Tietokonegraikan geometriaa
|
|
- Pekka Ranta
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tietokonegraikan geometriaa Eero Hyry kevät 2015
2 i Sisältö 0 Lineaarialgebran kertausta 1 1 Ainit avaruudet 5 Ainit avaruudet vs. vektoriavaruudet Ainit aliavaruudet 12 Konveksi verho Ainit kannat 22 4 Ainit kuvaukset 28 Ainit kuvaukset käytännössä Keskusprojektio 40 Mitä ovat projektiivisen tason suorat? Projektiiviset avaruudet 48 7 Projektiiviset kuvaukset 56 8 Bernsteinin polynomeista 63 9 Bezier -käyrät 66 Casteljaun algoritmi
3 0 Lineaarialgebran kertausta Määritelmä 0.1. Vektoriavaruus on kolmikko + : V V V, (u, v) u + v : R V, (λ, u) λu ("yhteenlasku", "skalaarikertolasku") siten, että V 1: (V,+) on Abelin ryhmä ts. a) u + v = v + u kaikilla u, v V b) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V c) on olemassa 0 V, jolle v + 0 = 0 + v = v kaikilla v V d) jokaisella v V on olemassa alkio v V, jolle v + ( v) = ( v) + v = 0 V 2: λ(µv) = (λµ)v kaikilla λ, µ R ja v V V 3: (λ + µ)v = λv + µv kaikilla λ, µ R ja v V V 4: λ(u + v) = λu + λv kaikilla λ R ja u, v V V 5: 1 v = v kaikilla v V Määritelmä 0.2. Jos V on vektoriavaruus, niin joukko W V on V:n aliavaruus, mikäli 0 W u, v W u + v W λ R, v W λv W Sama toisin: W V :n aliavaruus, jos ja vain jos λ 1,..., λ n R ja v 1,..., v n W n λ i v i = λ 1 v λ n v n W Esimerkki. Jos V on vektoriavaruus ja S V, niin S:n virittämä aliavaruus < s > = span(s) := W, missä W V on aliavaruus ja S W. Konkreettisesti { } < s >= λ i v i λ 1,..., λ n R, v 1,..., v n S. 1
4 Määritelmä 0.3. Olkoon V vektoriavaruus. Joukko {v 1,..., v n } V on vapaa, mikäli λ i v i = 0, missä (λ 1,..., λ n R) λ 1 =... = λ n = 0. Muutoin {v 1,..., v n } on sidottu. Määritelmä 0.4. Olkoon V vektoriavaruus. Joukko {v 1,..., v n } on V:n kanta, mikäli V = < v 1,..., v n > {v 1,..., v n } on vapaa Huomautus. {v 1,..., v n } on kanta kun jokainen v V voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = λ i v i, missä λ i v i R. Esimerkki. R n :n standardikanta on {e 1,..., e n }, missä e 1 = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). Lause 0.5. Jos V on äärellisviritteinen vektoriavaruus, niin 1. jokainen V:n virittäjistö sisältää kannan 2. kanta on minimaalinen virittäjäjoukko 3. jokainen vapaa joukko voidaan täydentää kannaksi 4. kanta on maksimaalinen vapaa joukko 5. kaikissa V:n kannoissa on sama määrä alkioita Määritelmä 0.6. Jos V on vektoriavaruus, jolla on kanta {v 1,..., v n }, niin sanotaan, että V on n-ulotteinen. Merkitään dim(v ) = n. Määritelmä 0.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen, mikäli ( ) L λ i v i = λ i L(v i ), kaikilla λ 1,..., λ n R ja v 1,..., v n V. 2
5 Lause 0.8. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Jos {v 1,..., v n } V on V:n kanta ja {w 1,..., w n } W, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W siten, että L(v i ) = w i, missä i {1,..., n}. V W {v 1,..., v n } Seuraus. Jos V on vektoriavaruus, jolla on kanta {v 1,..., v n }, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarinen isomorsmi L : V R n siten, että L(v i ) = e i, missä i {1,..., n}. Olkoot V, W vektoriavaruuksia, joilla on kannat S := {v 1,..., v n }, T := {w 1,..., w m }. Jos L : V W on lineaarikuvaus, niin kirjoitetaan kaikilla j {1,..., n} L(v j ) = m λ ij w j missä λ ij R ja i {1,..., m}. Määritelmä 0.9. Edellä mainitun lineaarikuvauksen L matriisi on M(L j S i T ) := [λ ij ] = m n-matriisi, (i {1,..., m}, j {1,..., n}) jonka j:nnen sarakkeen muodostavat vektorin L(v j ) koordinaatit Jos S ja T ovat selviä voidaan merkitä λ ij. λ mj M(L) = M(L j S i T ) 3
6 Lause Olkoon V, W, U vektoriavaruuksia, joilla on kannat S = {v 1,..., v n }, T = {w 1,..., w m } ja R = {u 1,..., u l }. Jos L : V W ja K : W U ovat lineaarikuvauksia, niin M(K L j S i R) = M(K j T i R) M(L j S i T ) }{{}}{{}}{{} l n l m m n W L V K K L U Todistus. Merkitään M(L j S i T ) := [λ kj ] M(K j T i R) := [µ ik ] Jos j {1,..., n}, niin (K L)(v j ) = K(L(v j )) ( m ) = K λ kj W k = = = k=1 m λ kj K(W k ) k=1 m (k {1,..., m}, j {1,..., n}) (i {1,..., l}, k {1,..., m}) µ ik u i ) l λ kj( k=1 l ( m ) µ ik λ kj k=1 }{{} M(K L j S i R) ij u i 4
7 1 Ainit avaruudet Ongelma: Onko avaruutemme R 3? Origo? Tietokonegraikka: Alla olevat kuviot ovat "graasia primitiivejä lokaalissa koordinaatistossa". y y y 1 1 x x 1 1 x Jos ajatellaan, että on olemassa "maailmankoordinaatisto", niin ei ole olemassa "luonnollista" origoa. Esimerkki. xy-taso {(x, y, 0) x, y R} R 3 aliavaruus. Mutta mikä on {(x, y, 1) x, y, 1 R}? Esimerkki. Taso H := {(x, y, z) R 3 z = 1} ei ole R 3 :n aliavaruus. Kuitenkin pisteitä (x, y, z) H voidaan "siirtää"ts. (t, s) R 2 (x, y, z) + (t, s, 0) = (x + t, y + s, z) H. Täten voidaan määritellä kuvaus σ : R 2 H H, ((t, s), (x, y, z)) (x + t, y + s, z) Määritelmä 1.1. Aini avaruus on kolmikko (E, V, σ), missä E on epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja σ : V E E siten, että A1: σ(0, P ) = P kaikilla P E A2: σ(w, σ(v, P )) = σ(v + w, P ) kaikilla P E ja v, w V A3: Kaikilla P, Q E on olemassa yksikäsitteinen v V siten, että σ(v, P ) = Q. Merkitään P Q := v. Sanotaan, että E:n alkiot ovat pisteitä ja V on siirtoavaruus. Ainin avaruuden (E, V, σ) dimensio on dim(v ). 5
8 Esimerkki. Edellä mainituin merkinnöin (H, R 2, σ) on aini avaruus. Esimerkki. Standardi aini avaruus on (R n, R n, σ), missä σ : R n R n R n, (u, v) u + v Esimerkki. Tarkastellaan suoraa E := {(x, y) R 2 x + y = 1}. Määritellään kuvaus σ : R E E asettamalla σ((t, (x, y)) = (x + t, y t), josta saadaan aini avaruus (E, R, σ). Nimittäin, A1: σ(0, (x, y)) = (x + 0, y 0) = (x, y) kaikilla (x, y) E A2: σ(s, σ(t, (x, y)) = σ(s, (x + t, y t)) = (x + t + s, y t s) = (x + (t + s), y (t + s)) A3: Olkoon (x, y), (x, y ) E. Jos t R siten, että Todellakin, σ(t, (x, y)) = (x, y ) (x + t, y t) = (x, y ) t = x x = y y σ(x x, (x, y)) = (x + x x, y x + x) = (x, y ). Esimerkki. Tarkastellaan paraboloidia E := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z}. Määritellään kuvaus σ : R 2 E E, asettamalla σ((t, s), (x, y, z)) = (x + t, y + s, (x + t) 2 + (y + s) 2 ), josta saadaan aini avaruus (E, R 2, σ). Tässä tapauksessa määritelmän kohdat A1, A2 ovat selviä. A3: Olkoon (x, y, z), (x, y, z ) E. Jos (t, s) R 2 siten, että σ((t, s), (x, y, z)) = (x, y, z ), niin josta seuraa (x + t, y + s, (x + t) 2 + (y + s) 2 ) = (x, y, z ), { { x + t = x y + s = y t = x x s = y y 6
9 Kääntäen, σ((x x, y y), (x, y, z)) = (x + x x, y + y y, (x + x x) 2 + (y + y y) 2 ) = (x, y, x 2 + y 2 ) = (x, y, z ) Huomautus. Olkoon (E, V, σ) aini avaruus. Usein puhutaan vain ainista avaruudesta E ja merkitään E = V ja P + v := σ(v, P ) kaikilla P E ja v V. Tällöin aksioomat ovat: A1: P + 0 = P kaikilla P E A2: (P + v) + w = P + (v + w) kaikilla P E ja v, w E A3: Kaikilla P, Q E on olemassa yksikäsitteinen v E siten, että P + v = Q Ainit avaruudet vs. vektoriavaruudet Olkoon E aini avaruus E A P AP v E Valitaan A E ("origo"). Määritellään kuvaus ϕ A : E E asettamalla kaikilla P E. ϕ A (P ) A3 = AP Lause 1.2. Edellä mainittu kuvaus ϕ A : E E on bijektio. Erityisesti asettamalla jolloin P + A Q := ϕ 1 A (ϕ A(P ) + ϕ A (Q)), λ A P := ϕ 1 A (λϕ A(P )) kaikilla P, Q E ja λ R, saadaan joukosta E vektoriavaruus (merkitään E A ). Tällöin ϕ A on lineaarinen isomorsmi E A E. 7
10 Todistus. Osoitetaan, että kuvaus ψ A : E E, v A + v on ϕ A :n käänteiskuvaus. ψ A ϕ A = id E : Olkoon P E, jolloin (ψ A ϕ A )(P ) = ψ A (ϕ A (P )) = ψ A ( AP ) = A + AP A3 = P ϕ A ψ A = id E Olkoon v E, jolloin E on vektoriavaruus HT. ϕ A lineaarinen: (ϕ A ψ A )(v) = ϕ A (ψ(v)) Olkoon λ, µ R ja P, Q E, josta seuraa = ϕ A (A + v) = A(A + v) A3 = v ϕ A (λ A P + A µ A Q) = ϕ A (ϕ 1 A (λϕ A(P )) + A ϕ 1 A (µϕ A(Q))) = ϕ A (ϕ 1 A (λϕ A(P ))) + ϕ A (ϕ 1 A (µϕ A(Q))) = λϕ A (P ) + µϕ A (Q) Lause 1.3. Olkoon E aini avaruus. Tällöin (a) P Q = 0 P = Q (b) P Q = QP kaikilla P, Q E Todistus. (a) Nyt, Q A3 = P + P Q = P + 0 A1 = P 8
11 (b) Oletetaan sitten, että josta seuraa, että Tällöin, mistä, P A1 = P + 0 A3 P P = 0 P + P Q A3 = Q ja Q + QP A3 = P, P + P Q = (Q + QP ) + P Q A2 = Q + ( QP + P Q) = Q QP + P Q = QQ = 0, P Q = QP Lause 1.4. (Chasles) Jos E on aini avaruus, niin P Q + QR = P R kaikilla P, Q, R E Todistus. Nyt, P + ( P Q + QR) A2 = (P + P Q) + QR A3 = Q + QR A3 = R A3:n yksikäsitteisyydestä seuraa, että P Q + QR = P R Lause 1.5. Olkoon E aini avaruus. Jos P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1, niin A + λ i APi = B + λ i BPi kaikilla A, B E 9
12 Todistus. Nyt, A + λ i APi = = A + =A + ( λ i ( AB + BP i ) (λ iab + λibpi ) λ iab + λ ibpi ) ( ( ) = A + λ i AB + }{{} =1 = (A + AB) + = B + λ i BPi λ i BPi ) ) λ ibpi Määritelmä 1.6. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 1,..., P n E aini kombinaatio on piste λ i P i := A + λ iapi, missä A E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1. Usein sanotaan myös, että n λ i P i on pisteiden P 1,..., P n massakeskipiste, kun näillä on painot λ 1,..., λ n R. Esimerkki. Olkoon E = R 2, n = 2. Olkoon lisäksi P 1, P 2 R 2 ja λ 1, λ 2 R siten, että λ 1 + λ 2 = 1. Merkitään P := λ 1 P 1 + λ 2 P 2. Valitaan A = P 1. Tällöin, P = P 1 + λ 1 P 1 P 1 + λ 2 P 1 P 2 = P 1 + λ 2 P 1 P 2 Siis, P on P 1 :n ja P 2 :n kautta kulkevalla suoralla (erityisesti λ 1, λ 2 0 P janalla P 1 P 2 ). Havaitaan, että P 1 P = λ 2 P 1 P 2. Sanotaan, että P jakaa janan P 1 P 2 suhteessa λ 2 : λ 1. 10
13 Esimerkki. Olkoon E = R 2 ja n = 3. Olkoon lisäksi P 1, P 2, P 3 R 2 ja λ 1, λ 2, λ 3 R siten, että λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1. Merkitään P = λ 1 P 1 + λ 2 P 2 + λ 3 P 3. A = P 1 P = P 1 + λ 2 P 1 P 2 + λ 3 P 1 P 3 A = P 2 P = P 2 + λ 1 P 2 P 1 + λ 3 P 2 P 3 A = P 3 P = P 3 + λ 1 P 3 P 1 + λ 2 P 3 P 2 Tarkastellaan tapausta λ 1, λ 2, λ 3 0 ( λ 1, λ 2, λ 3 1) Toinen tulkinta. Kirjoitetaan: P = λ 1 P 1 + (λ 2 + λ 3 ) = λ 2 P 2 + (λ 1 + λ 3 ) = λ 3 P 3 + (λ 1 + λ 2 ) Tarkastellaan tapausta λ 1, λ 2, λ 3 0 ( λ2 P 2 + λ ) 3 P 3 λ 2 + λ 3 λ 2 + λ 3 P 1 + λ ) 3 P 3 λ 1 + λ 3 λ 1 + λ 3 P 1 + λ ) 2 P 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 ( λ1 ( λ1 11
14 2 Ainit aliavaruudet Määritelmä 2.1. Olkoon E aini avaruus. Joukkoa F E sanotaan E:n ainiksi aliavaruudeksi, mikäli P 1,..., P n F seuraa, että λ i P i F kaikilla λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1 Esimerkki. Olkoon a, b, c, d R. Taso H := {(x, y, z) R 3 ax + by + c = d} on R 3 :n aini aliavaruus. Todistus. Olkoot P 1,..., P n H ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1. Kirjoitetaan P i = (x i, y i, z i ), missä ax i + by i + cz i = d (i {1,..., n}). Tällöin, ( λ i P i = λ i x i, λ i y i, ) λ i z i 12
15 Nyt, ( a ) ( λ i x i + b ) ( λ i y i + c λ i z i ) = = λ i (ax i + by i + cz i ) λ i d ( = λ i )d = d Siis, λ i P i H Huomautus. Jotta F E olisi ainin avaruuden aini aliavaruus, riittää todeta: Jos P, Q F, niin λp + µq F kaikilla λ, µ R siten, että λ + µ = 1. Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R siten, että λ 1,..., λ n = 1 ja väitetään, että λ i P i F. Todistus. Voidaan olettaa, että esimerkiksi λ n 1. Kirjoitetaan, Tässä, Tällöin, n 1 ( n 1 ) λ i λ i P i = (λ λ n 1 ) P i + λ n P n. λ λ n 1 λ i λ λ n 1 = 1 induktio n 1 λ i λ λ n 1 P i F ( n 1 ) (λ λ n 1 ) + λ n = 1 n=2 λ i (λ λ n 1 ) P i +λ n P n F. λ λ n 1 }{{} 2 λ i P i 13
16 Todistetaan vielä edellä käytetty kaava: Valitaan A E. Tällöin ( n 1 ) λ i λ i P i = (λ λ n 1 ) P i + λ n P n λ λ n 1 ( n 1 ) λ i op = A + (λ λ n )A P i + λ napn λ λ n 1 Määritelmänsä mukaan n 1 λ i n 1 P i = A + λ λ n 1 λ i APi, λ λ n 1 josta seuraa ( n 1 A ) λ i n 1 P i = λ λ n 1 λ i APi. λ λ n 1 Siis, n 1 ( ) λ i op = A + (λ λ n 1 ) APi + λ napn λ λ n 1 n 1 = A + λ iapi + λ napn = λ i P i Merkintä: Olkoon E aini avaruus. Jos A E ja W E on aliavaruus, niin merkitään A + W := {A + w w W } 14
17 Lause 2.2. Olkoon E aini avaruus. Jos = F E, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. F on E:n aini aliavaruus 2. Joukko F A := { AP P F } E on E :n aliavaruus kaikilla A F. Tällöin F = A + F A 3. Joukko F := { P Q P, Q F } E on E :n aliavaruus ja F = F A kaikilla A F. Tällöin F = A + F. 4. On olemassa A F ja aliavaruus W E siten, että F = A + W. Tällöin W = F. Yllä mainittu aliavaruus F on F :n suunta-avaruus. Todistus. Suunnitelma 1) 2) 3) 4) 1). 1) 2): Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R. Väitetään, että λ iapi F A. Todistetaan tämä. Jos F on aini aliavaruus, niin ( ) P := 1 λ i A A + λ i P i F. Määritelmänsä mukaan ( P = A + 1 josta seuraa, että Lopuksi, ) λ i }{{} AA + =0 λ iap = A + λ iapi, λ i APi = AP F A. P A + F A P = A + AQ, missä Q F P = Q, missä Q F P F 15
18 Siis, 2) 3): F = A + F A Riittää osoittaa, että F = F A kaikilla A F. Tietenkin F A F. Todetaan, että F FA Olkoon P, Q F. Tällöin Siis F F A. Tällöin 3) 4): P Q L1.4 = P A + AQ L1.3b = AP + AQ F A F 2) = A + F A = A + F Valitaan A E ja W = F ja todetaan sitten, että F W : F = A + W W = F Olkoon P, Q F. Jos F = A + W, niin on olemassa w 1, w 2 W siten, että } P = A + w 1 Q = P + (w 2 w 1 ) P Q = w 2 w 1 W Q = A + w 2 W F : Olkoon w W. Merkitään P := A + W }{{} F F = A + W W = AP F 4) 1): Olkoon P 1,..., P n F ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1. Väitetään, että λ i P i F Jos F = A + W, niin on olemassa w 1,..., w n W siten, että P i = A + w i w i = AP missä i {1,..., n} 16
19 Täten, λ i P i = A + Mutta, jos W on aliavaruus, niin joten λ i APi = A + λ i w i W, λ i P i A + W λ i w i. Seuraus. Aini aliavaruus on aini avaruus. Nimittäin, kohdasta 3) seuraa, että siirtokuvaus E E E indusoi siirtokuvauksen F F F. Siirtoavaruus on siis suunta-avaruus F. Esimerkki. Olkoon E aini avaruus. Sen suora on aini aliavaruus F E siten, että dim(f ) = 1. Tällöin dim(f ) = 1 dim( F ) = 1 (suoran parametrimuotoinen esitys ). Merkitään on olemassa 0 v F s.e. F = span(v) F }{{} = A + F = {A + tv t R} kaikilla A F L2.2. 3) L(A, v) := {A + tv t R} Esimerkki. Olkoon E aini avaruus. Jos P, Q E, missä P Q, niin on olemassa yksikäsitteinen suora L E siten, että P, Q L. olemassaolo: Nyt, Tällöin P Q L.1.3a P Q 0 P = P + 0 } P Q Q = P + 1 P, Q L(P, P Q) P Q 17
20 yksikäsitteisyys: Olkoon L E suora siten, että P, Q L. Tällöin, P, Q L P Q L span( P Q) L span( P Q) = L L = P + L = P + span( P Q) = L(P, P Q) Esimerkki. Jos E on aini avaruus, niin sen taso on aini aliavaruus F E siten, että dim(f ) = 2. Kuten edellä F = {A + tv 1 + sv 2 t, s R}, missä A F ja {v 1, v 2 } on F :n kanta. Tämä on F :n parametrimuotoinen esitys. Esimerkki. Mitkä ovat R 3 :n ainit aliavaruudet? Jos F on tälläinen, niin F R 3 dim( F ) 3 F = {0}, origon kautta kulkeva suora, taso, tai R 3 Lauseen 2.2 kohdan 3) nojalla F on piste, suora, taso tai R 3 Lause 2.3. Olkoon E aini avaruus. Jos joukot F i, missä i I, ovat sen aineja aliavaruuksia siten, että F := i I F i, niin myös F on E:n aini aliavaruus. Sen suunta-avaruus on F = F. Todistus. H2T5. Määritelmä 2.4. Olkoon E aini avaruus. Joukon S E aini verho on Aff(S) := F i I F S, F E affiini aliavaruus = suppein E:n aini aliavaruus, joka sisältää S:n 18
21 Lause 2.5. Jos E on aini avaruus ja S E, niin { } Aff(S) = λ i P i P i S, λ i R, λ i = 1 Todistus. Merkitään F = op joukko. Ensinnäkin, jos Aff(S) on aini aliavaruus ja S Aff(S), niin F Aff(S). Täten, jos S F, niin riittää todeta, että F on aini aliavaruus. Käytetään Määritelmän 2.1 jälkeistä huomautusta. Toisin sanoen osoitetaan, että jos P, Q F, λ, µ R, λ + µ = 1, niin Nyt, P = λp + µq F. λ i P i, Q = λ i P i, missä P 1,..., P n S ja λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ n R siten, että λ i = 1, µ i = 1. Tällöin, Tässä, Siis, λp + µq = (λλ i + µµ i )P i. ( ) ( ) (λλ i + µµ i )P i = λ λ i + µ µ i = λ + µ = 1 λp + µq F. Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P, Q E, P Q, niin Aff(P, Q) = {λp + µq λ, µ R, λ + µ = 1} = L(P, P Q) = P + span( P Q) 19
22 Lause 2.6. Jos E on aini avaruus ja S E, niin Aff(S) = A + span{ AP P S}, kaikilla A S. Todistus. Lauseen 2.2. kohdan 2) nojalla Aff(S) = A + { AP P Aff(S)} Pitää siis osoittaa, että Ensinnäkin { AP P Aff(S)} = span{ AP P S} S Aff(S) AP { AP P Aff(S)} kaikilla P S span{ AP P S} { AP P Aff(S)} }{{} vektoriavaruus Olkoon P Aff(S). Lauseen 2.5. nojalla P = λ i P i, missä λ 1,..., λ n R, λ λ n = 1 ja P 1,..., P n S. Nyt, josta seuraa Siis " "pätee. AP = P = A + λ i APi, λ i APi span{ AP P S}. Konveksi verho Määritelmä 2.7. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 1,..., P n E konveksikombinaatio on λ i P i, missä λ 1,..., λ n R, λ i = 1 ja λ i 0 kaikilla i {1,..., n}. 20
23 Määritelmä 2.8. Olkoon E aini avaruus. Joukko K E on konveksi, mikäli P, Q K λp + µq K, kaikilla λ, µ R siten, että λ + µ = 1 ja λ, µ 0. Toisin sanoen, jana [P, Q] := {λp + µq λ, µ R, λ + µ = 1, λ, µ 0} K Esimerkki. Ei-konveksi joukko R 2 Konveksien leikkaus on konveksi, joten voidaan antaa seuraava määritelmä. Määritelmä 2.9. Olkoon E aini avaruus. Joukon S E konveksi verho Conv(S) := K K E K S = suppein E:n konveksi joukko, joka sisältää S:n. 21
24 Esimerkki. E = R 2 Lause Olkoon E aini avaruus. Jos S E, niin Todistus. Osin H2T8. { Conv(S) = λ i P i P i S, λ i R, λ i 0, Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P 1, P 2, P 3 E, niin kolmio } λ i = 1 (P 1, P 2, P 3 ) = {t 1 P 1 + t 2 P 2 + t 3 P 3 t i R, t i 0, t 1 + t 2 + t 3 = 1} 3 Ainit kannat Määritelmä 3.1. Olkoon E aini avaruus. Pisteiden P 0,..., P n E sanotaan olevan ainisti riippumattomia mikäli vektorit P 0 P 1,..., P 0 P n E ovat lineaarisesti riippumattomia (eli { P 0 P 1,..., P 0 P n } on vapaa). Huomautus. Tämä ei riipu pisteiden järjestyksestä. Toisin sanoen kaikilla i 0 pätee P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia, josta seuraa, että P i P j ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Oletetaan siis, että j i λ j Pi P j = 0, 22
25 missä λ j R (j i). Lauseen 1.4 nojalla P i P j = P i P 0 + P 0 P j = P 0 P i + P 0 P j kaikilla j i Tällöin, 0 = j i λ j Pi P j = j i,0 = j i,0 = j i,0 = j i,0 λ j Pi P j + λ 0 Pi P 0 λ j Pi P j λ 0 P0 P i λ j ( P 0 P i + P 0 P j ) λ 0 P0 P i ( λ j P 0 P j + ) λ j λ 0 j i,0 }{{} ( λ j +λ 0 ) j i,0 P 0 P i Oletuksesta seuraa, että josta puolestaan seuraa, että λ j = 0 kaikilla j 0, i ja λ j + λ 0 = 0, j i,0 λ j = 0 kaikilla j i. Esimerkki. Pisteet (1, 1), (2, 2) R 2 ovat ainisti riippumattomia, koska (1, 1), (2, 2) = (1, 1) 0 on lineaarisesti riippumaton. Vektorit (1, 1), (2, 2) = 2(1, 1) ovat tietenkin lineaarisesti riippuvia. Esimerkki. Pisteet (0, 0), (1, 0), (0, 1) R 2 ovat ainisti riippumattomia, koska vektorit (1, 0), (0, 1) R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. 23
26 Lause 3.2. Olkoon E aini avaruus ja P 0,..., P n E. Tällöin P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia, jos ja vain jos λ i P i = µ i P i, ( λ i, µ i R, λ i = 1 = µ i ), josta seuraa λ i = µ i kaikilla i {0,..., n} Todistus. " " Oletetaan, että λ i P i = µ i P i, missä λ i = µ i = 1. Tästä seuraa, että P 0 + λ i P0 P i = P 0 + λ i P0 P i = λ i P0 P i = (λ i µ i ) P 0 P i = 0 µ i P0 P i µ i P0 P i µ i P0 P i ( P 0 P 0 = 0) Nyt, koska P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia, niin P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia, joten on oltava, että λ i = µ i kaikilla i {1,..., n} (myös λ 0 = 1 n λ i = 1 n µ i = µ 0 ). " " Oletetaan, että λ 1,..., λ n R siten, että n ( 1 λ i )P 0 + λ i P i = P 0 + ( 1 λ i P0 P i = 0. Havaitaan, että ) λ i P 0 P }{{} 0 + =0 λ i P0 P i } {{ } =0 = P 0 24
27 Oletuksen nojalla 1 n λ i = 1 λ 1 =... = λ n = 0 λ i = 0, missä i {1,..., n} Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja P 0,..., P n E ainist riippumattomia, niin määritellään n-simpleksi { (P 0,..., P n ) := Conv(P 0,..., P n ) = λ i P i λ i R, λ i 0, } λ i = 1 Määritelmä 3.3. Olkoon E aini avaruus. Joukko {P 0,..., P n } E on E:n aini kanta mikäli 1. E = Aff(P 0,..., P n ) 2. P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia Huomautus. Lauseen 2.6. nojalla pätee Täten Aff(P 0,..., P n ) = P 0 + span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) }{{} =suuntaavaruus =siirtoavaruus Aff(P 0,...,P n) Lause2.2.+huom E = Aff(P 0,..., P n ) E = span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) Siis {P 0,..., P n } on E:n ani kanta 25
28 1. E = span( P 0 P 1,..., P 0 P n ) 2. P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia { P 0 P 1,..., P 0 P n } on E :n kanta. Lause 3.4. Olkoon E aini avaruus. Tällöin joukko {P 0,..., P n } E on sen aini kanta, joss jokainen P E voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa P = λ i P i, missä λ 0,..., λ n R ja n λ i = 1. Todistus. Todetaan, että voidaan E = Aff(P 0,..., P n ) yksikäsitteisellä tavalla P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia Määritelmä 3.5. Olkoon E aini avaruus, jolla on aini kanta, joka muodostuu pisteistä {P 0,..., P n }. Jos P E ja P = n λ i P i, missä λ 0,..., λ n R siten, että λ λ n = 1, niin sanotaan, että λ 0,..., λ n ovat P :n barycentriset koordinaatit edellä mainitun kannan suhteen. Huomautus. Siis P = λ i P i P = P 0 + P 0 P = λ i P0 P i λ i P0 P i Täten, P 0 P :llä on koordinaatitλ 1,..., λ n, joss P :llä on barycentriset koordinaatit λ 0,..., λ n, missä λ 0 = 1 n λ i Olkoon n = 2, E = R 2, P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 0), P 2 = (0, 1) 26
29 Esimerkki. R n standardi aini kanta on {e 0,..., e n }, missä e 0 = (0,..., 0), e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (i {1,..., n}). Lause 3.6. Jos E on aini avaruus siten, että dim(e) = n ja P 0,..., P n E, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. {P 0,..., P n } on E:n ani kanta 2. P 0,..., P n ovat ainisti riippumattomia 3. E = Aff(P 0,..., P n ) Todistus. Ensinnäkin dim(e) = dim( E ) Lineaarialgebrasta tiedämme, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 1. { P 0 P 1,..., P 0, P n } on E :n kanta 2. P 0 P 1,..., P 0 P n ovat lineaarisesti riippumattomia 3. E = span( P 0 P 1,..., P 0 P 1 ) Mutta, nyt tiedetään, että 1 1. (Määritelmän 3.3. jälkeen olevan huomautuksen nojalla) 2 2. (Määritelmä 3.1.) 3 3. (Lauseen 3.4. todistus) 27
30 4 Ainit kuvaukset Määritelmä 4.1. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Kuvauksen f : E E sanotaan olevan aini mikäli ( ) f : λ i P i = λ i f(p i ) kaikilla P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1 P = λ 1 P 1 + λ 2 P 2 }{{} λ 1 +λ 2 =1 f(p ) = λ 1 f(p 1 ) + λ 2 f(p 2 ) Esimerkki. Olkoon E aini avaruus ja v E, jolloin translaatio on aini (H3T4) T : E E, P P + v Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja A E, niin vakiokuvaus on aini (HT). f : E E, P A Esimerkki. Jos E on aini avaruus ja A E ja λ 0, niin A-keskinen venytys on aini. f : E E, P A + λ AP 28
31 Todistus. Olkoon P 1,..., P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että λ λ n = 1, jolloin ( ) ( ) f λ i P i = A + λa λ i P i Tässä josta Siis λ i P i = A + ( ) A λ i P i = ( ) f λ i P i = A + λ = A + = A + = A + = λ i APi, λ i f(p i ) λ i APi λ i APi λ i λ AP i λ i A + λ AP i λ i Af(P i ) Konkreettisesti: Olkoon E = R 2, A = (1, 1) ja λ = 2. Tällöin f(x, y) = (1, 1) + 2((x, y) (1, 1)) = (2x 1, 2y 1) = 2(x, y) + ( 1, 1) 29
32 Esimerkki. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Jos A E, B E ja L : E E on lineaarikuvaus, niin kuvaus f : E E, P B + L( AP ) on aini. Todistus. Olkoon P 1,...P n E ja λ 1,..., λ n R siten, että n λ i = 1. Tällöin ( ) ( ( )) f λ i P i = B + L A λ i P i ( λ i P i = A + = B + = B + = B + = λ i f(p i ) ) λ iapi λ i L( AP i ) λ i B(B + L( AP i )) λ i Bf(P i ) Lause 4.2. Olkoot E, E aineja avaruuksia. Jos f : E E on aini kuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : E E siten, että f(a + v) = f(a) + L(v) kaikilla A E ja v E. 30
33 Merkitään f = L Tällöin siis f = f(a)f(a + v) Todistus. Yksikäsitteisyys on selvä. Olemassaolo: Valitaan A E ja määritellään kuvaus f = E E asettamalla Josta seuraa, että f (v) = f(a)f(a + v) kaikilla v E. f(a + v) = f(a) + f (v) f on lineaarinen: Olkoon v 1,..., v n E, λ 1,..., λ n R. Mitä on n λ i v i? Nyt f(a + λ i v i ) = f(a + ( = f( 1 = ( 1 = f(a) + = f(a) + ( 1 ) λ i AA + λ i A(A + v i )) λ i )A + λ i )f(a) + ( 1 λ i f (vi ) λ i (A + v i )) λ i f(a + v i ) λ i ) f(a)f(a) + λ i f(a)f(a + v i ) }{{} f (vi ) Toisaalta f(a + λ i v i ) = f(a) + ( ) f λ i v i 31
34 Täten on oltava f ( Tämä ei riipu A:sta. Toisin sanoen λ i v i ) = λ i f (vi ) f(a)f(a + v) = f(b)f(b + v) kaikilla A, B E ja v E. Nyt B + v = (A + AB) + v = A + ( AB + v) = A + ( AB + A(A + v)) = A + ( AA + AB + A(A + v)) = A + B + (A + v) Tästä seuraa, että f(b + v) = f(a) + f(b) + f(a + v) = f(b) + ( f(b)f(a)) + f(b)f(b) + f(b)f(a + v)) }{{} =0 L1.4 = f(b) + ( f(b)f(a)) + f(b)f(a) + f(a)f(a + v) = f(b) + f(a)f(a + v) Täten f(b)f(b + v) = f(a)f(a + v) Määritelmä 4.3. Olkoon E, E aineja avaruuksia. Ainia bijektiota f : E E sanotaan ainiksi isomorsmiksi eli aniteetiksi. Tällöin E ja E ovat isomorsia. Huomautus. f : E E aini bijektio f 1 : E E on myös aini Lause 4.4. Olkoon E, E aineja avaruuksia ja f : E E aini kuvaus. Tällöin f bijektio f bijektio 32
35 Todistus. Valitaan A E. Merkitään B := f(a). Lauseen 1.2 todistuksen nojalla meillä on bijektiot Lauseen 4.2 nojalla on voimassa ψ A : E E, v A + v ψ B : E E, v B + v f(a + v) = f(a) + f (v) f(ψ A (v)) = ψ B ( f (v)) kaikilla f ψ A = ψ B f Toisin sanoen meillä on kommutoiva kaavio kaikilla v E v E E ψ A E f f E ψ B E Täten f = ψ B f ψ 1 A f = ψ 1 B f ψ A josta voidaan päätellä, että f bijektio f bijektio f bijektio f bijektio Huomautus. Tällöin Lauseen 1.2 todistuksen nojalla ψ 1 B f 1 = (ψ B f ψ 1 A ) 1 = (ψ 1 A ) 1 f 1 ψ B = ψ A f 1 ψ 1 B = ψ B, missä ψ B : E E, Q BQ 33
36 Nyt, jos Q E, niin f 1 (Q) = (ψ A f 1 ψ B )(Q) = ψ A ( f 1 ( BQ)) = A + f 1 ( BQ) Lause 4.5. Olkoon E, E aineja avaruuksia. Jos {P 0,..., P n } E on E:n aini kanta, niin kaikilla Q 0,..., Q n E on olemassa yksikäsitteinen aini kuvaus f : E E, P i Q i kaikilla i {1,..., n}. Todistus. Lauseen 4.2 nojalla f määräytyy yksikäsitteisesti pisteestä f(p 0 ) = Q 0 ja lineaarikuvauksesta f : E E. Havaitaan, että jos i > 0, niin f(p i ) = Q i f(p 0 ) + f ( P 0 P i ) = Q i Q 0 + f ( P 0 P i ) = Q i f ( P 0 P i ) = Q 0 Q i kaikilla i {1,..., n} Nyt {P 0,..., P n } on E:n aini kanta { P 0 P 1,..., P 0 P n } on E :n kanta. Lauseen 0.8 nojalla on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus f : E E siten, että f ( P0 P i ) = Q 0 Q i kaikilla i {1,..., n}. 34
37 Esimerkki. Olkoon E = E = R 2, jolloin f : R 2 R 2 on missä siis f( (P 0, P 1, P 2 )) = (Q 0, Q 1, Q 2 ). Lause 4.6. Olkoon E, E aineja avaruuksia, joilla on kannat {P 0,..., P n } E ja {Q 0,..., Q n } E. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen aniteetti f : E E, P i Q i kaikilla i {1,..., n}. Todistus. Lauseen 4.5 nojalla on olemassa ainit kuvaukset siten, että f : E E ja g : E E f(p i ) = Q i ja g(q i ) = P i kaikilla i {1,..., n}. H3T8 tuloksesta seuraa, että g f ja f g ovat aneja. Nyt kaikilla i {0,..., n}. Tietenkin id E, id E Siis g = f 1. (g f)(p i ) = g(f(p i )) = g(q i ) = P i (f g)(q i ) = f(g(q i )) = f(p i ) = Q i ovat aineja, joten lauseen 4.5 yksikäsitteisyyden nojalla oltava g f = id E ja f g = id E Seuraus. Jos E on aini avaruus ja tämän ainina kantana on {P 0,..., P n } E niin on olemassa yksikäsitteinen aniteetti f : E R n 35
38 siten, että f(p i ) = e i i {1,..., n}, missä {e 0,..., e n } on R n aini standardikanta, e 0 = (0,..., 0), e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Ainit kuvaukset käytännössä Olkoon f : R n R m aini kuvaus. Lauseen 4.2 nojalla on olemassa lineaarikuvaus f : R n R m siten, että kaikilla x R n f(x) = f(0) + f (x 0) = f(0) + f (x) Toisin sanoen missä T f(0) on translaatio f = T f(0) f y f(0) + y, R n R m Jos M = M( f ) R m n, niin f(x) = f(0) + Mx missä tulkitaan x R n 1 ja f(0), f(x) R m 1. Esimerkki. Peilaus f : R 2 R 2 suoran x + y = 1 suhteen. Tämä on f = T (0,1) g T (0, 1) missä T (0, 1), T (0,1) ovat translaatioita ja g : R 2 R 2 on peilaus x + y = 0 suhteen. Olisivatpahan nämä lineaarikuvauksia, sillä silloin olisi voimassa M(f) = M(T (0,1) )M(g)M(T (0, 1) ), 36
39 mutta näin ei ole! Olkoon f : R n R m aini kuvaus. Tarkastellaan seuraavia upotuksia ε : R n R n m, (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 1) δ : R m R n, (y 1,..., y n ) (y 1,..., y n, 1) Jos x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ), niin käytetään seuraavia lyhennysmerkintöjä (x; 1) = ε(x), (y; 1) = δ(y). Lause 4.7. Jos f : R n R m on aini kuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus g : R n+1 R m+1 siten, että g ε = δ f eli kaavio R n+1 ε R n g f R m+1 R m δ kommutoi. Todistus. Olemassaolo: Merkitään M = M( f ) R m n ja [ ] M f(0) M := R (m+1) (n+1) 0 1 On olemassa lineaarikuvaus g : R m+1 R m+1 siten, että M = M(g). Toisin sanoen g(x 1,..., x n+1 ) = M x 1. x n+1 37
40 Jos nyt x R n, niin Yksikäsitteisyys: g(ε(x)) = g(x; 1) = M(x; 1) [ ] [ ] M f(0) x = [ ] Mx + f(0) 1 = x [ ] Mx + f(0) = 1 [ ] f(x) = 1 = δ(f(x)) Olkoon {e 1,..., e n ja {e 1,..., e n+1} R n :n ja R n+1 :n standardikannat. Jos tällöin g on lineaarinen, niin g määräytyy alkiosta g(e i), missä i {1,..., n}. Havaitaan, että ja Tällöin ja e i = (0,..., 0, (i) 1, 0,..., 0) = (0,..., 0, 1, 0,..., 0, 1) (0,..., 0, 1) = ε(e i ) ε(0) kaikilla i {1,..., n} e n+1 = (0,..., 0, 1) = ε(0). g(e i) = g(ε(e i ) ε(0)) = g(ε(e i ) g(ε(0)) = δ(f(e i )) δ(f(0)) = (f(e i ); 1) (f(0); 1) = (f(0) + f (e i ); 1) (f(0); 1) = ( f (e i ); 0) kaikilla i {1,..., n} g(e n+1) = g(ε(0)) = δ(f(0)) = (f(0); 1) 38
41 Esimerkki. Tarkastellaan peilausta f : R 2 R 2 suoran x + y = 1 suhteen. Edellä todettiin, että f = T (0,1) g T (0, 1), missä g : R 2 R 2, (x, y) ( y, x) on peilaus suoran x + y = 0 suhteen. Täten f(x, y) = ( (y 1), (x + 0)) + (0, 1) = ( y + 1, x + 1) kaikilla (x, y) R 2 = f(x, y) = ( y, x) }{{} f (x,y) +(1, 1) kaikilla (x, y) R 2, josta seuraa, että f = g, f(0) = (1, 1). Tällöin Myös: M = ( M(g) = [ 0 ] ) f = T (0,1) g T (0, 1) M(f) = M(T (0,1) M(g) M(T(0, 1) T (0,1) (x, y) = (x, y) + (0, 1) T (0,1) = id R M(T (0,1) ) =
42 0 1 0 M(g) = M(T (0, 1) ) = Siis M(f) = = Keskusprojektio Tarvitaan: projektiokeskus O R 3 kuvataso S R 3 Pisteen P R 3 projektio on P = OP S 40
43 Saadaan kuvaus π : R 3 \ H S, missä H on S:n suuntainen taso siten, että O H. Valitaan: O := (0, 0, 0) S := {(x, y, z) R 3 z = 1} Tällöin H = {(x, y, z) R 3 z = 0} Jos P = (x, y, z) R 3 \ H, niin Tarkastellaan suoraa π(p ) = t(x, y, z) t(x, y, z) S tz = 1 t = 1/z π(x, y, z) = ( x z, y z, 1) x = x 0 + tα L := y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ, missä (x 0, y 0, z 0 ) R 3, 0 (α, β, γ) R 3 Mitä on π(l \ L H)? Tapaus γ 0: Nyt Merkitään Tällöin π(l \ L H) = u := { x0 + tα z 0 + tγ, y 0 + tβ z 0 + tγ, 1 1 z 0 + tγ t = 1 ( ) 1 γ u z 0 ( x 0 + tα z 0 + tγ = u x ( ) ) 1 γ u z 0 α = α γ + (x 0 α γ z 0)u } z 0 + tγ 0 41
44 ja Täten y 0 + tβ z 0 + tγ = β γ + (y 0 β γ z 0)u {( ( α π(l \ L H) = γ + x 0 α γ z 0 )u, βγ ( + {( α = suora \ γ, β )} γ, 1 Havaitaan myös, että ja Huomataan, että x 0 + tα lim t ± z 0 + tγ = lim t ± y 0 + tβ lim t ± z 0 + tγ = lim t ± y 0 β γ z 0 x 0 t + α z 0 t + γ = y 0 t + β z 0 t + γ = (α, β, γ ) = λ(α, β, γ) (Toisin sanoen meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa) Tällöin ( ) ( α γ, β α γ, 1 = γ, β ) γ, 1 α γ β γ ) } u, 1) u 0 (L ja L jatkavat matkaansa äärettömyyteen) 42
45 ( α Määritelmä 5.1. Edellä mainittu piste γ, β ) γ, 1 on suoran L pakopiste. Huomautus. Yhdensuuntaisilla suorilla on sama pakopiste. Tapaus γ = 0: z 0 = 0 π ei ole määritelty L:ssä z 0 0 L H = Nyt { x0 + tα π(l) =, y } 0 + tβ, 1 z 0 t R = suora z 0 Esimerkki. Jos (α, β, γ) = (0, 0, 1), niin pakopiste on (0, 0, 1). Lause 5.2. Tarkastellaan tasoa T := {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = d}, missä a, b, c, d R 3 ja (a, b) 0. Jos L T on suora, joka ei ole kuvatason suuntainen, niin L:n pakopiste on suoralla { ax + by = c z = 1 Todistus. Oletetaan, että L on suora x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt, missä (α, β, γ) R 3 ja γ 0. Jos nyt L T, niin L (a, b, c), missä (a, b, c) on T :n normaali. Tällöin (α, β, γ) (a, b, c) = 0 αa + βb + γc = 0 α γ + bβ γ = c Määritelmä 5.3. Edellä mainittu taso T on pakosuora. 43
46 Esimerkki. XY-tason pakosuora? Jos yhtälö y = 0 on pakosuora, niin { y = 0 z = 1 } := horisontti Ongelma: Pakopisteellä ei ole alkukuvaa. Tarvitaan siis uusia pisteitä tasoon! Idea: Määritelmä 5.4. Projektiivinen taso P 2 := {L R 3 L on suora s.e. O L}. Merkintä: Jos 0 (u, v, w) R 3, niin (u : v : w) := {t(u, v, w) t R}. Luvut u, v, w ovat P 2 :n pisteen (u : v : w) homogeeniset koordinaatit. Huomautus. Jos (u, v, w), (u, v, w ) R 3 \ {0}, niin (u : v : w) = (u : v : w ) on olemassa 0 λ R s.e. (u, v, w ) = λ(u, v, w) Havainto: (x : y : 1) = (x, y, 1) (x, y) = (x, y ) (λ = 1!) Tällöin saadaan bijektio (x, y) (x : y : 1), R 2 {(u : v : w) P 2 w 0} 44
47 Erityisesti ( u w, v ) ( u w w : v ) w : 1 = (u : v : w) Jos (x, y) R 2, (u, v, w) R 3, w 0, x = u w ja y = v, niin sanotaan, että u, v, w w ovat (x, y):n homogeenisia koordinaatteja. Siis P 2 koostuu pisteistä: (u : v : w), missä w 0 = tavalliset tason pisteet (u : v : w) ( u w, v w ) (u : v : 0) = äärettömyyspisteet = tason suunnat Mitä ovat projektiivisen tason suorat? Määritelmä 5.5. Jos 0 (a, b, c) R 3, niin joukkoa {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0} sanotaan projektiiviseksi suoraksi. Luvut a, b, c ovat sen homogeeniset koordinaatit. Huomautus. Joukko T := {(x, y, z) R 3 ax+by+cz = 0} on origon kautta kulkeva taso. Nyt Jos (a, b) 0, niin on R 2 :n suora. (u : v : w) on suoralla (u, v, w) T (u : v : w) T }{{} {(λu,λv,λw) λ R} T {(x, y, z) R 3 z = 1} = {(x, y, 1) R 3 ax + by + x = 0} 45
48 Huomautus. Jos (a, b, c), (a, b, c ) R 3 \ {0}, niin {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0} = {(u : v : w) P 2 a u + b v + c w = 0} {(x, y, z) R 3 ax + by + cw = 0} = {(x, y, z) R 3 a x + b y + c z = 0} (a, b, c ) = λ(a, b, c) jollakin λ R ((a, b, c), (a, b, c ) ovat edellä mainittujen tasojen normaaleja) Esimerkki. Yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa P 2 :ssa! Lähdetään liikkeelle R 2 :n suorista: L : y =kx + a L : y =kx + a, missä k, a, a R ja a a. Vastaavat projektiiviset suorat ovat: Merkitään x = u w, y = v, jolloin saadaan projektiiviset suorat w v L : w =k u + a ku v + aw = 0 w L : v w =k u w + a ku v + a w = 0 L L? Nyt, u 0: v 0: Täten, joten, (u : v : w) L L ku v = 0 (u : v : w) = (u : ku : 0) = (1 : k : 0) u = 1 k v, k (u : v : w) = ( 1 λ k v : v : 0) = v (1 : k : 0) Siis L L = {(1 : k : 0)}. 46
49 Lause 5.6. (Dualiteetti) Piste (u 0 : v 0 : w 0 ) P 2 on suoralla au + bv + cw = 0, missä 0 (a, b, c) R 3, jos ja vain jos piste (a : b : c) P 2 on suoralla u 0 u + v 0 v + w 0 w = 0. Todistus. (u 0 : v 0 : w 0 ) mainitulla suoralla au 0 + bv 0 + cw 0 = 0 u 0 a + v 0 b + w 0 c = 0 (a : b : c) on halutulla suoralla Lause 5.7. a) P 2 :n kaksi eri suoraa leikkaavat toisensa täsmälleen yhdessä pisteessä b) P 2 :n kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora Todistus. b) Olkoot (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) P 2 eri pisteitä. Tällöin (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) L := {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0}, missä (0 (a, b, c) R 3 ) (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) T := {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = 0} Nyt, (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) ovat eri pisteitä, jolloin ei ole olemassa sellaista λ R, että (u 2, v 2, w 2 ) = λ(u 1, v 1, w 1 ), joten (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) ovat lineaaristesti riippumattomia. Täten (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) T, jolloin {(u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 )} on T :n kanta. Tällöin T = span((u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ). Näin ollen T (ja siis myös L) on olemassa ja on yksikäsiteinen. a) Olkoot L i := {(u : v : w) P 2 a i u + b i v + c i w = 0} (0 (a i, b i, c i )R 3 ) eri P 2 :n suoria. Jos (u 0, v 0, w 0 ) P 2 ja L := {(u : v : w) P 2 u 0 u + v 0 v + w 0 w = 0}, niin lauseen 5.6 nojalla (u 0, v 0, w 0 ) L i (a i : b i : c i ) L (i = 1, 2) 47
50 Täten (u 0, v 0, w 0 ) L 1 L 2 (a 1 : b 1 : c 1 ), (a 2 : b 2 : c 2 ) L Kohdan b) nojalla L on olemassa ja se on yksikäsitteinen (L 1 L 2 (a 1 : b 1 : c 1 ) (a 2, b 2, c 2 )), jolloin (u 0, v 0, w 0 ) on olemassa ja se on yksikäsitteinen. Esimerkki. Määrää pisteiden (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) P 2 kautta kulkevan suoran yhtälö ((u 1 : v 1 : w 1 ) (u 2 : v 2 : w 2 )). Etsistään siis suoraa L := {(u : v : w) P 2 au + bv + cw = 0}(0 (a, b, c) R 3 ) siten, että (u 1 : v 1 : w 1 ), (u 2 : v 2 : w 2 ) L Tällöin { au 1 + bv 1 + cw 1 = 0 au 2 + bw 2 + cw 2 = 0 { (a, b, c) (u 1, v 1, w 1 ) = 0 (a, b, c) (u 2, v 2, w 2 ) = 0 valitaan (a, b, c) = (u 1, v 1, w 1 ) (u 2, v 2, w 2 ) (u : v : w) L au + bv + cw = 0 (a, b, c) = 0 ((u 1, v 1, w 1 ) (u 2, v 2, w 2 )) (u, v, w) u v w u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 = 0 6 Projektiiviset avaruudet Määritelmä 6.1. Jos V on vektoriavaruus, niin projektiivinen avaruus on P(V ) := {L V L aliavaruus s.e. dim(l) = 1}. Sen dimensio on dim(p(v )) := dim(v ) 1. Tapauksessa V = R n+1, merkitään P n := P(R n+1 ). 48
51 Merkintä: Jos 0 v V, niin [v] := span(v) = {λv λ R}. Jos tällöin 0 v, v V, niin [v] = [v ] v = λv jollakin λ R. Saadaan surjektio Tapauksessa V = R n+1 v [v], V \ {0} P(v). (x 1 :... : x n+1 ) := [(x 1,..., x n+1 )] kaikilla 0 (x 1,..., x n+1 ) R n+1 Esimerkki. P = P(R 2 ) = {L R 2 suora s.e. 0 L} Nyt siis P 1 = }{{} R { } }{{} = suoran = y=1 x akseli pisteet Määritelmä 6.2. Jos V on vektoriavaruus ja W V sen aliavaruus, niin projektiivinen aliavaruus on P(W ) := {L P(V ) L W }. Huomautus. Jos 0 v V, niin [v] P(W ) [v] W v W 49
52 Esimerkki. dim(p(w )) = 0 dim(w ) = 1 P(W ) on P(V ):n piste dim(p(w )) = 1 P(W ) on P(V ):n projektiivinen suora dim(p(w )) = 2 P(W ) on P(V ):n projektiivinen taso dim(p(w )) = dim(p(v )) 1 P(W ) on P(V ):n projektiivinen hypertaso Lause 6.3. Olkoon V vektoriavaruus. Jos X i aliavaruuksia, niin samoin on X i. i I (i I) ovat P(V ):n projektiivisia Todistus. Oletetaan, että W i V on aliavaruus X i = P(W i ) (i I). Tällöin L X i L X i kaikilla i I i I L W i kaikillai I L W i i I Mutta i I W i on aliavaruus. Täten i I ( ) X i = P W i i I Lause 6.4. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W 1, W 2 V sen aliavaruuksia, niin Tässä dim(w 1 + W 2 ) = dim(w 1 ) + dim(w 2 ) dim(w 1 W 2 ) W 1 + W 2 := {w 1 + w 2 w 1 W 2, w 2 W 1 } = span(w 1 W 2 ) Todistus. Olkoon {w 1,..., w r } W 1 W 2 :n kanta. Täydennetään tämä: W 1 :n kannaksi {w 1,..., w r, u 1,..., u s } W 2 :n kannaksi {w 1,..., w r, v 1,..., v t } Tällöin } W 1 = span(w 1,..., w r, u 1,..., u s ) W 1 + W 2 = span(w 1,..., w r, u 1,..., u s, v 1,..., v t ) W 2 = span(w 1,..., w r, v 1,..., v t ) 50
53 Täten riittää osoittaa, että w 1,..., w r, u 1,..., u s, v 1,..., v t ovat lineaarisesti riippumattomia. Oletetaan siis, että α 1,..., α r, β 1,..., β s, γ 1,..., γ t R siten, että jolloin α 1 w α r w r + β 1 u β s u s + γ 1 v γ t v t = 0, α 1 w α r w r + β 1 u β s u }{{} s = γ 1 v 1... γ t v t. =:v Tässä v W 1, mutta op W 2, josta seuraa, että v W 2. Tällöin {w 1,..., w r } on W 1 W 2 :n kanta, jolloin v = {δ 1 w 1,..., δ r w r } jollakin δ 1,..., δ r R. Huomataan, että v:llä on W 1 :n kannassa {w 1,..., w r, v 1,..., v t } kaksi esitystä: v =α 1 w α r w r + β 1 v β s u s v =δ 1 w δ r w r + 0v v s, jolloin Näin ollen josta β 1 =... = β s = 0. α 1 w α r w r = γ 1 v 1... γ t v t, α 1 w α r w r + γ 1 v γ t v t = 0. Mutta, {w 1,..., w r, v 1,..., v t } on W 2 :n kanta, jolloin vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Siis, α 1 =... = α r = γ 1 =... = γ t = 0. Merkintä: Olkoon V vektoriavaruus ja W 1, W 2 V aliavaruuksia. Projektiivisten aliavaruuksien, X 1 = P(W 1 ), X 2 = P(W 2 ) P(V ) yhdysavaruus X 1 + X 2 = P(W 1 + W 2 ). Esimerkki. Olkoon V vektoriavaruus ja P 1, P 2 P(V ) eri pisteitä. Mitä on {P 1 } + {P 2 }? Ensinnäkin P 1 = [v 1 ], P 2 = [v 2 ], missä v 1, v 2 V \ {0}. 51
54 Tällöin josta Nyt {P 1 } = P([v 1 ]), {P 2 } = P([v 2 ]), {P 1 } + {P 2 } = P([v 1 ] + [v 2 ]). [v 1 ] + [v 2 ] = {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = span(v 1, v 2 ). Havaitaan, että jos P 1 P 2, niin ei ole olemassa sellaista λ R, että v 2 = λv 1. Siis v 1, v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Tästä seuraa, että {v 1, v 2 } on span(v 1, v 2 ):n kanta. Siis dim(span(v 1, v 2 )) = 2. Toisin sanoen dim([v 1 ], [v 2 ])) = 2, jolloin dimp([v 1 ], [v 2 ]) = 1, jolloin {P 1 } + {P 2 } on projektiivinen suora. Lause 6.5. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W 1, W 2 V sen aliavaruuksia. Jos X 1 := P(W i ), X 2 := P(W 2 ), niin dimx 1 X 2 = dimx 1 + dimx 2 dim(x 1 + X 2 ). Erityisesti dimx 1 + dimx 2 dimp(v ) X 1 X 2. Todistus. Koska X 1 X 2 L6.3. = P(W 1 W 2 ), X 1 + X 2 = P(W 1 + W 2 ), joten lauseen 6.4. nojalla väite pätee. Todetaan sitten, että dimx 1 + dimx 2 dimp(v ), jolloin dim(x 1 X 2 ) = dimx 1 + dimx 2 dim(x 1 + X 2 ) dimx 1 + dimx 2 dimp(v ) (dim(x 1 + X 2 ) dimp(v )) 0. Siis X 1 X 2. 52
55 Esimerkki. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, H P(V ) hypertaso, X P(V ) projektiivinen suora ja X H. Tällöin X leikkaa H:ta yhdessä pisteessä. Todistus. Käytetään lausetta 6.5. Mitä on dim(x H)? Mitä on dim(x + H)? Olkoon U, W V aliavaruuksia siten, että X = P(U) ja H = P. Tällöin X H P(U) P(W ) U W (U W P(U) P(W )) W U + W (W = U + W P(U) P(W )) W U + W dimw < dim(u + W ) dimv 1 < dim(u + W ) (dimh = dimp(v ) 1 dimw = dimv 1) dim(u + W ) = dimv U + W = V X + H = P(V ). Täten josta väite seuraa. dim(x H) = dimx + dimh dim(x + H) = 1 + dimp(v ) 1 dimp(v ) = 0, Esimerkki. (Kertausta) Tarkastellaan aliavaruutta W := {(x, y, z) R 3 z = 0} R 3, jolloin projektiivinen aliavaruus P(W ) = {(u : v : w) P 2 w = 0} =: äärettömyyssuora. Meillä on bijektio Kirjoitetaan W P 2 \ P(W ), (x, y, 0) (x : y : 1) (x : y : 1) = [(x, y, 1)] = [(x, y, 0) + (0, 0, 1)] 53
56 Lause 6.6. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus W V sen aliavaruus siten, että dimw = dimv 1. Valitaan v 0 V \W. Tällöin ehto w [w +v 0 ] määrittelee bijektion ϕ : W P(V ) \ P(W ) Todistus. ϕ olemassa: Jos w W, niin [w + v 0 ] P(W ) w + v 0 W w + v 0 = w jollain w W v 0 = w w W. RR. Siis w W [w + v 0 ] P(V ) \ P(W ). ϕ injektio: Olkoot w, w W siten, että [w + v 0 ] = [w + v 0 ] w + v 0 = λ(w + v 0 ) jollakin λ R jollei ole λ = 1 saataisiin v 0 = 1 λ 1 (w λw) W. RR. Siis λ = 1 w = w. ϕ surjektio: 54
57 Havaitaan, että v 0 W W + [v 0 ] W (W + [v 0 ] = W [v 0 ] W v 0 W ) W W + [v 0 ] dimw }{{} < dim(w + [v 0 ]) =dimv 1 dim(w + [v 0 ]) = dimv V = W + [v 0 ] Olkoon 0 v V siten, että [v] P(V ) \ P(W ), jolloin v W. Havainto: jolloin Täten v = w + λv 0 jllakin w W ja 0 λ R, ( ) 1 ϕ = λ 1 λ v = 1 λ w +v 0. }{{} W [ ] [ ] 1 1 = λ λ v = [v] Esimerkki. Olkoon V = R 2, jolloin P(V ) = P 1 Esimerkki. Tarkastellaan avaruuksia W i := {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 x i = 0} (i = 1,..., n + 1), jolloin H i = P(W i ) (i = 1,..., n + 1). 55
58 Lauseen 6.6 nojalla meillä on bijektiot Tapauksessa i = n + 1 R n W i P n \ H i. (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 0) (x 1 :... : x n : 1) ( ) u1 u n,..., (u 1 :... : u n : u n+1 ) u n+1 u n+1 7 Projektiiviset kuvaukset Määritelmä 7.1. Olkoon V, V vektoriavaruuksia. Kuvaus f : P(V ) P(V ) on projektiivinen, mikäli on olemassa lineaarikuvaus g : V V siten, että kaikilla 0 v V pätee f([v]) = [g(v)]. Merkitään f = P(g). Huomautus. Onko tämä mielekästä? Jos v, v V \ {0}, niin [v] = [v ] v = λv jollakin 0 λ R glin. g(v ) = g(λv) = λg(v) [g(v )] = [g(v)] Pitää olla v 0 g(v) 0, joten oltava g injektio! Huomautus. f on välttämättä injektio: Nimittäin, jos v, v V \ {0}, niin f([v]) = f([v ]) [g(v)] = [g(v )] ginjektio g(v ) = λg(v) jollakin λ R glin. g(v ) = g(λv) v = λv [v] = [v ] Jos dimv = dimv, f on myös bijektio: 56
59 Nimittäin lineaarialgebran dimensiokaavasta seuraa, että Nyt dim(ker g) + dim(im g) = dimv g injektio Ker g = 0 dim(im g) = dimv = dimv dim(g) = V g surjektio f surjektio Projektiviteetti on bijektiivinen kuvaus. Esimerkki. Meillä on kaikilla m n lineaarinen injektio g : R m+1 R n+1, (x1,..., x m+1 ) (x 1,..., x n+1, 0,..., 0), jolloin projektiivinen kuvaus f = P(g) : P m P n, (u 1,..., u m ) (u 1 :... : u m : 0 :... : 0) Esimerkki. Jos V, V ovat vektoriavaruuksia ja f : P(V ) P(V ) projektiivinen kuvaus, niin X P(V ) projektiivinen aliavaruus. Täten f(x) P(V ) projektiivinen aliavaruus. Tällöin dimx = dimf(x) (esimerkiksi suoran kuva on suora!). Todistus. Olkoon g : V V lineaarikuvaus siten, että f = P(g). Jos W V aliavaruus siten, että X = P(W ), niin Tällöin f(x) = {f([v]) 0 v W } = {[g(v)] 0 v W } = {[v ] 0 v g(w )} (g injektio, joten g(v) 0 v = 0) = P(g(W )). dimf(x) = dimp(g(w )) = dimg(w ) 1 = dimw 1 = dimx (g injektio, joten saadaan isomora W g(w ) dimw = dimg(w )). 57
60 Esimerkki. Olkoon g : R 3 R 3 lineaarikuvaus siten, että M(g) = Sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, joten g on bijektio. Täten saadaan projektiviteetti f = P(g), P 2 P 2. Mitä tapahtuu tason z = 1 neliölle ABCD, missä Meillä on bijektio Nyt x 2x y = 2y, x + 1 jolloin f(x : y : 1) = (x, y, 1) (x : y : 1), taso z = 1 P 2 \ H 3. ( 2x x + 1 : ) 2y x + 1 : 1, josta f(0 : 0 : 1) = (0 : 0 : 1) =: A f(1 : 0 : 1) = (1 : 0 : 1) =: B f(1 : 1 : 1) = (1 : 1 : 1) =: C f(0 : 1 : 1) = (0 : 2 : 1) =: D 58
61 Tarkastellaan suoraa L 0 : y = 0, z = 1, jonka vastaava projektiivinen suora v = 0 ja suoraa L 1 : y = 1, z = 1, jonka vastaava projektiivinen suora on v = w. Nyt L 0 L 1 = {(1 : 0 : 0)}, jolloin f(l 0 ) f(l 1 ) = f(l 0 L 1 ) = f(1 : 0 : 0) = (2 : 0 : 0) Määritelmä 7.2. Olkoon V vektoriavaruus. Pisteiden P 1,..., P r P(V ) sanotaan olevan projektiivisesti riippumattomia, mikäli on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit v 1,..., v r V siten, että P i = [v i ] kaikilla i = {1,...r}. Esimerkki. Tarkastellaan lineaarikuvausta missä 0 λ R, jolloin projektiviteetti g : R 2 R 2, (x, y) (x, λy), f := P(g) : P 2 P 2, (u : v) (u : λv). Nyt f(1 : 0) = (1 : 0), f(0 : 1) = (0 : λ) = (0 : 1), kuitenkin f id P 1, mikäli λ 1. Määritelmä 7.3. Olkoon V (n+1)-ulotteinen vektoriavaruus. Jos P 0 P 1,..., P n+1 P(V ), niin sanotaan, että {P 0 P 1,..., P n+1 } on P(V ):n projektiivinen kanta, mikäli n+1 näistä ei ole projektiivisesti riippuvia. 59
62 Lause 7.4. Edellä mainitun määritelmän tilanteessa voidaan valita vektorit v 0,..., v n+1 V siten, että P i = [v i ] kaikilla i {1,..., n + 1} ja {v 1,..., v n+1 } on V :n kanta v 0 = v v n Todistus. Olkoot v 0,..., v n+1 \{0} siten, että P i = [v i] kaikilla i {0,..., n + 1}. Oletuksen perusteella, P 1,..., P n+1 projektiivisesti riippumattomia, joten on olemassa lineaarisesti riippumattomat v 1,..., v n+1 siten, että P i = [v i ] kaikilla i {1,..., n + 1}. Tällöin [v i] = [v i ], joten on olemassa λ i R siten, että v i = λ i v i (i {1,..., n + 1}). Havainto: v 1,..., v n+1 lineaarisesti riippumattomia, josta seuraa, että samoin ovat vektorit v 1,..., v n+1. Mutta dimv = n + 1, joten {v 1,..., v n+1} on V :n kanta. Nyt v 0 V v 0 = µ 1 v µ n+1 v n+1, joillakin µ 1,..., µ n+1 R. On oltava µ i 0 kaikilla i {1,..., n + 1}, koska muuten projektiivisesti riippuvia. µ i = 0 P 0,..., P i 1, P i+1,..., P n+1 Valitaan v 0 = v 0, v i = µ i v i, missä i {1,..., n + 1}. Lause 7.5. Olkoot V, V (n+1)-ulotteisia vektoriavaruuksia. Jos {P 0, P 1,..., P n+1 } P(V ), {P 0, P 1,..., P n+1} P(V ), ovat projektiivisia kantoja, niin on olemassa yksikäsitteinen projektiivinen kuvaus f : P(V ) = P (V ) siten, että kaikilla i {0,..., n + 1}. f : (P i ) = P i Todistus. Lauseen 7.4 nojalla on olemassa v 0,..., v n+1 V ja v 0,..., v n+1 V siten, että P i = [v i ] ja P i = [v i] (i {1,..., n + 1}), sekä {v 1,..., v n+1 } V ja {v 1,..., v n+1} V ovat kantoja 60
63 v 0 = v v n+1 ja v 0 = v v n+1 1) Olemassaolo: Lineaarialgebran nojalla on olemassa lineaarikuvaus g : V V siten, että g(v i ) = v i (i {1,..., n + 1}). Tällöin g(v 0 ) = g(v v n+1 ) = g(v 1 ) g(v n+1 ) = v v n+1 = v 0 Havaitaan, että jos {v 1,..., v n+1 }, {v 1,..., v n+1}, niin g on bijektio, jolloin saadaan projektiivinen kuvaus f := P(g) : P(V ) P(V ) siten, että kaikilla i {1,..., n + 1}. 2) Yksikäsitteisyys: f(p i ) = f([v i ]) = [g(v i )] = [v i] = P i Oletetaan, että f : P(V ) P(V ) on projektiivinen kuvaus siten, että f(p i ) = P i (i {1,..., n + 1}). Olkoon g = P( g) lineaarikuvaus siten, että f = P( g). Tällöin f(p i ) = P i [ g(v i ] = [v i ] g(v i ) = λ i v i jollakin 0 λ i R, missä i {1,..., n + 1}. Erityisesti Tällöin v 0 = v v n+1 g(v 0 ) = g(v 1 ) g(v n+1 ) λ 0 v 0 = λ 1 v λ n+1 v n+1 λ 0 (v v n+1) = λ 1 v λ n+1 v n+1 λ 0 v λ 0 v n+1 = λ 1 v λ n+1 v n+1 λ 0 = λ 1 =... = λ n+1 g(v i ) = λ i v i = λ 0 v i = λ 0 g(v i ) = (λ 0 g)(v i ) kaikilla i {(0), 1,..., n + 1}, 61
64 joten Mutta tällöin g = λ 0 g. f([v]) = [ g(v)] = [λ 0 g(v)] = [g(v)] = f([v]) kaikilla 0 v V. Siis f = f. Esimerkki. P n standardi projektiivinen kanta on {e 0, e 1,..., e n+1 }, missä e 0 = (1 :... : 1) ja e i = {0 :... : 0 : i 1 : 0 :... : 0} (i {1,..., n + 1}). Esimerkki. Määrää kaikki projektiiviset kuvaukset f : P 1 P 1 siten, että f(1 : 0) = (1 : 0) ja f(0 : 1) = (0 : 1). Olkoon f tälläinen ja g : R 2 R 2 lineaarikuvaus siten, että f = P(g). [ ] a c Kirjoitetaan M(g) =. b d Tässä g bijektio, joten ad bc 0. Nyt Samoin f(1 : 0) = (1 : 0) [g(1, 0)] = (1 : 0) (a : b) = (1 : 0) (a, b) = λ(1, 0) { a = λ b = 0. jollakin 0 λ R Siis M(g) = f(0 : 1) = (0 : 1) (c : d) = (0 : 1) [ ] λ 0. 0 µ (c, d) = µ(0, 1) { c = 0 d = µ. jollakin 0 µ R 62
65 Täten f(u : v) = [g(u, v)] [ [ ] [ ] ] λ 0 u = 0 µ v [ [ ] ] λu = µv = (λu : µv) kaikilla (u : v) P 1. Kääntäen f on f(1 : 0) = (1 : 0) ja f(0 : 1) = (0 : 1). Nyt f(1 : 1) = (λ : µ). 8 Bernsteinin polynomeista Määritelmä 8.1. Bernsteinin polynomi. ( ) n Bi n = t i (1 t) n 1 (t [0, 1], i, n N, 0 i n) i Esimerkki. B 0 0(t) = 1, B 1 0(t) = 1 t, B 1 1(t) = t, B 2 0(t) = (1 t) 2, B 2 1(t) = 2t(1 t), B 2 2(t) = t 2, kaikilla t [0, 1]. Tarkastellaan vektoriavaruutta V n, jonka alkioina ovat funktiot missä a 0,..., a n R. H1T1 nojalla funktiot t a 0 t n + a 1 t n a n, [0, 1] R, muodostavat tämän kannan. Erityisesti dimv n = n + 1. t t i, [0, 1] R (i {0,..., n}) 63
66 Lause 8.2. {B n 0,..., B n n} on V n :n kanta. Todistus. Riittää osoittaa, että B0 n,..., Bn n ovat lineaarisesti riippumattomia. Oletetaan siis, että λ i Bi n = 0, missä λ 0,..., λ n R. ( λ i Bi n Sijoitus s := ) (t) = 0 kaikilla t [0, 1] λ i Bi n (t) = 0 kaikilla t [0, 1] ( ) n λ i t i (1 t) n 1 = 0 kaikilla t [0, 1] i ( )( ) i n t λ i = 0 kaikilla t [0, 1[. i 1 t ( t ) 1 t (s = 1 1, t [0, 1[ s [0, [) 1 t ( ) n λ i s i = 0 kaikilla s [0, [ i λ 0 =... = λ n = 0. 1 (1 t) t 1 n Huomautus. Voidaan todistaa: Weierstrassin approksimaatiolause. Jos f : [0, 1] R on jatkuva funktio, niin kaikilla ε > 0 on olemassa n N siten, että ( ) i f(t) f Bi n (t) n < ε kaikilla t [0, 1]. Lause 8.3. a) Ykkösen ositus: b) Ei-negatiivisuus: Bi n (t) = 1 kaikilla t [0, 1] B n i (t) 0 kaikilla t [0, 1] 64
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotLineaarista projektiivista geometriaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Iiris Repo Lineaarista projektiivista geometriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö REPO,
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotAini geometria Emilia Hirvi
Helsingin Yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen osasto Pro gradu -tutkielma Aini geometria Emilia Hirvi Ohjaaja: Erik Elfving 1.6.2019 Tiedekunta Fakultet
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotLINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
Lisätiedot2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET
30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot