Vastaukset palautetaan htenä PDF-tiedostona Courses:iin 1.3. klo 1 mennessä. ahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. askuharjoitus 1. Selitä seuraavat käsitteet: a. jännitsresultantti (0,5p) b. superpositioperiaate (0,5p) c. De Saint-Ventant periaate (0,5p) a. Jännitsresultantit N (), Q () ja z () ovat ulkoisten voimien aiheuttamia kappaleen sisäisiä jännitksiä tietssä pisteessä. b. Superpositioperiaatteen mukaan, jos kappaleeseen vaikuttaa useita kuormia, niiden aiheuttama lineaarinen vaste (esim. pieni taipuma tai venmä) voidaan määrittää laskemalla kunkin kuorman aiheuttama vaste erikseen ja laskemalla näin saadut vasteet hteen. Periaatetta hödnnetään möhemmillä mekaniikan kursseilla mös ns. virtuaalivoimien (Virtual Work Principle) laskemisessa. c. De Saint-Venant periaatteen mukaan, mitä kauempana kuorman vaikutuskohdasta tarkasteltava kohta on, sitä vähemmän kuorman jakauma vaikuttaa tarkasteltavan kohdan jännitstilaan, venmätilaan ja siirtmätilaan. 1
. ääritä kuvan 1 siltapalkissa vaikuttavan resultanttileikkausvoiman Q () ja taivutusmomentin z () jakaumat ja piirrä niiden kuvaajat. aske taivutusmomentin maksimiarvo. (,5p) Kuva 1 Piirretään VKK ja ratkaistaan tukireaktiot A ja B tasapainohtälöiden avulla: # A ( + F 3 + 6 F A ( = 1 F (1) + F ( B ( + A ( F 6 F B ( = 5 F ()
Jaetaan rakenne kolmeen osaväliin: Î (0, ), Î (, ) ja Î (, ). Väli Î (0, ) Q ( = A ( = 1 F 9 = A ( = 1 F (3) = resultanttileikkausvoima Q ( ) Pisteessä / kuormittavan pistevoiman F verran. arvo muuttuu hppäksenomaisesti Väli Î (, ) 3 1 Q( ) = A - F = F - F = F 3 F 1 F z( ) = A-F( - /) = F- F+ = F+ () 3
Väli Î (, ) æ ö 7 6F Q( ) = A -F - 6 ( F / ) ç - = F - è ø æ ö 1 F ç - æ ö z ( ) = F + - 6 ( F / ) è ø ç - è ø 6F 7F F z ( ) =- + - 8 (5) Kuvaajat:
Huom. htälöt kannattaa aina tarkastaa - reunaehtojen avulla (kirjan sivu 51 (v. 015 painos): Kuvasta 1 voidaan päätellä, että molemmissa päädissä tulee taivutusmomentin olla 0. - jännitsresultanttien merkkisääntöjen avulla - derivoimalla/integroimalla htälöt seuraavien differentiaaligeometristen hteksien avulla :; < (>) :> :C D (>) :> = q ( () (6) ja = Q ( () (7) Huomaa pistevoiman ja jakautuneen voiman vaikutus leikkausvoiman kuvaajaan. Suurin momentti saadaan momenttihtälön derivaatan nollakohdasta (7): 7 6F 7 Q ( ) = F - Þ ma = 1 Sijoitetaan ma ja lasketaan taivutusmomentin maksimiarvo: æ 7 ö æ 7 ö 6F 7 7 ç Fç æ ö 1 1 F 5 z( ) = 0,508 ma z è ø è ø ç = =- + - = F» F è 1 ø 8 8 5
3. ääritä kuvan ulokkeen alapalkissa vaikuttavan resultanttinormaalivoiman N (), leikkausvoiman Q () ja taivutusmomentin z () jakaumat matemaattisina lausekkeina ja piirrä niiden kuvaajat. F 1 = q 0. (,5p) Kuva Piirretään VKK ja ratkaistaan tukireaktiot A, A ja A tasapainohtälöiden avulla. Voiman F 1 aiheuttama momentti voidaan redusoida voimaksi ja pistemomentiksi 1 =F 1/. + å F : A - F + å F : A -F1- q0 3 + å A : -A -F1 - q0 + 1 A = F A ( = F E + q F H = q F F E 3 + E = q F 8 F E 3 + F E = q F 8 F E 6
Jännitsresultantit ratkaistaan voima kertaa varsi menetelmän avulla ja jakamalla æ 3 ö rakenne osaväleihin Î (0, ), Î ç, è ø ja æ3 ö Î ç, è ø. Väli Î (0, ) å F : N( ) + A + å F : A -Q( ) - q0= 0 + å : z( ) -A - A+ q0 N ( ) =- A =- F + Q ( = A ( q F = F E + q F q F = F E + q F ( ) 9 = H + A ( q F > = q J F F K E + (F 1 + q 0 ) q E F Väli æ 3 ö Î ç, è ø + å F : N( ) + A + å F : A -Q( ) - q0 æ ö + å : z( ) -A - A+ q0 ç - è ø N( ) =- A =- F Q ( = A ( q F = F E + q F q F = F E 9 = H + A ( q = q J F F F K E + (F 1 + q 0 ) 1 q 0 + 1 q 8 0 = F 1 F 1 7
3 Pisteessä = resultanttileikkausvoiman Q () ja resultanttitaivutusmomentin z () arvot muuttuvat hppäksenomaisesti kuormittavan pistevoiman F 1 ja kuormittavan momentin 1 vaikutuksesta. Piste = 3 - N > Q ( 9 = 1O = 1O = 1O = A > = F = A ( q F = F E = 1 F E P Q = P Q Väli æ3 ö Î ç, è ø + å F : N( ) + A + å F : A -Q( ) -q0 - F1 æ ö æ 3ö + å : z( ) -A - A+ q0 ç - + 1+ F1ç - è ø è ø N( ) =- A =- F Q ( = F E + q F q F F E 9 = H + A ( q F E F E 1 = q F 0 8 1 + (F E + q F ) q 0 F 1 F 1 3 8
Piste = - - ( ) N A = + Ei muutoksia leikkausvoimaresultanttiin Q () tai resultanttitaivutusmomenttiin z (). Kuvaajat: 9