diagrammi Todistustapa : Joukko-opin kaavojen mukaan (kohdat n, q, f ja l) Todistustapa : Osoitetaan alkiotasolla ) A (A \ B) (A B) ja ) (A \ B) (A B) A. A = A X = A (B B) = (A B) (A B) = (A \ B) (A B). ) Olkoon x A. Jos x B, niin x A B. Jos x B, niin x A \ B. Siis joka tapauksessa x (A \ B) (A B). Näin ollen A (A \ B) (A B). ) Olkoon x (A\B) (A B). Tällöin x A\B tai x A B. Kummassakin tapauksessa x A. Näin ollen (A \ B) (A B) A. Kohdista ) ja ) seuraa A = (A \ B) (A B). Todistustapa 3: Logiikan lakien perusteella saadaan jokaisella x X: x (A \ B) (A B) x A \ B x A B Siis A = (A \ B) (A B). [x A (x B)] [x A x B] x A [ (x B) x B] x A [x / B x B] } {{ } =T, sillä aina tosi (x A) T x A.

29 JOUKKO-OPPIA 9 Esimerkki.5. Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Päteekö kaava (B \ A) (B \ C) = B \ (A C)? Ratkaisu. Kuvan 6 Venn-diagrammin mukaan näyttäisi, että kaava ei päde. Venn- A B A B X C X C (B \ A) U (B \ C) B \ (A U C) Kuva 6: Onko (B \ A) (B \ C) = B \ (A C)? diagrammista saadaan myös vihje vastaesimerkkiä varten: järjestetään yksi alkio alueelle, joka ei ole toisessa mukana. Valitaan minimalistisesti X := {}, A := {}, B := {} ja vaikkapa C :=. Silloin A, B, C X ja (B \ A) (B \ C) = {} = {} B \ (A C) = {} \ {} =. Siis kaava ei päde esimerkiksi edellä valituilla joukoilla. Tehtävä.5.3 Onko Esimerkin.5. joukkoyhtälö sitten aina epätosi? Esimerkki.5.4 Todista, että jos A B, niin B A. Ratkaisu. Olkoon A B. Osoitetaan, että x B x A: Olkoon x B. Tällöin x / B. Koska A B ja x / B, niin x / A. Siis x A. Näin ollen B A. Tehtävä.5.5 Päteekö yhtälö (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)? Tehtävä.5.6 Päteekö A \ (B \ C) = (A \ B) C? Tehtävä.5.7 Päteekö A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)? Todistus. Joukko-opin kaavojen mukaan (miten?) A \ (B C) = A B C = A (B C) = (A B) (A C) = (A \ B) (A \ C).

30 JOUKKO-OPPIA 30.6 Yleisempää joukko-oppia Olkoon A kokoelma erään perusjoukon X osajoukkoja. Oletetaan, että joukot A, A,..., A n A. Yhdiste: Joukkojen A, A,..., A n yhdiste on joukko n A i := { x X x A i jollakin i {,, 3,..., n} }, i= siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat johonkin joukoista A i, i =,, 3,..., n. Leikkaus: Joukkojen A, A,..., A n leikkaus on joukko n A i := { x X x A i jokaisella i {,, 3,..., n} }, i= siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat jokaiseen joukkoon A i, i =,, 3,..., n. Esimerkki.6. Olkoon A i := {,,..., i}, ts. A := {}, A := {, }, A 3 := {,, 3} jne. Tällöin n A i = {,,..., n} = A n i= ja n A i = {} = A. i= Karteesinen tulo: Joukkojen X, X,..., X n tulojoukko eli karteesinen tulo on joukko n X i = X X X n := {(x, x,..., x n ) x X,..., x n X n }, i= siis joukko, joka muodostuu järjestetyistä jonoista (x, x,..., x n ). Esimerkiksi voidaan merkitä n R = R } R {{ R } = R n. i= n kpl

31 JOUKKO-OPPIA 3 Äärettömät yhdisteet ja leikkaukset: Jos A, A,... ovat perusjoukon X osajoukkoja, niin A i := { x X x A i jollakin i N }, i= A i := { x X x A i kaikilla i N }. i= Vielä yleisemmin: Olkoon A kokoelma perusjoukon X osajoukkoja. Silloin A := { x X x A jollakin A A }, A A A A A := { x X x A kaikilla A A }. Esimerkki.6. Olkoon perusjoukkona X := R ja A x := [x, x+] kaikilla x R. Silloin A := { A x x R } on kaikkien yhden yksikön pituisten suljettujen välien kokoelma, ja A x = R, A = A A x R A x =. A A A = x R Erikoisesti arvoilla x = i N saadaan vain A i = [, ] [, 3] [3, 4]... = [, [, i= A i =. i= Esimerkki.6.3 Olkoot A i := ] [ 0, + i, i N. Mitä ovat i= A i ja i= A i? Ratkaisu. Kuviosta 7 voinemme saada idean, että voisi hyvinkin olla: a) i= A i = ]0, [, b) i= A i = ]0, ]. Todistetaan kohdan a) väite näyttämällä, että: ) i= A i ]0, [ ja ) ]0, [ i= A i.

32 JOUKKO-OPPIA 3 A = ]0,[ 3_ A = ]0, [ 4_ 3 A 3 = ]0, [ Kuva 7: Esimerkin.6.3 välejä ) Jos x i= A i niin x A i jollakin i eli x ] [ 0, + i ]0, [. ) Jos x ]0, [, on 0 < x < ja on olemassa i N, jolle x A i (tässä ainakin i = kelpaa). Siten myös x i= A i. Todistetaan niinikään kohdan b) väite näyttämällä, että: ) i= A i ]0, ] ja ) ]0, ] i= A i. ) Olkoon x i= A i mielivaltainen, ts. x A i kaikilla i N. Täten 0 < x < + /i kaikilla i N. Riittää osoittaa, että ei voi olla x >. Jos näin olisi, voitaisiin lukujen ja x välistä löytää luku + /k, kun k on riittävän suuri. Silloin x / A k, ja siten x / i= A i. On siis oltava x ]0, ]. ) Olkoon x ]0, ] mielivaltainen. Silloin 0 < x < + /i, joten x A i jokaisella i N. Siis x i= A i. Esimerkki.6.4 Olkoon perusjoukkona euklidinen taso R = R R. Tason yksikkökiekko on joukko D := { (x, y) R x + y }. Olkoon A kaikkien niiden -säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipiste on yksikkökiekossa D. Mitä ovat seuraavat joukot? A = A A A A A = Ympyröiden yhdiste (JavaSketchpad-visualisointi) Kurssimateriaali/applet/KiekkojenYhdiste.htm

33 JOUKKO-OPPIA 33.7 Joukkojen alkiomääristä Puetaan lauseiksi intuitiivisesti ilmeiset äärellisten joukkojen yhdisteiden ja tulojen alkiomääriä koskevat tulokset. Merkintä #X tarkoittaa jatkossa äärellisen joukon X alkioiden lukumäärää. Asiaan palataan tarkemmin Luvussa. Lause.7. a) Kahden erillisen äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A + #B. b) Kahden äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A + #B #(A B) c) Kolmelle äärelliselle joukolle A, B, C X pätee yhteenlaskukaava #(A B C) = #A + #B + #C #(A B) #(A C) #(B C) +#(A B C). Todistus. a) Väite on varsin järkeenkäypä. b) Seuraa edellisestä samuuksia A = (A \ B) (A B), B = (B \ A) (A B) ja A B = (A \ B) (A B) (B \ A) (ks. Luku.5) soveltaen. c) Voidaan päätellä vastaavaan tapaan. Laskettaessa kaikkien alkioiden määrää tulevat kaksittaisissa leikkauksissa olevat lasketuiksi kahteen kertaan, ja kaikkien kolmen leikkauksessa kolmesti. Mutta tästä kolmen leikkauksesta tulevat poistetuiksi kaikki, joten ne on lisättävä. Lause.7. (summaperiaate) Jos A, A,..., A n X on äärellinen kokoelma pareittain erillisiä äärellisiä joukkoja, niin niiden yhdiste on äärellinen ja ( n ) # A k = k= n #A k. k= Lauseiden.7. ja.7. yleistys joukkojen yleinen yhteenlaskukaava eli summaja erotusperiaate:

34 JOUKKO-OPPIA 34 Lause.7.3 (joukkojen yhteenlaskukaava) Jos A, A,..., A n X, n N, ovat äärellisiä joukkoja, niin #(A... A n ) = n #A i #(A i A j ) i= + i<j<k n i<j n #(A i A j A k ) + ( ) n #(A... A n ). Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä, mutta havainnollistukseksi: Tehtävä.7.4 Kirjoita auki joukkojen yleinen yhteenlaskukaava neljän joukon tapauksessa. Aloita ottamalla esimerkiksi joukot A, A, A 3, A 4 X. Tehtävä.7.5 Lauseen.7.3 yhteenlaskukaavassa voidaan kaksittaisten, kolmittaisten etc. leikkausten lisäksi tulkita ensimmäisen summan yhteenlaskettavat yksittäisten leikkausten alkioiden summaksi. Niinpä voidaan laskea kuinka monta termiä kaavan oikealla puolella on. Kahden joukon tapauksessa niitä oli 3, kolmen joukon tapauksessa 7, ja tietysti yhden joukon tapauksessa. Tehtävästä.7.4 pitäisi voida nähdä niitä olevan neljän joukon tapauksessa 5. Entäpä viiden joukon tapauksessa? Yleisesti? Vihje: Kuinka monella tavalla voidaan ottaa k alkiota n alkion joukosta? Lause.7.6 (tuloperiaate) Äärellisten joukkojen X ja Y tulojoukon alkiomäärille on #(X Y) = #X #Y. Yleisesti: Jos X, X,..., X n, n N, on kokoelma äärellisiä joukkoja, niin niiden tulojoukko on äärellinen ja ( n ) n # X k = #X k. k= Lause.7.7 Jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n N 0 pätee: Jos joukossa A on n alkiota, niin sen potenssijoukossa P(A) on n alkiota. k= Väite perustellaan induktiotodistuksella Luvussa 0.. Joukkojen alkiomäärän käsitettä laajennetaan Luvussa koskeman myös äärettömiä joukkoja.

35 JOUKKO-OPPIA 35.8 Joukko-opin ongelmista Palataan vielä luvun alussa mainittuun joukko-opin ongelmallisuuteen. Saksalaiset matemaatikot Georg Cantor (845-98) ja Gottlob Frege (848-95) kehittivät nk. naiivin joukko-opin (johon mekin tässä esityksessä tyydymme), jonka piti olla täydellinen ja ristiriidaton. Hanke kaatui (jossain määrin), kun brittiläinen filosofi-matemaatikko Bertrand Russell (87-970) esitti keksimänsä paradoksin v. 90. Esimerkki.8. (Russellin paradoksi) Sovimme jo, että joukon ei sallita olla itsensä alkio, ja että emme muodosta kaikkien joukkojen joukkoa, koska nämä johtavat ikävyyksiin. Voisimmekohan kiertää tämän vaikkapa seuraavasti: Muodostetaan joukko, johon kootaan kaikki ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita: R := { A A / A }. Nyt tietysti mielivaltaisesta joukosta B pitäisi voida sanoa että joko B R tai B / R. Mutta miten on joukon R itsensä laita? ) Jos on R R, niin joukon R määritelmän mukaan se ei saa olla itsensä alkio eli R / R. ) Jos taas on R / R eli R ei ole itsensä alkio, niin nyt joukon R määritelmän mukaan R R. Kansanomainen versio paradoksista: Eräässä syrjäisessä kylässä ei siedetä parrakkaita. Kylässä on vain yksi parturi ja hän on mies. Osa kyläläisistä ajaa partansa itse, muiden parran leikkaa kyläparturi. Leikkaako parturi oman partansa? Russellin paradoksi johti järeämmän aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen. Sen rakentajia olivat saksalaiset Ernst Zermelo (87-956) ja Abraham Fraenkel (89-965), ja lopulta norjalainen Thoralf Skolem ( ). Tässä nk. ZFaksiomatiikassa on aksioomia 9. Jos lisäksi hyväksytään kymmenes aksiooma, jossain määrin kiistanalainen Valinta-aksiooma C (Axiom of Choice), puhutaan ZFC-aksiomatiikasta. Aksiomaattisen joukko-opin muotoutumiseen vaikutti suuresti myös itävaltalainen Kurt Gödel ( ). Hän todisti nk. epätäydellisyyslauseen, jonka mukaan jokaisessa formaalisessa järjestelmässä (kuten aksiomatiikoissa) on ainakin yksi tosi lause, jota ei kuitenkaan voi todistaa tämän kyseisen järjestelmän puitteissa. On siis olemassa tosia ja epätosia lauseita, joiden totuussarvoa ei voida perustella kyseisessä aksiomatiikassa. Näin matematiikka ei voikaan olla sisäisesti täysin konsistentti, ja mm. Fregen yritys luoda täydellinen rakennemalli (edes silloiselle) matematiikalle oli tuomittu epäonnistumaan.

36 JOUKKO-OPPIA 36 Frege ei kestänyt työhönsä kohdistunutta iskua, vaan katkeroitui ja vetäytyi tutkimusalalta riviopetustyöhön. Cantorkaan ei lopulta kestänyt hänen matematiikkaansa kohdistettua kritiikkiä; hänen elämänsä viimeiset vuodet kuluivat mielisairaalassa. Gödel taas kuvitteli nuoruudestaan lähtien itselleen erilaisia sairauksia. Vanhetessaan hän alkoi pelätä, että hänet myrkytetään, ja lopulta syömättömyyttään kuoli aliravitsemukseen. Tehtävä.8. Ota selville jos uskallat aksiomaattisen joukko-opin aksioomat, Valinta-aksiooma ja Kontinuumihypoteesi.

37 JOUKKO-OPPIA 37.9 Sumeasta joukko-opista Sumeat joukot (fuzzy set) ovat sumean logiikan (ks. Luku ) kanssa yhteensopiva joukko-opin laajennus. Siinä alkio voi kuulua kokonaan tai jossain määrin tiettyyn joukkoon. Esimerkiksi ihmisten joukko voidaan jakaa sumeisiin osajoukkoihin lapset, nuoriso, aikuiset, ja vanhat. Yhden ihmisen voidaan (tietyllä hetkellä) katsoa kuuluvan jossain määrin sekä lasten että nuorten joukkoon. Sopimalla yhteinen matemaattinen malli voidaan ilmiö mekanisoida laskennoksi. Tavallisessa joukko-opissa alkion kuulumista joukkoon A X voidaan mitata totuusarvoin tai nk. karakteristisen funktion avulla; {, x A χ A (x) := 0, x X \ A Sumeassa joukko-opissa tavallisen perusjoukon X sumeaa osajoukkoa A voidaan karakterisoida nk. jäsenyysfunktiolla J A, jonka maalijoukoksi otetaan suljettu väli [0, ]. Alkion x kuuluessa kokonaan joukkoon A sillä on täysi jäsenyysaste tässä joukossa, J A (x) =. Yleisesti siis jokaiselle perusjoukon alkiolle ja sumealle osajoukolle 0 J A (x). Esimerkki.9. Ihmisten sumean osajoukon nuoriso jäsenyysfunktion valinta on tietenkin tulkinnanvarainen, eräs ehdotus näkyy Kuvassa Kuva 8: Eräs ehdotus nuorison jäsenyysfunktioksi iän mukaan Tehtävä.9. Hahmottele joukon lapset jäsenyysfunktiota.

38 3 Lausefunktiot Luvuissa ja esitellyt lauselogiikka ja joukko-oppi yhdistyvät hyödyllisellä tavalla nk. kvanttorien avulla. Tarkasteltavat lausefunktiot ovat todellakin tulkittavissa (totuusarvoisiksi) funktioiksi (ks. Luku 5), mutta tässä emme funktioformalismia vielä täysin käytä. 3. Avoin lause ja kvanttorit Määritelmä 3.. Olkoon A X epätyhjä joukko. Ilmaus P (x) on joukossa A määritelty avoin lause eli lausefunktio (predicate, propositional function), jos P (x) on looginen lause (tosi tai epätosi) silloin, kun siihen sijoitetaan mikä tahansa joukon A alkio. Lausefunktion P ratkaisujoukko L P on niiden alkioiden x muodostama joukko, joilla P on tosi. Esimerkki 3.. P (x) := x + 3 < 7 on reaalilukujen joukossa määritelty lausefunktio. P on tosi, kun x < 4 ja epätosi, kun x 4. Täten L P = ], 4[. Esimerkki 3..3 Q(n) := Luku n on parillinen. on vaikkapa kokonaislukujen joukossa määritelty lausefunktio. Tosia ovat arvot Q(n) eli..., Q( ), Q(0), Q(), Q(4),... ja epätosia kaikki arvot Q(n + ), missä n Z. Täten L Q = { n n Z }. Lausefunktioista voidaan muodostaa loogisia lauseita seuraavien kvanttorien (quantifier) avulla: kaikkikvanttori (for all) olemassaolokvanttori (exists) Muistisääntö: All A, Exists E. Syntaksi: Kun P on muuttujasta x A riippuva lausefunktio, saadaan kaksi erilaista (suljettua) lausetta x A : P (x), luetaan On olemassa (ainakin yksi) x A, jolle P (x) on tosi. x A : P (x), luetaan Jokaisella x A on voimassa P (x). tai Olipa x A mikä tahansa, niin P (x) on tosi. Huomautus 3..4 a) Olemassaolokvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein siten, että tai sellainen..., että b) Kaikkikvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein on voimassa tai on totta.

39 3 LAUSEFUNKTIOT 39 Esimerkki 3..5 a) Lause x R : x + 3 < 7 luetaan On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x + 3 < 7. Lause on tosi, sillä esimerkiksi + 3 < 7. b) Lause x R : x + 3 < 7 luetaan Kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x + 3 < 7. Lause on epätosi, sillä esimerkiksi Lausefunktiossa voi olla myös useita muuttujia. Lausefunktiota sanotaan yksi-, kaksi-, kolme- jne. paikkaiseksi sen mukaan, kuinka monta muuttujaa siinä on. Tehtävä 3..6 P (x, y) := x + y = on kaksipaikkainen lausefunktio, kun määrittelyjoukko valitaan sopivasti. Keksi sellainen ja selvitä missä P se on tosi. Joukossa A B määritellystä kahden muuttujan avoimesta lauseesta P (x, y) saadaan kvanttorien avulla periaatteessa 8 eri lausetta: ) x A, y B : P (x, y) On olemassa alkiot x A ja y B, joille P (x, y) on tosi. ) x A, y B : P (x, y) On olemassa (kiinteä) x A siten, että jokaiselle y B on voimassa P (x, y). On olemassa sellainen x A, että olipa y B mikä tahansa, P (x, y) on tosi. 3) x A, y B : P (x, y) Jokaista x A kohti on olemassa sellainen y B, että P (x, y) on tosi. Olipa x A mikä tahansa, niin aina löytyy sellainen y B, että P (x, y) pätee. 4) x A, y B : P (x, y) Jokaisella x A ja y B on voimassa P (x, y). P (x, y) pätee kaikilla x A ja y B. Vaihtamalla muuuttujien järjestys kvanttorien perässä saadaan toiset neljä: ) y B, x A : P (x, y) ) y B, x A : P (x, y) 3 ) y B, x A : P (x, y) 4 ) y B, x A : P (x, y) Kuitenkin vain 6 niistä on loogisesti erilaisia; nimittäin lauseilla ) ja ) on aina sama totuusarvo, samoin lauseilla 4) ja 4 ).

40 3 LAUSEFUNKTIOT 40 Kvanttorien järjestyksen merkitys: Kun avointa lausetta suljettaessa käytetään molempia kvanttoreita ja, on oltava hyvin tarkkana; sekä niiden keskinäinen järjestys että muuttujien järjestys voivat vaikuttaa lauseen totuusarvoon! Esimerkki 3..7 Olkoon P (x, y) := y = x, missä x R ja y R. ) x R, y R : y = x on tosi, sillä esimerkiksi =. ) x R, y R : y = x on epätosi. Jokaisella x R on esimerkiksi = x epätosi. 3) x R, y R : y = x on tosi. Mielivaltaiselle x R voidaan valita y := x ; silloin y = x. 4) x R, y R : y = x on epätosi, sillä esimerkiksi 3. ) y R, x R : y = x on epätosi. Olkoon y R mielivaltainen. Jos nyt y = 0, valitaan vaikkapa x :=, jolloin 0. Jos taas y 0, valitaan vaikkapa x := 0. Silloin y 0. 3 ) y R, x R : y = x on epätosi. Kun y :=, niin arvosta x riippumatta on y x. Tehtävä 3..8 Kirjoita kvanttorien avulla lause: Jokaista reaalilukua x vastaa sellainen luonnollinen luku n, että x kuuluu välille [n, n+[. Tehtävä 3..9 Koeta esittää kvanttorien avulla nk. kokonaislukujen jakoyhtälö: Jos m Z ja n N, on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt luvut q, r Z, joille m = qn + r ja 0 r < n. 3. Lausefunktion negaatio Kvanttoreilla suljetun lausefunktion negaatio saadaan vaihtamalla olemassaolokvanttori kaikkikvanttoriksi ja päinvastoin sekä ottamalla lausefunktion negaatio. Esimerkiksi: ( x A : P (x)) x A : P (x) Ei pidä paikkaansa, että on olemassa x A, jolle P (x) pätee. Ei ole olemassa alkiota x A, jolle P (x) pätee. jokaiselle x A on P (x) epätotta. ( x A : P (x)) x A : P (x) Ei pidä paikkaansa, että kaikilla x A pätee P (x). On olemassa ainakin yksi alkio x A, jolle P (x) ei päde. ( x A, y B : P (x, y)) x A, y B : P (x, y)

41 3 LAUSEFUNKTIOT 4 Lause on epätosi, jos ja vain jos sen negaatio on tosi. Se, että jokin lause on epätosi, voidaan perustella negaation avulla. Tarkemmin: Huomautus 3.. ) Lause x A, y B : P (x, y) osoitetaan todeksi konkreettisella esimerkillä ja epätodeksi näyttämällä, että kaikilla x A ja kaikilla y B pätee P (x, y). ) Lause x A, y B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla esimerkki jostakin sellaisesta x A, jolle P (x, y) on voimassa kaikilla y B. Lause osoitetaan epätodeksi antamalla jokaista x A kohti esimerkki sellaisesta y B, että P (x, y) on voimassa. 3) Lause x A, y B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla jokaista x A kohti sellainen alkio y B, että P (x, y) on tosi. Lause osoitetaan epätodeksi antamalla esimerkki sellaisesta alkiosta x A, että kaikilla y B on voimassa P (x, y). 4) Lause x A, y B : P (x, y) osoitetaan todeksi näyttämällä, että kaikilla x A ja kaikilla y B on voimassa P (x, y). Lause osoitetaan epätodeksi antamalla (yhdet) alkiot x A ja y B, jolle P (x, y) ei ole voimassa, ts. P (x, y) on tosi. Tehtävä 3.. Mitkä seuraavista kolmen muuttujan lausefunktion avulla muodostetusta lauseista ovat tosia: a) x, y, z : x(y + z ) = 0 b) x, y, z : x(y + z ) = 0 c) x, z, y : x(y + z ) = 0 d) x, z, y : x(y + z ) = 0 e) x, y, z : x(y + z ) = 0 f) z, y, x : x(y + z ) = 0 g) y, x, z : x(y + z ) > 0 Tehtävä 3..3 Keksi esimerkki lausefunktiosta P (x, y, z), jolle seuraavilla lauseilla on eri totuusarvo: a) x, y, z : P (x, y, z) b) x, y, z : P (x, y, z) Tehtävä 3..4 Keksi selitys seuraavalle (vrt. Luku.6) lauseelle: x B, i N : x A i. Tehtävä 3..5 Kannattaa huomata, että kvanttoreilla lauseeksi muunnettava lausefunktio voi olla johdettu lause, esimerkiksi implikaatiolause. Mikä onkaan implikaation P Q negaatio, mikä vastaavan ekvivalenssin?

42 4 Relaatiot Luvussa käsitellään tulojoukkojen osajoukkoja, nk. relaatioita, mm. ekvivalenssi ja järjestys, jotka ovat tärkeimpiä yhden joukon sisäisiä ei-algebrallisia relaatiotyyppejä. Tulojoukko esiintyi jo Luvussa. Luvussa 5 käsitellään tarkemmin funktioita ja laskutoimituksia. 4. Tulojoukko Epätyhjien joukkojen X ja Y tulojoukoksi eli karteesiseksi tuloksi (cartesian product) X Y sanotaan joukkoa, jonka alkioina on kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on joukosta X ja jälkimmäinen alkio on joukosta Y, siis X Y := { (x, y) x X ja y Y }. Huomautus 4.. Jos X = Y, niin voidaan merkitä X X =: X. Esimerkki 4.. Olkoon X := {, } ja Y := {, 3}. Tällöin Siis yleensä X Y Y X. X Y = {(, ), (, 3), (, ), (, 3)}, Y X = { (, ), (, ), (3, ), (3, )}. Lause 4..3 Olkoot X, Y ja Z joukkoja. Tällöin a) X (Y Z) = (X Y) (X Z), b) X (Y Z) = (X Y) (X Z), c) (X Y) Z = (X Z) (Y Z), d) (X Y) Z = (X Z) (Y Z). Todistus. Todistetaan malliksi kohta b), muut kohdat jäävät harjoitustehtäviksi. Logiikan laskusääntöjen mukaan (täydennä perustelut): (x, y) X (Y Z) (x X) (y Y Z) (x X x X) (y Y y Z) (x X y Y) (x X y Z) ((x, y) X Y) ((x, y) X Z) (x, y) (X Y) (X Z)

43 4 RELAATIOT 43 Tulojoukkoa voidaan havainnollistaa tasokuvion avulla. Kuvio voi olla koordinaatisto, mutta yhtä hyvin jokin abstraktimpi esitys. Esimerkki 4..4 Olkoot X := {,, 3}, Y := {, 3} ja Z := {a, b, c}. Tällöin X Y = {(, ), (, 3), (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)}, Y Z = {(, a), (, b), (, c), (3, a), (3, b), (3, c)}, joita esittävät Kuvan 9 tasokuviot y 3 Z c b 3 x a 3 Y Kuva 9: Esimerkin 4..4 tasokuviohavainnollistukset Esimerkki 4..5 Olkoot X := [0, ] = { x R 0 x } ja Y := [, ] = { x R x }. Tällöin Kuva 0 havainnollistaa tulojoukkoa X Y = { (x, y) 0 x ja y }. y 0 x Kuva 0: Esimerkin 4..5 tasokuviohavainnollistus

44 4 RELAATIOT Relaatio Määritelmä 4.. Olkoot X ja Y epätyhjiä (perus)joukkoja. Kaikkia tulojoukon X Y osajoukkoja sanotaan relaatioiksi (relation) joukosta (tai joukolta) X joukkoon Y. Jos R X Y ja (x, y) R, niin sanotaan: Alkio x on relaatiossa R alkion y kanssa. Relaatiossa R oloa merkitään myös xry. Esimerkki 4.. Olkoot X := {,, 3, 4}, Y := {,, 3} ja R := {(, ), (, 3), (4, ), (4, )}. Tällöin R on relaatio joukosta X joukkoon Y. Relaatiota voidaan havainnollistaa eri tavoin, Kuvassa nuolidiagrammina ja karteesisena diagrammina. X 3 4 Y 3 3 Y X 3 4 Kuva : Esimerkin 4.. relaatio nuoli- ja tasokuviona Esimerkki 4..3 Määritellään relaatio R N N asettamalla xry x + y 4. Ilmaise R järjestettyjen parien joukkona ja piirrä sen kuvaaja. Ratkaisu. R = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (3, )} ja kuvaaja Kuvassa. y 3 3 x Kuva : Esimerkin 4..3 kuvaaja Tehtävä 4..4 Entä relaatio S N Z, xry x + y 4?

45 4 RELAATIOT Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat Nimetään relaation osapuolet ja joukot, joiden kanssa tietty alkio tai joukko on relaatiossa. Määritelmä 4.3. Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Relaatiossa R X Y ensimmäistä joukkoa X sanotaan relaation lähtöjoukoksi (domain) ja jälkimmäistä joukkoa Y sanotaan relaation maalijoukoksi (co-domain). Sanomme myös, että relaation suunta on joukosta X joukkoon Y. Esimerkki 4.3. Joukosta R := { (, ), (, 4), (, 6), (3, 6) } tulee relaatio ainakin seuraavilla valinnoilla: a) Lähtöjoukko ja maalijoukko ovat X := {,, 3, 4, 5, 6}; silloin R X X. Myöskin tätä laajemmat joukot kelpaavat. b) Lähtöjoukko on X := {, 3} ja maalijoukko Y := {, 4, 6}. Nämä ovat suppeimmat kelvolliset joukot, joille R X Y, ja siis on relaatio. Tehtävä Mitkä seuraavista joukoista sopivat joukon R := { (, ), (, 4), (, 6), (3, 6) } lähtö- ja maalijoukoiksi X ja Y (ks. myös Esimerkki 4.3.): ) X := {,, 3} ja Y := {,, 4, 6}. ) X := {, 3, 4} ja Y := {3, 4, 5, 6}. 3) X := {,, 3} ja Y := R. 4) X := N ja Y := Q. Huomautus a) Monesti relaation lähtöjoukossa ja maalijoukossa on alkioita, jotka eivät lainkaan esiinny itse relaation alkiopareissa. Joskus nämä voidaan jättää kokonaan huomiotta (esimerkiksi poistamalla lähtö- tai maalijoukosta), mutta toisinaan ne vaikuttavat olennaisesti relaation ominaisuuksiin (esimerkiksi refleksiivisyys ja funktio-ominaisuus). b) Englanninkielisessä terminologiassa lähtöjoukko on usein domain, mutta toisaalta tämä voi tarkoittaa myös todellista määrittelyjoukkoa, joka voi olla suppeampi kuin lähtöjoukko. Funktion tapauksessa nämä ovat kuitenkin sama asia, ominaisuus sisältyy funktion määritelmään (ks. Luku 4.5).

46 4 RELAATIOT 46 Usein on tarpeen poimia relaatiosta osia tai selvittää alkioihin tai osajoukkoihin liittyvät jäsenet. Määritelmä Olkoon R X Y relaatio. Lähtöjoukon osajoukon A X kuvajoukko (image) relaatiossa R on maalijoukon osajoukko R(A) := { y Y (x, y) R jollakin x A }. Vastaavasti maalijoukon osajoukon B Y alkukuvajoukko (pre-image) on lähtöjoukon osajoukko R (B) := { x X (x, y) R jollakin y B }. Erityisesti lähtöalkion x X kuvajoukko on ja maalialkion y Y alkukuvajoukko R(x) := R({x}) = { y Y (x, y) R } R (y) := R ({y}) = { x X (x, y) R }. Relaation määrittelyjoukko (domain) on koko maalijoukon alkukuva R (Y) X ja arvojoukko (range) on koko lähtöjoukon kuvajoukko R(X) Y. Esimerkki Joukon X := {,, 3, 4, 5, 6} relaatiossa (ks. myös Esimerkki 4.3. ja Tehtävä 4.3.3) R := {(, ), (, 4), (, 6), (3, 6)} alkion kuvajoukko R() = {, 4, 6} ja alkion alkukuvajoukko R () = {}. Joukon {, } kuvajoukko on {, 4, 6} ja joukon {3, 4, 5} kuvajoukko on {6}. Joukon {,, 3} alkukuvajoukko on {} ja joukon {5, 6} alkukuvajoukko {, 3}. Joukon {, 3, 5} alkukuvajoukko on. Esimerkki Kuvassa 3 on esitetty eräs joukkojen X := {,, 3, 4} ja Y := {a, b, c, d, e} välinen relaatio R. Lähtöjoukon X alkioiden kuvajoukot ovat: R() = {a}, R() = {a, b, d}, R(3) = {b, e}, R(4) =. Maalijoukon Y alkioiden alkukuvajoukot ovat: R (a) = {, }, R (b) = {, 3}, R (c) =, R (d) = {}, R (e) = {3}.

47 4 RELAATIOT 47 X 3 4 a b c d e Y Kuva 3: Esimerkin kaavio Edelleen esimerkiksi R({, 3}) = R({,, 3}) = R(X) = {a, b, d, e} R({, 4}) = R() = {a} R({, }) = R({,, 4}) = {a, b, d} R ({a, b}) = R ({a, b, c}) = R ({a, b, c, d}) = R (Y) = {,, 3} R ({b, c}) = R ({b, c, d}) = R ({b, c, d, e}) = R ({d, e}) = {, 3}. Tehtävä Relaation lähtö- ja maalijoukot ovat R. C := { (x, y) R x 0, x + y = } a) Määritä alkioiden 0, /, ja kuvajoukot. b) Määritä alkioiden 0, /, ja alkukuvajoukot. c) Mitkä olisivat suppeimmat mahdolliset lähtö- ja maalijoukot, joilla R voitaisiin korvata niin, että C pysyisi samana joukkona? Tehtävä Määritä Esimerkin (Kuva 3) tapauksessa a) joukon {a, d} alkukuvan kuvajoukko. b) alkion kuvajoukon alkukuvajoukko. 4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen Tutustutaan seuraavaksi relaatioiden kääntämiseen ja yhdistämiseen sekä todistetaan pari näitä koskevaa perustulosta. Määritelmä 4.4. Relaation R X Y käänteisrelaatio (inverse relation) on joukko R := { (y, x) (x, y) R }.

48 4 RELAATIOT 48 Huomautus 4.4. a) Jokaisella relaatiolla R X Y on käänteisrelaatio R ja se on itsekin relaatio, koska R Y X. b) Relaatio ja käänteisrelaatio toteuttavat ehdon xry yr x, ts. relaatioissa on samat parit mutta käänteisessä järjestyksessä; relaation suunta on vaihtunut. Esimerkki Olkoot X := {,, 3, 4}, Y := {y, z} ja R := {(, y), (3, y), (3, z), (4, y)}, ks. Kuva 4. Tällöin on R tulojoukon X Y osajoukkona relaatio ja R = {(y, ), (y, 3), (y, 4), (z, 3)}. z y y z Kuva 4: Esimerkin relaatiot R ja R Esimerkki a) Olkoon A kaikkien suomalaisten kirjainten aakkosjärjestystä kuvaava relaatio, siis xay x on kirjaimen y edellä. Tällöin ya x tarkoittaa samaa: y on kirjaimen x jälkeen. b) Olkoon akb jos ja vain jos a on oikealle kirjaimesta b. Silloin bk a tarkoittaa b on vasemmalle kirjaimesta a. Esimerkki Edellä oli jo merkitty alkion kuvajoukkoa R(x) ja alkukuvajoukkoa R (y). Koska R(x) = { y Y (x, y) R } = { y Y (y, x) R } = (R ) (x), voidaan aavistella, että R = (R ).

49 4 RELAATIOT 49 Lause Jokaiselle relaatiolle R on R = (R ). Todistus. Olkoon R X Y mielivaltainen relaatio. Sen käänteisrelaatio R Y X, ja edelleen sen käänteisrelaatio (R ) X Y. Siis R ja (R ) ovat saman perusjoukon X Y osajoukkoja. Sen, että joukot ovat samat, osoittaa lasku (x, y) R xry yr x x(r ) y (x, y) (R ). Määritelmä Joukon X X yksikkö- eli identtisyysrelaatio (unit, identity) on Id X := { (x, x) x X }. Määritelmä Relaatioiden R X Y ja S Y Z yhdistetty relaatio eli kompositio (composition) on relaatio S R := { (x, z) X Z jollekin y Y : xry ja ysz }. Huomautus a) Joukkojen X ja Z välille voi siis syntyä relaatio välittävien alkioiden y Y avulla (tai kautta). b) Jos R X Y, niin R R X X ja R R Y Y. c) Yksikkörelaatio Id X vastaa algebrallisessa mielessä nk. neutraalialkiota (ks. Luku 9.). Se on itse asiassa identtinen kuvaus Id(x) := x (ks. Luku 5). Nimittäin, jokaiselle R X X on (harjoitustehtävä) Id X R = R Id X = R. Esimerkki Ihmisten joukossa relaatio henkilö x on henkilön z setä on relaatioiden henkilö x on henkilön y veli ja henkilö y on henkilön z isä yhdistetty relaatio, sillä x on henkilön z setä, jos ja vain jos on (tai on ollut) olemassa sellainen henkilö y, että henkilö x on y:n veli ja y on henkilön z isä. Tehtävä 4.4. Olkoot X := {,, 3}, Y := {a, b, c} ja Z := {α, β}. Piirrä seuraavaan kuvioon nuolet, jotka kuvaavat relaatioita R := {(, a), (, b), (, b), (, c), (3, a)}, S := {(b, α), (c, α), (c, β)} ja relaatioita S R sekä R :

50 4 RELAATIOT 50 X Y Z X Z Y X R S S R R a a α α b b β β 3 c 3 c 3 Lause 4.4. Relaatioille R X Y ja S Y Z pätee laskusääntö (S R) = R S. Todistus. (S R) ja R S ovat selvästikin relaatioita joukosta Z joukkoon X. Seuraava ekvivalenssiketju osoittaa relaatiot samoiksi: Kullakin (z, x) Z X (z, x) (S R) z(s R) x x(s R)z jollekin y Y : xry ja ysz jollekin y Y : yr x ja zs y jollekin y Y : zs y ja yr x z(r S )x (z, x) R S. Lause Relaatioille R X Y, S Y Z, T Z V pätee (T S) R = T (S R). Todistus. Koska T S Y V ja R X Y, on (T S) R relaatio joukosta X joukkoon V. Koska T Z V ja S R X Z, on myös T (S R) relaatio joukosta X joukkoon V. Väitteen osoittaa oikeaksi ekvivalenssiketju: (x, v) (T S) R x ( (T S) R)v jollekin y Y : xry ja y(t S)v joillekin y Y, z Z : xry, ysz ja zt v jollekin z Z : x(s R)z ja zt v x ( T (S R) ) v (x, v) T (S R)

51 4 RELAATIOT 5 Huomautus a) Relaatioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio. Lauseen mukaan tulo on kuitenkin liitännäinen, joten voidaan merkitä T S R := (T S) R = T (S R). b) Joukon X X relaatioiden joukko varustettuna kompositiolla on algebralliselta rakenteeltaan puoliryhmä, jonka neutraalialkio on diagonaali Id X. Käänteisrelaatio ei yleensä toteuta ryhmän käänteisalkiolta vaadittavia ehtoja R R = R R = Id X, joten kyseessä ei ole ryhmä (vasta bijektiivisten kuvausten joukko on ryhmä, ks. Luku 9.). c) Lauseiden 4.4. ja tuloksia käyttäen voidaan laskea esimerkiksi (T S R) = R S T. Joukon sisäiselle relaatiolle voidaan määritellä potenssit yhdistämällä sitä itsensä kanssa toistuvasti: Määritelmä Relaation R X X n. potenssi (power) R n määritellään luvuille n N 0 seuraavasti:. R 0 := Id X,. R n+ := R n R, n N 0. Nyt esimerkiksi R 3 = (R R) R = R R R. Mitä on R? Määritelmän kohdat ja antavat tuloksen R = R 0 R = Id X R. Mutta Huomautuksen yhteydessäpä on tulos R = Id X R, joten R = R. Esimerkki Relaatio olla isoisä on relaation olla isä toinen potenssi, olla isoisän isä kolmas potenssi jne. Määritelmä Sanomme, että R-ketju vallitsee alkioiden x ja y välillä, jos niiden välillä vallitsee jokin relaation R potenssi. Esimerkki Relaatio isänpuoleinen esi-isä on yleisessä muodossa esitetty R-ketju, kun R = isä. Tehtävä Formuloi isä -relaatio tarkemmin, ja kirjoita potenssimuodossa isänisänisänisänisänisä.

52 4 RELAATIOT Funktio Määritelmä 4.5. Relaatio f X Y on funktio (function) eli kuvaus (map) joukosta X joukkoon Y, jos F) jokaista x X vastaa y Y siten, että (x, y) f, F) jos (x, y ) f ja (x, y ) f, niin y = y. Relaatio f X Y on siis funktio, jos ja vain jos jokaista x X vastaa täsmälleen yksi y Y siten, että (x, y) f. Kaikki funktiot ovat relaatioita, mutta kaikki relaatiot eivät ole funktioita. Esimerkki 4.5. Esimerkin relaatio R = {(, y), (3, y), (3, z), (4, y)} ei ole funktio, koska 3Ry ja 3Rz (olettaen tietysti, että y z). Onko R funktio? Jos f X Y on funktio, käytetään merkintää f : X Y. Jos lisäksi (x, y) f, niin merkitään f(x) := y ja sanotaan, että x on muuttuja (variable) ja alkio y on alkion x kuva (image) funktiossa f. Esimerkki Olkoon X ihmisten joukko ja R X R relaatio xry ihmisen x pituus on y. Tällöin R on funktio joukolta X joukkoon R. Voidaan merkitä f(x) := ihmisen x pituus. Jaa, mutta eikös tässä ole jotain ongelmallista? Esimerkki Olkoot X := {,, 3} ja Y := {,, 3, 4, 5}. Relaatioista (ks. Kuva 5) R := {(, ), (, ), (3, 4), (, 3)} R := {(, ), (, ), (3, 4)} R 3 := {(, ), (, )} vain R on funktio. Miksi muut eivät ole? Huomautus a) Merkintä f tarkoittaa itse funktiota, f(x) tarkoittaa funktion f arvoa pisteessä x. b) Funktion f : X Y määrittelyjoukolle (joka on sama kuin lähtöjoukko, miksi?) käytetään joskus merkintää M f = X. Vastaavasti arvojoukkoa merkitään A f = f(x).

53 4 RELAATIOT 53 R R R X 5 X 5 X 5 Y Y Y Kuva 5: Esimerkin relaatiot Tehtävä Olkoon lähtöjoukko N ja maalijoukko sopiva Y, jotta sääntö n 3n + 6 muodostaa funktion. a) Keksi sopiva Y. b) Mikä on funktion arvojoukko? Tehtävä Mitkä seuraavista kolmikoista lähtö - maali - sääntö voivat muodostaa funktion jollakin järkevällä tavalla: a) {,, 3} - {, 3, 4} - lisätään lukuun. b) N - Z - arvotaan luvulle etumerkki. c) Aakkoset - luvut - järjestysluku. d) R - R + - etäisyys. e) Taso - R - etäisyys. f) Kissat - koirat - tykkääminen. Huomautus Milloin kaksi funktiota ovat samat? Kaksi funktiota f : X Y ja g : U V ovat samat (identical), merkitään f = g (tai myös f g), jos () X = U, () Y = V, (3) f(x) = g(x) kaikilla x X. Funktion käsitettä ja ominaisuuksia tarkastellaan perusteellisemmin Luvussa 5.

54 4 RELAATIOT Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä Funktio saattoi olla kahden eri joukon välinen relaatio. Tarkastellaan vielä yhden joukon sisäisiä relaatioita. Nimetään aluksi relaatioiden tärkeimpiä ominaisuuksia. Määritelmä 4.6. Relaation R X X sanotaan olevan a) refleksiivinen, jos jokaiselle x X on xrx, b) symmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee xry yrx. c) antisymmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee xry yrx x = y. d) transitiivinen, jos kaikilla x, y, z X pätee xry yrz xrz. e) täysi (total, trichotomous), jos kaikilla x, y X pätee xry tai yrx. Lause 4.6. Relaatio R X X on α) refleksiivinen jos ja vain jos Id X R, β) symmetrinen jos ja vain jos R = R, γ) antisymmetrinen jos ja vain jos R R Id X, δ) transitiivinen jos ja vain jos R R R, ϵ) täysi jos ja vain jos R R = X X. Todistus. Kohdat α), β) ja ϵ) ovat ilmeisiä. Kohta δ) on harjoitustehtävä. Todistetaan näytteeksi kohta γ). Olkoon R antisymmetrinen ja (x, y) R R. Silloin on xry ja yrx, joten antisymmetrisyyden perusteella x = y ja siten (x, y) Id X. Kääntäen: oletetaan, että R R Id X. Olkoot xry ja yrx, jolloin myös xr y. Silloin (x, y) R R Id X, joten x = y. Siis R on antisymmetrinen.

55 4 RELAATIOT Ekvivalenssirelaatio Ekvivalenssirelaatio on tärkeä erikoistapaus joukon sisäisestä relaatiosta. Se on relaatio, joka esittää joukon alkioiden jotakin yhteistä ominaisuutta. Ekvivalenssirelaatio = samankaltaisuussuhde. Määritelmä 4.7. Relaatio E X X on joukossa X määritelty ekvivalenssirelaatio (equivalence relation), jos E) xex kaikilla x X, refleksiivisyys E) xey yex, symmetrisyys E3) xey ja yez xez. transitiivisuus Esimerkki 4.7. Olkoon X := {,, 3}. Tällöin on ekvivalenssirelaatio. E := {(, ), (, 3), (, ), (3, ), (3, 3)} y 3 3 x Esimerkki Olkoon X := kaikkien ihmisten joukko. Määritellään relaatio E X X asettamalla xey Henkilöillä x ja y on sama etunimi. Tällöin E on ekvivalenssirelaatio, mikäli kultakin henkilöltä käytetään vain yhtä kutsumanimeä. Esimerkki Määritellään R Z Z asettamalla Onko R ekvivalenssirelaatio? xry x + y on parillinen..

56 4 RELAATIOT 56 Ratkaisu. Tarkastetaan ekvivalenssin määritelmän kohdat: E) xrx kaikilla x Z, sillä x + x = x on parillinen. E) Olkoon xry. Silloin x + y = y + x on parillinen ja siten yrx. E3) Olkoot xry ja yrz. Silloin x+y ja y+z ovat parillisia, siis muotoa x+y = m ja y + z = n joillakin m, n Z. Koska x + z = (x+y) + (y+z) y = m + n y = (m + n y), missä m+n y Z, on x+z parillinen ja siten xrz. Kohtien E-3) nojalla R on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa X. Onko totta, että jos otetaan osajoukko A X ja rajoitetaan E tähän, niin saadaan ekvivalenssi joukossa A? Ekvivalenssirelaatiolla on luokitteleva ominaisuus, se antaa keinon niputtaa joukon alkiot relaation ominaisuuden perusteella karsinoihin. Määritelmä Olkoon E joukossa X määritelty ekvivalenssirelaatio ja a X. Joukko E(a) := { x X aex } on alkion a määräämä ekvivalenssiluokka (equivalence class). Joukko E(a) sisältää siis kaikki ne joukon X alkiot, joiden kanssa a on relaatiossa E. Relaation symmetrisyyden nojalla myös E(a) = { x X xea } Esimerkki Olkoot X := {,, 3} ja E := {(, ), (, 3), (, ), (3, ), (3, 3)}. Tällöin E() = {, 3} E() = {} E(3) = {, 3} = E(). Esimerkki Olkoon E Z Z Esimerkin ekvivalenssirelaatio: Tällöin xey x + y on parillinen. E(0) = {0, ±, ±4,...} = E() = E(4) =..., E() = {±, ±3, ±5,...} = E(3) = E(5) =...

57 4 RELAATIOT 57 Huomautus Olkoon E X X ekvivalenssirelaatio. Tällöin jokainen a X on relaatiossa itsensä kanssa, ts. aea. Siten a E(a). Jokainen alkio kuuluu siis johonkin ekvivalenssiluokkaan, ainakin itsensä määräämään. Ekvivalenssiluokkien yleiset ominaisuudet voidaan koota lauseeksi: Lause Jos E X X on ekvivalenssirelaatio, niin a) a E(a) kaikilla a X, b) aeb E(a) = E(b), c) a E b E(a) E(b) =, d) X = a X E(a). Todistus. Kohta a) on selvä. Kohta b): Oletetaan, että aeb, ja osoitetaan kahdessa osassa, että E(a) = E(b). ) Olkoon x E(a). Tällöin aex ja symmetrisyyden nojalla myös xea. Koska oli aeb, on transitiivisuuden nojalla xeb, samoin bex, eli x E(b). Siis E(a) E(b). ) Symmetrisyyden nojalla bea. Vaihtamalla edeltävässä päättelyssä alkioiden a ja b roolit, nähdään, että E(b) E(a). Kohdista ) ja ) seuraa E(a) = E(b). Oletetaan, että E(a) = E(b). Osoitetaan, että aeb: Koska a E(a) ja E(a) = E(b), on a E(b). Mutta silloinhan aeb. c) Osoitetaan suoraan, että jos E(a) E(b) =, niin a E b. Olkoon siis E(a) E(b) =. Koska aea, on a E(a), joten a / E(b). Mutta silloin a E b. Osoitetaan epäsuorasti, että jos a E b, niin E(a) E(b) = ; ts. jos E(a) E(b), niin aeb. Antiteesi: E(a) E(b). Siis on olemassa x E(a) ja x E(b). Koska x E(a), on aex. Vastaavasti myös bex ja symmetrisyyden nojalla xeb. Koska aex ja xeb, on transitiivisuuden nojalla aeb. Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis antiteesi ei voi olla totta ja väite on tosi. Kohta d) jää helpoksi harjoitustehtäväksi.

58 4 RELAATIOT 58 Ekvivalenssi ja ositus. Olkoon annettu ekvivalenssirelaatio E X X. Koska E on refleksiivinen, on jokainen alkio x X relaatiossa E ainakin itsensä kanssa. Jokainen alkio on siis jossakin ekvivalenssiluokassa. Toisaalta mikään alkio ei voi kuulua Lauseen nojalla useampaan kuin yhteen ekvivalenssiluokkaan. Täten ekvivalenssirelaatio jakaa perusjoukon X pistevieraisiin osiin, ts. määrää seuraavan määritelmän mukaisen osituksen. Määritelmä 4.7. Perhe A = { X i X i I } on joukon X ositus (partition), jos a) jokainen X i on epätyhjä, b) i I X i = X, c) X i X j on tyhjä aina, kun i j. Lause 4.7. a) Ekvivalenssirelaation E X X määräämät ekvivalenssiluokat { E(x) x X } muodostavat joukon X osituksen. b) Jos A = { X i i I } on joukon X ositus, on olemassa täsmälleen yksi ekvivalenssirelaatio E X X, joka muodostaa osituksen A, nimittäin E := { (x, y) X X x, y X i jollekin i }. Todistus. Kohta a) on todettu edellä. b) Selvästi E on relaatio joukossa X. Osoitetaan, että E on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. ) Olkoon x X mielivaltainen. Koska A on ositus, on olemassa indeksi i I, jolle x X i. Mutta silloin (x, x) E eli xex. Täten E on refleksiivinen. ) Olkoot xey. Silloin x ja y ovat samassa joukossa X j, joten myös yex, mikä osoittaa symmetrisyyden. 3) Olkoot xey ja yez. On olemassa i, i I, joille x, y X i ja y, z X i. Koska y kuuluu molempiin ja A on ositus, on X i = X i. Siis x, z X i eli xez. Relaatio E on siis myös transitiivinen. Tuli siis osoitetuksi, että E on ekvivalenssi. Jos lopuksi F X X on jokin ekvivalenssi, joka määrää osituksen A, on xf y x, y X i xey, eli F = E. Huomautus Lause 4.7. osoittaa, että ekvivalenssirelaatio voidaan ilmaista antamalla suoraan siihen liittyvä ositus. Tehtävä Olkoon X := {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sekä A := {,, 3, 5, 7}, B := {0, 4, 6, 9} ja C := {8}. Keksi ekvivalenssirelaatio, joka määrää joukolle X osituksen {A, B, C}.

59 4 RELAATIOT Järjestysrelaatio Määritelmä 4.8. Joukossa X määritelty relaatio J X X on osittainen järjestys (partial order), jos J) xjx kaikilla x X, refleksiivisyys J) xjy ja yjx x = y, antisymmetrisyys J3) xjy ja yjz xjz. transitiivisuus Esimerkki 4.8. Olkoot X := {,, 3, 4} ja R := {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 4), (3, 3), (4, 4)} (ks. Kuva 6). Relaatio R on osittainen järjestys joukossa X, sillä J) xrx sillä (, ), (, ), (3, 3), (4, 4) R, J) Jos xry ja x y, niin y R x, tarkasta! J3) Jos xry ja yrz niin xrz, tarkasta kaikki tilanteet! y x Kuva 6: Esimerkin 4.8. järjestys taso- ja nuolikuviona ja Hassen kaaviona Nuolikaavioiden ohella järjestyksiä voidaan kuvata pelkistetyillä Hassen kaavioilla (saksalainen Helmut Hasse, ), joissa relaatiossaolo kuvataan vaikkapa ylöspäin olevalla nuolella tai janalla. Kuviosta jätetään luupit ja oikaisunuolet pois, kun sitä sovitaan luettavan transitiivisesti. Kuviossa 6 relaatio R4 näkyy välittävän alkion avulla. Hassen kaaviota saa käyttää vain ja ainoastaan järjestysrelaatioiden kuvaamiseen, koska niissä implisiittisesti oletetaan olevan kaikki luupit ja transitiivisuuden vaatimat oikaisunuolet!

60 4 RELAATIOT 60 Esimerkki Relaatio on osittainen järjestys reaalilukujen joukossa R. J) x x kaikilla x R. J) x y ja y x y = x. J3) x y ja y z x z. Tämä on nk. luonnollinen järjestys (natural order) reaalilukujen joukossa R. Esimerkki Osajoukkorelaatio on osittainen järjestys joukon X potenssijoukossa P(X) siis kaikkien joukon X osajoukkojen joukossa. Olkoon esimerkiksi X := {, }. Tällöin P(X) = {, {}, {}, X}, ja J), {} {}, {} {} ja X X; vastaava pätee yleisestikin. J) Kun otamme mitkä tahansa kaksi joukon X osajoukkoa A ja B, joille A B ja B A, niin tiedämmekin jo, että A = B. J3) Olla osajoukko myös siirtyy: Jos A B ja B C, on myös A C. Tehtävä Piirrä Esimerkkien ja tilanteet Hassen kaavioina. Määritelmä Joukon X osittainen järjestys R on täydellinen järjestys tai totaali järjestys (total order), jos se on osittainen järjestys ja täysi, ts. J4) Kaikilla x, y X on voimassa xry tai yrx. Täydellistä järjestystä sanotaan myös lineaariseksi järjestykseksi (linear order) tai lyhyesti järjestykseksi (order). Esimerkki Olkoot X := {,, 3} ja R := {(, ), (, ), (, 3), (, ), (3, 3)}. Tällöin R ei ole täydellinen järjestys, sillä ei ole voimassa R3 eikä 3R. Relaatiosta R saadaan täydellinen järjestys lisäämällä joko alkio (, 3) tai alkio (3, ). Esimerkki Reaalilukujen joukon R luonnollinen järjestys on täydellinen järjestys. Esimerkki Määritellään luonnollisten lukujen joukossa N relaatio : x y x on luvun y tekijä.

61 4 RELAATIOT 6 Tämä luetaan myös näin: x jakaa luvun y. Onko relaatio a) osittainen järjestys? b) täydellinen järjestys? Ratkaisu: a) Kokonaisluku x on luvun y tekijä, jos y on jaollinen sillä, eli jos y = kx jollakin k N. J) x x kaikilla x N, sillä x = x. J) Oletetaan, että x y ja y x joillakin x, y N. Seuraava lasku näyttää tämän kohdan todeksi (lisää tarkat perustelut): x y ja y x y = k x ja x = k y joillakin k, k N x = k k x, k k N k k = k = k = x = y. J3) Oletetaan, että x y ja y z joillakin x, y, z N. Silloin: x y ja y z y = k x ja z = k y joillakin k, k N Siis on osittainen järjestys. z = k k x, k k N x z. b) J4) ei päde, sillä esimerkiksi 3 ja 3. Siis ei ole täydellinen järjestys. Huomautus Reaalilukujen R järjestykseen liittyy aito järjestys x < y (x y ja x y). Vastaavasti jokaiseen osittaiseen ja täydelliseen järjestykseen R liittyy aito järjestys (proper order) S, jolle xsy xry ja x y. Määritelmä 4.8. Sanomme, että pari (E, ) on osittain järjestetty joukko (partially ordered set), jos on osittainen järjestys joukossa E. Vastaavasti pari (E, ) on totaalisti järjestetty joukko tai täysin järjestetty joukko (totally ordered set), jos on täydellinen järjestys joukossa E. Tarkastellaan lopuksi osittain järjestetyn joukon äärimmäisiä alkioita. Tätä varten on syytä todeta, että osittainen järjestys periytyy osajoukkoihin: Jos (E, ) on osittain järjestetty joukko ja F E, niin rajoittuma (F, ) on myös osittain järjestetty joukko (koeta perustella!). Pitääkö vastaava asia paikkansa myös totaalisti järjestetyn joukon osajoukoille?

62 4 RELAATIOT 6 Määritelmä 4.8. Olkoon (E, ) osittain järjestetty joukko ja F E. Alkio a E on minimaalinen, jos x = a aina, kun x a. Alkio a E on maksimaalinen, jos x = a aina, kun a x. Alkio a E on äärimmäinen, jos a on minimaalinen tai maksimaalinen. Alkio a E on joukon E pienin alkio, jos a x kaikilla x E. Alkio a E on joukon E suurin alkio, jos x a kaikilla x E. Alkio a E on joukon F alaraja, jos a x kaikilla x F. Alkio a E on joukon F yläraja, jos x a kaikilla x F. Alkio a E on joukon F suurin alaraja eli infimum, jos se on joukon F alarajojen joukon suurin alkio. Alkio a E on joukon F pienin yläraja eli supremum, jos se on joukon F ylärajojen joukon pienin alkio. Joukko F on alhaalta (vast. ylhäältä) rajoitettu, jos sillä on alaraja (vast. yläraja) joukossa E. Joukko F on rajoitettu, jos se on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu. Esimerkki Esimerkin relaatio x y x on luvun y tekijä rajoitettuna joukkoon E := {,, 3, 4, 5, 6} on esitetty Kuvassa 7 nuolikaaviona ja Hassen kaaviona, josta on helppo tarkastaa osittaisen järjestyksen vaatimukset Kuva 7: Jaollisuusesimerkin kaaviot Tällä osittain järjestetyllä joukolla (E, ) on ominaisuudet: äärimmäisiä alkioita ovat, 4, 5 ja 6, joista on minimaalinen ja pienin alkio. suurinta alkiota ei ole, mutta 4, 5 ja 6 ovat maksimaalisia. luku 6 on joukon {,, 3, 6} yläraja ja supremum. joukolla {,, 3, 5, 6} ei ole ylärajaa.

63 4 RELAATIOT 63 Lause Olkoon (E, ) osittain järjestetty joukko. a) Joukossa E on korkeintaan yksi pienin ja yksi suurin alkio. b) Osajoukolla F E on korkeintaan yksi infimum ja supremum. c) Joukossa E on pienin alkio jos ja vain jos E on alhaalta rajoitettu. Vastaava pätee suurimmalle alkiolle. Todistus. Kohdat a) ja b) ovat harjoitustehtäviä (vihje: antisymmetrisyys). Kohta c) on ilmeinen. Merkintöjä. Joukon E pienintä alkiota merkitään min E ja suurinta max E. Luonnollisesti voidaan puhua myös osajoukon F E pienimmästä ja suurimmasta alkiosta, kun paria (F, ) tarkastellaan järjestettynä joukkona. Joukon F E suurinta alarajaa merkitään inf F, pienintä ylärajaa sup F (vrt. Analyysit). Tehtävä Piirrä Hassen kaavio Esimerkissä määritellystä jaollisuusrelaatiosta joukossa E := {,, 3,..., 0} ja määritä sup{, 4} sekä inf{4, 6, 0}. Zornin lemma ja hyvin järjestäminen Luvussa.8 mainitussa ZF-aksiomatiikassa valinta-aksiooman (C) kanssa yhtäpitäviä ovat seuraavat järjestystä koskevat aksioomat: Zornin lemma (saksalais-amerikkalainen Max August Zorn, ). Olkoon (E, ) epätyhjä osittain järjestetty joukko. Jos sen jokaisella totaalisti järjestetyllä osajoukolla on yläraja, niin joukossa E on ainakin yksi maksimaalinen alkio. Täysin järjestetty joukko (E, ) on hyvin järjestetty, jos sen jokaisessa epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Tämä tarkoittaa mm. sitä, että jokaisella alkiolla pitää olla välitön seuraaja, muttei välttämättä välitöntä edeltäjää. Pari (N, ) on hyvin järjestetty, mutta (Z, ) ei ole, kun on tavallinen suuruusjärjestys. Kuitenkin kokonaisluvut (ja jopa rationaaliluvut, ks. Luku.7) voidaan järjestää hyvin, esimerkiksi seuraavasti: 0,,,,, 3, 3, 4, 4,... Hyvinjärjestämisaksiooma. Jokainen joukko on hyvinjärjestettävissä. Lystikästähän tässä on se, ettei kukaan ole keksinyt miten edes reaaliluvut pistetään hyvään järjestykseen!

64 5 Funktiot Funktiot ovat erikoistapauksia relaatioista, joita käsiteltiin Luvussa 4. Luvussa 4.5 funktio eli kuvaus f : X Y määriteltiin relaationa f X Y, jolle jokaista x X vastaa täsmälleen yksi sellainen y Y, että (x, y) f. Joukko X on funktion f lähtöjoukko, Y maalijoukko ja f(x) arvojoukko. Relaation lähtöjoukko voi olla määrittelyjoukkoa laajempi, mutta funktiolla nämä yhtyvät; määrittelyjoukko = lähtöjoukko. Tämä seuraa funktion määritelmästä. Alkio x X on muuttuja ja vastaava f(x) := y Y on kuva. Funktion tapauksessa kuvajoukossa f(x) on nimittäin tasan yksi alkio, jolloin se voidaan samaistaa alkion itsensä kanssa. Usein funktiota tarkastellaan myös varsinaisen määrittelyjoukon osajoukoissa. Sanonta funktiolla f : X Y on se-ja-se ominaisuus joukossa A X voitaisiin korvata tarkastelemalla funktion f rajoittumaa (restriction) joukkoon A, siis funktiota f A : A Y, jolle (f A)(x) := f(x) kaikilla x A. Silloin sanottaisiin: Funktion f : X Y rajoittumalla joukkoon A on se-ja-se ominaisuus. 5. Injektio ja surjektio Määritelmä 5.. Tarkastellaan funktiota f : X Y. a) Funktio f on injektio (injection, one-to-one), jos kaikilla x, x X pätee: f(x ) = f(x ) x = x. b) Funktio f on surjektio (surjection, onto), jos jokaista y Y vastaa x X siten, että f(x) = y. c) Funktio f on bijektio (bijection), jos se on sekä injektio että surjektio. Huomautus 5.. Relaatio f : X Y on bijektio, jos jokaista x X vastaa täsmälleen yksi y Y siten, että (x, y) f ja jos jokaista y Y vastaa täsmälleen yksi sellainen x X, että (x, y) f. Funktio f : X Y on injektio, jos ja vain jos x x f(x ) f(x ), ts. eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, eli mitkään kaksi alkiota eivät kuvaudu samalle alkiolle.

65 5 FUNKTIOT 65 Surjektiivisuus tarkoittaa sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on ainakin yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Injektiivisyys puolestaan tarkoittaa sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on korkeintaan yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Bijektiivisyys tarkoittaa siis sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on täsmälleen yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Koska implikaatio x = y f(x) = f(y) pätee kaikille kuvauksille, f on injektio täsmälleen silloin kun ekvivalenssi x = y f(x) = f(y) pätee kaikille x, y X. Kuvan 8 kaaviot kuvastavat erilaisia tilanteita relaatioista ja funktioista. on funktio ei ole injektio ei ole surjektio on funktio on injektio on surjektio => on bijektio on funktio ei ole injektio on surjektio ei ole funktio ei ole funktio Kuva 8: Kaikki relaatiot eivät ole funktioita Esimerkki 5..3 Olkoon f : R R, f(x) := kaikilla x R (vakiokuvaus). Funktio f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f(0) = = f(). Kuvaus f ei ole myöskään surjektio R R, sillä on ainoa maalijoukon alkio, jolla on alkukuvia. Kaikki reaaliluvut ovat luvun alkukuvia; f (R) = f ({}) = f () = R.

66 5 FUNKTIOT 66 4 y 3 y=f(x) 0 0 x Kuva 9: Funktion f : R R, f(x) := x, kuvaaja Esimerkki 5..4 Olkoon f : R R, f(x) := x (Kuva 9). a) Funktio f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f( ) = f() =. Edelleen f ei ole surjektio, sillä esimerkiksi ei ole olemassa alkiota x R, jolle f(x) =. b) Kuvaus f on injektio joukossa A := [0, [, ts. f A on injektio. Jos nimittäin x, y A, x y, niin joko x < y tai y < x. Ensimmäisessä tapauksessa f(x) = x < y = f(y) ja jälkimmäisessä tapauksessa f(y) = y < x = f(x). Joka tapauksessa f(x) = x y = f(y). Esimerkki 5..5 Todistetaan funktio f : R R, f(x) := x + 3, bijektioksi: Ensiksikin, kyseessä todella on funktio. Oletetaan, että luvuilla x, y R on sama kuva f(x) = f(y). Siis f(x) = x + 3 = y + 3 = f(y). Tästä saadaan x = y ja edelleen x = y. Siis f on injektio. Surjektiivisuuden todistamiseksi olkoon y R (maalijoukosta). Asetetaan f(x) = x + 3 = y ja ratkaistaan x y:n funktiona. Koska x + 3 = y x = y 3 x = (y 3) ja tämä x on lähtöjoukossa R, on se luvun y R alkukuva. Siis f on myös surjektio, ja kaikenkaikkiaan bijektio.

67 5 FUNKTIOT 67 Esimerkki 5..6 Kuvaus f : N R, f(n) := n, on injektio. Yleisestikin jokainen aidosti kasvava tai aidosti vähenevä jono määrittelee injektion N R. 5. Yhdistetty funktio Jo Luvussa 4.4 on yhdistetty relaatioita, mutta tarkastellaan vielä erikseen funktioiden yhdistämistä. Määritelmä 5.. Olkoot f : X Y ja g : Y Z funktioita. Tällöin funktio g f : X Z, (g f)(x) := g (f(x)) on funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdistetty kuvaus (composite function). Funktio f on sisäfunktio (inner function) ja funktio g on ulkofunktio (outer function). Perustavanlaatuiset kysymykset: Onko yllä määritelty yhdistetty funktio myös todella funktio? Entä onko äskeinen määritelmä sopusoinnussa relaatioiden yhdistämisen kanssa? Kuvan 0 kaavio havainnollistaa yhdistämisprosessin osapuolia. Sen pitäisi mm. funktion määritelmässä vaadittujen kuvien olemassaolon ja yksikäsitteisyyden perusteella vahvistaa myönteinen vastaus edellisiin kysymyksiin. f g x f(x) g(f(x)) X Y Z g o f Kuva 0: Yhdistetty funktio

68 5 FUNKTIOT 68 Esimerkki 5.. Yhdistetään molemmin päin funktiot f : R R, f(x) := 3x, g : R R, g(x) := x. Koska molempien lähtöjoukko sisältää toisen arvojoukon, ovat yhdistetyt funktiot määriteltyjä ja (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x ) = (3x ) = 9x 6x + = 9x 6x (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = 3(x ) = 3x 6 = 3x 7. Esimerkki 5..3 Funktioita joukosta samaan joukkoon voidaan yhdistellä mielin määrin, myös puolin ja toisin, kuten kuvassa. X f X g X f X X g o f X X f o g X Kuva : Yhdistetyt funktiot f g ja g f. Huomautus 5..4 a) Funktioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio, siis yleensä g f f g, ks. Esimerkit 5.. ja 5..3.

69 5 FUNKTIOT 69 b) Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen operaatio (ks. Kuva ): Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z V ovat funktioita, niin h (g f) = (h g) f. Tämähän on vain erikoistapaus relaatioiden yhdistämisen liitännäisyydestä (ks. Lause 4.4.3). f g h x g(f(x)) h(g(f(x))) f(x) X Y Z V g o f h o g Kuva : Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen operaatio Lause 5..5 a) Jos f ja g ovat injektioita, niin g f on injektio. b) Jos f ja g ovat surjektioita, niin g f on surjektio. Todistus. a) Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat injektioita. Olkoon joillakin x, x X (g f)(x ) = (g f)(x ) eli g(f(x )) = g(f(x )). Koska g on injektio, on f(x ) = f(x ). Koska f on injektio, seuraa x = x. Siis joten g f on injektio. (g f)(x ) = (g f)(x ) x = x, b) Olkoot f : X Y ja g : Y Z surjektioita. Olkoon z Z. Koska g on surjektio, on olemassa y Y siten, että g(y) = z. Koska f on surjektio, on olemassa x X, jolle f(x) = y. Siis (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z. Alkiota z Z vastaa (ainakin yksi) x X, jolle (g f)(x) = z. Funktio g f on siis surjektio. Edellisen lauseen nojalla on siis: Lause 5..6 Kahden bijektion yhdistetty funktio on bijektio.

70 5 FUNKTIOT Käänteisfunktio Relaation R X Y käänteisrelaatio R = { (y, x) (x, y) R } on aina olemassa (Luku 4.4). Jos relaatio on funktio, niin käänteisrelaatio on tietysti olemassa, mutta tämä käänteisrelaatio ei välttämättä ole funktio. Määritelmä 5.3. Jos funktion f : X Y käänteisrelaatio on funktio, sitä kutsutaan funktion f käänteisfunktioksi eli käänteiskuvaukseksi (inverse function) ja merkitään f : Y X. Lause 5.3. Funktion f : X Y käänteisrelaatio f : Y X on funktio, jos ja vain jos f on bijektio. Todistus. Oletetaan, että f on bijektio (ja siis funktio). Osoitetaan, että käänteisrelaatio f on funktio (ks. Määritelmä 4.5.): Ensinnäkin, f Y X on relaatio. F) Olkoon y Y mielivaltainen. Koska f on surjektio, on olemassa x X siten, että y = f(x) eli (x, y) f. Siis jokaista y Y vastaa x X, joille (y, x) f. F) Oletetaan, että (y, x ) f ja (y, x ) f. Tällöin (x, y) f ja (x, y) f eli f(x ) = y ja f(x ) = y. Koska f on injektio ja f(x ) = f(x ), on oltava x = x. Kohtien F) ja F) nojalla f on funktio. Oletetaan, että f on funktio. Osoitetaan, että f on bijektio. a) Injektio: Olkoon f(x ) = f(x ) =: y. Tällöin (y, x ) f ja (y, x ) f. Koska f on funktio, on x = x, ja siten f on injektio. b) Surjektio: Olkoon y Y. Koska f on funktio, on olemassa x X, jolle (y, x) f. Mutta silloin (x, y) f eli f(x) = y. Siis f on surjektio. Kohtien a) ja b) nojalla f on bijektio. Huomautus Bijektion käänteisfunktio on aina bijektio: Olkoon f funktion f käänteisfunktio. Tällöin f on bijektio, koska sillä on käänteisfunktio (f ) = f. Huomautus Funktiolla f : X Y on siis käänteisfunktio, jos ja vain jos yhtälöllä y = f(x) on yksikäsitteinen ratkaisu x X kaikilla y Y, ja tällöin x = f (y).

71 5 FUNKTIOT 7 Esimerkki Määritä funktion f : R R, käänteisfunktio. f(x) := x 3, Ratkaisu. Olkoon y R (maalijoukosta). Tällöin y = f(x) = x 3 x 3 = + y x = 3 + y. Koska ratkaisu on yksikäsitteinen, on f on olemassa ja f (y) = 3 + y. Vaihtamalla muuttujaksi x saadaan käänteisfunktio f : R R, f (x) = 3 + x. Määritelmä Funktio Id : X X, Id(x) := x (siis yksikkörelaatio) on identtinen kuvaus (identity map). Huomautus a) Id X on aina bijektio ja (Id X ) = Id X. b) Jos f : X Y ja g : Y X ovat funktioita, niin f Id X = f ja Id X g = g. Lause Olkoon f : X Y bijektio. Tällöin (ks. Kuva 3) f f = Id X ja f f = Id Y. Id X x X f f - y = f(x) y' Y f - f x x' X f f - Y y' Id Y Kuva 3: Yhdistämällä f ja f saadaan identtisiä kuvauksia Todistus. Olkoon x X ja y := f(x) Y. Käänteisfunktion määritelmän mukaan f(x) = y jos ja vain jos x = f (y). Siten (f f)(x) = f (f(x)) = f (y) = x kaikilla x X eli f f = Id X. Vastaavasti f f = Id Y.

72 5 FUNKTIOT 7 Lause Olkoot f : X Y ja g : Y Z bijektioita. Tällöin (g f) = f g. Yleisemmin: Jos funktiot f i ovat bijektioita, niin (f f... f n ) = f n f f. Todistus. Tulos on yleinen relaatioita koskeva tulos (Lause 4.4.), yleistys voidaan todistaa induktiolla. 5.4 Osajoukkojen kuvautuminen Palautetaan mieleen kuvajoukot ja alkukuvajoukot Luvusta 4.3. Jos relaatio f on funktio, kullakin alkiolla on yksi ja vain yksi kuva-alkio. Tämän ansiosta kuva- ja alkukuvajoukot voidaan esittää yksinkertaisessa muodossa: Lause 5.4. Olkoon f : X Y funktio. a) Osajoukon A X kuvajoukko on b) Joukon B Y alkukuvajoukko on f(a) = { f(x) Y x A }. f (B) = { x X f(x) B }. Huomautus 5.4. a) Käytännössä on usein hyötyä ominaisuuksista y f(a) x A s.e. y = f(x) x f (B) f(x) B. b) Funktio f : X Y on surjektio jos ja vain jos f(x) = Y. Esimerkki Olkoon f : R R, f(x) := x. Tällöin M f = R A f = [0, [ f(z) = {0,, 4, 9, 6,...} f (Z) = {0, ±, ±, ± 3, ±,...} f([, ]) = [, 4] f ([, 4]) = [, ] [, ].

73 5 FUNKTIOT 73 Esimerkki Olkoon X := {,, 3, 4}, Y := {,, 3, 4, 5} ja f : X Y sellainen, että (ks. myös Kuva 4) f() = 4 f() = 4 f(3) = f(4) = 5. Tällöin M f = X = {,, 3, 4} ja A f = {, 4, 5}, ja esimerkiksi f({, 3}) = {, 4} f({, }) = {4} f ({, 3}) = f ({,, 4}) = {,, 3}. X 3 4 f Y Kuva 4: Esimerkin funktio Lause Olkoon f : X Y funktio. Olkoot A, A X sekä B, B Y. Tällöin a) f(a A ) = f(a ) f(a ), b) f(a A ) f(a ) f(a ), c) f(a \ A ) f(a ) \ f(a ), d) f (B B ) = f (B ) f (B ), e) f (B B ) = f (B ) f (B ), f) f (B \ B ) = f (B ) \ f (B ), g) f ( f(a ) ) A, h) f ( f (B ) ) B.

74 5 FUNKTIOT 74 Todistus. a) On osoitettava, että kaikilla y Y on voimassa y f(a A ) y f(a ) f(a ). Funktion määritelmän ja yhdisteen määritelmän mukaan y f(a A ) x A A : y = f(x) ( x A : y = f(x)) tai ( x A : y = f(x)) y f(a ) tai y f(a ) y f(a ) f(a ). b) Osoitetaan, että kaikilla y Y: y f(a A ) y f(a ) f(a ). Funktion määritelmän mukaan (täydennä perustelut): y f(a A ) x A A : y = f(x) x A ja x A ja y = f(x) (x A ja y = f(x)) ja (x A ja y = f(x)) y f(a ) ja y f(a ) y f(a ) f(a ). e) Osoitettava: x X x f (B B ) x f (B ) f (B ). Käänteisrelaation määritelmän mukaan (täydennä perustelut): x f (B B ) f(x) B B f(x) B ja f(x) B x f (B ) ja x f (B ) x f (B ) f (B ). Muut kohdat jätetään harjoitustehtäviksi, samoin sen näyttäminen, että kohtien b), c), g) ja h) osajoukko-ominaisuudet todella voivat olla aitoja. Tehtävä Tutki yksityiskohtaisesti mitä Lauseen kohdan b) implikaatioista ei voida korvata ekvivalensseilla.

75 5 FUNKTIOT 75

76 6 Reaalifunktiot Tässä luvussa esitellään reaalifunktioiden esittämistä ja eräitä keskeisiä ominaisuuksia, joita niillä voi olla. 6. Reaalifunktio ja sen esittämistapoja Määritelmä 6.. Olkoon A R ja B R. Funktiota f : A B kutsutaan reaalifunktioksi (real function). Sopimus: Jos reaalifunktion f määrittelyjoukkoa A = M f ei ole mainittu, niin joukoksi M f otetaan laajin mahdollinen A R. Jatkossa käytämme funktiolle usein merkintää x lauseke, joka tarkoittaa funktion määräävää sääntöä; määrittelyjoukko tulee aina itse selvittää, mikäli sitä ei ole annettu. Esimerkki 6.. Reaalifunktion f, f(x) := x + x 4x, laajin mahdollinen määrittelyjoukko on M f = R \ {0, 4 }. Reaalifunktion g, g(x) := x x, laajin mahdollinen määrittelyjoukko on puolestaan M g = ], 0] [, [. Reaalifunktioiden esitysmuotoja Eksplisiittinen esitys: Suora kaava tai lauseke f(x) :=... Muuttujanvaihdolla tai yhdistettynä funktiona: f(u(x)) :=... Implisiittinen esitys: Yhtälön avulla, esimerkiksi F (x, y) = 0. Parametriesitys: relaation f A B alkiot (x, y) = (x, f(x)) annetaan erikseen jostain ulkoisesta muuttujasta riippuvina: (x, y) : { x = u(t) y = v(t) t T R. Reaalifunktion kuvaaja (graph) on tason R R osa- Graafinen esitys tasossa: joukko { (x, y) R x M f, y = f(x) } = { (x, f(x)) x M f }.

77 6 REAALIFUNKTIOT 77 Graafinen esitys kaaviolla: Diskreettejä funktioita (joilla määrittelyjoukko on äärellinen), voidaan esittää jo Luvussa 4 esillä olleilla Venn-diagrammityyppisillä kaavioilla tai vaikkapa kahden lukusuoran avulla, ks. Kuva x y = f(x) Kuva 5: Diskreetti reaalifunktio Graafinen esitys dynaamisella kuviolla: Kahden suoran välinen muuttuja-arvoliitäntä vaatii käyttäjän vuorovaikutusta, ks. linkki. Reaalifunktion dynaaminen esitys (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/FunktionDynEsitys.htm Esimerkki 6..3 Reaalifunktio f : R R, f(x) := x +, voidaan esittää 3 a) eksplisiittisesti antamalla suora määrittely lausekkeena: f(x) = 3 x +, b) yhdistettynä funktiona: f( 3 z) = z +, c) implisiittisesti arvoa y ja muuttujaa x sitovana yhtälönä: x 3y + 3 = 0, d) parametrimuodossa antamalla relaation f R R alkiot (x, y): { x = 3t t R, y = t + e) graafisena tasoesityksenä, kuten Kuvassa 6. y x Kuva 6: Reaalifunktion f, f(x) = x +, kuvaajaa 3

78 6 REAALIFUNKTIOT 78 Implisiittisen ja parametriesityksen kanssa on oltava tarkkana, sillä niistä syntyy salakavalasti riippuvuuksia, jotka eivät olekaan yhden muuttujan reaaliarvoisia funktioita. Tehtävä 6..4 Seuraavat ilmaukset esittävät yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota vain huolellisesti valituissa määrittelyjoukoissa, missä? a) x + y = b) { x = cos t y = sin t Esimerkki 6..5 Määritellään f(e x ) := x, x R. Funktio f tulee näin määritellyksi vain välillä R + = ]0, [. Helposti saadaan myös eksplisiittinen esitys: koska eksponenttifunktio on bijektio, saadaan sijoituksella e x = u eli x = ln u suora lauseke f(u) = (ln u) arvoilla u > 0. Funktio on siis f : R + R, f(x) = (ln x). Esimerkki 6..6 Määritellään f(x ) := x, x R. Silloin f( ) = ja f(( ) ) =. Kuitenkin molemmissa laskettiin f(), joten kyseessä ei olekaan funktio! Esimerkki 6..7 Monien funktioiden esittäminen graafisesti on hankalaa: a) Funktio f : R R, f(x) := on epäjatkuva kaikissa reaalipisteissä. b) Funktio g : R R, g(x) := { 0, x Q, x R \ Q { sin( x ), x 0 0, x = 0 on origon ulkopuolella siisti, mutta oskilloi sitä lähestyttäessä yhä kiivaammin välillä [0, ]. c) Funktio f : R R, h(x) := { x sin( x ), x 0 0, x = 0 on jatkuva, mutta sekin oskilloi kiihtyvästi origon lähellä. Tehtävä 6..8 Muotoile sääntö, joka sopii yhteen Kuvan 5 kanssa.

79 6 REAALIFUNKTIOT Reaalifunktiotyyppejä Monotonisuus Määritelmä 6.. Olkoon A R. Funktio f : A R on a) kasvava (increasing), jos kaikilla x, x A on voimassa x < x f(x ) f(x ). b) vähenevä (decreasing), jos kaikilla x, x A on voimassa x < x f(x ) f(x ). c) aidosti kasvava (strictly increasing), jos kaikilla x, x A on voimassa x < x f(x ) < f(x ). d) aidosti vähenevä (strictly decreasing), jos kaikilla x, x A on voimassa x < x f(x ) > f(x ). e) (aidosti) monotoninen ((strictly) monotonic, monotone), jos se on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä. Lause 6.. Aidosti monotoninen funktio on injektio. Todistus. Harjoitustehtävä. Lemma 6..3 Olkoon f : A R kuvaus. a) Jos f on aidosti kasvava, niin x < y jos ja vain jos f(x) < f(y), b) Jos f on aidosti vähenevä, niin x < y jos ja vain jos f(x) > f(y). Todistus. Todistetaan malliksi kohta a), kohta b) jätetään harjoitustehtäväksi. Implikaatio vasemmalta oikealle pätee määritelmän mukaan. Käänteisen implikaation todistamiseksi olkoon f(x) < f(y) ja olkoon vastoin väitettä x y. Tapauksessa x = y pätee f(x) = f(y) (ristiriita) ja tapauksessa x > y pätee aidon kasvavuuden nojalla f(x) > f(y) (ristiriita).

80 6 REAALIFUNKTIOT 80 Esimerkki 6..4 Olkoot f ja g sellaisia reaalifunktioita, että yhdistetty funktio g f on määritelty. Jos f on aidosti kasvava ja g aidosti vähenevä, on x < x f(x ) < f(x ) g(f(x )) > g(f(x )) (g f)(x ) > (g f)(x ). Yhdistetty funktio g f on siis aidosti vähenevä. Monotonisuutta voidaan käyttää mm. epäyhtälöiden ratkaisussa. Esimerkki 6..5 a) Identtinen kuvaus, ja yleisemmin muotoa x ax, missä vakio a > 0, olevat funktiot ovat aidosti kasvavia funktioita R R, sillä jopa x < x ax < ax. b) Funktio f : ]0, [ R, f(x) :=, on aidosti vähenevä ja x 0 < x < x x > x. Samoin funktio g : ], 0[ R, g(x) :=, on aidosti vähenevä ja x x < x < 0 x > x. Esimerkki 6..6 Olkoon f : R R aidosti vähenevä. Ratkaistaan epäyhtälö ( ) 5x 3 ( x ) f < f 4. Lemman 6..3 b) nojalla epäyhtälö pätee jos ja vain jos (5x 3)/4 > x/. Siis 5x 3 4 > x 5x 3 > x 4 3x > x > 3. Huomaa, että tarkasteltavan epäyhtälön kannalta funktion f lauseke on epäolennainen, eikä lauseketta sitäpaitsi edes tarvitse olla olemassa! Usein puhutaan funktion mootonisuudesta jossain lähtöjoukon osajoukossa, useimmiten jollain osavälillä. Määritelmässä 6.. taas puhuttiin monotonisuudesta koko lähtöjoukossa. Nämä sovitetaan yhteen määrittelemällä: Määritelmä 6..7 Reaalifunktio f on kasvava osajoukossa A M f, jos sen rajoittuma f A on kasvava. Reaalifunktio f on vähenevä osajoukossa B M f, jos sen rajoittuma f B on vähenevä. Muut monotonisuuslajit määritellään vastaavalla tavalla.

81 6 REAALIFUNKTIOT 8 Esimerkki 6..8 a) Muotoa x ax, missä vakio a > 0, olevat funktiot eivät ole kasvavia funktioita R R. Kuitenkin ne ovat aidosti väheneviä välillä ], 0] ja aidosti kasvavia välillä [0, [. b) Funktio f : R \ {0} R, f(x) :=, on aidosti vähenevä erikseen väleillä x ]0, [ ja ], 0[, mutta ei niiden yhdisteessä, joka on koko M f. Parillisuus ja jaksollisuus Määritelmä 6..9 a) Reaalifunktio f on parillinen (even), jos f( x) = f(x) kaikilla x M f. b) Reaalifunktio f on pariton (odd), jos f( x) = f(x) kaikilla x M f. Huomautus 6..0 a) Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. b) Yleensä funktio ei ole parillinen eikä pariton, nämä ominaisuudet ovat funktioiden joukossa harvinaisia. Esimerkki 6.. Parillisia funktioita ovat esimerkiksi Parittomia ovat taas x x, x x 4 ja x cos x. x x 3, x ja x sin x. x5 Määritelmä 6.. Koko reaalilukujen joukossa määritelty reaalifunktio f on jaksollinen (periodic), jos on olemassa a 0 siten, että f(x + a) = f(x) kaikilla x R. Tällöin a on funktion f jakso. Jos funktion aidosti positiivisten jaksojen joukossa on pienin luku, sitä sanotaan funktion perusjaksoksi. Huomautus 6..3 Jos funktion f jakso on a 0, niin jokainen monikerta ka 0, k Z, on myös jakso. Jokaisella jaksollisella funktiolla on siis aidosti positiivisiakin jaksoja. Esimerkki 6..4 Trigonometriset funktiot sin ja cos ovat jaksollisia perusjaksonaan π. Funktiosta tan saadaan jaksollinen perusjaksona π, kun sille määritellään pisteisiin π/ + nπ, n Z, vaikkapa arvo 0. Tehtävä 6..5 Onkohan jaksollisia funktioita, joilla ei ole perusjaksoa lainkaan?

82 6 REAALIFUNKTIOT 8 Rajoitettu funktio Määritelmä 6..6 Funktio f on alhaalta rajoitettu (lower bounded), jos on olemassa luku m < 0, jolle f(x) m kaikilla x M f. Funktio f on ylhäältä rajoitettu (upper bounded), jos on olemassa luku M > 0, jolle f(x) M kaikilla x M f. Funktio f on rajoitettu (bounded), jos on olemassa luku M > 0, jolle f(x) M kaikilla x M f. Funktio f on rajoitettu joukossa A M f, jos on olemassa luku M > 0, jolle f(x) M kaikilla x A. Voitaisiin sanoa myös: Funktio f on rajoitettu joukossa A M f, jos ja vain jos sen rajoittuma joukkoon A, f A : A R, on rajoitettu. Kuvan 7 funktio on rajoitettu, ainakin kuviossa näkyvällä välillä. y M -M x Kuva 7: Kuvan funktio on rajoitettu Tehtävä 6..7 Osoita, että funktio on rajoitettu jos ja vain jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu. Esimerkki 6..8 a) Vakiofunktiot x a ovat rajoitettuja koko joukossa R, mutta lineaarifunktiot x ax eivät, paitsi arvolla a = 0. b) Polynomit ovat rajoitettuja jokaisella äärellisellä välillä I R. c) Sinifunktio sin : R R on rajoitettu, sillä tunnetusti sin x kaikilla x R. Samoin kosini on rajoitettu, mutta tangenttifunktio on rajoitettu vain tietynlaisilla väleillä, millä esimerkiksi?

83 6 REAALIFUNKTIOT 83 Koveruus ja kuperuus - konveksi ja konkaavi funktio Derivoituvien reaalifunktioiden (kuvaajien) kuperuuksia tarkastellaan derivaatan monotonisuuksien tai toisen derivaatan merkin avulla. Alaspäin kuperuus määritellään usein niin, että funktion kuvaaja on tarkasteluvälillä jokaisen tangenttinsa yläpuolella. Tämä määritelmä on sinänsä kuvaava, mutta oikeastaan se on enemmänkin kuvaileva, epälaskennallinen. Koska on runsaasti ei-derivoituvia funktioita, joilla ei tangentteja ainakaan joka paikassa ole, on tarpeen ottaa käyttöön yleisempi määritelmä, joka on myös laskennallinen. Koska alaspäin kuperuus toisaalta tarkoittaa, että jokaisella välillä [x, y] I funktion kuvaaja tasossa on pisteitä (x, f(x)) ja (y, f(y)) yhdistävän janan alapuolella (ks. Kuva 8), asetetaan täsmälliseksi määritelmäksi tämän analyyttinen vastine. (x, f(x)) f((-t)x+ty) (-t)f(x)+tf(y) (y, f(y)) x (-t)x+ty t 0 I y Kuva 8: Konveksin reaalifunktion määritelmän havainnollistus Määritelmä 6..9 Olkoon I reaalilukuväli. Reaalifunktio f : I B on alaspäin kupera eli konveksi (convex), jos on voimassa f ( ( t)x + ty ) ( t)f(x) + tf(y) kaikilla x, y I, t [0, ]. Reaalifunktio g on ylöspäin kupera eli konkaavi (concave), jos g on alaspäin kupera. Joskus puhutaan myös koveruuksista, esimerkiksi alaspäin kupera tarkoittaa samaa kuin ylöspäin kovera. On ilmeistä, että konkaavius voitaisiin määritellä erikseenkin kääntämällä konveksiuden määritelmässä merkki merkiksi. Esimerkki 6..0 Vakiofunktio f, f(x) := a, on konveksi, mutta myös konkaavi. Sijoitus konveksiuden ja konkaaviuden määritelmiin antaa nimittäin yhtälön f ( ( t)x + ty ) = a = ( t)a + ta = ( t)f(x) + tf(y).

84 6 REAALIFUNKTIOT 84 Esimerkki 6.. Itseisarvo on alaspäin kupera, ts. funktio f = : R R, x x, on konveksi. Perustelu. Jos x 0 ja y 0, on myös ( t)x + ty 0 ja f ( ( t)x+ty ) = ( t)x+ty = ( t)x+ty = ( t) x +t y = ( t)f(x)+tf(y). Vastaavalla tavalla käsitellään tapaus x 0 ja y 0. Olkoon lopuksi x < 0 ja y > 0. Koska t ja t ovat ei-negatiivisia, on kolmioepäyhtälön ( a+b a + b ) nojalla f ( ( t)x + ty ) = ( t)x + ty ( t)x + ty = ( t) x + t y = ( t)f(x) + tf(y). Tehtävä 6.. a) Osoita, että lineaari-affiini funktio f, f(x) := ax + b, on konveksi ja konkaavi. b) Osoita, että itseisarvofunktio ei ole konkaavi (ts. x x ei konveksi). Esimerkki 6..3 Osoita, että perusparaabelin piirtävä neliöfunktio f, f(x) := x, on alaspäin kupera, siis konveksi. Ratkaisu. Sijoittamalla f(x) = x saadaan kaikilla x, y R ja t [0, ]: ( t)f(x) + tf(y) f ( ( t)x + ty ) = ( t)x + ty ( ( t)x + ty ) 0. Vasen puoli menee muotoon ( t)x + ty ( ( t)x + ty ) = tx t x txy + t xy + ty t y, josta yhdistelemällä tulomuotoon (tee se!) saadaan yhtäpitävä epäyhtälö tx t x txy + t xy + ty t y = t( t)(x y) 0. Mutta tämähän on tosi kaikilla x, y R ja t [0, ]! Lause 6..4 a) Konveksien funktioiden summa on konveksi. b) Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi. Todistus. a) Olkoot f ja g : I R konvekseja. On osoitettava, että summa f + g on konveksi. Oletuksen mukaan kaikilla x, y I, t [0, ] on (f + g) ( ( t)x + ty ) = f ( ( t)x + ty ) + g ( ( t)x + ty ) ( t)f(x) + tf(y) + ( t)g(x) + tg(y) = ( t)(f(x) + g(x)) + t(f(y) + g(y)) = ( t)(f + g)(x) + t(f + g)(y). b) Harjoitustehtävä. Voidaan osoittaa, että konveksi funktio on jatkuva. Esimerkki 6.. osoittaa, että konveksin funktion ei kuitenkaan tarvitse olla derivoituva.

85 6 REAALIFUNKTIOT Käänteiskuvaus Palautetaan mieliin funktioasioita Luvuista 4 ja 5. Olkoot A, B R epätyhjiä joukkoja ja f : A B bijektio. Tällöin jokaista maalijoukon alkiota y B vastaa yksikäsitteinen alkukuva lähtöjoukossa A (Huomautus 5..). Tälle alkukuvalle käytetään merkintää f (y). Sääntö y f (y) määrittelee kuvauksen B A, ja tätä kuvausta sanotaan kuvauksen f käänteiskuvaukseksi ja sille käytetään merkintää f. Esimerkki 6.3. Jos kuvaus f : A B on määritelty analyyttisellä lausekkeella, käänteiskuvauksen lauseke saadaan selville, mikäli yhtälöstä f(x) = y B saadaan x ratkaistua yksikäsitteisesti y:n avulla. Esimerkissä 5..5 todettiin, että kuvauksessa f : R R, f(x) = x + 3, luvun y R yksikäsitteinen alkukuva on (y 3). Siis käänteiskuvauksen f : R R antaa sääntö f (x) = (x 3). Tässä käänteiskuvauksen muuttujaa voitaisiin merkitä y:llä, mutta siihen ei ole erityistä tarvetta. Yleensä kuvauksen ja sen käänteiskuvauksen lausekkeissa käytetäänkin samaa muuttujamerkintää. Esimerkki 6.3. Olkoon f : R \ { } R kuvaus f(x) := x + x. Mikä on kuvajoukko f(r \ { })? Onko f injektio määrittelyjoukossaan? Tutkitaan mielivaltaisen luvun y R alkukuvia. Jos y R, niin olettaen x voidaan kirjoittaa f(x) = y x + x = y y + yx = x y = x( y). Jos lisäksi y, oikeanpuoleinen yhtälö on edelleen ekvivalentti yhtälön x = y y kanssa. Jokaisella y on siis yksikäsitteinen reaalinen alkukuva. Luvulla y x ei ole alkukuvaa, sillä jos olisi =, olisi + x = x, mikä on mahdotonta. +x Näin ollen f on bijektio joukosta R \ { } joukkoon R \ {}. Käänteiskuvaus f : R \ {} R \ { } saadaan yo. yhtälöstä ja f (x) = x x. y

86 6 REAALIFUNKTIOT 86 Huomautus Jos f : A B on bijektio, niin funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f kuvaaja ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen. Funktion f kuvaaja on nimittäin joukko { (x, f(x)) x A } ja käänteisfunktion f kuvaaja on joukko { (f(x), x) x A }. Toisaalta pisteet (x 0, f(x 0 )) ja (f(x 0 ), x 0 ) ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen kaikilla x 0 A. Tämän toteamiseksi huomaa, että () pisteiden (x 0, f(x 0 )) ja (f(x 0 ), x 0 ) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa suoraan y = x nähden, () pisteiden (x 0, f(x 0 )) ja (f(x 0 ), x 0 ) välisen janan keskipiste on suoralla y = x. Lemma Olkoon f : A B reaalifunktio. a) Jos f on aidosti kasvava, on käänteiskuvaus f : f(a) A aidosti kasvava. b) Jos f on aidosti vähenevä, on käänteiskuvaus f : f(a) A aidosti vähenevä. Todistus. Todistetaan kohta b), kohta a) jätetään harjoitustehtäväksi. Koska f on aidosti vähenevä, se on injektio (Lemma 6..). Näin ollen f : A f(a) on bijektio ja siis käänteiskuvaus f : f(a) A on olemassa. Olkoot x, y f(a). Tällöin on olemassa (injektiivisyyden nojalla yksikäsitteiset) luvut x, y A siten, että f(x) = x ja f(y) = y. Käänteiskuvauksen määritelmän mukaan f (x ) = x ja f (y ) = y. Lemman 6..3 b) nojalla x < y, jos ja vain jos f(x) > f(y). Siis f (x ) < f (y ) jos ja vain jos x > y. Erityisesti f : f(a) A on aidosti vähenevä.

87 6 REAALIFUNKTIOT Funktioiden yhdistäminen Olkoot A, B ja C R epätyhjiä osajoukkoja ja olkoot f : A B ja g : B C kuvauksia. Tällöin relaatioiden yhdistämissääntö saa yksinkertaisen muodon (g f)(x) = g(f(x)), x A, määrittelee yhdistetyn funktion g f : A C. Esimerkki 6.4. Olkoot f : R R, g : R R ja h : R R kuvaukset Tällöin esimerkiksi f(x) := x +, g(x) := x, ja h(x) := x. (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = x +, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = x + x +, (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(x + x + ) = x + x +. Näistä palautunee mieliin, että kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio eli yleensä f g g f. Samoin, kuten jo relaatioiden tapauksessa, yhdistettäessä useampia funktioita ei tarvita sulkuja määräämään laskujärjestystä, koska kuvausten yhdistäminen on liitännäinen operaatio; yleisesti pätee (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))), ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x)), eli h (g f) = (h g) f (ovat sama funktio). Huomautus 6.4. Olkoon f : A B bijektio. Tällöin tiedämme sen käänteiskuvauksen f olevan olemassa ja (f f )(x) = f(f (x)) = x kaikilla x B, (f f)(x) = f (f(x)) = x kaikilla x A, suoraan käänteiskuvauksen määritelmän mukaan. Esimerkki Esimerkin 6.3. kuvauksille f(x) = x + x ja f (x) = x x on ( ) x x x (f f x )(x) = f = x + ( x ) = x x+x = x, x, x x ( ) x x (f f)(x) = f +x = + x ( x ) = = x, x. +x x +x +x x +x

88 6 REAALIFUNKTIOT Reaalifunktioiden luokittelusta Reaalifunktioita voidaan luokitella monilla tavoin. Eräs tärkeä jakoperuste on niiden samoin kuin lukujen, ks. Luku.4 algebrallisuus, joka lähtee funktioiden muodostamistavoista.. Algebralliset funktiot Algebrallisia funktioita (algebraic function) ovat ne reaalifunktiot, joiden määrittelyjoukko on äärellisen monen välin yhdiste, ja jotka saadaan vakiofunktioista x c R ja identtisestä kuvauksesta x x suorittamalla äärellisen monta yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa ja kuvausten yhdistämistä. Algebrallisia ovat siis: a) rationaalifunktiot (rational function), joita ovat polynomit (polynomial) ja murtofunktiot (fractional functions). Polynomien yleinen muoto on x P (x): P (x) = a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0. Murtofunktiot ovat muotoa: x P (x), missä P ja Q ovat polynomeja. Q(x) b) juurifunktiot (root functions), jotka ovat muotoa x x n = n x jollakin n N. c) funktiot, jotka saadaan yhdistämällä kohtien a) ja b) funktioita. Algebrallisten funktioiden määrittelyjoukko voi olla koko R tai sen jokin osajoukko. Esimerkiksi rationaalifunktioilla voi olla nimittäjän nollakohdissa määrittelemättömyyspisteitä. Juurenottojen yhteydessä määrittelyjoukko voi käydä hyvinkin suppeaksi. Esimerkki 6.5. Algebrallisia ovat esimerkiksi funktiot x x/( x ) ja x x. Edellisen lähtöjoukoksi käy R\{, }, jälkimmäisen vain väli ], [. Tehtävä 6.5. Muodosta algebrallinen funktio, joka on määritelty jollain rajoitetulla välillä lukuunottamatta yhtä sen pistettä.

89 6 REAALIFUNKTIOT 89. Transkendenttiset funktiot Muut kuin algebralliset reaalifunktiot ovat transkendenttisia (transcendental). Ne jaetaan vielä kahteen kastiin: α) Transkendenttiset alkeisfunktiot, joita ovat - yleiset potenssifunktiot - eksponenttifunktiot - logaritmifunktiot - trigonometriset funktiot - syklometriset eli arkusfunktiot - hyperboliset funktiot - areafunktiot - edellisistä ja algebrallisista funktioista aritmeettisesti tai yhdistämällä saadut funktiot, jotka eivät sievene tai muuten redusoidu algebrallisiksi. β) Korkeammat transkendenttifunktiot, joita ei voida esittää nk. suljetussa muodossa, ks. alla. Algebrallisia funktioita ja transkendenttisiä alkeisfunktioita kutsutaan yhteisnimellä alkeisfunktiot (elementary functions). Funktio on esitetty suljetussa muodossa (closed form), jos se on saatu alkeisfunktioista suorittamalla äärellisen monta yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa, kuvausten yhdistämistä ja kuvauksen kääntämistä. Esimerkki Korkeampia transkendenttifunktioita saadaan aikaan mm. sarjojen ja integraalien avulla: Φ(x) = x e t / x dt, x π n, x sin t dt. x t Tehtävä Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiot x x +, x x +, x cos x, x x ex, x sin x, x sin x cos x? Tehtävä Olkoot f : R R +, f(x) := e x, ja g : R + R, g(x) := ln x 3 +. Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiot (siellä missä määriteltyjä) a) f, g, f + g, fg? b) g f? b) f g? n= Alkeisfunktioita käsitellään tarkemmin Luvuissa 7 ja 8. 0

90 7 Algebralliset alkeisfunktiot 7. Polynomit Polynomi on alkeisfunktioista yksinkertaisin, koska kuva-alkio saadaan lähtöpisteestä äärellisellä määrällä yhteen- ja kertolaskuoperaatioita. Polynomit ovat tärkeitä mm. siksi, että () sovellutuksissa ongelmien ratkaisut ovat usein polynomien nollakohtia, () polynomeilla voidaan approksimoida muita säännöllisiä funktiota. Määritelmä 7.. Polynomi on reaalifunktio P : R R, P (x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0, missä a 0, a..., a n R ovat vakioita, polynomin kertoimia (coefficients). Jos a n 0 ja a i = 0 kun i > n, niin luku deg P := n N 0 on polynomin P aste (degree). Nollapolynomi ˆ0 on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia, se on siis samalla nollafunktio. Sovitaan, että nollapolynomilla ei ole astetta. Huomautus 7.. a) Nollapolynomin asteeksi näkee joskus sovittavan deg ˆ0 := tai deg ˆ0 :=. b) Polynomi voidaan esittää sigma-merkintää käyttäen Esimerkki 7..3 Lauseke P (x) = määrittelee polynomin, jolle deg P = 5. n a k x k. k=0 P (x) = 7x 5 πx + Perustelemme aluksi, miksi yhtälöllä P (x) = 0 on korkeintaan deg P erisuurta reaalista ratkaisua. Tätä varten tarvitaan seuraava aputulos (vrt. kokonaislukujen jakoyhtälö Tehtävässä 3..9): Lemma 7..4 (polynomien jakoyhtälö) Olkoot P ja Q polynomeja ja olkoon deg Q > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt polynomit A ja R siten, että kaikilla x R pätee P (x) = A(x)Q(x) + R(x) ja deg R < deg Q.

91 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 9 Lemman 7..4 jakoyhtälössä polynomi P on jaettava ja polynomi Q on jakaja polynomi A on osamäärä ja polynomi R jakojäännös (denominator, nominator, quotient, remainder). Lemman 7..4 todistus sivuutetaan algebrallisena ja teknisenä, ks. esimerkiksi Myrberg: Algebra, s.. Määritelmä 7..5 Jos jakoyhtälössä jakojäännös R = ˆ0 (nollapolynomi), sanotaan, että polynomi P on jaollinen (divisible) polynomilla Q, ja Q on polynomin P tekijä (factor). Esimerkki 7..6 Käsin laskien A ja R löydetään jakokulman avulla. a) Olkoon P (x) := x 3 + x + x + ja Q(x) := x +. Jakamalla jakokulmassa x 3 + x + x + polynomilla x + saadaan tulokseksi x +. Siis x 3 + x + x + = (x + )(x + ) eli A(x) = x + ja R = ˆ0. b) Olkoon P (x) := x 3 + 3x x ja Q(x) := x +. Jakamalla jakokulmassa x 3 + 3x x polynomilla x + saadaan A(x) = x + x 3 ja jakojäännökseksi R(x) = 5. Tarkastamalla todetaan, että tulos on oikein, sillä A(x)Q(x) + R(x) = (x + x 3)(x + ) + 5 = x 3 + 3x x = P (x). Määritelmä 7..7 Reaaliluku x 0 on polynomin P nollakohta (zero, root), jos P (x 0 ) = 0. Lemma 7..8 Jos polynomilla P on nollakohta x 0, niin P on muotoa P (x) = (x x 0 )A(x), missä A on polynomi, jolle deg A = deg P. Todistus. Kun polynomi P jaetaan polynomilla Q, Q(x) = x x 0, saadaan jakoyhtälön nojalla esitys P (x) = (x x 0 )A(x) + R(x), x R, () missä deg R < deg Q =. Siis deg R = 0 tai R on nollapolynomi. Joka tapauksessa R on vakiopolynomi. Sijoittamalla x = x 0 esitykseen () saadaan 0 = P (x 0 ) = (x 0 x 0 )A(x 0 ) + R(x 0 ) = R(x 0 ).

92 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 9 Koska R on vakiopolynomi ja R(x 0 ) = 0, on R välttämättä nollapolynomi, ja ensimmäinen väite on todistettu. Polynomin A astetta koskeva väite todetaan helposti antiteesin kautta. Lemma 7..9 Jos P on polynomi P (x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0, jolle n = deg P N, ja jos x, x,..., x n ovat erillisiä polynomin P nollakohtia, niin P on muotoa P (x) = a n (x x )(x x ) (x x n ). Todistus. Soveltamalla toistuvasti Lemmaa 7..8 voidaan kirjoittaa P (x) = (x x )A (x) = (x x )(x x )A (x) = (x x ) (x x n )A n (x), missä deg A = n, deg A = n,..., deg A n = 0. Tällöin erityisesti A n (x) = a n. Lause 7..0 Jos P on polynomi ja deg P = n, niin polynomilla P on korkeintaan n kappaletta erillisiä nollakohtia. Todistus. Tehdään antiteesi: Erillisiä nollakohtia on m, missä m > n. Nyt Lemman 7..9 nojalla P on muotoa P (x) = a n (x x ) (x x m ), missä a n 0. Mutta tällöin välttämättä deg P m > n, mikä on ristiriita. Esimerkki 7.. Nollakohdat voivat olla moninkertaisia. Esimerkiksi x 3 3x + 3x = (x ) 3, jolloin sanotaan, että x = on kolminkertainen nollakohta. Tietenkään (reaalisia) nollakohtia ei tarvitse olla olemassa. Esimerkiksi polynomilla x x + ei ole reaalisia nollakohtia. Polynomifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/Polynomifunktiot.htm

93 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT Algebrallisista yhtälöistä Tarkastellaan yhtälöä P (x) = 0, () missä P on polynomi. Tätä sanotaan algebralliseksi yhtälöksi. Yhtälöllä () on Lauseen 7..0 nojalla korkeintaan deg P erillistä reaalista ratkaisua. Esimerkki 7.. Jos deg P =, niin () on muotoa ax + b = 0, missä a 0 ja b R. Tällä yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b a. Palautetaan mieleen myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaava. Lause 7.. (toisen asteen yhtälön ratkaisukaava) Olkoot a 0 ja b, c R. Tällöin yhtälön ax + bx + c = 0 (3) ratkaisut saadaan kaavasta Yhtälön (3) diskriminantti on luku D := b 4ac. x = b ± b 4ac. (4) a (i) Jos diskriminantti D > 0, on yhtälöllä (3) kaksi reaalista ratkaisua. (ii) Jos D = 0, on yhtälöllä (3) täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu. (iii) Jos D < 0, ei yhtälöllä (3) ole reaalisia ratkaisuja. Todistus. Sijoittamalla on helppo todeta, että yhtälön (4) lauseke todella on ratkaisu. Tämä myöskin todistaa kohdan (i) (Lause 7..0). Kohtia (ii) ja (iii) tarkastellaan jäljempänä. Esimerkki 7..3 a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan myös ratkaisu neljännen asteen yhtälölle, jossa esiintyy ainoastaan muuttujan x parillisia potensseja. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä x 4 + x + = 0. Merkitään x = y, jolloin yhtälö saa muodon y + y + = 0. Tämän ratkaisu on y = ± 9 4

94 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 94 eli y = ja y =. Alkuperäisen yhtälön ratkaisut saadaan yhtälöiden x = ja x = ratkaisuina. Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja, kun taas jälkimmäisellä yhtälöllä on ratkaisut x = ±. Nämä ovat samalla tarkasteltavan yhtälön ainoat reaaliset ratkaisut. b) Jos esimerkiksi kolmannen asteen yhtälön eräs ratkaisu tunnetaan, muut ratkaisut saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta Lemman 7..8 nojalla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä x 3 7 x = 0. Yhtälön eräs ratkaisu on x =, joten jakamalla jakokulmassa saadaan (Lemma 7..8) x 3 7 x = (x )(x + x + ) = 0. Siten alkuperäisen yhtälön muut ratkaisut saadaan yhtälön x + x + = 0 ratkaisuista. Nämä ovat x = ± 4 = ±. Kokonaislukukertoimisen polynomin tapauksessa saattaa olla apua seuraavasta aputuloksesta, jonka avulla voi kokeilemalla yrittää löytää mahdollisia rationaalijuuria. Menetelmä 7..4 Jos supistetussa muodossa oleva rationaaliluku r/s on kokonaislukukertoimisen yhtälön a n x n + a n x n + + a x + a 0 = 0, a n 0, juuri, niin r on luvun a 0 ja s luvun a n tekijä. Tehtävä 7..5 Ratkaise yhtälö 4x 3 + 8x x + 3 = 0. Opastus. Polynomiyhtälö on kokonaislukukertoiminen, joten Menetelmän 7..4 mukaan kannattaa kokeilla murtolukuja r/s, missä r = ±, ±3 ja s = ±, ±, ±4. Tehtävä 7..6 Johda Lauseessa 7.. esitetty toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaava. Syvennämme tarkastelua kunhan olemme tutustuneet lähemmin kompleksilukuihin, ks. Luku.9.

95 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT Rationaalifunktiot Rationaalifunktiot ovat muotoa R(x) = P (x) Q(x), missä P ja Q ˆ0 ovat polynomeja. Rationaalifunktio on määritelty nimittäjäpolynomin Q nollakohtien ulkopuolella. Tehtävä 7.3. Kuvassa 9 on rationaalifunktioiden R, R, R 3, R 4, R (x) := x, R (x) := x 4 + x, R 3(x) := + 5x x ja R 4 (x) := x kuvaajat, tosin eivät tässä järjestyksessä. Mikä kuvaajista esittää mitäkin funktiota? 0 5 x y x y y 4 y x x Kuva 9: Tehtävän 7.3. rationaalifunktiot

96 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 96 Rationaalifunktion jakaminen osamurtoihin Tarkastellaan rationaalifunktioita R = P, joille deg P < deg Q. Tarkoituksena Q on esitellä laskurutiineja, joilla saadaan aikaan rationaalifunktion osamurtokehitelmä. Emme tässä yhteydessä perustele, miksi kyseinen rutiini johtaa tulokseen. Huomaa, että saatu tulos voidaan (ja kannattaa) aina tarkistaa. Tapaus. Oletetaan, että deg Q = n ja että polynomilla Q on n kappaletta erillisiä nollakohtia x,... x n. Tällöin rationaalifunktiolla R = P on osamurtokehitelmä Q R(x) = P (x) Q(x) = = P (x) a(x x )(x x )... (x x n ) A + A A n x x x x x x n missä A,..., A n R ja a 0. Esimerkki 7.3. Huomaa, että osamurtokehitelmä ratkaisee funktion R integrointiongelman; nimittäin x x dx = ln x x + C, C R, ja siis R(x) dx = n i= A i x x i dx = n A i ln x x i + C, C R. i= Esimerkki Määritetään osamurtokehitelmä funktiolle R(x) := x x. Asetetaan x x = A x + + B x, x ±. Kertomalla nimittäjät pois (siis lavennukset etc.) saadaan x = A(x ) + B(x + ) = Ax A + Bx + B = (A + B)x + (B A). Tämä pätee kaikilla x ± vain jos A+B = ja B A = 0. Tästä yhtälöparista saadaan ratkaisuiksi A = ja B =. Huomaa, että metodi menee asteen n kasvaessa työlääksi, koska ratkaisuun pääseminen edellyttää yleisessä tapauksessa yhtälöryhmän ratkaisua tilanteessa, jossa on n tuntematonta ja n yhtälöä.

97 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 97 Esimerkki Osamurtokehitelmä löytyykin yleensä kätevimmin Heavisidemetodilla. Etsitään malliksi sellaiset vakiot A, A, A 3 R, että R(x) := kaikilla x 0, x ±. x(x )(x + ) = A x + A x + A 3 x + Kerrotaan (5) ensin puolittain ensimmäisellä nimittäjällä x, jolloin saadaan (x )(x + ) = A + x A x + x A 3 x +. (6) Tähän voidaan sijoittaa x = 0, jolloin saadaan = A (tarkkaan ottaen tässä tulisi vedota yhtälön (6) lausekkeiden jatkuvuuteen pisteessä x = 0, koska a priori tarkastellaan vain pisteitä x 0, x ±). Sijoitetaan esitykseen (5) A = ja kerrotaan seuraavaksi toisella nimittäjällä x. Näin saadaan x(x + ) = x (x ) + A (x ) + A 3 (x + ). (5) Nyt sijoitetaan x = ja saadaan A =. Sijoittamalla A = kertomalla kolmannella nimittäjällä x + todetaan x(x ) = x + + ( ) x + + A 3. x x esitykseen (5) ja Sijoittamalla lopuksi x = saadaan A 3 =. Siis x(x )(x + ) = x + ( ) + ( ) x x + kaikilla x 0 ja x ±. Kertomalla nimittäjät pois voidaan helposti tarkistaa, että tulos on oikein. Määritelmä Olkoon n N. Polynomilla Q on n-kertainen nollakohta x 0, jos Q on jaollinen polynomilla (x x 0 ) n, mutta ei polynomilla (x x 0 ) n+. Tapaus. Jos nimittäjä Q on muotoa Q(x) = (x x ) n (x x ) n (x x s ) ns, missä x,..., x s ovat erillisiä Q:n nollakohtia ja n i N, niin jokaista termiä (x x i ) n i kohti on osamurtokehitelmään summattava mukaan lauseke A i A i + x x i (x x i ) A ini, i =,,..., s. (x x i ) n i

98 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 98 Esimerkki Jaetaan osamurtoihin R(x) := x (x ). Nimittäjällä on siis kaksinkertainen nollakohta 0 ja yksinkertainen nollakohta. Etsitään Heaviside-metodilla vakiot A, A ja A 3 R siten, että R(x) = x (x ) = A x + A x + A 3 x. (7) Kerrotaan ensin (7) puolittain erotuksella x, jolloin todetaan x = (x )A x + (x )A x + A 3. Sijoittamalla tähän x = saadaan A 3 =. Toisaalta, kertomalla (7) puolittain neliöllä x ja sijoittamalla A 3 = saadaan x = A + A x + x x, ja sijoittamalla tähän x = 0 todetaan A =. Sijoittamalla nyt A = saadaan yhtälö (7) muotoon x (x ) = x + A x + x. Koska tämän pitää olla samalla vakiolla A voimassa kaikilla x 0, x, saadaan sijoittamalla vaikkapa x = 4 = A +, ja siten A =. Siis kaikilla x R \ {0, } pätee x (x ) = x x + x. Kertomalla nimittäjät pois tarkistetaan helposti, että tulos on taas oikein. Huomautus Jos nimittäjäpolynomilla Q on tekijänä vähintään toista astetta oleva polynomi, jolla ei ole reaalisia nollakohtia, osamurtokehitelmä mutkistuu entisestään. Silloin voidaan koettaa osoittajaan vakion sijasta yritettä Ax + B, tai jakaa kompleksisiin tekijöihin.

99 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT Potenssi- ja juurifunktio Olkoon n N ja olkoon f : R + R, f(x) := x n. Jos 0 x < y, niin tunnetusti x n < y n, joten funktio f on aidosti kasvava. Se on siis injektio ja kuvaus f : R + f(r + ) on bijektio. Bolzanon lauseesta (Analyysi I) seuraa, että f(r + ) = R +, joten f : R + R + on bijektio. Kyseisen bijektion käänteiskuvaukselle n:s juurifunktio f : R + R + käytetään merkintää f (x) =: n x. Huomaa, että Lemman a) nojalla juurifunktio on aidosti kasvava ja että ( n x) n = x ja n xn = x kaikilla x R + Huomautuksen 6.4. mukaan. Olkoon n N pariton. Tällöin sääntö f(x) = x n määrittelee injektion R R. Tämän toteamiseksi riittää osoittaa, että f on aidosti kasvava joukossa R. Olkoot x, y R, x < y. Jos 0 x < y, niin x n < y n. Jos x < 0 y, niin x n < 0 y n, koska n on pariton. Jos lopuksi x < y < 0, niin 0 < y < x ja luvun n parittomuuden nojalla y n = ( y) n < ( x) n = x n. Näin ollen x n < y n. Siis f : R R on injektio. Pitäen tunnettuna, että f(r) = R (seuraa Bolzanon lauseesta, Analyysi I) päätellään, että f on aidosti kasvava bijektio R R. Käänteiskuvaukselle käytetään edelleen merkintää f (x) = n x. Lemman nojalla myös tämä juurifunktio x n x on aidosti kasvava. Esimerkki 7.4. Ratkaistaan epäyhtälö (x + ) 4 > (x + 3x) 4. Neljäs juuri on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille. Siksi vaaditaan, että x + 3x = x(x + 3) 0 eli x 3 tai x 0. Oletetaan, että x 3 tai x 0. Juurifunktion aidon kasvavuuden nojalla (Lemma 6..3) (x + ) 4 > (x + 3x) 4 x + > x + 3x > 3x x < 3. Siispä kysytyn epäyhtälön ratkaisut ovat x 3 tai 0 x < 3.

100 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 00 Esimerkki 7.4. Olkoon f : R \ { } R, Määritetään funktion f käänteiskuvaus. f(x) := 5 3x x +. Tätä varten olkoon y R. Koska kuvaus x x 5 on injektio, voidaan arvoilla x kirjoittaa ekvivalenssiketju f(x) = y 5 3x x + = y 3x x + = y5 3x = y 5 (x + ) x(3 y 5 ) = y 5 x = y5 3 y 5 olettaen, että x ja että y 5 3. Siis jokaisella y 5 3 on yksikäsitteinen alkukuva y 5 /(3 y 5 ). Ekvivalenssiketjun yhtälöstä x(3 y 5 ) = y 5 nähdään, että luvulla y = 5 3 ei ole alkukuvaa. Näin ollen f on bijektio joukosta R \ { } joukkoon R \ { 5 3} ja käänteiskuvaus R \ { 5 3} R \ { } on f (x) = x5 3 x 5. Esimerkki Määritä säännölle f : x 3 x 3 lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy mahdollisimman laajalla välillä määritelty reaalifunktio, jolla on käänteisfunktio. Määritä myös se. Ratkaisu. Sääntö f(x) = 3 x 3 määrittelee selvästi funktion R R, mutta se ei ole injektio, sillä f( 3) = 0 = f( 3). Yleisemmin, f on parillinen, siis kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, sillä f( x) = 0 = f(x) kaikilla x R. Funktio f voidaan esittää yhdistettynä funktiona h g, missä g(x) := x 3 ja h(x) := 3 x, sillä (h g)(x) = h(x 3) = 3 x 3 = f(x). Funktio g on välillä [0, + [ aidosti kasvava arvojoukkonaan [ 3, + [, ja vastaavasti h on aidosti kasvava funktio [ 3, + [ [ 3 3, + [. Yhdistetty funktio f on siten aidosti kasvava ja näin ollen injektio, ja niinpä funktion f rajoittumakuvaus f : [0, + [ [ 3 3, + [ on bijektio.

101 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT 0 Lauseen 5.3. mukaan funktiolla f on käänteiskuvaus f : [ 3 3, + [ [0, + [. Se voidaan tässä tapauksessa myös laskea: y = 3 x 3 y 3 = x 3 x = ± y Koska piti olla x 0, pitää valita positiivinen haara; vaihtamalla muuttujat saadaan (ks. Kuvat 30) f (x) = x Toinen yhtä laajasti määritelty ratkaisufunktio on samalla lausekkeella määritelty aidosti vähenevä bijektio f : ], 0] [ 3 3, + [ (perustele itse!) ja sillä on käänteisfunktiona f : [ 3 3, + [ ], 0], f (x) = x y y 4 0 x x Kuva 30: Esimerkin funktioita Tehtävä Ratkaise yhtälö ja piirrä tilanteesta kuvio: x =.

102 8 Transkendenttiset alkeisfunktiot Algebrallinen potenssifunktio x x n ja juurifunktio x n x yleistyvät eräin rajoituksin myös reaalisille eksponenteille. 8. Yleiset potenssi- ja juurifunktiot Luvun x > 0 reaaliset potenssit määritellään seuraavissa vaiheissa: Olkoon n N, m Z ja r R. Määritellään induktiivisesti: ) ) { x := x x n+ := x x n, n N { x 0 := x n := x n 3) x m n := (x n ) m, missä x n on luku y > 0, jolle pätee y n = x, { { m inf x 4) x r n m := Q, m < r }, kun 0 < x <, n n sup { x m n m Q, m < r }, kun x. n n Reaalisen potenssin määritteleminen rationaalipotenssin avulla vaatii reaalilukujen täydellisyysaksiooman tuntemisen (joukon supremum sup = pienin yläraja ja infimum inf = suurin alaraja, ks. Luku 4.8 ja Analyysit). Määritelmä 8.. Olkoon r R. Funktio f : R + R, f(x) := x r on yleinen potenssifunktio (power function). Huomautus 8.. Kokonaislukuarvoilla m N ja parittomilla n N voidaan potenssifunktiot x x m ja x x n laajentaa koko reaalilukujen joukossa määritellyiksi, ks. Luku 7.4. Arvoilla r > 0 voidaan sopia 0 r = 0, siis jatkaa x x r nollaan asti. Laskusääntöjä 8..3 Olkoot x > 0 ja y > 0 sekä r ja s reaalilukuja. Tällöin a) (xy) r = x r y r b) c) x r x s = x r+s d) e) (x r ) s = x rs ( ) r x = xr y y r x r x = s xr s

103 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 03 3 r > 3 r = 3 0 < r < y y y 0 3 x 0 3 x 0 3 x 3 r = 0 3 r < 0 y y 0 3 x 0 3 x Kuva 3: Potenssifunktioiden kuvaajia Esimerkki 8..4 Edelliset laskusäännöt pätevät vain, kun x > 0 ja y > 0. Siten laskussa = ( 8) 3 = ( 8) 6 = (( 8) ) 6 = 64 6 = on varmaankin käytetty sääntöjä väärin, miten? Potenssifunktiot x x r ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan R +. Lisäksi ne ovat monotonisia ja ei-negatiivisia. Potenssifunktioiden kuvaajia eri arvoilla r R näkyy Kuvassa 3. Huomautus 8..5 Kullakin arvolla r 0 on funktion x x r käänteisfunktio x x r yhtälailla potenssifunktio. Esimerkki 8..6 a) Olkoon f : R R, f(x) := x 3. Funktion f käänteisfunktio on f : R R, f (x) = x 3 = 3 x. b) Funktion g : [0, [ [0, [, g(x) := x, käänteisfunktio g : [0, [ [0, [ on g (x) = x = x. Potenssi- ja juurifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/PotenssiJaJuurifunktiot.htm

104 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT Eksponentti- ja logaritmifunktiot Tärkein eksponenttifunktioista on e-kantainen eksponenttifunktio, jonka käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi. Eksponenttifunktio kantalukuna e Neperin luku e on transkendenttinen luonnonvakio, jota voi lähestyä monella tapaa. Yksinkertaisin tapa on käyttää lukujonoa: ( + ) = ( + ) =, 5 ( + 3) 3 =, ( + 4) 4 =, ( + 5) 5 =, Voidaan osoittaa, että jonolla on äärellinen raja-arvo (jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, ks. Analyysi I). Määritelmä 8.. Neperin luku e on raja-arvo e := lim ( + ) n =, n n Luku on nimetty skotlantilaisen astrologi-matemaatikko John Napier n (550-67) mukaan; hän keksi mm. jäljempänä käsiteltävän luonnollisen logaritmin. Määritelmä 8.. Funktio exp : R R +, exp(x) := e x, on e-kantainen eksponenttifunktio (exponential function). Eksponenttifunktio exp on aidosti kasvava (jatkuva) bijektio R R +, ks. kuvaaja Kuvassa 3.

105 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT y 3 0 x 3 Kuva 3: Eksponenttifunktion kuvaajaa Laskusääntöjä 8..3 Eksponenttifunktiolle exp on voimassa kaikilla x, y R ja n N a) e 0 = b) e x = e x c) e x+y = e x e y d) e x y = ex e y e) lim x 0 e x x e x = f) lim x x = n Huomautus 8..4 Raja-arvokaavan mukaan x e x kasvaa nopeammin kuin potenssifunktio x x n millään n N.

106 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 06 Logaritmifunktio kantalukuna e Koska eksponenttifunktio exp : R R + on bijektio, sillä on käänteisfunktio exp : R + R. Määritelmä 8..5 Eksponenttifunktion exp käänteisfunktiota ln := exp : R + R sanotaan luonnolliseksi logaritmifunktioksi (natural logarithm). y x Kuva 33: Logaritmifunktion kuvaajaa Huomautus 8..6 Logaritmifunktion kuvaajaa näet Kuvassa 33. Luonnollista logaritmifunktiota x ln x sanotaan myös e-kantaiseksi logaritmiksi (logarithm of base e). Käänteisfunktion määritelmän mukaan y = e x x = ln y. Logaritmifunktio ln : R + R on aidosti kasvava (jatkuva) bijektio. Laskusääntöjä 8..7 Logaritmifunktiolle ln on voimassa kaikilla x, y, r R +, c R ja n N a) ln = 0 ja ln e = b) ln x c = c ln x c) ln(xy) = ln x + ln y d) ln ( ) x y = ln x ln y x x r e) lim = f) lim x (ln x) n x ln x = Raja-arvosäännön f) mukaan mikä tahansa potenssifunktio x x r, r > 0, kasvaa nopeammin kuin ln. Koska eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita, on e ln x = x kaikilla x R +, ln e x = x kaikilla x R.

107 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 07 Muut eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponenttifunktion x a x kantaluvuksi käy mikä tahansa reaalivakio a > 0. Määritelmä 8..8 Olkoon a R + vakio. Funktio exp a : R R +, exp a := a x on a-kantainen eksponenttifunktio. Arvoilla 0 < a < on eksponenttifunktio exp a aidosti vähenevä ja arvoilla a > aidosti kasvava, ks. Kuva 34. Rajatapaus a = on luonnollisesti vakiofunktio exp =. a > 4 3 y 3 0 x 3 0 < a < 4 3 y x Kuva 34: Eksponenttifunktioiden kuvaajia Arvoilla a R + \ {} on funktioilla x a x käänteiskuvaukset. Määritelmä 8..9 Kullekin vakiolle a R + \ {} sanotaan a-kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktiota log a : R + R a-kantaiseksi logaritmifunktioksi. Logaritmifunktioiden kuvaajat ovat eksponenttifunktioiden kuvaajien peilikuvia suoran y = x suhteen, ks. Kuva 35. a > 0 < a < y y x x Kuva 35: Logaritmifunktioiden kuvaajia

108 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 08 Eksponenttifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/Eksponenttifunktiot.htm Logaritmifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/Logaritmifunktiot.htm Eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia Lause 8..0 a) Eksponenttifunktio exp a voidaan esittää e-kantaisen eksponenttifunktion avulla: a x = e x ln a. b) Logaritmifunktio log a voidaan esittää e-kantaisen logaritmin avulla muodossa log a x = ln x ln a = ln x. ln a Todistus. a) Olkoon x R. Silloin a x = e ln ax = e x ln a (perustele!). b) Olkoon x > 0 ja y := log a x. Silloin käänteisfunktion määritelmän ja luonnollisen logaritmin ominaisuuksien nojalla eli log a x = y = ln x ln a. y = log a x x = a y ln x = ln a y = y ln a y = ln x ln a, Esimerkki 8.. Lauseen 8..0 a) nojalla voidaan funktio x x x esittää muodossa x x = e ln xx = e x ln x, x > 0, ja yleisemmin f(x) g(x) = e ln f(x)g(x) = e g(x) ln f(x). Eksponentti- ja logaritmilausekkeita sisältävien yhtälöiden ratkaisemisessa voidaan hyödyntää näiden funktioiden bijektiivisyyttä: arvoilla x, y, a > 0, a, on x = y a x = a y, x = y log a x = log a y.

109 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 09 Esimerkki 8.. Ratkaistaan yhtälö x 3x = 0. x 3x = 0 x = 3 x x = 3 x ln x = ln 3 x x ln = x ln 3 x(x ln ln 3) = 0 x = 0 tai x = ln 3 ln Esimerkki 8..3 Ratkaistaan yhtälö Aluksi muokataan yhtälöä: 4 x x+ = 3. 4 x x+ = 3 ( x ) x 3 = 0 ( x ) 4 x 3 = 0. Merkitään t := x. Silloin on t > 0, mikä saattaa vaikuttaa ratkaisuihin. Nyt 4 x x+ = 3 t 4t 3 = 0 t = 8 tai t = 4 x = 8 = 3 tai x = 4 x = 3 tai x = 4. Ainoa reaalinen ratkaisu voi olla x = 3, mikä toteuttaakin yhtälön (tarkasta!). Eksponentti- ja logaritmifunktioita sisältävien epäyhtälöiden ratkaisu voidaan perustaa näiden funktioiden aidosti monotonisuuteen. jatkuvuuteen; jatkuva funktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissa. On kuitenkin muistettava kantaluvusta johtuvat eroavuudet: Arvoilla a >, x, y R on: x < y a x < a y. Arvoilla 0 < a <, x, y R on: x < y a x > a y. Arvoilla a >, x, y R + on: x < y log a x < log a y. Arvoilla 0 < a <, x, y R + on: x < y log a x > log a y.

110 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 0 Esimerkki 8..4 Ratkaistaan epäyhtälö x 3x < 0. x 3x < 0 x < 3 x ln x < ln 3 x ln aidosti kasvava x ln x ln 3 < 0 x(x ln ln 3) < 0 Merkitään f(x) := x ln ln 3 ja tarkastellaan merkkikaaviota: Ratkaisu on siis 0 < x < ln 3 ln. x + + f(x) + xf(x) ln 3 ln Lause 8..5 Jos lim x x0 f(x) = (tai lim x x0 f(x) = ), niin ( lim + ) f(x) = e. x x 0 f(x) Todistus. Seuraa yhdistetyn funktion määritelmästä ja tunnetusta raja-arvotuloksesta ( lim + x = e. x ± x) Esimerkki 8..6 Lasketaan raja-arvo lim x ( + 3x ) x. Muokataan lauseketta Lauseen 8..5 mukaiseksi: ( lim + ) x ( = lim + ) [ 3 ( 3x = lim + ) ] 3x 3 x 3x x 3x x 3x = e 3 = 3 e.

111 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT Esimerkki 8..7 Lasketaan raja-arvo ( ) x x lim. x x Muokataan lauseketta Lauseen 8..5 mukaiseksi: ( ) x x lim = lim x x x = lim x ( x) x = lim x [ ( + ) x x Eksponentti- ja logaritmifunktioiden laskusäännöille ( ) x x ] = e = e. e x lim x x =, n saadaan yleistykset lim x x (ln x) n =, lim x x r ln x =, (r > 0). Lause 8..8 Jos lim x x0 f(x) =, niin lim x x 0 e f(x) (f(x)) n =, lim x x 0 f(x) (ln f(x)) n =, lim x x 0 f(x) r ln f(x) =, (r > 0).

112 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot Trigonometristen funktioiden määritelmät Tarkastellaan yksikköympyrää (unit circle) eli -säteistä origokeskistä ympyrää. Asetetaan tarkasteltavan kulman kärki origoon ja alkukylki positiiviselle x-akselille, ks. Kuva 36. Kulman t suuruus radiaaneina (radian) on kulmaa vastaa- y t + positiiviset kulman arvot - x - negatiiviset kulman arvot _ Kuva 36: Yksikköympyrä van kaaren pituus yksikköympyrän kehällä kiertosuuntaa vastaavalla merkillä varustettuna. Jos α on kulma asteina ja t on kulma radiaaneina, niin verrannosta t = α saadaan aste-radiaaniyhteys (ks. Kuva 37) π 360 t = π 360 α = α 360 π. 35 ο 3 = π 4 80 ο = π π 90 ο = _ π 60 ο = _ 3 π_ 45 ο = 4 π 30 ο = _ 6 0 o = 0 70 o 3 = π Kuva 37: Kulmia asteina ja radiaaneina

113 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 3 Jokaista reaalilukua t (= kulman suuruus radiaaneina) vastaa täsmälleen yksi kehän piste (x, y). Jokaista kehän pistettä (x, y) vastaa ääretön määrä reaalilukuja (radiaanikulmia) t + nπ. Määritelmä 8.3. Olkoon (x, y) kulmaa t vastaava yksikköympyrän kehän piste. Määritellään kosini cos ja sini sin asettamalla cos t := x sin t := y Siten (ks. Kuva 38) - kulman kosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x-koordinaatti. - kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti, y = sin t ( x,y) y ( x,y) - t r x = cos t t x r - -r Kuva 38: Suhteita yksikköympyrässä ja r-säteisessä ympyrässä Yleisemmin: origokeskisen r-säteisen ympyrän tapauksessa cos t = x/r ja sin t = y/r eli x = r cos t ja y = r sin t. Eräitä tärkeitä arvoja saadaan suorakulmaisista muistikolmioista, ks. Kuva o π_ = 45 o π_ = 60 o π_ = _ 3 _ 3 Kuva 39: Muistikolmiot

114 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 4 Ajatellaan kulma muuttujaksi ja merkitään sitä symbolilla x. Näin tulevat määritellyksi trigonometriset funktiot (trigonometric functions): Sini f : R [, ], f (x) := sin x Kosini f : R [, ], f (x) := cos x Tangentti f 3 : R \ { π +nπ n Z} R, f 3(x) = tan x := sin x cos x Kotangentti f 4 : R \ {nπ n Z} R, f 4 (x) = cot x := cos x sin x Sekantti f 5 : R \ { π +nπ n Z} R, f 5(x) = sec x := cos x Kosekantti f 6 : R \ {nπ n Z} R, f 6 (x) = csc x := sin x Trigonometriset funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia. Sini ja kosini ovat jaksollisia perusjaksoinaan π. Muista saadaan jaksollisia jatkamalla ne määrittelemättömyyskohdissa vaikkapa nolliksi (ks. Kuva 40, huomaa skaalat akseleilla). y = sin x y x y = tan x 4 y x 4 y = cos x y x y = cot x 4 y x 4 Kuva 40: Trigonometristen funktioiden kuvaajia Trigonometristen funktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/TrigonometrisetFunktiot.htm

115 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 5 Sini ja kosini ovat rajoitettuja, sin ja cos. Pienillä kulman arvoilla x 0 on sin x x, mistä johtuu mm. raja-arvo-ominaisuus sin x lim x 0 x =. Tämä käy ilmi myös sinin sarjakehitelmästä, kun x R on radiaaneja: sin x = x x3 3! + x5 5!... = ( ) k x k+ (k + )!. Kosinilla on myös samankaltainen sarjakehitelmä, mikähän se on? Trigonometriset funktiot voitaisiin määritelläkin suoraan sarjaesitysten avulla. Huomautus 8.3. Trigonometristen funktioiden potensseja merkitään usein k=0 sin n x := (sin x) n. Potenssimerkinnässä on kuitenkin vaaransa, joskus nimittäin funktion yhdistämiselle käytetään niinikään potenssimerkintää f = f f, mikä yleensä on aivan eri asia! Esimerkiksi (sin x) sin(sin x) lähes kaikilla x R. Laskusääntöjä (osattaviksi) Trigonometrisille funktioille sini ja kosini on kaikkialla voimassa muunnoskaavat ) sin( x) = sin x ) cos( x) = cos x 3) sin x = sin(x + nπ) 4) cos x = cos(x + nπ) 5) sin x = sin x cos x 6) cos x = cos x = sin x 7) cos x + sin x = 8) cos x sin x = cos x ( 9) sin x + π ) ( = cos x 0) cos x + π ) = sin x ) sin(π x) = sin x ) cos(π x) = cos x Tangentille ja kotangentille pätevät niiden määrittelyjoukoissa 3) tan x = sin x 4) cot x = cos x tan x 5) tan( x) = tan x 6) cot( x) = cot x 7) tan x = tan(x + nπ) 8) cot x = cot(x + nπ) Perusyhteenlaskukaavat 9) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y 0) sin x + sin y = sin x + y cos x y

116 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 6 Trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt Trigonometristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisussa kannattaa käyttää apuna yksikköympyrää. A. Yhtälöiden ratkaiseminen Olkoon T trigonometrinen funktio. Trigonometriset yhtälöt pyritään palauttamaan esimerkiksi trigonometristen kaavojen avulla seuraaviin perustyyppeihin: T (α(x)) = a tai T (α(x)) = T (β(x)), missä a R ja α ja β ovat reaalifunktioita. ) Muotoa T (α(x)) = a olevat yhtälöt ratkaistaan etsimällä ensin yksi ratkaisu α(x) = α 0 laskimella tai muistikolmion avulla ja sitten loput ratkaisut funktion T määritelmän nojalla yksikköympyrää apuna käyttäen: sin(α(x)) = a cos(α(x)) = a tan(α(x)) = a a α 0 α 0a α 0 y y y a α 0 x a α 0 x a α 0 x α(x) = α 0 + nπ α(x) = α 0 + nπ α(x) = α 0 + nπ tai tai α(x) π + nπ α(x) = π α 0 + nπ α(x) = α 0 + nπ Esimerkki Ratkaise yhtälö sin x =. Ratkaisu. Yhtälö menee muotoon ) arvolla α(x) := x: sin x = sin x =. Yksikköympyrä ja muistikolmio (Kuva 4) antavat ratkaisut { x = π + nπ { 6 x = π x = π π + nπ + nπ, n Z. x = 5π + nπ 6

117 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 7 5π 6 _ π_ 6 π_ 6 _ Kuva 4: Esimerkin apukuviot ) Muotoa T (α(x)) = T (β(x)) olevan yhtälön eräs ratkaisu saadaan asettamalla α(x) = β(x). Loput ratkaisut löytyvät funktion T määritelmän nojalla yksikköympyrää apuna käyttäen: sin(α(x)) = sin(β(x)) cos(α(x)) = cos(β(x)) tan(α(x)) = tan(β(x)) y y y x x x α(x) = β(x) + nπ α(x) = β(x) + nπ α(x) = β(x) + nπ tai tai α(x) π + nπ α(x) = π β(x) + nπ α(x) = β(x) + nπ β(x) π + nπ Esimerkki Ratkaise yhtälö tan 3x = tan x. Ratkaisu. Yhtälö on muotoa ), jossa α(x) = 3x ja β(x) = x. Ottamalla huomioon yhtälö ja tangentin määrittelyalue saadaan yhtälöryhmä 3x = x + nπ 3x π + nπ x π + nπ x = n π x π 6 + n π 3 x π + nπ, n Z. Ottamalla huomioon, että tangetti ei ole määritelty arvoilla x = π + nπ (Kuva 4), saadaan ratkaisuiksi x = nπ, n Z. 3) Muotoa sin(α(x)) + cos(α(x)) = a oleva yhtälö kannattaa usein korottaa neliöön, jolloin voidaan käyttää ominaisuutta cos α + sin α =. Saadut ratkaisut on tarkastettava!

118 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 8 ei käy ei käy Kuva 4: Tangentti ei ole määritelty, kun x = π + nπ, n Z Esimerkki Ratkaise yhtälö cos x + sin x =. Ratkaisu. Korotetaan molemmat puolet neliöön: cos x + sin x = cos x + sin x + cos x sin x = sin x = 0. Tämän ratkaisut ovat kohdan ) mukaan: sin x = 0 x = 0 + nπ tai x = (π 0) + nπ, n Z x = nπ tai x = π + nπ, n Z x = n π, n Z Tarkastus osoittaa, etteivät nämä kaikki toteuta alkuperäistä yhtälöä; ratkaisuksi jää vain x = nπ tai x = π + nπ, n Z. Esimerkki Ratkaise yhtälö cos x = sin x. Ratkaisu. Trigonometristen kaavojen avulla saadaan cos x = sin x sin x = sin x sin x + sin x = 0 sin x = ± + 8 = ± sin x = tai sin x = x = 3 π + nπ tai x = π 6 + nπ tai x = 5π 6 + nπ, n Z x = π 6 + nπ 3, n Z (koottuina).

119 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 9 B. Epäyhtälöiden ratkaiseminen Olkoon ratkaistava yhtälö muotoa f(x) > g(x) tai f(x) g(x). ) Yleensä kannattaa ratkaista vastaava yhtälö f(x) = g(x) eli f(x) g(x) = 0 ja tehdä lausekkeen f(x) g(x) etumerkkitarkastelu yksikköympyrällä tai reaaliakselin välillä [0, π]. ) Jatkuvan funktion merkki voi vaihtua vain nollakohdissa ja kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty. Huomaa, että merkki voi vaihtua myös epäjatkuvuuskohdissa. Kun nämä pisteet ovat selvillä, voidaan lausekkeen f(x) g(x) etumerkki kullakin välillä selvittää kokeilemalla yhdellä välin sisällä olevalla muuttujan arvolla. 3) Rationaalilausekkeita sisältävissä epäyhtälöissä kannattaa yleensä viedä kaikki termit epäyhtälön samalle puolelle (ei kertoa nimittäjiä pois), laskea yhteen ja tehdä osoittajan ja nimittäjän merkkitarkastelu yksikköympyrällä. Esimerkki Ratkaise epäyhtälö cos x. Ratkaisu. Tarkastellaan yhtäsuuruutta: cos x = cos x = x = ± π 3 + nπ, n Z x = ± π 6 + nπ, n Z. Lausekkeen cos x merkkikaavioon 43 asetellaan nämä mahdolliset merkinvaihtopisteet. Kultakin väliltä valitaan sopiva piste, josta etumerkki ko. välillä selviää; tässä esimerkiksi pisteet 0, π/, π ja 3π/. 5 π 6 5 π π_ 6 π_ 6 Kuva 43: Merkkikaavio lausekkeelle cos x Nähdään, että ratkaisu on π 6 + nπ x π + nπ, n Z. 6

120 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 0 Esimerkki Ratkaise epäyhtälö cos x sin x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtäsuuruus (ks. Esimerkki 8.3.7): cos x = sin x x = π 6 + nπ 3, n Z. Lausekkeen cos x sin x merkkikaavion 44 mukaan sijoitetaan nyt lausekkee- 5 π π_ π_ Kuva 44: Merkkikaavio lausekkeelle cos x sin x seen vaikkapa pisteet 0, π/ ja π ja merkitään etumerkkivälit. Nähdään, että epäyhtälön ratkaisu on π 6 + nπ x 5π 6 + nπ tai x = π + nπ, n Z. Arkusfunktiot eli syklometriset funktiot Trigonometriset funktiot eivät ole toisin kuin esimerkiksi eksponenttifunktiot sellaisinaan käännettävissä, mutta rajoittamalla ne sopiville määrittelyväleille saadaan käyttökelpoiset osittaiset käänteisfunktiot; mm. funktiolaskimet tuottavat juuri näiden arvoja.. Sinifunktio on aidosti kasvava välillä [ π, ] π, joten sen rajoittumafunktio f : [ π, ] π [, ], f(x) := sin x, on bijektio. Tämän käänteisfunktiota kutsutaan nimellä arkussinin päähaara ja sitä merkitään [ arc sin := f : [, ] π, π ]. Siten sin x = y x = arc sin y kaikilla x [ π, π ].

121 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT. Kosinifunktio on aidosti vähenevä välillä [0, π], joten sen rajoittumafunktio f : [0, π] [, ], f(x) := cos x, on bijektio. Sen käänteisfunktio on arkuskosinin päähaara: arc cos x := f : [, ] [0, π]. 3. Tangenttifunktio on aidosti kasvava välillä ] π, [ π, joten sen rajoittumafunktio f : ] π, [ π R, f(x) := tan x, on bijektio. Sen käänteisfunktio on arkustangentin päähaara: ] arc tan x := f : R π, π [. 4. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä ]0, π[, joten sen rajoittumafunktio f : ]0, π[ R, f(x) := cot x, on bijektio. Sen käänteisfunktio on arkuskotangentin päähaara: arc cot := f : R ]0, π[. Rajoittumalla muihin väleihin voidaan määritellä muita arkusfunktioiden haaroja, nk. sivuhaaroja; näille ei merkinnöissä arcsin, arccos, jne käytetä yläviivaa. Esimerkki Funktio f : [ π, ] 3π [, ], f (x) := sin x, on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio f : [, ] [ π, ] 3π. Tätä voidaan sanoa arkussinin. sivuhaaraksi ja merkitä vaikkapa arcsin := f. Seuraava sivuhaara olisi arcsin : [, ] [ 3π, ] 5π. Jaksollisuudesta johtuen muut haarat voidaan kuitenkin palauttaa päähaaraan, esimerkiksi arcsin x = arc sin x + π = arc sin( x) + π kaikilla x [, ], arcsin x = arc sin x + π kaikilla x [, ]. Huomautus 8.3. a) Arkusfunktioiden päähaaroille käytetään monesti mm. laskimissa epätarkkoja merkintöjä sin, cos, tan, ja cot. Monikäsitteisyyden lisäksi on syytä taas huomata, että sin x ja (sin x) tarkoittavat eri asioita. b) Tarkasti ottaen voitaisiin puhua sinifunktion käänteisrelaatiosta arcsin := sin, joka on joukko arcsin = { (x, y) R sin y = x }.

122 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT y = arcsin x y x Kuva 45: Arkussini-relaatiota xy-tasossa Tehtävä 8.3. Piirrä Kuvaan 45 arkussinin päähaara ja Esimerkissä kuvatut sivuhaarat. Lause Funktio arc tan : R ] π, π [ on koko reaalilukujen joukossa rajoitettu, aidosti kasvava jatkuva bijektio, jolle lim x arc tan x = π, lim arc tan x = π x. Arkusfunktioyhtälöiden ratkaisemisesta Yhtälöiden ratkaisemisessa on muistettava: ) todetaan määrittelyalueet, ) trigonometristen funktioiden ja trigonometrian kaavojen avulla yhtälö muutetaan algebralliseksi yhtälöksi, 3) saadut ratkaisut tarkastetaan. Esimerkki Lasketaan luvun x := arc sin tarkka arvo. Ratkaisu. Ottaen huomioon, että x [ π, π ], saadaan x = arc sin sin x = x = π 6.

123 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 3 Esimerkki Sievennä cos(arc sin x), kun x. Ratkaisu. Koska on arc sin : [, ] [ π, π ] eli π arc sin x π, on cos(arc sin x) 0. Koska aina cos x + sin x =, on cos x = ± sin x. Edellä todetun nojalla on kosini tarkasteluarvoilla ei-negatiivinen, joten cos(arc sin x) = + (sin(arc sin x)) = x. Vastaavalla tavalla voitaisiin näyttää, että välillä [, ] on sin(arc cos x) = x. Esimerkki Ratkaise yhtälö arc sin x = arc cos x. Ratkaisu. Määrittelyalue on x. Koska arc sin on tällä välillä bijektio, on (vaikkakin edellyttäen vielä, että arc cos x π, ratkaisut on siten kuitenkin tarkastettava) arc sin x = arc cos x x = sin( arc cos x) x = sin(arc cos x) cos(arc cos x) x = x x x( x ) = 0 x = 0 tai x = 3 x = 0 tai x = ±. Tarkastetaan: x = 0: arc sin 0 = 0, mutta arc cos 0 = π, ei käy. x = 3 : arc sin 3 x = ( 3 : arc sin Vastaus: x = 3. = π ja arc cos 3 = π = π, käy ) ( 3 = π3, mutta arc cos ) 3 = 5π, ei käy. 6

124 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT Hyperboliset ja areafunktiot Hyperboliset funktiot määritellään helpoimmin eksponenttifunktion avulla. Määritelmä 8.4. Hyperbolinen sini on funktio sinh : R R, sinh x := (ex e x ). Hyperbolinen kosini on funktio cosh : R R, cosh x := (ex + e x ). Hyperbolinen tangentti on funktio tanh : R R, tanh x := sinh x cosh x. Hyperbolinen kotangentti on funktio coth : R \ {0} R, coth x := cosh x sinh x. Hyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 46). 4 y 4 0 x 4 4 Kuva 46: Hyperboliset funktiot Tehtävä 8.4. Nimeä hyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 46.

125 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 5 Huomautus Trigonometrisistä ja hyperbolisista funktioista havaitaan a) Piste (cos t, sin t), t R, on ympyrällä x + y =. b) Piste (cosh t, sinh t), t R, on hyperbelillä x y =. Ympyröitä ja hyperbelejä voi siis piirtää näiden parametriesitysten avulla. a) y b) y x x Kuva 47: Pisteiden (cos t, sin t) ja (cosh t, sinh t) sijainnit Laskusääntöjä Hyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat a) cosh x sinh x =, b) sinh x = sinh x cosh x, c) cosh x = cosh x + sinh x, d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, e) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. Todistus. Todistetaan malliksi kohta b): sinh x cosh x = (ex e x ) (ex + e x ) = (ex e x ) = sinh x. Hyperbolisten funktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/HyperbolisetFunktiot.htm

126 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 6 Areafunktiot Määritelmä Hyperbolinen sini sinh : R R on bijektio. Sen käänteisfunktio on areahyperbolinen sini ar sinh := sinh : R R. Hyperbolisen kosinin rajoittuma cosh : [0, [ [, [ on bijektio. Sen käänteisfunktio on areahyperbolisen kosinin päähaara ar cosh := cosh : [, [ [0, [. Areakosinin toinen haara on ar cosh : [, [ ], 0]. Hyperbolinen tangentti tanh : R ], [ on bijektio. Sen käänteisfunktio on areahyperbolinen tangentti ar tanh := tanh : ], [ R. Hyperbolinen kotangentti coth : R \ {0} R \ [, ] on bijektio ja sen käänteisfunktio on areahyperbolinen kotangentti ar coth := coth : R \ [, ] R \ {0}. Areahyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 48). 4 y 4 0 x 4 4 Kuva 48: Areahyperboliset funktiot

127 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT 7 Tehtävä Nimeä areahyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 48. Esimerkki Ratkaise x yhtälöstä y = sinh x. y = sinh x y = (ex e x ) e x y = (ex ) (e x ) ye x = 0 e x = y ± 4y + 4 = y ± y + Koska e x > 0, on valittava x = ln(y + y + ). Näin olemme johtaneet laskukaavan hypebolisen sinin käänteisfunktiolle ja ar sinh x = ln(x + x + ). Laskusääntöjä Areahyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat ) ar sinh x = ln(x + x + ), ) ar cosh x = ln(x + x ), 3) ar cosh x = ln(x x ), 4) ar tanh x = ln ( +x x), x ], [. Todistus. Kaava ) on jo edellä johdettu. ) & 3) Ratkaisemalla x yhtälöstä y = cosh x = (ex + e x ) saadaan funktioiden ar cosh x ja ar cosh x lausekkeet. 4) Ratkaisemalla x yhtälöstä y = tanh x = ex e x e x + e x, saadaan funktion ar tanh x lauseke: ar tanh x = ( ) + x ln, x ], [. x Tehtävä Ilmaise ar coth x logaritmien avulla.

128 9 Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus Seuraavaksi tutkiskelemme kahden muuttujan funktiota ja sen erikoistapausta laskutoimitus. 9. Kahden muuttujan funktio Kahden muuttujan funktio voitaisiin määritellä sääntönä f : X Y Z, f(x, y) := täysin määrätty alkio joukosta Z, joka liittää kaikkiin lähtöjoukon X Y järjestettyihin pareihin (x, y) tasan yhden alkion joukosta Z. Tätä voidaan pitää myös yhden muuttujan funktiona, kun lähtöjoukoksi ajatellaan tulojoukko X Y ja siten muuttujaksi järjestetty pari (x, y). Esimerkki 9.. Sääntö (m, n) m määrittelee kahden muuttujan funktion Z n N Q. Tämä on tunnetusti jopa surjektio. Onko se injektio? On kuitenkin käytännöllistä ja joustavampaa sallia lähtöjoukon olla jokin tulojoukon (perusjoukon) X Y osajoukko A = M f X Y. Useinhan tarvitaan funktioita, joiden määrittelyjoukko ei ole mikään selkeä tulojoukko. Esimerkki 9.. Määritellään g(x, y) := x x y. Sääntö (x, y) g(x, y) antaa kelvollisia lukuja tason yksikköympyrän kehän ulkopuolisille pareille (x, y), joten voidaan sallia määrittelyjoukoksi A := M g = { (x, y) R x + y }. Määritelmä 9..3 Olkoot X, Y ja Z epätyhjiä joukkoja ja A X Y. Relaatio f A Z on kahden muuttujan funktio (two-variable function), jos jokaista (x, y) A vastaa täsmälleen yksi alkio z = f(x, y) joukossa Z. Kahden muuttujan funktion (x, y) f(x, y) tapauksessa relaatiomainen esitystapa tarkoittaa joukkoa f = { ( (x, y), z ) (x, y) A, f(x, y) = z Z }.

129 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 9 Esimerkki 9..4 Esimerkissä 9.. oli kyseessä funktio g : A R, g(x, y) := x x y, missä A = { (x, y) R x + y } R. Esimerkki 9..5 Muutamia kahden muuttujan funktioita: a) f : R R R, f(x, y) := b) g : [, [ R R, g(x, y) := x c) h : R R {tosi, epätosi}, xy = (tai h(x, y) := xy = ) d) i : Z Z Z, i(m, n) := m n e) j : Z Z R, j(m, n) := e m+n f) f : X Y Z erilaisina kuviona Kuvassa 49 Y y y x x x 3 f X Z z z z 3 z 4 z 5 z 5 z 4 z 3 f (x 3, y ) = z z x 3 x x y y (x 3, y ) ((x 3, y ), z ) Kuva 49: Funktio tasokaaviona ja idea kolmiulotteisesta g) Kun A := {a, a }, B := {b, b, b 3 } ja C := {c, c, c 3, c 4 }, niin funktio g : A B C on taulukkona: g b b b 3 a c c 3 c a c c c 4

130 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 30 Tehtävä 9..6 Valitse seuraaville säännöille sopivat lähtö- ja maalijoukot niin, että muodostuu kahden muuttujan funktio: a) f(m, n) := (m + n) b) g(x, y) := x y c) h(x, y) := x y d) 4 ln(x y) = 0 Tehtävä 9..7 Olkoot X := {x, x }, Y := {y, y } ja Z := {z, z, z 3, z 4, z 5 }. Piirrä Kuvan 50 vasempaan kuvioon relaatio H, H := {( (x, y ), z 4 ), ( (x, y ), z ), ( (x, y ), z 5 ), ( (x, y ), z 3 ), ( (x, y ), z 5 )}. Esitä se myös taulukkona. Onko se funktio? X x ( x, y ) ( x, y ) Y y x y ( x, y ) ( x, y ) X x ( x, y ) ( x, y ) Y y x y ( x, y ) ( x, y ) Z z z z 3 z 4 z 5 Z z z z 3 z 4 z 5 Kuva 50: Tehtävien 9..7 ja 9..8 kuviot Tehtävä 9..8 Olkoon H kuten Tehtävässä a) Selvitä onko seuraava relaatioon H liittyvä relaatio funktio H X := {(x, z) y Y, jolle H(x, y) = z}. b) Piirrä relaatio H X nuolin Kuvan 50 oikeanpuoleiseen kuvioon sekä esitä H X taulukkona. Matematiikan tietokoneohjelmat kuten Maple, Mathematica ja Matlab (ja monet suppeammatkin) osaavat esittää kahden muuttujan funktioiden muodostamia pintoja, jopa implisiittimuodossa annetuista. Kuvioihin voi liittyä myös monia säätöoptioita ja mm. kuvan pyörittely ja animaatiot ovat mahdollisia. Kuvassa 5 on Maple-ohjelmalla tuotettu funktion f : R R, kuvaajaa kolmiulotteisena. f(x, y) := 3x 7y,

131 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS y x 4 Kuva 5: Kahden muuttujan funktion muodostamaa pintaa (Maple) Implisiittisesti määritelty kahden muuttujan funktio Tämän täydennyksen tarkoitus on laajentaa perspektiiviä kahden muuttujan funktion määrittely- ja esitystapoihin. Kolmen muuttujan funktio määritellään (aivan kuten kahden muuttujan tapauksessa) funktiona f A Y, missä A X X X 3. Kahden muuttujan funktio voi olla määritelty implisiittisesti, jonkin muotoa F (x, y, z) = 0 olevan yhtälön avulla, missä F : A R on jossain joukossa A R 3 määritelty kolmen muuttujan funktio. Jos jokin muuttujista, esimerkiksi z, voidaan yhtälöstä ratkaista, saadaan eksplisiittinen esitys, mutta usein yhtälö ei ratkea algebrallisin keinoin, vaan voidaan joutua tyytymään numeeriseen arviointiin. Esimerkki 9..9 Yhtälö x + 4y z = 0 tulee määritellyksi funktion F : R 3 R, F (x, y, z) := x + 4y z nollakohtien avulla. Yhtälöstä saadaan ratkaisemalla: z = f(x, y) := x + y, joka on määritelty koko tasossa R. Esimerkki 9..0 Yhtälöstä exy e xz = 0 nähdään, että se on mielekäs täsmälleen arvoilla xy > 0, tason neljänneksissä I ja III eli joukossa A := {(x, y) R xy > 0} = (R + R + ) (R R ). Yhtälöstä voidaan helposti ratkaista y = ex exz = x exz, mutta myös z = (ln(xy) + ) (sensijaan x on hankalampi tapaus... ). Siis esimerkiksi x g(x, y) = z = (ln(xy) + ) x muodostaa kahden muuttujan funktion g : A R.

132 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 3 Implisiittiseksi voidaan luokitella myös tilanne, jossa funktio on annettu yhdistettynä funktiona (x, y) f ( u(x, y), v(x, y) ), koska haluttua funktion arvoa f(a, b) ei voida laskea suoraan eikä edes kaikkia arvoja (a, b) ehkä saavuteta vaan on ensin löydettävä sopivat muuttujien x ja y arvot, joille u(x, y) = a ja v(x, y) = b. Esimerkki 9.. Olkoon f(x+y, x y) := xy. Onko f määritelty koko tasossa R? Ratkaisu. Tehdään muuttujienvaihto x + y = u, x y = v. Tästä syntyy kahden yhtälön ja kahden tuntemattoman yhtälöryhmä, jolla on yksikäsitteinen ratkaisu (ratkaise!) x = (u + v) ja y = (u v). Siis f(u, v) = xy = (u + v)(u v) = 4 4 (u v ), joka on määritelty kaikilla (u, v) R. Kaikenkaikkiaan siis f on funktio R R, f(x, y) = 4 (x y ). Edellä on siis voimassa: kun x ja y käyvät läpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niin myös u = x + y ja v = x y käyvät läpi kaikki reaaliarvot. Esimerkki 9.. Olkoon g(x y, y x) := xy. Onko g määritelty koko tasossa R? Ratkaisu. Yritetään samaa strategiaa, muuttujienvaihtoa x y = u, x+y = v. Nyt tämä antaa äärettömästi ratkaisuja ehdolla v = u. Vaikka nyt x ja y käyvät läpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niin u = x y ja v = (x y) käyvät läpi vain suoran v = u pisteitä (u, u). Näin ollen g ei todellisuudessa tule määritellyksi kuin suoralla B := {(x, y) R y = x}. Mutta mitä ovat arvot, ovatko ne yksikäsitteisiä? Nyt lukupareilla (x, y ) = (, 0) ja (x, y ) = (, ) saadaan tulokset g( 0, 0 ) = 0 = g(, ), mutta g(, ) = = g(, ). Relaatio g ei siis olekaan funktio, koska tulokset eivät ole yksikäsitteisiä.

133 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS Laskutoimitus Algebrallisissa rakenteissa esiintyy erityisiä kahden muuttujan funktioita, laskutoimituksia eli binäärioperaatioita, jotka toimivat yhden joukon sisällä. Perusesimerkki on yhteenlasku tai sen kanssa samankaltaiset operaatiot mm. algebrassa. On myös vastaavia operaatioita, joissa jokin toinen joukko vaikuttaa tuloksiin, esimerkiksi vektorien skalaarilla kertominen, joka tulee vastaan mm. lineaarialgebrassa. Tästä syystä voidaan puhua erikseen sisäisistä ja ulkoisista laskutoimituksista. Asetamme määritelmän väljäksi, mutta toisaalta täsmälliseksi. Määritelmä 9.. Olkoon X epätyhjä joukko. Jokainen kahden muuttujan funktio joukolta X X joukkoon X on laskutoimitus (binary operation) joukossa X. Joukossa X määritelty laskutoimitus on siis jokin sääntö, jolla jokaiseen järjestettyyn pariin (x, y) X X liitetään täsmälleen yksi alkio x y := (x, y) X. Jotta algebralliset laskusäännöt voivat toimia usein olla edes mielekkäitä on välttämätöntä vaatia, että operaation tulos on määritelty kaikilla pareilla, tulos on samassa joukossa kuin operoijat. Jo peräkkäisten laskujen merkitseminen, esimerkiksi (x y) z, on mielekästä vain, jos tiedämme, että tulos x y antaa sellaista, joka voi edelleen operoida alkion z kanssa! Esimerkki 9.. a) Yhteenlasku + on laskutoimitus joukoissa N ja Z. b) Erotus ei ole laskutoimitus joukossa N, sillä esimerkiksi = / N. Erotus on kuitenkin laskutoimitus joukossa Z. c) Kertolasku on laskutoimitus kussakin joukoista N, Z, Q, R ja C. Jakolasku on laskutoimitus joukoissa Q \ {0}, R \ {0} ja C \ {0}. Tehtävä 9..3 Ovatko seuraavat operaatiot laskutoimituksia joukossa X? a) X := N, m n := m + n b) X := N, m n := m n c) X := N, m n := m d) X := N, kahden luvun keskiarvo. e) X := Z, kahden luvun keskiarvo. f) X := Q, kahden luvun keskiarvo. g) X := R, x y := x y h) A joukko, X := P(A), x y := x y

134 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 34 Esimerkki 9..4 Logiikassa operaatiot ja muodostavat myös laskutoimituksen joukossa X := {0, }, ja tästä syntyy eräänlaista algebraa, nk. Boolen algebraa. Siinä olevat peruslaskut ovat jo tuttuja: = 0 0 = 0 = = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = eli 0 0 ja Määritelmä 9..5 Joukon X laskutoimitus on vaihdannainen (commutative), jos kaikille x, y X on x y = y x. Yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia, mutta vähennys- ja jakolasku eivät. Ei-vaihdannaisista standardeista operaatioista on syytä mainita matriisien kertolasku ja jo tuttu funktioiden yhdistäminen. Määritelmä 9..6 Joukon X laskutoimitus on liitännäinen (associative), jos kaikille x, y, z X on x (y z) = (x y) z. Tehtävä 9..7 Mitkä seuraavista operaatioista ovat vaihdannaisia laskutoimituksia joukossa Z? a) x y := xy b) x y := (x )y c) x y := x y d) x y := (x + y) Tehtävä 9..8 Mitkä Tehtävän 9..7 operaatioista ovat liitännäisiä? Määritelmä 9..9 Joukon X laskutoimitukset ja toteuttavat osittelulait (distributive), jos kaikille x, y, z X on x (y z) = (x y) (x z) vasen osittelulaki (x y) z = (x z) (y z) oikea osittelulaki Usein käytetään sanontaa on (vasemmalta tai oikealta) ositteleva laskutoimituksen suhteen. Esimerkki 9..0 a) Kertolasku on ositteleva yhteenlaskun suhteen. b) Yhteenlasku ei ole ositteleva kertolaskun suhteen. c) Logiikan konjunktio ja disjunktio ovat osittelevia toistensa suhteen, samoin joukko-opin leikkaus ja yhdiste. Tehtävä 9.. Osoita, että yhteenlasku ei ole kummaltakaan suunnalta ositteleva kertolaskun suhteen.

135 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 35 Esimerkki 9.. Olkoon X := {a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 }. Laskutoimitus joukossa X voidaan määritellä esimerkiksi laskutoimitustaulukon avulla: a i a j a a a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a 4 a 3 a 6 a 5 a 3 a 3 a 5 a a 6 a a 4 a 4 a 4 a 6 a a 5 a a 3 a 5 a 5 a 3 a 6 a a 4 a a 6 a 6 a 4 a 5 a a 3 a Tämän konkreettinen vastine on tasasivuisen kolmion kierrot ja peilaukset sekä niiden yhdistely (Kuvat 5 ja 53) Kuva 5: Kolmion kierrot 0, 0 ja 40 astetta vastapäivään Kuva 53: Kolmion peilaukset Näitä voidaan merkitä lukemalla kolmion ulkopuolella olevat luvut sisällä olevien määräämässä järjestyksessä. Asetetaan matriisien yläriveihin sisäpuolen luvut ja alariviin vastaavat ulkopuolen luvut: a kolmio paikallaan, siis 0 asteen kierto ( ) 3 a := 3

136 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 36 a a 3 a 4 a 5 a 6 peilaus kärjen kautta kulkevan suoran suhteen ( ) 3 a := 3 peilaus kärjen 3 kautta kulkevan suoran suhteen ( ) 3 a 3 := 3 40 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!) ( ) 3 a 4 := 3 0 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!) ( ) 3 a 5 := 3 peilaus kärjen 3 kautta kulkevan suoran suhteen ( ) 3 a 6 := 3 Tällöin taulukon laskutoimitus toimii kuten kiertojen ja peilausten yhdistäminen, siis tekeminen peräkkäin. Algebrassa ja lineaarialgebrassa puhutaan tarkemmin näistä sekä muista nk. ryhmien ominaisuuksista, nimittäin neutraalialkioista ja käänteisalkioista, jotka mahdollistavat mm. yhtälöiden ratkaisemisen tällaisessa ryhmässä. Mainittakoon kuitenkin, että Esimerkissä 9.. neutraalialkio on a. Mitä ovat yhteen- ja kertolaskun neutraalialkiot? Funktioiden yhdistämisen?

137 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS 37

138 0 Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta Matemaattisessa teoriassa esiintyy aksioomia, määritelmiä, lauseita, lauseiden todistuksia, apulauseita, seurauslauseita jne. Pyrimme nyt saamaan jonkinlaista ryhtiä tähän käsiteviidakkoon. 0. Matemaattisen teorian käsitteitä Aksiooma Matematiikassa jokin asia on tosi, vain jos se pystytään matemaattisesti todistamaan, ts. johtamaan jo tunnetuista tuloksista. Näin syntyy todistusketju:... tulos tulos uusi tulos. Mikä on tällaisen ketjun alku, miten ensimmäinen tulos voidaan todistaa? Mihin koko päättely nojaa? Lähtökohdat on yksinkertaisesti sovittava. Näitä sopimuksia, matematiikan perustotuuksia, sanotaan aksioomiksi (axiom). Aksiooma on siis todistamaton totuus, sovittu juttu. Yleensä aksioomat on valittu siten, että ne vastaavat havaintoa (jos mahdollista), ts. tuntuvat järkeviltä ja luonnollisilta lähtökohdilta. Aksioomien on oltava keskenään ristiriidattomia. Määritelmä Määritelmällä kuvataan käsitteitä, matemaattisia otuksia, jotka elävät aksioomien kuvaamassa maailmassa. Määritelmä on hyvä, jos se on yksikäsitteinen ja ristiriidaton. Määritelmä ei sinänsä väitä mitään, joten siinä ei ole mitään todistettavaa. Määritelmä on siis kastetilaisuus, paikka, jossa jollekin otukselle annetaan nimi. Sanotaan, että määritelmä on aksiomaattinen, jos siinä esitetään ne ehdot, jotka määriteltävä otus toteuttaa, ja joista kaikki muut ominaisuudet ovat johdettavissa. On huomattava, että määritelmässä määritelty käsite ja sen määrittelevä ehto ovat yhtäpitäviä, vaikka määritelmä tavallisesti esitetään jos -muodossa. Useat käsitteet voidaan määritellä vaihtoehtoisilla tavoilla riippuen siitä, missä järjestyksessä teoriaa on rakennettu, ts. mitä käsitteitä ja tuloksia jo entuudestaan tunnetaan. Mahdollisesti myös muita vaihtoehtoja esitetään ja oltaessa kovin perusteellisia osoitetaan niiden yhtäpitävyys valitun määritelmän kanssa. Tämä tapahtuu usein esittämällä vaihtoehtoinen määritelmä jos ja vain jos -lauseena.

139 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 39 Esimerkki 0.. (logaritmifunktion määritelmiä) Annetaan vaihtoehtoisia määritelmiä käsitteelle logaritmifunktio. Kussakin yhteydessä näistä yksi valitaan logaritmifunktion määritelmäksi riippuen siitä mitä käsitteitä jo tunnetaan. Määritelmä. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Määritelmä. Logaritmifunktio on funktio f : R + R, f(x) := x t dt. Määritelmä 3. Olkoon f : R + R funktio, joka toteuttaa seuraavat ehdot: a) lim x 0 f( + x) x =, b) f(xy) = f(x) + f(y) kaikilla x, y R +. Tällöin funktiota f sanotaan logaritmifunktioksi. Lause eli Teoreema Matematiikan teoriassa esiintyvät lauseet (nyt ei puhuta logiikan lauseista) ovat matematiikan tuloksia, totuuksia ja päämääriä. Lause on aina todistettava loogisesti oikealla päättelyllä aksioomien tai jo aikaisemmin todistettujen tulosten avulla. Pyrkimyksenä on esittää lauseet mahdollisimman yleisessä muodossa, esimerkiksi: Esimerkki 0.. Lause. Derivoituva funktio on jatkuva. Kuitenkin näin lakoninen esitystapa vaatii lukijalta tulkintaa, johon asiayhteydestä pitäisi saada riittävästi taustatietoa; mm. funktion muuttujien lukumäärä, jatkuvuuden ja derivoituvuuden määrittely jne... Ikävä kyllä usein näkee seuraavanlaista turhaa symbolien käyttöä: Lause. Joukossa A derivoituva funktio f on jatkuva. Lauseen todistuksessa on tietysti mentävä tarpeellisiin yksityiskohtiin. Monissa kielissä Teoreemaa suppeampi tai vaatimattomampi tulos on nimeltään Propositio.

140 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 40 Apulause eli Lemma Lausetta, jota tarvitaan vain jonkin toisen tärkeämmän lauseen todistamiseksi, kutsutaan apulauseeksi eli lemmaksi. Lemman ei tarvitse välttämättä olla kovin yleisessä muodossa ja se voi sijaita vaikka keskellä lauseen todistusta. Seuraus eli korollaari Lausetta, joka on toisen lauseen välitön seuraus, usein erikoistapaus, kutsutaan korollaariksi eli seurauslauseeksi. Esimerkki 0..3 Lause. Jokaiselle reaaliluvulle x pätee x = x. Seuraus. Jos x 0, niin x = x. Tehtävä 0..4 Ilmaise edellinen lause ja seuraus ilman symboleja. Konjektuuri Konjektuuri muistuttaa muotoilultaan lausetta. Kyseessä ei ole tulos, vaan oletettu väite, jota ei vielä ole onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Konjektuurit työllistävät matemaatikkoja ja ohjaavat jopa uusien matematiikan alojen kehittymistä. Esimerkki 0..5 Konjektuuri. Jokainen lukua suurempi parillinen kokonaisluku voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Esimerkiksi siis 48 = 9 + 9, 00 = Tämä on kuuluisa Goldbachin konjektuuri. Todistus Esimerkin 0.. Lauseen todistus voisi alkaa asetelman kuvauksella. Todistus. Olkoon f joukossa A R määritelty derivoituva reaaliarvoinen funktio. Olkoon x A mielivaltainen. Koska f on derivoituva pisteessä x, on sillä esitys... Todistamista sen eri muodoissaan tarkastellaan Luvussa 0..

141 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 4 Matemaattinen malli Matemaattista teoriaa rakentamalla saadaan matemaattinen malli. Jos malli kuvaa todellisuutta, niin se on todellisuuden pelkistetty kuva. Järkevillä aksioomien valinnoilla ja käsitteiden määrittelyillä malli pyritään saamaan mahdollisimman hyvin toimivaksi. Loogisesti oikein suoritetulla päättelyllä saatu tulos kertoo totuuden. Tämä totuus on totuus kyseisessä mallissa, ei ympäröivässä todellisuudessa. Toisaalta todistuksesta tulee merkityksellinen vasta, kun myös sitä myöhemmin tarkasteleva voi ymmärtää sen ja vakuuttua todistuksen oikeellisuudesta. 0. Induktioperiaate ja induktiotodistus Induktion idea Asetetaan dominolaattoja pystyasentoon lähelle toisiaan. xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xxxxx xx xxxxx xx xx xx xx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Kuva 54: Dominolaatat pystyssä peräkkäin ja lähekkäin Olettakaamme, että jonon ensimmäinen laatta kaatuu. jonossa ei ole liian suuria välejä: jos k:s laatta kaatuu, se kaataa k + :n laatan. Silloin kaikki dominolaatat kaatuvat. Matemaattinen induktio (induction) on todistusmenetelmä, joka toimii dominolaattaesimerkin kuvaamalla tavalla. Matemaattisen induktion periaate Olkoon P (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos

142 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 4 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xx xx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xx xx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Kuva 55: Kun yksi kaatuu, seuraavatkin kaatuvat P () on tosi, ja siitä, että P (k) on tosi jollakin arvolla k seuraa, että P (k + ) on tosi, niin ominaisuus P (n) on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n N. Kohta jaetaan usein selvyyden vuoksi kahteen osaan I) ja I3), jolloin induktiotodistus koostuu kolmesta osasta: I) n = : Osoitetaan P () todeksi tavalla tai toisella. I) n = k: Tehdään induktio-oletus, jossa ilmaistaan, mitä P (k) on tosi jollakin arvolla k tarkoittaa. I3) n = k+: Induktioaskel tai induktioväite, jossa todistetaan induktio-oletusta käyttäen P (k + ) on tosi. Esimerkki 0.. Todista, että jos n on luonnollinen luku, niin n + n on parillinen luku. Ratkaisu. Olkoon P (n) := n + n on parillinen. I) Arvo n =. Kokeillaan luvulla n = : + = on parillinen. Siis väite on tosi arvolla n =, eli P () on tosi. I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että P (k) on tosi eli että k +k on parillinen jollakin arvolla k. I3) n = k+: Induktioaskel: Osoitetaan, että P (k+) on tosi, ts. (k+) +(k+) on parillinen. Induktio-oletuksen mukaan k + k = m jollakin m Z. Tarkastellaan lukua n + n arvolla k + : (k + ) + (k + ) = k + k + + k + = k + k + k + = m + k + induktio-oletus = (m + k + ) = p, p Z.

143 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 43 Siis (k + ) + (k + ) on parillinen. Induktioperiaatteen ja kohtien I-I3 nojalla n + n on parillinen kaikilla n N. Esimerkki 0.. Todista, että kaikilla n N on n = n(n + ). Ratkaisu. Olkoon kyseinen väite P (n) on tosi. Induktiotodistus: I) n =. Tarkistetaan kaava arvolla : =, mikä on tosi. I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että kaava pätee jollakin arvolla k, eli k = k(k + ). I3) n = k+: Induktioaskel: Induktio-oletuksen nojalla (ja sievennellen) k + (k + ) = Siis kaava pätee arvolla k +. = = = k(k + ) + k + k(k + ) + (k + ) (k + )(k + ) (k + )((k + ) + ). Induktioperiaatteen ja kohtien I-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n N. Esimerkki 0..3 Todista, että 3 n + n kaikilla n N. Ratkaisu. I) n = : 3 = 3 3 = + on tosi. I) n = k: Oletetaan, että jollekin luvulle k pätee 3 k + k. (induktio-oletus) I3) n = k+: Väite: 3 k+ + (k + ). Induktio-oletuksen nojalla ja koska k 0: 3 k+ = 3 3 k 3( + k) = 3 + 6k Siis epäyhtälö pätee myös luvulla k +. = + (k + ) + 4k + (k + ). Induktioperiaatteen ja kohtien I-I3 nojalla epäyhtälö pätee kaikilla n N.

144 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 44 Matemaattisen induktion eri versioita Joskus tarvitaan induktiotodistuksista erilaisia muunnelmia. Seuraavassa kaksi: a) siirros koskemaan kokonaislukuja jostakin perusarvosta lähtien (luvun sijasta) b) yleinen hajoitusmahdollisuus a) Olkoon m Z kiinteä luku. Olkoon P (n) kokonaislukuja n m koskeva väite. Jos ) P (m) on tosi, ja ) siitä, että P (k) on tosi jollakin k m seuraa, että myös P (k + ) on tosi, niin ominaisuus P (n) on voimassa kaikille n m. b) Olkoon P (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos ) P () on tosi, ja ) siitä, että P (), P (),..., P (k) ovat tosia jollakin k, seuraa, että P (k+) on tosi, niin P (n) on voimassa kaikilla luonnollisilla luvuilla. Lause 0..4 Jos joukossa A on n N 0 alkiota, niin sen potenssijoukossa P(A) on n alkiota. Todistus. Perustellaan väite matemaattisella induktiolla joukon alkiomäärän n = 0,,, 3,... suhteen. I) Kun n = 0, on asia selvä; tyhjällä joukolla ei ole alkioita, mutta on yksi osajoukko, se itse: 0 =. I) n = k: Oletetaan, että lauseen väite on tosi jollakin k 0, ts. k-alkioisilla joukoilla on k osajoukkoa. I3) n = k+: Olkoon A joukko, jossa on k + alkiota, ts. A = {a, a,..., a k, a k+ }. On osoitettava, että joukolla A on k+ osajoukkoa. Olkoon B := {a, a,..., a k }. Koska joukossa B on k alkiota, on sillä induktio-oletuksen mukaan k osajoukkoa. Kun lisätään joukon B jokaiseen osajoukkoon alkio a k+, saadaan k uutta osajoukkoa. Koska B A, ovat joukon B osajoukot myös joukon A osajoukkoja. Myös uudet joukot ovat konstruktionsa perusteella joukon A osajoukkoja. Täten joukolla A on k + k = k = k+ osajoukkoa. Näin induktioaskel on tullut todistetuksi. Matemaattisen induktion periaatteen ja kohtien I-I3 nojalla on väite tullut todistetuksi.

145 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 45 Tehtävä 0..5 Todista induktiolla, että aritmeettisen sarjan osasummille pätee kaava ( a + (a + d) + (a + d) (a + (nd)) = (n + ) a + n d ). Tehtävä 0..6 Todista induktiolla, että kun geometrisen sarjan suhdeluku q, niin sen osasummille pätee kaava + q + q + + q n = qn+ q. Tehtävä 0..7 Unkarilainen matemaatikko György George Pólya ( ) havainnollisti induktiotodistuksen voimaa seuraavan lauseen ja sen todistusehdokkaan avulla: Hevonvärilause. Kaikki hevoset ovat samanvärisiä. Onko väite mielestäsi totta, onko todistus kelvollinen? Jos ei, missä vika? Todistus. Jätetään yksinkertaisuuden vuoksi kirjavat hevoset tarkastelun ulkopuolelle, koska voi olla vaikeuksia tulkita samanvärisyyttä näiden kesken. Muodostetaan siis todistus matemaattisella induktiolla (yksiväristen) hevosten lukumäärän n suhteen. Jos nimittäin väite pitää paikkansa kaikenkokoisille hevosjoukoille, niin ymmärrettävästi se on totta kaikkien hevosten joukolle; hevosiahan on vain äärellisen monta. I) n = : Yhden hevosen joukossa väite on triviaalisti totta. I) n = k: Oletetaan, että jollakin k kaikissa k:n hevosen joukoissa hevoset ovat samaa väriä. I3) n = k + : Olkoon A hevosjoukko, jossa on k + hevosta (kukin niistä yksivärinen). Numeroidaan hevoset: A = {h, h, h 3,..., h k, h k+ }. Jotta pääsemme käyttämään induktio-oletusta, tarkastellaan kahta k hevosta sisältävää osajoukkoa, vaikkapa B := {h, h, h 3,..., h k } ja C := {h, h 3,..., h k, h k+ }. Induktio-oletuksen mukaan näissä olevat hevoset ovat keskenään samanvärisiä; olkoot joukon B hevoset väriä b ja joukon C hevoset väriä c. Koska selvästi B C, on ainakin yksi hevonen väriä b ja c ja yksivärisyyden perusteella b = c. Koska A = B C, ovat kaikki joukon A hevoset samanvärisiä. Induktioperiaatteen ja todistuksen kohtien I-3) nojalla kaikki (yksiväriset) hevoset ovat samanvärisiä.

146 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 46 Induktiivinen määrittely Induktioperiaatetta voidaan käyttää myös määriteltäessä mm. lukujonoja: Yksi luku jonon (x n ) = x, x, x 3,... alusta kiinnitetään, x := a. Annetaan sääntö x k+ := f(x k ) jonka avulla luku x k+ määräytyy luvun x k avulla. Tällöin sanotaan, että lukujono on määritelty induktiivisesti (inductive). Joskus sanotaan myös, että jono on annettu rekursiivisesti (recursive). Idean tulkinta on kyllä usein käänteinen, erityisesti tietokoneohjelmoinnissa. Normaalisti lukujono (x n ) = x, x, x 3,... määritellään induktiivisesti asettamalla x := a, x k+ := f(x k ), k N, missä a R ja f : R R on funktio. On huomattava, että säännön on syytä olla funktio, ja vieläpä sellainen, että sen määrittelyjoukko varmasti sisältää kaikki jonon luvut. Esimerkki 0..8 Kun valitaan f(x) := x ja x := x k+ := x k, k N. Tällöin x =, x =, x 3 = = 8, x 4 = 8 = 8 jne. Hiukan yleisempi muoto induktiokaavan määräävälle funktiolle on x k+ = f(k, x k ). Esimerkki 0..9 Valitsemalla f(k, x) := (k + )x ja x 0 :=, x k+ := (k + )x k, k N 0 saadaan jono x 0 =, x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 6,... Toinen tulkinta tälle kertomajonolle (factorial) on suora määrittely 0! := x 0 =, k! := x k = 3 4 k.

147 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 47 Lukujonon alusta voidaan antaa myös vaikkapa kaksi lukua x := a, x := a, ja antaa sääntö muodossa x k+ := f(x k+, x k ), tai vastaavassa. Esimerkki 0..0 Määritellään Fibonaccin lukujono (Fibonacci sequence) (F n ) asettamalla F =, F =, F k+ = F k + F k, k. Siis (F n ) =,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,... Tähän lukujonoon kuuluvia lukuja kutsutaan Fibonaccin luvuiksi (Fibonacci numbers). Fibonaccin (Leonardo Pisano Fibonacci, 70-50) luvut esiintyvät luonnossa muun muassa kukkien terälehdissä: liljat, irikset (3), leinikit, omena, villiruusu (5), kosmoskukka (8), asterit (), kaunokainen (34, 55 ja 84), kasvien lehtien ja oksien järjestyksessä, luonnon spiraaleissa: männyn kävyissä (8 ja 3), auringonkukassa (34 ja 55), päivänkakkarassa ( ja 34). Esimerkki 0.. Todista Lause. F + F F n = F n+ kaikilla n N. Todistus. I) n = : = on tosi. I) n = k: Oletetaan, että jollakin k on F + F F k = F k+. (induktio-oletus) I3) n = k + : Arvolla k + saadaan induktio-oletuksesta lähtien F + F F k + F k+ = F k+ + F k+ = F k+ + F k+ = F k+3 = F (k+)+. Induktioperiaatteen ja kohtien I-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n N.

148 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 48 Fibonaccin lukujonon määrittelevä yhtälö on esimerkki toisen kertaluvun lineaarisesta vakiokertoimisesta rekursiokaavasta eli differenssiyhtälöstä, joka aina voidaan ratkaista samaan tapaan kuin vastaavanlainen differentiaaliyhtälö. Fibonaccin rekursiokaavaan sovellettuna ratkaisumenetelmä johtaa (sijoituksilla F k = α k ) karakteristiseen yhtälöön α = α +, josta saadaan α = ± 5. Jonon luvuille voidaan nyt saada alkuehtojen F = F = avulla suora laskukaava F n = ( 5 ( + ) n 5) ( 5 ( n 5)). Luku α on kultainen luku (golden ratio), joka on kultaisen leikkauksen suhdeluku α = + 5, Tämä saadaan myös peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhteen raja-arvona F n+ lim = + 5 n F n = α. Esimerkki 0.. Kultaisessa suorakulmiossa vierekkäisten sivujen suhde = kultainen luku α. Kun suorakulmiota edelleen jaetaan samassa suhteessa, voidaan sen sisälle piirtää nk. kultainen spiraali, ks. Kuva 56. Kuva 56: Kultainen suorakulmio

149 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA Suora ja epäsuora todistus Suora todistus Logiikan lause (P (P Q)) Q on tautologia, joten päättely on johdonmukainen (ks. Luku.3). P P Q Q Monet väitteet ovat muotoa Jos P, niin Q. Suorassa todistuksessa käytetään hyväksi oletusta P, ja näytetään, että jos oletus P on tosi, niin Q on tosi. Esimerkki 0.3. Väite. Jos n on parillinen kokonaisluku, niin n on parillinen. Todistus. Olkoon n parillinen kokonaisluku. Tällöin n = k jollekin k Z, joten n = (k) = k = m, m Z, on parillinen. Esimerkki 0.3. Väite. Jos n on parillinen kokonaisluku, niin n on parillinen. Todistus. Olkoon n Z parillinen. Tällöin n = k missä k Z. Siis n = k??? Ei voida jatkaa!! Kuten tästä esimerkistä huomataan, väitteen todistaminen suorasti ei ole aina mahdollista. Epäsuora todistus ) Lause (P Q) ( Q P ) on tautologia, ts. (P Q) ( Q P ). Näin saadaan käänteinen suora todistusmenetelmä: Väite P Q voidaan todistaa osoittamalla Q P. ) Toisaalta logiikan lause (P Q) ( (P Q) ) on tautologia. Siten: Väite P Q voidaan todistaa osoittamalla P Q mahdottomaksi.

150 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 50 Väite P Q todistetaan epäsuorasti yhdistämällä ylläolevat kaksi periaatetta: Tehdään vastaoletus eli antiteesi Q ja pyritään näyttämään joko ristiriita lauseen P kanssa (siis että P olisikin epätosi) tai että lauseista P ja Q seuraa mahdottomuus, esimerkiksi ristiriita jonkun aikaisemmin saadun tuloksen, oletuksen tai aksiooman kanssa. Esimerkin 0.3. väitteen todistaminen onnistuu epäsuoralla todistuksella: Esimerkki Väite. Jos n on parillinen, niin n on parillinen. Todistus. Olkoot P (n) := n on parillinen ja Q(n) := n on parillinen. Tehdään vastaoletus: Q(n) on tosi eli n on pariton. Tällöin on olemassa k Z, jolle n = k +. Silloin n = 4k + 4k + = (k + k) +. Mutta tämä luku onkin paritonta muotoa p +, p Z, eli P (n) olisi tosi. Tämä on ristiriita, joten on oltava Q(n) tosi. Esimerkki Väite: Jos n N, niin (n+) ei ole minkään kokonaisluvun neliö. Todistus. Vastaoletus. luku (n + ) on kokonaisluvun neliö eli (n + ) = k jollakin k Z. Silloin k on parillinen ja Esimerkissä todistetun nojalla myös k on parillinen. Siis k = p jollakin p Z. Mutta tällöin (n + ) = (p) = (p ), mistä seuraa n + = p. Koska n + on pariton ja p on parillinen, ilmenee haettu ristiriita. Esimerkki Määritelmä. Kokonaisluku n on alkuluku, mikäli sillä ei ole muita positiivisia tekijöitä kuin ja se itse. Alkulukuja ovat siis mm., 3, 5, 7,, 3, 7, 9,...

151 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 5 Lause. Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. Vastaoletus. Alkulukuja on äärellinen määrä. Tällöin on tietysti olemassa suurin alkuluku. Olkoon tämä p N. Luku q := ( p) + ei ole jaollinen millään luvuista, 3,..., p, sillä jakojäännös on aina. Siis luku q > p on jaoton (siis alkuluku) tai ainakin sen alkutekijät ovat > p. Siis on olemassa lukua p suurempia alkulukuja. Tämä on ristiriita luvun p määrittelyn kanssa, joten antiteesi ei voi olla totta. 0.4 Ekvivalenssin osoittaminen Luvussa todistimme ekvivalenssitodistuksilla eräitä joukkojen samuuksia, mm. I osittelulain. Väite P Q joudutaan usein jakamaan (ja yleensä kannattaakin jakaa) osiin P Q ja Q P. Koska lause (P Q) ((P Q) (Q P )) on tautologia, ovat lauseet P Q ja (P Q) (Q P ) loogisesti ekvivalentit. Usein jompikumpi tai jopa molemmat joudutaan todistamaan epäsuorasti, tai saatetaan joutua käyttämään aivan erilaisia päättelypolkuja. Esimerkki 0.4. Lause. Luonnollinen luku on parillinen, jos ja vain jos sen neliö on parillinen. Todistus. Väitteen eri puolet on todistettu Esimerkeissä 0.3. ja Seuraus. Luonnollinen luku on pariton, jos ja vain jos sen neliö on pariton. Ominaisuuksien yhtäpitäviksi todistamisia on ollut mm. Luvuissa 4.6 ja 4.7, katso esimerkiksi Lauseen kohta c). 0.5 Todistuksen esitysjärjestys Todistusta tehdessä on syytä ensin selkeästi erottaa mitä oletetaan ja mitä väitetään, ja mieluiten kirjoittaa ne myös selkeästi näkyviin, esimerkiksi Oletus. Luku n on parillinen. Väitös. Luku n on parillinen. Todistus. Olkoon n N parillinen. Parillisuuden nojalla...

152 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 5 Itse todistusta työstettäessä on ensin syytä selvittää mitä kaikkea oletetuista asioista voi päätellä ja miten niitä voisi yhdistellä. Samoin kannattaa tutkiskella väitteen sisältöä, mistä lähimmistä asioista se voisi olla seurausta. Voi siis edetä oletuksista niin pitkälle kuin seurauksia keksii, ja taas väitteestä vastaavasti takaperin. Mikäli sillan rakenteet molemmilta päin osuvat yhteen, voidaan lopullinen todistus muokata loogiseen järjestykseen yhdistämällä osapäättelyt. Suora todistus etenee aina oletuksesta väitteeseen. Epäsuora todistus lähtee aina antiteesistä, joka lisätään muihin oletuksiin. Päättelyn pitäisi johtaa ristiriitaan alkuperäisen oletuksen tai tunnetun tuloksen tai aksiooman kanssa. 0.6 Väitteen osoittaminen vääräksi Väitteet ovat usein muotoa jokaiselle x A pätee... tai kaava... pätee. Tällaista väitettä oikeaksi todistettaessa on huomioitava kaikki mahdolliset tapaukset. Väitteen kumoaa yksi esimerkki, jossa väite ei ole voimassa. Tällaista väitteen kumoavaa yksittäistapausta sanotaan vastaesimerkiksi (counter-example). Joskus vastaesimerkki on hyvin yksinkertainen, joskus sitä voi olla hyvinkin työlästä keksiä. Onpa niinkin, että monille tunnetuille konjektuureille ei ole keksitty todistusta, mutta ei myöskään vastaesimerkkiä! Väite osoitetaan vääräksi esittämällä väitteelle yksi vastaesimerkki!! Esimerkki 0.6. Väite. Joukoille pätee laskusääntö A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Ratkaisu. Vaikkapa Venn-diagrammi rohkaisisi epäilemään väitteen paikkansapitävyyttä, ja sen avulla voi vastaesimerkin usein keksiäkin. Oikein: Kaava ei päde, sillä esimerkiksi jos A := {, }, B := {, 3} ja C := {3}, niin puoliskot ovat eri joukkoja A \ (B C) = {} (A \ B) (A \ C) = {, }. Väärin: Kaava ei päde, sillä joukko-opin laskusääntöjen mukaan A \ (B C) = A B C = A (B C) = (A B) (A C) = (A \ B) (A \ C) (A \ B) (A \ C), sillä yhdiste ja leikkaus eivät ole samat.

153 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 53 Ongelmana on se, että vaikka kahden joukon yhdiste ja leikkaus eivät yleensä ole sama joukko, ne voisivatkin juuri tuossa tapauksessa, noille joukoille, olla sattumoisin samat. Monet yhtälöt ovat tosia, vaikkemme niitä tosiksi suoralta kädeltä näekään. Perustelujen pitää olla sellaisia, ettei niihin voi tarttua kysymällä mistä tiedät, onko varmasti? Esimerkki 0.6. Väite. Jos funktiolle f : R R pätee f (x 0 ) = 0, niin x 0 on sen ääriarvokohta. Ratkaisu. Väite on väärä. Vastaesimerkki. Etsitään funktio ja muuttujalle (määrittelyjoukosta) arvo, jossa funktion derivaatta häviää, mutta joka ei ole ääriarvokohta. Olkoon f : R R, f(x) := x 3 (Kuva 57). Tällöin f (x) = 3x, joten f (0) = 0, mutta 0 ei tunnetusti ole funktion f ääriarvokohta. 8 6 y 4 0 x Kuva 57: Funktion f, f(x) := x 3, kuvaajaa origon liepeillä 0.7 Arviointitekniikka Matemaattisiin todistuksiin liittyy usein oleellisena osana arvioiminen. Jos väite on muotoa On olemassa sellainen luku, että..., niin todistuksessa riittää tavallisesti etsiä jokin ehdon toteuttava luku, ei kaikkia, eikä parasta. Esimerkki 0.7. Osoita, että riittävän suurilla arvoilla n N on 7 3n + < 0,000. Tämä tarkoittaa: on osoitettava, että on olemassa n 0 N s.e. n > n 0 7 3n + < 0,000.

154 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 54 Ratkaisutapa. Ratkaistaan n epäyhtälöstä: 7 3n + Voidaan valita n 0 := 3333, jolloin < 0,000 3n + > 7 0,000 3n > n > n > n 0 = n + < 0, Ratkaisutapa. Arvioidaan lauseketta ylöspäin, kohti yksinkertaisempaa 3n+ lauseketta: 7 3n + < 7 3n < 9 3n = 3 n. Nyt 3 < 0,000 n > Siis valitaankin nyt n n 0 := 30000, jolloin n > n 0 = n > Samaan tapaan huomataan, että esimerkiksi 7 3n + < 3 n < 0, n + < 0 4. n > n + < 0 5, n > n + < Siis kun n on riittävän suuri, lausekkeesta (ennalta valittu) positiivinen luku. 3n+ eli tulee pienempi kuin mikä tahansa Matematiikassa mielivaltaista aidosti positiivista reaalilukua merkitään tavallisesti kreikkalaisella kirjaimella epsilon ε. Mielivaltainen ε > 0 tarkoittaa sitä, että ε voi sijaita lukusuoralla missä tahansa nollan oikealla puolella. Usein tarkasteluissa ε on lähellä nollaa. Arviointia koskevia sanontoja mielivaltainen = mikä tahansa mielivaltaisen lähellä = lähempänä kuin epsilonin päässä Esimerkki 0.7. Olkoon ε > 0. Esimerkin 0.7. mukaan n > 3 ε 7 3n + < ε.

155 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 55 Huomautus Jos ε > 0 on mielivaltainen reaaliluku, niin myös esimerkiksi lukuja ε, ε, ε5 ja ε voidaan pitää mielivaltaisina positiivisina reaalilukuina, koska ne voivat olla mielivaltaisen lähellä nollaa, kunhan ε on riittävän lähellä nollaa. Sen sijaan esimerkiksi luvut + ε, e ε ja ln ε eivät ole mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja, sillä + ε >, e ε > ja ln ε voi olla negatiivinen. Esimerkki Osoita, että lauseke 4n+ saa mielivaltaisen lähellä nollaa olevia arvoja, kun n on tarpeeksi n 3 +3 suuri. Ratkaisu. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Osoitetaan, että on olemassa n 0 N s.e. Arvioimalla lauseketta saadaan 0 4n + n < 4n + n 3 n > n 0 0 4n + n < ε. 4n + n n 3 = 5n n 3 = 5 n 5 n < ε, kun n > 5 ε. Valitaan nyt sellainen n 0 N, että n 0 > 5 ε. Silloin n > n 0 0 4n + n < ε. Kun nyt valitaan esimerkiksi ε := 0 9 tai ε := 0 5 : n > n + n < 0 9 n > n + n < 0 5. Huomautus a) Vastaavalla tavalla käsitellään tilannetta mielivaltaisen suuri. Mielivaltaisen suurta lukua merkitään usein kirjaimella M. b) Joissain tilanteissa lausekkeen arvo halutaan mielivaltaisen lähelle annettua lukua. c) Ajatus mielivaltaisen lähellä on monissa sellaisissakin tarkasteluissa, joissa ei esiinny eksplisiittisesti lukua ε. Tarkastellaan vielä näitä tilanteita esimerkkien valossa.

156 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA 56 Esimerkki Osoita, että n5 +n n +n tarpeeksi suuri. saa mielivaltaisen suuria arvoja, kun n on Ratkaisu. Olkoon M > 0 mielivaltainen. Arviomalla lauseketta saadaan n 5 + n n + n kun n > 3M +. Siis n5 + n n n + n n4 n n + n = n3 3 n > 3M + n5 + n n + n = n5 n n + n = n4 n n + n 3 > M. > M, Esimerkki Osoita, että n+3 saadaan mielivaltaisen lähelle lukua, kun n n+5 on tarpeeksi suuri. Ratkaisu. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Väite tarkoittaa, että pitää olla n + 3 n + 5 < ε, kun n on tarpeeksi suuri. Arvioimalla itseisarvoa saadaan arvoilla n > 7: ε n + 3 n + 5 = n + 3 n 0 n + 5 = 7 n + 5 = 7 n + 5 < 7 n < ε Esimerkki Olkoon A i := [ 0, i ] arvoilla i N. Osoita: i= A i = {0}. Tilanteesta saa alustavan käsityksen Kuvasta 58. Luku 0 kuuluu jokaiseen jouk- A = [0,] _ A = [0, ] _ 3 A 3 = [0, ] 0 _ 0 _ 3 0 Kuva 58: Esimerkin välejä koon A i, joten {0} i= A i. Osoitetaan, että jos x i= A i niin x = 0. Vastaoletus. x 0. Koska x i= A i, on x A eli 0 x. Koska x 0, on x > 0. Koska R, on olemassa n N, jolle n > eli x >. Tällöin x / [ 0, x x n n]. Koska A n = [ ] 0, n, niin x / An. Siis x / i= A i, mikä on ristiriita.

157 0 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA Tietokone todistuksen apuna Esimerkki 0.8. Väite: Jokainen parillinen kokonaisluku n > voidaan esittää kahden alkuluvun summana n = p + q. Mitä voidaan tehdä tietokoneella? Tietokoneella voidaan etsiä näitä alkulukuja annetuille kokonaisluvuille. Tällaisilla lukujen testaamisilla ei kuitenkaan voida osoittaa väitettä oikeaksi. Tietokoneen käyttö todistuksissa rajoittuu lähinnä mekaanisten laskutoimitusten suorittamiseen (sellaisten, jotka ainakin periaatteessa voidaan tehdä ilman konetta). Tietokone on hyvä työväline vastaesimerkkien keksimisessä, siis jonkin väitteen osoittamisessa vääräksi. Esimerkki 0.8. Kartanväritysongelma (graph coloring). Väritetään kartta niin, että mitkään naapurimaat eivät ole samanvärisiä keskenään. Maat voivat olla minkä muotoisia tahansa, mutta kukin maa muodostuu yhdestä yhtenäisestä osasta. Montako väriä riittää? Ongelma on vanha, yksinkertainen ja kiehtova. On helppo osoittaa, että ainakin neljä väriä tarvitaan (ks. Kuva 59). Todistus sille, että 4 väriä aina riittää, on tun- Kuva 59: Ainakin 4 väriä tarvitaan netuin tietokoneella toteutettu matemaattinen todistus. Todistus vaati niin paljon mekaanista laskemista, ettei se ilman tietokonetta ollut mahdollinen (K. Appel ja W. Haken, 976: The solution of the Four-Color-Map Problem: Scientific American, vol. 37). Työhön kului aikaa 4 vuotta ja yli 00 tietokonetuntia.

158 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta (vrt. Luku.7). Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa. Kuitenkin on monesti tärkeää päästä vertaamaan erikokoisia äärettömiä, esimerkiksi miten joukon ja sen potenssijoukon alkiomäärät suhtautuvat toisiinsa. Joukkojen keskinäisiä alkiomääriä voidaan vertailla funktioiden maailmasta saatavalla työkalulla, käsitteellä joukkojen mahtavuus (set cardinality). Jo Luvussa.7 otimme käyttöön alkiomäärä-symbolin #; #A tarkoitti siis joukon A alkioiden lukumäärää.. Mahtavuusvertailujen määrittely Ristiriitoja välttääksemme otamme jonkin perusjoukon X, jonka osajoukkoja kaikki vertailtavat perustason joukot ovat. Määritellään joukon X osajoukkojen yhtämahtavuusrelaatio asettamalla: A B A = B = tai on olemassa bijektio A B. Lause.. Yhtämahtavuusrelaatio on ekvivalenssi joukon potenssijoukossa. Todistus. Asetelma on kelvollinen, P(X) P(X), joten todella on relaatio joukossa P(X). (E) on refleksiivinen: A A, koska identtinen kuvaus Id : A A, Id(x) := x, on näiden välinen bijektio. (E) on symmetrinen: Jos A B, on olemassa bijektio A B. Sen käänteiskuvaus B A on bijektio ja siten B A. (E3) on transitiivinen: Olkoot A B ja B C. Silloin on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C. Nämä voidaan yhdistää funktioksi g f : A C, joka bijektioiden yhdistettynä funktiona on bijektio. Siis A C. Määritelmä.. Sanotaan, että (perusjoukon X osa)joukot A ja B ovat yhtä mahtavia (equal cardinality), jos A B, ts. jos molemmat ovat tyhjiä tai on olemassa bijektio A B. Joukko A on korkeintaan yhtä mahtava joukko kuin B, jos joko A = tai on olemassa injektio A B. Tätä merkitään A B. Jos A B, sanotaan myös, että joukko B on vähintään yhtä yhtä mahtava kuin A. Joukko B on aidosti mahtavampi kuin joukko A (tai: joukko A on aidosti vähemmän mahtava), jos A B mutta ei ole A B; merkitään A B tai B A.

159 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 59 Lause..3 Joukko A on korkeintaan yhtä yhtä mahtava kuin B jos ja vain jos joko A = tai on olemassa surjektio B A. Todistus. Olkoot A, B X. Jos A =, on asia selvä. Olkoon siis A. Oletetaan, että A B, ts. että on olemassa injektio f : A B. Tämä voidaan tulkita bijektioksi f : A f(a), jolloin sen käänteisrelaation f rajoittuma joukkoon f(a) on bijektio f(a) A. Jos joukko B \ f(a) =, on asia selvä (miksi?). Jos ei, otetaan joukosta A jokin alkio a ja kuvataan kaikki joukon B \ f(a) alkiot alkiolle a. Tarkemmin muotoiltuna: tehdään uusi funktio G : B A, jolle G(y) := f (y) kaikilla y f(a) ja G(y) = a kaikilla y B \ f(a). Silloin G : B A on surjektio. Oletetaan kääntäen, että on olemassa surjektio g : B A. Nyt jokainen alkukuvajoukko g (x) on epätyhjä ja funktio-ominaisuuden nojalla nämä joukot ovat erillisiä, eli g (x ) g (x ) kaikilla x x. Täten jokaista x A kohti voidaan valita yksi alkio sen alkukuvajoukosta ja näin saadut alkukuvat ovat kaikki eri alkioita. Tällä tavoin saamme aikaan injektion A B. Esimerkki..4 Olkoon A := {,, 3, 4, 5} ja B := {a, b, c, d, e, f}. a) Oletetaan aluksi, että joukon B kaikki alkiot ovat eri alkioita. Silloin A on korkeintaan yhtä mahtava, jopa aidosti vähemmän mahtava kuin B, siis A B. Äärellisten joukkojen tapauksessa mahtavuuksien vertailua voidaan yleensäkin tehdä suoraan alkiomäärien avulla; yllähän on #A = 5 < 6 = #B. b) Jos joukon B luetelluissa alkioissa on samoja, niin A onkin vähintäin yhtä mahtava kuin B. Esimerkki..5 Olkoon N := {, 4, 6, 8,...}. Tällöin N N, sillä funktio f : N N, f(n) := n, on bijektio, ks. Kuva n f(n) Kuva 60: Esimerkin..5 bijektio f(n) = n Esimerkki..6 Väli ]0, [ on yhtä mahtava joukon R kanssa, sillä on olemassa bijektio f : R ]0, [. Esimerkiksi mikä? Tehtävä..7 Onko puoliavoin väli [0, [ yhtä mahtava kuin avoin väli ]0, [?

160 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 60 Osoitetaan, että potenssijoukko on aina aidosti mahtavampi kuin joukko itse. Äärellisille joukoillehan tämä seuraisi myös Lauseesta Lause..8 (Cantorin lause) Mielivaltaiselle joukolle X on X P(X). Erityisesti äärelliselle joukolle on #X < #P(X). Todistus. Jos X =, on asia selvä: { }. Olkoon siis X epätyhjä joukko. Kuvaus f : X P(X), f(x) := {x}, on selvästi injektio, joten X P(X). Aidon vähemmän mahtavuuden todistamiseksi riittää Lauseen..3 mukaan näyttää, että ei ole olemassa surjektiota X P(X). Olkoon g : X P(X) funktio ja A := { x X x / g(x) }. Silloin A P(X). Näytetään, että mikään joukon X alkio ei kuvaudu joukolle A X. Vastaoletus: On olemassa x 0 X, jolle g(x 0 ) = A. Koska x 0 A tai x 0 / A, seuraa: Jos x 0 A, joukon A määrittelyn nojalla x 0 / g(x 0 ) = A. Jos x 0 / A = g(x 0 ), joukon A määrittelyn nojalla x 0 A. Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan, joten ei ole olemassa alkiota x 0 X, joka kuvautuisi joukolle A. Koska ei ole olemassa surjektiota X P(X), on X P(X).. Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys Naiivi tapa määritellä joukon äärettömyys on sanoa joukkoa äärettömäksi, jos siinä ei ole äärellisen monta alkiota. Tässä kuitenkin piilee kehämäärittelyn maku; ääretön määritellään äärellisen avulla. Mitä on sitten olla äärellinen? Matemaattisesti voidaan menetellä toisinpäin, määritelläänkin ääretön joukko edellä johdettujen työkalujen avulla, muodollisesti täysin riippumatta tuosta hieman hämärästä äärellisyyskäsitteestä. Määritelmä.. Joukko on ääretön (infinite), jos se on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Muutoin joukko on äärellinen (finite). Äärettömän lukumäärän määrittely näin voi aluksi vaikuttaa hiukan abstraktilta, mutta aikaa myöten sen käyttökelpoisuuden pitäisi tulla näkyviin.

161 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 6 Esimerkki.. Viisialkioinen joukko A := {,, 3, 4, 5} on ymmärrettävästi äärellinen, koska sen jokaisessa aidossa osajoukossa on enintään neljä alkiota, eikä näiden välillä siten voi olla bijektiota. Esimerkki..3 Esimerkissä..5 todettiin, että N N = {, 4, 6, 8,...}. Koska N on joukon N aito osajoukko, on N ääretön. Onkohan myös N ääretön? Nyt on siis voitu matemaattisesti vetää raja äärellisen ja äärettömän lukumäärän välille. Mutta onkohan olemassa erikokoisia äärettömiä? Mehän nimittäin tiedämme Lauseesta..8, että vaikkapa P(N) on aidosti mahtavampi kuin N, joka jo sekin on ääretön joukko! Luvussa.3 lähestymme äärellisyysasiaa toisesta perspektiivistä, nimittäin luokittelemalla joukot niiden mahtavuuksien perusteella..3 Joukon kardinaliteetti Lauseessa.. osoitettiin yhtämahtavuus ekvivalenssirelaatioksi. Relaatiosta olla korkeintaan yhtä mahtava kuin saadaan osittainen ja jopa totaali järjestys pienellä jekulla, ks. Lauseet.3.5 ja.3.6. Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon absoluuttinen koko alkioiden määrän mielessä. Palautetaan mieleen ekvivalenssiluokat (ks. Luku 4.7): Joukon A X määräämä ekvivalenssiluokka on joukko (A) = {X P(X) A X}. Määritelmä.3. Joukon A määräämää ekvivalenssiluokkaa yhtämahtavuusrelaatiossa sanotaan sen kardinaaliluvuksi eli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitään card A := (A). Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla K, siis K = {card A A P(X)}. Tietty kardinaaliluku on siis todellisuudessa joukko, jonka alkioina ovat kaikki samankokoiset joukot, siis joukot joiden välillä on bijektioita. Esimerkiksi Jukolan veljekset J on alkiona samassa kardinaaliluvussa kuin [7] = {,, 3, 4, 5, 6, 7}, samoin (perinteinen) Otavan tähdistö. Esimerkki.3. Esimerkissä..5 todettiin, että N ja N = {, 4, 6, 8,...} ovat yhtämahtavia eli N N. Joukot N ja N kuuluvat siis samaan kardinaalilukuun κ N. Tämä on pienin ääretön kardinaaliluku ja sillä on oma merkintä ℵ 0 := κ N (ℵ luetaan alef ).

162 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 6 Kardinaalilukujen joukkoon saadaan osittainen järjestys korkeintaan-yhtä-mahtava -relaation avulla: asetetaan kaikilla κ, κ K κ ˆ κ X X joillakin X κ, X κ. X joukon X osajoukot xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx A xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx B xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx P(X) P(X) B A C yhtämahtavien ekvivalenssiluokat relaatiossa _~ _~ (A) B A C _~ (C) kardinaaliluvut K _~ (A) = card A _ osittainen järjestys _~ (C) = card C Kuva 6: Kardinaalilukujen rakentuminen Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana joillakin voitaisiin korvata sanalla kaikilla. Apulause.3.3 Kardinaalilukujen joukon relaatio ˆ on refleksiivinen ja transitiivinen. Todistus. Harjoitustehtävä, vrt. Lause...

163 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 63 Antisymmetrisyys perustuu seuraavaan kuuluisaan lauseeseen: Lause.3.4 (Cantor-Schröder-Bernstein) Jos A, B X ja on olemassa injektiot A B ja B A, niin on olemassa bijektio A B. Todistus. Olkoot f : A B ja g : B A injektioita. Määritellään kaikilla n N: C := A \ g(b) C n+ := g ( f(c n ) ) Määritellään edelleen C := n=c n ja funktio h : A B, { f(x), kun x C h(x) := g (x), kun x A \ C. Selvästikin h todella on funktio, koska f on funktio ja g on injektio. Osoitetaan h bijektioksi. ) h on injektio. Olkoot x, x A, x x. Erotetaan kolme tapausta. a) Jos x, x C, funktion f injektiivisyyden nojalla myös h(x ) = f(x ) f(x ) = h(x ). b) Jos x, x A \ C, funktion g injektiivisyyden nojalla h(x ) = g (x ) g (x ) = h(x ). c) Jos lopuksi x ja x ovat eri joukoissa, olkoon esimerkiksi x C ja x A\C. Tällöin x C n jollakin n N, jolloin h(x ) f(c n ). Jos nyt olisi myös h(x ) f(c n ), niin g(h(x )) = g(g (x )) = x g(f(c n )) = C n+, mikä on vastoin oletustamme x A \ C. Siis nytkin h(x ) h(x ). ) h on surjektio. Olkoon y B mielivaltainen. On osoitettava, että jollekin x A on h(x) = y (tai että alkukuvajoukko h (y) ). Tapauksessa y f(c n ) jollakin n N löytyy triviaalisti alkukuva joukosta C n A. Oletetaan siis, että y / f(c n ) kaikilla n N, eli että y B \ n=f(c n ). Näytetään, että g(y) A \ C, ja että h(g(y)) = y. Selvästi g(y) / C joukon C määrittelyn mukaan. Edelleen millään n N ei voi olla g(y) C n+, koska C n+ = g ( f(c n ) ) ja g oli injektio, seuraisi y f(c n ). Siis g(y) A \ C ja h(g(y)) = g (g(y)) = y. Näin on konstruoitu bijektio h : A B. Lause.3.5 Relaatio ˆ on osittainen järjestys kardinaalilukujen joukossa.

164 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 64 Todistus. Apulauseessa.3.3 on jo todettu refleksiivisyys ja transitiivisuus. Antisymmetrisyys: Oletetaan, että kahdelle kardinaaliluvulle κ, µ K on voimassa κ ˆ µ ja µ ˆ κ ja osoitetaan, että κ = µ. Tämä taas edellyttää, että löydämme näistä keskenään yhtä mahtavat alkiot K κ ja M µ, siis sellaiset, joiden välillä on bijektio. Oletuksesta seuraa, että on olemassa alkiot K, K κ ja M, M µ, joille K M ja M K. Tämä tarkoittaa, että on olemassa injektiot f : K M ja g : M K, ks. Kuva 6. κ µ K f M K k g m M Kuva 6: Kardinaalilukujen alkioiden väliset injektiot Kunkin ekvivalenssiluokan alkioiden välillä on bijektiot, siis erityisesti bijektiot k : K K ja m : M M. Yhdistetty funktio m f : K M on silloin injektio, samoin k g : M K. Cantor-Schröder-Bernsteinin lauseen.3.4 nojalla K M, joten ne ovat samassa ekvivalenssiluokassa, ts. κ = µ. Lause.3.6 Yllä määritelty relaatio ˆ on totaali järjestys kardinaalilukujen joukossa. Todistus. Asia on selvä, kun uskotaan, että jokaisesta joukkoparista A, B jompikumpi on vähintäin yhtä mahtava kuin toinen, ts. että on olemassa injektio A B tai B A. Voimme nyt lopulta sopia täsmällisesti mitä joukon alkiomäärällä #A tarkoitetaan. Idea on hyvin yksinkertainen: Annettu joukko A kuuluu johonkin kardinaalilukuun κ. Tsekataan löytyykö samasta kardinaaliluvusta myös jokin lukumääräjoukko [n], n N 0. Jos löytyy, #A = n. Samalla määrittelemme äärellisyyden ja äärettömyyden uudelleen. Tämän ja aikaisemman Määritelmän.. äärellisyyskäsitteen yhtäpitävyys jäänee kuitenkin tarkasti perustelematta...

165 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 65 Määritelmä.3.7 Joukko X on äärellinen, jos X [n] jollakin n N 0, muutoin joukko X on ääretön. Jos joukko X on äärellinen ja X [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioiden lukumäärä n = #X seuraavasti: #X = n card [n] = card X. Myös näin saatua peruslukua #X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myös äärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla #X. Olkoon reaalilukujen joukon kardinaaliluku c := #R. Voidaan osoittaa, että P(N) R, joten c = #R = #P(N). Siten ℵ 0 = #N < #R = c. Kardinaaliluvuista voidaan siis sanoa 0 < < < 3 <... < n <... < ℵ 0 < c < #P(R) <... Niin kutsuttu Kontinuumihypoteesi sanoo, että kardinaalilukuja ei ole lukujen ℵ 0 ja c välillä. Tämä on muusta joukko-opista riippumaton olettamus!

166 Lukualueet Seuraava tiivistetty esitys pyrkii antamaan mielikuvan lukualueiden määrittelyn problematiikasta. Määritellään lukualueet lähtökohtana käsitteet ekvivalenssirelaatio, funktio ja bijektio. Lukualue määritellään antamalla joukko, jossa on määritelty tietyt laskutoimitukset sekä mahdollisesti järjestys. On muistettava: Luku on abstrakti käsite. Luvun merkitseminen numerosymbolien avulla ja lukujen nimittäminen ovat sopimuksia.. Luonnolliset luvut N = {,, 3,...} Luonnolliset luvut voidaan määritellä joukkojen yhtämahtavuuden avulla (Georg Cantor ) tai niinkuin tässä Peanon aksioomien avulla (Giuseppe Peano ). Peanon aksioomat Määritelmä.. Joukkoa L sanotaan luonnollisten lukujen joukoksi (natural number set), jos se toteuttaa seuraavat viisi ehtoa: P) Joukossa L on ainakin yksi alkio Υ L ( ypsilon, yksikkö). P) Jokaisella alkiolla a L on olemassa täsmälleen yksi (välitön) seuraaja (successor) a L. P3) Jos a L, niin a Υ. P4) Jos a L ja b L ja jos a = b, niin a = b. P5) Jos A on joukon L sellainen osajoukko, että ) Υ A, ) jos a A, myös a A, niin silloin A = L.

167 LUKUALUEET 67 Tutkaillaanpa tarkemmin mitä aksioomista voidaan päätellä ja ilmaista modernin matematiikan käsitteillä: ) Ehto P takaa, että joukko L ei ole tyhjä. ) Ehto P takaa, että välitön seuraajarelaatio L L on funktio. Merkitään jatkossa tarvittaessa kyseistä funktiota S v : L L, S v (a) := a. 3) Ehto P3 vaatii, että yksikkö on ensimmäinen alkio, Υ ei siis saa olla minkään alkion seuraaja. S v ei siten ole surjektio. 4) Ehto P4 takaa, että jokaisella alkiolla on korkeintaan yksi välitön edeltäjä; siis alkio, jonka välitön seuraaja se on; funktio on siis injektio. Edelleen aksioomat P ja P4 antavat mahdollisuuden lisätä ja supistaa: a = b a = b (ks. jäljempänä Lause..). 5) Ehto P5 on pohjana matemaattisen induktion periaatteelle, mutta se myös kieltää kilpailevat alkiojonot. Esimerkki.. On ilmeistä, että: a) Vanha tuttu N = {,, 3, 4,...} toteuttaa Peanon aksioomat, kun yksikkö Υ := ja seuraajafunktio S v (n) := n +, ja sehän tietysti on itse asiassa koko aksiomatiikan taustalla. b) Joukko N 0 = {0,,, 3,...} niinikään kelpaa, kun se varustetaan samalla seuraajafunktiolla ja yksikkönä on nyt Υ := 0. Mutta myös monet muut systeemit kelpaavat: c) Joukko M := { n N } = {,,,...} on myös luonnollisten lukujen n 4 6 joukko Peanon mielessä, kun yksikkönä Υ := ja S v( ) :=. n (n+) d) Von Neumannin ordinaalikonstruktio puolestaan nyhjäisee tyhjästä erään metkan luonnollisten lukujen joukon: Υ := ja seuraajafunktio S v (A) := A {A}. Näin saadaan jono, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... Mikäpä on seuraava? Tehtävä..3 Esimerkissä.. joukoilla N ja M ei ole yhteisiä alkioita. Mitkä Peanon aksioomista ovat totta näiden yhdisteelle N M, kun käytetään molempien yksikköjä ja seuraajafunktioita? Luonnollisten lukujen joukkoon saadaan totaali järjestys seuraavalla tavalla, kun merkitään lyhyesti a := (a ), a := (a ) = ((a ) ) jne. Määritelmä..4 Luonnollisten lukujen joukossa L määritellään kunkin alkion a L seuraajajoukko S(a) := {a, a, a, a,..., a (n),...}, missä a = S v (a), a = S v (S v (a)) = S v(a),... ja yleisesti a (n) = S n v (a), missä tietysti ovat käytössä funktioiden yhdistämispotenssit.

168 LUKUALUEET 68 Olkoon jatkossa L eräs luonnollisten lukujen joukko ja Υ sen yksikkö. Merkitään: Υ (0) := Υ, Υ () := Υ = S v (Υ), Υ () := Υ = S v(υ), jne. Lause..5 a) L = S(Υ) {Υ} eli L = {Υ (0), Υ (), Υ (),...}. b) Jokainen a L, a Υ, on jonkun alkion välitön seuraaja. c) Kaikki alkiot Υ (0), Υ (), Υ (),... ovat eri alkioita. L on siis erityisesti ääretön joukko. Todistus. a) Merkitään A := S(Υ) {Υ}. Osoitetaan aksiooman P5 avulla, että A = L. Ensiksikin, A L aksiooman P mukaan ja Υ A. Olkoon toiseksi a A mielivaltainen. Jos a = Υ, on a = Υ S(Υ) ja siten myös a A. Jos taas a Υ, on a S(Υ) ja siten a = Υ (n) jollakin n N. Mutta silloinkin a = Υ (n+) S(Υ), koska välitön seuraaja on aina yksikäsitteinen. Aksiooman P5 ehdot täyttyvät ja niinpä L = A = S(Υ) {Υ}. b) Olkoon a L, a Υ. Silloin kohdan a) nojalla a = Υ (n) jollakin n N ja se on alkion Υ (n ) välitön seuraaja. c) Tehdään vastaoletus: kaksi alkioista Υ (n) on samoja. Tiedetään, että Υ (0) Υ (), sillä alkio Υ = Υ (0) ei ole minkään, edes itsensä seuraaja. Koska Olkoon n pienin tavallinen luonnollinen luku, jolle y := Υ (n) = Υ (k), ja k > n. Tilanne on siis seuraava: Υ (0) Υ () Υ (n ) y = Υ (n) Υ (k ) y = Υ (k) Aksiooman P4 mukaan alkiot, joilla on sama välitön seuraaja, tässä y, ovat sama alkio, tässä siis olisi Υ (n ) = Υ (k ). Mutta luvun n piti olla pienin sellainen, joten antiteesi on epätosi ja siten kaikki alkiot Υ (n) ovat eri alkioita. Seuraus..6 a) Aina a / S(a). b) Joukon L kullekin parille a b on joko a S(b) tai b S(a). Todistus. a) Alkio ja sen kaikki seuraajat ovat eri alkioita (Lause..5 kohta). b) Lauseen..5 mukaan alkiot voidaan asettaa jonoksi, jossa a = Υ (n) ja b = Υ (k) joillakin n k. Silloin on a S(b) tai b S(a). Jos a S(b), on seuraajajonossa pätkä b b a. Samoin jos b S(a), on seuraajajonossa pätkä a a b. Mutta kukin alkio esiintyy koko jonossa tasan kerran, joten jonot yhdistyvät peräkkäin: b b a a b Näin ollen olisi b S(b), mikä on vastoin kohtaa a).

169 LUKUALUEET 69 Määritelmä..7 Luonnollisten lukujen joukossa määritellään seuraajarelaatio: alkio on relaatiossa itsensä ja kaikkien seuraajajoukkonsa alkioiden kanssa, ts. a b (a = b) (b S(a)). Lause..8 Luonnollisten lukujen joukon seuraajarelaatio on totaali järjestys. Todistus. Olkoon L luonnollisten lukujen joukko ja L L sen seuraajarelaatio. Se on osittainen järjestys, sillä: J) Refleksiivisyys seuraa suoraan määritelmästä: a a kaikilla a L. J) Antisymmetrisyys: Jos a b ja a b sekä b a, olisi a S(b) ja b S(a). Mutta tämä on Seurauksen..6 nojalla mahdotonta. J3) Transitiivisuus: Harjoitustehtävä. J4) Lisäksi se on täysi, sillä jokaiselle parille (a, b) L L on voimassa a = b tai Seurauksen..6 mukaan a S(b) tai b S(a), ja siten b a tai a b. Määritelmä..9 Luonnollisten lukujen joukossa L määritellään (induktiivisesti tai rekursiivisesti) seuraavat laskutoimitukset: Yhteenlasku (addition): { a + Υ := a (Y) a + b := (a + b) (Y) Kertolasku (multiplication): { a Υ := a (K) a b := (a b) + a (K) Huomautus..0 Ylläolevista aksioomista voidaan johtaa kaikki luonnollisten lukujen tutut laskusäännöt. Lause.. Luonnollisten lukujen totaali järjestys voidaan karakterisoida myös yhteenlaskun avulla: a b a = b tai a + c = b jollekin c L. Todistus. Harjoitustehtävä.

170 LUKUALUEET 70 Lause.. Luonnollisille luvuille pätee supistussääntö: Jos a, b, c L, niin a + c = b + c jos ja vain jos a = b. Tätä voidaan soveltaa myös epäyhtälöihin: Jos a, b, c L, niin a + c b + c jos ja vain jos a b. Todistus. Sovelletaan aksioomia P ja P4 toistuvasti: siirtyen lisäämisessä yksi seuraaja kerrallaan ja supistaessa taaksepäin. Esimerkki..3 Lasketaan kokeeksi muutamia summia ja tuloja (perustele nämä!): Υ + Υ = Υ Υ + Υ = (Υ ) = Υ Υ + Υ = (Υ + Υ) = Υ Υ + Υ = (Υ + Υ) = Υ Υ Υ = Υ Υ Υ = Υ Υ Υ = Υ Υ + Υ = Υ Υ Υ = Υ Υ + Υ = Υ Luonnollisia lukuja merkitään jatkossa jälleen = Υ, :=, 3 :=, 4 := 3, jne. Esimerkki..4 Yhteen- ja kertolasku sujuvat näppärästi edellä annetuilla eväillä: + = + = ( + ) = ( ) = 3 = 4, 3 = 3 = (3 ) + 3 = = 3 + = (3 + ) = (3 + ) = ((3 + ) ) = (4 ) = 5 = 6.

171 LUKUALUEET 7. Kokonaisluvut Z = {...,,, 0,,,...} Pidetään luonnollisten lukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään kokonaisluvut niiden avulla. Formaalisti tämä tapahtuu yhteenlaskun avulla, vaikka käytännössä tämä osoittautuukin tapahtuvan vähennyslaskun kautta. Tarkastellaan lukupareja (a, b) N N. Määritellään joukossa N N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) a + d = b + c. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja se jakaa joukon N N alkiot ekvivalenssiluokkiin (ks. Luku 4.7). Määritelmä.. Lukuparin (a, b) N N määräämää ekvivalenssiluokkaa merkitään tässä [a, b]. Näitä ekvivalenssiluokkia kutsutaan kokonaisluvuiksi (integers). Kokonaislukujen joukkoa merkitään alustavasti Z := { [a, b] (a, b) N N }. Määritelmä.. Merkitään edelleen lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b] ja määritellään joukossa Z: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] := [a + c, b + d]. [a, b] [c, d] := [ac + bd, ad + bc]. Järjestys: [a, b] [c, d] a + d b + c. Esimerkki..3 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan: Yhteenlasku: [, 5] [, 4] = [ +, 5 + 4] = [3, 9]. Kertolasku: [, 5] [, 4] = [ + 5 4, ] = [, 4]. Järjestys: [3, 5] [, 4], sillä = 7 7 = 5 +. Edellä Määritelmässä.. kuvatut operaatiot ovat tosiasiassa hieman ongelmallisia: Ovatko yhteen- ja kertolasku todella laskutoimituksia joukossa Z eli ovatko ne funktioita Z Z Z (ks. Luku 9)? Kahden ekvivalenssiluokan eli kokonaisluvun [a, b] ja [c, d] summa nimittäin määritellään välillisesti käyttäen niiden edustajia (a, b) ja (c, d). Tästä johtuu, että ei ole lainkaan itsestään selvää, että tulos on yksikäsitteinen! Pitää siis näyttää, että kahden kokonaisluvun x, y Z summa x y on kokonaisluku, joka ei riipu siitä miten ne edustajat on ekvivalenssiluokista x ja y valittu. Sen perustelemisesta, että kyseessä on todella funktio Z Z Z, käytetään usein ilmaisua laskutoimitus on hyvin määritelty.

172 LUKUALUEET 7 Esimerkki..4 Kokonaisluvun x := [, 5] edustajia (siis ekvivalenssiluokan x alkioita) ovat paitsi (, 5), myös (, 4), (3, 6), (4, 7) jne. Nimittäin esimerkiksi (, 4)R(, 5), koska + 5 = 6 = 4 +, samoin nuo muutkin. On siis totta, että x = [, 4] = [, 5] = [3, 6] = [4, 7] =... Kokonaisluvun y := [7, 3] edustajia taas ovat (7, 3), (6, ), (5, ) ja myös (8, 4), (9, 5), (0, 6) jne, ja siten y = [5, ] = [6, ] = [7, 3] = [8, 4] =... Havaitaan, että kokonaisluvuilla x ja y on äärettömän monta esitystä niiden edustajien avulla! Jotta tulos x y olisi yksi ja vain yksi kokonaisluku, se pitäisi saada tulokseksi käytettiinpä mitä hyvänsä edustajia kustakin ekvivalenssiluokasta x ja y. Onko näin, edes tässä konkreettisessa tapauksessa? Ihan yleisestikin on totta supistussääntö [a, b] = [a +, b + ], sillä a + (b + ) = b + (a + ) (liitännäisyys ja vaihdannaisuus joukossa N). Helposti havaitaan, että x = [n, n + 3] ja y = [m + 4, m] kullakin m, n N. Silloin x y = [n + m + 4, n m] = [4, 3], mikä on ihan sama kuin alkuperäisistä saatu x y = [, 5] [7, 3] = [9, 8] = [8, 7] = [7, 6] = [6, 5] = [4, 3]. Sievimmilläänhän summa on [, ]. Jätetään toistaiseksi edellisen konkreettisen Esimerkin varaan (ja myöhemmäksi harjoitustehtäväksi) se, että yhteenlasku on hyvin määritelty. Todistetaan malliksi vähän hankalampi kertolaskun tapaus. Lause..5 Määritelmässä.. kuvattu kertolasku on hyvin määritelty, ts. se on funktio Z Z Z. Todistus. Olkoot x = [a, b] ja y = [c, d] mielivaltaiset alkiot joukosta Z, jolloin määrittelyn mukaan x y = [ac+bd, ad+bc]. Olkoot sitten (a, b ) x ja (c, d ) y mielivaltaiset edustajat, jolloin x = [a, b] = [a, b ] ja y = [c, d] = [c, d ]. Onko nyt tulos sama alkio x y = [ac + bd, ad + bc], jos laskemmekin sen muodossa x y = [a, b ] [c, d ] = [a c + b d, a d + b c ]? Tiedämme seuraavat asiat: (a, b )R(a, b) ja (c, d )R(c, d) eli a + b = b + a ja c + d = d + c. Jotta em. tulon x y esitykset ovat sama kokonaisluku (ekvivalenssiluokka), riittää osoittaa, että parit (ac+bd, ad+bc) ja (a c +b d, a d +b c ) ovat relaatiossa R eli että (ac + bd) + (a d + b c ) = (ad + bc) + (a c + b d ).

173 LUKUALUEET 73 Käytetään edellä olevia yhtälöitä a + b = b + a ja c + d = d + c kerrottuina sopivilla luvuilla saadaksemme kaikki tarvittavat tulotermit mukaan: a(d + c) = a(c + d) eli ad + ac = ac + ad mukaan ac, ad b(c + d) = b(d + c) eli bc + bd = bd + bc mukaan bd, bc (b + a)c = (a + b)c eli b c + ac = a c + bc mukaan b c, a c (a + b)d = (b + a)d eli a d + bd = b d + ad mukaan a d, b d Nyt lasketaan taulukon oikeapuoleiset yhtälöt puolittain yhteen ja käytetään termien järjestelyyn vaihdannaisuutta ja liitännäisyyttä: (ac + bd) + (a d + b c ) + (ad + bc + ac + bd ) = (ad + bc) + (a c + b d ) + (ac + bd + bc + ad ) Rivien viimeiset sulkulausekkeet todetaan helposti samoiksi, joten ne voidaan supistaa pois ja jäljelle jää haluttu yhtälö (ac + bd) + (a d + b c ) = (ad + bc) + (a c + b d ); siis (ac + bd, ad + bc)r(a c + b d, a d + b c ) ja x y = [ac + bd, ad + bc] = [a c + b d, a d + b c ]. Tehtävä..6 a) Laske [6, 6] [, 4]. b) Ratkaise x yhtälöstä x [7, ] = [, ]. c) Laske [5, 6] [, 7]. d) Laske [6, 6] [, 7]. e) Ratkaise x yhtälöstä x [7, ] = [, ]. f) Ratkaise x yhtälöstä [3, ] x = [, ]. Kokonaisluvuille voidaan muotoa α x = β oleva yhtälö aina ratkaista. Kullakin α = [a, b] on vasta-alkiona α = [b, a], sillä α ( α) = [a, b] [b, a] = [a + b, b + a] = [, ]. Tässä [, ] = [, ] =... on yhteenlaskun neutraali- eli nolla-alkio: [a, b] [, ] = [a +, b + ] = [a, b] = [, ] [a, b]. Nyt vaikkapa yhtälö [3, 5] x = [, 7] ratkeaa lisäämällä molemmille puolille vasta-alkio [5, 3], jolloin x = [5, 3] [, 7] = [6, 0] = [, 5]. Sen sijaan muotoa α x = β olevia yhtälöitä voidaan ratkaista vain poikkeustapauksissa, ks. Tehtävä..6 e) ja f). Kun merkitään erotusta tuttuun tapaan a b := [a, b], niin Esimerkin..3 laskut voidaan esittää myös ( 4) + ( ) = 6 ja ( 4) ( ) = 8. Jatkossa kokonaislukujen joukkoa merkitään tutusti Z.

174 LUKUALUEET 74

175 LUKUALUEET 75.3 Rationaaliluvut Q = { m n m Z, n N} Pidetään nyt kokonaislukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään rationaaliluvut kokonaislukujen avulla. Taas työkaluna on ekvivalenssi, mutta käytetään kertolaskua. Tuloksena ovat osamäärien muodostamat ekvivalenssiluokat. Tarkastellaan lukupareja (a, b) Z N. Määritellään joukossa Z N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) ad = bc. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja siten se jakaa joukon Z N alkiot ekvivalenssiluokkiin. Määritelmä.3. Lukuparien (a, b) Z N määräämiä ekvivalenssiluokkia kutsutaan rationaaliluvuiksi (rational numbers). Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b], ja määritellään: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] = [ad + bc, bd]. [a, b] [c, d] = [ac, bd]. Järjestys: [a, b] [c, d] ad bc. Esimerkki.3. Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan. Yhteenlasku: [, 5] [, 7] = [ 7 + 5, 5 7] = [7, 35]. Kertolasku: [, 5] [, 7] = [, 5 7] = [, 35]. Järjestys: [, 5] [, 7], sillä 7 5. Kun merkitään jakolaskua tuttuun tapaan a b voidaan esittää myös := [a, b], niin Esimerkin.3. laskut = = 5 7 = 35, 5 <, sillä 7 < 5. 7 = 7 35, Rationaalilukujen joukko Q ei ole kyllin laaja, jotta edes yksinkertaiset, meille arkipäiväiset yhtälöt ratkeaisivat.

176 LUKUALUEET 76 Esimerkki.3.3 Yhtälöllä x x = ei ole ratkaisua joukossa Q. Todistus. Antiteesi. On olemassa q Q, jolle q =. Antiteesin mukaan olisi eräälle q = m, missä m Z ja n N, voimassa n q =. Voidaan olettaa, että m on supistettu muoto. Siis n ( m n ) = m n = eli m = n. Koska m on parillinen, on myös m on parillinen (miksi?), joten m = k jollekin k Z. Edelleen m = 4k = (k ) = n, joten n = k. Koska n on parillinen, on myös n on parillinen. Koska m ja n ovat parillisia, ei m olekaan supistettu muoto. n Tämä on ristiriita, joten minkään rationaaliluvun neliö ei ole.

177 LUKUALUEET 77.4 Reaaliluvut Rationaaliluvut eivät riitä kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen eivätkä myöskään täyttämään lukusuoraa. Reaalilukujen määritelmistä Rationaalilukujen joukon Q täydentämiseen reaaliluvuiksi R on useita ekvivalentteja tapoja, joita ei kuitenkaan tässä käsitellä tarkasti.. Cantorin menetelmä perustuu ajatukseen määritellä irrationaaliluvut rationaalilukujonojen raja-arvoina. Reaaliluvut ovat rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokkia relaatiossa, jossa samaa raja-arvoa kohti suppenevat rationaalilukujonot samaistetaan. Ks. esimerkiksi L. Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa, s Dedekindin leikkaukset (Richard Dedekind, 83-96). Menetelmä perustuu lukusuoran pisteiden ja reaalilukujen yksikäsitteiseen vastaavuuteen. Ks. esimerkiksi W. Rudin: Principles of mathematical analysis. 3. Aksiomaattinen määrittely. Luetellaan perusominaisuudet (4 kpl), jotka reaalilukujen joukko ja siinä määritellyt yhteenlasku, kertolasku ja järjestys toteuttavat. Ks. Algebran tai Analyysin oppikirjat. Huomautus.4. Reaalilukuja on tapana havainnollistaa reaaliakselin eli lukusuoran (real line, real axis) avulla. Reaalilukujen merkintä Nykyisin on käytössä niin kutsuttu arabialainen lukujen merkintätapa, jossa luku merkitään arabialaisin numeromerkein paikkajärjestelmässä. Paikkajärjestelmä tarkoittaa sitä, että luvun suuruus määräytyy luvun paikka- ja numeroarvoista. Paikka-arvot ovat kantaluvun potensseja. Kun kantaluku on kymmenen, niin puhutaan kymmenjärjestelmästä (decimal number system). Kymmenjärjestelmässä esimerkiksi 643,576 = Reaaliluku voidaan esittää eri lukujärjestelmissä, kunhan sovittuja numeromerkkejä on riittävästi. Kantaluvuksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku b >. Tällöin mikä tahansa reaaliluku r saadaan muodossa r = a n b n a b + a 0 + c b + c b + c 3 b ,

178 LUKUALUEET 78 missä 0 a i b ja 0 c i b. Arabialaisella merkintätavalla lukua merkitään ilmoittaen pelkät kantaluvun alenevien potenssien kertoimet käyttäen desimaalipilkkua (nykyään usein desimaalipiste) erottamaan kokonaisosaa ja desimaaliosaa: r = a n a n... a a 0,c c c Reaalilukujen luokittelu. tapa: Jako rationaali- ja irrationaalilukuihin Rationaaliluvut (rational numbers) ovat reaalilukuja, jotka voidaan esittää kokonaislukujen osamäärinä, siis Q = { m n m Z, n N}. Irrationaaliluvut (irrational numbers) eli irrationaaliset reaaliluvut ovat ne reaaliluvut, jotka eivät ole rationaalilukuja; irrationaalilukujen joukko on siis R \ Q. Irrationaalilukuja ei siis voida esittää kokonaislukujen osamäärinä. Rationaaliluvuilla on kaksi esitysmuotoa: Rationaalilukumuoto eli murtolukumuoto (fraction format), sekä desimaalilukumuoto (decimal format). Irrationaaliluvut voidaan esittää yleisesti vain desimaalilukumuodossa, mutta joillekin irrationaaliluvuille on sovittu erikoismerkintä kuten π, e, jne. Voidaan osoittaa, että Reaaliluvun desimaaliesitys on päättyvä tai jaksollinen luku on rationaaliluku Reaaliluvun desimaaliosa on päättymätön ja jaksoton luku on irrationaaliluku Jaksollinen desimaaliluku voidaan aina palauttaa murtolukumuotoon suppenevien sarjojen avulla. Esimerkki.4. Luku = 0,5 = 0, , sillä 0, = ( = ( ) ( ) ) 0 0 = = = 5 0 =. Seuraava algoritmi perustuu myös suppeneneviin sarjoihin, mutta esitys on epätäsmällisempi.

179 LUKUALUEET 79 Esimerkki.4.3 Olkoon x =, Tällöin 000x = 6,55... x =, x = 609,9 mistä seuraa x = , Tehtävä.4.4 Muunna päättymätön jaksollinen desimaaliluku 0,0abcdabcda... murtolukumuotoon sekä geometristen sarjojen (vrt. Esimerkki.4.) että Esimerkin.4.3 menetelmällä. Huomautus.4.5 a) Käsitteet murtoluku ja desimaaliluku eivät muodosta erillisiä lukualueita, vaan ne liittyvät lukujen esitysmuotoihin. b) Jos nollasta poikkeavalla reaaliluvulla on päättyvä desimaaliesitys, niin sille saadaan myös päättymätön esitys, jossa on äärettömän monta nollasta poikkeavaa desimaalia (vrt. 0,5 = 0, ). Päättymättömät desimaaliesitykset ovat yksikäsitteisiä, ts. jokaisella nollasta poikkeavalla reaaliluvulla on yksi ja vain päättymätön desimaaliesitys.. tapa: Jako algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin Algebralliset reaaliluvut (algebraic real numbers) ovat jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuria, ts. muotoa a n x n + a n x n + + a x + a 0 = 0, a i Z olevien yhtälöiden ratkaisuja. Esimerkki.4.6 Luku 5+ on algebrallinen luku, sillä se on ratkaisu yhtälölle x x 4 = 0. on ai- Esimerkki.4.7 Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia, sillä kukin m n nakin yhtälön nx m = 0 juuri. Transkendenttilukuja (transcendental numbers) ovat ne reaaliluvut, jotka eivät ole algebrallisia. Luku on siten transkendenttiluku, jos se ei ole minkään kokonaislukukertoimisen polynomin juuri. Esimerkki.4.8 Luvut π ja e ovat transkendenttisia. Luku ei ole, miksi?

180 LUKUALUEET 80.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Reaaliluvun x itseisarvo (absolute value) on { x, kun x 0 x := x, kun x < 0 Itseisarvon geometrinen merkitys liittyy suuruuteen tai välimatkaan (Kuva 63): x x-y x 0 y Kuva 63: Pisteiden etäisyyksiä lukusuoralla x on pisteen x etäisyys origosta lukusuoralla, ja samalla nollaa ja lukua x yhdistävän janan pituus. x y on pisteiden x ja y välinen etäisyys lukusuoralla. Lause.5. (itseisarvon ominaisuuksia) Kaikille reaaliluvuille x, y R ja a > 0 on voimassa: x 0 x = x xy = x y x y = x y, y 0 x < a a < x < a x > a x < a tai x > a x x x x = x. Esimerkki.5. Ratkaistaan muistin virkistämiseksi muutamia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. a) Ratkaistaan x yhtälöstä 4x 3 = 3x +. 4x 3 = 3x + 4x 3 = 3x + tai 4x 3 = (3x + ) b) Ratkaistaan epäyhtälö x < 3. x = 5 tai x = 7. x < 3 3 < x < 3 < x < 5.

181 LUKUALUEET 8 c) Ratkaistaan epäyhtälö 3x + <. 3x + < < 3x + < d) Ratkaistaan epäyhtälö x < 3x < < x < 3. x + 4 x + 4 tai x + 4 x 5 tai x 3 x 5 tai x 3. Lause.5.3 (kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x y x + y x + y. Todistus. Itseisarvon ominaisuuksien nojalla xy xy xy ja edelleen x y xy x y. Lisäämällä neliöt x ja y kuhunkin lausekkeista saadaan x x y + y x + xy + y x + x y + y x x y + y x + xy + y x + x y + y ( x y ) (x + y) ( x + y ) x y x + y x + y = x + y.

182 LUKUALUEET 8.6 Binomikertoimet ja binomikaava Lasketaan joitakin binomin a + b potensseja: (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab 4 + b 5. Nyt varmaan palautuvat mieleen Pascalin kolmio (ranskalainen Blaise Pascal, 63-6) ja binomikertoimet ( ) n = k n! k! (n k)! Miten nämä tarkemmin ottaen liittyvät toisiinsa? Tehtävä.6. Osoita, että binomikertoimille pätee yhtälö ( ) ( ) ( ) n n n + + =. k k + k + Lause.6. (binomikaava) Olkoot a ja b reaalilukuja ja n N. Tällöin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n (a + b) n = a n + a n b + a n b ab n + 0 n n eli lyhyesti (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Tehtävä.6.3 Todista binomikaava vaikkapa induktiolla. b n

183 LUKUALUEET 83.7 Numeroituvuus Joukoissa N, Z, Q ja R on kaikissa ääretön määrä alkioita. Kuitenkin R selvästi poikkeaa joukoista N, Z ja Q. Ero voidaan esittää Luvussa määritellyillä mahtavuus-käsitteillä: joukon mahtavuutta joukkoon N verrattuna mitataan käsitteellä numeroituvuus. Määritelmä.7. Joukko A on numeroituva (countable, denumerable), jos on olemassa bijektio N A. Joukko on korkeintaan numeroituva (at most countable), jos se on äärellinen tai numeroituva. Joukko on ylinumeroituva (uncountable), jos se on ääretön, mutta ei numeroituva. Numeroituvat joukot ovat siis yhtä mahtavia joukon N kanssa. Esimerkki.7. Esimerkin..5 joukko A := {, 4, 6, 8,...} on numeroituva. Esimerkki.7.3 Kokonaislukujen joukko Z on numeroituva, sillä funktio f : N Z, joka määritellään f() = 0, f(k) = k, k =,, 3,... f(k+) = k, k =,, 3,... on bijektio. Funktio f antaa tavan esittää Z luettelona Z = {0,,,,, 3, 3,...}. Numeroituva joukko on siis ääretön, mutta sen alkiot voidaan asettaa jonoksi ja esittää luettelona {a, a, a 3,...}. Tällä luettelolla ei ole välttämättä mitään tekemistä alkioiden suuruusjärjestyksen kanssa. Huomautus.7.4 a) Esimerkin.7.3 ideaa käyttäen: kahden numeroituvan joukon yhdiste on numeroituva: Jos A := {a, a, a 3,... } ja B := {b, b, b 3,... }, niin A B = {a, b, a, b, a 3, b 3,... } on selvästikin numeroituva. Huomaa, että joukon luetteloesityksessä voi esiintyä samoja lukuja, mutta siinä on kuitenkin ääretön määrä eri lukuja. b) Joskus puhutaan myös numeroituvasti äärettömistä joukoista, erityisesti silloin kun numeroituvuus määritellään enintään yhtämahtavuutena joukon N kanssa. Silloin numeroituva tarkoittaakin äärellistä tai numeroituvasti ääretöntä.

184 LUKUALUEET 84 Esimerkki.7.5 Näytetään Cantorin ensimmäisellä diagonaalimenetelmällä, että tulojoukko N N on numeroituva: 3 4 (, ) (, ) (, 3) (, 4) (, ) (, ) (, 3) (, 4) 3 (3, ) (3, ) (3, 3) (3, 4) 4 (4, ) (4, ) (4, 3) (4, 4). Koska joukon N N alkiot voidaan esittää luettelona, niin myös joukon Q + := { m n m, n N } alkiot voidaan esittää luettelona. Q + on siis numeroituva: Q + = {,,, 3, 3, 4, 3,... } = {,,, 3, 3, 4, 3,... }. Tästä saadaan eräs tapa esittää koko rationaalilukujen joukko luettelona: On siis osoitettu: Q = {0,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 3,... }. Lause.7.6 Rationaalilukujen joukko Q on numeroituva. Lause.7.7 Reaalilukuväli [0, ] on ylinumeroituva. Todistus. Jokainen joukon [0, ] nollasta poikkeava alkio voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla päättymättömänä desimaalilukuna, jossa on ääretön määrä nollasta poikkeavia desimaaleja (ks. Huomautus.4.5). Lienee selvää (miksi?), että väli [0, ] ei ole äärellinen, joten jos se ei ole ylinumeroituva, sen on oltava numeroituva. Antiteesi: Väli I := [0, ] on numeroituva joukko. Silloin välin I luvut voidaan esittää jonona x, x, x 3,.... Niiden päättymättömät desimaaliesitykset olkoot x = 0, a a a 3 a 4... x = 0, a a a 3 a 4... x 3 = 0, a 3 a 3 a 33 a x 4 = 0, a 4 a 4 a 43 a

185 LUKUALUEET 85 Nk. Cantorin toisella diagonaalimenetelmällä nähdään, että yllä oleva luettelo ei voi sisältää kaikkia välin ]0, ] reaalilukuja: Muodostetaan luku y := 0, b b b 3 b 4..., missä 0 < b i 9, i =,, 3,... ja b i a ii. Tällöin 0 < y. Toisaalta esitysten yksikäsitteisyyden perusteella y x i millä tahansa i =,, 3,..., sillä lukujen i:nnet desimaalit ovat erilaisia. Siis y ei ole luettelossa x, x, x 3,.... Näin ollen kaikki välin ]0, ] luvut sisältävää luetteloa ei ole olemassa. Suoraan edellisestä lauseesta seuraa: Lause.7.8 Reaalilukujoukko R on ylinumeroituva. Esimerkki.7.9 Väli [, 4] on ylinumeroituva, sillä välit [0, ] ja [, 4] ovat yhtä mahtavia. Funktio f : [0, ] [, 4], f(x) := x + on nimittäin bijektio. Huomioita Rationaalilukujoukko Q on numeroituva ja reaalilukujoukko R ylinumeroituva. R on aidosti mahtavampi kuin Q. Jos A = {a, a,... } on joukko, niin A ei edusta mielivaltaista joukkoa, vaan mielivaltaista numeroituvaa joukkoa. Ei siis voida merkitä esimerkiksi R = {x, x, x 3,... }. Reaalilukuja havainnollistetaan lukusuoran avulla. Rationaaliluvut ovat tiheässä lukusuoralla, ts. kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Edelleen kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä irrationaalilukuja (Analyysit) ja kahden irrationaaliluvun välissä äärettömästi rationaalilukuja... Hassua, eikö? Esiintyvätkö rationaali- ja irrationaaliluvut siis lukusuoralla vuoron perään? Irrationaalilukujen joukko R \ Q on ylinumeroituva. Perustelu. Antiteesi: R \ Q on numeroituva. Tällöin R = Q (R \ Q) olisi numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva. Vieläkin mahtavampia joukkoja kuin R on olemassa, esimerkiksi sen potenssijoukko (vrt. Luku ).

186 LUKUALUEET 86.8 Kompleksiluvut Esimerkiksi yhtälöllä x = ei ole reaalista ratkaisua. Tilkitäksemme tämän valitettavan puutteen voimme edelleen laajentaa lukujoukkoja ottamalla käyttöön kompleksiluvut. Näiden käyttö on osoittautunut vielä paljon hyödyllisemmäksi kuin pelkästään yhtälöiden ratkeamisen varmistaminen. Määritelmä.8. Reaalilukuparia (x, y) R R sanotaan kompleksiluvuksi (complex number) ja kaikkien näiden parien joukkoa kompleksilukujen joukoksi C := R R = { (x, y) x R, y R } Jos z = (x, y), niin reaalilukua x sanotaan kompleksiluvun z reaaliosaksi (real part) ja reaalilukua y imaginaariosaksi (imaginary part). Näitä merkitään Re z := x ja Im z := y. Kaksi kompleksilukua z = (x, y ) ja z = (x, y ) ovat samat, jos x = x ja y = y, siis silloin kun niillä on sama reaaliosa ja sama imaginaariosa. Tulkitsemalla kompleksiluvut xy-tason pisteiksi saadaan kompleksitaso (complex plane), jossa x-akseli on reaaliakseli (real axis) ja y-akseli on imaginaariakseli (imaginary axis). Kompleksiluku z on reaalinen, jos Im z = 0, ja imaginaarinen, jos Im z 0. Jos Re z = 0 ja Im z 0, niin luku on puhtaasti imaginaarinen (purely imaginary). Reaaliselle kompleksiluvulle eli reaaliluvulle voidaan käyttää merkinnän (x, 0) sijasta merkintää x. Kompleksilukujen joukossa C määritellään laskutoimitukset Yhteenlasku: (x, y ) + (x, y ) := (x +x, y +y ) Kertolasku: (x, y ) (x, y ) := (x x y y, x y + x y ). Näin määritellyt yhteenlasku ja kertolasku todella ovat laskutoimituksia (ks. Luku 9.) kompleksilukujen joukossa, siis hyvin määriteltyjä funktioita C C C, koska tulokset ovat selvästikin määriteltyjä ja yksikäsitteisiä kompleksilukuja kaikilla (x, y ), (x, y ) C. Tehtävä.8. Näytä, että kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia, so. kaikilla (x, y ), (x, y ) C on (x, y ) + (x, y ) = (x, y ) + (x, y ), (x, y ) (x, y ) = (x, y ) (x, y ).

187 LUKUALUEET 87 Lause.8.3 Kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat liitännäisiä, ts. z + (z + z 3 ) = (z + z ) + z 3 ja z (z z 3 ) = (z z )z 3 kaikilla z, z, z 3 C. Todistus. Yhteenlaskun liitännäisyys on harjoitustehtävä. Kertolaskun liitännäisyys: Olkoot z, z, z 3 C, z i = (x i, y i ). Silloin (x, y ) ((x, y ) (x 3, y 3 ) ) = (x, y ) (x x 3 y y 3, x y 3 + x 3 y ) ( (x, y ) (x, y ) ) (x 3, y 3 ) = (x x y y, x y + x y ) (x 3, y 3 ) Lasketaan näille merkintöjen selvyyden vuoksi koordinaatit erikseen: ) Ensimmäisen ja toisen ensimmäisiksi koodinaateiksi saadaan x (x x 3 y y 3 ) y (x y 3 + x 3 y ) = x x x 3 x y y 3 y x y 3 y x 3 y, (x x y y )x 3 (x y + x y )y 3 = x x x 3 y y x 3 x y y 3 x y y 3, jotka selvästikin ovat sama reaaliluku. ) Toisiksi koordinaateiksi saadaan niinikään x (x y 3 + x 3 y ) + y (x x 3 y y 3 ) = x x y 3 + x x 3 y + y x x 3 y y y 3, (x x y y )y 3 + (x y + x y )x 3 = x x y 3 y y y 3 + x y x 3 + x y x 3, siis sama luku. Edellä on vapaasti käytetty myös reaalilukujen osittelulakeja. Osittelulait ovat voimassa myös kompleksiluvuille (harjoitustehtävä): z (z + z 3 ) = z z + z z 3 ja (z + z )z 3 = z z 3 + z z 3 kaikilla z, z, z 3 C. Kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestystä, joka olisi yhteensopiva reaalilukujen luonnollisen järjestyksen kanssa. Normaalimuoto Kompleksilukujen kertolaskun määritelmän mukaan (0, ) (0, ) = (0 0, 0 + 0) = (, 0) =. Kompleksilukua i := (0, ) sanotaan imaginaariyksiköksi (imaginary unit) ja sille on siis voimassa i =. Kompleksiluku z = (x, y) = x(, 0) + y(0, ) voidaan esittää nyt ns. normaalimuodossa (normal form) z = x + iy, missä x, y R.

188 LUKUALUEET 88 Kompleksiluvuilla voidaan laskea normaalimuodossa käyttämällä reaalilukujen laskusääntöjä ja ottamalla huomioon, että i = : Jos z = x + iy ja z = x + iy ovat normaalimuotoja, niin ovat myös summa ja tulo z + z = x + x + i(y + y ), z z = x x y y + i(x y + y x ). Esimerkki.8.4 Yhteen- ja kertolaskua normaalimuodossa: ( + i4) + (3 i) = + i ( + i4)(3 i) = 6 + i4 + i i 8 = + i6 Normaalimuotoisen kompleksiluvun z = x + iy 0 käänteisluku on z = z = x + iy = Tehtävä.8.5 Todenna, että z z x iy (x + iy)(x iy) = x iy x + y = = kaikilla z C \ {0}. x x + y i y x + y. Esimerkki.8.6 Lasketaan kompleksiluvun z := i käänteisluku ja sen reaali- ja imaginaariosat: i = + i ( i)( + i) = + i i = + i 4 + = 5 + i 5. Täten Re z = 5 ja Im z = 5. Kompleksilukujen jakolasku määritellään käänteisluvulla kertomisena: kaikilla z C, w C \ {0}. z w := z w Esimerkki.8.7 Lasketaan kompleksilukujen osamäärä: 3 + i i ( + i)(3 + i) = = i (3 + i + 3i + i ) = ( + 4i) = + i.

189 LUKUALUEET 89 Esitysmuoto tason vektorina Kompleksiluku z voidaan tulkita tason vektoriksi, joka on pisteestä (0, 0) = 0 alkavan ja pisteeseen z = (x, y) = x + iy päättyvän suuntajanan määräämä. Määritelmä.8.8 Olkoon z = x + iy kompleksiluku (ks. Kuva 64). a) Luvun z moduli (modulus, module) eli itseisarvo on z := x + y. b) Luvun z argumentti eli vaihekulma (argument) arg z on kulma φ, jonka määrittelevät yhtälöt cos φ = x x + y ja sin φ = y x + y. y 0 z ϕ x z = x+iy Kuva 64: Kompleksiluvun z esitys tasossa c) Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti (complex conjugate) on kompleksiluku (Kuva 65) z = x iy. y z ϕ ϕ z = x+iy x _ z = x-iy Kuva 65: Liittoluvun geometrinen tulkinta

190 LUKUALUEET 90 (-,) (-,-) z α z _ ϕ Kuva 66: Lukujen z := + i ja z = i vaihekulmat Esimerkki.8.9 Olkoon z := + i. Laske z, arg z ja arg z. Ratkaisu. Ks. Kuva 66. Saadaan z = ( ) + = 8 =, arg z = φ = π + π 4 = 3π 4, arg z = α = π + π 4 = 5π 4. Esimerkki.8.0 Olkoon z := 4 + i, z := + i3. Näiden erotus on z z = 4 + i ( + i3) = 6 i. Moduliksi saadaan z z = 6 + = 37, mikä on pisteiden (4, ) ja (, 3) välinen etäisyys (ks. Kuva 67). (-,3) I z z -z z (4,) -z R 0 z -z (6,-) Kuva 67: Lukujen z = 4 + i ja z = + i3 erotus

191 LUKUALUEET 9 Itseisarvon eli modulin geometrinen merkitys on yleisestikin z on pisteen z etäisyys origosta z z on pisteiden z ja z välinen etäisyys. Esimerkki.8. Millä kompleksiluvuilla pätee z =, ts. mikä on joukko { z C z = }? Ratkaisu. Olkoon z = x + iy. Tällöin z = x + y = x + y =. Joukko { z C z = } on siis -säteinen origokeskinen ympyrä (Kuva 68). z = Kuva 68: Yhtälön z = ratkaisu Esimerkki.8. Mille kompleksiluvuille on voimassa yhtälö z = z? Ratkaisu. Olkoon z = x + iy normaaliesitys. Silloin z = x y + xyi, z = x + y. Vertaamalla imaginaariosia saadaan x = 0 tai y = 0. Reaaliosien perusteella taas: jos x = 0, niin myös y = 0. Jos taas y = 0, saa x olla mitä hyvänsä. Täten kaikki reaaliluvut ja vain ne toteuttavat yhtälön. Lause.8.3 Olkoot z = x + iy, z ja z kompleksilukuja. Tällöin a) (z) = z, b) z + z = z + z c) z z = z z

192 LUKUALUEET 9 d) ( ) = z z e) z z = z z f) z = z z z g) z = z z = x + y h) x = (z + z) ja y = (z z). i Todistus. Todistetaan tässä kohta c), muut kohdat todistetaan vastaavaan tapaan. Merkitään z = x + iy ja z = x + iy. Tällöin z z = (x iy )(x iy ) = x x ix y ix y + i y y = x x y y i(x y + x y ) = z z. Napakoordinaattiesitys Tason pisteen (x, y) R napakoordinaattiesitys on { x = r cos φ y = r sin φ, missä r = x + y on etäisyys origosta ja φ on pisteen (x, y) vaihekulma eli kulma x-akselin pisteestä ( x + y, 0) pisteeseen (x, y) vastapäivään. Tällöin arvoilla φ ] π, π [ pätee φ = arc tan y x. Vastaavasti, jos kompleksiluvun z = x + iy moduli on z = r ja argumentti arg z = φ, niin x = r cos φ ja y = r sin φ. Täten kompleksiluvulla z on napakoordinaattiesitys z = r(cos φ + i sin φ). Esimerkki.8.4 Määritetään luvun z := + i napakoordinaatit. Nyt r = + = 5.

193 LUKUALUEET 93 Vaihekulmalle φ on x = r cos φ ja y = r sin φ, joten saadaan yhtälöt cos φ = x r = 5 ja sin φ = y r = 5. Jakamalla oikeanpuoleinen yhtälö vasemmanpuoleisella saadaan tan φ =. Kulmaksi φ saadaan φ = arc tan radiaania eli asteina 360 arc tan π 6.6. Eulerin ja de Moivren kaavat Määritellään Eulerin kaava (sveitsiläinen Leonhard Euler, ) ja e iφ = cos φ + i sin φ e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y). Näin määritelty kompleksinen eksponenttifunktio noudattaa reaalisen eksponenttifunktion laskusääntöjä. Eksponenttifunktion avulla saadaan kompleksiluvulle z toinen napakoordinaattiesitysmuoto (ks. Kuva 69) z = re iφ = z e i arg z. -z = re i(- + ) y i z = x + iy = re i r > 0 - x i( + ) -i -z = re z = x - iy = re Kuva 69: Kompleksilukuja tasossa Kompleksilukujen aritmetiikkaa (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/KompleksiAritmetiikkaa.htm

194 LUKUALUEET 94 Esimerkki.8.5 Olkoon z := + i. Lasketaan moduli ja argumentti: z = r = + =, arg z = φ = arccos = π 4. Nyt z saadaan muotoon z = + i = ( e i π 4 = cos π 4 + i sin π ). 4 Olkoon nyt z = r =. Tällöin kompleksiluvulla z on esitykset z = cos φ + i sin φ = e iφ, joten korottamalla potenssiin n saadaan (ks. Kuva 70) z n = (cos φ + i sin φ) n = ( e iφ) n = e inφ. zn nϕ ϕ z Kuva 70: Kompleksiluvun potenssi z n, kun z = Toisaalta Eulerin kaavan mukaan kulman arvolla nφ pätee e inφ = cos nφ + i sin nφ. Näin ollen saadaan nk. de Moivre n kaava (ranskalainen Abraham de Moivre ) (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ.

195 LUKUALUEET 95.9 Kompleksinen. ja 3. asteen polynomiyhtälö Voimme nyt jatkaa Luvun 7. tarkastelua. Algebran peruslause on reaalitapausta koskevan Lauseen 7..0 vahvennus. Lause.9. (algebran peruslause) Kompleksimuuttujan algebrallisella polynomiyhtälöllä a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0, missä a i, z C ja a n 0, on aina täsmälleen n juurta, kun niiden kertaluvut otetaan huomioon. Esimerkiksi yhtälöllä on vain yksi n-kertainen juuri. (z ) n = 0 Esimerkki.9. Tarkastellaan kompleksimuuttujan toisen asteen algebrallista yhtälöä z + z + = 0. Kokeillaan tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Saadaan z = ± 4 = ± 3. Merkitsemällä 3 = 3i ja kirjoittamalla 3 = i 3 voidaan arvella ratkaisujen olevan z = ± 4 = ± i 3. Tarkistetaan vastaus sijoittamalla. Saadaan ( ± i ) ( 3 ± i ) = 4 ( + 3i i 3 ± i 3 + 4) = 0. Siis luvut z = ±i 3 ovat ratkaisuja eikä algebran peruslauseen nojalla muita ratkaisuja ole olemassa. Esimerkki.9.3 (b) Tarkastellaan yleisesti kompleksimuuttujan toisen asteen algebrallista yhtälöä az + bz + c = 0,

196 LUKUALUEET 96 missä a, b, c R ja b 4ac < 0. Vastaavaan tapaan kuin edellä voidaan todeta, että kompleksiluvut z = b ± i 4ac b a ovat erilliset ratkaisut. Algebran peruslauseen nojalla muita ratkaisuja ei ole. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden yleiset ratkaisukaavat keksittiin jo 500-luvulla (keksijöinä italialaiset Niccolo Tartaglia ( ) ja Ludovico Ferrari) (5-565). Kaavat julkisti Cardano julkaisussaan Ars Magna 545. Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavaa etsittiin innolla kunnes norjalainen Niels Henrik Abel (80-89) todisti vuonna 84, että yleistä ratkaisukaavaa ei voi olla olemassa! Korkeamman asteen polynomien eksaktien nollakohtien löytäminen onkin usein mahdotonta ja on tyydyttävä numeerisen analyysin antamiin nollakohtien likiarvoihin. Esimerkki.9.4 (Cardanon kaava) Kolmannen asteen reaalikertoimisen yhtälön z 3 + pz + q = 0, (8) missä p, q R, ratkaisut saadaan Cardanon kaavoilla z = 3 q + q + p3 + 3 q q + p3, ( ) ( ) z = + i 3 3 q + q + p3 + i 3 3 q 4 7 ( ) ( ) z 3 = i 3 3 q + q + p3 + + i 3 3 q 4 7 q 4 + p3 7, q 4 + p3 7. Cardanon kaava on historiallisesti merkittävä, sillä se on ensimmäisiä tuloksia, jotka sisältävät negatiivisen luvun neliöjuuren.

197 3 Parametrikäyrät ja vektorifunktiot Lopuksi tutkiskelemme yhden ja kahden muuttujan vektoriarvoisia funktioita. Edellisistä hyviä esimerkkejä ovat parametrikäyrät ja jälkimmäisen erääseen erikoistapaukseen tutustuimme Luvussa 9., nimittäin kun havainnollistimme kahden muuttujan funktiota kolmiulotteisessa koordinaatistossa. Useamman muuttujan funktio ja vektorifunktio ovat yksinkertaisesti funktiota, joiden lähtöjoukko tai maalijoukko ovat aivan erityistä tyyppiä. Yleinen n:n muuttujan funktio tarkoittaa funktiota A B, missä lähtöjoukko A on jonkin n-ulotteisen tulojoukon epätyhjä osajoukko ja maalijoukko B jokin epätyhjä joukko. Jos myös tämä maalijoukko on tulojoukko tai sellaisen osajoukko, funktiota sanotaan vektoriarvoiseksi tai vektorifunktioksi. 3. Parametrikäyrät Tuttu tapa visualisoida yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota h : A R on piirtää euklidiseen xy-koordinaatistoon sen kuvaaja (ks. Luku 6.), siis joukko G h := { (x, h(x)) x A }. Tällöin funktio-ominaisuudesta seuraa, että muuttujan arvon x kasvaessa vastaava kuvaajan piste (x, h(x)) siirtyy vääjäämättä samaan suuntaan. Näin voidaan saada aikaan vain hyvin erikoista tyyppiä olevia liikeratoja tasossa, ks. Kuva 7. (x, h(x)) y (x, h(x)) y x x x x Kuva 7: Funktion kuvaaja ja eräs hankalampi tasokäyrä Vaikeus voitetaan sallimalla vapaampi liike myös x-suunnassa. Tämä käy siirtymällä aitoon vektoriarvoiseen funktioon, ts. ottamalla käyttöön kaksi reaalifunktiota f ja g, joista syntyy järjestetty pari H := (f, g). Näistä f säätää funktion arvon x-koordinaattia ja g sen y-koordinaattia, joten voimme kirjoittaa { x = f(t), H : t I, y = g(t),

198 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 98 missä I on sopiva reaalinen parametrijoukko. Syntyneen vektoriarvoisen funktion H : I R, H(t) = (f(t), g(t)) kuvapisteiden koordinaattifunktioita sanotaan komponenteiksi tai komponenttifunktioiksi. On selvää, että jokaisen yhden muuttujan reaalifunktion g : A R relaatiotulkinta voidaan esittää Kuvan 7 osoittamalla tavalla vektorifunktiona, nimittäin valitsemalla f := Id ja I = A. Esimerkki 3.. Neliöfunktio h : R R, h(x) := x, parametrisoituu valitsemalla f(t) := t ja g(t) := h(t) = t, ks. Kuva y 5 4 y x 3 3 x 3 Kuva 7: Paraabeli ja sen käänteisrelaatio parametrikäyrinä Esimerkki 3.. Neliöjuuren päähaara eli positiivinen puoli h : [0, [ [0, [, h(x) := x, saadaan niinikään suoraan valitsemalla f(t) := t ja g(t) := h(t) = t, parametrivälinä I := [0, [. Neliöfunktion koko käänteisrelaatio sen sijaan saadaan valitsemalla f(t) := t ja g(t) := t, ks. Kuva 7. Tehtävä 3..3 Mitkä ovat sopivat parametrivälit Esimerkkien 3.. ja 3.. ja kuvan 7 tapauksissa? Esimerkki 3..4 Kahta tason pistettä (x, y ) ja (x, y ) yhdistävä jana voidaan parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: valitaan parametriväliksi I := [0, ] ja funktioiksi x, y : I R: x(t) := x + (x x )t, y(t) := y + (y y )t.

199 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 99 Huomaa, että näin saadaan myös pystysuorassa olevat janat! Pieni ongelmanpoikanen kätkeytyy tähän sinänsä näppärään esitystapaan: sama kuvaaja saadaan aikaan useilla erilaisilla parametriesityksillä. Kun on piirrettävä tietty tasokäyrä, siis relaatio tai kuvaaja, valitaan sopiva käyrän parametrisointi, ts. kaksi reaalifunktiota ja parametriväli. Edelleen, mm. jaksollisten komponenttifunktioiden tapauksessa piirto voi tapahtua useaan kertaan paramerivälin aikana, eikä se näy tuloskäyrästä mitenkään. Tässä voi olla apua dynaamisista kuvioista, joissa piirto näkyy silloin kun se tapahtuu. Tasokäyrien parametriesityksiä (JavaSketchpad) Kurssimateriaali/applet/KayranParametriEsitys.htm Tehtävä 3..5 Koeta keksiä edellä olleille Esimerkeille 3.. ja 3.. muunlaisia parametriesityksiä. Esimerkki 3..6 Ympyräesimerkissä 6..4 { x = cos t, y = sin t saadaan ylempi puoliympyrä parametrin t määrittelyvälillä I = [0, π] ja täysi ympyrä välillä I = [0, π], ks. Kuvat 73. Täsmälleen sama staattinen kuvio saadaan ympyrälle millä tahansa laajemmalla parametrivälillä kuin [0, π]. y y(t) y - x(t) x - x(t) x (x(t), y(t)) 0 t π y(t) (x(t), y(t)) - 0 π t π Kuva 73: Puoliympyrän ja ympyrän kehän muodostuminen parametrikäyrinä Tehtävä 3..7 Mikä on sopiva parametriväli ympyräesimerkissä 3..6, kun halutaan piirtää origokeskinen ympyränkaari pisteestä (0, ) pisteeseen (, 0)?

200 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 00 Mielivaltainen origokeskinen r-säteinen ympyrä saadaan myös helposti: { x = r cos t, t [0, π]. y = r sin t, Tehtävä 3..8 Kuinka saadaan r-säteinen (x 0, y 0 )-keskinen ympyrä? Esimerkki 3..9 Ellipsi saadaan pienellä muunnoksella ympyrän esityksestä: jos ellipsin puoliakselit ovat a ja b, niin origokeskiselle ellipsille saadaan esitys { x = a cos t, t [0, π]. y = b sin t, Tehtävä 3..0 Muodosta origokeskisen hyperbelin parametriesitys (vihje: Luku 8.4). Monia muita mielenkiintoisia kuvioita saadaan aikaan sinin ja kosinin avulla. Esimerkki 3.. Sykloidi on parametrikäyrä { x = a(t sin t), y = a( cos t), jonka ympyrän kehän piste piirtää, kun a-säteinen ympyrä pyörii pitkin x-akselia liukumatta, ks. Kuva y x Kuva 74: Sykloidin piirtää kiinteä ympyrän piste Tehtävä 3.. Selvitä pienin parametriväli, jolla sykloidin yksi ylöspäin kupera kaarenpätkä saadaan. Esimerkki 3..3 Episykloidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 75) { x = (a + b) cos t b cos((a + b)t/b), t [0, π]. y = (a + b) sin t b sin((a + b)t/b),

201 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT y y x x Kuva 75: Episykloidi ja hyposykloidi Esimerkki 3..4 Hyposykloidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 75) { x = (a b) cos t + b cos((a b)t/b), t [0, π]. y = (a b) sin t b sin((a b)t/b), Esimerkki 3..5 Astroidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 76) { x = a cos 3 t, y = b sin 3 t [0, π]. t,.5 y x Kuva 76: Astroidi Eräs tapa muodostaa tasokäyriä on käyttää napakoordinaattiesitystä muodossa Γ : ϕ (ϕ, r(ϕ)) p (p niinkuin polar), missä ϕ I, I parametriväli. Kuvaajan piste Γ(ϕ) asettuu siis etäisyydelle r(ϕ) origosta alkavalla puolisuoralla, jonka

202 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 0 kiertokulma positiivisen x-akselin suhteen on ϕ. Käyrän pisteen suorakulmaiset koordinaatit ovat silloin Γ(ϕ) = { x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, ϕ I. Tehtävä 3..6 Yhdistä seuraavat määrittelyt Kuvaan 77: ) r = ϕ, ) r = /ϕ, 3) r = ln( + ϕ), 4) r = sin 4ϕ, 5) r = sin ϕ, 6) r = cos ϕ Kuva 77: Käyriä napakoordinaattipiirroksina

203 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT Vektorifunktiot Kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio rakentuu tietysti kahdesta (tai useammasta) kahden muuttujan komponenttifunktiosta f : A U ja g : A V, missä A X Y ja U ja V joukkoja. Yhdistelmä H := (f, g) on siten funktio A U V. Tarkastelemme tässä vain muutamia esimerkkejä reaalisista vektorifunktioista, ts. H = (f, g) : A R, missä A R ja f ja g funktioita A R. Esimerkki 3.. Seuraavat ovat koko tasossa määriteltyjä funktioita tasoon, siis H k : R R : a) H (x, y) = (f (x, y), g (x, y)) = (5, ) b) H (x, y) = (f (x, y), g (x, y)) = (x, ) c) H 3 (x, y) = (f 3 (x, y), g 3 (x, y)) = (x y, y x) d) H 4 (x, y) = (f 4 (x, y), g 4 (x, y)) = (y, x) e) H 5 (x, y) = (f 5 (x, y), g 5 (x, y)) = (x + y, x y) f) H 6 (x, y) = (f 6 (x, y), g 6 (x, y)) = (x + y, 3x y) H on vakiofunktio, se kuvaa koko tason yhteen pisteeseen. H on vakio toisen muuttujan ja myös toisen komponentin suhteen. Se projisoi koko tason kohtisuoraan suoralle y =. H 3 kuvaa koko tason suoraksi; kokeile vaikka! Mikä on tuo suora, miten asia perustellaan? H 4 peilaa tason suoran y = x suhteen. H 4, H 5 ja H 6 ovat bijektioita tasosta tasoon (ks. Lineaarialgebra). Tehtävä 3.. Kuvassa 78 näkyy kuinka osa Esimerkin 3.. funktioista H k kuvaavat yksikköympyrän oikeapuoleiseen tasoon. Selvitä mikä mikin on Kuva 78: Kuinka funktiot kuvaavat ympyrän

204 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 04 Vektorifunktion havainnollistamisesta Staattisilla kuvilla on vaikea kuvata kahden muuttujan vektorifunktioita. Niiden toimintaa voi kuitenkin havainnollistaa näyttämällä miten ne tasoa deformoivat tai transformoivat eli muuntavat, toisin sanoen kuinka erilaiset tason osat kuvautuvat. Usein on helppo tutkia kuinka esimerkiksi tietynlaiset käyrät (suorat, ympyrät, neliöt) kuvauksessa muuntuvat. Kuinka Kuvan 78 sisällöt on piirretty? Mapleohjelmalla lähtöpuolen yksikköympyrä piirretään helposti näin: [> restart: with(plots): with(plottools): # nollataan muisti, ladataan piirtopaketit [> alue := [-4..4, -4..4]; # piirtoalueen määrittely [> plot([cos(t), sin(t), t = 0..*Pi], scaling = constrained, view = alue); # parametrikäyrän piirto Edellisen ympyrän kuvajoukot on piirretty toiseen (erilliseen) kuvaan, aluksi kukin erikseen ja lopuksi yhdistämällä yhdeksi kuvaksi. Tässä vain esimerkkinä kahden funktion kuvat yksikköympyrästä: [> H7 := (x, y) -> [x - *y, *x + 3*y]; # määritellään funktiot [> H8 := (x, y) -> [sin(x - *y), *x + 3*y]; # ja piirretään, talletetaan ja yhdistetään [> plot([op(h7(cos(t), sin(t))), t = 0..*Pi], scaling = constrained, color = black); [> plot([op(h8(cos(t), sin(t))), t = 0..*Pi], scaling = constrained, color = cyan); [> H7kuva := plot([op(h7(cos(t), sin(t))), t = 0..*Pi], scaling = constrained, color = black): [> H8kuva := plot([op(h8(cos(t), sin(t))), t = 0..*Pi], scaling = constrained, color = cyan): [> display(h7kuva, H8kuva, view = alue); Kuva 79: Lisää yksikköympyrän kuvia

205 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 05 Paremmin onnistumme havainnollistamisessa käyttämällä dynaamisia kuvioita, vaikka piirtäisimme tulokset samaan kuvaankin; pitää tulkita niin, että lähtö- ja maalijoukko ovat päällekkäin. Lineaaristen perusfunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad) matematiikka/kurssit/matematiikanjohdantokurssi/ Kurssimateriaali/applet/LineaarisetPerusfunktiot.htm Lopuksi kuvataan erästä kompleksimuuttujan kompleksiarvoista funktiota, joka voidaan tietysti tulkita kahden muuttujan vektorifunktioksi. Eräs kompleksifunktio (JavaSketchpad)

206 3 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT 06

207 Hakemisto A +, [n], #, 33, 64 C, N, N 0, Q, R, Z, ℵ 0, 6 card, 6 c, 65 P, 5 a-kantainen eksponenttifunktio, 07 a-kantainen logaritmifunktio, 07 e-kantainen logaritmi, 06 n:s juurifunktio, 99 Abel, Niels Henrik, 96 aidosti kasvava, 79 aidosti mahtavampi, 58 aidosti vähenevä, 79 aito järjestys, 6 aito osajoukko, 3 aksiomaattinen määritelmä, 38 aksiomaattinen määrittely, 77 aksiooma, 38 alaraja, 6 alaspäin kupera, 83 algebrallinen funktio, 88 algebrallinen yhtälö, 93 algebralliset reaaliluvut, 79 algebran peruslause, 95 alhaalta rajoitettu funktio, 8 alhaalta rajoitettu joukko, 6 alkeisfunktiot, 89 alkio, 0 alkukuva, 85 alkukuvajoukko, 46, 7 antisymmetrisyys, 54 antiteesi, 50 apulause, 40 arabialaiset numeromerkit, 77 areahyperbolinen kosini (päähaara), 6 areahyperbolinen kotangentti, 6 areahyperbolinen sini, 6 areahyperbolinen tangentti, 6 argumentti, 89 arkuskosinin päähaara, arkuskotangentin päähaara, arkussinin päähaara, 0 arkustangentin päähaara, arvojoukko, 46 arvojoukko, funktion, 64 aste, 90 atomilause, avoin lause, 38 bijektio, 64 binomikerroin, 8 Boole, George, 8 Cantor, Georg, 35, 66 Cantor-Schröder-Bernstein, 63 Cantorin I diagonaalimenetelmä, 84 Cantorin lause, 60 Cantorin menetelmä, 77 Cantorin toinen diagonaalimenetelmä, 85 de Moivre n kaava, 94 de Moivre, Abraham, 94 de Morgan, Augustus, 8 Dedekind, Richard, 77 Dedekindin leikkaukset, 77 desimaalilukumuoto, 78 disjunktio, diskriminantti, 93 07

208 HAKEMISTO 08 edeltäjä, 67 eksponenttifunktio, 04 ekvivalenssi, ekvivalenssiluokka, 56 ekvivalenssirelaatio, 55 epätosi, 0 erilliset joukot, 3 erotus, joukkojen, 4 Euler, Leonhard, 93 Eulerin kaava, 93 Ferrari, Ludovico, 96 Fibonacci, Leonardo, 47 Fibonaccin luku, 47 Fibonaccin lukujono, 47 Fraenkel, Abraham, 35 Frege, Gottlob, 35 funktio, 5 Gödel, Kurt, 35 Hasse, Helmut, 59 Hassen kaavio, 59 Heaviside-metodi, 97 hyperbolinen kosini, 4 hyperbolinen kotangentti, 4 hyperbolinen sini, 4 hyperbolinen tangentti, 4 hyperboliset funktiot, 4 hyvin järjestetty, 63 Hyvinjärjestämisaksiooma, 63 identtinen kuvaus, 7 identtiset joukot, identtisyysrelaatio, 49 imaginaariakseli, 86 imaginaariyksikkö, 87 implikaatio, induktiivinen, 46 induktio-oletus, 4 induktioaskel, 4 induktioväite, 4 infimum, 6 injektio, 64 irrationaaliluvut, 78 itseisarvo, 80, 89 jaettava (polynomit), 9 jakaja (polynomit), 9 jakojäännös (polynomit), 9 jakolasku (C), 88 jakso, 8 jaksollinen, 8 jaollisuus (polynomit), 9 johdettu lause, johdonmukainen, 6 johtopäätös, 6 joukko, 0 joukkojen mahtavuus, 58 juurifunktio, 88 järjestys, 60 järjestys (Q), 75 järjestys (Z), 7 jäsenyysfunktio, 37 kahden muuttujan funktio, 8 karakteristinen funktio, 37 kardinaliteetti, 58 karteesinen tulo, 4, 4 kasvava, 79 kertolasku (C), 86 kertolasku (N), 69 kertolasku (Q), 75 kertolasku (Z), 7 kertoma, 46 kokonaisluvut, 7 kolmioepäyhtälö, 8 kompleksifunktio, 05 kompleksikonjugaatti, 89 kompleksiluku, 86 kompleksilukujen joukko, 86 kompleksiluvun imaginaariosa, 86 kompleksiluvun käänteisluku, 88

209 HAKEMISTO 09 kompleksiluvun reaaliosa, 86 kompleksitaso, 86 komplementti, 4 komponentti, 98 komponenttifunktio, 98 kompositio, 49 konjektuuri, 40 konjunktio, konkaavi, 83 Kontinuumihypoteesi, 65 konveksi, 83 korkeampi transkendenttifunktio, 89 korkeintaan numeroituva joukko, 83 korkeintaan yhtä mahtava, 58 korollaari, 40 kosinifunktio, 3 kultainen luku, 48 kuva, 5, 64 kuvaaja, 76 kuvajoukko, 46, 7 kuvaus, 5 kvanttori, 38 kymmenjärjestelmä, 77 käänteisfunktio, 70 käänteiskuvaus, 70, 85 käänteisrelaatio, 47 laskutoimitus, 33 lause, 0, 39 lausefunktio, 38 leikkaus, 3 lemma, 40 liittoluku, 89 liitännäisyys, 34 lineaarinen järjestys, 60 logiikka, 0 looginen yhtäpitävyys, 5 luku, 66 lukualue, 66 lukumääräjoukko, lukusuora, 77 luonnollinen järjestys, 60 luonnollinen logaritmi, 06 luonnollisten lukujen joukko, 66 lähtöjoukko, 45 lähtöjoukko, funktion, 64 maalijoukko, 45 maalijoukko, funktion, 64 maksimaalinen alkio, 6 matemaattinen induktio, 4 matemaattinen malli, 4 minimaalinen alkio, 6 moduli, 89 molekyylilause, moninkertainen nollakohta, (polynomit), 9 monotonisuus, 79 murtofunktio, 88 murtolukumuoto, 78 muuttuja, 5, 64 määritelmä, 38 määrittelyjoukko, 46 n-kertainen nollakohta (polynomit), 97 napakoordinaattiesitys, 9 Napier, John, 04 negaatio, Neperin luku, 04 nollakohta, (polynomit), 9 nollapolynomi, 90 normaalimuoto, 87 numeroituva joukko, 83 numeroituvasti ääretön joukko, 83 oletus, 6 osajoukko, osamurtokehitelmä, 96 osamäärä (polynomit), 9 osittain järjestetty joukko, 6 osittainen järjestys, 59 osittelulaki, 34 ositus, 58

210 HAKEMISTO 0 paikkajärjestelmä, 77 parametrisointi, 99 parillinen, 8 pariton, 8 Pascal, Blaise, 8 Peano, Giuseppe, 66 Peanon aksioomat, 66 Peirce, Benjamin, 8 perusjakso, 8 perusjoukko, peruslause, pienin alkio, 6 pienin yläraja, 6 pistevieraat joukot, 3 Polya, George, 45 polynomi, 88, 90 polynomien jakoyhtälö, 90 polynomin aste, 90 polynomin kerroin, 90 potenssi (relaation), 5 potenssifunktio, 0 potenssijoukko, 5 premissi, 6 puhtaasti imaginaarinen, 86 puoliryhmä, 5 päättely, 6 R-ketju, 5 radiaani, rajoitettu funktio, 8 rajoitettu joukko, 6 rajoitettu joukossa, 8 rajoittuma, 64 rationaalifunktio, 88 rationaalifunktiot, 95 rationaaliluvut, 75, 78 ratkaisujoukko, 38 reaaliakseli, 77, 86 reaalifunktio, 76 refleksiivisyys, 54 rekursiivinen, 46 relaatio, 44 Russell, Bertrand, 35 samuus, seuraaja, 66 seuraus, 40 sinifunktio, 3 sisäfunktio, 67 sitova, 6 Skolem, Thoralf, 35 suljettu muoto, 89 sumea joukko, 37 sumea logiikka, 9 supremum, 6 surjektio, 64 suurin alaraja, 6 suurin alkio, 6 symmetrisyys, 54 Tartaglia, Niccolo, 96 tautologia, 4 tekijä (polynomit), 9 teoreema, 39 todistus, 40 tosi, 0 totaali järjestys, 60 totaalisti järjestetty joukko, 6 totuusarvotaulukko, transitiivisyys, 54 transkendenttiluvut, 79 transkendenttinen alkeisfunktio, 89 transkendenttinen funktio, 89 transkendenttiset alkeisfunktiot, 0 trigonometriset funktiot, 4 tulojoukko, 4, 4 tyhjä joukko, täydellinen järjestys, 60 täysi, 54 täysin järjestetty joukko, 6 ulkofunktio, 67

211 HAKEMISTO vaihdannaisuus, 34 vaihekulma, 89, 9 Valinta-aksiooma, 35 vastaesimerkki, 5 vastaoletus, 50 Venn, John, 4 Venn-diagrammi, 4 von Neumann, 67 vähenevä, 79 väli, väritysongelma, 57 yhdiste, 3 yhdistetty funktio, 67 yhdistetty kuvaus, 67 yhdistetty relaatio, 49 yhteenlasku (C), 86 yhteenlasku (N), 69 yhteenlasku (Q), 75 yhteenlasku (Z), 7 yhtämahtavuus, 58 yksikkökiekko, 3 yksikkörelaatio, 49 yksikköympyrä, ylhäältä rajoitettu funktio, 8 ylhäältä rajoitettu joukko, 6 ylinumeroituva joukko, 83 yläraja, 6 ylöspäin kupera, 83 Zadeh, Lotfi, 8 Zermelo, Ernst, 35 ZF-aksiomatiikka, 35 Zorn, Max, 63 Zornin lemma, 63 äärellinen joukko, 60 ääretön joukko, 60 äärimmäinen alkio, 6