JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. Päättelysääntö Modus ponens: "JosAon tosi jaa B on tosi, niinb on tosi" 1 / 15
Tautologia((A B) (B C)) (A C) antaa päättelysäännön: 2 / 15
Tautologia((A B) (B C)) (A C) antaa päättelysäännön: (=KS): JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi. 2 / 15
: Lähdetään annetuista oletuksistaa 1,A 2,...,A n. Päätellään uusia tosia lauseita käyttäen päättelysääntöjä. Lauseita joita voidaan olettaa tosiksi tulee näin koko ajan lisää. Jatketaan kunnes haluttu johtopäätösb on saatu osoitettua todeksi/epätodeksi. 3 / 15
{A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. 4 / 15
{A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. : : {A,A B} B ((A B) (B C)) A C. 4 / 15
{A 1,A 2...,A n } B Olettamalla lauseeta i tosiksi voidaan päätellä että lauseb on tosi. Merkinnän{A} B sijasta merkitääna B. : : {A,A B} B ((A B) (B C)) A C. 2.12 Osoita, että{a (B C),(B C) B,A} B. Ratk.... 4 / 15
Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. 5 / 15
Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. 5 / 15
Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella. Tulos on edelleen tautologia. 5 / 15
Jos lauseaon tautologia, niin se on aina tosi se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista. Merkitään: A. Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa käyttöönsä tautologian. Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella. Tulos on edelleen tautologia.. Lause(A B) (A B) on tautologia. [(C D) B] [((C D) ) B] on tautologia. 5 / 15
Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. 6 / 15
Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: 6 / 15
Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: A B täsmälleen silloin kun A B. Tod.... 6 / 15
Lause 2.1. A B täsmälleen silloin kun A B on tautologia. Toisin: A B täsmälleen silloin kun A B. Tod.... Seuraus. {A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun (A 1 A 2 A n ) B. Tod.... 6 / 15
: LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) 7 / 15
: LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. 7 / 15
: LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata toisillaan. Erityisesti, jos lauseb C on tautologia, niin silloina 1 A 2. Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä josb C on aina tosi, niinb:n jac:n totuusarvot ovat aina samat. 7 / 15
: LauseessaA 1 esiintyy osana lauseb. LauseA 2 saadaan lauseestaa 1 sijoittamalla lauseenb paikalle lausec (ei välttämättä joka paikkaan) Silloin {A 1,B C} A 2. Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata toisillaan. Erityisesti, jos lauseb C on tautologia, niin silloina 1 A 2. Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä josb C on aina tosi, niinb:n jac:n totuusarvot ovat aina samat. 2.13. Osoita, että{a,b C,(A B) (D C ),B} D. Ratk.... 7 / 15
Luonnolliset päättelysäännöt: ja Kumpikin riittää yksinäänkin. in korvaaminen Ketjusäännöllä: {A,A B} B voidaan muuntaa tautologioilla A [(A A ) A] ja[(a A ) B] B ä käyttäväksi päättelyksi {(A A ) A,A B} (A A ) B. 8 / 15
illa illa: otetaan käyttöön tautologiana [(A B) (B C)] (A C). Tällöin päättely{a B,B C} A C voidaan muuntaa Modus Ponens päättelyksi: {(A B) (B C),[(A B) (B C)] (A C)} A C. 9 / 15
2.14. Osoita, että{a B,A C,C D} B D käyttäen päättelysääntönä ä. Ratk.... 10 / 15
Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi 11 / 15
Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. 11 / 15
Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. P Q: Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan Q : Minua ei rangaista Tosi Tosi 11 / 15
Nimi Sääntö Vastaava tautologia Modus Tollens {P Q,Q } P [(P Q) Q ] P Konjunktio {P,Q} P Q (P Q) (P Q) Yksinkertaistus P Q P,Q [(P Q) P] [(P Q) Q] Additio P P Q P (P Q) Disjunktiivinen {P Q,P } Q [(P Q) P ] Q syllogismi Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin: P : Tein jotain väärää. Q: Minua rangaistaan. P Q: Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan Q : Minua ei rangaista Tosi Tosi SiisP : En tehnyt mitään väärää on tosi. 11 / 15
Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 12 / 15
Johdanto Usein päättelyn{a 1,A 2,...,A n } B oikeeellisuuden sijasta mielenkiinnon kohteena on päättelyn tehokkuus ja nopeus. Tekoälypohjaisset asiantuntijajärjestelmät: Päättelyn tehokkuus on ratkaiseva tekijä järjestelmän käytettävyydelle. Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 13 / 15
Oletukseksi siirto Lause 2.2.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b} C Tod.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 14 / 15
Oletukseksi siirto Lause 2.2.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b} C Tod.... 2.16. Osoita, että{a B,A C} A (B C). Ratk.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 14 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 15 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Tarvitaan seuraava tulos: Lause 2.3.{A 1,A 2,...,A n } B C jos ja vain jos {A 1,A 2,...,A n,c } B. Tod.... Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö 15 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö Johdanto Oletukseksi siirto Epäsuoran todistuksen sääntö Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseistab jac voidaan päätellä looginen ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätelläb C." Tarvitaan seuraava tulos: Lause 2.3.{A 1,A 2,...,A n } B C jos ja vain jos {A 1,A 2,...,A n,c } B. Tod.... Seurauksena saadaan edellä kuvattu sääntö: Lause 2.4.{A 1,A 2,...,A n } B C täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b,c } 0, (0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita). Tod.... 15 / 15