Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos() + c y() = 3 cos() + c = 3 sin() + c + c, b) Kun f(t) 0 kaikilla t R, saaaan erivoinnin ketjusäännön sekä logaritmin erivaatan nojalla f (t) + t f(t) = 0 f (t) f(t) = t t ln f(t) = t, josta viimeisestä yhtälöstä saaaan integroimalla puolittain ln f(t) = ln f(t) t = t t = t 3 t3 + c f(t) = ±e 3 t3 +c = c e 3 t3, missä c R ja c = ±e c R \ {0}. Lisäksi ifferentiaaliyhtälöllä on triviaaliratkaisu f(t) = 0 kaikilla t R ja OY-lauseen mukaan tämä on ainoa ratkaisu jolla on nollakohta jossain ratkaisuvälin pisteessä.
Tehtävän ratkaisu a) ( + )y y = y = + y + b) e y+y = 3 e y = 3e y y = ln(3e y ) = ln(3) + ln() y c) Tehtävän 3 ratkaisu (y ) + yy 4 = 0 y = y ± y + 6 a) ifferentiaaliyhtälön normaalimuoto on b) eikä tämä ole separoituva. kuin tehtävässä 5. y = y + Tämän osoittaminen voiaan tehä samoin y + y = 0 y = (y ) eli yhtälö on separoituva. Kun y /, saaaan yhtäpitävä yhtälö y y =, () ja hyöyntämällä huomioita (y() ) = y () sekä logaritmin erivaattaa, saaaan eelleen y () y() = y () y() = ( ) ln y() () Yhistämällä nyt yhtälöt () ja (), saaaan alkuperäisen ifferentiaaliyhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälö ( ) ln y() = ln y() = 3 3 + c y() = e 3 3 +c y() = c e 3 3 + /
c) missä c R ja c = ± ec R \ {0}. Näien ratkaisujen lisäksi ifferentiaaliyhtälöllä on triviaaliratkaisu y() = / ja lokaalista OY-lauseesta seuraa että triviaaliratkaisu on ainoa yhtälön ratkaisu joka saa arvon / missään pisteessä. y () = e y() = e e y(), eli yhtälö on separoituva. Yhistetyn funktion erivointisääntöä sekä analyysin peruslausetta käyttämällä saaaan y ()e y() = e ey() = e e y() = e + c = e + c y() = ln( e + c), missä e + c > 0 Tehtävän 4 ratkaisu Kirjoittamalla yhtälö normaalimuotoon nähään että yhtälö on separoituva ja eelleen saaaan yhtäpitävä muoto Kun muistetaan että ( + )y () y () = y () = + y () + y () y () + = + t arctan(t) = + t niin saaaan yhistetyn funktion erivointisäännön avulla yhtälö muotoon (arctan(y())) = + ja eelleen analyysin peruslausetta käyttäen arctan(y()) = + c = arctan() + c + y() = tan(arctan() + c) Nyt haluttu ehto y(0) = saa muoon tan(c) = ja soveltamalla vielä kaavaa tan(a + b) = tan(a) + tan(b) tan(a) tan(b) 3
saaaan lopulta ja ratkaisuväli on tällöin (, ) Tehtävän 5 ratkaisu y() = + tan(c) tan(c) = +, Funktiot F ja G ovat jollain välillä I määriteltyjä, jatkuvia funktioita jotka eivät ole vakioita. Lisäksi funktiolla G on nollakohta jossain tämän välin pisteessä a. Teemme vastaoletuksen että on olemassa välillä I määritellyt funktiot p ja q siten että kaikilla, y I pätee Sijoittamalla y = a, saaaan että kaikille I pätee F () + G(y) = p()q(y). (3) F () = p()q(a) ja koska oletuksesta että F ei ole vakio seuraa q(a) 0, saaaan eelleen p() = q(a) F (). Sijoittamalla tämä takaisin yhtälöön (3), saaaan mistä ratkaisemalla F () saaaan F () + G(y) = F () q(y) q(a) F () = G(y) (4) q(y) q(a), kun q(y) q(a). Oletuksesta että funktio G ei ole vakio seuraa että tälläinen piste y 0 on olemassa ja eritoten tällöin (4) pätee kaikilla I kun y = y 0, mikä on ristiriita sen kanssa että funktio F ei olisi vakio. Tehtävän 6 ratkaisu Differentiaaliyhtälön f () = f() + mielekkyys vaatii että 0 ja lisäksi vaatimuksesta f() = seuraa että ratkaisuvälin on kuuluttava välille (0, ). Muokkaamalla yhtälöä ja käyttämällä 4
tulon erivointikaavaa, saaaan f () = f() + f () f() = (f() ) = f() = + c f() = 3 + c Kun vaaitaan vielä f() =, saaaan c = ja ratkaisuksi f() = 3 +, (0, ) Eellisen perusteella on ratkaisuväli maksimaalinen. 5