Aini geometria Emilia Hirvi

Helsingin Yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen osasto Pro gradu -tutkielma Aini geometria Emilia Hirvi Ohjaaja: Erik Elfving 1.6.2019

Tiedekunta Fakultet Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Emilia Hirvi Työn nimi Arbetets titel Title Affiini geometria Työn laji Arbetets art Level Pro gradu -tutkielma Tiivistelmä Referat Abstract Aika Datum Month and year Kesäkuu 2019 Laitos Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sivumäärä Sidoantal Number of pages 42 s. Tämän tutkielman aiheena on affiini geometria, jota esitellään ensimmäisessä luvussa. Aihetta lähestytään lineaarialgebran näkökulmasta. Luodakseen hyvän pohjan affiinin geometrian tarkastelulle toinen luku keskittyy lineaarialgebran perusmääritelmiin. Kolmannessa luvussa tutustutaan affiinin avaruuden käsitteeseen, jossa määritellään pisteiden ja vektoreiden välinen toiminta. Affiinissa avaruudessa suorien ja vektoreiden yhdensuuntaisuus on keskeinen asia. Toisaalta vektorin lähtöpisteellä ei ole merkitystä. Neljännessä luvussa esitellään lineaarikombinaation tapainen käsite: affiini kombinaatio eli painopiste. Affiini kombinaatio määritellään painoilla varustetulle pisteperheelle. Lisäksi painojen eli skalaarien summan on oltava yksi. Seuraavassa luvussa käsitellään affiineja aliavaruuksia. Kuten vektoriavaruuden aliavaruus sisältää kaikki virittäjävektorinsa lineaarikombinaatiot, affiini aliavaruus sisältää kaikki painoilla varustettujen pisteperheidensä affiinit kombinaatiot. Affiini aliavaruus on origosta pois siirretty aliavaruus. Kuudes luku keskittyy affiiniin riippumattomuuteen ja affiiniin kehykseen. Affiini riippumattomuus määritellään lineaarisen riippumattomuuden avulla ja affiini kehys vektoriavaruuden kannan avulla. Seitsemännessä luvussa määritellään affiini kuvaus, joka on lineaarikuvauksen ja siirtovektorin yhdistelmä. Affiinissa kuvauksessa ensin lineaarikuvaus kiertää tai venyttää pistejoukkoa ja sen jälkeen siirtovektori siirtää pistejoukon paikkaa. Affiinissa kuvauksessa yhdensuuntaiset suorat kuitenkin kuvautuvat yhdensuuntaisiksi suoriksi. Lopuksi tarkastellaan joitakin affiinin geometrian esimerkkejä. Avainsanat Nyckelord Keywords Affiini geometria, lineaarialgebra Säilytyspaikka Förvaringställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Apumääritelmät 3 3 Aini avaruus 7 4 Aini kombinaatio, painopiste 12 5 Aini aliavaruus 17 6 Aini riippumattomuus ja aini kehys 23 7 Aini kuvaus 28 8 Ainin geometrian esimerkkejä 36 9 Kirjallisuutta 42

Luku 1 Johdanto Tämän työn aiheena on aini geometria. Se on geometriaa, jonka tärkein ominaisuus on säilyttää suorien ja vektoreiden yhdensuuntaisuus. Toisaalta pituutta ja kulmien suuruutta ei oteta huomioon. Vaikka geometrisia ongelmia, joissa yhdensuuntaisuus on keskeinen asia, on pohdittu kautta aikojen, Leonhard Euler oli ensimmäinen matemaatikko, joka tutki ainia geometriaa omana ilmiönä. Hän toi esiin myös termin anis, joka latinaksi tarkoittaa samankaltaista, kirjassaan Introductio in analysin innitorum, joka ilmestyi vuonna 1748. Eulerin tutkimusta jatkoi August Ferdinand Möbius vuonna 1827. Möbiuksen työn tulokset julkaistiin kirjan Gesammelte Werke ensimmäisessä osassa vuonna 1885. Monet muut matemaatikot tutkivat aihetta myöhemmin. Ania geometriaa voi lähestyä kahdella tavalla synteettisen eli euklidisen geometrian näkökulmasta tai lineaarialgebran näkökulmasta. Tässä työssä ainia geometriaa esitetään lineaarialgebran avulla, mistä syystä toinen luku on kokonaan omistettu lineaarialgebran määritelmille ja lauseille. Lineaarialgebran tuella määritellään sellaiset käsitteet kuin aini avaruus, aini kombinaatio, aini aliavaruus, aini riippumattomuus ja aini kuvaus, jotka varsin paljon muistuttavat lineaarialgebran vektoriavaruuden, lineaarikombinaation, aliavaruuden, lineaarisen riippumattomuuden ja lineaarikuvauksen käsitteitä. Ainin geometrian ja lineaarialgebran välillä on kuitenkin merkittävä ero siinä, että ainissa geometriassa origolla ei ole merkitystä ja siitä syystä vektorin lähtöpisteellä ei ole niin tärkeää roolia. Ainit kuvaukset koostuvat lineaarikuvauksista, jotka venyttävät, kääntävät tai peilaavat pistejoukon, sekä siirtovektorista, joka siirtää pistejoukon kokonaisuudessaan toiseen paikkaan. Tällaista siirtoa kutsutaan translaatioksi. Ainin geometrian tulokset ovat hyödyllisiä joidenkin geometristen ongelmien ratkaisemisessa, erityisesti sellaisissa, joissa kyse on yhdensuuntaisista suorista. Tässä tapauksessa erittäin toimivana työkaluna voi pitää homote- 1

tiakuvauksia, jotka ovat bijektiivisiä aneja kuvauksia. Tämän työn lopussa todistetaan kolme lausetta ainin geometrian avulla. 2

Luku 2 Apumääritelmät Tässä työssä ainia geometriaa lähestytään lineaarialgebran kautta, jolloin on tärkeää tuoda esiin lineaarialgebran perusmääritelmät ja lauseet. Tässä luvussa esitetyt tulokset löytyvät J. Häsän, L. Oinosen ja J. Rämön lineaarialgebran kurssimateriaalista Johdatus lineaarialgebraan, osat I ja II (2015). Määritelmä 2.1. Vektoriavaruus R n. Oletetaan, että n {1, 2, 3,... }. Vektoriavaruuden R n alkiot eli vektorit ovat reaaliluvuista koostuvia n-jonoja. Toisin sanoen R n = {(v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R}. Määritelmä 2.2. Vektoreiden laskutoimitukset. Oletetaan, että v R n, w R n ja c R. Tällöin vektoreiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat seuraavat: v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) ja c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). Määritelmä 2.3. Vasta- ja nollavektori. Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta ( 1) v. Sitä merkitään v. Vektoreiden v ja w erotus on summa v + ( w). Sitä merkitään v w. Vektoria (0, 0,..., 0) = 0 kutsutaan nollavektoriksi. Lause 2.4. Vektoreiden laskusäännöt. Vektoriavaruuden R n vektoreille pätevät tietyt laskusäännöt. Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, b R. Tällöin pätee: 3

1. v + w = w + v (vaihdannaisuus) 2. (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys) 3. v + 0 = v 4. v + ( v) = 0 5. a( v + w) = a v + a w (osittelulaki) 6. (a + b) v = a v + b v (osittelulaki) 7. a(b v) = (ab) v 8. 1 v = v. Määritelmä 2.5. Vektoreiden lineaarikombinaatio. Vektori w R n on vektoreiden v 1, v 2,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut a 1, a 2,..., a k, että w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a k v k. Esimerkki 2.6. Olkoon v 1 = ( 1 2, 1), v 2 = ( 3 2, 2), v 3 = ( 3, 1) ja w = 2 ( 1, 1). Huomataan, että 2 v 1 v 2 + v 3 = 2( 1 2, 1) (3 2, 2) + (3 2, 1) = ( 1, 2) + ( 3 2, 2) + (3, 1) = ( 1, 1) = w. 2 Siis vektori w on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Lineaarikombinaation geometrinen tulkinta näkyy kuvassa 2.1. Määritelmä 2.7. Avaruuden R n aliavaruudet. R n virittämä aliavaruus on joukko Vektoreiden v 1,..., v k {a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a k v k a 1, a 2,..., a k R}. Toisin sanoen vektoreiden virittämä aliavaruus koostuu kaikista kyseisten vektoreiden lineaarikombinaatioista. Tarkastellaan seuraavaksi aliavaruuden ominaisuuksia. 4

Kuva 2.1: Lineaarikombinaation havainnollistaminen Lause 2.8. Oletetaan, että vektorit v 1, v 2,..., v k R n virittävät aliavaruuden W. Tällöin seuraavat kohdat pitävät paikkansa: 1. Jos ū, v W, niin ū + v W. 2. Jos v W ja c R, niin c v W. 3. 0 W. Määritelmä 2.9. Vapaus eli lineaarinen riippumattomuus. Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos on olemassa vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaatio, joka on nollavektori ja vähintään yksi kertoimista eroaa nollasta, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Lause 2.10 Oletetaan, että v 1,..., v k R n. Jono ( v 1,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. 5

Määritelmä 2.11. Kanta. Olkoot w 1,..., w k W. Vektorijono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (1) W = span( w 1,..., w k ), (2) jono ( w 1,..., w k ) on lineaarisesti riippumaton. Määritelmä 2.12. Lineaarikuvaus. Olkoot V ja U vektoriavaruuksia. Kuvaus L : V U on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot täyttyvät: 1. L( v + w) = L( v) + L( w) kaikilla v, w V 2. L(c v) = cl( v) kaikilla c R ja v V. Esimerkki 2.13. Osoitetaan, että kuvaus L : R 2 R 3, L(x 1, x 2 ) = (x 1, 2x 2, 3x 1 + 4x 2 ) on lineaarikuvaus. Oletetaan, että v = (v 1, v 2 ) R 2, w = (w 1, w 2 ) R 2 ja c R. Tällöin ja L( v + w) = L(v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) = (v 1 + w 1, 2(v 2 + w 2 ), 3(v 1 + w 1 ) + 4(v 2 + w 2 )) = (v 1 + w 1, 2v 2 2w 2, 3v 1 + 3w 1 + 4v 2 + 4w 2 ) = (v 1, 2v 2, 3v 1 + 4v 2 ) + (w 1, 2w 2, 3w 1 + 4w 2 ) = L( v) + L( w) L(c v) = L(cv 1, cv 2 ) = (cv 1, 2cv 2, 3cv 1 +4cv 2 ) = c(v 1, 2v 2, 3v 1 +4v 2 ) = cl( v). Siis kuvaus L on lineaarikuvaus. Esimerkki 2.14. Osoitetaan, että kuvaus f : R R, f(x) = 1 2x ei ole lineaarikuvaus. Valitaan v = 1 ja w = 0. Tällöin Toisaalta f(v + w) = f(1) = 1 2 = 1. f(v) + f(w) = f(1) + f(0) = 1 + 1 = 0 f(v + w). Näin ollen kuvaus f ei ole lineaarikuvaus. 6

Luku 3 Aini avaruus Tässä luvussa esitellään ainin avaruuden määritelmä, johon muut ainin geometrian määritelmät perustuvat. Esimerkkien avulla havainnollistetaan, mitä aini avaruus käytännössä on. Määritelmä 3.1. Aini avaruus. Aini avaruus on kolmikko (E, E, +), jossa E on epätyhjä joukko, jonka alkioita kutsutaan pisteiksi, E on vektoriavaruus, ja + on toiminta + : E E E, joka täyttää seuraavat ehdot: (A1) A + 0 = A kaikilla A E (A2) (A + ū) + v = A + (ū + v) kaikilla A E ja ū, v E (A3) Kahta pistettä A, B E kohti on olemassa täsmälleen yksi sellainen vektori ū E siten, että A + ū = B. Tarkastellaan seuraavaksi määritelmän kohdat tarkemmin. Kohdat (A1) ja (A2) pitävät huolen siitä, että joukkojen E ja E alkiot toimivat keskenään sopusoinnussa, mikä on välttämätön ehto toiminnalle +. Kohdan (A3) mukaan tietystä pisteestä alkava ja tiettyyn pisteeseen päättyvä vektori on yksikäsitteinen. Kohdan (A3) vektorin ū voi merkitä myös sen lähtö- ja päätepisteen mukaan vektorina AB. Siis A + AB = B. Jos pisteen A lisäksi otetaan vielä kaksi joukon V pistettä B ja C, kohdan (A3) mukaan C = A + AC ja C = B + BC. Nyt kohdan (A2) avulla saadaan C = B + BC = (A + AB) + BC = A + ( AB + BC) = A + AC, jolloin täytyy päteä, että AB + BC = AC. Tämä yhtälö on nimeltään Chaslesin identiteetti. 7

Seuraavaksi tarkastellaan vektoreiden ominaisuuksia ainissa avaruudessa Chaslesin identiteetin avulla. Oletetaan, että A, B, C, D E. 1. Tiedetään, että A = A+ AA. Lisäksi kohta (A1) sanoo, että A = A+ 0, mistä seuraa, että AA = 0. 2. Yhtälöstä BA + AB = BB = 0 saadaan BA = AB. 3. Chaslesin indentiteetin mukaan AB + BD = AC + CD = AD. Tällöin saadaan suunnikassääntö, jonka mukaan AB = CD jos ja vain jos BD = AC. Jos AB = CD, sanotaan, että vektori AB on samanpituinen ja samansuuntainen kuin vektori CD. Se ei siis tarkoita sitä, että A = C tai B = D. Ainissa avaruudessa vektorin lähtöpiste on vapaasti valittavissa, mikä on ainin avaruuden yksi tärkeimmistä ominaisuuksista. Tällä tavoin ainissa avaruudessa vektoreiden yhdensuuntaisuus säilyy. Kuva 3.1 havainnollistaa tilannetta erittäin hyvin. Kuva 3.1: Ainin avaruuden havainnollistaminen Ainin avaruuden (E, E, +) dimensio on sama kuin on vektoriavaruuden E dimensio. Seuraavaksi käydään läpi joitakin esimerkkejä ainista avaruudesta. Esimerkki 3.2. Jokaista vektoriavaruutta voi esittää ainina avaruutena, jos valitaan, että E = E ja toiminta + on tavallinen yhteenlasku vektoriavaruudessa. Selkeyden vuoksi joukon E pistettä merkitään 8

A = (a 1,..., a n ), missä a i R, ja vektoria ū =. jolloin toiminta + saa seuraavan muodon: u 1 A + ū = (a 1,..., a n ) +. u n u 1 u n = (a 1 + u 1,..., a n + u n )., missä u i R, Esimerkki 3.3. Oletetaan, että joukko U R 2 koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka ovat yhtälön 2x y + 1 = 0 ratkaisuja. Joukon kuvaaja on tällöin nouseva suora, joka leikkaa akselit pisteissä ( 1, 0) ja (0, 1). 2 Suoraa U pystyy esittämään ainina avaruutena määrittämällä toiminta + : U V U siten, että joukon U kahta pistettä A = (a, 1 + 2a) ja B = (b, 1 + 2b) kohti on olemassa vektori ū V R 2. Vektoriavaruus V koostuu kaikista niistä vektoreista, jotka ovat muotoa ū = (b a, 2b 2a), missä a, b R. Tässä kohtaa osoitetaan, että V on vektoriavaruus, jolloin lauseen 2.8 kaikkien kohtien pitää olla voimassa. Oletetaan, että ū 1, ū 2 V ja c R. Olkoon ū 1 = (b 1 a 1, 2b 1 2a 1 ) ja ū 2 = (b 2 a 2, 2b 2 2a 2 ), missä a 1, a 2, b 1, b 2 R. Tällöin 1. ū 1 + ū 2 = (b 1 a 1, 2b 1 2a 1 ) + (b 2 a 2, 2b 2 2a 2 ) = ((b 1 + b 2 ) (a 1 + a 2 ), 2(b 1 + b 2 ) 2(a 1 + a 2 )) V 2. cū 1 = c(b 1 a 1, 2b 1 2a 1 ) = (cb 1 ca 1, 2cb 1 2ca 1 ) V 3. Jos a 1 = b 1, niin (b 1 a 1, 2b 1 2a 1 ) = (0, 0) = 0 V. Joukko V on siis vektoriavaruus. Tällöin pätee (a, 1 + 2a) + ū = (b, 1 + 2b). Jos otetaan pisteet A = ( 1, 1) ja B = (1, 3), nähdään, että tällöin ū = (1 ( 1), 2 1 2 ( 1)) = (2, 4). Suora U ja vektori ū näkyvät kuvassa 3.2. 9

Kuva 3.2: Suora 2x y + 1 = 0 ja vektori ū Esimerkki 3.4. Oletetaan, että joukko U R 3 koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka toteuttavat yhtälön x 2 + x y + z 3 = 0. Joukon kuvaaja on parabolinen sylinteri, jota voi myös pitää ainina avaruutena määrittämällä toiminta + : U R( 2 ) U siten, että jokaiselle pisteelle u (x, y, 3 x 2 x + y) U ja vektorille R v 2 pätee, että (x, y, 3 x 2 x + y) + ( ) u = (x + u, y + v, 3 (x + u) 2 x u + y + v). v Joukko U näkyy kuvassa 3.3. Näistä esimerkeistä voi ymmärtää, että erilaiset pinnat, mukaan lukien suorat ja tasot, ovat aineja avaruuksia. 10

Kuva 3.3: Parabolinen sylinteri x 2 + x y + z 3 = 0 11

Luku 4 Aini kombinaatio, painopiste Lineaarialgebrassa lineaarikombinaatiolla on tärkeä rooli. Ainissa geometriassa vastaavanlaisessa asemassa on aini kombinaatio, jota kutsutaan myös painopisteeksi. Tästä eteenpäin tässä luvussa kaikissa määritelmissä ja esimerkeissä automaattisesti oletetaan, että kaikki toiminnat tapahtuvat ainissa avaruudessa. Määritelmä 4.1. Aini kombinaatio. Mille tahansa joukkoon E kuuluville pisteille P 1, P 2,..., P k ja skalaareille λ 1, λ 2,..., λ k, jotka ovat määritelty siten, että λ 1 + λ 2 + + λ k = 1, sekä mille tahansa pisteelle A E piste R = A + k λ i APi on painopiste eli aini kombinaatio. Skalaareja λ 1, λ 2,..., λ k kutsutaan myös pisteiden P 1, P 2,..., P k painoiksi. Vaihtoehtoisesti painopisteen R voi esittää seuraavalla tavalla: R = k λ ip i. Lisäksi tiedetään, että R = A + AR, jolloin on oltava AR = k AP i. λ i Painoilla varustettujen pisteiden painopiste on yksikäsitteinen ja näin ollen ei ole riippuvainen pisteestä A. Seuraavaksi todistetaan tämä tulos. Lemma 4.2. Oletetaan, että P 1, P 2,..., P k ovat joukkoon E kuuluvia pisteitä ja vastaavasti skalaarit λ 1, λ 2,..., λ k niiden painoja. Tällöin mille ta- 12

hansa kahdelle pisteelle A, B E pätee: A + Jos k k λ i = 1, niin λ i APi = B + Todistus. Chaslesin identiteetin mukaan k λ i BPi. A + k λ i APi = A + = A + k ( k = A + AB + = B + k λ i ( AB + BP i ) λ i ) AB + k λ i BPi λ i BPi. k λ i BPi Esimerkki 4.3. Olkoot painolla varustetut pisteet seuraavat: (P 1, 4 5 ), (P 2, 1 5 ) ja (P 3, 2 ). Kuvassa 4.1 näkyvät näiden pisteiden lisäksi myös alkupisteet A ja B, sekä painopiste R. Tämä esimerkki havainnollistaa sitä, 5 että painopisteen määrittelyssä alkupisteellä ei ole väliä. Ainin kombinaation määrittelyehto, jonka mukaan skalaarien summan pitää olla yksi, on välttämätön. Jos tämä ehto ei toteudu, painopisteestä ei tule yksikäsitteistä. Seuraava esimerkki havainnollistaa tätä tilannetta. Esimerkki 4.4. Oletetaan, että pisteiden P 1, P 2 E painot ovat λ 1 = λ 2 = 1, jolloin λ 1 + λ 2 1. Oletetaan lisäksi, että A, B E. Tällöin huomataan, että saadaan kaksi eri painopistettä R ja R. Näin ollen tässä tapauksessa painopiste ei ole yksikäsitteinen. Kuvio näkyy kuvassa 4.2. Yksi tärkeä huomio on se, että kun skalaarien summa on yksi, toteutuu seuraava ehto: λ 1RP1 + λ 2RP2 + + λ krpk = 0. 13

Kuva 4.1: Yksikäsitteinen painopiste On helppo osoittaa, että se pitää paikkansa. Jos yhtälössä AR = k λ iap i pisteen A paikalle laitetaan painopiste R, saadaan RR = 0 = k λ irp i. Kuva 4.3 havainnollistaa tilanteen. Erikoistapauksessa, kun pisteiden P 1, P 2,..., P k kaikki painot ovat samat ja suuruudeltaan 1, painopistettä kutsutaan keskipisteeksi. k Esimerkki 4.5. Oletetaan, että pisteiden P 1, P 2, P 3, P 4 E painot ovat λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1. Oletetaan, että A E. Tällöin painopiste R on 4 keskipiste. Se näkyy kuvassa 4.4. Esimerkki 4.6. Bézier-käyrä. Otetaan mikä tahansa lukumäärä pisteitä ja rajataan niiden ainien kombinaatioiden joukkoa niin, että pisteiden painot määräytyvät laajentamalla yhtälön (t + (1 t)) k 1 = 1 vasenta puolta binomikaavalla, missä k on pisteiden lukumäärä ja 0 t 1. Tällöin af- inien kombinaatioiden joukko muodostaa polynomikäyrän. Esimerkiksi jos pisteitä on neljä, P 1, P 2, P 3 ja P 4, aini kombinaatio (1 t) 3 P 1 + 3t(1 t) 2 P 2 + 3t 2 (1 t)p 3 + t 3 P 4, missä 0 t 1, on hyvin määritelty, sillä pisteiden painojen summa (1 t) 3 + 3t(1 t) 2 + 3t 2 (1 t) + t 3 tulee yhtälöstä (t + (1 t)) 3 = 1. Tämäntyyppisiä käyriä kutsutaan Bézier-käyriksi. Niitä käytetään piirtotekniikkana vektorigraikassa ja 3D-mallinnuksessa. Kuvassa 4.5 on esimerkki Bézier-käyrästä, joka on määritelty neljän pisteen avulla. 14

Kuva 4.2: Kaksi painopistettä Kuva 4.3: Painopiste 15

Kuva 4.4: Painopiste on keskipiste Kuva 4.5: Bézier-käyrä 16

Luku 5 Aini aliavaruus Lineaarialgebran aliavaruuden käsitettä vastaa aini aliavaruus. Käytännössä aini aliavaruus on origosta pois siirretty aliavaruus, jolloin sitä ei voi enää kutsua aliavaruudeksi. Osoitamme, että tämä pitää paikkansa määritelmän ja esimerkkien kautta. Määritelmä 5.1. Aini alivaruus. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Tällöin joukon E osajoukko V on ainin avaruuden (E, E, +) aini aliavaruus, jos kaikkien painoilla varustettujen joukkoon V kuuluvien pisteperheiden ((a i, λ i )) i I painopisteet i I λ ia i kuuluvat joukkoon V. Lisäksi ehdon i I λ i = 1 pitää olla voimassa. Tutkitaan esimerkin avulla, mitä tämä määritelmä tarkoittaa. Esimerkki 5.2. Oletetaan, että U = {(x, y) R 2 ax + by = c}, missä a 0 ja b 0. Oletetaan lisäksi, että pisteitä (x i, y i ) U sekä skalaareja λ i on m kappaletta, ja yhtälö λ 1 + λ 2 + + λ m = 1 toteutuu. Nyt näytetään, että tällöin kaikki painopisteet kuuluvat joukkoon U, toisin sanoen m λ i(x i, y i ) U. Ehdosta (x i, y i ) U seuraa, että ax i + by i = c. Jos tämä yhtälö kerrotaan skalaarilla λ i ja summataan tulokset kaikille pisteille ja skalaareille, saadaan uusi yhtälö m (λ i ax i + λ i by i ) = m λ i c, 17

jonka saa muotoon ( m ) ( m ) ( m ) a λ i x i + b λ i y i = λ i c = 1 c = c summan laskusääntöjä käyttämällä. Tästä näkee, että ( m ) m m λ i x i, λ i y i = λ i (x i, y i ) U. Tästä seuraa, että U on aini aliavaruus. Tarkastellaan seuraavaksi joukkoa U R 2, joka on U = {(x, y) R 2 ax + by = 0}. Joukko U eroaa joukosta U vain siinä, että yhtälön oikealla puolella on nolla eli c = 0. Samalla tavalla kuin joukon U tapauksessa voi osoittaa, että jos pisteitä ja skalaareja on m kappaletta, pätee, että m λ i (x i, y i ) U. Tässä tapauksessa ehto λ 1 +λ 2 + +λ m = 1 ei ole välttämätön, sillä yhtälön oikea puoli aina pysyy nollana. Joukkojen U ja U kuvaajat joukossa R 2 ovat yhdensuuntaisia suoria. Joukko U on tällöin origon kautta kulkeva suora. Joukot näkyvät kuvassa 5.1. Seuraavaksi todistetaan väite, että jos (x 0, y 0 ) U, niin U = (x 0, y 0 )+ U, missä (x 0, y 0 ) + U = {(x 0 + u 1, y 0 + u 2 ) (u 1, u 2 ) U }. Todistus. Näytetään ensin, että U (x 0, y 0 ) + U. Oletetaan, että (x, y) U ja ax + yb = c, jolloin myös ax 0 + by 0 = c. Tällöin saadaan a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = ax + by (ax 0 + by 0 ) = c c = 0, jolloin (x x 0, y y 0 ) U ja tällä tavoin (x, y) = (x 0, y 0 ) + (x x 0, y y 0 ) (x 0, y 0 ) + U. Nyt näytetään, että (x 0, y 0 ) + U U. Olkoon (u 1, u 2 ) U. Oletuksen mukaan ax 0 + by 0 = c ja au 1 + bu 2 = 0. Tällöin a(x 0 + u 1 ) + b(y 0 + u 2 ) = ax 0 + by 0 + au 1 + bu 2 = c + 0 = c, josta seuraa, että (x 0, y 0 ) + U U. Näin ollen U = (x 0, y 0 ) + U. Edellä mainittu tulos toimii myös matriiseilla. 18

Kuva 5.1: Joukkojen kuvaajat avaruudessa R 2 Esimerkki 5.3. x 1 Tässä esimerkissä pystyvektoreita merkitään tummenne- tulla kirjaimella, kuten. x n = x. Olkoon A m n matriisi ja b R m eräs vektori. Tällöin joukko U R n on määritelty seuraavalla tavalla: U = { x R n Ax = b}. Tässä joukko U on aini aliavaruus. Kuten edellisessä tapauksessa, tarkastellaan yhtälöä Ax = b vastaavan homogeenisen yhtälön Ax = 0 ratkaisujoukkoa U = { x R n Ax = 0}, joka on joukon R n osajoukko. Nyt saadaan määriteltyä aini aliavaruus U aliavaruuden U avulla. Kaikilla x 0 U pätee, että U = x 0 + U. Ennen kuin todistetaan saatu tulos virallisesti, esitetään tuttu painopisteen käsite osajoukkoja hyödyntäen. Olkoon V epätyhjä joukon E osajoukko. Tällöin jokaiselle pisteperheelle (A 1,..., A k ) V, sitä vastaavalle skalaariperheelle (λ 1,..., λ k ) sekä jokaiselle pisteelle A V pätee, että jokainen piste 19

R E, missä R = A + k λ i AAi, on painoilla varustetun pisteperheen ((A 1, λ 1 ),..., (A n, λ n ), (A, 1 n λ i)) painopiste, sillä n λ i + (1 n λ i) = 1. Seuraavan lemman ymmärtämistä varten sovitaan vielä merkinnöistä. Olkoon A E ja V E. Tällöin joukon E osajoukko A + V määritellään seuraavasti: A + V = {A + v v V }. Kuva 5.2 auttaa hahmottamaan tilannetta. Kuva 5.2: Aini aliavaruuden E määrittely Nyt siirrytään tärkeään lemmaan, jonka pohja luotiin edellisissa esimerkeissä. Lemma 5.4. Oletetaan, että (E, E, +) on aini avaruus. (1) Joukon E epätyhjä osajoukko V on aini aliavaruus, jos ja vain jos jokaiselle pisteelle A V joukko V = { AX X V } on vektoriavaruuden E aliavaruus, jolloin V = A + V. (2) Mille tahansa vektoriavaruuden E aliavaruudelle V ja mille tahansa pisteelle A E pätee, että joukko V = A + V on aini aliavaruus. 20

Todistus. (1) Osoitetaan ensin, että V on vektoriavaruuden E aliavaruus. Ensinnäkin XX = 0 V. Lisäksi jokainen painoilla varustetun pisteperheen ((A 1, λ 1 ),..., (A n, λ n ), (A, 1 n λ i)) aini kombinaatio X = n λ i A 1 + (1 n λ i )A kuuluu joukkoon V. Tällöin jokaisella X V kaikki lineaarikombinaatiot k AX = λ iaai, kuuluvat joukkoon V, mikä toteuttaa aliavaruuden määritelmään liittyvän lauseen 2.8 ehdot 1 ja 2. Siis V on aliavaruus. Nyt osoitetaan toinen suunta. Oletetaan, että V on vektoriavaruuden E aliavaruus. Tällöin kaikki lineaarikombinaatiot AX = k λ i AAi kuuluvat aliavaruuteen V, erityisesti sellaiset, jotka toteuttavat ehdon n λ i + (1 n λ i) = 1. Tällöin painoilla varustetun pisteperheen ((A 1, λ 1 ),..., (A n, λ n ), (A, 1 n λ i)) kaikki painopisteet X = n λ i A 1 + (1 n λ i )A kuuluvat joukkoon V. Siis joukko V on aini aliavaruus. (2) Jos V = A+ V, missä V E, silloin painoilla varustetun pisteperheen ((A + v i, λ i )) 1 i k, missä v i V ja λ 1 + + λ k = 1, painopiste R, joka on määritelty seuraavasti: R = A + k λ i A(A + v i ) = A + k λ i v i, kuuluu joukkoon V, sillä avaruus V on oletettu olevan avaruuden E aliavaruus. Näin ollen määritelmän mukaan joukko V = A + V on aini aliavaruus. 21

Lemma 5.4 osoittaa sen, että jokainen aini aliavaruus V on siirretty aliavaruus V. Toisaalta jokainen aliavaruus V on myös aini aliavaruus V, joka kulkee nollapisteen kautta. Kun aini aliavaruus V on määritelty aliavaruuden V avulla, aliavaruutta V kutsutaan sen ainin aliavaruuden suunnaksi. Tällöin kuvaus + : V V V on aini kuvaus. Ainissa geometriassa yhdensuuntaisuus on tärkeä käsite. Kaksi ainia aliavaruutta U ja V ovat yhdensuuntaiset, jos niiden suunta on sama, toisin sanoen U = V. Tällä tavoin U = A + U ja V = B + U, missä A U ja B V. Lisäksi joukko V saadaan joukosta U vektorin AB avulla. Ainin aliavaruuden V dimensio määräytyy aliavaruuden V dimension mukaan. Jos ainin aliavaruuden dimensio on 1, sitä kutsutaan suoraksi, jos 2, tasoksi. Lemmasta 5.4 seuraa, että suora on joukko, jonka alkiot täyttävät määrittelyehdon A + λ v, missä A E, v E ja v 0, sekä λ R. Taso määräytyy pisteistä, jotka täyttävät määrittelyehdon A + λū + µ v, missä A E ja ū, v E ovat lineaarisesti riippumattomat vektorit ja λ, µ R. Kolme pistettä A, B ja C sijaitsevat samalla suoralla, jos vektorit AB ja AC ovat lineaarisesti riippuvia. Jos vähintään kaksi kolmesta pisteestä ovat eri pisteitä, lineaarisesta riippuvuudesta johtuen AB = λ AC. Neljä pistettä A, B, C ja D sijaitsevat samalla tasolla, jos vektorit AB, AC ja AD ovat lineaarisesti riippuvia. 22

Luku 6 Aini riippumattomuus ja aini kehys Aini riippumattomuus määritellään lineaarisen riippumattomuuden avulla, joka on vastaavanlainen käsite lineaarialgebrassa. Käytännössä joukon E pisteperheen aini riippumattomuus määräytyy vektoriperheiden ( A i A j ) j I\{i} lineaarisesta riippumattomuudesta. Tässä A i on lähtöpiste. Seuraavaksi tarkastellaan lemmaa, jonka ansiosta riittää tarkastella vain yhtä vektoriperhettä. Lemma 6.1. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Olkoon (A i ) i I joukon E pisteperhe. Jos vektoriperhe ( A i A j ) j I\{i} on lineaarisesti riippumaton jollakin i I, silloin ( A i A j ) j I\{i} on lineaarisesti riippumaton kaikilla i I. Todistus. Oletetaan, että vektoriperhe ( A i A j ) j I\{i} on lineaarisesti riippumaton jollakin i I. Nyt on tarkoitus osoittaa, että jollakin k I, ehdolla k i, vektoriperhe on myös lineaarisesti riippumaton. Kuten lineaarisen riippumattomuuden määritelmä vaatii, oletetaan, että joillakin skalaareilla (λ j ) j I\{k} pätee, että λ j A k A j = 0. j I\{k} Vektoreiden laskusääntöjen mukaan A k A j = A k A i + A i A j, 23

jolloin j I\{k} λ j A k A j = j I\{k} = j I\{k} = j I\{i,k} λ j A k A i + λ j A k A i + λ j A i A j j I\{k} j I\{i,k} j I\{k} λ j A i A j λ j A i A j λ j A i A k = 0. Koska vektoriperhe ( A i A j ) j I\{i} on oletuksen mukaan lineaarisesti riippumaton, määritelmän mukaan täytyy olla, että λ j = 0 kaikilla j I \ {i, k} ja j I\{k} λ j = 0. Tästä johtuu, että λ j = 0 kaikilla j I \ {k}, mikä osoittaa väitteen todeksi. Määritelmä 6.2. Aini riippumattomuus. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Joukon E pisteperhe (A i ) i I on ainisti riippumaton, jos vektoriperhe ( A i A j ) j I\{i} on lineaarisesti riippumaton jollakin i I. Lineaarialgebrassa yksi tärkeä asia, joka liittyy lineaarisesti riippumattomaan vektorijonoon ( v 1,..., v k ) on se, että lineaarikombinaatiossa w = a 1 v 1 + + a k v k skalaarit (a 1,..., a k ) ovat yksikäsitteiset (lause 2.10). Tämä tieto tulee tarpeen, kun osoitetaan, että ainissa geometriassa pätee vastaavanlainen asia. Lemma 6.3. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Olkoon (A 0,..., A m ) joukon E pisteperhe, joita on m + 1 kappaletta. Olkoon X E. Oletetaan, että X = m i=0 λ ia i, missä m i=0 λ i = 1. Tällöin skalaarit (λ 0,..., λ m ) ovat yksikäsitteiset, jos ja vain jos vektoriperhe ( A 0 A 1,..., A 0 A m ) on lineaarisesti riippumaton. Todistus. Käytetään hyväksi ainin kombinaation määritelmän yhteydessä saatua tietoa siitä, että X = m i=0 λ i A i joss A 0 X = m λ i A 0 A i, missä m i=0 λ i = 1. Nyt käytetään hyväksi lausetta 2.10. Skalaarit (λ 0,..., λ m ), jotka toteuttavat yhtälön A 0 X = m A 0 A i, ovat yksikäsitteiset, jos ja λ i 24

vain jos vektoriperhe ( A 0 A 1,..., A 0 A m ) on lineaarisesti riippumaton. Tarkastellaan todistuksen osat erikseen. Ensiksi oletetaan, että vektoriperhe ( A 0 A 1,..., A 0 A m ) on lineaarisesti riippumaton, jolloin skalaarit (λ 1,..., λ m ) ovat yksikäsitteiset. Koska λ 0 = 1 m λ i, niin skalaari λ 0 on myös yksikäsitteinen. Tällä tavoin lemman yksi suunta on todistettu. Toiseksi oletetaan, että skalaarit (λ 0,..., λ m ), jotka toteuttavat ehdon X = m i=0 λ ia i, ovat yksikäsitteiset, jolloin skalaarit (λ 1,..., λ m ), jotka toteuttavat yhtälön A 0 X = m λ ia 0 A i ovat luonnollisesti myös yksikäsitteiset, mistä johtuu se, että vektoriperhe ( A 0 A 1,..., A 0 A m ) on lineaarisesti riippumaton. Äskeisen tuloksen avulla voidaan määritellä uusi käsite, aini kehys, joka juontaa juurensa vektoriavaruuden kannan käsitteestä. Määritelmä 6.4. Aini kehys. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Aini kehys, jonka lähtöpiste on A 0, on joukon E pisteet (A 0,..., A m ), joita on m + 1 kappaletta, sillä ehdolla, että vektorijono ( A 0 A 1,..., A 0 A m ) on vektoriavaruuden E kanta. Ainiksi kehykseksi, jonka lähtöpiste on A 0, kutsutaan myös paria (A 0, ( A 0 A 1,..., A 0 A m )). Tällöin pisteen X E voi esittää samalla tavalla kuin yllä olevassa lemmassa 6.3: X = λ 0 A 0 + + λ m A m. Tässä skalaarit (λ 0,..., λ m ), joiden summa on yksi, ovat yksikäsitteiset ja niitä kutsutaan pisteen X painopistekoordinaateiksi suhteessa ainiin kehykseen. Pisteen X voi esittää myös sen vektorikannan avulla: X = A 0 + x 1 A 0 A 1 +..., x m A 0 A m. Tällöin skalaareita (x 1,..., x m ) kutsutaan pisteen X koordinaateiksi suhteessa ainiin kehykseen (A 0, ( A 0 A 1,..., A 0 A m )). Joukon E pisteperhe (A i ) i I on anisti riippuva, jos se ei ole ainisti riippumaton. Seuraavaksi tarkastellaan joitakin esimerkkejä. Esimerkki 6.5. Oletetaan, että joukon E pisteet P 0, P 1 ja P 2 muodostavat ainin avaruuden (E, E, +) ainin kehyksen. Suhteessa ainiin kehykseen pisteiden P 0, P 1 ja P 2 painopistekoordinaatit ovat vastaavasti (1, 0, 0), 25

(0, 1, 0) ja (0,( 1). Pisteiden P 0 ja P 2 välin keskipisteen M painopistekoordinaatit ovat 1 2, 0, 1 ). Lisäksi kolmion P 0 P 1 P 2 keskipisteen K painopistekoordinaatit ovat ( 2 1 3, 1 3, 1 ). Kuvasta 6.1 näkyy koko tilanne. 3 Kuva 6.1: Kolmio P 0, P 1, P 2 Esimerkki 6.6. Olkoot joukon E pisteet A 0,..., A n ainisti riippumattomat. Tällöin joukkoa λa 0 + +λ n A n, missä λ 0 + +λ n = 1 ja λ i 0, kutsutaan konveksiksi muodoksi. Jos pisteitä on kaksi, joukoksi saadaan niiden pisteiden välinen jana. Jos pisteitä on kolme, saadaan kolmio, jonka kärjet ovat alkuperäiset pisteet. Jos pisteitä on neljä, saadaan tetraedri. Tässäkin tapauksessa pisteet A 0, A 1, A 2 ja A 3 ovat kärkinä. Joukkoa {A 0 + λ 1 A 0 A 1 + + λ n A 0 A n 0 λ i 1} kutsutaan monitahokkaaksi, jonka tahkot ovat suunnikkaita. Jos joukon E dimensio on kaksi, sitä kutsutaan suunnikkaaksi, jos kolme, suuntaissärmiöksi. Kuvassa 6.2 ovat yleisimmät konveksiset muodot, sekä suunnikas ja suuntaissärmiö. 26

Kuva 6.2: Esimerkkejä 27

Luku 7 Aini kuvaus Aini kuvaus säilyttää ainit kombinaatiot ja se voidaan esittää lineaarikuvauksen avulla. Määritelmä 7.1. Aini kuvaus. Oletetaan, että kolmikot (E, E, +) ja (E, E, + ) ovat aineja avaruuksia. Tällöin funktio E E on aini kuvaus, jos ja vain jos jokaiselle joukon E pisteperheelle ((A i, λ i )) i I ehdolla i I λ i = 1 pätee ( ) f λ i A i = λ i f(a i ), i I i I mikä tarkoittaa, että aini kuvaus säilyttää painopisteet. Aini kuvaus voidaan saada lineaarikuvauksesta. Tästä lähtien molempien ainien avaruuksien laskutoimitusten + ja + merkkinä käytetään + yksinkertaisuuden vuoksi. Oletetaan, että A E ja B E sekä että f : E E on lineaarikuvaus. Tällöin aini kuvaus f : E E on määritelty seuraavalla tavalla: f(a + v) = B + v, missä B = f(a). Näytetään, että tällä tavoin määritelty kuvaus f säilyttää painopisteet. Tiedetään, että kun i I λ i = 1, pätee λ i (A + v i ) = A + λ i A(A + v i ) = A + λ i v i i I i I i I ja λ i (B + f ( v i )) = B + i I i I λ i B(B + f ( v i )) = B + i I 28 λ i f ( vi ).

Tällöin ( ) ( f λ i (A + v i ) = f A + ) λ i v i i I i I ( ) = B + f λ i v i i I = B + λ i f ( vi ) i I = i I = i I λ i (B + f ( v i )) λ i f(a + v i ). Seuraavaksi näytetään, että ainin kuvauksen määritelmässä mainittu kuvaus f todellakin on lineaarikuvaus, jos oletetaan, että aini kuvaus säilyttää painopisteet. Lemma 7.2. Oletetaan, että f : E E on aini kuvaus. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus f : E E siten, että f(a + v) = f(a) + v, jokaiselle A E ja v E. Todistus. Oletetaan, että A E. Lineaarikuvaus f : E E on hyvin määritelty, kun f ( v) = f(a)f(a + v) kaikilla v E. Nyt pitää osoittaa, että kuvaus f on lineaarikuvaus ja että sen määrittely ei ole riippuvainen pisteen A E valinnasta. Osoitetaan ensin, että f (λ v) = λ f ( v). Koska A + λ v = A + λ A(A + v) + (1 λ) AA, voidaan kirjoittaa A + λ v = λ(a + v) + (1 λ)a. Määritelmän mukaan aini kuvaus f säilyttää painopisteet, joten f(a + λ v) = λf(a + v) + (1 λ)f(a). Tästä kaikesta saadaan f(a)f(a + λ v) = λf(a)f(a + v) + (1 λ) f(a)f(a) = λ f(a)f(a + v), 29

mistä seuraa, että f (λ v) = λ f ( v). Osoitetaan seuraavaksi, että f (ū + v) = f (ū) + f ( v) kaikilla ū, v E. Koska A + ū + v = A + A(A + ū) + A(A + v), voidaan kirjoittaa f(a)f(a + ū + v) = f(a)f(a + ū) + f(a)f(a + v), mistä seuraa, että f (ū + v) = f (ū) + f ( v) ja edellisen todistuksen osan kanssa tämä osoittaa, että f on lineaarikuvaus. Lopuksi osoitetaan, että lineaarikuvauksen määrittely ei ole riippuvainen pisteen A E valinnasta. Painopisteen määritelmän yhteydessä osoitettiin, että R = i I λ ia i on painoilla varustetun pisteperheen painopiste, jos ja vain jos Lisäksi BR = i I λ BA i. B + v = A + AB + v = A + A(A + v) AA + AB. Taas kerran f säilyttää painopisteet, joten saadaan Tästä seuraa, että f(b + v) = f(a + v) f(a) + f(b). f(b)f(b + v) = f(b)f(a + v) f(b)f(a) + f(b)f(b) = f(a)f(b) + f(b)f(a + v) = f(a)f(a + v), mitä pitikin osoittaa. Lineaarikuvauksen f määrittelyehdolla f(a + v) = f(a) + v on kaksi muuta vaihtoehtoista esitysmuotoa: f(x) = f(a) + f ( AX) ja f(a)f(x) = f ( AX) 30

kaikilla A, X E. Ainit kuvaukset f, joille f on identiteettikuvaus, kutsutaan translaatioiksi. Jos lineaarikuvaus on identiteetti eli f = id, niin f(x) = f(a) + f ( AX) = f(a) + AX = X + XA + Af(A) + AX = X + XA + Af(A) XA = X + Af(A). Saadaan, että f(x) = X + Af(A), mikä on sama kuin Xf(X) = Af(A). Tästä näkee, että f on translaatio, joka ei riipu pisteestä A. Nyt käsitellään joitakin ainien avaruuksien ominaisuuksia. Seuraavaksi näytetään, että kahden ainin kuvauksen yhdistetty kuvaus on myös aini kuvaus. Oletetaan, että f : E E ja g : E E ovat aineja kuvaksia. Tällöin ( g f = g(f(a + v)) = g f(a) + ) f ( v) = g(f(a)) + ( f ) g ( v), mikä on myös aini kuvaus. Oletetaan, että (E, E, +) on aini avaruus, jonka dimensio on m ja (A 0,..., A m ) on joukon E aini kehys. Lisäksi oletetaan, että (F, F, +) on myös aini avaruus ja joukko F sisältää m+1 kappaletta pisteitä (B 0,..., B m ). Tällöin on olemassa yksikäsitteinen aini kuvaus f : E F siten, että f(a i ) = B i, missä 0 i m. Tällöin aini kuvaus f on f(λ 0 A 0 + + λ m A m ) = λ 0 B 0 + + λ m B m. Tässäkin ehto m i=0 λ i = 1 on voimassa. Aini kuvaus on yksikäsitteinen koko joukossa E, sillä sen ainin kehyksen kaikki pisteet ovat kuvauksessa mukana. Ainin kuvauksen voi esittää myös matriisin muodossa. Helpointa on käyttää apuna ainin kuvauksen f : E F ainia kehystä (A 0,..., A n ). Koska f(a 0 + x) = f(a 0 ) + f ( x) kaikilla x E, tällöin A 0 f(a 0 + x) = A 0 f(a 0 ) + f ( x). 31

Edellisen yhtälön vektorit voidaan esittää seuraavalla tavalla: x = x 1 A 0 A 1 + + x n A 0 A n A 0 f(a 0 ) = b 1 A 0 A 1 + + b n A 0 A n A 0 f(a 0 + x) = y 1 A 0 A 1 + + y n A 0 A n. Nyt jos A on lineaarikuvaukseen f liittyvä n n matriisi ja ( A 0 A 1,, A 0 A n ) on vektoriavaruuden E kanta, voidaan vektorit x, b ja ȳ esittää sarakevektoreina (x 1,..., x n ), (b 1,..., b n ) ja (y 1,..., y n ), jolloin yhtälöt A 0 f(a 0 + x) = A 0 f(a 0 ) + f ( x) ja ȳ = A x + b ovat ekvivalentteja. Huomaututksena pitää sanoa, että aini kuvaus on lineaarikuvaus ainoastaan silloin, jos translaatio eli b on nollavektori, jolloin f(a 0 ) = A 0. Tällöin pistettä A 0 kutsutaan kiinteäksi pisteeksi. Seuraavaksi tarkastellaan, mitä ainit kuvaukset käytännössä ovat, parin esimerkin avulla. Esimerkki 7.3. Katsotaan, miten aini kuvaus ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 2 x 1 + y 2 1 y 3 vaikuttaa kolmioon ABC, jonka kärkien koordinaatit ovat A = (0, 0), B = (2, 1) ja C = ( 2, 3). Ainin kuvauksen kuvana on myös kolmio. Sen kärkien koordinaatit ovat ja A = B = C = ( 0 2 2 1 ) ( ) 0 + 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 2 1 3 ( ) 1 = 3 + + ( ) 1 = 3 ( ) 1 = 3 ( ) 1, 3 ( ) 1 8 ( ) 5. 2 Kolmiot ABC ja A B C näkyvät kuvassa 7.1. Ainin kuvauksen myötä kolmion mittasuhteet muuttuvat, se kääntyy ja siirtyy ylöspäin. 32

Kuva 7.1: Kolmiot ABC ja A B C Esimerkki 7.4. Tutkitaan ainin kuvauksen ( ) ( 1 x ) (x ) 3 y 3 + 3 1 y ( ) 2 1 vaikutusta neliöön ABCD, jonka kärkipisteinä ovat A = (0, 0), B = (3, 0), C = (3, 3) ja D = (0, 3). Ainin kuvauksen voi myös esittää muodossa ( ) ( x 0 2 ) 3 1 ( ) ( ) y 3 2 2 2 0 1 x 2 +. 3 y 1 2 2 Tästä voi jo ennustaa, että aini kuvaus kääntää neliön, venyttää sitä ja kiertää sen sekä myös siirtää sen. Lasketaan vielä, mihin neliön ABCD kärkipisteet kuvautuvat. ( 1 A ) (0 ) 3 = 3 + 3 1 0 ( 1 B ) (3 ) 3 = 3 + 3 1 0 33 ( ) ( ) 2 2 =, 1 1 ( ) ( 2 = 1 3 3 3 1 ),

( 1 C ) (3 ) 3 = 3 + 3 1 3 ( ) 2 = 1 ( ) 3 3 3 3 3 + 2 ja ( 1 D ) (0 ) 3 = 3 + 3 1 3 ( ) 2 = 1 ( 2 3 3 2 ). Neliöt ABCD ja A B C D näkyvät kuvassa 7.2. Kuva 7.2: Neliöt ABCD ja A B C D Jos oletetaan, että aini kuvaus f : E E on bijektio ja kolme joukon E pistettä A, B ja C sijaitsevat samalla suoralla, missä A B ja C = (1 λ)a + λb, huomataan, että pisteet f(a), f(b) ja f(c) ovat myös samalla suoralla. Syy siihen on se, että aini kuvaus säilyttää painopisteet, jolloin f(c) = (1 λ)f(a) + λf(b). Lisäksi kolmelle samalla suoralla sijaitsevalle pisteelle A, B ja C, missä A C ja B = (1 β)a + βc, voidaan määrittää pistejonon A, B, C suhde: suhde(a, B, C) = β 1 β = AB BC. 34

Seuraavaksi tarkastellaan bijektiivisiin aineihin kuvauksiin liittyvää käsitettä: homotetiaa. Olkoon A E ja λ R. Homotetiakeskuksen A ja suhdeluvun λ homotetia on kuvaus H A,λ, joka määritellään seuraavalla tavalla: H A,λ (X) = A + λ AX kaikilla X E. Kun λ = 1, H A,1 on identiteettikuvaus. Esimerkki 7.5. Olkoon O E homotetiakeskus ja λ = 2. Oletetaan myös, että A, B, C E. Tällöin ja H O,2 (A) = A + 2 OA = A, H O,2 (B) = B + 2 OB = B H O,2 (C) = C + 2 OC = C. Tämän esimerkin homotetia on havainnollistettu kuvassa 7.3. Kuva 7.3: Homotetia 35

Luku 8 Ainin geometrian esimerkkejä Tässä luvussa todistetaan kolme ainin geometrian tulosta kayttäen apuna sitä tietoa, mitä ollaan käsitelty. Lemma 8.1. Thaleen lause. Olkoon kolmikko (E, E, +) aini avaruus. Oletetaan, että H 1, H 2, ja H 3 ovat kolme yhdensuuntaista hypertasoa. Hypertasoksi kutsutaan (n 1)-ulotteista ainia aliavaruutta. Lisäksi oletetaan, että suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaisia hypertasojen kanssa, pisteet A 1, A 2 ja A 3 ovat suoran s ja hypertasojen leikkauspisteet, sekä pisteet B 1, B 2 ja B 3 ovat vastaavasti suoran l ja hypertasojen leikkauspisteet. Tällöin seuraavat suhteet ovat samat: A 1 A 3 = A 1 A 2 B 1 B 3 B 1 B 2 = r. Toisinpäin, jos mille tahansa suoralla s olevalle pisteelle C pätee, että A 1 C = r, niin C = A 3. Kuva 8.1 havainnollistaa tilannetta. A 1 A 2 Todistus. Koska tasot H 1, H 2 ja H 3 ovat yhdensuuntaiset, niillä on sama suunta H E. Nyt on tarkoitus projektoida suoran l pisteet suoralle s kulkien hypertasojen suuntaa pitkin. Esitetään suora s suuntavektorin avulla: olkoon vektori ū E \ H, sellainen, että s = A 1 + Rū. Suora s ei ole yhdensuuntainen hypertasojen kanssa, joten voidaan määrittää lineaarikuvaus f : E Rū, joka on hypertasojen suunnan H kanssa yhdensuuntainen projektio suoralle Rū. Tämän lineaarikuvauksen avulla saadaan aini kuvaus f : E s, joka määritellään seuraavalla tavalla: f(b 1 + w) = A 1 + f ( w) 36

Kuva 8.1: Thaleen teoreema kaikilla w E. Tällöin piste B 1 kuvautuu pisteeksi A 1 eli f(b 1 ) = A 1. Koska tasoilla H 1, H 2 ja H 3 on sama suunta H, niin myös f(b 2 ) = A 2 ja f(b 3 ) = A 3. Aini kuvaus f säilyttää samalla suoralla sijaitsevien pisteiden suhteet, joten A 1 A 3 = A 1 A 2 B 1 B 3. B 1 B 2 Nyt todistetaan toinen väite. Oletetaan, että piste C on mikä tahansa A 1 C B 1 B 3 suoralla s oleva piste ja että = r. Tiedetään, että myös = r. A 1 A 2 B 1 B 2 Tällöin samalla tavalla kuin edellisessä todistuksessa määritellyn kuvauksen f mukaan pitää olla, että f(b 3 ) = C. Koska kuvaus f säilyttää samalla suoralla sijaitsevien pisteiden suhteet, pitää olla, että f(b 3 ) = A 3, jolloin välttämättä C = A 3. Seuraavaksi todistetaan yksi lemma, josta on apua seuraavissa lauseissa. Lemma 8.2. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus, pisteet A, B E eivät ole samat ja f on homotetiakuvaus, joka ei ole identiteettikuvaus. Jos A = f(a), s =< A, B > on pisteiden A ja B kautta kulkeva suora ja s on pisteen A kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran s kanssa, niin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: (i) B = f(b); (ii) Olkoon l pisteen B kautta kulkeva ja pisteiden A ja A kautta kulkevan suoran kanssa yhdensuuntainen suora. Jos f on translaatio, niin B on suorien s ja l leikkauspiste. 37

Jos homotetiakuvauksen f homotetiakeskus on piste C, niin B = s < C, B >. Tässä lemmassa on siis kaksi osaa, jotka todistetaan erikseen. Todistus. (Osa 1) Osan 1 tilanne näkyy kuvassa 8.2. Kuva 8.2: Osa 1 Oletetaan, että B = f(b) ja että kuvaus f on translaatio, jolloin Af(A) = AA = BB = Bf(B) eli vektoreiden pituus ja suunta ovat samat. Siitä, että vektoreiden suunta on sama, johtuu, että pisteiden A ja A kautta sekä pisteiden B ja B kautta kulkevat suorat ovat yhdensuuntaiset eli piste B sijaitsee suoralla l. Suorien yhdensuuntaisuudesta ja siitä, että vektoreiden AA ja BB pituudet ovat samat, johtuu, että pisteiden A ja B kautta kulkeva suora s on yhdensuuntainen pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kautta, joka on määrittelyn mukaan suora s. Siis piste B sijaitsee sekä suoralla l että suoralla s. Näin ollen piste B on niiden suorien leikkauspiste. Todistetaan väite toiseen suuntaan. Oletetaan, että f on translaatio ja piste B on suorien s ja l leikkauspiste. Edelleen translaation vuoksi pätee, että Af(A) = AA = Bf(B), joten pisteen f(b) on todistuksen toisen suunnan mukaan oltava suorien l ja s leikkauspiste, joka oletuksen mukaan on piste B. Siis B = f(b). (Osa 2) Kuvan 8.3 avulla tilanne selkenee. Oletetaan, että B = f(b) ja että homotetiakuvauksen f homotetiakeskus on piste C. Homotetiakuvauksesta f C,λ (B) = C + λ BC = B, missä λ 1, johtuu, että piste B luonnostaan sijaitsee suoralla, joka kulkee pisteiden B ja C kautta. Lisäksi homotetiakuvauksesta johtuen CA CB mittasuhteet säilyvät: =. Tällöin Thaleen lauseen mukaan AA BB 38

Kuva 8.3: Osa 2 pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran s on oltava yhdensuuntainen pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kanssa, jonka täytyy olla suora s. Piste B siis sijaitsee sekä suoralla s että suoralla < C, B > eli B = s < C, B >. Todistetaan väite toiseen suuntaan. Oletetaan, että homotetiakuvauksen f homotetiakeskus on piste C ja B = s < C, B >. Tällöin suoraan Thaleen lauseeseen viitaten kuvaus f on määritelty niin, että B = f(b). Lemma 8.3. Pappoksen lause. Oletetaan, että E on aini taso, suorat s ja s eivät ole samat, sekä pisteet A, B ja C ovat suoralla s. Oletetaan lisäksi, että pisteet A, B ja C ovat suoralla s. Jos mikään pisteistä A, B, C, A, B ja C ei ole suorien s ja s leikkauspiste ja suorat < A, B > ja < A, B > ovat yhdensuuntaiset samoin kuten suorat < B, C > ja < B, C >, niin suorat < A, C > ja < A, C > ovat myös yhdensuuntaiset. Suorat näkyvät kuvassa 8.4. Kuva 8.4: Pappoksen lause 39

Todistus. Jos suorat s ja s eivät ole yhdensuuntaiset, olkoon O niiden leikkauspiste. Olkoon f homotetiakuvaus, jonka homotetiakeskus on piste O, ja jolle pätee, että f(a) = B. Lisäksi olkoon g homotetiakuvaus, jonka homotetiakeskus on myös piste O, ja jolle pätee g(b) = C. Koska suorat < A, B > ja < A, B > ovat yhdensuuntaiset, lemman 8.2 mukaan A = f(b ). Samalla tavalla koska < B, C > ja < B, C > ovat yhdensuuntaiset, niin B = g(c ). Olkoon h = g f, jolloin h(a) = C ja näin ollen h(a ) = C. Edelleen lemmasta 8.2 johtuen suorat < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset. Jos suorat s ja s ovat yhdensuuntaiset, todistus menee samalla tavalla translaatioita käyttäen. Olkoon f translaatio, jolle pätee f(a) = B. Olkoon g translaatio, jolle pätee g(b) = C. Koska suorat < A, B > ja < A, B > ovat yhdensuuntaiset, lemman 8.2 mukaan A = f(b ). Samalla tavalla koska < B, C > ja < B, C > ovat yhdensuuntaiset, niin B = g(c ). Olkoon h = g f, jolloin h(a) = C ja näin ollen h(a ) = C.Tällöin lemmasta 8.2 johtuen suorat < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset. Lemma 8.4. Desarguesin lause. Oletetaan, että kolmikko (E, E, +) on aini avaruus. Olkoot ABC ja A B C kolmioita. Jos kolmioiden sivut < A, B > ja < A, B > sekä < B, C > ja < B, C > ovat yhdensuuntaiset, niin sivut < A, C > ja < A, C > ovat myös yhdensuuntaiset, jos ja vain jos suorat < A, A >, < B, B > ja < C, C > ovat joko yhdensuuntaiset tai niillä on yhteinen leikkauspiste. Lausetta havainnollistaa kuva 8.5. Kuva 8.5: Desarguesin lause Todistus. Oletetaan ensin, että suorat < A, B > ja < A, B >, < B, C > ja < B, C >, sekä < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset. Koska suorat < A, B > ja < A, B > ovat yhdensuuntaiset, piteet A, A, B ja B sijaitsevat samalla tasolla. Tällöin suorat < A, A > ja < B, B > ovat jo- 40

ko yhdensuuntaiset tai leikkaavat toisensa pisteessä O. Tarkastellaan tapaus, jossa suorat leikkaavat toisensa. Olkoon f homotetiakuvaus, jonka homotetiakeskus on piste O ja f(a) = A. Tällöin lemman 8.2 mukaan f(b) = B. Jos f(c) = C, niin edelleen lemman 8.2 mukaan suorat < B, C > ja < B, C > sekä suorat < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset. Koska pisteen A kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran < A, C > kanssa, on yksikäsitteinen, ja se on suora < A, C >, täytyy olla, että C = C. Näin ollen suora < C, C > leikkaa suorat < A, A > ja < B, B > homotetiakeskuksessa eli pisteessä O. Nyt mennään tapaukseen, missä suorat < A, A > ja < B, B > ovat yhdensuuntaiset. Olkoon kuvaus f sellainen translaatio, että f(a) = A ja f(b) = B lemmasta 8.2 johtuen. Tällöin jos f(c) = C, niin lemman 8.2 mukaan suorat < B, C > ja < B, C > sekä suorat < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset, mikä edelleen johtaa siihen johtopäätökseen, että C = C. Tästä syystä suorat < A, A >, < B, B > ja < C, C > ovat yhdensuuntaiset. Todistetaan toinen suunta. Oletetaan, että suorat < A, A >, < B, B > ja < C, C > ovat joko yhdensuuntaiset tai niillä on yhteinen leikkauspiste, ja sen lisäksi, että < A, B > ja < A, B > sekä < B, C > ja < B, C > ovat yhdensuuntaiset. Tarkastellaan tapaus, missä suorat < A, A >, < B, B > ja < C, C > leikkaavat toisensa pisteessä O. Olkoon f homotetiakuvaus, jonka homotetiakeskus on piste O ja jonka mukaan f(a) = A. Lemmasta 8.2 johtuu se, että f(c) = C sekä se, että tällöin suorien < A, C > ja < A, C > on oltava yhdensuuntaiset. Nyt katsotaan, mitä tapahtuu, jos suorat < A, A >, < B, B > ja < C, C > ovat yhdensuuntaiset. Suorat < A, B > ja < A, B > sekä < B, C > ja < B, C > ovat oletuksen mukaan myös yhdensuuntaiset. Olkoon kuvaus f translaatio, jonka mukaan f(a) = A, sekä lemmasta 8.2 johtuen f(c) = C. Tällöin taas kerran lemman 8.2 mukaan tulos on se, että suorat < A, C > ja < A, C > ovat yhdensuuntaiset. 41

Luku 9 Kirjallisuutta (1) N. L. Balazs (1980) Weyl's association, Wigner's function and ane geometry, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol.102(2) (2) J. Gallier (2018) Curves and Surfaces In Geometric Modeling: Theory And Algorithms, University of Pennsylvania, Department of Computer and Information Science (3) J. Gallier (2011) Geometric Methods and Applications for Computer Science and Engineering, 2. painos, Springer (4) J. Häsä, L. Oinonen, J. Rämö (2015) Johdatus lineaarialgebraan, Osa I, Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos (5) K. T. Leung (1974) Linear Algebra and Geometry, Hong Kong University Press (6) L. Oinonen, J. Rämö (2015) Johdatus lineaarialgebraan, Osa II, Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos (7) I. R. Shafarevich, A. O. Remizov (2013) Linear Algebra and Geometry, Springer 42