Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat ydensuuntaisia, samankotaiset kulmat ovat ytä suuria eli 4 104 5 5 8 104 4 18 16 : 8 1
. Merkitään kolmion lyintä sivua kirjaimella. Pisin sivu on siis ja toiseksi pisin sivu + 15 cm. Kolmion piiri on 10 cm eli 15 10 5 105 :5 1 Pisin sivu on siis 1cm 6cm. Toiseksi pisin 15cm 1cm 15cm 6cm. Lyin sivu = 1 cm. Vastaus: 6 cm, 6 cm, 1 cm 4. Suunnikkaan kaden kulman sude on : 5. Merkitään kulmien suuruuksia ja 5. Suunnikkaan kulmien summa on 60 ja vastakkaiset kulmat ovat ytäsuuret, joten saadaan ytälö 5 5 60 14 60 : 14 60 14 5,714...
Kulmien suuruudet siis ovat 5 5,714... 51,485... 51 5 5,714... 18,571... 19 Vastaus: Kulmat ovat 51 ja 19 ( kpl kumpaakin). 5. Suorakulmion kulmat ovat kaikki suoria, joten 90 4 90 : 4,5 Suorakulmion lävistäjät ovat ytäpitkät. Lisäksi lävistäjät puolittavat toisensa. Tarkastellaan suorakulmiosta tiettyä kotaa, joka on tasakylkinen kolmio. Kolmion kolmas kulma on ristikulmana. Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan ytälö 180 6 180 6,5 180 15 180 45 Vastaus:,5, 45
6. Janat B ja DE ovat ydensuuntaisia. D E 7 cm 5 cm C 61, cm B Kolmiot BC ja ECD ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat C ristikulmina ytäsuuret, kulmat E ja samankotaisina kulmina ytäsuuret. Merkitään pisteen C korkeutta kirjaimella. Ydenmuotoisista kolmioista saadaan vastinsivujen suteena verranto 5 7 7 61, 18,4 44, : 7 Pöydän korkeus on siis 5 cm + 44, cm = 96, cm 96 cm. Vastaus: 96 cm 4
7. Hamotellaan tilannekuva. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,0 m ja 4,0 m. Merkitään sisään piirretyn neliön sivua kirjaimella. C 4,0 m E D 5,0 m B Kolmiot BC ja DBE ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska molemmissa 90 kulma, kulma B yteinen. Vastinsivut ovat siis verrannolliset, joten saadaan 5 5 5 5 9 4 4 5 0 4 0 : 9,..., m Vastaus:, m 5
8. Koska D : DC =1 :, niin merkitään sivun D pituutta kirjaimella a. Tällöin sivun DC pituus on a. Janojen B ja DE etäisyys on 18 cm. Merkitään pisteen C etäisyyttä (kolmion DEC korkeus) janasta DE kirjaimella. C a a D 18 cm E 6 cm B Kolmiot BC ja DEC ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat ja D ovat samankotaisina kulmina ytäsuuret, molemmissa kolmioissa on kulma C. Vastinsivut ovat verrannolliset eli 18 18 18 4 4 a a a a 4a 4 18 54 54 6
Kolmion BC korkeus on + 18 cm = 54 cm + 18 cm = 7 cm. Kolmion ala on 6 cm7 cm cm, dm dm 0,m Vastaus: 0, m 9. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Merkitään vaimon pituutta luonnollisessa koossa kirjaimella. Pituus kuvassa (cm) Pituus luonnossa (cm) 8,8 187 7,8 Pituudet kuvassa ja luonnossa ovat suoraan verrannolliset (vastinsivujen suteet ovat samat) eli 8,8 7,8 8,8 187 1458,6 : 8,8 165,75 166 (cm) Vastaus: Vaimon todellinen pituus on 166 cm. 7
10. Ureilukentän ala kartalla on 0 cm. Olkoon ala luonnossa (todellinen ala). Kartan mittakaava k 1 000. Pinta-alojen sude on mittakaavan neliö eli 0 0 1 000 1 4000000 80000000 la on =80 000 000 cm = 0,8 a. Vastaus: 0,8 a 11. Kaden ydenmuotoisen kuvion mittakaava k. Merkitään 5 pienemmän kuvion alaa 1 ja suuremman ala. Koska pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, niin saadaan 1 1 5 4 5 8
Pienempi kuvio on suuremmasta kuviosta 4 5 16 100 16% Vastaus: 16 % 1. Olkoon esimerkiksi kuvan leveys ennen suurennusta s, jolloin leveys suurennuksen jälkeen on 1,5s. Merkitään kuvan pinta-alaa alussa 1 ja lopussa. Kootaan tiedot taulukkoon. Leveys la s 1 1,5s Valokuvat ovat ydenmuotoisia, joten mittakaavan neliö on pinta-alojen sude eli s 1,5s 1 1,5 1 1,565 1 1 1 1,565 1 9
Suurennuksen jälkeen kuva on 1,565-kertainen vanaan näden eli sen koko kasvaa 56,5 % 56 %. Vastaus: 56 % 1. Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella 9,5 1 5,75 1 cm 5,75 7,1... 9,5 cm Koska >0, niin = 7,1 cm 7, cm. Vastaus: 7, cm 10
14. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on tällöin,0 cm. Hypotenuusan pituus on cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0,0,0 484,0,0 9,0 484 6,0 475 0 6,0 ( 6,0) 4 6,0 86 4 4 ( 475) 6,0 86 4 16,98... tai 6,0 86 4 1,98... Koska > 0, niin = 16,98 cm. Kateetit ovat siis = 16,98 cm 17 cm ja,0 cm = 16,98 cm,0 cm = 1,98 cm 14 cm Vastaus: 17 cm, 14 cm 11
15. Hamotellaan kuva. Sisäänkäynnissä on portaikon päälle suunniteltu luiska, jonka pituus on,4 m. Luiskan pää on, m päässä ovesta. Merkitään portaikon korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella,4 m, m,,4 0,47 0,47 0,685... Koska >0, niin = 0,685 m 0,69 m Vastaus: 0,69 m 16. a) Kolmio on suorakulmainen, joten cos 17cm 5 cm 47,156... 47 1
b) Kolmio on suorakulmainen, joten 5,4 m sin 5 sin 5 5,4 m :sin5 5,4 m sin 5 9,4146...m 9,4 m Vastaus: a) 47 b) 9,4 m 17. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 1 cm ja 18 cm. Merkitään kolmion kulmia α, ja 90. Hamotellaan kuva kolmiosta. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 cm α 18 cm tan 1 cm 56,099... 56 18 cm β tan 1 cm 18 cm,690... 4 Suorakulmaisen kolmion kolmas kulma on 90. Vastaus: Suoran kulman lisäksi kulmat 56 ja 4. 1
18. Majakan uippu on 15 m korkeudessa. Laivat ovat vastakkaisilla puolilla siten, että toisesta laivasta uippu näkyy 1 kulmassa ja toisesta 8,5 kulmassa. Hamotellaan tilannekuva. 8,5 1 Merkitään toisen laivan etäisyyttä majakasta kirjaimella ja toisen etäisyyttä y. Laivojen välinen etäisyys on tällöin + y. 15 m Muodostuvista suorakulmaisista kolmiosta saadaan y 15m tan 8,5 tan 8,5 15m 15m tan8,5 100,67...m 15m tan1 y y tan1 15 m y 15m tan1 y 70,569...m Etäisyys + y = 100,67 m + 70,569 m = 170,967 m 170 m Vastaus: 170 m 14
19. Tasakylkisen kolmion uippukulma on 4 ja korkeus 11 cm. Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas 4 on 1. Merkitään kannan pituutta ja kyljen pituutta y. y 4 11 cm 11 cm 1 y Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan1 11 11 11tan14,5... Koska korkeusjana puolitti kannan, niin koko kannan pituus on siis 4,5...cm 8,445...cm 8,4 cm. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus y saadaan myös suorakulmaisesta kolmiosta 11 cos 1 y y cos 1 11 y 11 cos 1 y : cos 1 11,785... 15
Kyljen pituus on siis y = 11,785 cm 1 cm. Vastaus: Kylkien pituus 1 cm ja kanta 8,4 cm 0. Piirretään mallikuva. Merkitään puun pituutta kirjaimella. 8,5,5 m Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa α = 90-8,5 =81,5. cos81,5 cos81,5,5,5,5 cos81,5 : cos81,5 16,9167... α,5 m Puun pituus on =16,9167 m 17 m. Vastaus 17 m 16
1. a) Lasketaan ensi kolmion korkeus. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan,4m,4 5, 5, m 16,5 16,5 4,0657... Koska >0, niin =4,0657 m Kolmion ala on siis,4 m 4,0657...m 6,9117...m 6,9 m b) 85 mm 77 mm 118 α Kuviossa oleva kulma 180 118 6. Lasketaan ensin kolmion korkeus. 17
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 6 77 77 77 sin 6 67,98696... Kysytyn kolmion ala on 85 mm 67,98696...mm 889,4... mm 8,894...cm 9cm Vastaus: a) 6,9 m b) 9 cm. Tasasivuisen kolmion korkeus on 1,0 cm. Kaikki kulmat ovat 60. Merkitään kolmion kantaa lausekkeella. Koska korkeusjana puolittaa kannan, on kannan puolikas. 60 1,0 cm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,0 tan 60 tan 60 1,0 1,0 tan 60 6,98... 60 1,0 cm 18
Kolmion kanta on siis 6,98...cm 1,856...cm. Kolmion ala on 1,856...cm 1,0 cm 8,184...cm 8,1cm Vastaus: 8,1 cm. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Kateettien pituusero on 5,0 cm, joten toinen kateetti on esimerkiksi 5,0 cm. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja korkeus. Koska kolmion ala = 8 cm, niin saadaan 8 5,0 8 5,0 8 5,0 76 5,0 76 0 19
5,0 5,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 76) 9 9 11,569... tai 5,0 9 6,569... Koska >0, niin = 11,569 cm. Kateetit ovat siis = 11,569 cm 1 cm 5,0 cm = 11, 569 cm 5,0 cm =6,569 cm 6,6 cm. Vastaus: Kateetit ovat 1 cm ja 6,6 cm. 4. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella ja korkeutta kirjaimella. Kannan ja korkeuden summa on cm eli + = = 0
Koska kolmion ala on 45 cm, niin saadaan ytälö 90 45 90 0 169 1 4 ( 1) ( 90) 1 18 tai 1 5 Kolmion kanta = 5,0 cm tai = 18 cm Vastaus: 5,0 cm tai 18 cm 1
5. Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Huippukulma on 8 ja kanta 44 cm. 8 Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. 8 Huippukulman puolikas on 14ja kannan 44 cm puolikas on cm. Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan 44 cm 14 tan14 tan14 Kolmion pinta-ala on tan14 88,7... cm 44 cm 88,7...cm 1941,...cm 19dm Vastaus: 19 dm
6. a) Lasketaan suunnikkaan korkeus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Kolmion kulma 180 15 45., dm 15 α 4,9 dm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 45,,, sin 45,67... Nelikulmion ala on 4,9dm,67...dm 11,087...dm 11 dm b) Kyseessä on tasakylkinen puolisuunnikas, koska kantakulmat ovat ytäsuuret. Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, josta voidaan laskea puolisuunnikkaan korkeus. 115cm - 8cm 16,5 cm tan65 16,5 16,5 tan6516,55,84... 65
Puolisuunnikkaan pinta-ala on 5,84...cm 8 cm 115cm 5,84...cm 197cm 485,5...cm 5 dm Vastaus: a) 11 dm b) 5 dm 7. Merkitään suorakulmion (uoneen) leveyttä kirjaimella. Pituus on tällöin 5,0 m. Suorakulmion (uoneen) ala on 84 m eli 5,0 84 5,0 84 0 5,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 84) 61 5,0 19 5,0 19 1 tai 5,0 19 7 Koska >0, niin = 1 m 4
Tällöin pituus on 5,0 m= 1 m 5,0 m= 7,0 m. Vastaus: Mitat ovat 1 m ja 7,0 m. 8. Hamotellaan puolisuunnikkaan kuva. Merkitään ydensuuntaisista sivuista lyyempää kirjaimella. Erisuuntaisista sivuista toinen on kotisuorassa ydensuuntaisia sivuja vastaan. Tämän sivun pituus on myös (puolisuunnikkaan korkeus). Ydensuuntaisten sivujen pituusero on,0 m, joten toisen pituus on +,0m. Pinta-ala on 16 m, joten saadaan,0 m,0 16,0 4,0 4 0 : 1,5 16 0 1,5 1,5 4 1( 16) 1,5 650,5 1,5 5,5 1 tai 1,5 5,5 1,5 5
Koska >0, niin = 1 m. Tällöin toinen ydensuuntainen sivu on +,0 m=15 m. 1 m 1 m 1 m y Merkitään puolisuunnikkaan viimeistä sivua kirjaimella y.,0 m Sivu y saadaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella y y y 1,0 15 15 1,69... Koska y >0, niin y = 1,69 m 1,4 m. Vastaus: Sivut ovat 1 m, 1 m, 1,4 m ja 15 m. 6
9. Sormuksen alkaisija d = 1,8 cm =18 mm, joten sen keän pituus on p d 18 mm 56,548...mm Keälle matuu,0 mm timantteja 56,548...mm,0 mm 8,7... 8 kappaletta. Vastaus: 8 kpl 0. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Ympyrän ala on 6 cm, joten r r r 6 6 : 6,85... cm Keän pituus p on p,85...cm 1,6...cm 1cm Vastaus: 1 cm 7
1. Kolmio on tasasivuinen. Tasasivuisen kolmion sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja niiden puolessavälissä. Kolmion sivun pituus on 1 cm ja kaikki kulmat ovat 60. Kolmion uippukulma on siis myös 60. Korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. 1cm Kannan puolikas on 6cm ja 60 uippukulman puolikas 0. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 cm r 1 cm tan0 r r 6 6tan0,464... Ympyrän ala on r,464...cm 7,69...cm 8cm Vastaus: 8 cm 8
. Olkoon ympyrän säde r, jolloin sen ala = r. Tätä alaa vastaa 60 asteen keskuskulma. Ympyrän sektorin alaa 50 cm vastaa 0 asteen keskuskulma. Keskuskulma ja vastaava sektorin ala ovat suoraan verrannollisia, joten 0 60 0r r r 50 r 90000 : 0 000 000 0,90... Ympyrän säde r >0, joten r = 0,90 cm 1 cm. Vastaus: 1 cm 9
. Koko ympyrän keää p vastaa 60 asteen keskuskulma ja 4, dm sektorin kaaren pituutta vastaa 15 asteen keskuskulma. Kaaren pituus ja kaarta vastaavan sektorin keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannolliset. 15 60 15 p p p 4,dm p 151 dm 100,8 dm 100dm : 15 Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin p 100,8 dm r r r : ( ) 100,8 dm 16,04...dm 16dm Vastaus: säde 16 dm, keän pituus 100 dm 0
4. Sektorin kaaren pituus on sama kuin ympyrän säde r = 75 cm. Sektorin keskuskulmaa vastaa siis kaari, jonka pituus on 75 cm. 60 asteen keskuskulmaa vastaa koko ympyrän keä p p 75cm 471,...cm Koska keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannolliset, niin saadaan 60 75 471,... 471,... 7000 :471,... 57,9... 57 Vastaus: 57 5. Ympyrän säde r = 5 mm. Sektorin keskuskulma on 100. Koska sektorin keskuskulma on alle 180, segmentin ala saadaan väentämällä sektorin alasta keskuskolmion ala. 100 5 mm Sektorin ala sektori 100 5 60 545,415... mm 1
Keskuskolmio on tasakylkinen. Korkeusjana puolittaa uippukulman (sektorin keskuskulman) ja kannan. Huippukulman puolikas on 100 50. Lasketaan ensin keskuskolmion korkeus ja kannan puolikas a. 50 5 mm cos50 5 5 5 cos50 16,069... mm a a sin 50 5 5 a 5sin 50 a 19,1511... mm Keskuskolmion kanta on a, joten ala on kolmio a a 19,1511... mm 16,069... 07,75...mm mm
Segmentin ala on segmentti sektori 40 mm kolmio 545,415...mm 7,66...mm 07,75... mm Vastaus: 40 mm 6. Ympyrän säde r = 1 m. Merkitään pisteen P etäisyyttä ympyrän keskipisteestä kirjaimella. Jana puolittaa tangenttikulman. Tangenttikulman puolikas on 5 17,5. P 17,5 1 m Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 sin17,5 sin17,5 1 : sin17,5 1 4,... m sin17,5 Pisteen P etäisyys keästä on r = 4, m 1 m = 0, m 0 m Vastaus: 0 m
7. Hamotellaan tilannekuva. Merkitään läetysalueen ulottuvuutta yteensuuntaan kirjaimella b ja radiomaston korkeutta kirjaimella = 5 m = 0,05 km. Maapallon säde R = 670 km. Merkitään läetysaöueen ulottuvuutta (kaaren pituutta) vastaavan keskuskulman suuruutta α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 670 km 670 cos 670 0,05 cos 0,999... 0,1899... Läetysalue ulottuu kaaren b päään. b 0,1899... 670 km 60 1,116...km 1km Vastaus: 1 km 4
8. Hamotellaan tilannekuva. Maapallon säde 670 km. Sukkula on 50 km korkeudella. Merkitään näkyvyysaluetta eli kaaren pituutta b ja tätä vastaavaa keskuskulmaa α. Lasketaan keskuskulman puolikas α muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 670 km α 50 km b 670 cos 670 50 670 cos 670 cos 0,9479... 18,57... Koko näkyvyysaluetta vastaava keskuskulma α on koko maapallon keskuskulmasta (60 ) prosentteina 60 18,57... 60 0,10... 10% Vastaus 10 % 5
9. Hamotellaan tilannekuva. Teatterin alkaisija on 6 m, joten säde 6 m r 1m. Ville seisoo 150 m päässä teatterista Lyin reitti teatterin ympäri koostuu kadesta suorasta ja ympyrän kaaresta b. Kaaren pituuden b laskemiseksi tarvitaan ensin keskuskulmat α ja. b β 1 m α 150 m Ville Suorien osien pituus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 1 181 150 m + 1 m = 181 m 181 1800 1 1 m α 1800 178,5... m Lasketaan kulman α suuruus muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta. 1 cos 181 cos 0,171... 80,18... Ympyrän keää pitkin kuljettavaa matkaa vastaa keskuskulma 60 60 80,18... 199,7... 6
Kaaren b pituus on b 199,7... 1m 60 108,06... m Koko matkan pituus on b 108,06...m 178,5...m 464,711...m 460 m Vastaus: 460 m 40. Piirretään tilannekuva. Pallon alkaisija on 8 cm, joten säde 8cm r 19cm. Hyttysen (pisteen) etäisyys pallon keästä on 5 cm. Hyttynen näkee pallosta kaaren b verran. 19 cm α 5 cm yttynen b 7
Lasketaan ensin kaaren puolikasta vastaavan keskuskulman α suuruus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 19 cos 5 19 19 cos 54 cos 0,518... 69,9... Koko yttysen näkökenttää vastaava keskuskulma on α = 69,9 = 18,79. Näkökentän keskuskulma on koko ympyrän keskuskulmasta (60 ) prosentteina 18,79... 60 0,85... 9% Vastaus: 9 % 8
41. Merkitään purkin (lieriön) pojaympyrän sädettä. Purkin korkeus on ytä suuri kuin pojan säde eli =. Tilavuus on V p Koska purkkiin matuu 1, dl = 0,1 l kalaa, sen tilavuus V= 0,1 dm = 10 cm. V 10 10 : 10 10,67... cm Pojan alkaisija on siis r,67...cm 6,755...cm 6,7 cm Vastaus: 6,7 cm 9
4. Hamotellaan kuva. Särmiön poja on neliö,jonka sivun pituus on,0 dm. Särmiön korkeus on 5,0 dm. Merkitään pojaneliön lävistäjää ja avaruuslävistäjää l. Pojaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l 5,0 dm,0 18 18,0,0 dm,0 dm 4,4... Koska >0, niin = 4,4 dm. Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l l l l 5,0 4,4... 5 4 4 6,557... Koska l >0, niin l = 6,557 dm 6,6 dm. Vastaus: 6,6 dm 40
4. Merkitään jääkuution särmää kirjaimella. Kuutio painaa 16,1 g. Jään tieys on 0,917 kg/l. Koska massa massa tieys, tilavuus. tilavuus tieys Jääkuution tilavuus on siis 16,1g kg 0,917 dm 0,0161k g kg 0,917 dm 0,01755...dm 17,55...cm Jos särmän pituus on, niin kuution tilavuus on eli 17,55...,599...,60 Särmä,60 cm. Vastaus:,60 cm 41
44. Hamotellaan kuva. Merkitään kuution sivun pituutta, jolloin lieriön säde on. Kuution ja lieriön korkeudet ovat samat eli. Lieriön tilavuus on V lieriö. Kuution tilavuus on V kuutio 8 Lieriön tilavuus kuution tilavuudesta on V V lieriä lkuutio 8 0,785... 79% 8 Vastaus: 79 % 4
45. Pojana oleva säännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 samanlaiseen, 60 tasakylkiseen kolmioon. Kolmion uippukulma on 45. 8 Säännöllisen 8- kulmion sivun pituus on,4 cm, joka on sama kuin tasakylkisen kolmion kanta. Kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. Kannan puolikas on,4 cm 1,7 cm ja uippukulman puolikas on 45,5.,5,5 1,7 cm 1,7 cm Merkitään kolmion korkeutta. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan,5 1,7cm 1,7cm tan,5 4,104...cm Kolmion ala on,4cm 4,104...cm kolmio 6,9770... cm. Pojan ala on tällöin 8 kolmio 8 6,9770...cm 55,8166... cm 4
Koska vaippa muodostuu kadeksasta suorakulmiosta, joiden kanta on,4 cm ja korkeus 10, cm, on kokonaispinta-ala koko poja 55,8166...cm 89,07...cm 90cm 8 suorakulmio 8,4 cm 10, cm Vastaus: 90 cm 46. Ympyräkartion korkeus = 1 dm Pojaympyrän alkaisija on 8,0 dm, joten säde 8,0dm r 4,0dm. s Tilavuus on r V 4,0dm 1 dm 01,06...dm 00 dm r Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan sivujanan s pituus. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s s 1 160 r 4 160 1,64... dm 44
Vaipan ala on v rs 4,0 dm 1,64...dm 158,95..dm 160dm Vastaus: Tilavuus on 00 dm ja vaipan ala 160 dm. 47. Kartion poja on säännöllinen viisikulmio, jonka sivun pituus on 4,1 m. Korkeus = 6,4 m. Hamotellaan kuva kartiosta. Vaipan pinta-alaa varten tarvitaan sivutakoina olevien tasakylkisten kolmioiden korkeus. Merkitään tätä kirjaimella s. Merkitään pyramidin sisälle muodostuvan suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. 4,1 m s Poja voidaan jakaa viideksi keskenään samanlaiseksi kolmioksi. Tällöin jokaisen 60 kolmion uippukulma on 7. 5 Kolmion korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas on 7 6. α 4,1 m : =,05 m 45
Ratkaistaan ensin kateetin pituus. Pojalle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan 6 tan 6,05,05,05 tan 6 : tan 6,81... m Sivutakon korkeus s saadaan Pytagoraan lauseella toisesta suorakulmaisesta kolmiosta s s s s 6,4,81... 48,91... 48,91... 6,994... m Sivutakokolmion ala on k 4,1m 6,994...m 14,8... m Pyramidin vaippa koostuu viidestä kolmiosta, joten ala on v 5 k 514,8...m 71,69... m 7 m Vastaus: 7 m 46
48. Ympyrän säde r = 5,4 dm. Sektorin keskuskulma on 170. Lasketaan ensin sektorin kaaren pituus eli ympyräkartion pojan keän pituus. b 170 5,4 dm 60 16,01...dm Merkitään pojaympyrän sädettä kirjaimella. Tällöin π 16, 01... 16, 01... π, 55 (dm) :( π) Kartion sivujana ja alkuperäisen ympyräsektorin säde ovat ytä suuret. Kartion korkeus saadaan kartion sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella. 5,4 dm,55 5,4,55 dm 5,4,55,6575,6575 4,759... dm Koska >0, niin = 4,759 dm. Kartion tilavuus on V r,55 dm 4,759...dm,41...dm dm Vastaus: dm 47
6,1cm 49. Samppanjalasin suuaukon säde r,05cm. Lasin tilavuus on 1 cl. Muutetaan tilavuus kuutiosenttimetreiksi. 1 cl = 1, dl = 0,1 l = 0,1 dm = 10 cm Lasi on ympyräpojainen kartio, jonka tilavuus on siis 10 cm. Saadaan ytälö r,05,05 V 10 60 : 60,05 1,18...,05 cm Koko lasin korkeus on siis 1,18 cm + 6,8 cm = 19,111 cm 19 cm Vastaus: 19 cm 48
50. Ympyräkartion pojan alkaisijan ja korkeuden sude on :. Merkitään kartion pojan alkaisijaa merkinnällä a. Kartion korkeus on tällöin a. Pojan säde r = a a Kartion vaipan alaa varten tarvitaan sivujanan s pituus. a s Kartion tilavuus on a V r a a a Koska tilavuus on 100 cm, saadaan ytälö a a a a a 100 : 100 100 81,97... 7,55... cm 49
Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella sivujanan s pituus. s s s a a 10a a 9a a s s 10a a s 10 7,55... s s 56,44...,944... Koska s >0, niin s =,944 cm. Vaipan ala on v rs 7,55... cm,944...cm 5,00...cm 50 cm Vastaus: 50 cm 50
51. Rantapallon tilavuus on,0 l =,0 dm. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Saadaan ytälö 4 r r V,0 dm 4 99,0 :4 r,0 99,0 4 r 99,0 1,9897... 4 Pallon säde on siis r= 1,9897 dm. Muovin menekki riippuu pallon alasta. Pallon ala on 1,9897...dm 49,758...dm 49,8 dm 4r 4 Muovia siis tarvitaan 49,8 dm. Vastaus: 49,8 dm 51
5. Kuution sisällä on suurin madollinen pallo Merkitään kuution sivua kirjaimella, joten pallon säde r r Kuution ja pallon pinta-alat ovat kuutio 6 pallo 4 4 4 Pallon alan sude kuution pinta-alaan on pallo kuutio 6 0,5 6 Vastaus: 5 6 0, 5
5. Valaisimen sisäsäde on 16 cm ja ulkosäde on siis 16 cm + 0, cm =16, cm Valaisimen tilavuus on,0 mm 16 cm V valaisin V ulko V sisä 16, cm 4 16cm 4 4 451,58 cm 4 4096 cm 651,4741...cm 0,6514741... dm Lasin tieys on,5 kg/dm, joten valaisin painaa siis kg,5 0,6514741...dm 1,686...kg 1,6kg dm Vastaus: 1,6 kg 5
54. Maapallon säde on 670 km. Kysytty etäisyys on kuvaan muodostuneen sektorin (keskuskulma,5 +,5 =47 ) kaaren pituus b. Kravun kääntöpiiri b 670 km,5,5 b 47 670 km 60 55,4...km 50 km Kauriin kääntöpiiri Vastaus: 50 km 55. Lasketaan kannateltavan aineksen tilavuus. Tanko on ympyrälieriö, jonka pituus on 1,5 m=150 cm ja alkaisija 1,9 1,9cm cm. Tangon säde on 0,95 cm. Tangon tilavuus on siis tanko 0,95cm 150cm 45,9... cm V. Tangon päissä olevien pallojen säde on 14 cm, joten pallojen tilavuus on V pallot 14 cm 4 988,08... cm 54
Yteistilavuus on siis V V tanko V pallot 45,9...cm 41,7...cm,417...dm 988,08...cm Metallin tieys on 7,8 kg/dm, joten tanko painaa kg,417...dm 7,8 dm 18,64...kg 180kg Vastaus: 180 kg 56. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Tällöin lieriön pojan alkaisija on r eli pallon alkaisija. Lieriön pojaympyrän säde ja pallon säde ovat siis r. Lieriön korkeus = r. Pallo siis juuri matuu lieriöön. Lieriön tilavuus on r r V lieriö poja r r r r 55
56 Pallon tilavuus on 4 pallo r V. Pallon tilavuuden sude lieriön tilavuuteen on 6 4 1 4 4 lieriö pallo r r r r V V Vastaus:
Harjoituskoe 1 1. a) Kulma β ja 80 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 80. Kolmion kulmien summa on 180. Kulmat α ja γ ovat vieruskulmia. 5 80 180 180 5 80 65 180 180 180 65 115 b) Kulma γ ja 0 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, γ = 0. Kulmat γ ja α muodostavat ydessä 90 :een kulman. 90 90 90 0 70 Kulmat α ja β ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 70. Vastaus: a) α = 115, β = 80 b) α = 70, β = 70
Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään lyintä matkaa rannalta saareen kirjaimella. 0 100 80 : 40 m 0 m 100 m 650 m 0 m b) Saaren säteen pituus on 10 m Reijon kodin etäisyys saaren keskipisteestä on 10 m + 40 m + 50 m = 100 m. r. r 10 m 40 m 50 m Merkitään kysytyn kulman puolikasta kirjaimella α. 10 m Reijo 10 sin 0,1 100 5,79... α 100 m Tangenttikulma on 11,47... 11. 58
Harjoituskokeiden ratkaisut c) Kun sataa 8 mm, veden pinta järvessä nousee siis =8 mm = 0,8 cm = 0,08 dm = 0,008 m. Järven pinta-ala on suorakulmion ala, josta on poistettu saaren pinta-ala eli ympyrän ala. Suorakulmion ala on suorakulmio 650m 100 m 65000m Ympyrän ala ympyrä Järven pinta-ala on siis r 10 m 14,15... m suorakulmio ympyrä 65000 m 14,15... m 64685,84... m Tilavuus kasvaa siis V 64685,84...m 0,008 m 517,486...m 50 m Muutetaan tilavuus litroiksi. 50 m = 50 000dm = 50 000 l Vastaus: a) 40 m b) 11 c) 50000 l 59
Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Pizza jaetaan ikävuosien suteessa 15:7. Ympyrän (pizzan) keskuskulma jakautuu siis tässä suteessa. Merkitään Susannan saaman palan keskuskulmaa merkinnällä 15. Lassin palan keskuskulma on tällöin 7. 15 7 60 60 : 16,6... 15 7 1516,6... 45,45... 45 7 16,6... 114,54... 115 b) Säde r = 15 cm Susannan palan reunan pituus on 45,45... 15cm 60 64,59...cm 64 cm Vastaus: a) Susanna 45, Lassi 115 b) 64 cm 60
Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Merkitään laivan etäisyyttä vuoresta alussa kirjaimella ja lopussa kirjaimella y. Hamotellaan tilannekuva. 70 m v u o r i 4 0 y laiva lopussa laiva alussa Etäisyys alussa saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 70 tan 0 tan 0 70 : tan 0 70 tan 0 005,658... Etäisyys lopussa saadaan toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. tan 4 70 y y tan 4 70 y 70 y tan 4 y 810,74... m m : tan 4 61
Harjoituskokeiden ratkaisut Laivan on kuljettava matka on y. y 005,658...m 1194,911...m 1, km 810,74...m Vastaus: 1, km 5. Vovelikartion korkeus = 1,5 cm ja suuaukon säde 5,0 cm r,5 cm. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. s r =,5 cm = 1,5 cm a) Tilavuus on V r,5 81,81... cm cm 1,5 cm 8 cm 8 cm = 0,08 dm = 0,08 l =0,8 dl 6
Harjoituskokeiden ratkaisut b) Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan kartion sivujanan pituus s. Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s r 1,5 cm,5 cm 16,5 cm s 16,5 cm s 1,747...cm Koska s > 0, niin s = 1,747 cm. Vaipan ala on rs,5cm 1,747... cm 100,119...cm 100 cm Vastaus: a) 0,8 dl b) 100 cm 6
Harjoituskokeiden ratkaisut 6. Kirjan 1. painoksen tetävänannossa on vireitä. Rakennuksen mittojen esitteessä pitäisi olla 40 mm 5 mm ja rakennuksen pojapinta-alan luonnossa 10 m. a) Rakennus on suorakulmio, jonka mitat esitteessä ovat 40 mm 5 mm. Lasketaan rakennuksen pinta-ala esitteessä. e site 40 mm 5 mm 1000 mm 10cm Muutetaan rakennuksen todellinen pinta-ala samaan yksikköön (cm ). luonto 10 m 1000 dm 100000 cm. Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen sude on ytä suuri kuin mittakaavan neliö eli k k k k k esite luonto 10 cm 100000 cm 1 10000 1 10000 0,01 1 Koska mittakaava on positiivinen luku, k = 0,01 = = 1 : 100 100 64
Harjoituskokeiden ratkaisut b) Mitat luonnossa ovat 40 mm 100 = 4000 mm = 4,0 m 5 mm 100 = 500 mm =,5 m Vastaus: a) Mittakaava on 1 : 100 b) Mitat ovat 4,0 m,5 m. 7. a) Merkitään suoraa matkaa kirjaimella. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan koulu 1 1 km 5 5,6... km koti Koska >0, niin =,6 km, km. Suoraan metsän läpi kulkeva matka on, km. b) Pidempi matka s = km+ 1 km = km. ikaa matkaan kuluu t = 0 min = 0,5. Nopeus v t s km 0,5 km 6 65
Harjoituskokeiden ratkaisut Polkua pitkin (metsän poikki, samalla nopeudella) aikaa kuluu t v s,6...km km 6 0,76...km,6...min min Vastaus: a), km b) min 8. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on 670 km. Merkitään satelliitin etäisyyttä maanpinnasta kirjaimella, ja etäisyyttä maan keskipisteestä kirjaimella y. satelliitti 86 Maapallo näkyy 86 kulmassa (tangenttikulma). Merkitään tangenttikulman puolikasta α. 86 4 y 670 km 670 km Ratkaistaan etäisyys y muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. sin 4 670 y y y sin 4 670 : sin 4 670 y sin 4 y 940,19... km 670 α y 66
Harjoituskokeiden ratkaisut Satelliitin etäisyys maanpinnasta on y 670 km 940,19... km 670 km 970,19... km 970 km b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella b. Ratkaistaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma. Koska kolmion kulmien summa on 180, saadaan ytälö 4 90 180 180 1 47 satelliitti 4 b 670 km Kaaren b pituus on siis b 47 670 60 55,4...km 50 km km Vastaus: a) 970 km b) 50 km 67
Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kolmio on suorakulmainen, joten sin0 6,5 cm 6,5 cm sin0,5 cm, cm b) Sisäkkäin olevat kolmiot ovat ydenmuotoisia (kk-lause): yksi yteinen kulma ja samankotaiset kulmat, jotka ovat kuvaan merkittynä, ovat ytä suuret. Ydenmuotoisuuden nojalla saadaan siis vastinsivujen suteena 5,0 10,0,0 7,0 10,0 7,0 5 5 11,66... 1 cm Vastaus: a), cm b) 1 cm 68
Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Koska mittakaava on 1:50000, on kartalla,8 cm pituus luonnossa 50000,8 cm 14000 cm 1,4 km b) Suon pinta-ala kartalla on 1,0 cm. Olkoon suon ala luonnossa. Koska ydenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, saadaan 1,0 1,0 1 50000 1 50000 500000000 cm la on siis luonnossa 500000000 cm = 5 a.. Hamotellaan tilannekuva. torni ikkuna 6, 1, 8,0 m y Merkitään tornin etäisyyttä ikkunasta kirjaimella y ja tornin korkeutta ikkunan tasosta yläreunaan kirjaimella. 69
Harjoituskokeiden ratkaisut Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan tan1, 8,0 y y 8,0 tan1, 7,96... tan6, 7,96... 7,96... tan6, 18,744... Tornin korkeus on siis 8,0 m 18,744... m 8,0 m 6,944... m 6,9 m Vastaus: 6,9 m 70
Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Hamotellaan tilannekuva. Tuulilasin pyykimen leveys on 50 mm 100 mm = 50 mmm. 50 mm 100 mm Tummennettu ala on yden pyykijän pudistama ala. 15 iso sektori 15 60 5cm 16,6... cm pieni sektori 15 60 10cm 109,08... cm Kysytty ala on tällöin iso sektori pieni sektori 16,6...cm 17,184...cm 1dm 109,08...cm Vastaus: 1 dm 71
Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Maapallon säde on 670 km. Merkitään kysyttyä satelliitin korkeutta kirjaimella. Helsingin ja Lontoon etäisyys 1900 km, on kuvaan merkitty kaaren pituus. 670 km α Tätä kaaren pitutta vastaa ympyrän keskuskulma. 1900 km Keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannollisia suureita. Koska 60 astetta vastaa koko ympyrän keän pituus, niin verrannolla saadaan 1900 60 670 1740 684000 17,089... Kuvaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos17,089... 670 670 670 670 cos17,089... 670 cos17,089... 94,5... 90 670 Satelliitin on oltava 90 km korkeudessa. Vastaus 90 km 7
Harjoituskokeiden ratkaisut 100 cm 6. Puolipallon alkaisija on 100 cm, joten säde r 50 cm. Puolipallon tilavuus on V 1 4 50cm 61,79...dm Jos virtausnopeus on l 0,5 s dm 0,5 s, padan täyttymiseen kuluu 61,79...dm dm 0,5 s 747,99...s 1,5 min 1 min 8 s Vastaus: 1,5 min 7. Hamotellaan tilannekuva. Teltta on neliöpojainen pyramidi, jonka pojan sivun pituus on, m ja sivusärman pituus,7 m. Pyramidin sivutako on siis tasakylkinen kolmio, jonka korkeus olkoon. Merkitään pyramidin eli teltan korkeutta kirjaimella.,7 m, m 1,6 m 7
Harjoituskokeiden ratkaisut Pyramidin sivutakoon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6,7 4,7 4,7,174... Koska >0, niin =,174 m. Pyramidin sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6 1,6,174...,17,17 1,47... Koska >0, niin = 1,47 m Pyramidin (teltan) tilavuus on V poja, m 1,47...m 5,08...m 5,0 m Vastaus: 5,0 m 74
Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kartan mittakaava on 1 : 50000. Lenkin pituus kartalla oli 8 cm. Merkitään lenkin pituutta luonnossa kirjaimella. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Pituus kartalla (cm) Pituus luonnossa (cm) 1 50 000 8 Ydenmuotoisuuden perusteella pituudet ovat suoraan verrannollisia (vastinosien sude on sama kuin mittakaava) eli 1 8 50000 8 50000 1400000 =1 400 000 cm = 14 000 m = 14 km b) Hiitonopeus oli v km 5,0, joten aika t v s 14 km 5km/,8 48 min Vastaus: a) 14 km b) 48 min 75
Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Korkeusjana puolittaa kannan. 6,0 m Kanna puolikas on,0 m. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 5,0 m 5,0 m 6,0 m 5 5 16 4 Koska >0, niin = 4 m Kolmion ala on 6,0 m 4,0 m 1,0 m. b) Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan laskea korkeus. sin 5 6,4 6,4 6,4 sin 5 5,04... 6,4 cm 5 1, cm 16,7 cm 76
Harjoituskokeiden ratkaisut Puolisuunnikkaan ala on 16,7 cm 1,cm 5,04...cm 7,17...cm 7 cm Vastaus: a) 1 m b) 7 cm. Ympyrän muotoisen piirakan alkaisija on,8 cm, joten säde,8 cm r 11,4 cm. a) Piirakan ala on r 11,4 cm 408,8...cm 408cm b) Palan keskuskulma on 15, joten palan pinta-ala (sektorin ala) on 15 1 11,4cm 17,011... cm. 60 Taikinareunan leveys on 1,8 cm, joten marjaosan säde r = 11,4 cm 1,8 cm = 9,6 cm. Marjaosan pinta-ala on siis 15 9,6cm 1,06... cm. 60 77
Harjoituskokeiden ratkaisut Marjaosan osuus prosentteina koko palan alasta on 1 1,06... 17,011... 0,709... 71% Vastaus: a) 408 cm b) 71% 4. a) Hamotellaan tilannekuva. Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 55 tan 55 7,0 7,0 tan 55 9,997... 10 (m) 7,0 7,0 m 78
Harjoituskokeiden ratkaisut b) Suorakulmion sivujen pituuksien sude on 1 :. Merkitään lyyempää sivua kirjaimella. Pidempi sivu on tällöin. Koska suorakulmion piiri on 5 cm, saadaan ytälö 8 5 5 5 8 : 8,15 Lyyempi sivu on siis =,15 cm,1 cm, joten pidempi sivu on,15cm 9,75cm 9,4 cm. Vastaus: a) 10 m b),1 cm ja 9,4 cm 79
Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Merkitään kolmion ypotenuusaa kirjaimella y ja pidempää kateettia kirjaimella. Lyyempi kateetti on tällöin 6,5 cm. 6,5 cm y Koska kolmion pinta-ala on 55,8 cm, niin saadaan 6,5 55,8 6,5 111,6 6,5 111,6 0 6,5 6,5 4 1 111,6 1 6,5 488,65 14,0... tai 10,79... Koska sivunpituus > 0, niin = 14,0 cm 14 cm. Toinen kateetti on tällöin 6,5 cm = 14,0 cm 6,5 cm =7,80 cm 7,8 cm. 80
Harjoituskokeiden ratkaisut Hypotenuusa saadaan Pytagoraan lauseella y 14,0... 7,80... y 14,0... 7,80... y y 65,45 16,9... Koska y >0, niin y = 16,9 cm 16 cm. Vastaus: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja ypotenuusa 16 cm. 6. Piirretään mallikuva. Maapallon säde on 670 km. Lentäjä näkee lentokoneesta kaaren b. Lasketaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 10,5 km cos 670 670 10,5 670 cos 680,5,87... 81
Harjoituskokeiden ratkaisut Kaaren b pituus on,87... b 670 km 10,57... km. 60 Kaaren pituuden sude koko maapallon keään on 10,57...km 670 km 0,0091... 0,91% Vastaus: 0,91 % 7. Piirretään mallikuva. Lauran pituus on 160 cm = 1,6 m. Merkitään kysyttyä etäisyyttä puun juurelta lintutornille kirjaimella. C E Laura 160 cm B 1,9 m D 5,5 m 8,0 m Kolmiot BC ja DE ydenmuotoiset (kk-lause), koska kummassakin suora kulma ja kulma on yteinen. 8
Harjoituskokeiden ratkaisut Ydenmuotoisissa kuvioissa vastinosat ovat verrannolliset, joten 1,9 1,6 5,5 1,6 1,,9 1, 8 467,4 1, 1, 8 8 8 8 8,9 908, 440,8 5,87... Etäisyys = 5,87 m 5,8 m. Vastaus: 5,8 m 8. Merkitään pyramidin pojaneliön sivua kirjaimella. Pyramidin korkeus = 4,5 cm. Merkitään sivutakon (kolmion) korkeutta kirjaimella y y 8
Harjoituskokeiden ratkaisut a) Lasketaan pojaneliön sivun pituus. Lävistäjä on,0 cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0 4,0 :,0 cm,0,0 1,414... Koska >0, niin = 1,414 cm. Tilavuus on V 1 1 1 1,414...cm 4,5cm cm a) Pojan pinta-ala 1,414... cm,0 cm. poja Pyramidin sivutakot (4kpl) ovat tasakylkisiä kolmioita. y 84
Harjoituskokeiden ratkaisut Lasketaan sivutakokolmion korkeus y kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Pytagoraan lauseella saadaan y y 4,5 0,75 y 4,55... Koska y >0, niin y = 4,55 cm. 1,414... y Yden sivutakokolmion ala 1,414...cm 4,55...cm,1...cm. y Kartion kokonaispinta-ala koko poja cm 14,884...cm 15cm 4 4,1...cm Vastaus: a),0 cm b) 15 cm 85
Harjoituskokeiden ratkaisut 9. Koska lieriön poikkileikkaus (pystysuunnassa) on neliö, ovat pojan alkaisija ja lieriön korkeus ytä suuret. Merkitään pojan alkaisijaa ja korkeutta r, joten lieriön pojaympyrän säde on r. Lieriön tilavuus on 57,0 l = 57,0 dm, joten saadaan r r r r p r r r r V 57 57 57 : 57 57,085... Pojan säde on r =,085 dm =0,85 dm 0,9 dm. Korkeus on siis r,085...dm 4,171...dm 41,71...cm 41,7 cm Vastaus: pojan säde 0,9 cm, korkeus 41,7 cm 86