8. Kieliopit ja kielet 1 / 22
|
|
- Pauliina Kokkonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 8. Kieliopit ja kielet 1 / 22 Luonnollinen kieli Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti oikein muodostettu. Subjekti = "mies, predikaatti="räpyttää"ja objekti "siipiään". Lause on siis muodollisesti eli syntaktisesti oikein muodostettu, vaikka lauseen sisältö eli semantiikka olisi pielessä. "Mies räpytys siivet" ei ole kieliopillisesti oikein muodostettu lause, koska se ei noudata Suomen kielen kielioppia. 2 / 22 Formaali kieli Luonnollisen kielen eli puhutun kielen syntaksi on aina äärimmäisen monimutkainen. Itse asiassa ei ole mahdollista kuvata kaikkia puhutun kielen kielioppisääntöjä. Kielen syntaksin tutkimus on johtanut käsitteeseen Formaali kieli: Kieltä, jossa kielen kielioppi on kuvattu tarkasti hyvin määritellyillä säännöillä. Lingvistiikan lisäksi formaalilla kielillä on sovelluksia ohjelmointikielten tutkimuksessa ja tietoliikenteessä Kääntäjät, ohjelmointikielten syntaksi, bittijonojen käsittely jne. Seuraavassa määritellään formaalin kielen peruskäsitteet ja operaatiot. 3 / 22 1
2 8.1. Määritelmiä Kieli on kokoelma sanoja ja sanojen yhdistämistapoja, joita käyttää tai ymmärtää jokin yhteisö. Aakkosto on äärellinen, ei-tyhjä joukko merkkejä (eli symboleja, kirjaimia) Tavallisia aakkostoja ovat suomen kielen kirjaimet (mukaanlukien sanavälit ja välimerkit) sekä bitit0ja1. Sana on äärellinen jono kirjaimia. Tyhjä sanaλon sana, jossa ei ole yhtään kirjainta. Sanan w pituus w on w:n sisältämien kirjaimien lukumäärä. Esimerkiksi aabbc = 5 ja = 3 = 5. Tyhjälle sanalle on λ = 0. 4 / 22 Sanojen katenaatio Kaksi sanaaw 1 jaw 2 ovat samat (merkitäänw 1 = w 2 ), jos niissä molemmissa esiintyvät samat kirjaimet samassa järjestyksessä. Esimerkiksi abba abab, mutta aabλ = aab. Sanojen perusoperaatio on katenaatio eli sanojen kirjoittaminen peräkkäin. Sanojenw 1 jaw 2 katenaatiota (tässä järjestyksessä) merkitäänw 1 w 2 :lla. Esimerkiksi sanojenaaba jaccad katenaation on sanaaabaccad. Yleensä sanaw 1 w 2 w 2 w 1. Lisäksiwλ = w kaikilla sanoillaw. 5 / 22 2
3 Sanojen potenssi Sananw n:s (katenaatio) potenssi on sana w n = ww w } {{ }. n kpl Erikseen on määritelty, ettäw 1 = w jaw 0 = λ. Lisäksi ainaλ n = λ. 6 / 22 Sanan peilikuva Sananw peilikuva w R on sana, joka saadaanw:stä ottamalla kirjaimet oikealta vasemmalle. Josw = a 1 a 2 a n, niinw R = a n a n 1 a 2 a 1. Erityisestiλ R = λ. Selvästi on(w 1 w 2 ) R = w R 2 wr 1. 7 / 22 3
4 Osasanat Sanauon sananw alkuosa, josw = uv jollakin sanallav. Sanauon sananw loppuosa, josw = vu jollakin sanallav. Sanauon sananw osasana, josw = v 1 uv 2 joillakin sanoillav 1,v 2. 8 / 22 Sanojen lukumäärä Huom. Aakkoston sanoja on numeroituvasti ääretön määrä. Toisin sanoen aakkoston sanat voidaan kirjoittaa päättymättömäksi listaksi. 9 / 22 4
5 8.2. Kielet 10 / 22 Määritelmä Formaali kieli on joukko jonkin aakkoston sanoja. Kieli on äärellinen, jos se sisältää äärellisen määrän sanoja. Tyhjä kieli on kieli, joka ei sisällä yhtään sanaa. Kieli{λ} on kieli, joka sisältää vain tyhjän sanan. Yhden sanan muodostama kieli{w} ja sanaw yleensä samaistetaan ja merkitään myös kieltäw:llä. 11 / 22 Joukko-opin merkinnät Kielille käytetään joukko-opin merkintöjä:,,,\. Sananw kuuluminen kieleen merkitäänw L. Vastaavasti merkintäw / L tarkoittaa, että w ei ole kielenlsana. AakkostonV kaikkien sanojen muodostamaa kieltä merkitäänv :llä. Myösλ V. KieliV + = V \{λ} eli kaikkien aakkostonv ei tyhjien sanojen muodostama kieli. 12 / 22 5
6 Kielten ylinumeroituvuus Kieliä on selvästi ääretön määrä. Lisäksi voidaan todistaa Lause 8.1.Aakkoston kieliä on ylinumeroituvasti ääretön määrä. Toisin sanoen aakkoston kieliä ei voida kirjoittaa listaksi, Tod / 22 Kielten operaatioita KieltenL 1 jal 2 katenaatio (tässä järjestyksessä) on kieli L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1 jaw 2 L 2 }. KielenLn:s (katenaatio) potenssi on kieli L n = {w 1 w 2 w n w 1,w 2,...,w n L}. ErityisestiL 1 = L,L 0 = {λ}. Myös 0 = λ. 14 / 22 6
7 Kielen katenaatiosulkeuma KielenLkatenaatiosulkeuma on kieli L = L n. n=0 elil on kieli joka muodostuu sanoista jotka saadaan kielenlsanoista katenoimalla. Myösλ L. Vastaavasti kieli L + = L n, n=1 jossa sanaλon mukana vain josλ L. Voidaan osoittaa, että L + = LL = L L. 15 / 22 Säännölliset kielet Säännölliset kielet aakkostossav: 1.,{λ} ja{a}, a V ovat säännöllisiä kieliä. 2. JosLjaL ovat säännöllisiä kieliä, niin myösl L,LL jal ovat säännöllisiä kieliä. Esimerkki Kieli{ab n n =,0,1,...,} on säännöllinen, sillä {ab n n =,0,1,...,} = {a}{λ,b,b 2,b 3,...} = {a}{b}. 16 / 22 7
8 Säännölliset ilmaisut Säännöllinen kieli kuvataan usein säännöllisen ilmaisun avulla. Säännölliset ilmaisut aakkostossa V: 1.,{λ} ja a, a V ovat säännöllisiä ilmaisuja 2. JosRjaS ovat säännöllisiä ilmaisuja, niin myös(r),r+s,r S jar ovat säännöllisiä ilmaisuja. Esimerkki Alla aakkoston{0,1} säännöllisiä ilmaisuja. λ,0,1,λ +1,0+(1 0)0 1. Operaattoreiden suoritusjärjestys: Sulkujen vähentämiseksi on sovittu säännöllisen ilmaisun operaatioille suoritusjärjestys: ensin, senjälkeen,ja viimeiseksi+. Esimerkiksi säännöllinen ilmaisua+b a on sama kuin(a+(b (a ))). Jos sekaannusta ei synny, jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi edellisen säännöllinen ilmaisu voidaan esittää muodossaa+ba. 17 / 22 Yhteys Jokainen säännöllinen ilmaisurmäärää säännöllisen kielenl(r) seuraavasti: L( ) =,L(λ) = {λ},l(a) = {a}, L(R+S) = L(R) L(S),L(RS) = L(R)L(S) jal(r ) = (L(R)). EsimerkiksiL(a+bc ) = L(a) (L(b)L(c )) = {a} (L(b)L(c) ) = {a} ({b}{λ,c,c 2,...}) = {a,b,bc 2,bc 3,bc 4...}. Säännöllisten kielten ja säännöllisten ilmaisujen määritelmien perusteella: Jokainen säännöllisen ilmaisun määräämä kieli on säännöllinen ja jokaisen säännöllisen kielen määrää säännöllinen ilmaisu. Kaksi säännöllistä ilmaisuarjas ovat samat, josl(r) = L(S). Esimerkki Määrää aakkoston{0,1} säännöllinen ilmaisu, jonka määräämä kieli sisältää täsmälleen kaikki parillisen pituiset bittijonot. Ratk / 22 8
9 8.3. Kieliopit 19 / 22 Johdanto Kielioppi on välineistö synnyttää (formaaleja) kieliä. Tietyn kieliopin mukaisella kielellä on (hyvyys)ominaisuuksia, joita voidaan hyödyntää ko. kielellä tehtyjen ohjelmien tarkistamisessa ohjelman kääntämisen yhteydessä. Käytettäessä kieltä kiinnitetään huomiota kahteen asiaan: muotoon (syntaksiin) asiasisältöön (tarkoitukseen, semantiikkaan). Kielioppi säätelee kielen muotoa, syntaksia, ja niinpä kieliopin perusteella voidaan tarkistaa ilmaisun (lauseen) syntaksia. Formaalien kielien kielioppien tarkoituksena ei ole luoda laitetta, joka tuottaa ohjelmointikieliä, vaan aikaansaada kielioppeja, joiden sääntöjä noudattavien kielien muotoa(=syntaksia) on helppo tarkistaa (esim. kääntämisen tai tulkkauksen yhteydessä). 20 / 22 Kieliopin määritelmä Kielioppi G on järjestetty nelikko G = (V,V T,S,P), missä V = aakkosto (kaikkien kirjaimien joukko); V T = lopullisen kielen kirjaimien joukko (terminaalit)v T jav T V ; S = aloitussymbolis V\V T, P = äärellinen produktioiden (=tuotantosääntöjen) joukko,p V V. AakkostoaV N = V\V T kutsutaan ei terminaalien eli apukirjainten joukoksi. Produktioiden joukon sääntö(a,b) P kirjoitetaan yleensä muodossaa B. KielioppiGtuottaa sanoja seuraavasti: Aloitetaan alkukirjaimestas Sovelletaan joukonp sääntöjä, eli korvataan sanassa esiintyväasäännöna B oikealla puolellab. 21 / 22 9
10 Sanojen tuottaminen OlkootQ,R V sanoja. Määritellään operaatio G (tai josgtunnetaan ) seuraavasti: Q G R, josq = Q 1 αq 2,R = Q 1 βq 2 jaα β P. Q n G R,n 1, jos on olemassa sellaiset sanatq 1,Q 2,...,Q n 1, että Q Q 1 Q 2 Q n 1 R. JosQ = R taiq i R, jollakini, niinq R. 22 / 22 10
8. Kieliopit ja kielet
8. Kieliopit ja kielet Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti
LisätiedotMuodolliset kieliopit
Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.
LisätiedotLuonnolliset vs. muodolliset kielet
Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma
Lisätiedotuv n, v 1, ja uv i w A kaikilla
2.8 Säännöllisten kielten rajoituksista Kardinaliteettisyistä on oltava olemassa (paljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituva määrä, säännöllisiä lausekkeita vain numeroituvasti. Voidaanko
Lisätiedot11.4. Context-free kielet 1 / 17
11.4. Context-free kielet 1 / 17 Määritelmä Tyypin 2 kielioppi (lauseyhteysvapaa, context free): jos jokainenp :n sääntö on muotoa A w, missäa V \V T jaw V. Context-free kielet ja kieliopit ovat tärkeitä
LisätiedotSäännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet
Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,
LisätiedotHahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)
Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux
LisätiedotAutomaatit. Muodolliset kielet
Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Tähän mennessä: säännölliset kielet. Säännöllisten kielten pumppauslemma M :=
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Alue ja aiheet: Orposen prujun
LisätiedotYhteydettömät kieliopit [Sipser luku 2.1]
Yhteydettömät kieliopit [ipser luku 2.1] Johdantoesimerkkinä tarkastelemme kieltä L = { a n b m a n n > 0, m > 0 }, joka on yhteydetön (mutta ei säännöllinen). Vastaavan kieliopin ytimenä on säännöt eli
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Alue ja aiheet: Orposen
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava
LisätiedotFORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus
FORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): Formaali kieli: aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus esim. SSM:n tai EBNF:n avulla Semantiikka:
Lisätiedot9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko
9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ
LisätiedotRajoittamattomat kieliopit
Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet
LisätiedotOutput. Input Automaton
16 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotSinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0.
A Bittien nollaus Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0. Saat käyttää seuraavia operaatioita: muuta jokin bitti vastakkaiseksi (0 1 tai 1 0) muuta kaikki
Lisätiedot4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:
T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone
LisätiedotÄärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi
Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotSäännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3
T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotFORMAALIT KIELET. Keijo Ruohonen
FORMAALIT KIELET Keijo Ruohonen 2008 Sisältö 1 I SANAT JA KIELET 1 1.1 Sanat ja aakkostot 2 1.2 Kielet 4 II SÄÄNNÖLLISET KIELET 4 2.1 Säännölliset lausekkeet ja kielet 5 2.2 Äärellinen automaatti 8 2.3
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotRajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)
Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli
Lisätiedoton rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.
6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti
Lisätiedot5.3 Ratkeavia ongelmia
153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015. Antti-Juhani Kaijanaho. 3. joulukuuta 2015
TIEA241 Automaatit ja, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Formaalisti Määritelmä Nelikko G = (V, Σ, P, S) on kontekstiton kielioppi (engl. context-free
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama
LisätiedotAutomaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria)
1.6 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite
LisätiedotM =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e)
Tik-79.148 Kevät 2001 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Laskuharjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 1. Pinoautomaatti M = K Σ Γ s F missä K Σ s ja F on määritelty samalla tavalla kuin tilakoneellekin.
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotRatkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus
Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotAlgoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 4 24.-25.4.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) int laske(n) { if (n
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotOngelma(t): Miten jollakin korkeamman tason ohjelmointikielellä esitetty algoritmi saadaan suoritettua mikro-ohjelmoitavalla tietokoneella ja siinä
Ongelma(t): Miten jollakin korkeamman tason ohjelmointikielellä esitetty algoritmi saadaan suoritettua mikro-ohjelmoitavalla tietokoneella ja siinä olevilla komponenteilla? Voisiko jollakin ohjelmointikielellä
LisätiedotEi-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]
Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25
LisätiedotJos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)).
Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Esimerkkejä: Σ koostuu kaikista aakkoston Σ merkkijonoista ja
LisätiedotS uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.
3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotKonnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.
Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS LUONNOLLISEN KIELEN KÄSITTELY (NATURAL LANGUAGE PROCESSING, NLP) TEKOÄLYSOVELLUKSET, JOTKA LIITTYVÄT IHMISTEN KANSSA (TAI IHMISTEN VÄLISEEN) KOMMUNIKAATIOON, OVAT TEKEMISISSÄ
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotÄärettömät sanat. Aleksi Saarela. Matematiikan ja tilastotieteen laitos ja FUNDIM-keskus, Turun yliopisto. A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 1 / 28
Äärettömät sanat Aleksi Saarela Matematiikan ja tilastotieteen laitos ja FUNDIM-keskus, Turun yliopisto A. Saarela (TY) Äärettömät sanat 1 / 28 1 Sanojen kombinatoriikan taustaa 2 Esimerkkejä äärettömistä
LisätiedotLaskennan teoria
581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2003 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa esitiedot käytännössä
LisätiedotM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )
6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.
LisätiedotLuku 3. Listankäsittelyä. 3.1 Listat
Luku 3 Listankäsittelyä Funktio-ohjelmoinnin tärkein yksittäinen tietorakenne on lista. Listankäsittely on paitsi käytännöllisesti oleellinen aihe, se myös valaisee funktio-ohjelmoinnin ideaa. 3.1 Listat
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotChomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit
Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 2. helmikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 2. helmikuuta 2012 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti lueteltava
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Lisätiedot2. Yhteydettömät kielet
2. Yhteydettömät kielet Yhteydettömät eli kontekstittomat kielet (context-free language, CFL) ovat säännöllisiä kieliä laajempi luokka formaaleja kieliä. Ne voidaan esittää yhteydettömillä kieliopeilla
LisätiedotKielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }
135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren
LisätiedotSäännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet
186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotPinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotDFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet
säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotTestaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin
Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. lokakuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. lokakuuta 2016 Sisällys Kontekstiton kielioppi Kontekstiton kielioppi koostuu joukosta päätemerkkejä (engl. terminal symbols),
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotEsimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $:
Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $: a, ε d b, d ε ε, ε $ b, d ε 1 2 3 6 c, ε e c, ε e c,
LisätiedotIlpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2
uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia
Lisätiedotjäsentäminen TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 26. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. marraskuuta 2015 Sisällys Tunnistamis- ja jäsennysongelma Olkoon G = (N, Σ, P, S) kontekstiton kielioppi ja
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. 4: Luovuus, assosiationismi. Luovuus ja assosiationismi. Kielen luovuus. Descartes ja dualismi
Luovuus ja assosiationismi Kieli merkitys ja logiikka 4: Luovuus, assosiationismi Käsittelemme ensin assosiationismin kokonaan, sen jälkeen siirrymme kombinatoriseen luovuuteen ja konstituenttimalleihin
LisätiedotKertausta 1. kurssikokeeseen
Kertausta. kurssikokeeseen. kurssikoe on to 22.0. klo 9 2 salissa A (tai CK2). Koealueena johdanto ja säännölliset kielet luentokalvot 3 ja nämä kertauskalvot harjoitukset 6 Sipser, luvut 0 ja Edellisvuosien.
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
Lisätiedot5.5 Jäsenninkombinaattoreista
5.5. JÄSENNINKOMBINAATTOREISTA 67 type Env α = FiniteMap String α data EnvT m α = MkE (Env Integer m (Env Integer, α)) instance Transformer EnvT where promote mp = MkE $ λenv mp λr return $(env, r) instance
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotYllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen
Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen suhteen, eli jos kielet A ja B ovat säännöllisiä, niin myös A B on. Tätä voi havainnollistaa seuraavalla kuvalla: P(Σ ) Säännölliset
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotKieli merkitys ja logiikka. Luento 6: Merkitys ja kieli
Kieli merkitys ja logiikka Luento 6: Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Sanat ja käsitteet Kompositionaalisuus Propositiologiikka Kysymykset Merkityksen luonne Miten ihminen hahmottaa
LisätiedotRekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Lisätiedot