Matematiikan johdantokurssi

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi Martti Pesonen, Pekka Smolander, joulukuuta 05

2 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti, että matematiikka on sitä mitä matemaatikot tekevät! Matemaatikkojen työ taas sisältää arvailua ja asioiden yhdistelyä, laskemista ja kokeilua, pähkäilyä ja eksaktia päättelyä, sekä runsaasti uuden opiskelua. Opintojen myötä tuon hämärän kuvan pitäisi tarkentua, kun eri kursseilla harjoitellaan matemaattisten käsitteiden ja prosessien verkoston rakentamista. Millaista matematiikka on? eksaktia: tarkkaa ja täsmällistä, väitteet perustuvat loogiseen päättelyyn, ei uskotteluun tai arvailuun. Eksakti ei kuitenkaan tarkoita mitään absoluuttista totuutta, vain sitä, että johdetut tulokset ovat totta lähtien joistain sovituista totuuksista, aksioomista. abstraktia: matematiikka sisältää paljon käsitteitä, joille ei ole todellisuuspohjaa, siis vastinetta elämässä tai luonnossa. Matematiikkaa ei siis aina käytetä jonkin havaintotodellisuuteen kuuluvan ilmiön kuvaamiseen tai selittämiseen. formaalia: käsitellään merkkejä, symboleja, joilla pitää olla sovittu merkitys. Matematiikka on muodollista kieltä, jossa on tarkat säännöt, esimerkkinä vaikkapa laskusääntö (a + b) = a + ab + b, joka sekin pitää paikkansa vain tietyillä sovituilla olettamuksilla. Seuraava sääntö on totta väljemmillä ehdoilla: (a + b) = a + ab + ba + b. Edellisessä tarvitaan oletuksena vaihdannaisuus ja osittelulaki, jälkimmäisessä vain osittelulaki. ikinuorta: matemaattinen tietous ei vanhene: esimerkkinä Pythagoraan lause, vrt. 50-luvun elektroniikka. Matematiikka on edelleen intensiivisen tutkimuksen kohde, se on vahvasti haarautunut ja erikoistunut. Esimerkiksi jo viime vuosikymmenellä julkaistiin vuosittain yli matemaattista artikkelia tai kirjaa ( that can generally be classified as research in the mathematical sciences ). Onko matematiikka tieteiden kuningatar vai tieteiden palvelijatar? (saksaksi die Mathematik)

3 3 Matematiikan osa-alueita Muinoin pythagoralaiset jakoivat matematiikan Kuvion mukaisesti. matematiikka diskreetti jatkuva absoluuttinen suhteellinen staattinen dynaaminen aritmetiikka musiikki geometria t htitiede Kuva : Pythagoralainen matematiikan jaotus Perinteisesti ymmärretään, että matematiikka on oppi luvusta (aritmetiikka ja algebra) ja tilasta (geometria). Nykyisin matematiikka jaetaan yli 60 eri haaraan, hienommassa jaottelussa noin 5000 osa-alueeseen. Algebralle ominaista ovat laskutoimitukset ja niitä koskevat säännöt, samoin lineaarialgebralle. Analyysi on yleisnimitys matematiikalle, joka pohjautuu raja-arvon käsitteeseen, se sisältää mm. differentiaali- ja integraalilaskennan. Calculus on analyysin alkeismuoto, jossa todistaminen ja perusteleminen on esillä vaatimattomammin; lukiomatematiikka on luonteeltaan lähellä calculusta. Geometria on enemmän tai vähemmän abstraktien olioiden piste ja suora tarkastelua. Nykyään tunnetaan monia erilaisia sovelluskelpoisiakin geometrioita. Logiikka yksinkertaisimmillaan on keino mekanisoida totuuksien käsittelyä ja perustelemista. Tutkimusalana logiikka on pedanttista ja vaativaa. Joukko-oppi pohjautuu matemaattiseen logiikkaan ja yleensä jo ns. naiivi joukkooppi riittää mm. analyysin tarpeisiin. Tutkimusalana joukko-oppi on kaikkea muuta kuin yksinkertaista, se on lähellä filosofiaa. Topologia on joukon lokaalin rakenteen ja jatkuvan tutkimista; keskeisiä ovat ominaisuudet, jotka eivät muutu jatkuvissa muunnoksissa. Sovelletun matematiikan osa-alueet pohjautuvat pitkälti perinteisen matematiikan haaroihin, mutta painottuvat enemmän matematiikan soveltamiseen ja algoritmien kehittämiseen. Vaikka menetelmät ovat usein approksimatiivisia, niiden on oltava perusteltavissa eksaktein menetelmin, joista käyvät selville mm. virhearviot ja pätevyysehdot. Matematiikan osa-alueiden rajat eivät suinkaan aina ole tarkkoja, on mm. sen kaltaisia tutkimusaloja kuin algebrallinen topologia ja analyyttinen geometria.

4 4 Matematiikan johdantokurssista Sana kurssi voi tarkoittaa opintojaksoa, josta saadaan suoritus opintopisteinä, tai siihen liittyvää opetustapahtumaa, joka on fyysinen toimenpide opintojakson suorittamista varten. Tämä jaotus tulee Oodi-järjestelmästä. Opintojakson voi suorittaa osallistumalla opetustapahtumaan (arkikielessä siis tämä kurssi ) kertauskuulusteluineen tai suorittaa erikseen järjestettävällä loppukuulustelulla, joita on nk. yleisinä ainekohtaisina tenttipäivinä. Matematiikan johdantokurssin merkityksestä Opintojakson nimi Matematiikan johdantokurssi viittaa siihen, että siinä käsitellään matematiikan perusasioita, joita tarvitaan pääasiassa muiden matematiikan kurssien pohjatietoina. Se antaa melko kattavan valikoiman käsitteistöä ja perustyökaluja, joita käytetään hyvin monilla matematiikan osa-alueilla. Johdantokurssissa lähtökohtana ovat logiikka ja joukko-oppi, joista lähtien lisätään rakennetta kohti systeemiä, josta muilla kursseilla voidaan alkaa käsitellä mm. algebrallisia rakenteita ja differentiaalilaskentaa. Matematiikan johdantokurssi ei siis ole lukion peruskurssien jatkoa, vaan siinä pyritään luomaan perustaa, jonka pohjalta mm. lukiossa varsin pinnallisesti ja yksipuolisesti yleensä myös perustelematta opetetut asiat voidaan perustella, todistaa. Matematiikan johdantokurssin sisällöstä Logiikkaa käytämme perustellessamme väitteitä, usein jopa tätä tiedostamatta. Arkielämässä perusteluksi käy monesti päättely, jonka osaset, premissit, ovat totta riittävällä todennäköisyydellä tai sovitaan tosiksi. Kun lapsi sanoo: Mutta kaikilla muilla jo on! olisi vanhemman yleensä helppo napauttaa: Selvitetäänpä onko asia ihan niin. Eri asia tietysti on, unohtuuko vaatimus yhden tai edes useamman vastaesimerkin avulla, eli löytämällä kaveripiiristä henkilö(i)tä, joilla sitä turhaketta ei ole (eikä ehkä tulekaan olemaan). Erityisesti matematiikassa on tarve todistaa lauseiden muotoon puettuja väitteitä, jotta voidaan rakentaa yhä rikkaampia teorioita. Silloin on lähdettävä koko popu-

5 5 laation yhteisesti sopimista perusolettamuksista, joista kuka tahansa voi ainakin periaatteessa johtaa samat totuudet. Logiikka ja joukko-oppi tarjoavat hyvin moneen tilanteeseen sopivan kielen. Miten suhtautua henkilöön, joka sanoo hänellä olevan kolme miljoonaa postimerkkiä? Määrä on suuri, ja voi hyvinkin olla, että hänellä on esimerkiksi täydellinen kokoelma suomalaisia merkkejä. Toisaalta hänellä voisi olla vaikkapa vain kahdenlaisia merkkejä, eikä tämä enää tee vastaavaa vaikutusta. Kun puhutaan kokoelmasta, tarkoitetaan yleensä erilaisten merkkien määrää. Matematiikassa puhutaan silloin joukosta ja sen alkiomäärästä. Jos yhdistetään kaksi postimerkkikokoelmaa, ei kokoelman laajuus tavallisesti ole kokoelmien laajuuksien summa, vaan merkkijoukkojen yhdisteen alkiomäärä. Kun henkilö maksaa laskun pankkitililtään, hän varmasti uskoo systeemien toimivan niin, että maksu menee juuri oikeaan osoitteeseen, eikä esimerkiksi moninkertaisesti useille eri tileille. Sähköpostilista mahdollistaa viestin lähettämisen usealle vastaanottajalle ja samaa listaa voi käyttää hyvinkin moni lähettäjä. Nämä ovat esimerkkejä relaatioista. Tässä kurssimateriaalissa tutustutaan logiikan ja joukko-opin tarjoaman matemaattisen kielen avulla erilaisiin relaatioihin kuten ekvivalenssi, järjestys ja funktio, sekä lukujoukkoihin ja niihin liittyviin funktioihin. Vaikka monet käsiteltävistä asioista ovat tuttuja jo koulumatematiikasta, voi opiskelu- ja tarkastelunäkökulman abstraktius ja formaalisuus aluksi hämmentää. Toisaalta aiheiden käsittelyn perusteellisuuden vuoksi itse käsitteellinen sisältö voi tuntua varsin suppealta. Tätä on kuitenkin vaikea välttää, koska kurssin päätarkoitus on orientoida korkeampaan matematiikkaan, siis antaa vankka teoreettinen ja käytännöllinen pohja mm. aksiomatiikkalähtöisiä matematiikan haaroja käsitteleviä kursseja varten (algebra, lineaarialgebra, todennäköisyyslaskenta, topologia). Luentomoniste on koottu pääasiassa laitoksella vuosien mittaan pidettyjen peruskurssien luento- ja harjoitusmateriaaleista. Kokoomatyössä oli keskeisenä apuna Isa Pakarinen, ja työtämme tuki rahallisesti Joensuun yliopiston Opetusteknologiakeskus syksyllä 005. Tämä esitys on siitä hieman parannettu, laajennettu ja v. 007 uudelleen järjestetty versio, jota on senkin jälkeen vielä vähän korjailtu vv Muu oppiaines julkaistaan pääasiassa sähköisessä muodossa ja se sisältää harjoituksia ja visualisointeja sekä vuorovaikutteisia opiskelumoduleja. Matematiikan muilla peruskursseilla ja analyysin kursseilla perehdytään tarkemmin mm. yhden ja useamman muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan. Joensuussa 7. joulukuuta 05

6 SISÄLTÖ 6 Sisältö Lauselogiikkaa 0. Logiikan lauseet ja totuusarvot Tautologia ja looginen ekvivalenssi Looginen päättely Sumeasta logiikasta Joukko-oppia 0. Joukko ja alkio Joukkojen merkitseminen Joukko-opin käsitteitä Joukko-opin kaavoja Joukko-opin väitteiden todistaminen Yleisempää joukko-oppia Joukkojen alkiomääristä Joukko-opin ongelmista Sumeasta joukko-opista Lausefunktiot Avoin lause ja kvanttorit Lausefunktion negaatio Relaatiot 4 4. Tulojoukko Relaatio Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen Funktio Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä Ekvivalenssirelaatio Järjestysrelaatio

7 SISÄLTÖ 7 5 Funktiot Injektio ja surjektio Yhdistetty funktio Käänteisfunktio Osajoukkojen kuvautuminen Reaalifunktiot Reaalifunktio ja sen esittämistapoja Reaalifunktiotyyppejä Käänteiskuvaus Funktioiden yhdistäminen Reaalifunktioiden luokittelusta Algebralliset alkeisfunktiot Polynomit Algebrallisista yhtälöistä Rationaalifunktiot Potenssi- ja juurifunktio Transkendenttiset alkeisfunktiot 0 8. Yleiset potenssi- ja juurifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Trigonometriset ja arkusfunktiot Hyperboliset ja areafunktiot Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus 8 9. Kahden muuttujan funktio Laskutoimitus Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta Matemaattisen teorian käsitteitä Induktioperiaate ja induktiotodistus

8 SISÄLTÖ Suora ja epäsuora todistus Ekvivalenssin osoittaminen Todistuksen esitysjärjestys Väitteen osoittaminen vääräksi Arviointitekniikka Tietokone todistuksen apuna Joukkojen mahtavuuksista 58. Mahtavuusvertailujen määrittely Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys Joukon kardinaliteetti Lukualueet 66. Luonnolliset luvut Kokonaisluvut Rationaaliluvut Reaaliluvut Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Binomikertoimet ja binomikaava Numeroituvuus Kompleksiluvut Kompleksinen. ja 3. asteen polynomiyhtälö Parametrikäyrät ja vektorifunktiot Parametrikäyrät Vektorifunktiot

9 SISÄLTÖ 9

10 Lauselogiikkaa Logiikka on teoria oikeasta päättelystä. Logiikka jaetaan usein etenkin teknillisillä ja tietoteknisillä aloilla kahteen osaan: propositiologiikka eli lauselogiikka ja sen laajennus predikaattilogiikka, jossa tarkastellaan nk. avoimia lauseita (predikaatteja, lausefunktioita), joista saadaan joukko-opin ja kvanttorien ja avulla logiikan (suljettuja) lauseita. Luvuissa -3 tarkastelemme lauseita ja niiden yhdistämistä konnektiiveilla sekä joukko-opin alkeita ja lausefunktioita.. Logiikan lauseet ja totuusarvot Logiikan perusalkioina ovat lauseet ja niiden arvoina totuusarvot. Määritelmä.. Logiikassa lause (proposition, statement) on väite tai ilmaisu, jolla on täsmälleen yksi mahdollisista totuusarvoista tosi (true) ja epätosi (false). Totuusarvoja merkitään jatkossa tosi = T ja epätosi = E (myös symboleja tosi = ja epätosi = 0 käytetään, erityisesti tietotekniikassa). Matemaattinen logiikka ei tunne muita totuusarvoja: tämä nk. kielletyn kolmannen laki tarkoittaa, että lause ei voi olla muuta kuin tosi tai epätosi. Toiseksi, lause ei voi olla yhtä aikaa tosi ja epätosi: tämä on nk. kielletyn ristiriidan laki. Logiikan tehtävä ei ole ottaa kantaa lauseiden havainnolliseen totuuteen tai totuusarvoon sinänsä, vaan siinä pyritään esittämään menetelmiä, joiden avulla tosina pidetyistä väitteistä voidaan johtaa uusia tosia väitteitä. On kuitenkin järkevää liittää reaalielämään liittyvään lauseeseen sen havainnollinen totuusarvo. Esimerkki.. Ilmaisut Rooma on Ranskassa. Luku on jaollinen luvulla 3. 3 <. ovat kaikki logiikan lauseita, koska niiden totuusarvo on kiistatta selvitettävissä. Sen sijaan ilmaisut Avaa ikkuna! +. Tämä lause on epätosi. eivät ole logiikan mielessä lauseita. Myöskään väitteen Ydinvoimaa tarvitaan lisää. totuusarvo ei ole ilmeinen.

11 LAUSELOGIIKKAA Lauseita merkitään tässä esityksessä isoilla kirjaimilla P, Q, R, S,... Ainoat logiikan vakiot ovat identtisesti tosi lause T ja vastaavasti epätosi lause E. Annetuista peruslauseista eli atom(ilaus)eista voidaan johtaa uusia lauseita, molekyylilauseita eli johdettuja lauseita loogisten konnektiivien avulla: negaatio ( ei ) vaihtaa totuusarvon disjunktio ( tai ) edes yksi tosi konjunktio ( ja ) kaikki tosia implikaatio ( jos... niin ) seuraa ekvivalenssi ( jos ja vain jos ) sama(narvoise)t totuusarvot Määritelmä..3 Olkoot P ja Q logiikan lauseita. a) Lauseen P negaatio P on lause, jolla on päinvastainen totuusarvo kuin lauseella P. b) Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P on tosi tai Q on tosi, ja epätosi, jos P ja Q ovat epätosia. c) Lauseiden P ja Q konjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P ja Q ovat tosia, muutoin epätosi. d) Lauseiden P ja Q implikaatio P Q on lause, jonka totuusarvo on epätosi, jos P on tosi ja Q epätosi, muulloin tosi. e) Lauseiden P ja Q ekvivalenssi P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos lauseilla P ja Q on sama totuusarvo, muulloin epätosi. Johdettuja lauseita ovat kaikki ne lauseet, jotka saadaan äärellisen monella logiikan operaatiolla äärellisen monesta peruslauseesta. Huomautus..4 Negaatio kohdistuu yhteen, sitä seuraavaan lauseeseen, muut yhdistävät kahta lausetta, jotka voivat olla itsekin konnektiiveilla johdettuja; vrt. lukujen laskutoimitukset! Loogisten symbolien avulla saatujen lauseiden totuusarvot ilmaistaan usein nk. totuusarvotaulukon (truth table) avulla. Seuraavat perustotuusarvotaulukot on siis sovittu logiikan perustaksi:

12 LAUSELOGIIKKAA Negaatio ei P P T E E T Implikaatio jos... niin P Q P Q T T T T E E E T T E E T Konjunktio ja P Q P Q T T T T E E E T E E E E Disjunktio tai P Q P Q T T T T E T E T T E E E Ekvivalenssi jos ja vain jos P Q P Q T T T T E E E T E E E T Huomautus..5 a) Negaatio tarkoittaa täydellistä vastakohtaa, esimerkiksi reaalilukujen tilanteessa lauseen a < b negaatio ei ole a > b vaan a b. Mikähän on lauseen auto on musta negaatio? b) Disjunktio tai poikkeaa kieliopillisesta tai-sanasta siinä, että se ei ole poissulkeva tai ; arkikielessähän tai tarkoittaa usein joko... tai. c) Implikaatio voidaan lukea monilla eri tavoilla. Lause P Q luetaan Jos P, niin Q. Q, jos P. Q, mikäli P. P on riittävä ehto lauseelle Q. Q on välttämätön ehto lauseelle P. d) Lauseita yhdistettäessä on aina käytettävä tarpeellinen määrä sulkeita osoittamaan, missä järjestyksessä lauseet on yhdistetty. Sovitaan kuitenkin, että jos negaatio vaikuttaa vain seuraavaan atomilauseeseen, niin sulkeita ei tarvita. e) Jos johdetussa lauseessa on n eri atomilausetta, niin totuuarvotaulukossa johdetun lauseen kuvaamiseen tarvitaan n vaakariviä. Esimerkki..6 Olkoot seuraavassa P, Q ja R logiikan lauseita. Näistä johdettuja lauseita ovat mm. a) Q, T Q, P Q, b) (P Q) R, c) (P Q) R.

13 LAUSELOGIIKKAA 3 Esimerkki..7 Oletetaan, että Esimerkin..6 peruslauseella P on arvo tosi eli T, ja olkoot Q ja R epätosia. Silloin johdettujen lauseiden totuusarvot ovat: a) Q tosi, T Q tosi, P Q epätosi, b) (P Q) R tosi, c) (P Q) R tosi. Annetuista lauseista konnektiiveilla johdetun lauseen kaikki mahdolliset totuusarvot saadaan selville mekaanisella laskulla totuusarvotaulukon avulla. Esimerkki..8 Lauseen P Q totuusarvot ovat P Q Q P Q T T E E T E T T E T E E E E T E Esimerkki..9 Olkoon S lause ( P Q) Q. Määritä lauseen S totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko, josta lauseen totuusarvot näkyvät. P Q P P Q Q S T T E T T T T E E E E T E T T T T T E E T T E E Esimerkki..0 Määritä lauseen P (Q R) totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan taas totuusarvotaulukko: P Q R P R Q R P (Q R) T T T E E E E T T E E T T T T E T E E E E T E E E T E E E T T T E E T E T E T T T T E E T T E E T E E E T T E T Huomautus.. Logiikan lause on erotettava matematiikan lauseesta, joka on tosi väite. Matematiikan lause on usein kahden logiikan lauseen implikaatio, siis muotoa A B, missä A on oletus ja B väitös.

14 LAUSELOGIIKKAA 4. Tautologia ja looginen ekvivalenssi Identtisesti tosi lause on tautologia (nk. ajatuslaki, yleispätevä looginen totuus). Johdettu lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta siitä, mitkä totuusarvot atomilauseilla on. Tällöin totuusarvotaulukon sarakkeessa on vain arvoja T. Esimerkki.. Tutki, onko lause (P (P Q)) Q tautologia. Ratkaisu. Merkitään S:llä tehtävän lauseketta ja muodostetaan totuusarvotaulukko. Koska lauseen S sarakkeeseen tulee vain arvoja T, on S tautologia. P Q P Q P (P Q) S T T T T T T E E E T E T T E T E E T E T Esimerkki.. Osoita tautologiaksi lause R := (P Q) (P Q). Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko P Q P Q (P Q) Q P Q R T T T E E E T T E E T T T T E T T E E E T E E T E T E T Koska lauseen R sarakkeeseen tuli vain arvoja T, on R tautologia. Lause..3 Seuraavat logiikan lauseet ovat tautologioita:. (P Q) (Q P ) vaihdannainen. (P Q) (Q P ) vaihdannainen 3. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 4. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 5. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] I osittelulaki 6. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] II osittelulaki 7. ( P ) P kaksoisnegaatio

15 LAUSELOGIIKKAA 5 8. (P Q) ( Q P ) I de Morganin laki 9. (P Q) ( Q P ) II de Morganin laki 0. (P Q) ( Q P ) kontrapositio. (P Q) [(P Q) (Q P )] ekvivalenssi implikaatioiksi. (P Q) ( P Q) implikaatio disjunktioksi Todistus. Todistetaan malliksi lauseen kohta 0 (kontrapositio) tautologiaksi: P Q Q P P Q Q P koko lause T T E E T T T T E T E E E T E T E T T T T E E T T T T T Muut todistetaan vastaavaan tapaan (ks. mm. Tehtävä..4). Tehtävä..4 Todista Lauseesta..3 kohta. Määritelmä..5 Jos P ja P ovat lauseita ja jos ekvivalenssi P P on tautologia, niin sanotaan, että P ja P ovat loogisesti yhtäpitäviä eli loogisesti ekvivalentteja (logical equivalence). Tätä merkitään P P. Esimerkki..6 Koska (P (Q R)) ((P Q) (P R)) on tautologia, on P (Q R) (P Q) (P R). Kahden lauseen looginen ekvivalenssi mahdollistaa logiikan lausekkeiden sieventelyn, jossa lausekkeen osia pyritään korvaamaan yhtäpitävillä (yksinkertaisemmilla) lausekkeilla. Esimerkki..7 Sievennetään lauseke ( P Q) ( P Q). Sovelletaan ensin II osittelulakia (takaperin): Nyt Q Q T, joten ( P Q) ( P Q) ( P ) (Q Q). ( P Q) ( P Q) ( P ) (Q Q) ( P ) T P. Tehtävä..8 Sievennä lauseet P (P Q) ja P (P Q). Vihje: Muodosta totuusarvotaulukko...

16 LAUSELOGIIKKAA 6.3 Looginen päättely Looginen päättely (argument) muodostuu äärellisen monesta oletuksesta eli premisseistä (premise) A, A,..., A n ja johtopäätöksestä (conclusion) B, joiden kaikkien tulee olla logiikan lauseita. Päättelyt ovat siis muotoa: A, A,..., A n. Siis B. Määritelmä.3. Äärellisen monesta lauseesta koostuva päättely A, A,..., A n. Siis B. on johdonmukainen eli sitova (valid argument), jos päättelylause on tautologia. (A A A n ) B Esimerkki.3. Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos 7 < 4, niin 7 ei ole alkuluku. Luku 7 ei ole < 4. Siis 7 on alkuluku. Ratkaisu. Merkitään P := 7 < 4 ja Q := 7 on alkuluku. Päättely voidaan kirjoittaa muotoon A : P Q A : P B: Q Muodostetaan totuusarvotaulukko päättelylausetta (A A ) B varten: A A A A B (A A ) B P Q Q P Q P (P Q) P Q T T E E E E T T T E T T E E E T E T E T T T T T E E T T T T E E Päättelylause ei ole tautologia, sillä viimeisellä rivillä on arvo epätosi. Siten päättely ei ole johdonmukainen. Esimerkki.3.3 Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos on opiskelija, saa alennusta VR:ltä. En ole opiskelija, joten en saa alennusta VR:ltä. Ratkaisu. Merkitään P := Olen opiskelija. ja Q := Saan alennusta VR:ltä. Päättely on muotoa

17 LAUSELOGIIKKAA 7 A : P Q A : P B: Q Totuusarvotaulukon A A A A B (A A ) B P Q P Q P Q T T T E E E T T E E E E T T E T T T T E E E E T T T T T rivillä 3 on nyt päättelylauseessa epätosi arvo, joten lause ei ole tautologia ja siten päättely ei ole johdonmukainen. Koska implikaatio on tosi aina paitsi silloin, kun siinä todesta seuraa epätosi, riittää päättelyn sitovuuden toteamiseksi tutkia ne tapaukset, jolloin premissien konjunktiolause A A A n on tosi. On siis perusteltu Käytännön sääntö: Päättely on johdonmukainen eli sitova, jos johtopäätös B on tosi aina silloin, kun kaikki premissit A, A,..., A n ovat tosia. Esimerkki.3.4 Tutki logiikan menetelmin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta. a) Jos ei sada, menen ulos. Sataa. Siis en mene ulos. b) Jos ei sada, menen ulos. En mene ulos. Siis sataa. Ratkaisu. a) Merkitään P := Sataa. ja Q := Menen ulos. Päättely on muotoa A : P Q A : P B: Q Tutkitaan tätä nyt edellä olevan käytännön säännön avulla. Totuusarvotaulukon

18 LAUSELOGIIKKAA 8 A A B P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T ensimmäisellä rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Päättely ei ole johdonmukainen. b) Olkoot edelleen P = Sataa. ja Q = Menen ulos. Päättely on nyt muotoa A : P Q A : Q B: P Tämän totuusarvotaulukossa B A A P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T ainoastaan toisella rivillä ovat kaikki premissit tosia. Koska myös johtopäätös on tällä tosi, on päättely johdonmukainen. Huomautus.3.5 On syytä tarkentaa, että edellä on logiikalla tarkoitettu nimenomaan perinteistä kaksiarvoista matemaattista logiikkaa, jossa totuusarvot ovat E ja T. Tämä sopii hyvin teorianmuodostukseen, jossa tavoitellaan ehdotonta totuutta. Vaikka formaalin logiikan juuret ovat antiikin kreikassa (Aristoteles), pidetään englantilaista George Boolea (85-864) logiikan (ja samalla myös joukkoopin) matematisoijana. Häneltä on peräisin symbolien ja loogisten operaatioiden käyttö; nyt logiikka nousi formaaliudessaan algebran ja analyysin rinnalle. Boolen työtä jatkoivat mm. britti Augustus de Morgan (806-87) ja amerikkalainen Benjamin Peirce ( ). Tekniikassa ja teollisuudessa käytetään nykyään paljon kulmikkaan kaksiarvoisen logiikan pehmeämpää laajennusta, nk. sumeaa logiikkaa, jonka alkuna pidetään Lotfi A. Zadeh in (9 -) julkaisua Fuzzy sets vuonna 965.

19 LAUSELOGIIKKAA 9.4 Sumeasta logiikasta Sumea logiikka (fuzzy logic) on matemaattisen logiikan laajennus, jossa lauseella on diskreetin totuusarvon E = 0 ja T = sijasta reaalinen totuusarvo suljetulla välillä [0, ]. Sumeassa logiikassa ei siis ole kyse siitä, mitä jokin on, vaan siitä, kuinka varmasti tai paremminkin kuinka paljon jokin asia on. Siis esimerkiksi kuinka paljon numero 3 on sama kuin numero 5. Numero 3 on selvästikin paljon enemmän sama kuin numero 5 kuin esimerkiksi numero 3. Sumeassa logiikassa peruskonnektiivit määritellään seuraavasti: jos P ja Q ovat totuusarvoja väliltä [0, ], niin P := P P Q := max(p, Q) P Q := min(p, Q) Sumeaan logiikkaan liittyy analogisesti mm. sumea joukko-oppi (ks. Luku ) ja niin edelleen. Sumeat systeemit soveltuvat erinomaisesti kaikenlaiseen prosessien säätöön, jopa automaattipesukoneen ohjaukseen. Esimerkki.4. Sumea logiikka on sisäänrakennettuna myös inhimillisessä elämässä: Pitkillä ihmisillä on iso jalka. Pasi on melko pitkä. Siis: Pasilla on melko iso jalka. Esimerkki.4. Seuraavassa voitaisiin varmaan jopa laskea, jos skaalauksista sovittaisiin: Jos x on vähän alle 5, niin y on vähän alle 0. Luku x on vähän yli 5. Siis: Luku y on varmaankin vähän yli 0. Esimerkki.4.3 Entä nyt: Jos x on noin 0, niin y on erittäin pieni. Luku x on lähes 00. Siis:??

20 Joukko-oppia Logiikka ja joukko-oppi ovat modernin matematiikan kulmakiviä. Esimerkiksi todennäköisyyslaskentaa on vaikea kuvitella ilman joukkoja ( tapahtumat ), ja tavanomaiset todistusmekanismit ovat helposti muotoiltavissa logiikan ja joukkojen avulla. Mutta ei joukko-opin käyttö rajoitu pelkästään matematiikan piiriin, sen käyttöalueina ovat esimerkiksi tietotekniikka, lingvistiikka ja informaatioteoria: Loogiselta kannalta tarkasteltuna käänteistiedoston käyttö on joukkoopin sovellus ja joukko-oppi on siten käänteistiedostoihin perustuvan tiedonhaun matemaattinen perusta. Jokaisen ammattimaisen tiedonhakijan on tarpeen hallita sen alkeet. Joukko-opin tuntemus on tärkeää myös tiedonhaun tutkimuksessa. Internetix/Informaatiotutkimus. Joukko ja alkio Joukko-opin peruskäsitteet ovat joukko (set) ja alkio (element, point). Näitä käsitteitä emme määrittele, sanomme vain, että joukko koostuu alkioista tai että tietyt alkiot muodostavat tietyn joukon. Alkeellisimmillaan joukko voidaan ilmaista luettelemalla sen alkiot, esimerkiksi arpanopan silmäluvut S = {,, 3, 4, 5, 6}. Merkintä a A tarkoittaa a on joukon A alkio eli alkio a kuuluu joukkoon A. Sen negaatio a / A := (a A) tarkoittaa a ei ole joukon A alkio eli alkio a ei kuulu joukkoon A. Edellä esimerkiksi 3 S mutta 8 / S. Käsitteelle joukko asetetaan seuraavat vaatimukset: ) Jos A on joukko ja a mikä tahansa alkio, niin täsmälleen yksi väittämistä a A ja a / A on tosi (vrt. Luku.). ) Joukko ei saa esiintyä itsensä alkiona. Huomautus.. Kohta ) sitoo joukko-opin kaksiarvoiseen logiikkaan ja kohta ) sulkee pois ristiriitoja; esimerkiksi seuraavat määrittelyt eivät tuota joukkoja: a) A := {, A} (kehämääritelmä). b) A := kaikkien joukkojen joukko (kehämääritelmä). c) Joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita (Russellin paradoksi, ks. Luku.8). Joukko voi toki olla jonkin toisen joukon alkio muttei itsensä alkio. Ongelmilta välttyy yleensä sillä, että ottaa avuksi jonkin selkeän perusjoukon X, joka sisältää kaikki tarkasteltavat alkiot, ja tutkii sitten joukon X alkioista koostuvia osajoukkoja (Luku.3).

21 JOUKKO-OPPIA. Joukkojen merkitseminen Joukkoja voidaan esittää a) luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa pilkulla erotettuina: {, 6} ja {, 4, 6,... }. b) antamalla aaltosulkeissa alkio ja pystyviivan jälkeen ehto, joka joukon alkioiden pitää toteuttaa: { x ehto alkiolle x }, esimerkiksi { x x on kahdella jaollinen kokonaisluku }. c) kuvaamalla joukon alkiot sanallisesti, esimerkiksi parittomien kokonaislukujen joukko. d) tavanomaisten sovittujen symbolien avulla: N, jne.... (ks. alla). e) tuloksena muista joukoista saaduilla joukko-operaatiolla (ks. alla). Tällä kurssilla käytetään seuraavia merkintöjä lukujoukoille: N := {,, 3,... } N 0 := {0,,, 3,... } Z := {...,,, 0,,,... } Q := { m m Z, n N } n R C := { x + iy x R, y R } A + luonnollisten lukujen joukko peruslukujen joukko kokonaislukujen joukko rationaalilukujen joukko reaalilukujen joukko kompleksilukujen joukko joukon A aidosti positiivinen osa Huomautus.. Joskus merkitään N = {0,,, 3,...}. Nollan kuuluminen luonnollisten lukujen joukkoon on kuitenkin sopimuskysymys. Reaaliakselin väleille käytetään tavanomaisia hakasulkumerkintöjä: ]a, b[ := { x R a < x < b } [a, b[ := { x R a x < b } ]a, b] := { x R a < x b } [a, b] := { x R a x b } avoin väli puoliavoin väli (avoin loppupäästä) puoliavoin väli (avoin alkupäästä) suljettu väli Esimerkki.. Joukoissa {x + x ], ] } ja ]3, 5] on samat alkiot. Huomautus..3 Hakasulut varataan yleensä välien merkitsemiseen. Kuitenkin äärellisen lukumääräjoukon määrittelemme seuraavasti: {, jos n = 0, [n] := {,, 3,..., n} muutoin. Lisäksi on muistettava: Alkiot aaltosulkeissa: kyseessä on joukko. Alkiot kaarisulkeissa: kyseessä on järjestetty jono lukuja (vektori).

22 JOUKKO-OPPIA.3 Joukko-opin käsitteitä Seuraavassa luetellaan joitakin joukko-oppiin liittyviä peruskäsitteitä ja annetaan niille vastaavuudet logiikassa. Tyhjä joukko: Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko (empty set). Tyhjää joukkoa merkitään (joskus myös {}). Logiikan vastaavuus: lause x on identtisesti epätosi, ts. epätosi kaikilla alkioilla x. Perusjoukko: Jos kaikkien tarkasteltavien joukkojen alkiot ovat tietyssä laajemmassa joukossa X, tätä sanotaan perusjoukoksi (fundamental, universal set). Logiikan vastaavuus: x X on lause, joka on identtisesti tosi, siis tosi koko perusjoukossa X. Osajoukko: Joukko A on joukon B osajoukko (subset), jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Merkintä on tällä kurssilla A B, vaikka usein käytetään myös (epäloogista) merkintää A B (joka vastaisi paremmin aitoa osajoukkoa, ks. myöh.) Logiikan vastaavuus: A B, jos lause x A x B on tosi kaikilla x X. Esimerkki.3. a) Olkoon A := {, } ja B := {,, 3}. Tällöin A B. b) N N 0 Z Q R C. Samuus: Joukot A, B X ovat identtiset eli sama joukko (identical, same, equal), jos niissä on täsmälleen samat alkiot. Samuutta merkitään A = B. Logiikan vastaavuus: A = B, jos lause x A x B on tosi kaikilla x X. Esimerkki.3. Olkoot A := {, }, B := {, } ja C := {,, }. Tällöin A = B = C. Huomautus.3.3 a) Aina pätee A A. b) A = B jos ja vain jos A B ja B A. c) On erotettava merkit ja : a B : a on joukon B alkio A B : A on joukon B osajoukko Esimerkki.3.4 a) Olkoon A := {, }. Tällöin on voimassa A, A, A, 3 / A, {} A, {} A, {, } A ja {, } = A, mutta esimerkiksi merkinnät A ja {} A eivät ole mielekkäitä.

23 JOUKKO-OPPIA 3 b) Jos kuitenkin B := {, {}}, niin myös {} B on mielekäs ja totta! c) Mitähän tarkoittaa lauseen A B negaatio A B? Aito osajoukko: Jos A B ja A B, niin A on joukon B aito osajoukko (proper subset). Aitoa osajoukkoa merkitsemme jatkossa A B. Esimerkki.3.5 Selvästi {, } {,, 3}, samoin N Z ja Q R. Mitenkä muut lukujoukot? Yhdiste: Joukkojen A, B X yhdiste (union) on joukko, joka koostuu kaikista joukkojen A ja B alkioista, ts. yhdiste on joukko (ks. Kuva ) A B := { x X x A tai x B } = { x X x A x B }. Logiikan vastaavuus: (x A B) (x A x B) tosi kaikilla x X. X X A B A B Kuva : Kahden joukon yhdiste A B ja leikkaus A B Esimerkki.3.6 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A B = {,, 3}. Leikkaus: Joukkojen A, B X leikkaus (intersection) on joukko, joka koostuu joukkojen A ja B yhteisistä alkioista, ts. leikkaus on joukko (ks. Kuva ) A B := { x X x A ja x B } = { x X x A x B }. Logiikan vastaavuus: (x A B) (x A x B) tosi kaikilla x X. Esimerkki.3.7 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A B = {}. Erilliset joukot: Joukot A ja B ovat erilliset eli pistevieraat (disjoint), jos A B =. Esimerkki.3.8 Jos A := {, } ja B := {3, 4}, niin A B = eli A ja B ovat erilliset.

24 JOUKKO-OPPIA 4 Joukkoerotus: Joukkojen A, B X erotus (difference) on joukko, johon kuuluvat ne joukon A alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B, ts. joukko (ks. Kuva 3) A \ B := { x X x A ja x / B } = { x X x A x / B }. Logiikan vastaavuus: (x A \ B) (x A (x B)) tosi kaikilla x X. X X A B A Kuva 3: Joukkojen erotus A \ B ja joukon komplementti A = X \ A Esimerkki.3.9 Jos A := {, } ja B := {, 3}, niin A \ B = {}. Komplementti: Joukon A X komplementti (complement) on joukko, johon kuuluvat kaikki ne perusjoukon X alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A, ts. komplementti on joukko (ks. Kuva 3) A = X \ A := { x X x / A }. Muita merkintöjä: A, A c tai A. Logiikan vastaavuus: x A (x A) tosi kaikilla x X. Esimerkki.3.0 Olkoon X := {,, 3, 4, 5} (perusjoukko), A := {, } ja B := {, 3}. Tällöin A = {3, 4, 5} ja B = {, 4, 5}. Edellä olevia joukko-operaatioita havainnollistavia kuvioita ja 3 sanotaan Venndiagrammeiksi (englantilainen John Venn, ). Tulojoukko: Joukkojen X ja Y tulojoukko (product) eli karteesinen tulo on joukko, jonka alkioina ovat kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on joukosta X ja jälkimmäinen alkio on joukosta Y, ts. joukko X Y := { (x, y) x X ja y Y }. Logiikan vastaavuus: (x, y) X Y ((x X) (y Y)). Esimerkki.3. Olkoon X := {, } ja Y := {, 3}. Tällöin X Y = {(, ), (, 3), (, ), (, 3)}.

25 JOUKKO-OPPIA 5 Tehtävä.3. Olkoon X := {, } ja Y := {,, }. Mitkä seuraavista olioista ovat joukon X Y alkioita: a) (, ) b) (, ) c) (,, ) d) (, ) e) (3, ) f) {, } g) (, )? Tulojoukkoja ja niiden osajoukkoja, relaatioita, käsitellään Luvussa 4. Potenssijoukko: Joukon A X potenssijoukko (power set) on joukon A kaikkien osajoukkojen joukko P(A) = A := { B X B A }. Esimerkki.3.3 Olkoon A := {, } ja B := {, 3, 4}. Tällöin P(A) = {, {}, {}, A} P(B) = {, {}, {3}, {4}, {, 3}, {, 4}, {3, 4}, B}. Huomautus.3.4 Jokaisen joukon potenssijoukko on aidosti suurempi joukko kuin joukko itse. Tätä asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa.. Tehtävä.3.5 Olkoon A := {, {, 4}, 5}. Mitkä seuraavista ovat totta: a) A b) A c) {} A d) {} A e) 4 A f) 4 A g) {4} A h) {4} A i) {, 4} A j) {, 4} A k) {{, 4}} A l) {{, 4}} A.4 Joukko-opin kaavoja Myös mutkikkaampia joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Venndiagrammeilla kuten Kuvassa 4. X X A B A B C Kuva 4: Joukko-operaatio A (B C) ja yhtälö (A \ B) (A B) = A

26 JOUKKO-OPPIA 6 Lause.4. Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin a) A B = B A vaihdannainen b) A B = B A vaihdannainen c) A (B C) = (A B) C liitännäinen d) A (B C) = (A B) C liitännäinen e) A (B C) = (A B) (A C) I osittelulaki f) A (B C) = (A B) (A C) II osittelulaki g) A = A kaksoiskomplementti h) A B = A B I de Morganin laki i) A B = A B II de Morganin laki j) A B B A k) A = B A B ja B A l) A \ B = A B m) A A = A, A A = A idempotenssi n) A X = X, A X = A o) A = A, A = p) X =, = X q) A A = X, A A = r) A B A, A B B s) A A B, B A B. Todistus. Väitteet voidaan todistaa esimerkiksi käyttäen Lauseen..3 tautologioita, siis loogisia ekvivalenttiuksia. Todistetaan malliksi kohdat e) ja h).

27 JOUKKO-OPPIA 7 Olkoot A, B, C X joukkoja. Kohdan e) osoittaa seuraava looginen muunnosketju: Jokaisella x X on totta x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x A B x A C x (A B) (A C). Tämä tarkoittaa, että joukoissa on samat alkiot, eli A (B C) = (A B) (A C). Todistetaan vastaavaan tapaan h), siis että A B = A B. Käytetään kuitenkin nyt yhtäpitävyyksiä matematiikan arkisemmassa muodossa: x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B. Siis A B = A B. Täydennä molempiin perustelut! Tehtävä.4. Lisää todistukseen kunkin vaiheen perustelut, esimerkiksi viittaukset sopiviin lauselogiikan kaavoihin. Huomautus.4.3 Koska liitäntälait c) ja d) ovat voimassa, on mielekästä ja yksikäsitteistä käyttää merkintäjä A B C ja A B C. Merkinnöillä A B C ja A B C ei ole sovittua tarkoitusta, vrt. kaavat e) ja f). Tällaisia ei pidä käyttää..5 Joukko-opin väitteiden todistaminen Venn-diagrammien avulla voi usein havaita, onko väite voimassa vai ei, mutta Venn-diagrammit eivät todista väitettä. Väitteitä todistetaan sieventämällä lausekkeita tunnettuja kaavoja käyttäen tai soveltamalla logiikan tautologioita lauseisiin x A, x B jne. Se, ettei väite ole voimassa, osoitetaan aina näyttämällä vastaesimerkki. Muotoa A = B oleva väite kannattaa usein osoittaa kahdessa vaiheessa: A B ja B A eli x A x B ja x B x A.

28 JOUKKO-OPPIA 8 Esimerkki.5. Osoita, että A = (A \ B) (A B). Ratkaisu. Olkoon perusjoukkona X. Kuvan 5 Venn-diagrammin mukaan kaava näyttäisi pätevän. A\B X A B U A B Kuva 5: Esimerkin.5. Venn-diagrammi Todistustapa : Joukko-opin kaavojen mukaan (kohdat n, q, f ja l) Todistustapa : Osoitetaan alkiotasolla ) A (A \ B) (A B) ja ) (A \ B) (A B) A. A = A X = A (B B) = (A B) (A B) = (A \ B) (A B). ) Olkoon x A. Jos x B, niin x A B. Jos x B, niin x A \ B. Siis joka tapauksessa x (A \ B) (A B). Näin ollen A (A \ B) (A B). ) Olkoon x (A\B) (A B). Tällöin x A\B tai x A B. Kummassakin tapauksessa x A. Näin ollen (A \ B) (A B) A. Kohdista ) ja ) seuraa A = (A \ B) (A B). Todistustapa 3: Logiikan lakien perusteella saadaan jokaisella x X: x (A \ B) (A B) x A \ B x A B Siis A = (A \ B) (A B). [x A (x B)] [x A x B] x A [ (x B) x B] x A [x / B x B] } {{ } =T, sillä aina tosi (x A) T x A.

29 JOUKKO-OPPIA 9 Esimerkki.5. Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Päteekö kaava (B \ A) (B \ C) = B \ (A C)? Ratkaisu. Kuvan 6 Venn-diagrammin mukaan näyttäisi, että kaava ei päde. Venn- A B A B X C X C (B \ A) U (B \ C) B \ (A U C) Kuva 6: Onko (B \ A) (B \ C) = B \ (A C)? diagrammista saadaan myös vihje vastaesimerkkiä varten: järjestetään yksi alkio alueelle, joka ei ole toisessa mukana. Valitaan minimalistisesti X := {}, A := {}, B := {} ja vaikkapa C :=. Silloin A, B, C X ja (B \ A) (B \ C) = {} = {} B \ (A C) = {} \ {} =. Siis kaava ei päde esimerkiksi edellä valituilla joukoilla. Tehtävä.5.3 Onko Esimerkin.5. joukkoyhtälö sitten aina epätosi? Esimerkki.5.4 Todista, että jos A B, niin B A. Ratkaisu. Olkoon A B. Osoitetaan, että x B x A: Olkoon x B. Tällöin x / B. Koska A B ja x / B, niin x / A. Siis x A. Näin ollen B A. Tehtävä.5.5 Päteekö yhtälö (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)? Tehtävä.5.6 Päteekö A \ (B \ C) = (A \ B) C? Tehtävä.5.7 Päteekö A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)? Todistus. Joukko-opin kaavojen mukaan (miten?) A \ (B C) = A B C = A (B C) = (A B) (A C) = (A \ B) (A \ C).

30 JOUKKO-OPPIA 30.6 Yleisempää joukko-oppia Olkoon A kokoelma erään perusjoukon X osajoukkoja. Oletetaan, että joukot A, A,..., A n A. Yhdiste: Joukkojen A, A,..., A n yhdiste on joukko n A i := { x X x A i jollakin i {,, 3,..., n} }, i= siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat johonkin joukoista A i, i =,, 3,..., n. Leikkaus: Joukkojen A, A,..., A n leikkaus on joukko n A i := { x X x A i jokaisella i {,, 3,..., n} }, i= siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat jokaiseen joukkoon A i, i =,, 3,..., n. Esimerkki.6. Olkoon A i := {,,..., i}, ts. A := {}, A := {, }, A 3 := {,, 3} jne. Tällöin n A i = {,,..., n} = A n i= ja n A i = {} = A. i= Karteesinen tulo: Joukkojen X, X,..., X n tulojoukko eli karteesinen tulo on joukko n X i = X X X n := {(x, x,..., x n ) x X,..., x n X n }, i= siis joukko, joka muodostuu järjestetyistä jonoista (x, x,..., x n ). Esimerkiksi voidaan merkitä n R = R } R {{ R } = R n. i= n kpl

31 JOUKKO-OPPIA 3 Äärettömät yhdisteet ja leikkaukset: Jos A, A,... ovat perusjoukon X osajoukkoja, niin A i := { x X x A i jollakin i N }, i= A i := { x X x A i kaikilla i N }. i= Vielä yleisemmin: Olkoon A kokoelma perusjoukon X osajoukkoja. Silloin A := { x X x A jollakin A A }, A A A A A := { x X x A kaikilla A A }. Esimerkki.6. Olkoon perusjoukkona X := R ja A x := [x, x+] kaikilla x R. Silloin A := { A x x R } on kaikkien yhden yksikön pituisten suljettujen välien kokoelma, ja A x = R, A = A A x R A x =. A A A = x R Erikoisesti arvoilla x = i N saadaan vain A i = [, ] [, 3] [3, 4]... = [, [, i= A i =. i= Esimerkki.6.3 Olkoot A i := ] [ 0, + i, i N. Mitä ovat i= A i ja i= A i? Ratkaisu. Kuviosta 7 voinemme saada idean, että voisi hyvinkin olla: a) i= A i = ]0, [, b) i= A i = ]0, ]. Todistetaan kohdan a) väite näyttämällä, että: ) i= A i ]0, [ ja ) ]0, [ i= A i.

32 JOUKKO-OPPIA 3 A = ]0,[ 3_ A = ]0, [ 4_ 3 A 3 = ]0, [ Kuva 7: Esimerkin.6.3 välejä ) Jos x i= A i niin x A i jollakin i eli x ] [ 0, + i ]0, [. ) Jos x ]0, [, on 0 < x < ja on olemassa i N, jolle x A i (tässä ainakin i = kelpaa). Siten myös x i= A i. Todistetaan niinikään kohdan b) väite näyttämällä, että: ) i= A i ]0, ] ja ) ]0, ] i= A i. ) Olkoon x i= A i mielivaltainen, ts. x A i kaikilla i N. Täten 0 < x < + /i kaikilla i N. Riittää osoittaa, että ei voi olla x >. Jos näin olisi, voitaisiin lukujen ja x välistä löytää luku + /k, kun k on riittävän suuri. Silloin x / A k, ja siten x / i= A i. On siis oltava x ]0, ]. ) Olkoon x ]0, ] mielivaltainen. Silloin 0 < x < + /i, joten x A i jokaisella i N. Siis x i= A i. Esimerkki.6.4 Olkoon perusjoukkona euklidinen taso R = R R. Tason yksikkökiekko on joukko D := { (x, y) R x + y }. Olkoon A kaikkien niiden -säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipiste on yksikkökiekossa D. Mitä ovat seuraavat joukot? A = A A A A A = Ympyröiden yhdiste (JavaSketchpad-visualisointi) Kurssimateriaali/applet/KiekkojenYhdiste.htm

33 JOUKKO-OPPIA 33.7 Joukkojen alkiomääristä Puetaan lauseiksi intuitiivisesti ilmeiset äärellisten joukkojen yhdisteiden ja tulojen alkiomääriä koskevat tulokset. Merkintä #X tarkoittaa jatkossa äärellisen joukon X alkioiden lukumäärää. Asiaan palataan tarkemmin Luvussa. Lause.7. a) Kahden erillisen äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A + #B. b) Kahden äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A + #B #(A B) c) Kolmelle äärelliselle joukolle A, B, C X pätee yhteenlaskukaava #(A B C) = #A + #B + #C #(A B) #(A C) #(B C) +#(A B C). Todistus. a) Väite on varsin järkeenkäypä. b) Seuraa edellisestä samuuksia A = (A \ B) (A B), B = (B \ A) (A B) ja A B = (A \ B) (A B) (B \ A) (ks. Luku.5) soveltaen. c) Voidaan päätellä vastaavaan tapaan. Laskettaessa kaikkien alkioiden määrää tulevat kaksittaisissa leikkauksissa olevat lasketuiksi kahteen kertaan, ja kaikkien kolmen leikkauksessa kolmesti. Mutta tästä kolmen leikkauksesta tulevat poistetuiksi kaikki, joten ne on lisättävä. Lause.7. (summaperiaate) Jos A, A,..., A n X on äärellinen kokoelma pareittain erillisiä äärellisiä joukkoja, niin niiden yhdiste on äärellinen ja ( n ) # A k = k= n #A k. k= Lauseiden.7. ja.7. yleistys joukkojen yleinen yhteenlaskukaava eli summaja erotusperiaate:

34 JOUKKO-OPPIA 34 Lause.7.3 (joukkojen yhteenlaskukaava) Jos A, A,..., A n X, n N, ovat äärellisiä joukkoja, niin #(A... A n ) = n #A i #(A i A j ) i= + i<j<k n i<j n #(A i A j A k ) + ( ) n #(A... A n ). Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä, mutta havainnollistukseksi: Tehtävä.7.4 Kirjoita auki joukkojen yleinen yhteenlaskukaava neljän joukon tapauksessa. Aloita ottamalla esimerkiksi joukot A, A, A 3, A 4 X. Tehtävä.7.5 Lauseen.7.3 yhteenlaskukaavassa voidaan kaksittaisten, kolmittaisten etc. leikkausten lisäksi tulkita ensimmäisen summan yhteenlaskettavat yksittäisten leikkausten alkioiden summaksi. Niinpä voidaan laskea kuinka monta termiä kaavan oikealla puolella on. Kahden joukon tapauksessa niitä oli 3, kolmen joukon tapauksessa 7, ja tietysti yhden joukon tapauksessa. Tehtävästä.7.4 pitäisi voida nähdä niitä olevan neljän joukon tapauksessa 5. Entäpä viiden joukon tapauksessa? Yleisesti? Vihje: Kuinka monella tavalla voidaan ottaa k alkiota n alkion joukosta? Lause.7.6 (tuloperiaate) Äärellisten joukkojen X ja Y tulojoukon alkiomäärille on #(X Y) = #X #Y. Yleisesti: Jos X, X,..., X n, n N, on kokoelma äärellisiä joukkoja, niin niiden tulojoukko on äärellinen ja ( n ) n # X k = #X k. k= Lause.7.7 Jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n N 0 pätee: Jos joukossa A on n alkiota, niin sen potenssijoukossa P(A) on n alkiota. k= Väite perustellaan induktiotodistuksella Luvussa 0.. Joukkojen alkiomäärän käsitettä laajennetaan Luvussa koskeman myös äärettömiä joukkoja.

35 JOUKKO-OPPIA 35.8 Joukko-opin ongelmista Palataan vielä luvun alussa mainittuun joukko-opin ongelmallisuuteen. Saksalaiset matemaatikot Georg Cantor (845-98) ja Gottlob Frege (848-95) kehittivät nk. naiivin joukko-opin (johon mekin tässä esityksessä tyydymme), jonka piti olla täydellinen ja ristiriidaton. Hanke kaatui (jossain määrin), kun brittiläinen filosofi-matemaatikko Bertrand Russell (87-970) esitti keksimänsä paradoksin v. 90. Esimerkki.8. (Russellin paradoksi) Sovimme jo, että joukon ei sallita olla itsensä alkio, ja että emme muodosta kaikkien joukkojen joukkoa, koska nämä johtavat ikävyyksiin. Voisimmekohan kiertää tämän vaikkapa seuraavasti: Muodostetaan joukko, johon kootaan kaikki ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita: R := { A A / A }. Nyt tietysti mielivaltaisesta joukosta B pitäisi voida sanoa että joko B R tai B / R. Mutta miten on joukon R itsensä laita? ) Jos on R R, niin joukon R määritelmän mukaan se ei saa olla itsensä alkio eli R / R. ) Jos taas on R / R eli R ei ole itsensä alkio, niin nyt joukon R määritelmän mukaan R R. Kansanomainen versio paradoksista: Eräässä syrjäisessä kylässä ei siedetä parrakkaita. Kylässä on vain yksi parturi ja hän on mies. Osa kyläläisistä ajaa partansa itse, muiden parran leikkaa kyläparturi. Leikkaako parturi oman partansa? Russellin paradoksi johti järeämmän aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen. Sen rakentajia olivat saksalaiset Ernst Zermelo (87-956) ja Abraham Fraenkel (89-965), ja lopulta norjalainen Thoralf Skolem ( ). Tässä nk. ZFaksiomatiikassa on aksioomia 9. Jos lisäksi hyväksytään kymmenes aksiooma, jossain määrin kiistanalainen Valinta-aksiooma C (Axiom of Choice), puhutaan ZFC-aksiomatiikasta. Aksiomaattisen joukko-opin muotoutumiseen vaikutti suuresti myös itävaltalainen Kurt Gödel ( ). Hän todisti nk. epätäydellisyyslauseen, jonka mukaan jokaisessa formaalisessa järjestelmässä (kuten aksiomatiikoissa) on ainakin yksi tosi lause, jota ei kuitenkaan voi todistaa tämän kyseisen järjestelmän puitteissa. On siis olemassa tosia ja epätosia lauseita, joiden totuussarvoa ei voida perustella kyseisessä aksiomatiikassa. Näin matematiikka ei voikaan olla sisäisesti täysin konsistentti, ja mm. Fregen yritys luoda täydellinen rakennemalli (edes silloiselle) matematiikalle oli tuomittu epäonnistumaan.

36 JOUKKO-OPPIA 36 Frege ei kestänyt työhönsä kohdistunutta iskua, vaan katkeroitui ja vetäytyi tutkimusalalta riviopetustyöhön. Cantorkaan ei lopulta kestänyt hänen matematiikkaansa kohdistettua kritiikkiä; hänen elämänsä viimeiset vuodet kuluivat mielisairaalassa. Gödel taas kuvitteli nuoruudestaan lähtien itselleen erilaisia sairauksia. Vanhetessaan hän alkoi pelätä, että hänet myrkytetään, ja lopulta syömättömyyttään kuoli aliravitsemukseen. Tehtävä.8. Ota selville jos uskallat aksiomaattisen joukko-opin aksioomat, Valinta-aksiooma ja Kontinuumihypoteesi.

37 JOUKKO-OPPIA 37.9 Sumeasta joukko-opista Sumeat joukot (fuzzy set) ovat sumean logiikan (ks. Luku ) kanssa yhteensopiva joukko-opin laajennus. Siinä alkio voi kuulua kokonaan tai jossain määrin tiettyyn joukkoon. Esimerkiksi ihmisten joukko voidaan jakaa sumeisiin osajoukkoihin lapset, nuoriso, aikuiset, ja vanhat. Yhden ihmisen voidaan (tietyllä hetkellä) katsoa kuuluvan jossain määrin sekä lasten että nuorten joukkoon. Sopimalla yhteinen matemaattinen malli voidaan ilmiö mekanisoida laskennoksi. Tavallisessa joukko-opissa alkion kuulumista joukkoon A X voidaan mitata totuusarvoin tai nk. karakteristisen funktion avulla; {, x A χ A (x) := 0, x X \ A Sumeassa joukko-opissa tavallisen perusjoukon X sumeaa osajoukkoa A voidaan karakterisoida nk. jäsenyysfunktiolla J A, jonka maalijoukoksi otetaan suljettu väli [0, ]. Alkion x kuuluessa kokonaan joukkoon A sillä on täysi jäsenyysaste tässä joukossa, J A (x) =. Yleisesti siis jokaiselle perusjoukon alkiolle ja sumealle osajoukolle 0 J A (x). Esimerkki.9. Ihmisten sumean osajoukon nuoriso jäsenyysfunktion valinta on tietenkin tulkinnanvarainen, eräs ehdotus näkyy Kuvassa Kuva 8: Eräs ehdotus nuorison jäsenyysfunktioksi iän mukaan Tehtävä.9. Hahmottele joukon lapset jäsenyysfunktiota.

38 3 Lausefunktiot Luvuissa ja esitellyt lauselogiikka ja joukko-oppi yhdistyvät hyödyllisellä tavalla nk. kvanttorien avulla. Tarkasteltavat lausefunktiot ovat todellakin tulkittavissa (totuusarvoisiksi) funktioiksi (ks. Luku 5), mutta tässä emme funktioformalismia vielä täysin käytä. 3. Avoin lause ja kvanttorit Määritelmä 3.. Olkoon A X epätyhjä joukko. Ilmaus P (x) on joukossa A määritelty avoin lause eli lausefunktio (predicate, propositional function), jos P (x) on looginen lause (tosi tai epätosi) silloin, kun siihen sijoitetaan mikä tahansa joukon A alkio. Lausefunktion P ratkaisujoukko L P on niiden alkioiden x muodostama joukko, joilla P on tosi. Esimerkki 3.. P (x) := x + 3 < 7 on reaalilukujen joukossa määritelty lausefunktio. P on tosi, kun x < 4 ja epätosi, kun x 4. Täten L P = ], 4[. Esimerkki 3..3 Q(n) := Luku n on parillinen. on vaikkapa kokonaislukujen joukossa määritelty lausefunktio. Tosia ovat arvot Q(n) eli..., Q( ), Q(0), Q(), Q(4),... ja epätosia kaikki arvot Q(n + ), missä n Z. Täten L Q = { n n Z }. Lausefunktioista voidaan muodostaa loogisia lauseita seuraavien kvanttorien (quantifier) avulla: kaikkikvanttori (for all) olemassaolokvanttori (exists) Muistisääntö: All A, Exists E. Syntaksi: Kun P on muuttujasta x A riippuva lausefunktio, saadaan kaksi erilaista (suljettua) lausetta x A : P (x), luetaan On olemassa (ainakin yksi) x A, jolle P (x) on tosi. x A : P (x), luetaan Jokaisella x A on voimassa P (x). tai Olipa x A mikä tahansa, niin P (x) on tosi. Huomautus 3..4 a) Olemassaolokvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein siten, että tai sellainen..., että b) Kaikkikvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein on voimassa tai on totta.

39 3 LAUSEFUNKTIOT 39 Esimerkki 3..5 a) Lause x R : x + 3 < 7 luetaan On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x + 3 < 7. Lause on tosi, sillä esimerkiksi + 3 < 7. b) Lause x R : x + 3 < 7 luetaan Kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x + 3 < 7. Lause on epätosi, sillä esimerkiksi Lausefunktiossa voi olla myös useita muuttujia. Lausefunktiota sanotaan yksi-, kaksi-, kolme- jne. paikkaiseksi sen mukaan, kuinka monta muuttujaa siinä on. Tehtävä 3..6 P (x, y) := x + y = on kaksipaikkainen lausefunktio, kun määrittelyjoukko valitaan sopivasti. Keksi sellainen ja selvitä missä P se on tosi. Joukossa A B määritellystä kahden muuttujan avoimesta lauseesta P (x, y) saadaan kvanttorien avulla periaatteessa 8 eri lausetta: ) x A, y B : P (x, y) On olemassa alkiot x A ja y B, joille P (x, y) on tosi. ) x A, y B : P (x, y) On olemassa (kiinteä) x A siten, että jokaiselle y B on voimassa P (x, y). On olemassa sellainen x A, että olipa y B mikä tahansa, P (x, y) on tosi. 3) x A, y B : P (x, y) Jokaista x A kohti on olemassa sellainen y B, että P (x, y) on tosi. Olipa x A mikä tahansa, niin aina löytyy sellainen y B, että P (x, y) pätee. 4) x A, y B : P (x, y) Jokaisella x A ja y B on voimassa P (x, y). P (x, y) pätee kaikilla x A ja y B. Vaihtamalla muuuttujien järjestys kvanttorien perässä saadaan toiset neljä: ) y B, x A : P (x, y) ) y B, x A : P (x, y) 3 ) y B, x A : P (x, y) 4 ) y B, x A : P (x, y) Kuitenkin vain 6 niistä on loogisesti erilaisia; nimittäin lauseilla ) ja ) on aina sama totuusarvo, samoin lauseilla 4) ja 4 ).