802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos : V V R LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. LINEAARIALGEBRA 2 / 64
Sisätuloavaruus Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. LINEAARIALGEBRA 3 / 64
Sisätuloavaruus Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. LINEAARIALGEBRA 3 / 64
Sisätuloavaruus Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli αv + βu w = α v w + β u w ; (1) ja v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. LINEAARIALGEBRA 4 / 64
Sisätuloavaruus Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. LINEAARIALGEBRA 4 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 1 Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla n x y = x i y i. (4) i=1 Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan x y = n x i y i = i=1 n y i x i = y x. i=1 LINEAARIALGEBRA 5 / 64
Sisätuloavaruus Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. LINEAARIALGEBRA 6 / 64
Sisätuloavaruus Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = n n (λx i )y i = λ x i y i = i=1 i=1 λ x y. LINEAARIALGEBRA 6 / 64
Sisätuloavaruus Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. LINEAARIALGEBRA 7 / 64
Sisätuloavaruus Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. LINEAARIALGEBRA 7 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 8 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 aina, kun v, w, u V ja λ C. (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 8 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 2 Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla n z w = z i w i. (8) i=1 LINEAARIALGEBRA 9 / 64
Sisätuloavaruus Lemma 2 0 v = v 0 = 0 v V ; (9) v v = 0 v = 0; (10) ja v v 0 v V. (11) LINEAARIALGEBRA 10 / 64
Sisätuloavaruus Todistetaan aluksi tapaus (9): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (12) Otetaan tuloksesta (12) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (13) v 0 = 0 v = 0 v V. (14) LINEAARIALGEBRA 11 / 64
Sisätuloavaruus Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) LINEAARIALGEBRA 12 / 64
Sisätuloavaruus Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) LINEAARIALGEBRA 12 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 3 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) LINEAARIALGEBRA 13 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 3 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (18) ei ole sisätulo. LINEAARIALGEBRA 13 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 4 Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f (t)g(t)dt (19) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. LINEAARIALGEBRA 14 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. LINEAARIALGEBRA 15 / 64
Sisätuloavaruus Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f (t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten f f = b a f (t) 2 dt > 0. (20) LINEAARIALGEBRA 15 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 5 Vektoriavaruuteen C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla f g = kaikilla f, g C([a, b], C). b a f (t)g(t)dt (21) LINEAARIALGEBRA 16 / 64
Sisätuloavaruus Esimerkki 6 Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f (x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta f f = b a f 2 (t)dt = 0. LINEAARIALGEBRA 17 / 64
Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus on normi, jos : V R 0 LINEAARIALGEBRA 18 / 64
Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; LINEAARIALGEBRA 18 / 64
Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; LINEAARIALGEBRA 18 / 64
Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; LINEAARIALGEBRA 18 / 64
Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). LINEAARIALGEBRA 18 / 64
Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. LINEAARIALGEBRA 19 / 64
Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. LINEAARIALGEBRA 19 / 64
Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) LINEAARIALGEBRA 20 / 64
Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 64
Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 64
Normiavaruus Todistus. Koska v v 0 v V, (23) niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja v = v v 0 v V. (24) Siten saadaan kuvaus : V R 0, joka todistaa myös normin määritelmän kohdan a. LINEAARIALGEBRA 21 / 64
Normiavaruus Kohta b: Tuloksen (10) nojalla v v = 0 v = 0, (25) joten v = v v = 0 v = 0. (26) LINEAARIALGEBRA 22 / 64
Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 64
Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 64
Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. LINEAARIALGEBRA 24 / 64
Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. Lause 2 Kuvaukselle (22) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö v w v w (27) kaikilla v, w V. Todistus. Kirjoitetaan z := w 2 v (v w)w. LINEAARIALGEBRA 24 / 64
Normiavaruus Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) LINEAARIALGEBRA 25 / 64
Normiavaruus Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (27). LINEAARIALGEBRA 25 / 64
Normiavaruus Kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + 2v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 26 / 64
Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (29) LINEAARIALGEBRA 27 / 64
Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (29) Nyt v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 27 / 64
Normiavaruus Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3 Sisätulonormille pätee v w v + w v + w (30) LINEAARIALGEBRA 28 / 64
Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). LINEAARIALGEBRA 29 / 64
Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) LINEAARIALGEBRA 29 / 64
Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö x y x y. (33) LINEAARIALGEBRA 29 / 64
Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 30 / 64
Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9 Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (35) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 30 / 64
Normiavaruus Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) LINEAARIALGEBRA 31 / 64
Normiavaruus Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (37) Lauseke v w antaa vektoreiden v ja w välisen etäisyyden. LINEAARIALGEBRA 31 / 64
Normiavaruus Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w = v 2 + w 2 2 cos α v w. LINEAARIALGEBRA 32 / 64
Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. LINEAARIALGEBRA 33 / 64
Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. LINEAARIALGEBRA 33 / 64
Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. LINEAARIALGEBRA 33 / 64
Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; LINEAARIALGEBRA 34 / 64
Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. LINEAARIALGEBRA 34 / 64
Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. LINEAARIALGEBRA 34 / 64
Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. LINEAARIALGEBRA 35 / 64
Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). LINEAARIALGEBRA 35 / 64
Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). Esimerkki 11 Joukko ortonormaali. E n := {e 1,..., e n } (38) LINEAARIALGEBRA 35 / 64
Ortogonaalisuus Esimerkki 12 Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = 1 1 1 1 f (t)g(t)dt. (39) tdt = 0, (40) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (41) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 36 / 64
Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. LINEAARIALGEBRA 37 / 64
Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. LINEAARIALGEBRA 37 / 64
Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. LINEAARIALGEBRA 38 / 64
Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. LINEAARIALGEBRA 38 / 64
Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S aäärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 38 / 64
Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. LINEAARIALGEBRA 39 / 64
Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 13 Avaruuden K n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 39 / 64
Ortogonaalisuus Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5 Olkoon v V, v 0. Tällöin Todistus. f := v/ v f = 1. (43) f 2 = f f = v v v v = 1 v 2 v v = 1 v 2 v 2 = 1. LINEAARIALGEBRA 40 / 64
Ortogonaalisuus Lause 4 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (44) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. LINEAARIALGEBRA 41 / 64
Ortogonaalisuus Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. v i v = λ 1 v i v 1 +... + λ i v i v i +... + λ n v i v n = λ i v i v i. josta saadaan väite (44). LINEAARIALGEBRA 42 / 64
Ortogonaalisuus Lause 5 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = n v v i v i w. (45) i=1 LINEAARIALGEBRA 43 / 64
Ortogonaalisuus Lause 6 Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v 1 +... + λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ 2 i. (46) i=1 i=1 2016: 1. välikoe tähän asti. LINEAARIALGEBRA 44 / 64
Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) LINEAARIALGEBRA 45 / 64
Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä: Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 LINEAARIALGEBRA 45 / 64
Gram-Schmidt Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i 0... 0 v l w i w i w i w i w i 0... 0 = 0. LINEAARIALGEBRA 46 / 64
Gram-Schmidt Lause 8 Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 47 / 64
Gram-Schmidt Esimerkki 14 Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta. Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) 5 1 + 1 1 (1, 1, 1, 1) 1 + 1 + 1 + 1 = (4, 2, 0, 2), LINEAARIALGEBRA 48 / 64
ja Gram-Schmidt w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v 3 12 6 + 0 6 16 + 4 + 0 + 4 w 2 3 + 3 + 1 + 3 4 = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 LINEAARIALGEBRA 49 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. LINEAARIALGEBRA 50 / 64
Hypertaso Lemma 6 Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (48) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (49) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: vastaavine koordinaattiesityksineen. n = n 1 e 1 +... + n k e k = (n 1,..., n k ), (50) x = x 1 e 1 +... + x k e k = (x 1,..., x k ) (51) LINEAARIALGEBRA 51 / 64
Hypertaso Todistus. Joukolle (48) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x 1 +... + n k x k = 0}, (52) missä ehdon n 0 nojalla ainkin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x 2 +... + n k x k ) (53) ja edelleen x = x 1 e 1 +...+x k e k = x 2 ( n 2 n 1 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k n 1 e 1 +e k ) := x 2 f 2 +...+x k f k. Niinpä (54) N = f 2,..., f k, (55) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. LINEAARIALGEBRA 52 / 64
Hypertaso Lemma 7 Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (56) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (57) LINEAARIALGEBRA 53 / 64
Hypertaso Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (58) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (34) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g 1 +... + β k 1 g k 1 + 0 g k. (59) Valitaan n = 0 g 1 +... + 0 g k 1 + 1 g k, jolloin n x = 0. (60) LINEAARIALGEBRA 54 / 64
Hypertaso Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Määritelmä 7 Olkoon V normiavaruus ja S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on inf t s. (61) s S Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuoraetäisyys. LINEAARIALGEBRA 55 / 64
Hypertaso Lemma 8 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (62) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (63) LINEAARIALGEBRA 56 / 64
Hypertaso Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja t = p + αˆn, niin 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (64) Siten α = t ˆn = t n n. (65) LINEAARIALGEBRA 57 / 64
Hypertaso Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (66) Lemma 9 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (67) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (68) LINEAARIALGEBRA 58 / 64
Hypertaso Esimerkki 15 Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (69) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) = n1 2 + n2 2 + n2 3 n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (70) n1 2 + n2 2 + n2 3 LINEAARIALGEBRA 59 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. LINEAARIALGEBRA 60 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. LINEAARIALGEBRA 60 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti LINEAARIALGEBRA 60 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 LINEAARIALGEBRA 60 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 h A h A. LINEAARIALGEBRA 60 / 64
Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 61 / 64
Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Lemma 11 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) LINEAARIALGEBRA 61 / 64
Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Lemma 11 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) dim K A = n k. (72) LINEAARIALGEBRA 61 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 9 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 62 / 64
Ortogonaalikomplementti Määritelmä 9 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; h A. (73) LINEAARIALGEBRA 62 / 64
Ortogonaalikomplementti Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja A := {w 1,..., w j } V ortogonaalinen. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; h A. (74) LINEAARIALGEBRA 63 / 64
Ortogonaalikomplementti Tällöin Joten p = β 1 w 1 +... + β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. (75) 0 = h w l = (t p) w l t w l = p w l = (β 1 w 1 +... + β j w j ) w l = β l w l w l β l = t w l w l w l. (76) Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (77) LINEAARIALGEBRA 64 / 64