VEKTORIANALYYSI. Tero Kilpeläinen

VEKTORIANALYYSI Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja kevälle 2019 16. toukokuuta 2019

Sisältö 1. Johdanto 1 1.1. Merkintöjä................................. 2 2. Euklidisen avaruuden R n rakenne 3 2.1. Sisätulo ja normi............................. 4 2.2. Konvergenssi............................... 9 2.3. Kuvaukset ja funktiot ja niiden raja-arvot............... 14 2.3.1. Rajapisteet ja konvergenssi.................... 15 2.4. Avoimet ja suljetut joukot........................ 22 2.5. Kosketuspiste ja sulkeuma........................ 32 2.6. Kuvaukset, jatkuvuus........................... 34 2.7. Kontraktio ja kiintopisteet........................ 44 3. Differentioituvuus 47 3.1. Derivaattakuvaus ja osittaisderivaatat.................. 51 3.2. Derivaattojen laskusääntöjä....................... 57 3.3. Gradientin geometrinen merkitys.................... 64 3.4. Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat............... 68 3.5. Taylor-kehitelmiä............................. 72 4. Ekstreemiä 78 4.1. Vapaat ääriarvot............................. 78 4.2. Rajoitetut (sidotut) ääriarvot...................... 87 4.3. Lagrangen kertoimien menetelmä.................... 92 4.4. Rajoitetut ääriarvot useampi rajoite................. 95 5. Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 99 5.1. Käänteiskuvauslause........................... 99 5.2. Implisiittifunktiolause........................... 107 5.2.1. Implisiittifunktiolauseen yleinen muoto............. 112

6. Käyrät 117 6.1. Paloittain sileän käyrän pituus...................... 122 6.2. Käyräintegraali.............................. 127 6.3. Potentiaali................................. 130 6.4. Polkuyhtenäisyys ja alueet........................ 134 2

1. Johdanto Nämä muistiinpanot sisältävät materiaalia kursseille Vektorianalyysi 1 (Luvut 1 ja 2 (paitsi kappaletta 2.7) sekä luvusta 3 kappaleet (3.1-3.3) ja Vektorianalyysi 2 (joka kattaa loput monisteesta). Muistiinpanot eroavat jonkin verran luennolla esitettävästä, joten luennoilla kannattaa tehdä omia muistiinpanoja. Tällä kursseilla tutustumme äärellisulotteisten avaruuksien rakenteeseen sekä useamman reaalimuuttujan funktiohin ja kuvauksiin. Erityisesti käsittelemme kuvausten jatkuvuutta sekä differentioituvuutta. Moniin käsitteisiin on törmätty jo aiemmin lähinnä laskennalliselta kannalta. Tällä kurssilla pyrimme ymmärtämään niitä syvällisemmin. Kurssin tarkoituksena on vahvistaa useampiulotteisen analyysin käsitteellistä ymmärtämistä ja totutella abstraktimpaan argumentointiin kuin vektoricalculus-kursseilla. Matematiikka on paljon enemmän kuin vain kokoelma teorioita, lauseita, määritelmiä, ongelmia ja tekniikoita. Matematiikka on tapa ajatella. Sama pätee tietenkin myös matematiikan eri haaroihin, kuten (matemaattiseen) analyysiin. Analyysiä voidaan pitää yhteisnimekkeenä kaikelle matematiikalle, jossa käytetään rajaprosesseja. Kreikkalainen aakkosto a:sta o:hon. Iso ja pieni kirjain sekä nimi (suluissa mahdollinen vaihtoehtoinen muoto): A α alfa, B β beeta, Γ γ gamma, δ delta, E ε (tai ɛ) epsilon, Z ζ zeeta, H η eeta, Θ θ (tai ϑ) theeta, I ι joota, K κ (tai κ) kappa, Λ λ lambda, M µ myy, N ν nyy, Ξ ξ ksii, O o omikron, Π π (tai ϖ) pii, P ϱ (tai ρ) roo, Σ σ (tai ς) sigma, T τ tau, Υ υ ypsilon, Φ ϕ (tai φ) fii, X χ khii, Ψ ψ psii, Ω ω oomega. 1

1.1. Merkintöjä N = {0, 1, 2, 3,... } luonnollisten lukujen joukko (0 pois, jos tarvitaan) Z = {0, ±1, ±2,... } kokonaislukujen joukko { n } Q = m : n, m Z, m 0 rationaalilukujen joukko R = reaalilukujen joukko R \ Q = irrationaalilukujen joukko = {x R : x / Q}. 0 Käsin kirjoitettaessa kirjoitetaan usein R = R, Q = Q, Z = Z ja N = N. 2

2. Euklidisen avaruuden R n rakenne Tässä luvussa tarkastelemme n-ulotteisen reaaliavaruuden metrisiä ja topologisia ominaisuuksia. 1 Olkoon R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j R} = R R R, (n kertaa) missä n N, n 1. Kuitenkin merkintä R n pitää yleensä implisiittisesti sisällään ehdon n 2 (vaikkei tapausta n = 1 tarvitisisikaan poissulkea). Yksiulotteinen tapaus merkitään useimmiten erikseen R:llä. Tällä kurssilla olemme kiinnostuneita pääosin tapauksesta n 2. Avaruudessa R n on erilaisia rakenteita: Vektoriavaruus: jos x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ), x, y R n ja λ R, niin x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) ja λx := (λx 1, λx 2,..., λx n ). Standardi kanta: {e 1, e 2,..., e n }, missä e j = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) = (δ 1j, δ 2j,..., δ nj ), missä δ kj = { 0, kun k j, 1, kun k = j. Tällöin jokainen x R n voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää muodossa x = n x j e j, missä x j R. j=1 Euklidinen sisätulo eli pistetulo: jos x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ), niin n x y := x j y j. j=1 Euklidinen normi: jos x = (x 1, x 2,..., x n ), niin n x := x 2 j = x x. j=1 1 Kertaa Lineaarinen algebra ja geometria -kurssilta ainakin kanta ja sisätulo sekä niihin liittyvät perustulokset. 3

2.1. Sisätulo ja normi Yleensä puhuttaessa R n :stä euklidisena avaruutena käytämme ilman eri mainintaa sen standardikantaa, euklidista normia ja euklidista sisätuloa. Yleisemmin sisätulolla tarkoitetaan seuraavaa 2.1. Määritelmä (sisätulo). Kuvaus, : R n R n R on sisätulo R n :ssä, jos kaikille x, y, z R n ja a, b R pätee i) x, y = y, x (symmetrisyys) ii) ax + by, z = a x, z + b y, z (bilineaarisuus) iii) x, x 0 (positiivisuus) iv) x, x = 0, jos ja vain jos x = 0 (definiittisyys). Jos, on sisätulo, myös kuvaus z x, z on lineaarinen kaikilla x, koska symmetrisyyden i) ja lineaarisuuden ii) nojalla x, ay + bz = ay + bz, x = a y, x + b z, x = a x, y + b x, z. Esimerkki. On helppo todeta (totea!), että pistetulo x y eli euklidinen sisätulo toteuttaa ehdot i) iv) ja on siten edellisen määritelmän mukainen sisätulo. Yleisemmin, jos {f 1, f 2,..., f n } on mikä hyvänsä R n :n kanta, niin kaava x, y = n x fj y fj j=1 määrittelee sisätulon. Tässä kerroin x fj R on pisteen x j. koordinaatti kannan {f 1, f 2,..., f n } suhteen, ts. n x = x fj f j. j=1 2.2. Huomautus. Euklidinen sisätulo määrittelee vektorien x ja y välisen kulman θ kaavalla x y = x y cos θ. 4

Huomaa, että kulma tulee em. kaavalla määritellyksi vain, jos sekä x että y ovat nollasta poikkeavia; myöskään kulman merkkiä ei määritellä (eikä sitä voidakaan kiistattomasti tehdä, kun n 3). Oikeutuksen tälle määritelmälle näemme tason R 2 tapauksesta käyttämällä napakoordinaatteja x = (r 1 cos ϕ 1, r 1 sin ϕ 1 ) ja y = (r 2 cos ϕ 2, r 2 sin ϕ 2 ), missä r 1 = x ja r 2 = y. Tällöin kosinin summakaavasta saadaan x y = (r 1 cos ϕ 1 )(r 2 cos ϕ 2 ) + (r 1 sin ϕ 1 )(r 2 sin ϕ 2 ) = r 1 r 2 cos(ϕ 1 ϕ 2 ), jolloin ϕ 1 ϕ 2 on tasovektoreiden x ja y välinen kulma. 2.3. Määritelmä (normi). Kuvaus : R n R on normi R n :ssä, jos kaikille x, y R n ja a R pätee i) x 0 (positiivisuus). ii) x = 0, jos ja vain jos x = 0 (definiittisyys). iii) ax = a x (homogeenisuus). iv) x + y x + y (kolmioepäyhtälö). Esimerkki. Euklidinen pistetulo on sisätulo ja euklidinen normi on normi; tämän todistamiseksi ainoa vaikea kohta on kolmioepäyhtälö, jonka todistamme Seurauslauseessa 2.6. Muita normeja ovat esimerkiksi kuvaukset x 1 := n j=1 x j ja x := sup x j. j (Osoitapa nämä - eivät vaikeita nähdä.) 2.4. Lause (Cauchy-Schwarz epäyhtälö). Jos, on sisätulo R n :ssä, niin x, y 2 x, x y, y kaikilla x, y R n. 5

Todistus: Lause on selvästi tosi, jos x = 0 tai jos y = 0. Olkoon sitten x 0 ja y 0 ja merkitään z = z, z, Koska on Siten eli x = x x ja ỹ = y y. 0 x ± ỹ, x ± ỹ = x, x ± 2 x, ỹ + ỹ, ỹ, 2 x, ỹ x, x + ỹ, ỹ = 1 1 x, x + y, y = 2. x 2 y 2 1 x, ỹ = 1 x, y, x y x, y x y = x, x y, y. 2.5. Huomautus. Koska euklidinen pistetulo on sisätulo, seuraa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöstä seuraavat: ja kaikilla a j, b j R pätee x y x y kaikilla x, y R n, (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n). 2.6. Seuraus. Jos, on sisätulo R n :ssä, niin on normi. Erityisesti euklidinen normi on normi. x := x, x Todistus: Muut kohdat selviä, ainoastaan kolmioepäyhtälö tarvitsee todistuksen: Käyttämällä Cauchy-Schwarz -epäyhtälöä saadaan x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. 6

2.7. Huomautus. Seurauksen 2.6 todistuksessa esiintyy tärkeä kaava: jos, on sisätulo ja x = x, x, niin x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + 2 x, y + y 2, josta edelleen 2 x, y = x + y 2 x 2 y 2. Siten sisätulo on lausuttavissa vastaavan sisätulonormin avulla. 2.8. Huomautus. Kolmioepäyhtälöä käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos on normi R n :ssä, niin x z x y + y z kaikilla x, y, z R n. Seurauksen 2.6 mukaan jokainen sisätulo antaa normin, mutta kaikki normit eivät tule sisätulosta (esim. x 1 ei tule mistään sisätulosta, HT). Seuraava lause antaa kriteerin sisätulonormille. 2.9. Lause (Suunnikassääntö 2 ). Olkoon normi R n :ssä. On olemassa sellainen R n :n sisätulo,, jolle x 2 = x, x, jos ja vain jos x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 kaikilla x, y R n. Todistus: Jos, on sisätulo, jolle x 2 = x, x, niin kaikilla x, y R n pätee x + y 2 + x y 2 = x + y, x + y + x y, x y = x 2 + 2 x, y + y 2 + x 2 2 x, y + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. Toinen suunta on hieman vaikeampi. Huomautuksen 2.7 mukaan mahdollinen sisätulo saadaan kaavasta x, y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ); tämä saa muodon x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ), 2 Suunnikkaassa sen halkaisijan neliöiden summa on sama kuin sivujen neliöiden summa. 7

mikäli suunnikassäännön lauseke on voimassa. Seuraavassa listataan pääkohdat, miksi tämä määrittelee sisätulon. Voit myöhemmin halutessasi täydentää tämän aidoksi todistukseksi. Tämä ei kuitenkaan ole kurssin varsinaista sisältöä. Ainoastaan bilineaarisuus vaatii tarkastelun. Ensin yhteenlasku: koska x + z + y 2 = 2 x + y 2 + 2 z 2 x z + y 2 ja x + z + y 2 = 2 z + y 2 + 2 x 2 x + z + y 2, on x+z ±y 2 = x±y 2 + z 2 + z ±y 2 + x 2 1 2 x z ±y 2 1 2 x+z ±y 2, joten x + z, y = x, y + z, y. Homogenisuus: Toistamalla äsken saatua yhtälöä (kun x = z) saadaan mistä edelleen rationaalikertoimille k m : kx, y = k x, y kaikilla k Z, k m x, y = 1 m m k m x, y = 1 m kx, y = k x, y kaikilla m, k Z, m 0. m Tämän jälkeen jatkuvuudesta seuraa, että kaikilla λ R pätee λx, y = λ x, y. (Kurssilla selvitetään myöhemmin, mitä jatkuvuus tässä yhteydessä tarkoittaa). Esimerkki. Muista, että vektorit x ja y ovat kohtisuorassa, jos x y = 0; tällöin merkitään x y. Olkoon u, v R n, u, v 0. Vektorin v suuntaisen suoran yleinen (geneerinen) piste on muotoa λv, λ R. Pisteiden u ja λv kautta kulkeva suora on vektorin u λv suuntainen. Nyt v u λv, jos 0 = v (u λv) = v u λv v = v u λ v 2, ts. λ = v u v 2. 8

Tällöin piste λv on lähinnä vektoria u oleva piste v:n suuntaisella suoralla, sillä kaikilla t R sillä (u λv) (λ t)v. u tv 2 = u λv + (λ t)v 2 = u λv 2 + 2(u λv) (λ t)v + (λ t)v 2 u λv 2, Esimerkki. Olkoon 1 p <. Määritellään vektorin x p-normi x p = ( n x j p) 1/p. j=1 Tällöin saadaan kasa erilaisia normeja 3 R n :ään (huomaa, ei onnistu, jos 0 < p < 1. Miksi ei?). Tällöin 2-normi on euklidinen. Kaikilla x R n pätee x p x q, jos 1 q p <. Piirrä näiden yksikköympyröitä tasoon (ainakin, kun p = 1, p = 3, p = 2, p = 4, 2 p =. Muista x = max j x j ) eli joukot Y p = {x R 2 : x p = 1}. 2.2. Konvergenssi Valitsemamme notaation mukaan käytämme euklidiselle normille samaa merkintää kuin reaalilukujen itseisarvolle. Tämä saa tulevat määritelmät ja laskut näyttämään samanlaisilta kuin yhden reaalimuuttujan tapauksessa. On kuitenkin hyvä pitää mielessä, että R n :n vektoreiden tapauksessa käsitellään vektoreita eikä lukuja, mikä pitää välillä huomioida. Ensimmäinen konvergenssin eli suppenemisen määritelmä on samanlainen kuin reaalilukujen raja-arvon määritelmä, missä vain itseisarvo on korvattu euklidisella etäisyydellä. 3 Kolmioepäyhtälön todistus ei ole aivan triviaali, jos 1 < p <, p 2. 9

2.10. Määritelmä. Olkoot x j R n, j = 1, 2, 3,..., ja x 0 R n. Tällöin jono x j suppenee (tai konvergoi) kohti pistettä x 0, jos kaikille ε > 0 on olemassa sellainen N N, jolle x j x 0 < ε kaikilla j N. Tällöin merkitään x j x 0 tai lim j x j = x 0. 2.11. Huomautus. Huomaa, että x j x 0, jos ja vain jos lim x j x 0 = 0; j tässä siis tarkoitetaan reaalilukujonon a j = x j x 0 suppenemista kohti nollaa. 2.12. Huomautus. Kolmioepäyhtälöstä seuraa helposti: Jos x j x 0 ja y j y 0, niin Lisäksi x j x 0. αx j + βy j αx 0 + βy 0 kaikilla α, β R. Edelleen, kaikilla y R n kuvaus x x y on jatkuva. Ts. aina kun x j x 0, reaalilukujonolle b j = x j y pätee lim b j = x 0 y, j koska Cauchy-Schwarz -epäyhtälön 2.4 nojalla b j x 0 y = (x j x 0 ) y x j x 0 y 0. 2.13. Huomautus. Konvergenssin määritelmä yleistyy helposti tilanteeseen, jossa etäisyyksiä mitataan millä hyvänsä normilla. Sanotaan, että x j x 0 -normin mielessä, jos lim x j x 0 = 0. j Myöhemmin nähdään, että R n :n jonojen suppeneminen ei riipu käytettävästä normista (ks. Lause 2.62). 10

Seuraava lause kertoo, että pisteet x j konvergoivat kohti pistettä x 0 R n :ssä täsmälleen silloin kun pisteiden x j koordinaattien muodostamat jonot suppenevat R:ssä kohti rajapisteen vastaavaa koordinaattia. Tämän avulla monet reaaliakselin tulokset saadaan helposti siirretyiksi n-ulotteiseen avaruuteen. 2.14. Lause. Merkitään symbolilla x (k) pisteen x R n k. koordinaattia. Olkoon x j, x 0 R n, j = 1, 2.... Tällöin x j x 0, jos ja vain jos x (k) j Todistus: Koska kaikille k pätee x (k) j seuraa väite ns. suppiloperiaatteesta. x (k) 0 kaikilla k = 1, 2,..., n. x (k) 0 x j x 0 n max 1 l n x(l) j x (l) 0, Esimerkki. Tarkastellaan jonoa x j = (1 1 j, 2 j ) R 2, j = 1, 2,.... Koska 1 1/j 1 ja 2 j 0, niin x j (1, 0) R 2 :ssa. Komponentteja tarkastelemalla voidaan useat reaaliakselilta tutut tulokset yleistää useampiulotteiseen tilanteeseen. Seuraavassa muutamia esimerkkejä tästä. 2.15. Määritelmä. Sanotaan, että R n :n pistejono (x j ) on rajoitettu, jos on olemassa M > 0, jolle x j M kaikilla j. Joukko {x R n : x M} on origokeskinen (n-ulotteinen) pallo, jonka säde on = M. Siten jonon (x j ) rajoittuneisuus tarkoittaa sitä, että joku pallo sisältää kaikki jonon pisteet x j. 2.16. Määritelmä. Jonon (x j ) osajono on sellainen jono (x jk ) k=1, joka saadaan alkuperäisestä jonosta (x j ) jättämällä siitä termejä pois ja numeroimalla jäljelle jääneet uudelleen alkuperäisessä järjestyksessä ts. j k N, j 1 < j 2 < j 3 <... ja x jk = x j, kun j k = j. 11

Esimerkki. Olkoon jolloin sen eräs osajono on esimerkisi x j = ( 1 j, ( 1)j ), j = 1, 2,... x jk = ( 1, 1), k = 1, 2,..., 2k missä j 1 = 2, j 2 = 4,..., j k = 2k. Tämä osajono x jk (0, 1) vaikka alkuperäinen jono x j hajaantuu. 2.17. Lause (Bolzano-Weierstrass). Olkoon x j R n rajoitettu jono. Tällöin sillä on osajono x jk, joka suppenee kohti jotain pistettä x 0 R n. Todistus: Osoitetaan ensin, että tapaus n 2 seuraa reaaliakselin vastaavasta lauseesta: Koska jono x j on rajoitettu, on sen kunkin koordinaatin muodostamat jonot x (i) j rajoitettuja, i = 1, 2,..., n. Erityisesti, koska jono x (1) j on rajoitettu reaalilukujono, on sillä reaalilukujen Bolzano-Weierstrassin lauseen nojalla osajono x (1) j 1,k, joka suppenee kohti jotain reaalilukua x (1) 0. Edelleen, koska jono x j1,k on alkuperäisen jonon osajono, on sen 2. koordinaattien muodostama jono x (2) j 1,k on rajoitettu reaalilukujono, on sillä reaalilukujen Bolzano- Weierstrassin lauseen nojalla osajono x (2) j 2,k, joka suppenee kohti jotain reaalilukua x (2) 0. Huomaa, että näin valitun osajonon x j2,k termien ensimmäisten koordinaattien muodostama jono x (1) j 2,k suppenee myös kohti reaalilukua x(1) 0. Jatkamalla näin löydetään alkuperäisen jonon osajono x jn,k, jonka termien i. koordinaattien muodostamat jonot x (i) j n,k suppenevat kohti jotain reaalilukua x(i) 0 kaikilla i = 1, 2,..., n. Lauseen 2.14 nojalla pistejono x jn,k suppenee kohti pistettä x 0 = (x (1) 0, x (2) 0,..., x (n) 0 ). Tapaus n = 1. Kirjoitetaan lyhesti todistus reaaliakselin tapauksessa. Määritellään kaikille k = 1, 2,.... a k = sup{x k, x k+1, x k+2,... } ja x 0 = inf k a k. Huomaa, että a 1 a 2... on rajoitettu, koska alkuperäinen jono x j on rajoitettu. Edelleen, x 0 = lim k a k. Muodostetaan alkuperäisen jonon x j osajono x ji induktiivisesti: Olkoon j 1 N sellainen indeksi, jolle a 1 x j1 < 1. Oletetaan, että j i on valittu ja valitaan j i+1 N siten, että j i+1 j i + 1 ja a ji x ji+1 < 1 i + 1. Tällöin x ji x 0, kun i. Jätetään yksityiskohdat lukijan täydennettäväksi. 12

2.18. Määritelmä (Cauchy-jonot). Jono (x j ) on Cauchy-jono, jos kaikille ε > 0 on olemassa N N siten, että x j x m < ε kaikilla m, j N. Jokainen konvergoiva pistejono x j on Cauchy-jono. Tämä seuraa kolmioepäyhtälöstä: x j x m x j x 0 + x 0 x m < ε 2 + ε 2 = ε kun j, m N. Sitä, että jokainen Cauchy-jono suppenee kohti jotain pistettä, sanotaan kyseisen avaruuden täydellisyydeksi. Euklidinen avaruus on täydellinen: 2.19. Lause (R n :n täydellisyys). Olkoon x j R n jono. Tällöin (x j ) suppenee (kohti jotain pistettä x 0 R n ), jos ja vain jos (x j ) on Cauchy-jono. Todistus: Ehdon välttämättömyys todettiin juuri edellä. Palautetaan riittävyys reaalilukujonojen Cauchy-kriteerioon: Olkoon (x j ) Cauchy-jono. Tällöin koordinaattijonot x (k) j ovat R:n Cauchy-jonoja kaikilla k = 1, 2..., n, sillä x (k) j x (k) m ( n l=1 (x (l) j x (l) m ) 2 ) 1/2 = x j x m Näin ollen reaalilukujonojen Cauchy-kriteerion nojalla on luvut x (k) 0 R siten, että x (k) j x (k) 0 kaikilla k = 1, 2,..., n. Lauseen 2.14 nojalla pistejono x j suppenee kohti pistettä x 0 = (x (1) 0, x (2) 0,..., x (n) 0 ). Tapaus n = 1. Kirjataan taas täydellisyyden vuoksi todistus myös tapauksessa n = 1 (sama todistus toimii kyllä kaikissa dimensioissa). Oletetaan siis todistuksen loppuosassa, että (x j ) on reaalilukujonona Cauchy-jono. Osoitetaan ensin, että se on rajoitettu: Lukua ε = 1 vastaa N N siten, että x j x m < ε = 1 kaikilla m, j N. Siten kaikille j N x j x N + x j x N x N + 1, 13

joten x j max{ x 1, x 2,..., x N } + 1 kaikilla j N. Siispä jono (x j ) on rajoitettu. Koska (x j ) on Cauchy-jono, on N 0 N siten, että x j x m < ε 2 kaikilla m, j N 0. Edelleen, jonolla (x j ) on Bolzano-Weierstrassin lauseen 2.17 nojalla suppeneva osajono (x jk ). Toisin sanoen on olemassa a R siten, että kaikille ε > 0 on K N, jolle j K N 0 ja x jk a < ε kunhan k K. 2 Siten, kaikille j j K x j a x jk a + x j x jk < ε 2 + ε 2 = ε eli lim x j = a. j 2.3. Kuvaukset ja funktiot ja niiden raja-arvot Olkoon A R n ja f : A R m kuvaus, ts. f on sääntö joka liittää jokaiseen pisteeseen x A yhden pisteen f(x) R m. Jos m = 1 kuvausta sanotaan usein funktioksi. Siis x f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)) R m. Näin olleen kuvaukseen f : A R m liittyy m funktiota f j : A R, missä f j (x) = pisteen f(x) R m j. koordinaatti. Näitä funktioita f j sanotaan kuvauksen f koordinaattifunktioiksi. Reaaliarvoisia funktioita (siis kun maaliavaruuden dimensio m = 1) on helpompi hahmottaa kuin vektoriarvoisia kuvauksia (m 2). Siksi usein tarkastellaan kuvauksia koordinaateittain. 14

2.3.1. Rajapisteet ja konvergenssi Olkoon A R n ja f : A R m kuvaus. Olkoon x j A jono, jolle x j x 0 R n. Pistejonon x j A kuvapisteet y j = f(x j ) muodostavat jonon R m :ssä, jonka suppenemista voidaan tarkastella. Tämä kuvapistejono voi joko hajaantua tai sitten se voi supeta kohti jotain pistettä y 0. Tarkastelkaamme sitten toista pistejonoa z j A, jolle myös pätee z j x 0 R n. Tällöin kuvapistejonolla on kolme vaihtoehtoa: joko jono f(z j ) hajaantuu tai on a 0 R m, jolle f(z j ) a 0 ; jälkimmäisessä on vielä kaksi vaihtoehtoa, joko a 0 = y 0 tai a 0 y 0. Mikäli kaikilla mahdollisilla jonoilla x j x 0, x j x 0, kuvapisteet suppenevat kohti samaa pistettä y 0 sanotaan, että kuvauksella f on raja-arvo y 0 pitkin joukkoa A, kun x x 0. Toisin sanoen lim f(x) := lim f(x) := y 0, x x 0 x x0 x A jos jokaisella jonolla x j A, jolle x j x 0 ja x j x 0, pätee f(x j ) y 0. 2.20. Huomautus. Raja-arvon määritelmässä pitää tarkistaa kaikki ne jonot x j A \ {x 0 }, joilla x j x 0 (R n :n euklidisen normin mielessä). Kullakin jonolla pitää pisteiden f(x j ) supeta kohti samaa pistettä y 0 (R m :n euklidisen normin mielessä). Kuvauksen f määrittelystä pisteessä x 0 ei tarvitse välittää. Voi käydä niin, ettei ole olemassa yhtäkään sellaista jonoa x j A \ {x 0 }, jolla x j x 0. Tällöin raja-arvon määritelmän käyttöä on syytä välttää. Seuraavassa analysoimme tätä ilmiötä. 2.21. Lemma. Olkoon A R n joukko ja x 0 R n. Tällöin on olemassa sellainen jono x j A \ {x 0 }, jolle x j x 0, jos ja vain jos, jokaisella r > 0 on piste z r A, jolle 0 < z r x 0 < r. Todistus: Ehdon välttämättömyys on selvä (z r = x j kunhan j on tarpeeksi suuri). Toiseen suuntaan valitaan jokaisella r j = 1, j = 1, 2,... piste z j r j A, jolle 0 < z rj x 0 < 1 j. Tällöin z rj x 0. 15

Lemman 2.21 ominaisuuteen viitataan lyhyesti sanomalla, että piste x 0 on joukon A kasautumispiste 4. 2.22. Huomautus. Jotta joukolla A voisi olla edes yksi kasautumispiste, on siinä oltava äärettömän monta alkiota (ks. Lemma 2.21); vieläpä mielivaltaisen lähellä kasautumispistettä on oltava äärettömän monta joukon A pisteitä. On kuitenkin mahdollista, että joukossa A on äärettömän monta pistettä, mutta sillä ei silti ole yhtäkään kasautumispistettä (esimerkiksi joukossa {(j, 0,..., 0) R n : j N} on äärettömän monta pistettä, mutta sillä ei ole lainkaan kasautumispisteitä). Kuitenkin jos A on sekä ääretön (so. siinä on äärettömän monta pistettä) että rajoitettu (so. on olemassa M > 0 siten, että kaikille joukon alkioille x pätee x M), niin sillä on ainakin yksi kasautumispiste, koska Bolzano-Weierstrassin lauseen 2.17 nojalla jokaisella jonolla on tällöin suppeneva osajono, jonka rajapiste on etsitty kasautumispiste. Raja-arvo voidaan karakterisoida kuten yhden reaalimuuttujan tapauksessa: 2.23. Lause. Olkoon x 0 R n joukon A R n kasautumispiste ja f : A R m kuvaus. Tällöin lim f(x) = y 0, x x 0 x A jos ja vain jos jokaisella ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) y 0 < ε aina kun x A ja 0 < x x 0 < δ. Todistus: Ehdon riittävyys palautuu nopeasti raja-arvon määritelmään. Olkoon ε ja δ ehdon toteuttava pari. Jos x j A \ {x 0 } ja x j x 0, on N N, jolle jolloin ehdon mukaan 0 < x j x 0 < δ kaikilla j N, f(x j ) y 0 < ε kaikilla j N. Siispä f(x j ) y 0 ja edelleen lim x x 0 x A f(x) = y 0. 4 Kasautumispisteitä käsittelemme myöhemmin kappaleessa 2.5. 16

Toiseen suuntaan: Oletetaan, että rajan jonomääritelmän ehdot täyttyvät. Jos on sellainen ε > 0, jolle lauseen ehdon täyttävää lukua δ ei ole, niin valitsemalla kutakin δ = 1/j ehtoa toteuttamattomat pisteet löydetään pisteet x j A, joille x j x 0 < 1 ja siten x j j x 0, mutta kuitenkin f(x j ) y 0 ε kaikilla j. Mutta tällöin f(x j ) y 0, mikä on vastoin oletusta. Koska R n :n vektorijonojen suppeneminen yhtyy koordinaateittain suppenemiseen (Lause 2.14), saadaan seuraava. 2.24. Lause. Olkoon x 0 R n joukon A R n kasautumispiste, f : A R m kuvaus ja y 0 = (y (1) 0, y (2) 0,..., y (m) 0 ) R m. Tällöin lim x x 0 x A f(x) = y 0, jos ja vain jos jokaisella j = 1, 2,..., m pätee lim x x 0 x A f j (x) = y (j) 0, missä f j on funktion f j. koordinaattifunktio. Kuten yhden reaalimuuttujan tilanteessa sanotaan, että kuvaus f : A R m on jatkuva pisteessä x 0 A pitkin joukkoa A, jos lim x x 0 x A f(x) = f(x 0 ). Saadaan välitön seurauslause 2.25. Seuraus. Kuvaus f : A R m on jatkuva pisteessä x 0 A pitkin joukkoa A, jos ja vain jos jokainen f:n koordinaattifunktio f j : A R on jatkuva pisteessä x 0 pitkin joukkoa A. Äärellisulotteisessa avaruudessa lineaarikuvaukset ovat jatkuvia: 17

2.26. Lause. Olkoon L: R n R m lineaarikuvaus. Tällöin (2.27) Lx n M x kaikilla x R n, missä M = max{ Le 1, Le 2,..., Le n } (tässä e 1, e 2,..., e n on R n :n standardi kanta). Erityisesti jokaisella x 0 R n toisin sanoen L on jatkuva koko R n :ssä. lim Lx = Lx 0, x x 0 Todistus: Todistetaan ensin kaava (2.27): Olkoon x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Koska n x = x j e j, on L(x) = L( Jatkuvuus seuraa tästä, sillä j=1 n x j e j ) = j=1 n x j L(e j ) j=1 n x j L(e j ) x j=1 x nm. n j=1 L(e j ) L(x) L(x 0 ) = L(x x 0 ) nm x x 0 < ε kunhan x x 0 < ε nm. 2.28. Seuraus. Lineaarikuvaus L: R n R n on kääntyvä 5, jos ja vain jos on olemassa sellainen vakio C > 0, jolle Lx C x kaikilla x R n. 5 Lineaarikuvaus L: R n R n (tai n n matriisi L) on kääntyvä, jos on olemassa käänteiskuvaus A: R n R n, jolle L(Ax) = A(Lx) = x kaikilla x R n. Huomaa, että tällöin myös A on lineaarinen. 18

Todistus: Jos L:llä on käänteiskuvaus A, niin sille pätee jatkuvuusepäyhtälö (2.27) ja siten x = A(L(x)) M L(x) kaikilla x R n, joten C = 1/M kelpaa. Kääntäen, epäyhtälöstä Lx C x seuraa, että L on injektio, sillä jos x y, on L(x) L(y) = L(x y) C x y > 0, joten L(x) L(y). Siten L on kääntyvä. Useamman muuttujan funktion raja-arvo on paljon monimutkaisempi kuin reaaliakselilla määriteltyjen funktioiden (Lauseen 2.24 avulla kuva/maalijoukon moniulotteisuus ei tuo olennaista muutosta yksiulotteiseen tilanteeseen, koska funktioita voidaan tarkastella komponenteittain). Reaaliakselilla pistettä voidaan lähestyä periaatteessa vain kahdesta suunnasta, oikealta tai vasemmalta (tai näiden sekoituksena). Kun lähtöpuolen muuttuja x on useampiulotteinen, on konvergenssilla x x 0 äärettömästi lähestymissuuntia, mikä tekee tarkasteluista vaikeampia. Seuraavaksi pari esimerkkiä tästä ilmiöstä. Esimerkki. Olkoon f : R 2 \ {(0, 0)} R, f(x, y) = xy x 2 + y 2 ja tarkastellaan mahdollista raja-arvoa, kun (x, y) (0, 0). Ensiksi huomataan, että koordinaattiakseleilla l 0 (jos x = 0 tai y = 0) on f(x, y) = 0, joten lim f(x, y) = 0 aina kun l 0 on koordinaattiakseli. (x,y) l 0 (x,y) (0,0) Entäpä raja-arvot pitkin muita suoria? Olkoon l k = {(x, y) : y = kx} origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on k. Jos (x, y) l k, niin f(x, y) = kx 2 x 2 + (kx) 2 = k 1 + k 2, 19

joten riippumatta, kuinka piste (x, y) = (x, kx) lähestyy origoa pitkin suoraa l k, on lim (x,y) (0,0) (x,y) l k f(x, y) = Siten f:llä ei ole raja-arvoa, kun (x, y) (0, 0). k 0, kun k 0. 1 + k2 Tästä esimerkistä saamme muutakin arvokasta tietoa: lähtöpuolen muuttujan koordinaatteja ei voida käsitellä erikseen. Jos ensin lasketaan raja-arvo, kun x 0 ja sitten kun y 0, saadaan ja toisin päin ( ) xy 0 lim lim = lim y 0 x 0 x 2 + y 2 y 0 y = 0 2 ( ) xy 0 lim lim = lim x 0 y 0 x 2 + y 2 x 0 x = 0, 2 mutta muista, että funktiolla f ei siltikään ole raja-arvoa origossa! Esimerkki. Tässä esimerkissä on edellistäkin esimerkkiä hankalampi ilmiö hahmotettavaksi. Olkoon g : R 2 \ {(0, 0)} R, (2.29) g(x, y) = x2 y x 4 + y 2. Tarkastellaan mahdollista raja-arvoa kun (x, y) (0, 0). Ensiksi huomataan, että koordinaattiakseleilla l 0 (jos x = 0 tai y = 0) on g(x, y) = 0, joten lim g(x, y) = 0 aina kun l 0 on koordinaattiakseli. (x,y) l 0 (x,y) (0,0) Entäpä raja-arvot pitkin muita suoria? Olkoon taas l k = {(x, y) : y = kx}, k 0, origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on k. Jos (x, y) l k, niin g(x, y) = kx 3 x 4 + (kx) 2 = kx x 2 + k 2, 20

joten riippumatta, kuinka piste (x, y) = (x, kx) lähestyy origoa pitkin suoraa l k, on lim (x,y) (0,0) (x,y) l k g(x, y) = lim x 0 kx x 2 + k 2 = 0. Siten g:n raja-arvo pitkin jokaista suoraa on = 0. Voidaanko tästä päätellä, että g:n raja-arvo on 0, kun (x, y) (0, 0)? Ei voida, sillä tarkastelemalla kohti origoa lähestymistä esimerkiksi pitkin paraabelia P, jossa y = x 2, saadaan g(x, y) = x 2 x 2 x 4 + (x 2 ) 2 = x4 2x 4 = 1 2, kun (x, y) = (x, x 2 ) P, (x, y) (0, 0). Siten g:n raja-arvo pitkin paraabelia P on 1, kun taas raja-arvo suoria pitkin oli 0. Näin ollen g:llä ei ole raja-arvoa, kun 2 (x, y) (0, 0). 2.30. Huomautus. Raja-arvon olemassaoloa ei voida todistaa lähestymällä raja-pisteitä haluttua käyrää pitkin. Sellaisia voidaan kuitenkin käyttää, jos halutaan osoittaa, että raja-arvoa ei ole olemassa. Jos taas tiedetään, että raja-arvo on olemassa, niin raja-arvo saadaan määritellyksi laskemalla se yhtä valittua jonoa x j x 0 pitkin. Esimerkki. (Tasa-arvokäyrät) Reaaliarvoisia funktioita on usein hyvä hahmottaa tarkastelemalla niiden tasaarvojoukkoja eli niitä joukkoja, joissa funktio saa tietyn arvon c. Tämä on erityisen tehokasta silloin kun funktion lähtöjoukko on kaksiulotteinen. Tarkastellaan edellisten esimerkkien funktioita f ja g, f(x, y) = xy ja g(x, y) = x2 y, (x, y) (0, 0). x 2 + y 2 x 4 + y2 Huomataan ensin, että koska 2xy x 2 + y 2, on f(x, y) 1 2 ja g(x, y) 1 2 kaikilla x, y. Olkoon c R, c 1, annettu ja yritetään löytää ne (x, y), joilla f(x, y) = c, ts. 2 xy x 2 + y 2 = c, 21

eli cy 2 xy + cx 2 = 0. Jos c = 0, on edellinen yhtäpitävää yhtälön xy = 0 kanssa, jonka ratkaisujoukko on koordinaattiakselit x = 0 tai y = 0. Jos taas c 0, saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta y = x ± x 2 4c 2 x 2 2c = 1 ± 1 4c 2 2c x, mitkä ovat origon kautta kulkevan suoran yhtälöitä. Siten f:n tasa-arvokäyrät ovat suoria. Sama funktiolle g: yritetään löytää ne (x, y), joilla g(x, y) = c, c 1 2, ts. x 2 y x 4 + y 2 = c, josta arvolla c = 0 saadaan, kuten yllä, että ratkaisujoukkona on koordinaattiakselit x = 0 tai y = 0. Jos taas c 0, saadaan y:lle toisen asteen yhtälö jonka ratkaisut ovat cy 2 x 2 y + cx 4 = 0, y = x2 ± x 4 4c 2 x 4 2c = 1 ± 1 4c 2 2c x 2. Nämä ovat origon kautta kulkevia paraabeleja. 2.4. Avoimet ja suljetut joukot Reaaliakselilla olemme tottuneet käsittelemään avoimia ja suljettuja välejä. Muitakin joukkoja on, eivätkä välitkään ole aina avoimia tai suljettuja. Jos I R on (avoin, suljettu tai puoliavoin) väli, jonka päätepisteet ovat a ja b, niin reaaliakselin R pisteet jakautuvat kolmeen eri kategoriaan: Niihin pisteisiin, jotka ovat reilusti välin I sisällä eli avoimella välillä ]a, b[. Niihin pisteisiin, jotka ovat reilusti välin I ulkopuolella eli joukossa R \ [a, b] eli avoimilla väleillä ], a[ tai ]b, [ 22

Niihin pisteisiin, jotka ovat välin sisäpuolen ja ulkopuolen välissä eli jotka eivät ole reilusti välin I sisällä eikä ulkopuolella. Näitä ovat välin päätepisteet a ja b. Samanlainen pisteiden kolmijako voidaan tehdä välin sijasta minkä tahansa R n :n osajoukon A suhteen. On osoittautunut, että tällainen jako on hyödyllistä. Seuraavaksi analysoimme käsitteitä, joiden avulla ymmärrämme, mitä noilla kolmella kategorialla täsmällisesti ottaen tarkoitetaan. Esimerkki. Väli I R on avoin, jos ja vain jos sen jokainen piste x 0 kuuluu johonkin avoimeen väliin J I. Väli I R on suljettu, jos ja vain jos sen komplementti koostuu avoimista väleistä (tai I = R); ts. jokainen komplementin R \ I piste z 0 kuuluu johonkin avoimeen väliin J R \ I. Väli I R on puoliavoin, jos ja vain jos se ei ole avoin eikä suljettu; ts. on olemassa pisteet x 0 I ja z 0 R \ I siten, että jokainen avoin väli J, jolle x 0 J, leikkaa komplementtia R \ I ja jokainen avoin väli J, jolle z0 J, leikkaa väliä I. 2.31. Määritelmä (Pallot). Olkoon x 0 R n ja r > 0. Joukko B(x 0, r) := {x R n : x x 0 < r} on (x 0 -keskinen, r-säteinen) avoin pallo. Vastaavasti (x 0 -keskinen, r-säteinen) suljettu pallo on joukko B(x 0, r) := {x R n : x x 0 r}. Matemaatikot (etenkin Jyväskylässä) kutsuvat avointa palloa pelkäästään palloksi. Suljetusta pallosta puhuttaessa yleensä sanotaan eksplisiittisesti, että kyseessä on suljettu pallo. Sen sijaan pallopinta eli pallon kuori on joukko S(x 0, r) := {x R n : x x 0 = r} = B(x 0, r) \ B(x 0, r). Esimerkki. Kun n = 1, niin avoin (suljettu) pallo on avoin (suljettu) väli, B(x 0, r) = ]a, b[ ja B(x0, r) = [a, b], 23

missä a, b R, b a ja x 0 = a + b 2 sekä r = b a 2. Esimerkki. Tarkastellaan annetun pisteen z 0 R n suhdetta palloon B(x 0, r). On kolme vaihtoehtoa: piste z 0 on joko pallon sisällä eli z 0 B(x 0, r), pallon kuorella eli z 0 S(x 0, r) tai pallon ulkopuolella eli z 0 R n \ B(x 0, r) = B(x 0, r). Edelleen 1. Jos z 0 B(x 0, r), niin kolmioepäyhtälön avulla näemme, että jokaiselle y B(x 0, r) pätee y z 0 y x 0 z 0 x 0 r z 0 x 0 > 0. Siten merkitsemällä δ 0 = r z 0 x 0 on δ 0 > 0 ja B(z 0, δ 0 ) B(x 0, r). Siis kun z 0 on pallon B(x 0, r) sisällä, löysimme z 0 -keskisen avoimen pallon, joka on kokonaan pallon B(x 0, r) sisällä. 2. Jos z 0 S(x 0, r), niin jos y t = z 0 + t(z 0 x 0 ), on ja Siten kaikille 0 < δ < 1 pätee ja y t x 0 = z 0 + t(z 0 x 0 ) x 0 = 1 + t r y t z 0 = z 0 + t(z 0 x 0 ) z 0 = t r y t B(x 0, r) B(z 0, δr) kaikilla δ < t < 0 y t B(x 0, r) B(z 0, δr) kaikilla 0 < t < δ. Siis kun piste z 0 on pallon kuorella S(x 0, r), jokainen z 0 -keskinen pallo B(z 0, δr) leikkaa sekä palloa B(x 0, r) että sen ulkopuolta B(x 0, r). 24

3. Jos z 0 R n \ B(x 0, r) = {x R n : x x 0 > r}, niin kolmioepäyhtälön avulla näemme, että jokaiselle y B(x 0, r) pätee y z 0 z 0 x 0 y x 0 z 0 x 0 r > 0. Siten pisteen z 0 etäisyys suljetusta pallosta B(x 0, r) on vähintään δ 1 = z 0 x 0 r ja B(z 0, δ 1 ) B(x 0, r) =. Siis kun z 0 on pallon B(x 0, r) ulkopuolella, löysimme z 0 -keskisen avoimen pallon, joka on kokonaan pallon B(x 0, r) ulkopuolella. Yleistetään esimerkissä pallolle löydetyt ominaisuudet yleiselle joukolle A: 2.32. Määritelmä. Olkoon A R n. Sanotaan, että piste z 0 R n on joukon A sisäpiste, jos on olemassa r > 0, jolle B(z 0, r) A. Merkitään int A := {z R n : z on joukon A sisäpiste}. interior Sisäpisteiden joukko int A on joukon A sisus joukon A reunapiste, jos kaikille r > 0 pätee sekä B(z 0, r) A että B(z 0, r) \ A. Merkitään 6 A := {z R n : z on joukon A reunapiste}. boundary Reunapisteiden joukko A on joukon A reuna. joukon A ulkopiste, jos on olemassa r > 0, jolle B(z 0, r) A =. Merkitään ext A := {z R n : z on joukon A ulkopiste}. exterior Esimerkki. Palloille pätee: int B(x 0, r) = B(x 0, r) = int B(x 0, r), int S(x 0, r) =, ext B(x 0, r) = R n \ B(x 0, r) = ext B(x 0, r), ext S(x 0, r) = R n \ S(x 0, r), B(x 0, r) = S(x 0, r) = B(x 0, r) = S(x 0, r). 6 Tässä yhteydessä symboli luetaan dee tai doo tai reuna. 25

2.33. Huomautus. a) Jokaisen joukon A R n sisä-, ulko- ja reunapisteet jakavat avaruuden R n kolmeen (pareittain) pistevieraaseen osaan (joukon A suhteen): int A ext A =, ext A A = ja int A A =. Edelleen R n = int A A ext A. b) Sisäpisteiden joukko int A sisältää aina avoimen pallon (ja siis äärettömän monta pistettä, ellei se ole tyhjä joukko eli int A = ). Koska ext A = int A pätee sama ulkopisteiden joukolle. Sen sijaan reunapisteiden joukossa voi olla mikä hyvänsä määrä pisteitä, vaikka tyhjäreunaisia ovat ainoastaan ja R n (katso Lause 2.38). 2.34. Huomautus. a) Jokaiselle joukolle A R n pätee A = A ja int A A ja ext A A, joten A A int A ja A A ext A. b) Jos A B, niin int A int B ja ext B ext A, mutta reunajoukoista ei voi sanoa mitään. Esimerkiksi =, R n =, {x 1, x 2,..., x k } = {x 1, x 2,..., x k } ja Q = R. 2.35. Määritelmä (Avoin joukko/ suljettu joukko). Sanotaan, että joukko A R n on avoin, jos int A = A. Sanotaan, että joukko F R n on suljettu, jos sen komplementtijoukko R n \ F on avoin. 2.36. Huomautus. Joukko A R n on avoin, jos ja vain jos jokaisella x 0 A on säde r 0 > 0, jolle B(x 0, r 0 ) A. Edelleen, joukko F R n on suljettu, jos ja vain jos jokaisella z 0 r 1 > 0, jolle B(z 0, r 1 ) F =. / F on säde 26

Esimerkki. Avoin pallo B(x 0, r) on avoin joukko: Olkoon z 0 B(x 0, r). Tällöin kolmioepäyhtälöstä seuraa, että B(z 0, r z 0 x 0 ) B(x 0, r), joten int B(x 0, r) = B(x 0, r) ja B(x 0, r) on avoin joukko. Suljettu pallo B(x 0, r) on suljettu joukko, sillä sen komplementti A = R n \ B(x 0, r) on avoin: jos y 0 / B(x 0, r), niin B(y 0, y 0 x 0 r) B(x 0, r) =, sillä kolmioepäyhtälön nojalla jokaiselle y B(y 0, y 0 x 0 r) pätee y x 0 y 0 x 0 y y 0 > y 0 x 0 ( y 0 x 0 r) = r. Siis B(x 0, r) on suljettu. 2.37. Huomautus. a) Yleensä R n :n osajoukko E ei ole sen enempää avoin kuin suljettukaan. Esim, jos x 0 y 0 ja r = x 0 y 0, niin joukko B(x 0, r) B(y 0, r) ei ole avoin eikä suljettu. b) Joukot ja R n ovat sekä avoimia että suljettuja. (Muita tällaisia ei olekaan, ks. 2.38.) c) Koska int(r n \ F ) = ext F, on F suljettu, jos ja vain jos ext F = R n \ F. d) Koska int(int A) = int A, on sisäpisteiden joukko int A aina avoin. Samoin ulkopisteiden joukko ext A on avoin. e) Reunajoukko A on aina suljettu, koska R n \ A = int A ext A on avoin (miksi?). f) Koska int A A int A A ja koska A int A =, on joukko A avoin, jos ja vain jos A A =. g) Edellisen nojalla joukko F on suljettu, jos ja vain jos F F. Eukliidisessa avaruudessa ei ole juurikaan sellaisia joukkoja, jotka ovat sekä suljettuja että avoimia. 27

2.38. Lause. Olkoon A R n. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä i) A on sekä suljettu että avoin ii) A =. iii) Joko A = R n tai A =. Todistus: Osoitetaan i) iii) ii) i). Ensin i) iii) : Oletetaan, että A on sekä suljettu että avoin, mutta A R n ja A. Olkoot x 0 A ja z 0 / A. Koska A on avoin, on r > 0, jolle B(x 0, r) A. Olkoon Tarkastellaan pistettä ja johdetaan sen avulla ristiriita. t 0 = sup{t [0, 1] : y t = x 0 + t(z 0 x 0 ) A}. y t0 = x 0 + t 0 (z 0 x 0 ) Ensiksi y t0 / A, koska jos olisi y t0 A, niin olisi t 0 < 1 (koska z 0 = y 1 ) ja A:n avoimuuden nojalla olisi δ ]0, 1 t 0 [, jolle B(y t0, δ z 0 x 0 ) A. Koska y t y t0 = t t 0 z 0 x 0 < δ z 0 x 0 kaikilla t ]t 0, t 0 + δ[, on y t A kaikilla t ]t 0, t 0 + δ[, mikä on vastoin t 0 :n määrittelyä. Siis y t0 / A ja t 0 > 0 (koska y 0 = x 0 A). Toisaalta myös ehto y t0 / A johtaa mahdottomuuksiin, sillä joukon R n \ A avoimuuden nojalla on 0 < r < t 0, jolle B(y t0, r z 0 x 0 ) R n \ A. Koska y t y t0 = t t 0 z 0 x 0 < r z 0 x 0 kaikilla t ]t 0 r, t 0 [, on y t B(y t0, r z 0 x 0 ) R n \ A kaikilla t ]t 0 r, t 0 [. Tämä on vastoin t 0 :n määrittelyä. Siis ei voi olla myöskään y t0 R n \ A. Näin ollen oletus, että A R n ja A johtaa ristiriitaan, joten ehto iii) pätee. Implikaatio iii) ii) : Jos A, olisi x 0 A. Silloin olisi B(x 0, r) A (joten A ) ja B(x 0, r) \ A (joten R n \ A ). Siten A, R n. Implikaatio ii) i) seuraa helposti jaosta R n = A int A ext A: Koska A = A, on A = ext A avoin ja siten A on suljettu. Samoin A = int A, sillä A int A A = int A A (Huomautus 2.34). Siten A on myös avoin. 28

2.39. Lause. i) Mielivaltaisen (vaikka äärettömän) monen avoimen joukon yhdiste on avoin. ii) Äärellisen monen avoimen joukon leikkaus on avoin. iii) Mielivaltaisen (vaikka äärettömän) monen suljetun joukon leikkaus on suljettu. iv) Äärellisen monen suljetun joukon yhdiste on suljettu. Todistus: i) Olkoot A j, j J, avoimia joukkoja. Jos x 0 A j, niin x 0 A j0 jollakin j 0 J. Koska A j0 ja siten x 0 int A j. Siis j J joten yhdiste A j on avoin. j J on avoin, on A j0 = int A j0 int A j, j J int A j = A j, j J ii) Olkoot A j, j = 1, 2,..., m, avoimia joukkoja. Jos x 0 m A j, niin x 0 A j kaikilla j J. Koska kukin A j on avoin, on olemassa r j > 0 siten, että B(x 0, r j ) A j. Olkoon r 0 = min{r 1, r 2,..., r m }, jolloin r 0 > 0 ja Siten joten leikkaus m A j on avoin. j=1 j J B(x 0, r 0 ) A j kaikilla j. B(x 0, r 0 ) m A j, Kohdat iii) ja iv) seuraavat kohdista i) ja ii) ja DeMorganin kaavojen 7 avulla. (HT) 7 DeMorgan: j=1 j J j=1 R n \ A j = (R n \ A j ) ja R n \ A j = (R n \ A j ). j J j J j J j J 29

2.40. Seuraus. Reunajoukko on aina suljettu. Todistus: R n \ A = int A ext A on kahden avoimen joukon yhdisteenä avoin. Kootaan seuraaviin lauseisiin muutama avoimen ja suljetun joukon karakterisointi. 2.41. Lause. Olkoon A R n. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) Joukko A on avoin. ii) A A =. iii) Jokaisella x 0 A on r > 0, jolle B(x 0, r) A. iv) On olemassa avoimet pallot B(x j, r j ), j J, joille A = B(x j, r j ). Todistus: Helppo HT. j J 2.42. Lause. Olkoon F R n. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) Joukko F on suljettu. ii) F F. iii) Jokaisella jonolla x j F, jolle x j x 0, myös rajapiste x 0 F. Todistus: i) ii) Koska F on suljettu, on joten F F. F = ext F = (int F F ), ii) iii) Jos x j F ja x j x 0, niin jokaisella r > 0 on B(x 0, r) F. Siten x 0 F F = F kohdan ii) nojalla. iii) i) Jos x 0 / ext F, on jokaisella j N piste x j B(x 0, 1/j) F, jolloin x j x 0. Siten kohdan iii) nojalla x 0 F ja siten (ext F ) F. Toisin sanoen F ext F, joten F on avoin eli F on suljettu. 30

Esimerkki. Jos x j x 0, niin joukko {x 0, x 1, x 2, x 3,... } on suljettu. Esimerkki. Avoin n-väli I =]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a n, b n [ on avoin. Tämä on helppo todistaa suoraankin, mutta käytetään lausetta 2.39, jotta opitaan erilaisia päättelymalleja. Tarkastellaan kaistaletta ( strippiä ) S j = {x = (x (1), x (2),..., x (n) ) R n : a j < x (j) < b j }, j = 1, 2,..., n. Joukko S j on avoin, koska B(x 0, r j ) S j kun x 0 S j ja Siten n-väli on myös avoin. Samoin nähdään, että suljettu n-väli on suljettu (HT). r j = min{x (j) 0 a j, b j x (j) 0 }. I = n S j j=1 Ī = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] Esimerkki. Jokainen avoin joukko A R n on yhdiste avoimista n-väleistä, joiden päätepisteet ovat rationaalisia: Olkoon x = (x (1), x (2),..., x (n) ) A ja valitaan r > 0, jolle B(x, r) A. Valitaan luvut a j, b j Q, joilla a j < x (j) < b j ja b j a j < r n. Tällöin joten x I x :=]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a n, b n [ B(x, r) A, A = I x. x A 31

Esimerkki. Huomaa, että avoimuus on suhteessa pohjalla olevaan avaruuteen. Vaikka esimerkiksi tason joukko A R 2 koostuisi kaikkiin suuntiin menevistä avoimista väleistä, ei se välttämättä ole avoin. Esimerkiksi, olkoot a = (0, 1) R 2 ja b = (0, 1) R 2 ja I = {(x, 0) R 2 : 1 < x < 1}. Tällöin joukko A = B(a, 1) B(b, 1) I sisältää annettuun suuntaan kulkevan origokeskisen avoimen välin: jos L on origon kautta kulkeva suora, niin on ε L > 0, jolle A L = B(0, ε j ) L. Kuitenkaan A ei sisällä yhtään origokeskistä avointa palloa eikä siis ole avoin joukko. 2.5. Kosketuspiste ja sulkeuma 2.43. Määritelmä. Olkoon A R n. Sanotaan, että piste x 0 on joukon A kosketuspiste, jos B(x 0, r) A kaikilla r > 0. Edelleen joukon A kosketuspisteiden joukkoa sanotaan joukon A sulkeumaksi, jota merkitään Ā, ts. Ā = {x R n : B(x, r) A kaikilla r > 0}. Selvästi aina A Ā sekä A Ā. Edelleen: 2.44. Lause. Joukon A sulkeumalle Ā pätee: i) Sulkeuma Ā on suljettu joukko ja Ā = A A = int A A = R n \ ext A. ii) Ā on suppein suljettu joukko, joka sisältää joukon A, ts Ā = F, missä leikkaus otetaan yli kaikkien suljettujen joukkojen F, joille A F. 32

Todistus: i): Sulkeuman määritelmästä seuraa heti Ā = R n \ ext A = int A A A A Ā, joten yllä olevat joukot ovat kaikki samoja. Edelleen Ā on suljettu joukko, koska sen komplementti on ext A, joka on avoin. ii): Kohdan i) nojalla Ā itse on yksi joukoista, joista leikkaus muodostetaan. Siten pätee. Jos F on suljettu joukko, jolle A F, on R n \ F = ext F ext A = R n \ (A A) = R n \ Ā. Siis Ā F kaikilla suljetuilla F, jolle A F ja sulkeuma on em. leikkausjoukon osajoukko. 2.45. Huomautus. Koska sulkeuma Ā on suppein suljettu joukko, joka sisältää joukon A, on Ā = Ā. Edelleen pätee: F = F, jos ja vain jos joukko F on suljettu. Esimerkki. Q = R = R \ Q. Tarkastelemme seuraavaksi annetun joukon A R n reunajoukkoa A. Koska A on suljettu, on A = A, ts. A on täsmälleen sama kuin kosketuspisteidensä joukko. Kosketuspisteiden määritelmän mukaan ne ovat sellaisia pisteitä x 0, joilla jokaisessa pallossa B(x 0, r) on joku kyseisen joukon A piste. Tällöin on kaksi vaihtoehtoa: joko jokaisessa pallossa B(x 0, r) on joku muu joukon A piste kuin piste x 0, tai pienillä säteillä r palloissa B(x 0, r) vain keskipiste kuuluu joukkoon A. Tämä havainto auttaa jakamaan kosketuspisteet ylipäätään kahteen kategoriaan ( sosiaalisiin ja erakoihin ). 2.46. Määritelmä. Olkoon A R n. Sanotaan, että piste x 0 on joukon A kasautumispiste, jos jokaiselle r > 0 on olemassa sellainen a A B(x 0, r), jolle a x 0. Edelleen sanotaan, että piste x 0 on joukon A erakkopiste eli isoloitu piste, jos on olemassa sellainen säde r > 0, jolle A B(x 0, r) = {x 0 }. 33

2.47. Huomautus. Jokainen A:n kosketuspiste on joko A:n kasautumispiste tai erakkopiste, ja kääntäen. Siten Ā = A {x : x on joukon A kasautumispiste}. Seuraava lemma on helppo todistaa ja jätetään se harjoitustehtäväksi. 2.48. Lemma. Olkoon A R n ja x 0 R n. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) x 0 on joukon A kasautumispiste. ii) x 0 Ā, mutta x 0 ei ole joukon A erakkopiste. iii) On olemassa jono x j A, jolle x j x 0 ja x j x 0. iv) Jokainen pallo B(x 0, r) sisältää monta joukon A pistettä. 2.6. Kuvaukset, jatkuvuus Olkoon A R n ja f : A R m, m N. Sanotaan, että kuvaus f on jatkuva pisteessä x 0 A pitkin joukkoa A, jos lim x x 0 x A f(x) = f(x 0 ). Edelleen sanotaan, että kuvaus f : A R m on jatkuva, jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä x 0 A pitkin joukkoa A. Muista: seurauslauseessa 2.25 osoitimme: Kuvaus f : A R m on jatkuva pisteessä x 0 A pitkin joukkoa A, jos ja vain jos jokainen f:n koordinaattifunktio f j : A R on jatkuva pisteessä x 0 pitkin joukkoa A. 2.49. Huomautus. i) Määritelmä jatkuvuudelle pisteessä x 0 pitkin joukkoa A on mielekäs ainoastaan, kun piste x 0 on joukon A kasautumispiste, sillä muutoin kaikki funktiot ovat jatkuvia pisteessä x 0 pitkin joukkoa A. ii) Jos x 0 int A, huomioidaan jatkuvuuden tarkastelussa raja-arvot joka puolelta pistettä x 0 (tällöin fraasi pitkin joukkoa A jätetään yleensä pois). Jos taas z 0 / int A, voi jatkuvuus pitkin joukkoa A kaihertaa intuitiivista käsitystä. 34

Esimerkki. Olkoon z 0 = 0 ja määritellään { 0, kun x 1 0 f(x) = 1, kun x 1 < 0, missä x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Tällöin f on jatkuva pisteessä z 0 pitkin joukkoa A, jos esimerkiksi A = {x = (x 1, x 2,... x n ) : x 1 0}, mutta epäjatkuva pisteessä z 0 pitkin joukkoa B(z 0, 1). Raja-arvon ominaisuuksien avulla saamme seuraavat karakterisoinnit jatkuvuudelle. Harjoituksen vuoksi todistus on hyvä kirjoittaa uudelleen. 2.50. Lause. Olkoot A R n, f : A R m kuvaus ja x 0 A. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä i) f on jatkuva pisteessä x 0, ts. lim x x 0 x A f(x) = f(x 0 ). ii) Kaikki koordinaattifunktiot f j : A R, f j (x) = f(x):n j. koordinaatti, ovat jatkuvia pisteessä x 0, j = 1, 2,..., m.. iii) Jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) < ε aina kun x A ja x x 0 < δ. iv) Kaikille jonoille x j A, joilla x j x 0, pätee f(x j ) f(x 0 ). 2.51. Huomautus. i) Jos f, g : A R m ovat jatkuvia pitkin joukkoa A pisteessä x 0 A ja α, β R, niin myös αf + βg on jatkuva pisteessä x 0. ii) Jos f : A R m ja g : A R ovat jatkuvia pitkin joukkoa A pisteessä x 0 A, niin myös fg on jatkuva pisteessä x 0, sillä fg(x) fg(x 0 ) = = (f(x) f(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) + (f(x) f(x 0 ))g(x 0 ) + f(x 0 )(g(x) g(x 0 )) f(x) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) + f(x) f(x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) < 3ε, kun 0 < ε < 1 ja f(x) f(x 0 ) < ε g(x 0 ) + 1 ja g(x) g(x 0 ) < ε f(x 0 ) + 1. 35

Esimerkki. Euklidinen normi x x on jatkuva funktio R n pistetulo (x, y) x y on jatkuva kuvaus R n R n R, sillä R. Samoin x y x 0 y 0 = (x x 0 ) (y y 0 ) + (x x 0 ) y 0 + x 0 (y y 0 ) (x x 0 ) (y y 0 ) + (x x 0 ) y 0 + x 0 (y y 0 ) x x 0 y y 0 ) + x x 0 y 0 + x 0 y y 0 ) 0, kun (x, y) (x 0, y 0 ) (ks. Cauchy-Schwarz 2.4). Esimerkki. Olkoon x, kun y x > 0, y y f(x, y) =, kun x y > 0, x 0, kun x = 0 tai y = 0. Tällöin f : R 2 R ei ole jatkuva origossa 0 = (0, 0), vaikka pitkin origon kautta kulkevia suoria pätee lim f(tx, ty) = lim f(tx, ty) kaikilla (x, y) R. t 0+ t 0 2.52. Lause. Olkoot f : A R m ja g : B R k, missä f(a) B R m. Jos f on jatkuva pisteessä x 0 (pitkin joukkoa A) ja jos g on jatkuva pisteessä y 0 = f(x 0 ) (pitkin joukkoa B), on yhdistetty kuvaus h = g f jatkuva pisteessä x 0 (pitkin joukkoa A). Todistus: Olkoon x j A, x j x 0. Tällöin y j = f(x j ) B ja Lauseen 2.50 nojalla Edelleen g:n jatkuvuus takaa, että joten h on jatkuva. y j = f(x j ) f(x 0 ) = y 0. h(x j ) = g(f(x j )) = g(y j ) g(y 0 ) = g(f(x 0 )) = h(x 0 ), 36

Esimerkki. Olkoot f : A R m ja g : A R m jatkuvia pisteessä x 0. Tällöin x f(x) g(x) on jatkuva pisteessä x 0. Syy: x (f(x), g(x)) on jatkuva kuvaus A R m R m, koska koordinaattifunktiot ovat jatkuvia. Edelleen pistetulo on jatkuva R m R m :ssä, joten x f(x) g(x) on jatkuvien funktioiden yhdisteenä jatkuva. Olkoot A R n ja x 0 A. Lauseessa 2.50 iii) karakterisoitiin kuvauksen f : A R m jatkuvuus pisteessä x 0 niin, että jokaisella ε > 0 on olemassa δ > 0, jolle Muistamalla alkukuvan määritelmän saadaan tästä seuraava muoto: f(b(x 0, δ) A) B(f(x 0 ), ε). f 1 (B) := {x A : f(x) B} 2.53. Lause. Olkoot A R n ja f : A R m. Tällöin f on jatkuva pisteessä x 0 A, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V R m, jolla f(x 0 ) V, on olemassa avoin joukko U R n siten, että x 0 U ja U A f 1 (V ). Todistus: Olkoon ensin f jatkuva pisteessä x 0 A ja V R m avoin joukko, jolla f(x 0 ) V. Olkoon ε > 0 niin pieni, että B(f(x 0 ), ε) V. Nyt jatkuvuuden nojalla löytyy δ > 0, jolle f(b(x 0, δ) A) B(f(x 0 ), ε) ts. B(x 0, δ) A f 1 (V ). Käänteisen puolen todistamiseksi valitaan avointa joukkoa V = B(f(x 0 ), ε) vastaavan avoimen joukon U sisältä pallo B(x 0, δ) U, jolloin f(b(x 0, δ) A) f(u A) V = B(f(x 0 ), ε). 2.54. Seuraus. Olkoot A R n ja x 0 int A. Tällöin kuvaus f : A R m on jatkuva pisteessä x 0, jos ja vain jos jokaisella avoimella joukolla V R m, jolla f(x 0 ) V, pätee x 0 int f 1 (V ). 37

2.55. Seuraus. Olkoot A R n avoin joukko. Tällöin kuvaus f : A R m on jatkuva joukossa A, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon V R m alkukuva f 1 (V ) on avoin joukko. Lauseen 2.53 todistus antaa: 2.56. Seuraus. Olkoot A R n. Tällöin kuvaus f : A R m on jatkuva joukossa A, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V R m on olemassa avoin joukko U R n, jolle f 1 (V ) = A U. 2.57. Seuraus. Tällöin kuvaus f : R n R m on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen suljetun joukon F R m alkukuva f 1 (F ) on suljettu joukko. Todistus: Seuraa edellisestä sillä kaikille F R m pätee R n \ f 1 (F ) = f 1 (R m \ F ). Sama komplementin ja alkukuvan vaihto antavat Seurauslauseesta 2.56 version suljetuille joukoille: 2.58. Seuraus. Olkoot A R n. Tällöin kuvaus f : A R m on jatkuva joukossa A, jos ja vain jos jokaiselle suljetulle joukolle F R m on olemassa suljettu joukko E R n, jolle f 1 (F ) = A E. 2.59. Seuraus. Jos kuvaus f : R n R on jatkuva, niin kaikille λ R tasaarvojoukot ja tasa-arvojoukot {x : f(x) > λ} ja {x : f(x) < λ} ovat avoimia {x : f(x) λ} ja {x : f(x) λ} ovat suljettuja. 38

2.60. Huomautus. Avoimen joukon kuvajoukko ei yleensä ole avoin, vaikka kuvaus f : R n R m olisi jatkuva. Esimerkiksi vakiokuvaus kuvaa avoimen joukon R n eiavoimeksi joukoksi {f(x 0 )} ja sin x kuvaa avoimen välin ] 5, 5[ suljetuksi väliksi [ 1, 1]. Euklidinen normi ja sisätulo ovat jatkuvia kuvauksia. Seuraavassa näytetään, että mikä hyvänsä R n :n normi on jatkuva. Sen avulla myös kaikki R n :n sisätulot voidaan osoittaa jatkuviksi. 2.61. Lemma. Olkoon normi R n :ssä. Tällöin kuvaus x x on (euklidisen normin suhteen) jatkuva. Edelleen, on olemassa vakio M > 0, jolle x M x kaikilla x R n. Todistus: 8 Olkoon x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Koska x = n x j e j, j=1 on n n x = x j e j x j e j = j=1 j=1 n x j e j x j=1 j=1 x M, n e j missä M = n j=1 e j. Jatkuvuus seuraa tästä, sillä x x 0 x x 0 M x x 0 < ε, kunhan x x 0 < ε M. 8 Vertaa Lauseen 2.26 todistus. 39