Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista - logiikkaa ja joukko-oppia LaaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B Esko Turunen esko.turunen@tut.fi
Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta Kurssi poikkeaa sekä lukion matematiikan kursseista (asioita ihan oikeasti todistetaan), että muista yliopiston matematiikan kursseista (aikaa käytetään lukion asioiden kertaamiseen). - Kannattaa hankkia lukion matematiikan kirjat saataville, sillä niitä tarvitaan! Luennoilla asiat esitellään ensimmäisen kerran, eikä ole mahdollista, että ne oppisi heti. Tätä varten on laskuharjoitukset, joihin kannattaa panostaa. Hyväksi koettu menetelmä on kerrata luennon asiat niin pian kuin mahdollista luennon jälkeen. Myös opiskelukavereiden kanssa kannattaa keskustella luennon asioista. Jos matematiikka lukiossa tuntui helpolta, niin siihen tunteeseen ei kannata tuudittautua täällä.
Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert) 5 Matematiikka perustuu matemaattiseen logiikkaan, joka poikkeaa arkipäivän logiikasta 6 Matemattisia tuloksia syntyy tänään enemmän kuin koskaan ennen historiassa 7 Matemattinen lahjakkuus on verrattavissa taiteelliseen ja musikaaliseen lahjakkuuteen 8 Matematiikkaa voi oppia jokainen terveellä järjellä varustettu ihminen - matematiikan kurssit koetaan TTY:n vaikeimpina
Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Rationaalilukujen joukko: Q = { m n m, n Z, n = 0}. Reaalilukujen joukko: R. Q R, esim. π, e, 2 R, mutta π, e, 2 Q, joten ne ovat irrationaalilukuja. merkinnät n i=1 a i = a 1 + + a n, i=1 a i = a 1 + a 2 +. Ks. Fitzpatric, Advanced Caclulus: Preliminaries ja Chapter 1
Johdantoa matemaattiseen logiikkaan Tarkastellaan seuraavia ongelmia: (1) Nainen kysyi mieheltä: Kenen kuvaa katselet? Mies vastasi: Minulla ei ole sisaria eikä veljiä, mutta kuvassa olevan miehen isä on isäni poika. Kenen kuvaa mies siis katseli? Ongelman ratkaisu piilee semantiikassa, ei niinkään logiikassa. (2) Herra Virtanen ajoi poikansa Matin kanssa kolarin, jossa herra Virtanen kuoli heti, mutta poikansa Matti jäi henkiin vaikkakin loukkaantui pahasti ja vietiin sairaalaan. Leikkauspöydän ääreen tullut lääkäri totesi kuitenkin: Potilashan on poikani Matti, en kykene leikkaamaan häntä! Miten tämä oli mahdollista? Ongelman ratkaisu vaatii oivalluksen, joka ei oikeastaan ole logiikkaa.
(3) Eräällä saarella asui vain kahden sortin asukkaita: niitä, jotka aina valehtelivat ja niitä, jotka aina puhuivat totta. Kerran eräs saaren asukas, Aapo nimeltään, esitti naapuristaan Pertistä väitteen: Jos minä olen totuudenpuhuja, niin Perttikin on totuudenpuhuja. Mitä Aapo ja Pertti olivat, valehtelijoita vai totuudenpuhujia? Ongelma voidaan ratkaista formalisoimalla se ja käyttämällä matemaattista logiikkaa - soveltaen implikaation totuustaulua ja hiukan alkeisjoukko-oppia. (Harjoitustehtävänä). Useimmat reaalimaailman ongelmat eivät ole luonteeltaan loogisia (mutta matemaattiset ongelmat ovat usein!)
Matemaattinen logiikka on matematiikan logiikkaa. Matemaattinen formaali kieli eroaa tavallisesta kielestä niin, että siinä on ensinnäkin täsmällisesti määritelty syntaksi eli kielioppi, joka kertoo yksityiskohtaisesti, miten kielen lauseita muodostetaan. Tavallisen kielen kieliopista tämä eroaa täsmällisyytensä puolesta. Formaalissa kielessä on myös täsmällisesti määritelty semantiikka eli merkitysoppi eli totuuden käsitteen määrittely. Tavallisessa kielessä esimerkiksi lause Ah, auvoista oloa! on semantiikaltaan häilyvä; formaalissa kielessä tällaista häilyvyyttä ei ole, vaan asiat (eli kaavat) joko ovat tosia (eli valideja) tai sitten eivät ole - ellei sitten puhuta sumeasta logiikasta tai moniarvologiikasta. Oleellista siis on, että totuuskin on täsmällisesti määritelty jokaiselle kaavalle. - Formaali kieli, jota tietokonekin ymmärtää, on toisaalta ilmaisuvoimaltaan luonnnollista kieltä paljon köyhempää.
Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan: (1) Määritellään kielen syntaksi. Ensin määritellään kielen aakkoset (esimerkiksi a, b, c,, ö tai 1, 2, +, =), jotka voivat olla mitä tahansa symboleja. Sitten kerrotaan, mitkä peräkkäisten aakkosten muodostamat jonot eli sanat ovat kieliopillisesti oikeita kaavoja. Tätä terminologiaa käyttäen suomenkielisiä sanoja ovat sekä kassi että pönkki (koska ne ovat suomenkielen aakkosten muodostamia jonoja); kieliopillisesti oikea (eli kaava) näistä on vain sana kassi. Suomenkieli on tässä(kin) suhteessa vähän epämääräistä; ei ole esimerkiksi täysin selvää, onko sana kasi suomenkielen kieliopillisesti oikea sana. Kielen syntaksiin luetaan kuuluvaksi myös päättely. Päättelyn pohjana ovat aksioomat, jotka ovat joitakin sovittuja kaavoja. Näistä aksioomista lähtien voidaan sovituin päättelysäännöin päätellä uusia kaavoja.
Yleensä mielivaltainen kaava ei ole pääteltävissä aksioomista lähtien, mutta niitä kaavoja, jotka ovat pääteltävissä, kutsutaan kielen teoreemoiksi. Suomenkielessä päättelyn käsite on epämääräinen, eikä mitään selvää vertailukohtaa formaaliin kieleen ole. Syntaksin sisällä ei ole mitään totuuskäsitettä, vaan kysymys siitä, onko annettu kaava teoreema vai ei, on kysymys siitä, onko se pääteltävissä vai ei. Tässä ei siis oteta mitään kantaa siihen onko kyseinen kaava tosi vai ei. Toisaalta formaalilla kielellä pyritään kuvaamaan reaalimaailman ilmiöitä ja sovittamaan aksioomat ja päättelysäännöt siten, että teoreemoja ovat ne ja vain ne kaavat, jotka kuvaavat ilmiöitä, jotka ovat reaalimaailmassa tosia. Kuinka hyvin kyseinen formaali kieli tähän pystyy, on mittari sille, kuinka kehittynyt tämä kieli on.
(2) Määritellään kielen semantiikka, eli tulkitaan kielen täysin abstraktit kaavat (eli merkkijonot) imitoimaan jotain reaalimaailman tilannetta, jolloin voidaan tarkastella sitä, onko tämä kyseinen tilanne tosi vai ei. Tämä tapahtuu antamalla jokaiselle kielen kaavalle tulkinta. Esimerkiksi kielen kaavat voivat imitoida luonnollisten lukujen yhteenlaskua ja jokainen kaava tulkitaan muotoa n + m = k olevaksi yhtälöksi. Formaalissa kielessä näitä tulkintoja on yleensä useampia. Semantiikan määrittelyn yhteydessä sovitaan siitä, mitkä ovat hyväksyttäviä tulkintoja. Lisäksi sovitaan siitä, milloin tulkittu kaava on tosi. Nimenomaan tässä pyritään imitoimaan todellisuutta, ts. kyseinen sopimus pyritään saamaan sellaiseksi, että se vastaa intuitiivista käsitystä totuudesta. Esimerkiksi yhtälöksi m + n = k tulkittu kaava on tosi, mikäli kyseinen yhtälö toteutuu; esim. yhtälöksi 3+2=5tulkittu kaava on tosi, mutta yhtälöksi 2+0=3tulkittu kaava ei.
On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. (Kaavalla 3+2=5vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siis validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla, entä k m = m k?) (3) Tutkitaan kielen syntaksin ja semantiikan suhdetta. Tässä on kaksi pääkysymystä: (a) onko jokainen validi kaava teoreema? (b) onko jokainen teoreema validi kaava? Muistetaan, että validisuus tarkoittaa sitä, että kaava on intuitiivisesti tosi (siis edellyttäen, että esitetty validisuuden määritelmä imitoi todellisuutta riittävän hyvin). Toisaalta teoreema on pääteltävissä.
Päättelysäännöt ovat kehittyneemmissä kielissä pohjimmiltaan aina samat (erot ovat näennäisiä), ne ovat hyvin yksinkertaisia ja vastaavat matemaattisen päättelyn sääntöjä. Näin päättely antaa matemaattisen todistuksen kyseiselle kaavalle. Teoreemalla on siis aina matemaattinen todistus annetuista aksioomista lähtien. Siten kysymykset (3a) ja (3b) voidaan esittää muodossa (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? (b) onko jokainen todistuva kaava tosi? Jotta kielen rakenteissa olisi mieltä, on vastauksen kysymykseen (b) oltava myönteinen: ei olisi järkevää, jos epätosia tuloksia voitaisiin todistaa.
Kysymys (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? on mielenkiintoisempi. Thekkiläis-itävaltalainen loogikko Kurt Gödel todisti vuonna 1931 kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, joka sanoo että jos formaali kieli on niin kehittynyt, että sillä voidaan imitoida luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskua sekä niiden perusominaisuuksia, kielessä on tosi eli validi kaava, jota ei voi todistaa. Tämä on hämmästyttävä tulos: tiedetään siis, että luonnollisten lukujen aritmetiikassa on jokin seikka, joka pitää paikkansa, mutta jolle ei mitenkään voi esittää todistusta. Gödelin epätäydellisyyslauseeseen tutustutaan tarkemmin logiikan jatkokursseilla. Tällä kurssilla tutustumme pintapuolisesti lauselogiikkaan ja predikaattilogiikkaan. Molemmat ovat täydellisiä. TTY:n matematiikan (perus-)kurssit eivät ole puhtaan aksiomaattisia, vaan niiden esitystapa muistuttaa lukion matematiikan kursseja.
Propositio- eli lauselogiikkaa Propositiokielen tarkoituksena on ilmaista yksinkertaisia asiantiloja kuten esimerkiksi Sokrates on ihminen, tänään sataa, 1+2=3yms, joista voidaan intuitiivisessa mielessä sanoa, että ne ovat joko tosia tai epätosia. Propositiokielen kyky ilmaista asioita riittää esimerkiksi syllogismin Jos Sokrates on ihminen, Sokrates on kuolevainen. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen (tarkkaan ottaen propositiokielen syntaksissa voidaan kirjoittaa kaava, joka on semanttisesti tulkittavissa kyseiseksi syllogismiksi!) Toisaalta propositiokieli ei riitä syllogismin Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen. Tähän päästään predikaattikielissä, joka sisältää predikaatin kaikki.
Propositiologiikan atomilauseita p, q, r, on rajoittamaton määrä. Prositiologiikan loogiset konnektiivit ovat ei, ja, tai sekä jos... niin. Ne eivät täysin vastaa samalta näyttäviä luonnollisen kielen sanoja. Atomilauseet ovat propositiologiikan lauseita, ja jos α, β ovat lauseita, myös α, α β, α β sekä α β ovat propositiologiikan lauseita. Atomilauseet voivat saada totuusarvot 1 (tosi) tai 0 (epätosi). Muiden lauseiden totuusarvo määritellään seuraavasti α β α α β α β α β 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Lause, joka voi saada vain totuusarvon tosi on tautologia eli validi.
Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α) 2 [α (β γ)] [(α β) (α γ)] 3 α α Todistus Riittää tarkastella vastaavia totuustauluja. Esimerkiksi lauseskeemalle (1) on voimassa totuustaulu α β β α α (β α) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Lauseskeemat (2) ja (3) todistetaan vastaavalla tavalla (harjoitustehtävänä).
Lauselogiikan aksioomina ovat kaikki muotoa (1) - (3) olevat lauseskeemat. Ainoana päättelysääntönä on Modus Ponens: lauseista α ja α β voidaan päätellä lause β. Modus Ponens-säännöllä on se jokaiselle päättelysäännölle välttämätön ominaisuus, että se säilyttää totuuden: totuustaulutarkastelujan avulla nähdään, että jos sekä lause α että lause α β saavat totuusarvon 1, myös lause β saa totuusarvon 1. Lauselogiikka on täydellinen: kaikki tautologiat ja vain ne voidaan todistaa käyttämällä pelkästään aksioomaskeemona (1) - (3) ja Modus Ponens päättelysääntöä.
Lisää konnektiiveja ja päättelysääntöjä (Lähes) kaiken matemaattisen päättelyn (eräänä) perustana on lauselogiikka. Tärkein looginen konnektiivi on looginen implikaatio, jos... niin, joka usein arkikielessä samastuu (väärin!) loogiseen ekvivalenssiin, jos ja vain jos (joss). Matematiikassa määritellään α β =(α β) (β α), jolloin vastaava totuustaulu on seuraava α β α β β α α β 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Tehtävä. Onko päättely jos A:sta seuraa B, niin ei A:sta seuraa ei B pätevä?
Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Päättely ei siis ole pätevä. Tehtävä. Osoita, että päättely jos A:sta seuraa B, niin ei B:stä seuraa ei A on pätevä. Looginen konnektiivi tai α β sallii molemmat vaihtoehdot. Voidaan määritellä myös poissulkeva tai asettamalla α β =(α β) ( α β); se saa totuusarvon 1 täsmälleen silloin kuin vain toinen vaihtoehdoista saa totuusarvon 1.
Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ Modus Tollendo Ponens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Disjunktiivinen Syllogismi: ehdoista α β, α γ ja β δ voidaan päätellä γ δ. Harjoitustehtävänä on totuustaulutarkastelun avulla osoittaa, että kaikki nämä päättelysäännöt säilyttävät totuuden. Kysymys pohdittavaksi: Jos nämä säännöt lisätään Modus Ponens säännön ohella lauselogiikkaan, niin kasvaako todistuvien lauseiden joukko?
Predikaattilogiikkaa Laajennetaan lauselogiikkaa niin, että sen ilmaisuvoima paranee. Esimerkiksi syllogismi Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen voidaan formalisoida predikaattilogiikassa, joka sisältää sanat kaikki, ja on olemassa (ainakin yksi), jollaisia ilmaisuja lauselogiikka ei tunne. Tämä lisäys saattaa ensin ajatellen vaikuttaa mitättömältä, mutta huonosti kääntyisi propositiokielelle esimerkiksi lause None of the paintings is valuable, except the battle pieces. All the battle pieces are painted in oils. Some of the paintings are not painted in oils. Some paintings are not framed. Therefore, none of the paintings not painted in oils is valuable. Lauselogiikassa tätä päättelyä ei voi formalisoida, mutta predikaattilogiikassa voi. Samalla voidaan tarkistaa, onko ylläoleva päättely pätevä.
Predikaattikielen atomilauseet ovat muotoa P(c 1,, c n ), missä P on n paikainen predikaatti ja c 1,, c n ovat vapaita tai vakio muuttujasymboleita. Esimerkiksi muuttujasymbolit voivat olla luonnollisia lukuja ja kolmipaikkainen predikaatti P(x, y, z) voi tarkoittaa lukujen x ja y neliöiden summa on luvun z neliön summa (Pythagoraan lause!) - silloin P(3, 4, 5) on tosi mutta P(1, 2, 3) on epätosi. Predikaattilogiikan lauseet määritellään samalla tavalla kuin lauselogiikan lauseet sillä lisäyksellä, että jos α on lause, myös xα on lause (lue: kaikilla muuttujalla x α pätee) ja xα on lause (lue: on olemassa muuttuja x jolla α pätee). Mielenkiintoisia ovat suljetut lauseet, jotka eivät sisällä vapaita muuttujia, esimerkiksi lause x y[p(x) Q(y)] on suljettu, mutta lause x[p(x) Q(y)] ei ole.
Valitettavasti predikaattilogiikan lauseiden totuutta ei voi tarkistaa totuustaulujen avulla, eikä totuuden yksityskohtaiseen määrittelyyn tällä kurssilla mennä, todetaan epämääräisesti vain, että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi kaikilla mahdollisilla muuttujan x arvoilla ja että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi jollakin muuttujan x arvolla. Voidaan osoittaa, että lauseilla x α ja xα on aina täsmälleen sama totuusarvo. Usein käytetään myös kvanttoria! on olemassa yksikäsitteinen Predikaattilogiikan aksiomat ovat samat kuin lauselogiikan, lisäksi on (oleellisesti) muotoa xα(x) α(a) oleva aksiooma, missä x on vapaa ja a vakio muuttujasymboli ja α(a) tarkoittaa, että x:n paikalle on sijoitettu a kaavassa α(x). Predikaattilogiikka on täydellinen: todistuvat lauseet ovat täsmälleen samat kuin validit lauseet.
Ensimmäisinä opiskeluvuosina riittää, kun osaa kvanttoreiden ja oikean käytön. Esimerkiksi kvanttoreiden järjestystä ei saa vaihtaa x yp(y, x) ei ole sama kuin y xp(y, x) (tämä pätee luonnollisessa kielessäkin: jos x tarkoittaa poikaa ja y tyttöä sekä P(y,x) tarkoittaa y on x:n tyttöystävä, on lauseiden merkitys eri, samoin on laita myös lauseiden totuusarvon.) Lukiosta tuttu on funktion f jatkuvuuden määritelmä: f on jatkuva pisteessä x 0, jos ja vain jos > 0: δ > 0: x 0 x < δ f (x) f (x 0 ) < (x = x 0 ). Tässäkään ei kvanttoreiden ja paikkaa saa vaihtaa.
Todistustekniikoista Lause- ja predikaattilogiikan todistusmenetelmät ovat suoraan sovellettavissa mihin tahansa matematiikan alaan. Tarkastellaan vielä seuraavia matemaattisen todistamisen muotoja: suora todistus, epäsuora todistus ja induktiotodistus. Suora todistus Suorassa todistuksessa oletuksista edetään väitteeseen käyttäen hyväksi oletuksena annettuja tunnettuja tosiasioita ja suoran päättelyn sääntöä (eli implikaatiota ). Huomaa, että väitettä EI saa käyttää todistuksessa! Esimerkki. Oletus Olkoon n pariton kokonaisluku. Väite n 2 on pariton.
Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n =2k +1(missä k on kokonaisluku). Siten n 2 =(2k + 1) 2 = 4k 2 +4k +1=2(2k(k + 1) )+1. =p Löydettiin siis kokonaisluku p siten, että n 2 =2p +1. Siis myös n 2 on pariton. Epäsuora todistus Muodostetaan ensiksi oletus ja väite. Epäsuorassa todistuksessa tehdään vastaväite eli antiteesi, väitteen negaatio. Todistuksessa osoitetaan, että antiteesistä ja tehtävän alkuperäisestä oletuksesta seuraa ristiriita. Tällöin antiteesi on väärä ja väite on oikea. Loogisesti epäsuora todistus vastaa päättelyä: ehdoista α, α α voidaan päätellä α.
Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen. Todistus Antiteesi kuuluu: n on pariton ts. n =2k +1. Silloin (edellisen esimerkin mukaan) olisi n 2 = 2(2k 2 +2k)+1eli n 2 olisikin pariton, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis väite on oikea.. Väitteen vääräksi osoittaminen Yleensä matematiikan teoreemat koskevat kaikkia jonkin joukon alkioita. Väitteen todistamiseksi epätodeksi riittää löytää yksi erikoistapaus, jossa väite ei päde. Esimerkki Väite Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x 2 4x +4> 0. Todistus vääräksi: Tarkastellaan tapausta x =2. Silloin olisi 2 2 8+4> 0. Tällöin 0 > 0, mikä on epätosi. Vastaesimerkki x =2kumoaa siis väitteen.
Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n +1( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate. Induktiotodistuksen perusmalli Matemaattisen induktion periaate tarkoittaa induktioaksiooman käyttöä seuraavaan tapaan. On todistettava jokin kaikkia luonnollisia lukuja koskeva väite P. (1) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun n =1. (2) Induktioaskel: Induktio-oletus Väite on voimassa, kun n = k. Induktioväite Väite on voimassa, kun n = k +1. (3) Osoitetaan, että tehtävän oletuksista seuraa, että väite on totta myös kun n = k +1. - Induktioaksiooma takaa, että P on voimassa.
Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n +1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n =2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 =4> 3=2+1OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k +1on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k +2on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle): (k + 1) 2 = k 2 +2k +1 > ind ol (k +1)+2k +1= 3k +2> k +2 =(k + 1) + 1. Induktioperiaatteen nojalla väite on siis tosi.
Esimerkki Osoita matemaattista induktiota käyttäen, että 1+5+9+ + (4n 3) = n(2n 1) pätee luonnollisilla luvuilla. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa 1. luonnollisella luvulla, eli kun n =1: 1=1 (2 1 1) OK. (2) Induktio-oletus: 1+5+9+ + (4k 3) = k(2k 1) on totta. Induktioväite: 1+5+9+ + (4k 3) + (4(k + 1) 3) = (k + 1)(2(k + 1) 1) (joka suoraan laskemalla on =2k 2 +3k +1) on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle) 1+5+9+ + (4k 3) +(4(k + 1) 3) = =k(2k 1) = k(2k 1) + (4(k + 1) 3) =2k 2 k +4k +1 =2k 2 +3k +1=(k + 1)(2(k + 1) 1). Induktioperiaatteen nojalla väite on siis tosi.
Konstruktiiviset ja epäkonstruktiiviset todistukset Usein matematiikassa pitää todistaa jonkin matemaattisen objektin olemassaolo. Tällöin todistus voi olla konstruktiivinen tai epäkonstruktiivinen. Esimerkki Todista, että lukujen 12 ja 14 välissä on kokonaisluku. Todistus (konstruktiivinen) Luku 13 täyttää vaaditut ehdot. Esimerkki Luku 2 on tunnetusti (!) irrationaalinen. Todista, että on olemassa irrationaaliset luvut a ja b siten, että a b Q. Todistus (epäkonstruktiivinen). Valitaan a = b = 2. Jos a b = 2 2 Q, on todistus valmis. Jos taas a b = 2 2 Q, valitaan b = 2 ja a = 2 2, jolloin a b =( 2 2) 2 =( 2) 2 2 = 2 2 =2 Q ja todistus on valmis. Todistus perustuu siihen matemaattiseen periaatteeseen, että jokainen hyvin muodostettu väite tai sen negaatio on tosi!
Reaaliluvuista Rationaalilukujen joukko Q = { m n m, n Z, n = 0} ja sen osajoukot Z = {, 2,, 0, 1, 2, } ja N = {1, 2, } ovat ongelmattomia, kunhan muistamme, että kaksi rationaalilukua a b ja c d ovat samat, a b = c d,täsmälleen silloin kun ad = bc. Siten esim. 3 4 = 6 8. Tällä perusteella on helppo todistaa, että 1 jokainen rationaaliluku voidaan esittää muodossa m n, missä korkeintaan toinen luvuista m, n on parillinen. Todistimme myös jo, että, että 2 jos kokonaisluvun n neliö n 2 on parillinen, myös n on parillinen. Sen sijaan ei ole mitenkään ilmeistä, että irrationaalilukuja olisi edes olemassa, eli että voisi olla lukuja, joita ei voi esittää muodossa m n, missä m, n Z, n = 0. Siksi todistamme nyt, että ei ole olemassa sellaista rationaalilukua, jonka neliö olisi =2.
Tehdään vastaoletus: On olemassa rationaaliluku m n siten, että ( m n )2 = m2 =2. Silloin m 2 =2n 2, joten m 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan m on parillinen. Siten m voidaan esittää n 2 muodossa m =2k, missä k on kokonaisluku. Siis m 2 =(2k) 2 =4k 2. Tämä merkitsee, että 2n 2 =4k 2 eli n 2 =2k 2, joten n 2 on parillinen. Ominaisuuden 2 mukaan n on parillinen, mutta ominaisuuden 1 perusteella sekä m että n eivät molemmat voi olla parillisia. Tästä ristiriidasta voidaan päätellä, että vastaoletus on väärä ja väitös siten tosi. Siten neliön, jonka kannan pituus on 1 pituusyksikkö, halkaisijan x pituus (= 2) ei ole rationaalinen. Määrittelemme, että 2 on luku, jonka neliö on =2(ja juuret yleisemminkin). Ihmiskunnalta vei vuosisatoja esittää reaaliluvun aksiomaattinen määritelmä tyydyttävällä tavalla: esitämme nämä aksiomat muutamassa kymmenessä minuutissa.
Reaalilukujoukon R kunta-aksioomat Reaaliluvut muodostavat kunnaksi nimitetyn algebrallisen struktuurin. Algebrallisen struktuurin muodostavat joukko ja siinä määritellyt laskutoimitukset. Reaalilukujen tapauksessa nämä laskutoimitukset ovat yhteenlasku eli summa (+) ja kertolasku eli tulo ( ). Nämä laskutoimitukset noudattavat seuraavia laskulakeja, joita sanotaan myös kunta-aksioomeiksi. Olkoon seuraavissa x, y, z R. Aksiooma 1. Yhteenlaskun vaihdantalaki: x + y = y + x. Aksiooma 2. Yht.laskun liitäntälaki: x +(y + z) =(x + y)+z. Aksiooma 3. Yhteenlaskun neutraalialkion 0 olemassaolo ja ehto x +0=0+x = x. Aksiooma 4. Luvun x vastaluvun y olemassaolo ja ehto x + y = y + x =0. Aksiooma 5: Kertolaskun vaihdantalaki: x y = y x. Aksiooma 6: Kertolaskun liitäntälaki: x(yz) =(xy)z.
Aksiooma 7. Osittelulaki: x(y + z) =xy + xz. Aksiooma 8. Kertolaskun neutraalialkion 1 olemassaolo ja ehto x 1=1 x = x. Aksiooma 9. Luvun x = 0käänteisluvun y olemassaoloja ja ehto xy = yx =1. Näiden laskulakien avulla voidaan todistaa lukujen 0 ja 1 yksikäsitteisyys samoin kuin vasta-alkion (merkitään x) ja käänteisalkion ( 1 x tai x 1 ) yksikäsitteisyydet. Määritellään myös vähennyslasku eli erotus: x y = x +( y). ja jakolasku eli osamäärä: x y = x y 1. Reaalilukujen ohella myös rationaaliluvut toteuttavat nämä aksioomat. Sensijaan kokonaisluvut eivät, sillä niiltä puuttuu käänteisalkio ja luonnollisilla luvuilla ei ole edes vasta-alkiota.
Kunta-aksioomien lisäksi oletetaan, että reaalilukujen joukolla R on positiivisten lukujen osajoukko P (positiivisuusaksioomat) Aksioma P1. Jos a, b P, niin a b P ja a + b P. Aksioma P2. Jokaiselle reaaliluvulle a täsmälleen yksi seuraavista pätee: a P, a P tai a =0. Positiivisuusaksiomien avulla voidaan määritellä relaatio. Viimeinen reaalilukujoukon aksioomista on täydellisyysaksioma: sanotaan, että reaaliluku (tai alkio) a on reaalilukujen joukon B R yläraja jos b a aina, kun b B. Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisessa ylärajajoukossa on pienin yläraja, merkitään sup B R, ts. b sup B aina, kun b B ja jos b a aina, kun b B, niin sup B a. Rationaalilukujen joukko ei täytä täydellisyysaksioomaa. Täydellisyysaksiooman avulla voidaan mm todistaa, että 2=sup{x R 0 x, x 2 < 2}.
Näiden aksioomien avulla voidaan todistaa kaikki lukiosta tunnetut reaalilukujen ominaisuudet. Voidaan esimerkiksi määritellä reaaliluvun itseisarvo x ehdolla x = x jos 0 x ja x = x jos x < 0. Positiivisuusaksioomista seuraa silloin, että jos 0 d, niin c d jos, ja vain jos d c d, erityisesti x x x kaikille x R. Siten a a a ja b b b kaikille a, b R, josta puolittain yhteen laskemalla saadaan a b a + b a + b. Tämä viimeinen on yhtäpitävää kolmioepäyhtälön a + b a + b kanssa. Kun oletetaan tunnetuksi reaalilukujen avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, voidaan todistaa, että seuraavat ovat yhtäpitäviä: i x a < r ii a r < x < a + r iii x (a r, a + r).
Relaatioista ja kuvauksista (eli funktioista) Kahden joukon A ja B tulojoukon A B = {(a, b) a A, b B} jokainen osajoukko R on relaatio joukosta A joukolle B. Voidaan merkitä arb tai R(a, b) kun (a, b) R. Jos esimerkiksi A on (suomalaisten) miesten ja B (suomalaisten) naisten joukko, niin eräs relaatio R A B on (suomalaisten) avioparien (a, b) joukko. Tämä on esimerkki myös kuvauksesta: se liittää jokaiseen joukon A alkioon enintään yhden joukon B alkion. Jos sana suomalaisten korvataan sanalla arabi, ei synny kuvausta, relaatio kylläkin. Jos taas A on naisten ja B lasten joukko, niin eräs relaatio R A B on äiti - lapsi -parien (a, b) joukko, joka ei ole kuvaus, mutta relaatio R B A, lapsi - äiti -parien (a, b) joukko on kuvaus. Seuraava on lähinnä lukion funktioopin kertausta (tarkemmin LaMa3).
Oletetaan aluksi, että A, B R Määritelmiä. Funktiolla eli kuvauksella f : A B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon x täsmälleen yhden joukon B alkion y, merkitään y = f (x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f ) on tällöin A ja maalijoukko on B. Jos y = f (x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Muuttujan sellainen arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksi, merkitään R(f ). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko. Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x lauseke. Esimerkiksi x 2x +3on tällainen merkintä. Yksinkertaisimmat funktiot ovat f (x) =k (vakiofunktio), f (x) =x, f (x) =x 2, f (x) =x 3, jne.
> f0:=5:f1:=x:f2:=x^2:f3:=x^3: > plot({f0,f1,f2,f3},x=-3..3,color = blue, thickness=3,title=`perusfunktioiden kuvaajia`); >
Määritelmä (Injektio) Funktio f : A B on injektio eli injektiivinen funktio, jos ehdosta f (x 1 )=f (x 2 ) seuraa aina, että x 1 = x 2. Injektio ei siis saa muuttujan x eri arvoilla samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran. Esim. f (x) =x 3 on injektio, mutta f (x) =x 2 ei ole: vaikkapa f (2) = f ( 2) = 4. Funktio f on kasvava jollakin määrittelyalueensa välillä I jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) f (y). Jos ehdosta x < y seuraa, että f (x) < f (y), on f aidosti kasvava. Siten esimerkiksi vakiofunktio on kasvava, muttei aidosti kasvava. f (x) =x 3 on aidosti kasvava koko määrittelyalueessaan R.
Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio f. Funktio, joka on välillä I kasvava tai vähenevä (mutta ei molempia) on monotoninen. Määritelmä (Surjektio) Funktio f : A B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli R(f )=B. Vakiofunktio f (x) =k ei ole surjektio, ei myöskään f (x) =x 2 (jos B on koko R), mutta f (x) =x 3 on surjektio. Määritelmä (Bijektio) Funktio f : A B on bijektio eli bijektiivinen funktio, jos se on sekä injektio että surjektio.
Määritelmä (Käänteisfunktio) Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f 1, joka on määritelty f :n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f (x) toteuttaa yhtälön f 1 (f (x)) = x on f :n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Esimerkki Identiteettikuvauksen eli funktion f : R R, f (x) =x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f )=R = D(f 1 ) sekä x = f (f 1 (x)) = f 1 (x) ja kuvaajaksi tulee suora y = x. Esimerkki Jos määritellään f (x) =x 2 rajoittumana f : R + R +, on f bijektio, jonka käänteisfunktio f 1 : R + R + on f 1 (x) = x.
Määritelmä (Yhdistetty funktio) Olkoot f : A B ja g : B C funktioita. Tällöin jokaista A:n alkiota x vastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f (x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f (x)). Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktio A C, joka siis kuvaa A:n alkion x C:n alkioksi g(f (x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g f on olemassa, jos f :n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin D(g f )={x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. Esimerkki. Jos f :(, 1] R, f (x) = 1 x ja g : R R, g(x) =1 x 2, niin g f (x) =1 ( 1 x) 2 =1 (1 x) =x. Funktion f arvojoukko R(f ) = [0, ) ja g:n R(g) =(, 1]. Mikä on yhdistetyn funktion g f määrittelyjoukko?
D(g f )={x D(f ) f (x) R(f ) D(g)}. = {x (, 1] f (x) [0, ) R} = {x (, 1] f (x) [0, )} = {x (, 1] x (, 1]} = (, 1]. Jos f ja g ovat funktioita, niin niiden välille on määritelty laskutoimitukset f + g, f g, f g ja f g, g = 0, ilmeisellä tavalla, määrittelyjoukkona D(f ) D(g). Esimerkki. Olkoon f (x) =2x +1ja g(x) =x 2. Silloin näiden funktioiden (a) yhteenlasku (f + g)(x) =2x +1+x 2 = x 2 +2x +1, (b) vähennyslasku (f g)(x) =2x +1 x 2 = x 2 +2x +1, (c) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x 2 =2x 3 + x 2, (d) jakolasku f 2x+1 g (x) =, kun x = 0. x 2 Kaikki polynomit p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n saadaan vakiofunktioilla kertomalla ja yhteenlaskemalla, murtofunktiot jakolaskulla.
Eksponentti- ja trigonometrisista funktioista Jos meillä olisi jo käytössä reaalimuuttujan funktion jatkuvuuden ja siihen perustuvan derivaatan käsitteet, voisimme määritellä lukiosta tutut 1 eksponettifunktion f (x) =e x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x) =f (x) kaikilla x R, f (0) = 1. 2 cosinifunktion f (x) = cos x yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x)+f (x) =0kaikilla x R, f (0) = 1, f (0) = 0. 3 sinifunktion f (x) =sinx yksikäsitteisenä ratkaisuna differentiaaliyhtälölle f (x)+f (x) =0kaikilla x R, f (0) = 0, f (0) = 1. Näin tehdäänkin kurssilla LaMa 3 (ks. Fitzpatrick, Advanced Calculus, luku 5). Nyt tyydymme lähinnä kertaamaan näiden funktioiden lukiosta tuttuja ominaisuuksia.
Yksikköympyrä Määritelmä. Yksikköympyrä on suorakulmaiseen, tasamittaiseen koordinaatistoon piirretty, origokeskinen ja yksi säteinen ympyrä. Tällöin se leikkaa x- ja y-akselit kohdissa 1 sekä -1. Yksiköympyrää käytetään varsin usein etenkin trigonometristen funktioiden tarkastelussa. Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Eri neljänneksiä merkitään roomalaisin numeroin kuvan mukaisesti.
Määritelmä. Suunnattu kulma on sellainen kulma, joka muodostuu jonkin puolisuoran kiertyessä tasossa alkupisteensä ympäri. Kiertymisen määrää ei mitenkään rajoiteta. Puolisuoran alkuasemaa sanotaan kulman alkukyljeksi ja loppuasemaa kulman loppukyljeksi. Positiivisena kiertosuuntana pidetään vastapäivään tapahtuvaa kiertoa ja negatiivisena kiertoa myötäpäivään. Kiertosuunnan mukaisesti pidetään suunnattua kulmaa positiivisena tai negatiivisena. Kuva. Suunnattu kulma
! "#$%##%!&'($&)$##*!+$,-.(&#(*!/0!1%.0!#2200%(20!-23+%0!!#224,22)$33%5!6*337.0!1/.++$!%8%($33%!-23+%0!9..,,$(&-#.!-//,).0%%(.#(//0! #.($0:!$((*!#$0!-*,-$0*!/0!/,.;/!8%!%3-2-&3-$0*!9/#.(..1.0$0!x4%-#$3.5! <.#($((*!P:!8/##%! =0!3/992-&3-.!3$.--%%!&-#.--7&+9&,*0:!#%0/(%%0! -23+%0!!-$'*9.#($$-#.5!!Kuva. >$'*9.#($!P!&-#.--7&+9&,*33*!!!?/-%.#(%!#2200%((2%!-23+%%!!1%#(%%!(*&#.0!+**,*((&!#2200%((2!-%%,.5! >%%,$0!#22,22((%!1/.)%%0!-*&((**!+&7#!1%#(%%1%0!#2200%(20!-23+%0! #22,22)$0!.3+/.((%+.#$$05!6*($0!+**,.($3(&*!-23+%0!#22,22)$0! &-#.--7*!0.+.($(**0!,%).%%0.-#.5!!!
Määritelmä. Yksi radiaani (1 rad) on sen kulman suuruus, jota vastaavan suunnatun kaaren suuruus on 1. Radiaania sanotaan myös absoluuttiseksi kulmayksiköksi. Jos kulman suuruuden yksikkönä käytetään radiaania ja asiayhteydestä käy ilmi, että kyse on kulman suuruudesta, niin yksikköä ei yleensä merkitä näkyviin. Täyttä kulmaa, eli yhtä kierrosta, vastaava kaari on yksikköympyrän kehä. Sen pituus on 2. Näin ollen 360! = 2.
!"#$$"%&'$"#()**"%$+*,"**"%'-%.$(#$/(#00)#()(0#%,//1/00.%$)2/3#(0)4%-##-% $)2/3#(0)%3+'*)(0""-%)#%,//1//%(++--"00+"%$+*,""%.$(#$/(#00)#()(0#4% (#**/%*#(/$(#%0"15#0""-%0#)0'%$#)10'(++--"(0"%&"%(##0/4%,'-0"$'%0/.00/% $#)11'(0"%$#)10''-%(#(/*0..6%7'(%$+*,"**"% %'-%$)2/3#(0))-/%P4%-##-% $"#$#**"%&'+$'-%% % 8 %9%n : %;%n Z%<$+*,#**"%&"%5"#-%-##**/%'-% $)2/3#(0))-/%P6% % Esimerkki 1. =>)**/%'**))(("%$+5"(("%$+*,"% %'*#%-'#-%:4?%1">6%@","% $)2/3#(0)%P%5'#>""-%#*,"#(0"%,.A(%$#)10/,/**/%,.A0/3/#5//-4%&'**'#-% ("">""-%$+*,"%BC4:%0"#%0)$),/**/%)-(#-%$"$(#%0/.00/%$#)11'(0"% 5"(0"3/#5//-4%&'**'#-%$+*,"-%(++1++(%'-%: : %9%:4? %?C4D6%% Esimerkki 2. E+*,"-%:4?%1">%(++1++(%"(0)#-"%("">""-%1"0$"#(),"**"% 5)11"-0'F%% % %
Sini-funktio!"#$%&'"$%(#)%&#**++%))*%&$*,-%%& &.%#)%%&)/#-/,,00+&1$#(&1$#($$23 1-415/+&$06/4(#)07&+((+&"+&",0-%##%&$*.%*#&#**++%))*'0+&$*,-(0+& '"*$",)%&$06/4(#)0(80+&'"*$",,09&:((#&"+&",0-%##%&-12#&$*.%*$#0)& #**++%))*'0+&$*,-(0+&'"*$",)%&$06/4(#)0(80+&x3&'%&y3$""58(+%%))(0+& '"*$"(,,09&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Määritelmä.!*,-%+& &#(+(&"+&$*,-%%&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.%#)%%.%+&&&&$06/4(#)00+&y- &$""58(+%%))(9& ;/+&4()/(#& ",,%& &<& & & &
Cosini-funktio Määritelmä.!"#$%&' '()*+&+')&',"#$%%''-%*.%%-%&'''',/012+*.//&'x-',))34+&%%..+5' 6++*'E'555'7%'.1$1&'2+.1+*+' )##%' ' 6+&+&'7%',)*+&+&'%3-)7)",,)')&'89:;':<;'&/')-%.'7%,*)##+*+%'7%'$)#/$2+/&' 2/3"*7%,*)')&'= '' >':'?'*+&>?'@'*+&> 'A'n =?;''>'='?'()*>?'@'()*> 'A'n =?;''$+**1'n' 'Z5'' 6+&+')&'2%3+.)&'B"&,.+)'7%',)*+&+'2%3+##+&/&'B"&,.+)'/#+'' >'C'?'*+&>9?'@'9*+&>?;''>'D'?'()*>9?'@'()*>?5'' '
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
Tangenttifunktio Trigonometrinen funktio tangentti (tan) määritellään sini- ja kosinifunktion avulla: Tangenttikäyrää
Kotangenttifunktio Trigonometrinen funktio kotangentti (cot) määritellään sekin sini- ja kosinifunktion avulla: Kotangenttikäyrää
! "#$%&'&()*#$+'!,++-&.+! "+'%)'*$'!.+!,&*+'%)'*$'!+#-&.&/,,&!&'!R0!')!&-+*!.+,1&22$1$+!.+! 3)#/1.+,1&'+!&'! 4!! 5!66!7!*+'5 7!8!*+'5!9!n 7!! 5!6:!7!;&*5 7!8!;&*5!9!n 7<!! "+'%)'**$!.+!,&*+'%)'**$!&-+*!3+#$**&($+!=/',*$&*+0!.&*)'!! 5!6>!7!*+'5? 7!8!?*+'5 70!! 5!6@!7!;&*5? 7!8!?;&*5 7<!! A/-/*!*+'5 7!.+!;&*5 7!&-+*!*&$1*)'1+!,BB'*)$12/,/.+0!.&*)'!! 5!6C!7!*+'5 7!8!6D;&*5 7<!! E/&(<!FGH1!'$($B!;&1$'$!.+!;&*+'%)'**$!,BG*)*BB'I!
!"#$%&$'#()*(+,+(")-*'*./(")%(/'+&$'#()*)0/'+#11'(/)%&$'#()*(+ 2*%#3+(")-*'*./(")%/(+&$'#()*(+*43(+53#%*66)%)37+%3343(+'/+%3.3'+3"4*'+ $%/3663+/")+#$6.3'+3"4*663+/6)+/)41(+*6/+)'5/#())4)%)18+91(/'+.$*(*3++ %)':x;+<+a7+++=>+ +a+ +>7++++++++++++++++++++++++?*%:x;+<+a7+++=>+ +a+ +>7++ (3':x;+<+a7+++a+ +R7++++++++++++++++++++++++++++++?*(:x;+<+a7+++a+ +R7+++ *6/4)663+@A(16B)661+*'+11"/(B'+.11"1+"3(#3)%$538+C)#16)+#$)(/'#)'+"35*)= ($(33'+%*D)4366/+416)66/7+%33033'+@#%)#1%)((/)'/'+"3(#3)%($+x+<+ +:5*'#3+ 34$663+4*)033'+63$%$3+#3)##)+.$$(#)'+"3(#3)%$(;8++ E36)(33'+%/$"3343(+3)0*%()+.*'*(*')%/(+#$43$#%/(F++ :+>G+;+%)'FH=!"#+!"I+ +H=>7+>I7++ :+>J+;+?*%F+HK7+ I+ +H=>7+>I7++ :+>L+;+(3'F+:=!"#+!";+ +R7++ :+>M+;+?*(F+:K7+ ;+ +R8++ +
Monotoniset osuudet trigonometrisista funktioista Koska funktioiden rajoittumat ovat nyt aidosti monotonisia, on niille olemassa käänteisfunktiot eli arkusfunktiot.
Muistaen trigonometristen funktioiden rajoittumat (puhutaan 1. päähaarasta) asetetaan seuraavat määritelmät käänteisfunktioille sin x = y x = arcsin y, kun x [ π 2, π 2 ], cos x = y x = arccos y, kun x [0, π], tan x = y x = arctan y, kun x ( π 2, π 2 ), cot x = y x = arccoty, kun x (0, π). Joskus sin-funktion käänteisfunktiosta käyteään merkintää sin 1. Se ei tarkoita samaa kuin 1 sin (kuten yleisestikään käänteisfunktiolle f 1 ei tarkoita 1 f ). =y Esimerkiksi cos(arcsin x) = 1 2 arcsin x = arccos( 1 2 ) y = π 3 Siis x = sin π 3 = 3 2 (käykö myös x = 3 2?)
Potenssi Merkinnällä a n (lue: "a potenssiin n") tarkoitetaan lukua, joka saadaan kun kantaluku a korotetaan eksponentin n osoittamaan potenssiin seuraavasti: kun a R ja n, m N, niin a 0 = 1 ja a n = a a... a (n kpl), a -n = 1/a n, a m a n = a m+n, a m /a n = a m-n, (ab) m = a m b m, (a/b) m = a m /b m (b!0), Potenssin potenssi: (a m ) n = a m a m... a m (n kpl) = a a... a (mn kpl). Huomaa ero = a a... a (m n kpl), esimerkiksi (2^3)^5 = 2^15 = 32768 mutta 2^(3^5)= 2^243 = 14134776518227074636666380005943348126619871175 004951664972849610340958208 Täten kaikki rationaalipotenssit on hyvin määritelty. Jos potenssina on irrationaaliluku, tarvitaan reaalilukujen täydellisyysaksioomaa sen osoittamiseen, että potenssi on edelleen hyvin määritelty (a > 0).
Eksponenttifunktio Määritelmä. Potenssimerkintä a x on määritelty kaikilla reaaliluvuilla x, kun a > 0. Tämän ehdon ollessa voimassa voidaan määritellä eksponenttifunktio f : R R +, f(x) = a x. Tätä funktiota sanotaan a-kantaiseksi eksponenttifunktioksi ja siitä käytetään myös merkintää exp a (x). Eksponenttifunktion tärkeä ominaisuus on sen aito monotonisuus silloin, kun sen kantaluku poikkeaa luvusta 1. Jos f(x) = a x, (a > 0, a 1), niin f on aidosti kasvava, kun a > 1 ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. Tärkeimmät eksponenttifunktiot ovat kaksikantainen (2 x = exp 2 (x)), kymmenkantainen (10 x = exp 10 (x)) ja e-kantainen (e x = exp(x)); kantalukuna on Neperin luku (keksijänsä John Napier in mukaan). Neperin luku e on irrationaaliluku ja sen likiarvo on e 2,71828... Eksponenttifunktion kuvaajan asymptoottina on aina x-akseli.
Eksponenttifunktioita Esimerkki. Kun A0 paperiarkki puolitetaan, saadaan kaksi A1 arkkia. Vastaavasti A1 voidaan puolittaa ja saadaan kaksi A2 arkkia. Puolitus kaksinkertaistaa arkkien määrän, joten A4 arkkeja saadaan yhdestä A0:sta yhteensä 2 4 = 16 kappaletta.
Logaritmifunktio eksponettifunktion käänteisfunktio Määritelmä. Eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, jos a 1, joten tässä tapauksessa eksponenttifunktiolla on olemassa käänteisfunktio f -1 : R + R. Tätä käänteisfunktiota sanotaan logaritmifunktioksi ja siitä käytetään merkintää log a (x), missä a on logaritmin kantaluku ja x on logaritmoitava. Eksponenttifunktion käänteisfunktiona logaritmifunktio tulkitaan seuraavasti: Luku a korotettuna luvun log a (x) ilmoittamaan potenssiin antaa tulokseksi luvun x. Siis. Mainittakoon vielä, että myös logaritmin kantaluku a > 0. Logaritmifunktioita nimitetään kantaluvun perusteella eri tavoin. Sanotaankin, että kantaluku määrittää logaritmijärjestelmän.
Tärkein logaritmijärjestelmä on Neperin logaritmijärjestelmä eli luonnollinen logaritmijärjestelmä. Tämän järjestelmän logaritmista käytetään merkintää ln(x) (eli ln(x) tarkoittaa samaa kuinlog e (x)). Toinen tärkeä logaritmijärjestelmä on Briggsin logaritmijärjestelmä. Sen kantaluku on 10, siitä käytetään merkintää lg(x) (= log 10 (x)). Toisinaan erityisesti informatiikassa käytetään binääristä logaritmijärjestelmää ja sen kantaluku on 2. Siitä käytetään merkintää lb(x) eli lb(x) = log 2 (x). Logaritmijärjestelmästä toiseen siirrytään seuraavasti: Olkoot a ja b logaritmijärjestelmien kantalukuja. Halutaan muuttaa luku log a (x) b- kantaiseen logaritmijärjestelmään, siis luvuksi log b (x). Tämä tehdään yhtälön avulla kaava voidaan johtaa logaritmin laskusääntöjen avulla.
Logaritmifunktioita Logaritmifunktion kuvaajan asymptoottina on aina y-akseli.
Seuraavassa muutamia logaritmin määritelmään perustuvia ominaisuuksia (kun lausekkeet mielekkäitä): (1) log a (a x )=x, (2) log(1) = 0, (3) log a a =1, (4) log a ( 1 a )= 1, (5) log(xy) = log(x) + log(y), (6) log( x y ) = log(x) log(y), (7) log(x r )=r log(x). Todistetaan malliksi kaava (6). Kiinnitetään kantaluku a > 0, jolloin (6) on saa muodon log a ( x y ) = log a(x) log a (y), joka voimassa täsmälleen silloin, kun a log a ( x y ) = a log a (x) log a (y) (miksi!). Tässä v.p. = x y ja o.p. = alog a (x) = x a log a (y) y.
Esimerkki. Sievennetään lauseke 1 log 2 3 + 2 log 2 ( 3 2 ) = log 2 2 log 2 3 + 2 log 2 ( 3 2 ) = log 2 2 log 2 3 + log 2 ( 3 2 )2 = log 2 2 log 2 3 + log 2 ( 3 4 ) = log 2 ( 2 3 ) + log 2( 3 4 ) = log 2 ( 2 3 3 4 ) = log 2 ( 1 2 )= 1. Vastaavasti lg 15 + lg 20 lg 30 = lg 15 20 30 = lg 10 = 1.
Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö log 3 (2x + 1) = 1, sen määrittelyjoukko Mj: 2x + 1 > 0 eli x > -1/2: log 3 (2x + 1) = 1 log 3 (2x + 1) = log 3 (3) 2x + 1 = 3 x = 1 Mj. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö lg(x + 2) = lg(x) + lg(2), sen määrittelyjoukko Mj: x + 2 > 0 ja x > 0! x > 0: lg(x + 2) = lg(x) + lg(2) lg(x + 2) = lg(2x) x + 2 = 2x x = 2 Mj. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö log 7 (2x + 5) = log 7 (x) + 1, Mj: 2x + 5 > 0 ja x > 0! x > 0: log 7 (2x + 5) = log 7 (x) + 1 log 7 (2x + 5) = log 7 (x) + log 7 (7) log 7 (2x + 5) = log 7 (7x) 2x + 5 = 7x x = 1 Mj.
Hyperboliset funktiot Hyperboliset funktiot ovat trigonometrisia funktioita muistuttava joukko alkeisfunktioita, mutta niiden määrittely perustuu yksikköympyrän sijasta yksikköhyperbeliin x 2 y 2 = 1. Hyperbolinen sini (sinus hyperbolicus) määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti: Hyperbolinen kosini (cosinus hyperbolicus), joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti: Näiden suhde on hyperbolinen tangentti (tanges hyperbolica) Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa.
Hyperbolisten funktioiden kaavoja Hyperboliset funktiot toteuttavat monia yhtälöitä, jotka muistuttavat vastaavia trigonometrisia kaavoja, tärkeimpinä poikkeuksena ehkä ja että cosh x > 0 kaikille x. Funktio cosh x on parillinen funktio, eli symmetrinen y-akselin suhteen, funktio sinh x on pariton funktio, eli -sinh x = sinh x. Nämä voidaan todentaa suoraan määritelmiin nojautuen..
Areafunktiot - Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot Hyperbolisen sinin käänteisfunktio on area sini hyperbolici, joka määritelty kaikilla x:n arvoilla seuraavasti: Hyperbolisen kosinin käänteisfunktio on area cosini hyperbolici, joka määritelty arvoilla 1 x seuraavasti: Hyperbolisen tangentin käänteisfunktio on (area tangentis hyperbolicae), joka määritelty arvoilla -1 < x < 1 seuraavasti: Joskus näitä funktioita merkitään myös,,.
Johdetaan malliksi hyperbolisen sinin käänteisfunktion lauseke, määritelmän mukaan sinh(x) = y täsmälleen silloin kun x = arsinh(y), joten merkitään y =!(e x e -x ) ja ratkaistaan tästä y: Kerrotaan yhtälö puolittain termillä 2e x : 2e x y = e x (e x e -x ) = e 2x e -x+x = e 2x 1, joka voidaan kirjoittaa myös e 2x 2e x y 1= 0, saadaan 2. asteen yhtälö e x :n suhteen! Ratkaistaan 2 2 y 4 y 4 2 e x y y 1 se tunnetulla kaavalla: 2, tässä miinusmerkkinen ratkaisu ei käy, sillä e x on aina > 0, siis e x y y 2 1, mistä ottamalla luonnolliset logaritmit puolittain x saadaan haluttu tulos x ln(e ) ln( y y 2 1). M.O.T.
Kolmannen viikon luennot Kompleksiluvuista, Eulerin kaava, polynomeista, algebran peruslause LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix C ja Appendix D Esko Turunen esko.turunen@tut.fi
Kompleksiluvuista (eli joukosta C) Yhtälöllä x 2 = 1 ei tunnetusti ole reaalisia ratkaisuja. Tämä johtaa lukualueen laajentamiseen ja kompleksiluvun käsitteeseen. Kompleksiluvut z ovat muotoa a + bi olevia lukuja, missä a, b ovat reaalisia ja i on imaginaariyksikkö, jolla on ominaisuus i 2 = 1 (fysiikassa käytetään myös symbolia j). Kompleksiluvun z = a + bi reaaliosa Re(z) on a ja imaginaariosa Im(z) on b. Kompleksiluvut a + bi ja c + di ovat samat jos a = c ja b = d. Kompleksilukujen z 1 = a + bi ja z 2 = c + di yhteenlasku tapahtuu laskemalla yhteen reaaliosat ja imaginaariosat, ts. z 1 + z 2 =(a + c)+(b + d)i. Kompleksilukujen z 1 = a + bi ja z 2 = c + di kertolasku tapahtuu kertomalla termeittäin ja ottamalla huomioon, että i 2 = 1, ts. (a + bi)(c + di) = a(c + di)+bi(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 =(ac bd)+(ad + bc)i.
Kompleksilukuja voidaan esittää kompleksitasossa, jonka reaaliaakseli on vaaka-akseli ja imaginaariakseli on pystyakseli. Kompleksiluku a + bi samastuu silloin pisteeseen (a, b), esimerksi kompleksiluku 4+2i on kompleksitason piste ( 4, 2), ks.kuva -4 + 2i Imaginaariakseli 2 1 2 + i -4 2 reaaliakseli
Voidaksemme määritellä kompleksilukujen jakolaskun otetaan käyttöön kompleksiluvun z = a + bi kompleksikonjugaatti z = a bi. Esimerkki. Ilmaise kompleksiluku 1+2i 3+4i muodossa a + bi. Ratkaisu. Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä kumpikin nimittäjän kompleksikonjugaatilla 3 4i: ( 1+2i)(3 4i) = 3+4i +6i + 8 = 5 + 10i (3 + 4i)(3 4i) =9 12i + 12i + 16 = 25. Siten 1+2i 3+4i = 1+2i 3+4i 3 4i 3 4i = 5+10i 25 = 1 5 + 2 5 i. Teoreema (Kompleksilukujen perusominaisuuksia) (1) z = z, (2) z + w = z + w, (3) w z = wz, (4) jos z = 0niin w/z = w/z, (5) z on reaalinen jos, ja vain jos z = z. Todistetaan malliksi kohta (3):
Olkoon z = a + bi ja w = c + di, jolloin z = a bi ja w = c di ja z w =(ac bd) (ad + bc)i. Toisaalta z w =(ac bd)+(ad + bc)i, siis z w =(ac bd) (ad + bc)i, eli tullaan samaan lausekkeeseen, siis kaava (3) pätee. Kompleksiluvun z = a + bi moduli (eli itseisarvo) on z = a + bi = a 2 + b 2. Siten z 2 = a 2 + b 2. Heti huomataan, että zz =(a + bi)(a bi) =a 2 abi + abi + b 2 = a 2 + b 2, jolloin kompleksilukujen jakolasku voidaan määritelläkätevästi: w z = w z z z = wz z 2. Teoreema (Lisää Kompleksilukujen perusominaisuuksia) (1) z =0joss z =0, (2) z = z, (3) wz = w z, (4) jos z = 0niin 1 z = 1 z, (5) z + w z + w.
Todistetaan taas malliksi kohta (3): jos z = a + bi ja w = c + di, niinzw =(ac bd)+i(ad + bc) ja zw = a 2 c 2 2abcd + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 +2abcd = a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2. Toisaalta myös z w = a 2 + b 2 c 2 + d 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2. Kompleksiluvun a + bi napakoordinaattiesitys Tason piste (a, b) voidaan yksikäsitteisesti ilmaista myös etäisyydenä r origosta ja kulman θ avulla eli parina (r, θ). Koska a = r cos θ ja b = r sin θ, on a + bi = r(cos θ + i sin θ). (a,b) r b a
Napakoordinaattiesityksessä z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) on etäisyys origosta r = z = a 2 + b 2 (z:n moduli) ja kulmalle θ (argumentti) pätee tan θ = b/a (eli θ =arctan( b a ).)Huomaa, että tällä tavoin määriteltynä argumentti ei ole yksikäsitteinen, vastaahan jokaista täyttä kierrosta sama tason piste eli θ = θ +2π. Jos sovitaan, että π < θ π, on argumentti θ yksikäsitteinen, ns. pääargumentti Arg(z). (Katso tarkasti!) Luvun z = a + bi napakoordinaattiesitys z = r(cos θ + i sin θ) voidaan aina laskea yo. kaavoilla (ja tietysti kääntäen). Esimerkki. Jos z =1+i, niinr = 1 2 +1 2 = 2 ja tan θ = 1 1 =1eli θ = arctan(1) = π 4. Siis z = 2(cos π 4 + i sin π 4 ). Esimerkki. Jos z =1 3i, niinr = 1 2 +( 3) 2 = 4=2 ja tan θ = 3 1 = 3 eli θ =arctan( 3) = π 3 (θ < 0!) Siis z = 2(cos( π 3 )+i sin( π 3 )).
Im 2!= /4!= - /3 2 (1, 1) Kompleksiluku z = 1 + i: r = 2 Koska piste (1,1) on 1. neljänneksessä, on kulma positiivinen Kompleksiluku z = 1-3 i: r = 2 Koska piste (1, - 3 ) on 4. neljänneksessä, on kulma negatiivinen Re (1, - 3 )
Kompleksitasoesityksessä kompleksilukujen summa ja erotus saa mukavan tulkinnan tasovektoreiden yhteen- ja vähennyslaskun kautta. Käyttämällä napakoordinaattiesitystä myös tulolle ja osamäärälle saadaan hauska geometrinen tulkinta. Olkoon z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) ja z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ). Silloin z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) +i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ))]. =cos(θ 1 +θ 2 ) =sin(θ 1 +θ 2 ) Siis z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 )+i sin(θ 1 + θ 2 )), kompleksiluku, joka modulo (etäisyys origosta) on r 1 r 2 ja argumentti (= kulma) on θ 1 + θ 2. Tämä myös todistaa, että z 1 z 2 = z 1 z 2 ja arg(z 1 z 2 )=arg(z 1 )+arg(z 2 ) (muista muuttaa tarvittaessa Arg(z 1 z 2 )).
Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että osamäärälle z 1 z 2 saadaan lauseke z 1 z 2 = r 1 r2 (cos(θ 1 θ 2 )+i sin(θ 1 θ 2 )), kunz 2 =0, erityisesti 1 z = 1 r (cos( θ)+i sin( θ 2)) = 1 r (cos(θ) i sin(θ)), kun z = r(cos(θ)+i sin(θ)) = 0. Voidaan taaskin osoittaa, että z 1 z 2 = z 1 z 2 ja arg( z 1 z 2 )=arg(z 1 ) arg(z 2 ). Esimerkki. Jos z =1+i = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) ja w =1 3i = 2(cos( π 3 )+i sin( π 3 )), niin zw =(1+i)(1 3i) =2 2(cos( π 4 π 3 )+i sin( π 4 π 3 )) =2 2(cos( π 12 )+i sin( π 12 )) (= 2 2(cos( π 12 ) i sin( π 12 Huomaa, että kertomalla (1 + i)(1 3i) menemättä polaariesitykseen saadaan zw =(1+i)(1 3i) =(1+ 3) + i(1 3). (ks. kuva) ))) huono!.