802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. LINEAARIALGEBRA 2 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Reaalinen sisätuloavaruus on pari/real inner product space is a pair (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus/usually we just say that V is an inner product space. LINEAARIALGEBRA 3 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Reaalinen sisätuloavaruus on pari/real inner product space is a pair (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus/usually we just say that V is an inner product space. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta./ It is usual to use the notation v w and to use the phrase dot product for the inner product v w of the vectors v ja w. LINEAARIALGEBRA 3 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli/ A real inner product is linear with respect to both its arguments or ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. LINEAARIALGEBRA 4 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli/ A real inner product is linear with respect to both its arguments or ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin/ First we use the axiom b and then the axiom c, whereupon V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. LINEAARIALGEBRA 4 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 1 Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla/ The set R n, n Z + is a real inner product space when the dot product of the vectors x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n is defined by setting x y = n x i y i. (4) i=1 Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan/By computing x y = n x i y i = i=1 n y i x i = y x. i=1 LINEAARIALGEBRA 5 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. LINEAARIALGEBRA 6 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = n n (λx i )y i = λ x i y i = i=1 i=1 λ x y. LINEAARIALGEBRA 6 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin xk 2 least one x k 0, whereupon xk 2 > 0. Siten/Thus > 0/Now at x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin./ Later it is proved that (7) in fact holds more generally. LINEAARIALGEBRA 7 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 2 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (8) LINEAARIALGEBRA 8 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 2 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (8) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (8) ei ole sisätulo. Kuvausta (8) kutsutaan Lorentzin indefiniitiksi sisätuloksi/lorentzian Indefinite Inner Product, ehto d) ei siis ole voimassa indefiniitille sisätulolle. LINEAARIALGEBRA 8 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 9 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 aina, kun v, w, u V ja λ C. (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) Merkintä z tarkoittaa kompleksiluvun z C kompleksikonjugaattia/denotes the complex conjugate. LINEAARIALGEBRA 9 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 3 Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla n z w = z i w i. (9) Todistetaan Määritelmän 2 kohta a: Lasketaan/By computing i=1 w z = = n n w i z i = w i z i i=1 n w i z i = i=1 i=1 i=1 n z i w i = z w. (10) LINEAARIALGEBRA 10 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 2 Olkoon V kompleksinen sisätuloavaruus ja 0 V nollavektori. Tällöin 0 v = v 0 = 0 v V ; (11) v v = 0 v = 0; (12) ja v v 0 v V. (13) LINEAARIALGEBRA 11 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Todistetaan aluksi tapaus (11): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (14) Otetaan tuloksesta (14) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (15) v 0 = 0 v = 0 v V. (16) LINEAARIALGEBRA 12 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Todistetaan seuraavaksi tapaus (12): Tuloksen (11) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (17) v v > 0, kun v 0. (18) Siispä v v = 0 v = 0. (19) LINEAARIALGEBRA 13 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 4 Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f (t)g(t)dt (20) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. LINEAARIALGEBRA 14 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. LINEAARIALGEBRA 15 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f (t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten f f = b a f (t) 2 dt > 0. (21) LINEAARIALGEBRA 15 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 5 Vektoriavaruuteen C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla f g = kaikilla f, g C([a, b], C). b a f (t)g(t)dt (22) LINEAARIALGEBRA 16 / 69

Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 6 Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f (x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta f f = b a f 2 (t)dt = 0. LINEAARIALGEBRA 17 / 69

Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus on normi, jos : V R 0 LINEAARIALGEBRA 18 / 69

Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; LINEAARIALGEBRA 18 / 69

Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; LINEAARIALGEBRA 18 / 69

Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; LINEAARIALGEBRA 18 / 69

Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). LINEAARIALGEBRA 18 / 69

Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. LINEAARIALGEBRA 19 / 69

Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. LINEAARIALGEBRA 19 / 69

Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (23) LINEAARIALGEBRA 20 / 69

Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (23) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 69

Normiavaruus Todistus. Koska v v 0 v V, (24) niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja v = v v 0 v V. (25) Siten saadaan kuvaus : V R 0, joka todistaa myös normin Määritelmän 3 kohdan a. LINEAARIALGEBRA 21 / 69

Normiavaruus Kohta b: Tuloksen (12) nojalla v v = 0 v = 0, (26) joten v = v v = 0 v = 0. (27) LINEAARIALGEBRA 22 / 69

Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 69

Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 69

Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. LINEAARIALGEBRA 24 / 69

Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. Lause 2 Kuvaukselle (23) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (28) Todistus. Aluksi huomataan, että epäyhtälö (28) on voimassa, jos v = 0 tai w = 0. Olkoon sitten v 0 ja w 0. LINEAARIALGEBRA 24 / 69

Normiavaruus 1) Reaalinen tapaus: Kirjoitetaan nyt z := w 2 v (v w)w. Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (29) joten myös w z = 0. LINEAARIALGEBRA 25 / 69

Normiavaruus 1) Reaalinen tapaus: Kirjoitetaan nyt z := w 2 v (v w)w. Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (29) joten myös w z = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan ja edelleen (28). w 2 v 2 v w 2 LINEAARIALGEBRA 25 / 69

Normiavaruus 2) Kompleksinen tapaus: Kirjoitetaan nytkin z := w 2 v (v w)w. Tällöinkin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (30) joten myös w z = z w = 0. LINEAARIALGEBRA 26 / 69

Normiavaruus 2) Kompleksinen tapaus: Kirjoitetaan nytkin z := w 2 v (v w)w. Tällöinkin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (30) joten myös w z = z w = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + v w v w w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (28). LINEAARIALGEBRA 26 / 69

Normiavaruus Nyt voidaan todistaa Määritelmän 3 kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + 2v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 27 / 69

Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (31) LINEAARIALGEBRA 28 / 69

Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (31) Nyt v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 28 / 69

Normiavaruus Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3 Sisätulonormille pätee v w v + w v + w (32) LINEAARIALGEBRA 29 / 69

Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). LINEAARIALGEBRA 30 / 69

Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (33) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (34) LINEAARIALGEBRA 30 / 69

Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x1 2 +... + x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (33) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (34) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö x y x y. (35) LINEAARIALGEBRA 30 / 69

Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (36) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 31 / 69

Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (36) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9 Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (37) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 31 / 69

Normiavaruus Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (38) LINEAARIALGEBRA 32 / 69

Normiavaruus Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (38) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (39) LINEAARIALGEBRA 32 / 69

Normiavaruus Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4 Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w = v 2 + w 2 2 v w cos α. LINEAARIALGEBRA 33 / 69

Normiavaruus Määritelmä 4 Olkoon V normiavaruus ja S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on/now the distance of the point t V from the set S is Esimerkki 10 inf t s. (40) s S Pisteen t etäisyys pisteestä s/the distance of the point t from the point s. Nyt S = {s}, joten inf t s = t s. (41) s S Lauseke t s antaa vektoreiden t ja s välisen etäisyyden./ The expression t s gives the distance between the vectors t and s. LINEAARIALGEBRA 34 / 69

Normiavaruus On olemassa muitakin kuin sisätulonormeja. Esimerkiksi p-normit: x p = ( x 1 p +... + x n p ) 1/p, p 1, x R n. (42) p = 1: x 1 = x 1 +... + x n, x R n. (43) p = 2: x 2 = ( x 1 2 +... + x n 2) 1/2, x R n. (44) p = : x = max{ x 1,..., x n }, x R n. (45) HUOM: 2 on kuitenkin sisätulonormi. LINEAARIALGEBRA 35 / 69

Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. LINEAARIALGEBRA 36 / 69

Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. LINEAARIALGEBRA 36 / 69

Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali/orthonormal, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. LINEAARIALGEBRA 36 / 69

Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; LINEAARIALGEBRA 37 / 69

Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 11 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. LINEAARIALGEBRA 37 / 69

Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 11 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. LINEAARIALGEBRA 37 / 69

Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. LINEAARIALGEBRA 38 / 69

Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (9). LINEAARIALGEBRA 38 / 69

Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (9). Esimerkki 12 Luonnollisen kannan vektoreiden muodostama joukko/the set of standard base vectors E n := {e 1,..., e n } (46) on ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 38 / 69

Ortogonaalisuus Esimerkki 13 Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = 1 1 1 1 f (t)g(t)dt. (47) tdt = 0, (48) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (49) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 39 / 69

Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton/s is linearly independent. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton/in particular, an orthonormal set is linearly independent. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon/let us remember that the zero-vector does not belong to an orthonormal set. LINEAARIALGEBRA 40 / 69

Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton/s is linearly independent. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton/in particular, an orthonormal set is linearly independent. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon/let us remember that the zero-vector does not belong to an orthonormal set. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. LINEAARIALGEBRA 40 / 69

Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. LINEAARIALGEBRA 41 / 69

Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. LINEAARIALGEBRA 41 / 69

Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S äärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 41 / 69

Ortogonaalisuus Määritelmä 6 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. LINEAARIALGEBRA 42 / 69

Ortogonaalisuus Määritelmä 6 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 14 1. Avaruuden R n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. 2. Avaruuden C n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 42 / 69

Ortogonaalisuus Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5 Olkoon V normiavaruus ja v V, v 0. Tällöin f := v/ v f = 1. (51) Todistus. f = v v = 1 v v = 1 v = 1. v LINEAARIALGEBRA 43 / 69

Ortogonaalisuus Lause 4 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v v i v i v i (52) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v v i. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. v v i = λ 1 v 1 v i +... + λ i v i v i +... + λ n v n v i = λ i v i v i saadaan väite (52). LINEAARIALGEBRA 44 / 69

Ortogonaalisuus Esimerkki 15 Joukko {s 1 = e 1 + e 2, s 2 = e 1 e 2 } on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. Mitkä ovat vektorin v = (2, 3) koordinaatit kannassa {s 1, s 2 }? Ratkaisu: Kirjoitetaan v = as 1 + bs 2. Ottamalla sisätulo ja sijoittamalla saadaan v s 1 = as 1 s 1 + bs 2 s 1 = as 1 s 1 (53) (2, 3) (1, 1) = a(1, 1) (1, 1) a = 5/2. (54) Vastaavasti b = 1/2. Siten v = 5 2 s 1 + ( 1 ) s 2. (55) 2 LINEAARIALGEBRA 45 / 69

Ortogonaalisuus Lause 5 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = n v v i v i w. (56) i=1 Lause 6 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v 1 +... + λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ i 2. (57) i=1 i=1 LINEAARIALGEBRA 46 / 69

Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko/then there exists an orthogonal set {w 1,..., w k } V, että/such that w 1,..., w k = v 1,..., v k. (58) LINEAARIALGEBRA 47 / 69

Gram-Schmidt Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä/let us carry out Gram-Schmidt orthogonalization: Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 LINEAARIALGEBRA 48 / 69

Gram-Schmidt Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus/Induction assumption: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel/Induction step: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i 0... 0 v l w i w i w i w i w i 0... 0 = 0. LINEAARIALGEBRA 49 / 69

Gram-Schmidt Lause 8 Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta./every finite dimensional inner product space has an orthonormal basis. LINEAARIALGEBRA 50 / 69

Gram-Schmidt Esimerkki 16 Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta/let us find an orthonormal basis for the subspace H = v 1, v 2, v 3. Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (5, 1, 1, 1) 5 1 + 1 1 (1, 1, 1, 1) 1 + 1 + 1 + 1 = (4, 2, 0, 2), LINEAARIALGEBRA 51 / 69

ja Gram-Schmidt w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 12 6 + 0 6 16 + 4 + 0 + 4 w 2 3 + 3 + 1 + 3 4 = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 LINEAARIALGEBRA 52 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. LINEAARIALGEBRA 53 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. LINEAARIALGEBRA 53 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti LINEAARIALGEBRA 53 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 LINEAARIALGEBRA 53 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 h A h A. LINEAARIALGEBRA 53 / 69

Ortogonaalikomplementti Esimerkki 17 Olkoon A = {(1, 0)} R 2. Muodostetaan A = {(b 1, b 2 ) R 2 (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0}. Nyt (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0 b 1 = 0, b 2 R A = {(0, b 2 ) = b 2 (0, 1), b 2 R}, joka on yksiulotteinen aliavaruus, origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 54 / 69

Ortogonaalikomplementti Lemma 6 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Esimerkki 18 {0} = V, (59) V = {0}. (60) LINEAARIALGEBRA 55 / 69

Ortogonaalikomplementti Lemma 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin A A = {0}. (61) LINEAARIALGEBRA 56 / 69

Ortogonaalikomplementti Lemma 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin Edelleen, jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}. (61) dim K A = n k. (62) LINEAARIALGEBRA 56 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 57 / 69

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; h A. (63) LINEAARIALGEBRA 57 / 69

Ortogonaalikomplementti Esimerkki 19 Olkoon V = R 3 ja A = e 1, e 2. Etsitään pisteen t = e 2 + e 3 kohtisuora projektio aliavaruudelle A. Nyt A = {b R 3 b a = 0 a A} =... = {b 3 e 3 b 3 R}. (64) Siten projektiehdoista saadaan p = a 1 e 1 + a 2 e 2 A; p + h = t = e 2 + e 3 ; (65) h = b 3 e 3 A p e 3 = 0 h e 3 = t e 3 b 3 = 1 p = e 2. (66) LINEAARIALGEBRA 58 / 69

Ortogonaalikomplementti Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja {w 1,..., w j } ortogonaalinen V :n osajoukko sekä A := w 1,..., w j. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; h A. (67) LINEAARIALGEBRA 59 / 69

Ortogonaalikomplementti Tällöin Joten p = β 1 w 1 +... + β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. (68) 0 = h w l = (t p) w l t w l = p w l = (β 1 w 1 +... + β j w j ) w l = β l w l w l β l = t w l w l w l. (69) Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (70) LINEAARIALGEBRA 60 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. LINEAARIALGEBRA 61 / 69

Hypertaso Lemma 8 Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (71) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (72) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: vastaavine koordinaattiesityksineen. n = n 1 e 1 +... + n k e k = (n 1,..., n k ), (73) x = x 1 e 1 +... + x k e k = (x 1,..., x k ) (74) LINEAARIALGEBRA 62 / 69

Hypertaso Todistus. Joukolle (71) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x 1 +... + n k x k = 0}, (75) missä ehdon n 0 nojalla ainakin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x 2 +... + n k x k ) (76) ja edelleen x = x 1 e 1 +...+x k e k = x 2 ( n 2 n 1 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k n 1 e 1 +e k ) := x 2 f 2 +...+x k f k. Niinpä (77) N = f 2,..., f k, (78) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. LINEAARIALGEBRA 63 / 69

Hypertaso Lemma 9 Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (79) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (80) LINEAARIALGEBRA 64 / 69

Hypertaso Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (81) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (53) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g 1 +... + β k 1 g k 1 + 0 g k. (82) Valitaan n = 0 g 1 +... + 0 g k 1 + 1 g k, jolloin n x = 0. (83) LINEAARIALGEBRA 65 / 69

Hypertaso Tutkitaan seuraavaksi pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuora etäisyys. Lemma 10 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (84) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (85) LINEAARIALGEBRA 66 / 69

Hypertaso Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja p = t αˆn, niin 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (86) Siten α = t ˆn = t n n. (87) LINEAARIALGEBRA 67 / 69

Hypertaso Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (88) Lemma 11 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (89) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (90) LINEAARIALGEBRA 68 / 69

Hypertaso Esimerkki 20 Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (91) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) = n1 2 + n2 2 + n2 3 n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (92) n1 2 + n2 2 + n2 3 LINEAARIALGEBRA 69 / 69