Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1
1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella vaihtovirtaa! vaihtojännitteen suunta muuttuu jatkuvasti jaksollinen vaihtojännite vaihtelee positiivisen ja negatiivisen maksimiarvon välillä 5 5 u t Vaihtosähkö peruskäsitteitä 2
Vaihtojännitteen määritelmä: Vaihtojännitteen käyrän ja aika-akselin rajoittamat pinta-alat ovat yhtäsuuria aika-akselin ylä- ja alapuolella A 1 = A 2 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 3
Yleisin vaihtojännitteen aaltomuoto on sini Muita vaihtojännitteen aaltomuotoja ovat esim. kanttiaalto eli sakara-aalto ja kolmioaalto ei sahalaitaaalto siniaalto kanttiaalto kolmioaalto Vaihtosähkö peruskäsitteitä 4
Hetkellisarvo on vaihtojännitteen arvo ko. ajanhetkellä. Hetkellisarvoja merkitään pienillä kirjaimilla. jännitteen hetkellisarvo u tai u(t) virran hetkellisarvo i tai i(t) Suurinta hetkellisarvoa kutsutaan huippuarvoksi eli amplitudiksi huippuarvoa merkitään yleensä seuraavasti: u i jännitteen huippuarvo virran huippuarvo Vaihtosähkö peruskäsitteitä 5
Pienintä hetkellisarvoa kutsutaan negatiiviseksi huippuarvoksi ( tai pohja-arvoksi ). Positiivisen ja negatiivisen huippuarvon erotus on nimeltään huipusta-huippuun-arvo eli kokonaisvaihtelun arvo (engl. peak to peak-value) Vaihtosähkö peruskäsitteitä 6
jakson aikaa merkitään T:llä (engl. period) jakson ajan käänteisluku on taajuus f (engl. frequency) f 1 T f = 1/s = Hz (hertsi) Tässä opintojaksossa tarkastellaan vain jaksollisia signaaleja Vaihtosähkö peruskäsitteitä 7
esim. Määritä amplitudi, huipusta huippuun-arvo, jakson aika ja taajuus u / V 15 10 5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 t / ms Vaihtosähkö peruskäsitteitä 8
Jännitteen keskimääräistä arvoa kutsutaan aritmeettiseksi keskiarvoksi Vaihtojännitteen keskiarvo on aina nolla käyrämuodosta riippumatta. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 9
Verkkojännitteestä voidaan tehdä pienempää tasajännitettä seuraavasti: 1) Pienennetään jännite sopivan suuruiseksi muuntajalla 2) Tasasuunnataan jännite diodien avulla. Kokoaaltotasasuunnatun jännitteen muodostamiseen tarvitaan 4 diodia (puolijohdekomponentti). 3) Suodatetaan jännite tasaisemmaksi kondensaattorin (ks. Kpl 2.1) avulla Vaihtosähkö peruskäsitteitä 10
Vaihtojännitteen suuruus annetaan useimmiten tehollisarvona (U, U eff tai U rms ) Kun vaihtojännite aiheuttaa vastuksessa yhtäsuuren tehon, kun tasajännite U dc, vaihtojännitteen tehollisarvo U = U dc tehollisarvo voidaan laskea aaltomuodosta riippumatta kaavalla U 1 T T 0 ut 2 dt Vaihtosähkö peruskäsitteitä 11
sinimuotoisen vaihtojännitteen tehollisarvo U ^ u 2 Yleismittarit on tehty siten, että ne näyttävät jännitteen (ja virran) tehollisarvoa ainakin sinimuotoisella vaihtosähköllä. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 12
Kanttiaallon tehollisarvo on huippuarvon suuruinen Kolmioaallon tehollisarvo voidaan laskea U ^ u 3 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 13
Vaihtojännitteen (ja -virran) mittaaminen: Mittari kytketään AC-asentoon Mittarilla on jokin ala- ja ylärajataajuus, eli mittari näyttää oikein vain tietyllä taajuusalueella Tavallisen yleismittarin toiminta perustuu tasasuunnattuun keskiarvoon. Asteikko on laadittu siten, että mittari näyttää tehollisarvoa sinimuotoista vaihtosähköä mitattaessa. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 14
Mitattaessa muuta kuin sinimuotoista vaihtosähköä, tavallinen yleismittari ei näytä tehollisarvoa aivan oikein. Virhe ei ole yleensä kovin suuri. Muuta vaihtosähköä kuin sinimuotoista mitattaessa kannattaa käyttää true RMS-mittaria. Tämä näyttää vaihtosähkön tehollisarvon oikein aaltomuodosta riippumatta. Muuta vaihtosähköä kuin sinimuotoista mitattaessa on siis tiedettävä, onko mittari true RMS-periaatteella toimiva vai perustuuko mittaus tasasuunnattuun keskiarvoon. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 15
Sekajännite Sekajännite on vaihtojännitettä, joka sisältää tasakomponentin Tasakomponenttia kutsutaan myös offsetiksi tai keskiarvoksi u / V 20 15 10 5 0 Kuvan jännitteen tasakomponentti on 5 V vaihtokomponentin amplitudi on 10 V 5 10 0 1 2 3 4 5 t / ms Sekajännite 16
Sekajännitteen tehollisarvo voidaan laskea kaavalla: U U U 2 2 tasa vaihto jossa U tasa = tasakomponentti U vaihto = vaihtokomponentin tehollisarvo Sekajännite 17
Sekajännitteen mittaaminen yleismittarilla: 1) Mitataan tasakomponentti DC-asennossa 2) Mitataan vaihtokomponentti AC-asennossa 3) Lasketaan tehollisarvo em. kaavalla Sekajännitteen tasa- ja vaihtokomponentit on mitattava erikseen myös true RMS-mittareita käytettäessä On olemassa myös AC-DC-kytkettyjä true RMSmittareita, jotka näyttävät suoraan sekajännitteen tehollisarvon. Nämä mittarit ovat tosin melko harvinaisia. Sekajännite 18
Sinimuotoinen vaihtojännite (tai -virta) u / V / (tai rad) ut () usin Sinimuotoinen vaihtosähkö 19
u Vaaka-akselilla on useimmiten aika t ut () usin ut () usint 2 T = kulmanopeus = rad/s T = jakson aika f = taajuus 2f Sinimuotoinen vaihtosähkö 20
Aikaero ja vaihe-ero u t ut () usin( t) on aikaeroa t vastaava vaihe-ero t T 3600 tai t T 2 Sinimuotoinen vaihtosähkö 21
u t ut () usin( t) t T 3600 tai t T 2 Sinimuotoinen vaihtosähkö 22
esim. verkkojännite vaiheen ja maan välillä 400 300 325sin( 250t) 200 100 0 100 200 300 u 325 V U = 230 V T = 20 ms 400 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 t f = 50 Hz u( t) 325V sin(100t) Sinimuotoinen vaihtosähkö 23
2. PASSIIVISET KOMPONENTIT Vastuksen lisäksi passiivisia komponentteja ovat: kondensaattori kela eli käämi Vaihtosähkö peruskäsitteitä 24
2.1. Kondensaattori Kondensaattori on komponentti, jolla on kyky varastoida energiaa sähkökenttään. Tätä ominaisuutta kuvaa suure kapasitanssi C C Q U jossa Q = sähkövaraus U = jännite [C] = F (Faradi) [Q] = C (Coulombi Vaihtosähkö peruskäsitteitä 25
kondensaattorin piirrosmerkki Kondensaattorin virran ja jännitteeen välinen riippuvaisuus: i c i C C du dt C C u c u C 1 C idt C Vaihtosähkö peruskäsitteitä 26
Kondensaattorien sarjakytkentä C 1 C 2 C 3 U Kondensaattorien sarjakytkennässä jokaisen kondensaatorin varaus on sama. Kokonaiskapasitanssi lasketaan kuten vastusten rinnankytkentä. U C T 1 1 1 1 C C C C T 1 2 3 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 27
Kondensaattorien rinnankytkentä U C 2 C 1 C 3 Kondensaattorien rinnankytkennässä jokaisen kondensaatorin jännite on sama. Kokonaiskapasitanssi lasketaan kuten vastusten sarjakytkentä. C T U C T = C 1 + C 2 + C 3 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 28
Kondensaattori tasasähköpiirissä Jatkuvassa tilassa kondensaattori on katkos virtapiirissä Kondensaattori on varautunut kytkennän määräämään jännitteeseen Kondensaattorin varaus on Q = C U Kondensaattorin sähkökenttään on varastoitunut energiaa Vaihtosähkö peruskäsitteitä 29
2.2. Kela Kela on komponentti, jolla on kyky varastoida energiaa magneettikenttään. Tätä ominaisuutta kuvaa suure induktanssi L L N 2 l A jossa N = kierrosluku = sydänmateriaalin permeabiliteetti A = sydämen poikkipinta l = kelan pituus [L] = H (Henry) Vaihtosähkö peruskäsitteitä 30
kelan piirrosmerkki Kelan virran ja jännitteeen välinen riippuvaisuus: i L u L L di dt L u L i L 1 L u L dt Vaihtosähkö peruskäsitteitä 31
Kelojen sarjakytkentä L 1 L 2 L 3 Kelojen sarjakytkennässä kokonaisinduktanssi lasketaan kuten vastusten sarjakytkennässä. L T L T = L 1 + L 2 + L 3 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 32
Kelojen rinnankytkentä L 1 L 2 L 3 Kelojen rinnankytkentä lasketaan samanlaisesti kuin vastusten rinnankytkentä. L T 1 1 1 1 L L L L T 1 2 3 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 33
Kela tasasähköpiirissä Jatkuvassa tilassa kela on oikosulku virtapiirissä Kelan läpi kulkee kytkennän määräämä virta Kelan magneettikenttään on varastoitunut energiaa Vaihtosähkö peruskäsitteitä 34
3. PASSIIVISET KOMPONENTIT VAIHTOSÄHKÖPIIRISSÄ 3.1. Vaihtosuureiden positiivisen suunnan valinta Vaihtosuureet kuten jännite, virta jne. vaihtelevat positiivisen ja negatiivisen huippuarvon välillä. Jatkossa oletetaan, että vaihtosähköstä puhuttaessa kyseessä on sinimuotoinen vaihtosähkö. Jos aaltomuoto on muuta kuin siniä, se mainitaan erikseen. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 35
Vaihtosuureille on laskennallista ja matemaattista käsittelyä varten valittava positiiviset suunnat. Ne valitaan piirtämällä virtapiiripiirroksiin suuntanuolet. Vaihtoehtoinen tapa on on käyttää + ja - merkkejä. Suuntanuolien suunta on plussasta miinukseen. i R u R u R Suuntien merkitseminen virtapiiripiirroksiin on välttämätöntä, jotta yhtälöistä ja osoitinpiirroksista tulisi yksikäsitteisiä. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 36
3.2. Vastus vaihtosähköpiirissä i R u u R Jännitelähteen syöttämä sinimuotoisen jännitteen hetkellisarvo on: uu sin t Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 37
Virran hetkellisarvo on tällöin Ohmin lain mukaan: i R u,i ^ u u u ^ R sint ir sint R R R ) t u R i R Vastukseen vaikuttavat jännite ja virta ovat samanvaiheiset eli niiden välinen vaihesiirtokulma on 0. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 38
Jännitteen ja virran huippuarvojen välillä vallitsee yhtälö ^ ^ u i R Jaetaan yhtälön molemmat puolet sinimuotoisen suureen huippukertoimella (2): ^ ^ i u 2 2R I U R Ohmin laki pätee myös jännitteen ja virran tehollisarvojen välillä. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 39
3.3. Kela vaihtovirtapiirissä i L L u L Oletetaan kela ideaaliseksi, jolloin sen resistanssi on nolla ja siinä ei synny virtalämpöhäviöitä. Kun sinimuotoinen jännite vaikuttaa käämiin, virta on i i sint L ^ L Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 40
Kelan jännite u L L di dt L u L d dt ( i sin t) Li cost L L L u Li sin t90 u sin( t90) L L L Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 41
u,i u L i L KELAAN VAIKUTTAVA JÄNNITE ON 90 EDELLÄ VIRTAA. Vaihesiirtokulma katsotaan virtaosoittimesta jänniteosoittimeen, joten = +90. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 42
Jännitteen huippuarvoon pätee edellä esitetyn mukaan yhtälö ^ u L Li ^ L Jaetaan yhtälö 2:lla, jolloin saadaan tehollisarvoille yhtälö ^ ^ u L i L L 2 2 U L = LI L = X L I L Yhtälöissä esiintyvä suure L on Ohmin lain mukaan käämin vaihtovirran kulkua vastustava ominaisuus. Sitä kutsutaan INDUKTIIVISEKSI REAKTANSSIKSI X L. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 43
X L = L = 2fL Yksiköksi saadaan: [ X ] [ ] Vs V [ L] 1 L s A A Eli sama yksikkö kuin resistanssilla Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 44
3.4. Kondensaattori vaihtosähköpiirissä Oletus:Kondensaattori on ideaalinen eli sen eristysresistanssi on ääretön. i C C u C Kondensaattoriin, jonka kapasitanssi on C, vaikuttaa sinimuotoinen jännite u u sint C c Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 45
Kondensaattorin varauksen hetkellisarvo on q = Cu, joten sähkövarauksen yhtälö on: q Cusint qsint Jännite ja sähkövaraus vaihtelevat samanaikaisesti eli ne ovat samanvaiheisia. Koska varaus vaihtelee näin, kondensaattori vuoroin varautuu ja vuoroin purkautuu jännitteen vaihtelun mukaan. Virtapiirissä kulkee vaihtovirta. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 46
Kondensaattorin virta: i C C du dt C C du ( t Csin ) dt i Cu cost C C i Cu sin( t90) C C Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 47
u C, i C t u C i C KONDENSAATTORIN JÄNNITTEEN VAIHDELLESSA SINIMUOTOISESTI, VIRTAPIIRIIN SYNTYY SINIMUOTOINEN VIRTA, JOKA ON 90 EDELLÄ JÄNNITETTÄ. Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 48
Virran huippuarvo on: i C Cu C Jaetaan edellinen yhtälö 2:lla. Jännitteen ja virran tehollisarvojen väliseksi yhteydeksi saadaan: ^ ^ i C u C C 2 2 I C CU C U C 1 C Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 49
1 C on kondensaattorin vaihtovirran kulkua vastustava ominaisuus. Suuretta kutsutaan kapasitiiviseksi reaktanssiksi X c. X C Yksiköksi saadaan: 1 1 C 2fC 1 1 1 V C 1 s F 1 As A s V X C Eli sama yksikkö kuin resistanssilla Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 50
3.6. Impedanssi Vaihtosähköpiireissä ohmin laki voidaan kirjoittaa muotoon Z U I Impedanssi voidaan laskea myös itseisarvoilla Z U I Impedanssin yksiköksi tulee: Z U I V A Passiiviset komponentit vaihtosähköpiirissä 51
impedanssi kuvaa komponentin, kytkennän, laitteen tms. ominaisuutta vastustaa sähkövirran kulkua. Resistanssia ja reaktanssia ei saa laskea aritmeettisesti yhteen. Systemaattisia impedanssilaskuja varten tarvittaisiin kompleksilukulaskentaa. Sitä ei kuitenkaan käsitellä tämän kurssin puitteissa. Seuraavat esimerkit voidaan laskea yksinkertaisemmin. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 52
Vastus ja kela sarjassa vaihtosähköpiirissä U R I R U L U L Vastuksen virta ja jännite ovat samanvaiheiset => resistanssin vaihekulma on 0 R = R = R0 Kelan virta on 90 jäljessä jännitettä => induktiivisen reaktanssin vaihekulma on 90 X L = jx L = X L 90 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 53
6 U L U 0 I U R 6 0 2 kytkennän virta ja jännitteet Vaihtosähkö peruskäsitteitä 54
esim. Laske virta ja komponenttien jännitteet taajuudella 2 khz. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 55
Vastus ja kondensaattori sarjassa vaihtosähköpiirissä U R I R U C U C Vastuksen virta ja jännite ovat samanvaiheiset => resistanssin vaihekulma on 0 R= R = R0 Kondensaattorin virta on 90 edellä jännitettä => kapasitiivisen reaktanssin vaihekulma on - 90 X C = - jx C = X C -90 Vaihtosähkö peruskäsitteitä 56
6 0 I U R U C U kytkennän virta ja jännitteet Vaihtosähkö peruskäsitteitä 57
esim. Laske virta ja komponenttien jännitteet taajuudella 5 khz. Vaihtosähkö peruskäsitteitä 58