Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe

Samankaltaiset tiedostot
Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe

Yleistä tietoa kokeesta

Yleistä tietoa kokeesta

Yleistä tietoa kokeesta

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

TN-IIa (MAT22001), syksy 2017

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Johdatus tn-laskentaan torstai

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on

30A02000 Tilastotieteen perusteet

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

TN-IIa (MAT22001), syksy 2018

Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II (MAT22003), kevät 2018

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen päättely II (MAT22003), kevät 2019

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

tilastotieteen kertaus

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

5 Hypoteesien testaaminen

Satunnaislukujen generointi

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu

Ilkka Mellin (2008) 1/5

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

2. Uskottavuus ja informaatio

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Todennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1

5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Jatkuvat satunnaismuuttujat

2. Uskottavuus ja informaatio

Transkriptio:

Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe

Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan WebOodissa erikseen (ilmoittautumisaika kurssikokeeseen ei vielä alkanut) 1. kurssikokeen kurssisivu on https://courses.helsinki.fi/fi/mat22003/125775954. Tulokset laitan kyseiselle sivulle.

Kurssikokeen apuvälineistä 1. kurssikokeessa sallitut apuvälineet ovat 2. laskin sekä 3. lunttilappu. (MAOL-taulukoita ei sallita.) Lunttilapun pitää olla itse laadittu ja käsinkirijotettu (eli ei tietokoneella tulostettu, kuvattu, jne.) ainoa muu rajoitus koko: yksi A4-kokoinen arkki (molemmat puolet saa käyttää).

Erilliskokeesta ja sen luntista Päättely II:n erilliskokeessa saa käyttää laskinta, mutta ei omaa lunttia. Korvaavassa kokeessa sallitut apuvälineet olisivat samat kuin erilliskokeessa (ja samoin säädöksin kuin erilliskokeista) johtuen käytännön rajoitteista. Erilliskokeen tehtäväpaperin ohessa on minun (Petteri) laatima käsinkirjoitettu luntti. Tämän luntin laitan ennen erilliskoetta kurssisivulle. Tämä hieman tasaa tilannetta.

2. kurssikokeen Koealue 1. monisteen luvut 5-6 sekä luvusta 4 asiat, jotka eivät olleen 1. kurssikokeessa. 2. Harjoitukset 5a-bb 3. Kertaustehtävinä kannattaa laskea kaikki monisteen tehtävät luvuista 5-6 sekä mukana olvat kertaustehtävät Niiden ratkaisuehdotuksiin kannattaa myös perehtyä, mutta huom. kaikki ratkaisutavat käyvät. Ei ole yhtä malliratkaisua. :)

Kokeen arvostelusta Käytän arvionnissa perusperiaatetta palkitse onnistumisista, älä rankaise virheistä. Tämä tarkoittaa käytännössä, että 1. vaikka tehtävän ns. lopputulos olisi näennäisesti varsin etäällä optimisuorituksen lopputuloksesta, voi pisteitä tulla silti paljon. 2. Vastaavasti vaikka lopputulos olisikin oikea, niin onnistumisia voi olla vähänkin (esim. laskin antaa suoraan vastauksen). 3. Eli: kerro aina mitä olet tekemässä tai mitä mielestäsi tulisi tehdä :-) tämä kannattaa vaikka tehtävää et osaisikaan loppuun asti.

Kokeen arvostelun kestosta Tämä arvostelutapa on hidas Arvostelen itse kaikki kokeet, joten aikaa menee muutama viikko arvosteluun Laitan luultavasti Presemoon väliaikatietoja, kuinka pitkällä tarkastus on milloinkin (prosentteina).

Mitä kokeessa EI kysytä Keskustelua bayesiläisestä päättelystä ja Bayes-estimaattoreista

Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (1/4) Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein kurssikokeessa eri käsitteiden määritelmät ja selitykset tilastollisen mallin johtaminen (eli yptnf/ytf:n f Y selvittäminen) su-estimaatin tai su-estimaattorin selvittäminen perusteluineen

Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (2/4) su-estimaattorin asymptoottinen jakauma Fisherin informaation tai havaitun informaation laskeminen (eli kaikki mitä taatusti tarvitaan loppuosassa)

Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (3/4) tyhjentävän tunnusluvun etsiminen (faktorointikriteeri) voima, kriittinen alue ja muut tähän liittyvät käsitteet (tämä oli unohtunut) monotoninen uskottavuusosamäärä (tämä oli unohtunut) Jonkin kolmesta testisuureesta (uskottavuusosamäärä, Waldin testisuure, Raon (pistemäärä)testisuure) johtaminen kriittisen alueen määrääminen ja nollahypoteesin testaus eri testisuureilla (tämä tarvii taulukkoja ja laskinta)

Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (4/4) luottamusjoukon tai -välin määrääminen (yleensä ei tarvita numeerista väliä eli laskin ei ole välttämätön, mutta jos tarvitaan, niin tarvittavat taulukot on kokeen mukana) saranasuureet (mitä tarkoittaa, ja miten sen voi todeta (kertymäfunktio tiheysfunktio/pistetn-funktio)) uskottavuusosamäärän testisuureeseen perustuva approksimatiivinen luottamusjoukko Waldin testisuureeseen perustuva approksimatiivinen luottamusjoukko ja keskivirhe koko alkuosan käsitteistö :) ja niiden perustulokset (koska loppu rakentuu niille) tn-laskentaa!!

Jakaumista (1/3) Koska jakaumat ovat tärkeitä, niin muistin tueksi laitoin niitä tehtäväpaperin mukaan Opettele ne keskeiset jakaumat joita ei seuraavalla sivulla niin, että osaat kirjoittaa niiden ptnf:t/tf:t ja osaat johtaa sujuvasti niiden ominaisuuksia (mitä ne ovat, on jo pystyttävä arvaamaan/tietämään :)

Jakaumat tehtäväpaperin ohessa (2/3) Jakaumia: Satunnaismuuttuja X G(apple, ) noudattaa gammajakaumaa parametreilla apple > 0, > 0. Sen tiheysfunktio on f X (x; apple, )= apple (apple) xapple 1 e x 1{ x>0 }, odotusarvo EX = apple/ ja varianssi var X = apple/ 2. Riippumattomien gammajakautuneitten X i G(apple i, ) summa on gammajakautunut X 1 + + X n G( P apple i, ). Jos X G(apple, ) ja c>0 vakio, niin cx G(apple, /c). Satunnaismuuttuja Y Exp( ) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla > 0. Tämä on gammajakauman erikoistapaus Exp( ) = G(1, ), ja sen tiheysfunktio on f Y (y; )= e y 1{ y>0 }, odotusarvo EY =1/ ja varianssi var Y =1/ 2. Eksponenttijakauman kertymäfunktio F Y (y) =(1 e y )1{ y>0 }. Satunnaismuuttuja Z 2 n noudattaa khiin neliön jakaumaa vapausasteella n>0. Tämä 2 on gammajakauman erikoistapaus n =G(n/2, 1/2) ja sen tiheysfunktio on siten odotusarvo EZ = n ja varianssi var Z =2n. f Z (z; n) = 2 n/2 (n/2) zn/2 1 e z/2 1{ z>0 }, Satunnaismuuttuja W Tas(a, b) noudattaa tasajakaumaa välillä (a, b), missä b > a. Sen tiheysfunktio on ( 1

F Y (y) =(1 e y )1{ y>0 }. Jakaumat tehtäväpaperin ohessa (3/3) Satunnaismuuttuja Z 2 n noudattaa khiin neliön jakaumaa vapausasteella n>0. Tämä 2 on gammajakauman erikoistapaus n =G(n/2, 1/2) ja sen tiheysfunktio on siten odotusarvo EZ = n ja varianssi var Z =2n. f Z (z; n) = 2 n/2 (n/2) zn/2 1 e z/2 1{ z>0 }, Satunnaismuuttuja W Tas(a, b) noudattaa tasajakaumaa välillä (a, b), missä b > a. Sen tiheysfunktio on ( 1 f W (w; a, b) = b a, kun a<w<b 0, muuten. Odotusarvo EW = 1 1 2 (a + b) ja varianssi var W = 12 (b a)2. Diskreetti satunnaismuuttuja W P(µ) noudattaa Poissonin jakaumaa parametrilla µ. Sen pistetodennäköisyysfunktio on ( e µ µ w /w!, kun w =0, 1, 2,... f W (w; µ) = 0, muuten. Odotusarvo EW = µ ja varianssi var W = µ. Riippumattomien Poisson-jakautuneitten satunnaismuuttujien X i P(µ i ) summa on Poisson-jakautunut X 1 + + X n P( P µ i ).

Kokeen aikana (1/2) Tee laskuissa järkevyystarkistuksia: onko laskemani tn p välillä 0 p 1? (Tiedämme, että tapahtuman todennäköisyys toteuttaa tuon aina) onko laskemani varianssi tai Fisherin informaatio varmasti 0? (Varianssi on sm:n (X EX) 2 odotusarvo, joten se on aina ei-negatiivinen ja apulauseen mukaan ainakin säännöllisen mallin Fisherin informaatio on pistemääräsm:n varianssi :) ) onko laskemani ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo varmasti 0? (edellisen kohdan yleistys :) onko kovarianssimatriisi (esimerkiksi Fisherin informaatio) varmasti symmetrinen ja positiivisesti semidefiniitti? onko johtamani uskottavuusfunktio varmasti 0?

Kokeen aikana (2/2) Jos törmäät laskussa hankalaan kohtaan ja/tai joudut aikapulaan niin selosta koepaperissa, millä strategialla olet laskua laskemassa Hyvästä strategiasta voi saada suuren osan jaossa olevista pisteistä.

Kokeeseen valmistautumisen aikaan / kokeen jälkeen kysymyksiä voi (ja kannattaa tehdä) presemon kautta. Pidempiäkin vastauksia voin antaa (mitkä kirjoitan käsin (tai jopa LaTeXilla), laitan tiedoston sivulle ja kerron siitä presemossa)