Matematiikka pelissä

Lehtinen, E., Lehtinen, H. & Brezovszky, B. (2014). Matematiikka pelissä. In L. Krokfors, M. Kangas, & Kopisto, K. (Ed), Oppiminen pelissä pelit ja pelilliset ympäristöt opetuksessa (38-55). Helsinki: Vastapaino. Matematiikka pelissä Erno Lehtinen, Henrik Lehtinen ja Boglarka Brezovszky Johdanto Tietotekniikan opetuskäytön alusta asti tietokonepelit ovat olleet sovelluksia, joista on toivottu apua opetukseen. Aivan viime vuosina pelillistämisestä ja pelien käytöstä opetuksessa on puhuttu aiempaa vilkkaammin. Suomalaisten pelintekijöiden menestys maailmalla on herättänyt sekä yrityselämän että poliitikot korostamaan tietokonepelin mahdollisuuksia opetuksen uudistajana. Myös uusimmat PISAtulokset ovat entisestään kiihdyttäneet keskustelua pedagogiikan uudistamisesta ja teknologian hyödyntämisestä. Erityisesti matematiikan heikentyneisiin oppimistuloksiin liittyy huolestuttava motivaation ja kiinnostuksen väheneminen (Kupari ym. 2013). Tämä on nostanut esiin toiveen siitä, että matematiikan kiinnostavuutta voitaisiin lisätä pelien avulla. Mutta mikä tekee peleistä kiinnostavia opetuksen ja oppimisen näkökulmasta? Yleensä tärkeimmäksi tekijäksi nostetaan oppilaiden motivointi. Pelien uskotaan houkuttelevan oppilaat intensiiviseen peliprosessiin, johon voidaan liittää opiskeltavan asian kannalta mielekkäitä harjoituksia. Opetusteknologian vaikuttavuudesta tehtyjen yhteenvetotutkimusten yleinen johtopäätös on ollut, että teknologian käyttö opetuksessa on niin monipuolista, ettei ole mahdollista selvittää opetusteknologian vaikutuksia yleisesti. Jos vaikuttavuutta halutaan tutkia, on se tehtävä paljon eriytyneemmin (Lehtinen 2010). Tämä sama johtopäätös voidaan tehdä myös pelien opetuskäyttöä arvioitaessa. Ei ole mielekästä pohtia opetuspelien vaikuttavuutta yleisellä tasolla, vaan on keskityttävä tarkastelemaan, miten tietynlainen peli tietynlaisessa ympäristössä vaikuttaa tietynlaiseen oppimiseen (Young ym. 2012). Opetuspelit eroavat toisistaan merkittävästi esimerkiksi sen suhteen, miten ne liittyvät opiskelun kohteena olevaan sisältöön. Pelien opetus- ja opiskelukäytön kannalta on myös merkityksellistä, millaisessa kontekstissa niitä käytetään. Olennaista on esimerkiksi se, onko peli itseopiskelun väline ja onko se osa opettajan

suunnittelemaa opetuskokonaisuutta. Lisäksi on kiinnitettävä huomiota siihen, minkälaista oppimista mitataan. Yksinkertaisten perustaitojen automatisoituminen tai laajempien tiedonrakenteiden ja strategisten taitojen oppiminen voivat edellyttää hyvin erilaisia pelikokemuksia. Tässä artikkelissa tarkastelemme matematiikan oppimiseen kehitettyjä pelejä. Kiinnitämme huomiota erityisesti siihen, miten pelin mekaniikka ja säännöstö sekä pelin avulla opiskeltava sisältö ovat suhteessa toisiinsa (Habgood & Ainsworth 2011). Pelin mekaniikalla tarkoitamme niitä toimintoja, joiden kautta pelaaja osallistuu peliin ja ohjaa sitä. Toisaalta pohdimme sitä, miten mielekästä on kehittää pelejä sellaisten taitojen opettamiseen, joiden tavanomaiseen luokkaopetukseen on jo tehokkaita välineitä, ja missä määrin pelit voivat olla väline opettaa sellaista, mitä on ollut vaikeaa opettaa tavanomaisessa luokkaopetuksessa. Nämä eri näkökulmat yhdistyvät artikkelin lopussa, kun kuvaamme omassa tutkimusryhmässämme toteutettua matematiikkapelin kehittelyä. Peleillä motivointi on haasteellinen tehtävä Suurin odotus pelien käytössä liittyy oppilaiden kiinnostuksen herättämiseen ja oppilaiden motivointiin työskennellä pitkäjänteisesti. Matematiikan oppimisessa tämä on keskeinen kysymys, koska tutkimusten mukaan oppilaiden kiinnostus matematiikan opiskeluun laskee peruskoulun aikana (Kupari ym. 2013; Metsämuuronen 2013). Yhtenä seurauksena on, etteivät läheskään kaikki oppilaat keskity tehtävien tekemiseen ja uusien käsitteiden opiskeluun niin paljon kuin mitä niiden kunnollinen oppiminen edellyttää. Toisaalta viihdepelejä koskevat tutkimushavainnot viittaavat siihen, että lapset ja nuoret ovat valmiita käyttämään paljon aikaa pelien pelaamiseen. Tämä on herättänyt toiveen siitä, että pelien avulla voitaisiin motivoida matematiikan oppimiseen niitäkin oppilaita, jotka eivät kiinnostu matematiikasta tavanomaisessa kouluopetuksessa. Oppimispeleillä on harvoin saatu aikaan samanlaista uppoutumista kuin viihdepeleillä, mutta tutkimusten yhteenvedot viittaavat siihen, että matematiikan oppimispeleilläkin voi olla positiivisia vaikutuksia motivaatioon (Connolly ym. 2012). Tarkemmat tutkimukset oppimistilanteissa syntyvän sitoutumisen (engagement) luonteesta viittaavat kuitenkin siihen, että pelkkä peliympäristössä toimimiseen sitoutuminen ei ole riittävää, vaan on tärkeää selvittää yksityiskohtaisemmin, mihin

sitoudutaan silloin, kun peleillä tai muilla opetusjärjestelyillä sanotaan olevan sitouttava vaikutus (Nolen ym. 2012). Oppilaat pitäisi saada kiinnostumaan opiskeltavasta sisällöstä ja tekemään aiheen kannalta mielekkäitä asioita tavalla, joka on oppimisen kannalta tehokasta. Amerikkalaiset tutkijat Randi Engle ja Faith Conant (2002) ovat kuvanneet tällaista sitoutumista termillä Productive disciplinary engagement, joka voitaisiin kääntää tehokkaaksi opiskeltavaan sisältöön sitoutumiseksi. Jos tavoitteena ei ole mikä tahansa kiinnostuksen herättäminen, vaan Englen ja Conantin (2002) tarkoittama oppimista edistävä sitoutuminen sisällön kannalta olennaisiin kysymyksiin, siitä seuraa myös uudenlaisia haasteita oppimispelien suunnitteluun. Valtaosa kaupallisesti tai vapaasti levitettävistä matematiikan peleistä on yhdistelmiä, joissa viihteellisiin peleihin on liitetty mukaan matemaattisia tehtäviä. Peleiksi kutsutaan usein myös digitaalisesti toteutettuja matemaattisten tehtävien esitysalustoja, joissa tehtävän suorituksesta annettavaan palautteeseen on liitetty pelillisiä elementtejä. Nämä molemmat pelityypit voivat olla motivoivia, mutta eivät välttämättä optimaalisia sen suhteen, mihin ne kohdistavat oppilaiden mielenkiinnon ja minkälaiseen toimintaan ne sitouttavat oppilaat (Devlin 2011). Monet matematiikkapelit perustuvat varsin kehittyneeseen 3D-grafiikkaan ja nopeaan toimintaan monimutkaisessa peliympäristössä, jossa oppilaiden täytyy aika ajoin varsinaisen pelaamisen välissä tehdä matemaattisia tehtäviä. Kuten matemaatikko ja matemaattisen ajattelun tutkija Keith Devlin (2011) on huomauttanut, tällaisissa peleissä pelin ideasta irralliset matemaattiset tehtävät usein vain keskeyttävät oppilaiden kannalta kiinnostavamman pelitoiminnon. Tällaista opetuspelien mallia on osuvasti kuvattu suklaakuorrutetun parsakaalin metaforalla (Habgood, 2007), jolla viitataan siihen, että oppilaille esitettävät tehtävät ovat samoja kuin perinteisessäkin opetuksessa, mutta ne esitetään oppilaiden motivointiin tarkoitetun pelin yhteydessä. Monet tutkijat ovat opetuspelien varhaisista vaiheista lähtien esittäneet, että tavoitteena pitäisi olla kehittää sellaisia pelejä, joissa opiskeltava sisältö (esimerkiksi matematiikan käsitteiden ymmärtäminen) ja pelin mekanismi on integroitu. Toisin sanoen pelimekanismien pitäisi liittyä kiinteästi oppimisen tavoitteena oleviin sisältöihin (Devlin 2011; Habgood 2007; Malone & Lepper 1987). Voidaan ajatella, että tällaista peliä pelattaessa sisältöön kohdistuvan tehokkaan opetuksen sitoutumisen tavoite toteutuu paremmin.

Integroidut matematiikkapelit Tutkimuskirjallisuudessa ei ole vakiintunutta ilmaisua kuvata pelejä, joissa pelimekanismi ja opiskeltava sisältö on integroitu, vaan pelien ominaisuuksiin viitataan erilaisilla erotteluilla (esim. intrinsic/extrinsic; integration). Käytämme tässä artikkelissa termiä integroitu peli. Aiemmassa tutkimuskirjallisuudessa integroiduista peleistä painotettiin opiskeltavan sisällön ja pelin fantasiasisällön välistä yhteyttä (esim. Malone & Lepper 1987). Joissain peleissä tällainen kytkentä on mahdollista tehdä, mutta motivaation ja oppimisen kannalta merkityksellisempää on kytkentä opiskeltavan sisällön sekä pelimekanismin ja sen sääntöjen välillä (Habgood 2007). Voitaisiin esimerkiksi suunnitella matematiikkapeli, jossa kertomus Lumikista ja seitsemästä kääpiöstä olisi pelin fantasiasisältönä ja seitsemällä kääpiöllä olisi matemaattisen sisällön kannalta tärkeä merkitys. Tämä tarjoaisi kuitenkin suhteellisen rajalliset integroinnin mahdollisuudet. Pelin tarina ja fantasiasisältö ovat pintatason ilmiöitä, joiden merkitys vähitellen heikkenee pelin edetessä ja pelimekanismin taustalla oleva säännöstö nousee merkityksellisemmäksi (vrt. Frasca 2003). Integroinnille avautuvat paljon suuremmat mahdollisuudet siitä, jos ne toimenpiteet, joilla peliä pelataan, ovat samalla matemaattisesti merkityksellisiä. Kaikki tässä artikkelissa kuvattavat pelit ovat sellaisia, joissa pelin narratiivi tai fantasiasisältö on vaihdettavissa, mutta pelimekanismi on integroitu opiskeltavan sisällön kanssa. Opetettavan sisällön ja pelin mekanismien integroiminen vaikuttavat pelien suunnitteluun ratkaisevasti. Ensinnäkin integrointi voi tarkoittaa sitä, että pelaaja joutuu koko ajan tekemään toimenpiteitä, jotka ovat joko implisiittisesti tai eksplisiittisesti matemaattisia ja jotka ohjaavat uusien matemaattisten oivallusten tekoon tai jo hallittujen matemaattisten suoritusten sujuvuuden ja joustavuuden lisääntymiseen. Esimerkiksi Keith Devlinin kehittämässä Wuzzit Trouble -pelissä oppilaiden tehtävänä on pelastaa eläinhahmo häkistä hankkimalla kaikki tarvittavat avaimet. Avaimet voidaan saada haltuun siirtämällä isossa rattaassa oleva avaimen kolo nuolen kohdalle pyörittämällä useita pieniä rattaita. Pienten rattaiden erilaiset hampaiden määrät kääntävät isoa ratasta eri tavoin (Kuva 1). Kuva 1. Wuzzit Trouble -peli (http://profkeithdevlin.org/tag/mathematics-video-game/)

Aluksi pelaaja voi pyörittää rattaita kiinnittämättä tietoisesti huomiota rataspyörän hampaiden lukumääriin tai niissä oleviin lukumääräsymboleihin. Rattaita pyörittämällä pelaaja kuitenkin koko ajan suorittaa yhteen-, vähennys- tai kertolaskuoperaatioita. On ilmeistä, että vähitellen operaatioiden matemaattinen sisältö nousee myös tietoisen tarkastelun kohteeksi. Ohjelma mahdollistaa implisiittisen ymmärryksen muodostumisen perusoperaatioista jo ennen symbolein tapahtuvaa laskentaa. Toinen esimerkki on vielä varhaisempaa lukukäsitteen kehittymistä tukeva peli Fingu (https://itunes.apple.com/en/app/fingu/id449815506?mt=8). Kysymyksessä on Göteborgin yliopistossa kehitetty peli, jossa lukukäsite yhdistetään keholliseen toimintaan (Lindström ym. 2011). Pelin toiminnallinen idea on siinä, että lapsen pitää reagoida ruudulla näkyviin esineiden määriin koskettamalla näyttöä yhtä monella sormella (Kuva 2.). Havaintojen perusteella peli sitouttaa esikouluikäiset lapset erittäin hyvin oppimisen kannalta tarkoituksenmukaiseen toimintaan, joka kohdistuu lukukäsitteen ymmärtämisen kannalta keskeisiin piirteisiin (yksi-yhteenvastaavuuteen sekä lukumäärien ositukseen ja koontaan). Kuva 2. Fingu-pelin näyttö ja lapsi pelaamassa peliä. Toisaalta integrointi voi viitata sellaisiin ratkaisuihin, joissa motivoivina tekijöinä toimivat itse matemaattinen sisältö ja siihen liittyvät suoritukset. Tämä voi tarkoittaa joko sitä, että pelitilanne tarjoaa uudenlaisia kiinnostusta herättäviä matemaattisia oivalluksia tai sitä, että pelissä syntyy haasteellisia tilanteita, joissa paremman matemaattisen ratkaisun keksimisestä tulee itsessään motivoiva tekijä. Esimerkiksi suositut sudokut (Kuva 3) ovat onnistuneet tavoittamaan puhtaimmillaan tällaisen matemaattisesta suorituksesta itsestään kumpuavan motivoivan mekanismin, jossa ei ole mitään itse matemaattiseen suoritukseen liittymätöntä palkitsevaa tekijää. Kuva 3. Sudoku on esimerkki hyvin sitouttavasta pelistä, jossa ei ole mitään varsinaisen matemaattisen tehtävänsuorituksen kannalta ulkoisia elementtejä. Kolmantena näkökulmana integrointiin voidaan pitää sitä, että pelissä eteneminen ja visuaalinen ympäristö tarjoavat pelaajalle matemaattisista sisällöistä sellaisen ulkoisen representaation, joka auttaa käsitteellisessä ymmärtämisessä tai uudenlaisten strategioiden kehittämisessä. Tällöin pelin käyttöliittymä sisältää elementtejä, joita pelaaja voi käyttää oman ajattelunsa jatkeena matemaattisia

tehtäviä suorittaessaan. Esimerkiksi Matthew Habgoodin (2007) matematiikkapelissä, jonka hän kehitti integroidun pelin suunnittelua ja testaamista käsittelevän väitöstutkimuksensa yhteydessä, tietokoneen näytöllä on koko ajan käytettävissä kertotaulu. Sen avulla pelaaja voi suunnitella omia toimenpiteitään ja arvioida niitä (Kuva 4). Kuva 4. Habgoodin kehittämästä integroidusta matematiikkapelistä otettu ruutukaappaus, jossa on näkyvissä läpi koko pelin käytössä oleva kertotaulu (Habgood, 2007, 87). Pelimekanismi ja oppimisen kohteena oleva matemaattinen sisältö ovat erityisessä suhteessa integroiduissa peleissä. Peleissä, joissa ei ole sisällöllistä integraatiota, on mahdollista siirtää vaikkapa oppikirjan satunnaisia tehtäviä geneerisessä peliympäristössä tehtäväksi. Opiskelun kohteena olevan sisällön ja pelimekanismin integrointi sen sijaan edellyttää sitä, että kohteena oleva matemaattinen ajattelu on riittävän hyvin analysoitu ja kuvattu, jotta pelimekanismi voidaan rakentaa sen varaan. Tämän vuoksi integroidut pelit eivät voi olla yleisesti matematiikan oppimista tukevia, vaan paljon täsmällisemmin joihinkin matemaattisen ajattelun tai taidon osaalueisiin liittyviä. Toisin sanoen oppimisen kohteena oleva matemaattinen sisältö ja sen hallintaan johtava oppimispolku on tunnettava tai teoreettisesti oletettava niin yksityiskohtaisesti, että tämän varaan on mahdollista rakentaa pelimekanismi ja sen taustalla oleva säännöstö. Onko integroidu pelidesign edullista oppimiselle? Edellä olevat esimerkit osoittavat, että integroidun pelin kehittäminen on vaikea, mutta mahdollinen tehtävä. Tämä herättää kysymyksen siitä, onko integroidun pelimallin tehokkuudesta vakuuttavaa näyttöä. Malonen (1981) varhaiset tutkimukset, joissa verrattiin integroitua ja ei-integroitua pelimallia, kohdistuivat lähinnä motivaatiovaikutuksiin. Integroidun ja ei-integroidun pelimallin yhteyttä matematiikan oppimistuloksiin on tutkittu hyvin vähän. Yksi harvoista tutkimuksista, jossa on toteutettu näiden mallien oppimisvaikutuksien systemaattinen vertailu, on Habgoodin (2007) väitöskirja. Tutkimustaan varten tutkija kehitti integroidun (intrinsic) ja eiintegroidun (extrinsic) version samasta pelistä. Tulokset osoittivat integroidun version tuottavan parempia oppimistuloksia, mutta peliversiolla ei ollut yhteyttä motivaatioon.

Merkittävin tulos vertailusta oli se, että integroitu peliversio tuotti selväsi ei-integroitua peliä parempia pitkän aikavälin oppimistuloksia. Integroidun matematiikkapelin (Number Navigation Game) kehittäminen Osana laajempaa matematiikan oppimisen ja opettamisen tutkimushanketta olemme kehittäneet oppimispelin, jonka suunnitteluperiaatteena on ollut mahdollisimman hyvin integroidun pelin kehittäminen käytettäväksi peruskoulun matematiikan opetuksen apuna. Tarkastelemme seuraavassa Number Navigation Game - sovelluksen (NNG) kehittämisessä tehtyjä ratkaisuja, jotka tähtäävät vahvaan sitoutumiseen oppimisen kohteena olevaan matemaattiseen ajatteluun ja jotka integroivat peliprosessin ja matemaattisen sisällön. Matemaattisen sisältöalueen määrittely Pelin kehittämisen lähtökohtana ja aktiivisen tutkimuksen kohteena on ollut joustavien ja adaptiivisten aritmeettisten strategioiden oppimisen tukeminen. Aritmeettisten strategioiden tutkimus perustuu siihen havaintoon, että taitavan laskijan suoritusta ei selitä vain sellainen aritmeettisten operaatioiden sujuvuus ja automatisoituminen, joka on perinteisesti perusasteen aritmetiikan opetuksen tavoitteena. Taitavalle laskijalle (nuorelle tai aikuiselle) on ominaista, että hänellä on hyvin automatisoituneet aritmeettiset faktatiedot pienellä lukualueella, mutta ennen kaikkea taito käyttää aritmeettisia taitojaan luovasti uudenlaisissa matemaattisissa tehtävissä. Toisin sanoen taitava laskija osaa käyttää joustavasti erilaisia aritmeettisia strategioita ja muovata niitä tilanteen vaatimusten mukaan. Valtaosa joustaviin aritmeettisiin strategioihin kohdistuneista tutkimuksista ja interventioista on kohdistunut strategioiden valintamalliin (mm. Shrager & Siegler 1998). Tällöin tarkastelun kohteena on, kuinka joustavasti henkilö valitsee annettuun tehtävään parhaiten soveltuvan ennalta tunnetun strategian. Esimerkiksi vähennettäessä luvusta 53 luku 4 on kysymyksessä tyypillinen vähennyslaskutehtävä. Sen sijaan, jos tehtävänä on vähentää luvusta 53 luku 48, on tarkoituksenmukaisin strategia ajatella tehtävä yhteenlaskuna: mitä lukuun 48 pitää lisätä, jotta saadaan 53? Vaikka strategioiden valintamalli onkin hyödyllinen lähtökohta lisätä joustavuutta, kattaa se vain pienen osan adaptiivisten ja joustavien

strategioiden käytöstä. Edellä esitetyn esimerkin kaltaisten strategioiden lisäksi taitavat laskijat käyttävät lähes loputtoman määrän erilaisia strategioita, jotka eivät useinkaan ole suoraan ennalta opitun soveltamista vaan yleisemmän lukujärjestelmän ominaisuuksien ymmärtämisen pohjalta tilannekohtaisesti konstruoituja (Threlfall 2009). Keskeiseksi pedagogiseksi haasteeksi muodostuukin tällöin se, miten oppilaat oppivat näkemään lukujen järjestelmän verkostona, jossa luvut ovat monin erilaisin tavoin ja monien erilaisten polkujen kautta yhteydessä toisiinsa. Empiiriset havainnot viittaavat siihen, että yksittäisten strategioiden opettaminen ei välttämättä johda näiden strategioiden joustavaan käyttöön (Blöte ym. 2000). Viimevuosina on eri maissa voimakkaasti korostettu joustavien strategioiden opettamista matematiikan kouluopetuksessa (esim. NCTM 2000). Suurin syy sille, miksi NNG kehitettiin juuri joustavien ja adaptiivisten aritmeettisten strategioiden opettamiseen, on se, että niiden opettaminen tavanomaisessa luokkatilanteessa on osoittautunut vaikeaksi. Havainnot viittaavat siihen, että korostaessaan rutiininomaista yhden strategian käyttöä sujuvien aritmeettisten taitojen opettamisessa perinteinen opetus voi olla jopa haitallista joustavien ja adaptiivisten strategioiden oppimiselle (Baroody 2003; Blöte ym. 2000; Hatano & Oura 2003; Threlfall 2009). Joustavien strategioiden tutkijat ovat korostaneet, että oppilaiden pitäisi voida tutkiskella erilaisia lukujen yhdistelmiä ja keksiä omia strategioitaan, joilla tehtävät voi ratkaista eri tavoin (Baroody, 2003; Threlfall, 2009; Verschaffel ym. 2009). Normaalissa luokkaopetuksessa tällaisten oppimiskokemusten järjestäminen on vaikeaa, mutta pelimäinen ympäristö voi olla ratkaisu. Joustavien ja adaptiivisten strategioiden oppimista edistävä pelimekanismi Matemaattisen sisällön täsmentämisen jälkeen seuraava haaste on suunnitella sellainen pelimekanismi, joka mahdollisimman optimaalisesti tukee joustavien ja adaptiivisten aritmeettisten strategioiden oppimista. Integroidun pelimallin mukaisesti nämä eivät voi olla erillisiä harjoituksia, vaan niiden tulee liittyä pelin ydintoimintaan. Tavoitteena siis on, että pelaajan tulee ohjata peliä suorittamalla sellaisia matemaattisia toimenpiteitä, jotka vahvistavat lukujärjestelmän ja aritmeettisten operaatioiden keskinäisten suhteiden ymmärtämistä ja mahdollistavat monipuolisen lukujen verkoston kehittymistä oppijan mielessä. Erityisesti tavoitteena on, että pelaaja joutuu itse vertailemaan erilaisia vaihtoehtoisia operaatioita ja niiden ketjuja

siten, että se vahvistaa operaatioiden näkemistä mahdollisten suhteiden joukkona, joilla luvut ovat yhteydessä toisiinsa. Edellä esitetyn pohjalta pelin perusmetaforaksi hahmottui liikkuminen lukujen verkostossa. Sen sijaan, että pelaajalle esitettäisiin valmiiksi muotoiltuja aritmeettisia tehtäviä, hänen on tutkiskeltava ja vertailtava, mitkä olisivat erilaisten kriteerien mukaan optimaalisia tapoja liikkua lukujen verkostossa jostakin lähtöpisteestä johonkin kohteeseen itse valitsemiaan vaihtoehtoisia reittejä käyttäen. Ajatus joustavasta liikkumisesta mentaalisissa tietorakenteissa perustuu osittain myös sveitsiläisen kasvatuspsykologin Hans Aeblin ja hänen yhteistyökumppaniensa tutkimuksiin jo 1970- ja 1980-luvuilla (Aebli 1980). Pelissä haluttiin myös tarjota pelaajille tehokas ulkoinen representaatio, joka auttaa lukujen verkostojen konstruoinnissa. Lukujärjestelmämme perustuu kymmenjärjestelmään, joka on erittäin tehokas väline hallita suuruusluokkia ja lukujen välisiä suhteita. Kymmenjärjestelmään perustuvia visuaalisia esityksiä luvuista, kuten satatauluja, on käytetty menestyksellisesti matematiikan opetuksen välineinä (Beishuizen1993). Ne tarjoavat tehokkaita ulkoisia representaatioita lukujärjestelmästä ja helpottavat näin joustavan liikkumisen mahdollistavien mentaalisten rakenteiden konstruointia. Tällä perusteella NNG-pelin ensimmäisen version perustaksi valittiin satataulu eli neliö, jossa on luvut 1-100 järjestettynä kymmenen luvun riveihin. Pelin konkreettisena toiminnallisena ideana on liikkua satataulussa aritmeettisia operaatioita käyttäen. Pelin fantasiasisällön tehtävänä on luoda konteksti, joka antaa tällä liikkumiselle merkityksen. Sen tulee myös mielekkäällä tavalla rajoittaa satataulua siten, että reiteistä tulee monimutkaisempia ja haasteellisempia. Lisäksi fantasiasisällön pitäisi tarjota kriteerit niiden reittien tarkoituksenmukaisuudelle, joita pelaajat käyttävät. Navigointi laivalla saaristossa täytti hyvin nämä kriteerit. NNG on laivapeli, jossa pelaaja toimii laivan kipparina. Pelaaja tarkastelee saaristoa satataulun päälle kuvattuna karttana, jossa hänen tehtävänään on suunnitella ja toteuttaa laivan liikkeitä aritmeettisia operaatioita käyttäen (Kuva 5). Saaret ovat esteitä, joiden läpi ei voi kulkea, vaan reitit on suunniteltava niin, että ne kulkevat saarten välistä. Laivan senhetkinen sijainti määrittelee sen luvun, joka on aritmeettisten operaatioiden ensimmäinen elementti. Pelaaja voi lisätä tähän lukuun haluamansa luvun, vähentää siitä jonkin luvun ja kertoa tai jakaa lähtöluvun haluamallaan luvulla. Laivan reitti kartalla antaa pelaajallea välittömän palautteen

siitä, kulkiko laiva haluttuun kohtaan. Laivan toteutunut reitti kertoo sen, tuottiko valittu operaatio tuloksen, jonka pelaaja oletti sen tuottavan. Kartalla liikkumisen merkitys (fantasiasisältö) perustuu siihen, että pelaajan tehtävänä on hakea laivalla materiaaleja eri kohdista saaristoa ja tuoda ne takaisin satamaan. Materiaalien avulla yksinkertaisen telttaleirin tilalle rakentuu aluksi kylä, sitten pikkukaupunki ja myöhemmin isompi. Kuva 5. Number Navigation Game -pelin näkymä, jossa pelaaja on tehnyt yksinkertaisen siirron satamasta suoraan haettavan materiaalin kohdalle lukuun 15 vähentämällä sataman sijaintiluvusta 54 luvun 39. Jo vapaa liikkuminen saaristossa tarjoaa pelaajalle madollisuuden kokeilla erilaisia lukujen välisiä yhteyksiä ja mahdollisuuksia kulkea lukujen verkostossa. Pelin fantasiasisältö (materiaalien hakeminen ja yhdyskuntien rakentaminen) ulkoisena motivoivana tekijänä ja erilaisten numeeristen reittien keksiminen sisäisenä motivoivana tekijänä riittävät sitouttamaan lyhytaikaiseen pelaamiseen. Intensiiviset yksilötutkimukset pelin alustavalla versiolla kuitenkin osoittivat, että tällaisenaan peli ei ole riittävän sitouttava vaativaan joustavien ja adaptiivisten aritmeettisten strategioiden pitkäaikaiseen harjoitteluun (Boglarka ym. 2013). Olennaista oli lisätä peliin kriteerit, joiden perusteella pelaajan toteuttamia reittejä arvioidaan, sekä suorituksen tasoon perustuvat palkkiot. Peliin tehtiin kaksi erilaista arviointikriteeriä, joita voidaan vaihdella eri kartoilla. Yksinkertaisempi polkujen tarkoituksenmukaisuuden arviointikriteeri perustuu niiden askelten määrään, joita pelaaja käyttää hakiessaan materiaaleja ja tuodessaan ne takaisin satamaan. Tällöin pelaaja joutuu miettimään, miten hän voi pienimmällä mahdollisella määrällä operaatioita löytää sellaisen eri lukujen kautta kulkevan polun, jolla hän voi kiertää mahdollisesti edessä olevat saaret ja päästä materiaalien luo sekä vastaavasti kulkea takaisin satamaan. Toisissa kartoissa on käytössä niin sanottu energiamoodi, jossa kone laskee yhteen pelaajan input-ikkunaan kirjoittamat luvut. Tällöin pelaajan pitäisi noutaa materiaalit lisäämällä input-ikkunaan mahdollisimman pieniä lukuja. Tämä on selvästi vaativampi pelimoodi, ja se ohjaa pelaajan käyttämään monipuolisesti kaikkia aritmeettisia operaatioita. Monimutkaisissa kartoissa energiamoodi voi olla hyvinkin vaativa. On todennäköistä, että ensimmäinen mieleen tuleva polku on kaukana optimaalisesta ratkaisusta. Tällä on pelin tavoitteen kannalta kaksi tärkeää vaikutusta. Ensinnäkin tämä moodi pakottaa pelaajan vertailemaan mielessään hyvin erilaisia ja jopa yllättäviä

ratkaisuja. Toisaalta energiamoodi näyttäisi sitouttavan voimakkaasti ainakin niitä pelaajia, jotka ovat alun alkaen matemaattisesti suuntautuneita. Pelin pilottitestauksissa osa pelaajista uppoutui pitkiksi ajoiksi kaikkein optimaalisimpien reittiratkaisujen löytämiseen. Pelattuaan kartan läpi pelaaja saa pronssirahan suorituksen tasosta riippumatta. Askel- ja energiamoodien perusteella jokaiselle kartalle on määritelty rajat, joiden alittaminen oikeuttaa hopearahaan tai kultarahaan. Pelaajan tulee saada vähintään hopearaha 75 prosentista kunkin tason kartoista päästäkseen seuraavalle tasolle. Ylemmillä tasoilla hopea- ja kultarahan pisterajat vaikeutuvat. Lisähaastetta tuovat joissakin kartoissa merirosvot, jotka ilmestyvät johonkin kuljetun reitin pisteeseen silloin, kun materiaali on lastattu laivaan. Tämän vuoksi pelaajan on löydettävä eri reitti takaisin satamaan. Kaikkein vaikeimmissa kartoissa on poistettu osa operaatioista. Silloin pelaajan tulee navigoida esimerkiksi pelkästään kerto- ja jakolaskulla. Number Navigation -pelin empiirinen testaus Pelin toimivuutta ja vaikuttavuutta on tähän mennessä selvitetty kahdella pilottitutkimuksella. Ensimmäisessä pilottitutkimuksessa (Brezovszky ym. 2013) seurattiin yksityiskohtaisesti yhden yksin pelaavan lapsen ja yhden lapsiparin peliprosessia. Pelaajia haastattelemalla selvitettiin kokemuksia peliprototyypistä, joka sisälsi neljä karttaa. Tulosten perusteella voitiin päätellä, että pelimekaniikka toimii ja peli sitoutti pelaajat tavoitteena olevaan matemaattiseen ajatteluun. Tämän tutkimuksen havaintoja käytettiin käyttöliittymän parantamisessa pelin ensimmäistä täysversiota varten. Toinen pilottitutkimus (Brezovszky ym. käsikirjoitus) toteutettiin peruskoulun kuudennella luokalla (N=23), jolla oli käytössä 64 karttaa sisältävä pelin täysversio. Oppilaat pelasivat pareina peliä puoli tuntia viikossa seitsemän viikon ajan. Ennen pelijaksoa ja sen jälkeen oppilaat tekivät aritmeettisen sujuvuuden sekä joustavien aritmeettisten strategioiden testit. Lisäksi peliprosessia seurattiin videoimalla ja keräämällä lokitietoa peleistä. Pelijakson aikana oppilasparit läpäisivät keskimäärin 19 karttaa (minimi 11 ja maksimi 29). Testitulosten mukaan oppilaiden aritmeettinen sujuvuus (yksinkertaisten aritmeettisten tehtävien laskunopeus) lisääntyi merkitsevästi. Myös pelin alkuperäisen tavoitteen kannalta keskeisessä

aritmeettisten strategioiden joustavassa käytössä havaittiin tilastollisesti merkitsevä tulosten paraneminen pelijakson aikana. Lokitiedostojen perusteella voitiin arvioida kunkin oppilaan pelaamista sen suhteen, kuinka hyvään suoritukseen oppilaspari pyrki eri kartoilla pelatessaan. Kultarahojen määrällä arvioitu pelaamisen laatu oli tulosten mukaan erittäin voimakkaasti yhteydessä joustavien aritmeettisten strategioiden kehittymiseen pelin aikana, eli pelaaminen tuotti koko kokeiluryhmässä toivottuja tuloksia. Tarkempi analyysi kuitenkin osoitti, että joustavien aritmeettisten strategioiden positiivinen kehitys tapahtui niillä oppilaspareilla, jotka jo alusta lähtien pyrkivät hyvään pelisuoritukseen. Tulosten yleistettävyyttä rajoittaa se, että tutkittava joukko oli pieni eikä kysymyksessä ollut varsinainen kokeellinen asetelma, koska käytössä ei ollut kontrolliryhmää. Johtopäätökset Tämän artikkelin keskeinen johtopäätös on, että motivaation ja oppimistulosten parantaminen matematiikan opetuksessa opetuspelien avulla on kiinnostava mahdollisuus, mutta ei missään tapauksessa yksiselitteinen asia. Empiiristen tutkimusten yhteenvedot puoltavat matematiikkapelin käyttöä, mutta todella luotettavilla tutkimusasetelmilla tehtyjä riittävän laajoja ja pitkäkestoisia kokeiluita on hyvin vähän. Matematiikkapelien välillä on suuria eroja. Valtaosa peleistä on toteutettu siten, että niissä on yleinen peliympäristö, johon on lisätty joihinkin pelin vaiheisiin matemaattisia tehtäviä. Viimevuosina on kehitetty myös pelejä, joissa itse pelin mekaniikka ja opiskeltava matemaattinen sisältö on integroitu. Teoreettisesti ja myös joidenkin empiiristen kokeilujen perusteella voidaan olettaa, että integroiduilla pelimalleilla voidaan päästä parempiin ja kestävämpiin oppimistuloksiin, kuin erillisten tehtävien esittämisellä peliympäristössä. Artikkelissa esitetty Number Navigation -pelin kehittely ja testaus osoittaa, että tällaisia integroituja pelejä voidaan kehittää vaikeaksi koettujen matemaattisten taitojen harjoitteluun, mutta pelien kehittäminen on vaativa ja aikaa vievä prosessi. Olennaista tällaisessa pelisuunnittelussa on opiskelun kohteena olevan sisällön perusteellinen analysointi hyödyntämällä kyseisen matemaattisen sisällön oppimiseen kohdistuvaa perustutkimusta. Kehittämässämme pelissä matemaattisen taidon sisältöanalyysin pohjalta kehitettiin pelimekanismi, joka suoraan liittyy tämän taidon kannalta

olennaiseen harjoitukseen ja jonka ympärille on mahdollisuus luoda erilaisia fantasiasisältöjä ja tarinoita. Tässä artikkelissa olemme viitanneet integraatio-termillä pelin sisäiseen integraatioon. Toinen ehkä vielä haasteellisempi kysymys pelien opetuskäytössä liittyy siihen, miten pelien käyttö saadaan tarkoituksenmukaisella tavalla integroitua koulujen arkipäivän opetuskäytäntöihin. Vaikka pelien avulla saataisiin positiivisia tuloksia pienimuotoisissa laboratoriokokeissa, se ei vielä takaa sitä, että peleistä olisi hyötyä tavanomaisessa kouluopetuksessa. Vasta hyvien pelien ja niiden käyttöön kehitettyjen tarkoituksenmukaisten pedagogisten käytäntöjen yhdistäminen voi vastata siihen odotukseen, jota pelien käyttöön niin matematiikan kuin muidenkin oppiaineiden opetuksessa on kohdistettu. Lähteet Aebli, Hans (1980) Denken: das Ordnen des Tuns. Bd. 1: Kognitive Aspekte der Handlungstheorie. Stuttgart: Klett-Cotta. Baroody, Arthur J. (2003) The Development of Adaptive Expertise and Flexibility: The Integration of Conceptual and Procedural Knowledge. Teoksessa Arthur J. Baroody & Ann Dowker (toim.) The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructing Adaptive Expertise. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates, 1 33. Beishuizen, Meindert (1993) Mental Strategies and Materials or Models for Addition and Subtraction Up to 100 in Dutch Second Grades. Journal for Research in Mathematics Education 24, 294 323. Blöte, Anke W., Klein, Anton S., Beishuizen, Meindert (2000) Mental computation and conceptual understanding. Learning and Instruction 10:3, 221 247. Brezovszky, Boglarka. Lehtinen, Erno, McMullen, Jake, Rodriquez, Gabriela & Veermans, Koen (2013) Training Flexible and Adaptive Arithmetic Problem Solving Skills Through Exploration with Numbers. The Development of NumberNavigation Game. In the Proceedings of The 7th European Conference on Game based Learning. http://connection.ebscohost.com/c/articles/91951028/training-flexible-

adaptive-arithmetic-problem-solving-skills-through-exploration-numbersdevelopment-numbernavigation-game (haettu 2.7.2014.) Brezovszky, B, McMullen, J., Rodriguez, G. & Lehtinen, E. (valmisteilla) Training Adaptive Expertise with Arithmetic Problem Solving in a Game-Based Context. Connolly,Thomas M., Boyle, Elizabeth A., MacArthur, Ewan, Hainey, Thomas & Boyle, James M. (2012) A Systematic Literature Review of Empirical Evidence on Computer Games and Serious Games. Computers & Education 59:2, 661 686. Devlin, Keith (2011) Mathematics Education for a New Era: Video Games as a Medium for Learning. Natick: A K Peters, Ltd. Engle, Randi & Conant, Faith R. (2002) Guiding Principles for Fostering Productive Disciplinary Engagement: Explaining an Emergent Argument in a Community of Learners Classroom. Cognition and Instruction 2:4, 399 483. Frasca, Gonzalo (2003) Simulation Versus Narrative: Introduction to Ludology. Teoksessa Mark Wolf & Bernard Perron (toim.), The Video Game Theory Reader. New York: Routledge, 221 236. Habgood, Matthew Peter Jacob (2007) The Effective Integration of Digital Games and Learning Content. Väitöskirja. University of Nottingham. http://etheses.nottingham.ac.uk/385/1/habgood_2007_final.pdf (haettu 3.7.2014). Habgood, Matthew Peter Jacob & Ainsworth, Shaaron E. (2011) Motivating Children to Learn Effectively: Exploring the Value of Intrinsic Integration in Educational Games. Journal of the Learning Sciences 20:2, 169 206. Hatano, Giyoo & Oura, Yoko (2003) Commentary: Reconceptualising School Learning Using Insight from Expertise Research. Educational Researcher 32, 26 29. Kupari, Pekka, Välijärvi, Jouni, Andersson, Leif, Arffman, Inga, Nissinen, Kari, Puhakka, Eija & Vettenranta, Jouni (2013) PISA12: Ensituloksia. Opetus- ja kulttuuriministeriön julkaisuja 2013:20. http://www.minedu.fi/export/sites/default/opm/julkaisut/2013/liitteet/okm20.pdf?lang=fi (haettu 3.7.2014).

Lehtinen, Erno (2010) The Potential of Teaching and Learning Supported by ICT for the Acquisition of Deep Conceptual Knowledge and the Development of Wisdom. Teoksessa Erik De Corte & JensErik Fenstad (toim.) From Information to Knowledge; from Knowledge to Wisdom: Challenges and Changes Facing Higher Education in the Digital Age. Lontoo: Portland Press, 79 88. Lindström, Berner, Marton, Ference, Emanuelsson, Jonas, Lindahl, Marita, & Packendorff, Mattias (2011) Enhancing Arithmetic Skills Through Perceptual Bodily Interaction With a Computer Game. Teoksessa Jonas Emanuelsson, Laura Fainsilber, Johan Häggström, Angelika Kullberg, Berner Lindström & Madeleine Löwing (toim.) Voices on Learning and Instruction in Mathematics. Göteborg: National Center for Mathematics Education, 119 142. Malone, Thomas W. & Lepper, Mark R. (1987) Making Learning Fun: A Taxonomy of Intrinsic Motivations for Learning. Teoksessa Richard E. Snow & Marshall J. Farr (toim.) Aptitude, Learning and Instruction: III. Conative and Affective Process Analyses. Hillsdale: Erlbaum, 223 253. Metsämuuronen, Jari (2013) (toim.) Perusopetuksen matematiikan oppimistulosten pitkittäisarviointi vuosina 2005 2012. Opetushallitus: Koulutuksen seurantaraportit 2013:4. http://www.oph.fi/download/150841_perusopetuksen_matematiikan_oppimistulosten_pitkitta isarviointi_vuosina_2005.pdf (haettu 3.7.2014). Nolen, Susan, Tierney, Gavin, Becherer, Kendall, Cooper, Susan, Eng, Susanna & Ward, Christopher J. (2012) Engagement in What? The Negotiation of Joint Enterprise in Project-Based Learning http://www.aera.net/publications/onlinepaperrepository/tabid/10250/default.aspx (haettu 3.7.2014). Shrager, Jeff & Siegler, Robert S. (1998) SCADS: A Model of Children's Strategy Choices and Strategy Discoveries. Psychological Science 9, 405 410. Threlfall, John (2009) Strategies and Flexibility in Mental Calculation. ZDM Mathematics Education 41:5, 541 555.

Verschaffel, Lieven, Luwel, Koen, Torbeyns, Joke, and Van Dooren, Wim (2009) Conceptualizing, Investigating, and Enhancing Adaptive Expertise in Elementary Mathematics Education. European Journal of Psychology of Education 24:3, 335 359. Young, Michael F., Slota, Stephen, Cutter, Andrew B.,Jalette, Gerard, Mullin, Greg, Lai, Benedict, Simeoni, Zeus, Tran, Matthew, &Yukhymenko, Mariya (2012) Our Princess Is in Another Castle: A Review of Trends in Serious Gaming for Education. Review of Educational Research 82:1, 61 89.