83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0 ± 4( 6) x = x = ± 5 x = ± 5 x = tai x = 3 Yhtälö aioat ratkaisut ovat x = ja x = 3.
84 Osoitetaa sievetämällä biomi kuutio ( a b ) 3. Käytetää apua biomi kuutio muistikaavaa: ( a + b) 3 = a3 + 3a b + 3ab + b 3. 3 3 3 ( a b) = a + 3 a ( b) + 3 a( b) + ( b) 3 3 = a 3a b + 3 ab b
85 TAPA : Osoitetaa ratkaisemalla epäyhtälö f( x ) > 0. 3x 6x + 9> 0 Ratkaistaa fuktio ollakohdat: 3x 6x+ 9= 0 6 ± ( 6) 4 3 9 x = 3 x = 6 ± 08 6 Ei ollakohtia. Koska fuktio kuvaaja o ylöspäi aukeava paraabeli, jolla ei ole ollakohtia, fuktio saa vai positiivisia arvoja.
TAPA : Osoitetaa muokkaamalla fuktio lauseketta. 3x 6x+ 9= x + x 6x+ 9 = x + ( x 6x+ 9) = x + ( x 3) Biomi eliö Koska summalausekkee molemmat yhteelaskettavat ovat positiivia, summa o positiivie. Fuktio saa vai positiivisia arvoja.
86 Oletuksea o, että luvut a ja b ovat parittomia kokoaislukuja. Pitää osoittaa, että tällöi myös lukuje tulo ab o parito kokoaisluku. Oletus Väite Todistus a ja b ovat parittomia kokoaislukuja. ab o parito kokoaisluku. Koska luvut a ja b ovat parittomia, o olemassa sellaiset kokoaisluvut ja m, että a = + ja b= m +. Muodostetaa tulo ab. ab = ( + )(m + ) = m+ + m+ = 4m + + m + = ( m + + m) + m + + m o välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä m + + m = p ( p Z ). Lukuje a ja b tulo voidaa yt esittää muodossa ab = p +, joka o parito kokoaisluku.
87 Oletuksea o, että luku a o parito kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi myös luvu kuutio 3 a o parito kokoaisluku. Oletus a o parito kokoaisluku. Väite a3 o parito kokoaisluku. Todistus Koska luku a o parito, o olemassa sellaie kokoaisluku, että a = +. Muodostetaa kuutio 3 a. a = (+ ) 3 3 = ( ) + 3 ( ) + 3 + 3 = 8 + + 6 + 3 = ( 4 + 6 + 3) + 3 4 + 6 + 3 o välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä 43 + 6+ 3= p ( p Z ). Luvu a kuutio voidaa esittää muodossa a3 = p +, joka o parito kokoaisluku.
88 Oletuksea o, että luku o kahdella jaollisee eli parillisee umeroo päättyvä kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi koko luku o myös parillie. Oletus Väite Todistus Luvu a viimeie umero o parillie. a o parillie kokoaisluku. Koska luvu a viimeie umero o parillie, o olemassa sellaie kokoaisluku ja sellaie parillie kokoaisluku k, että a = 0+ k. Merkitää, että k = m ( m Z ). Tällöi a = 0+ m = 5 + m = (5 + m) 5 + mo välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä 5 + m = p ( p Z ). Luku a voidaa esittää muodossa a = p, joka o parillie kokoaisluku.
89 Oletuksea o, että luku o luvulla 3 jaollie kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi luvu kuutio o jaollie luvulla 7. Oletus a jaollie luvulla 3. Väite a 3 o jaollie luvulla 7. Todistus Koska luku a o jaollie luvulla 3, o olemassa sellaie kokoaisluku, että a = 3. Muodostetaa luvu a kuutio. a 3 3 = (3 ) 3 3 = 3 = 7 3 Koska luku a 3 o kokoaislukuje 7 ja 3 tulo, ii se o jaollie luvulla 7.
90 Määritelmä mukaa suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Lisäksi esimerki 3 perusteella vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkä. Oletus Nelikulmio ABCD vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset ja yhtä pitkät. Väite Todistus Nelikulmio lävistäjät puolittavat toisesa. Piirretää lävistäjät. Lävistäjie leikkauskohtaa sytyvät ristikulmat ovat yhtä suuret: CED = AEB ( = α) DEA = BEC ( = γ ). Koska vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset, samakohtaiset kulmat ovat myös yhtä suuret: EDC = EBA ( = β ) ADE = CBE ( = δ ). Kolmioide yhdemuotoisuuslausee (kk) perusteella kolmiot ADE ja CBE sekä kolmiot DCE ja BAE ovat yhdemuotoiset ja iide vastisivuje suhteet ovat yhtä suuret.
Esimerkissä 3 osoitettii, että vastisivuje AD ja CB suhde o : ja AD = CB (eli AD = BC ). Tällöi myös kolmioide ADE ja CBE muide vastisivuje suhde o : ja vastisivut ovat yhtä pitkät. Kolmio ADE sivu DE vastisivu kolmiossa CBE o BE. Sivuje suhde o : ja DE = BE. Vastaava pätee myös kolmioille DCE ja BAE. Eli vastisivuje suhde o : ja vastisivut ovat yhtä pitkät. Kolmio DCE sivu CE vastisivu kolmiossa BAE o AE. Sivuje suhde o : ja CE = AE. Koska DE = BE ja CE = AE, piste E eli lävistäjie leikkauspiste o lävistäjie puolivälissä. Toisi saoe suuikkaa lävistäjät puolittavat toisesa.
9 Määritelmä mukaa vieruskulmat muodostavat oikokulma eli vieruskulmie summa o 80. Oletus Väite Todistus Vieruskulmie summa o 80. Vieruskulmie puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa. Eli vieruskulmie puolittajat muodostavat 90 kulma. Piirretää kuva. Hyödyetää tietoa vieruskulmie summasta: α + β = 80 α = 80 β. Vieruskulmie puolittajie välie kulma: α + β = (80 β) + β = 90 β + β = 90.
9 Oletus Väite Todistus o kokoaisluku. 3 o jaollie luvulla 3. Jaetaa luku 3 tekijöihi: 3 = ( ) = ( + )( ). Koska o kokoaisluku, luvut, ja + ovat kolme peräkkäistä kokoaislukua. Koska luvut ovat peräkkäiset, äistä täsmällee yksi luku o jaollie luvulla 3. Koska yksi luvu 3 tekijöistä o jaollie luvulla 3, o luku 3 jaollie luvulla 3.
93 Sieveetää lauseke ( a+ b+ c ). ( a+ b+ c) = ( a+ b) + ( a+ b) c+ c = a + ab + b + ac + bc + c = a + b + c + ab + ac + bc. Sievetämisessä hyödyetty biomi eliö muistikaavaa.
94 Tutkitaa tulo x(4x 4x+ ) merkkiä. Ratkaistaa tekijöide ollakohdat. 0 x = x = 0 4x 4x+ = 0 (x ) = 0 x = 0 x = Hahmotellaa kuvaajat. Laaditaa merkkikaavio. x x x + + + + 4 4 x(4x 4x+ ) x 0
Koska tulo x(4x 4x+ ) o 0, ku x = 0 tai x = ja muutoi arvoltaa egatiivie, fuktio f( x) = x(4x 4x + ) arvot ovat aia egatiivisia.
95 Oletus o kokoaisluku. Väite 3 + o parillie. Todistus Jaetaa luku 3 + tekijöihi: 3 + = ( + ). Tutkitaa eriksee tapauksia, joissa o parillie ja parito.. Jos o parillie, tulo ( + ) o parillie eli 3 + o parillie.. Jos o parito, o myös parito (osoitettu esimerkissä ), ja site + o parillie. Tulo ( + ) o parillie eli 3 + o parillie. Kohtie ja perusteella 3 + o parillie.
96 Oletus a < b ja c< d Väite a+ c< b+ d Todistus Lasketaa oletukse epäyhtälöt puolittai yhtee. a < b c< d a+ c< b+ c Epäyhtälö a+ c< b+ d pitää paikkasa.
97 Oletus Luvut a, b, c, d, e ovat peräkkäisiä ja luoollisia. Väite Tulo abcde o jaollie luvulla 5. Todistus Koska viisi lukua ovat peräkkäisiä ja luoollisia, äistä täsmällee yksi luku o jaollie luvulla 5. Koska yksi tulo abcde tekijöistä o jaollie luvulla 5, o tulo abcde jaollie luvulla 5.
98 Oletus Luku kokoaisluku. Väite Luku 3 9 o parillie. Todistus Jaetaa luku 3 9 tekijöihi: 3 9 = ( 9) = ( + 3)( 3) Tarkastellaa eriksee tapaukset, joissa o parillie ja o parito.. Jos o parillie, tulo ( + 3)( 3) o myös parillie. Eli 3 9 o parillie.. Jos o parito, + 3 o parillie (tai vastaavasti 3 o parillie) ja tulo ( + 3)( 3) o parillie. Eli 3 9 o parillie. Kohdista ja seuraa, että 3 9 o parillie.
99 Oletus Väite Todistus Kolmio o tasakylkie. Tasakylkise kolmio katakulmat ovat yhtä suuret. Piirretää mallikuva. Jaetaa kolmio korkeusjaalla kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Tasakylkise kolmio huipusta piirretty korkeusjaa puolittaa huippukulma. Kolmiot ABD ja CBD ovat yhdemuotoisuuslausee (kk) perusteella yhdemuotoiset, koska ABD = DBC ja BDA = CDB. Koska kolmiot ovat yhdemuotoiset, ovat myös kulmat a ja β yhtä suuret. Eli tasakylkise kolmio katakulmat ovat yhtä suuret.
00 Oletus Luvut b, c ja d eivät ole ollia. Väite a : c = a d b d b c Todistus Hyödyetää jakolasku määritelmää: m : = q, jos q = m ( 0). Merkitää: m = a, = c, q= a d b d b c q = c a d d b c = a c d b c d = a = m b Eli : = a c a d b d b c.
0 Oletus Luvut x ja y ovat reaalilukuja. Väite x y = xy Todistus Hyödyetää itseisarvo määritelmää. x, ku x< 0 x = x, ku x 0 Tutkitaa kaikki 4 tapausta eriksee.. x< 0, y < 0 x y = ( x)( y) = xy = xy. x< 0, y 0 x y = ( x) y = xy = xy 3. x 0, y < 0 x y = x ( y) = xy = xy 4. x 0, y 0 x y = xy = xy Kohdista -4 seuraa, että ku x ja y ovat reaalilukuja, x y = xy.
0 Oletus x ja y ovat vektoreita. Väite x + y x + y eli vektoreide summavektori pituus o pieempi tai yhtä suuri kui vektoreide pituuksie summa. Todistus Koska väitteeä oleva epäyhtälö molemmat puolet ovat epäegatiivisia, epäyhtälö säilyy yhtäpitävää, ku se molemmat puolet korotetaa eliöö. x + y x + y ( ) x + y ( x + y) Tutkitaa epäyhtälö vaseta puolta. x + y = ( x + y) ( x + y) = x + x y + y = x + x y cos( x, y) + y cosa x + x y + y = ( x + y ) a = a a = x x + x y + y y a a = a a b = a bcos( ab, ) Nyt o todistettu, että x + y ( x + y ). Samalla o todistettu, että väitteeä ollut epäyhtälö + + x y x y pitää paikkasa.
03 Oletus x ja y ovat reaalilukuja. Väite x y x+ y Todistus Hyödyetää tietoa: x = x+ y y = ( x+ y) + ( y) ja y = x+ y x = ( x+ y) + ( x). Sovelletaa äihi tuloksii kolmioepäyhtälöä: x = ( x+ y) + ( y) a+ b a + b x+ y + y = x+ y + y ja y = ( x+ y) + ( x) x+ y + x = x+ y + x. a+ b a + b Nyt siis x x+ y + y ja y x+ y + x.
Muokataa saatuja epäyhtälöitä. x x+ y + y x y x+ y ja y x+ y + x y x x+ y b a = ( a b) ( x y) x+ y. Eli saadaa epäyhtälöt: x y x+ y ja ( x y) x+ y. Itseisarvo määritelmä perusteella voidaa yt todeta, että kääteie kolmioepäyhtälö x y x+ y pätee.
04 Laaditaa lauseille vastaesimerkki. a) Kuva suorakulmio lävistäjie välie terävä kulma o kooltaa: ta( a) = 3 a = ta ( ) 8,43 3 a 36 Kyseise suorakulmio lävistäjät eivät ole kohtisuorassa toisiaa vastaa, jote a-kohda lause o epätosi. b) Kyseise suorakulmio lävistäjät jakavat suorakulmio kulmat oi 8 (samakohtaie kui a-kohda kulma ) ja 7 a kokoisiksi kulmiksi. Kyseise suorakulmio lävistäjä ei jaa suorakulmio kulmaa kahtee yhtä suuree osaa, jote b-kohda lause o epätosi.
05 a) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Mikää kyseise kolmio kärjestä vastakkaiselle sivulle piirretty keskijaa ei ole kohtisuorassa vastakkaista sivua vastaa. Lause pätee tasakylkiselle kolmiolle, sillä voidaa osoittaa, että tasakylkise kolmio huippukulma kärjestä piirretty keskijaa o kohtisuorassa vastakkaista sivua vaste. b) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kyseise kolmio aiaki yhde sivu keskiormaali ei kulje vastakkaise kärkipistee kautta, jote lause o epätosi. Lause pätee tasasivuiselle kolmiolle, sillä voidaa osoittaa, että tasasivuise kolmio jokaise sivu keskiormaali kulkee vastakkaise kärkipistee kautta.
06 a) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. 3 3 tosi 4 8 tosi 3 9 7 tosi epätosi Huomataa, että kokoaisluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella Z : 3 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi. b) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. 3 3 3 50 0 tosi 4 8 4 tosi 3 9 7 8 tosi 4 6 64 48 tosi 5 5 5 00 epätosi Huomataa, että luoollie luku 5 käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella N : 3 50 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
07 a) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. x x x < 3 x 9 4 tosi tosi tosi tosi 0 0 tosi tosi tosi tosi 4 tosi tosi 3 9 tosi tosi 4 6 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku 4 käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella jos x< 3, ii x < 9 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi. b) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. x x x > x > 4 tosi tosi 3 9 tosi tosi 4 6 tosi tosi tosi tosi 4 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella jos x >, ii x > o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
08 a) Oletus Luvut x ja y ovat ratioaalilukuja. Väite Luku x+ y o ratioaaliluku. Todistus Koska x ja y ovat ratioaalilukuja, e voidaa esittää muodossa x = m ja y = p, missä, m, p ja q q ovat kokoaislukuja ( 0, q 0 ). Lasketaa summa x+ y. q) x+ y = m + ) p q qm p = + q q mq + p = q Laveetaa samaimisiksi. Lasketaa osoittajie summa. Nimittäjäksi tulee yhteie imittäjä. Koska luvut mq + p ja q ( q 0 ) ovat kokoaislukuja, luku x+ y o ratioaaliluku.
b) Muodostetaa lause: Kahde irratioaaliluvu summa o aia irratioaaliluku. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: + = 0 Koska luku 0 ei ole irratioaalie, kahde irratioaaliluvu summa ei ole aia irratioaalie. Alkuperäie lause o epätosi.
09 a) Oletus Luvut, + ja + ovat peräkkäisiä kokoaislukuja. Väite Lukuje, + ja + summa o jaollie luvulla 3. Todistus Lasketaa summa lukuje, + ja + summa. + ( + ) + ( + ) = 3+ 3 = 3( + ) Erotetaa yhteie tekijä 3. Koska lukuje, + ja + summa voidaa esittää tuloa 3( + ), jossa toisea tekijää o luku 3, summa o jaollie luvulla 3. b) Muodostetaa lause: Neljä peräkkäise kokoaisluvu summa o aia jaollie luvulla 4. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: 0 + + + 3 = 6. Koska luku 6 ei ole jaollie luvulla 4, eljä peräkkäise kokoaisluvu summa ei ole aia jaollie luvulla 4. Alkuperäie lause o epätosi.
0 Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva elikulmio kolme sivu keskiormaalit eivät leikkaa samassa pisteessä. Koska lauseella o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
a) Riittää, että löydetää yksi esimerkki suorakulmaisesta, tasakylkisestä kolmiosta. Lause o tosi. b) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva kolmio kulmat ovat: taa = a 63 ta β = 3 β 34 γ = 80 63 34 = 83 Kuva kolmio kaikki kulmat ovat teräviä, mutta erisuuria, jote kolmio ei ole tasakylkie. Alkuperäie väite o epätosi.
Oletus x o reaaliluku. Väite x R :3 4x 0 eli o olemassa (aiaki ) reaaliluku x, joka toteuttaa epäyhtälö 3 4x 0. Todistus Riittää, että löydetää yksi reaaliluku, joka toteuttaa tämä epäyhtälö. Sijoitetaa x = 0 epäyhtälö vasemmalle puolelle. 3 4 0 = 3 Saatu tulos 3 o suurempi tai yhtä suuri kui 0. Väite o totta.
3 Oletus x o reaaliluku. Väite x 6x + 5< 0, ku < x < 5. Todistus Todistetaa ratkaisemalla epäyhtälö. Ratkaistaa fuktio x 6x + 5 ollakohdat. 6 ± ( 6) 4 5 x = = 6 ± 36 0 = 6± 4 x = 5 tai x =
Hahmotellaa fuktio kuvaaja. Laaditaa merkkikaavio. x 6x + 5 + + 5 Merkkikaaviosta ja kuvaajasta ähdää, että x 6x + 5< 0, ku < x < 5. Väite x 6x + 5< 0, ku < x < 5 o tosi.
4 a) Moikulmio o sääöllie, jos se kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja se kaikki kulmat yhtä suuria. Neljäkäs o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva eljäkäs ei ole sääöllie moikulmio, koska se kulmat eivät ole yhtä suuret. Lause o epätosi.
b) Suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Neliö o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Neliö o site myös sääöllie moikulmio. Lause o epätosi.
5 a) Määritelmäsä mukaisesti suorakulmio o suuikas, joka kaikki kulmat ovat suoria. Jote kaikki suuikkaille voimassa olevat omiaisuudet ovat voimassa myös kaikille suorakulmioille. Väite o tosi. b) Määritelmäsä mukaisesti eliö o suorakulmio, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva suorakulmio kaikki sivut eivät ole yhtä pitkät, jote kaikki eliö omiaisuudet eivät ole voimassa kaikille suorakulmioille. Väite o epätosi.
b) Suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Neliö o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Neliö o site myös sääöllie moikulmio. Lause o epätosi.
6 a) Osoitetaa lause Z : 3 0 eli kaikilla kokoaislukuarvoilla pätee: luvu kuutio ja luvu eliö erotus o suurempi tai yhtä suuri kui olla epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. 3 3 3 0 0 tosi 4 8 4 tosi 3 9 7 8 tosi epätosi Huomataa, että kokoaisluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella Z : 3 0 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
b) Osoitetaa lause R : eli kaikilla reaalilukuarvoilla pätee: luvu vastaluku o pieempi tai yhtä suuri kui luku itse epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. tosi tosi 3 3 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella R : o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
7 a) Osoitetaa lause jos x< y, ii x < y epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki kokeilulla. x y x y x < y 4 tosi 3 4 9 tosi 3 4 9 6 tosi 0 0 epätosi Huomataa, että arvot x =, y = 0 käyvät lausee vastaesimerkiksi, sillä: < 0, mutta ( ) =, joka o suurempi kui 0. Koska lauseella jos x< y, ii x < y o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
b) Osoitetaa lause jos x< y ja x 0 ja y 0, ii > x y epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki kokeilulla. x y x 3 3 4 3 y 3 4 > x y tosi tosi tosi epätosi Huomataa, että arvot x =, y = käyvät lausee vastaesimerkiksi, sillä: <, mutta <. Koska lauseella jos x< y ja x 0 ja y 0, ii > x y o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
8 a) Oletus Luvut x ja y ovat ratioaalilukuja. Väite Todistus Luku xy o ratioaaliluku. Koska x ja y ovat ratioaalilukuja, e voidaa esittää muodossa x = m ja y = p, missä, m, p ja q q ovat kokoaislukuja ( 0, q 0 ). Lasketaa tulo xy. m p xy = q mp = q Osoittajat kerrotaa keskeää ja imittäjät kerrotaa keskeää. Koska luvut mp ja q ( q 0 ) ovat kokoaislukuja, luku xy o ratioaaliluku.
b) Muodostetaa lause: Kahde irratioaaliluvu tulo o aia irratioaaliluku. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: = Koska luku ei ole irratioaalie, kahde irratioaaliluvu tulo ei ole aia irratioaalie. Alkuperäie lause o epätosi.
9 a) Oletus Luvut + ja + 3 ovat peräkkäisiä parittomia kokoaislukuja. Väite Lukuje + ja + 3 summa o jaollie luvulla 4. Todistus Lasketaa summa lukuje + ja + 3 summa. (+ ) + (+ 3) = 4+ 4 = 4( + ) Erotetaa yhteie tekijä 4. Koska lukuje + ja + 3 summa voidaa esittää tuloa 4( + ), jossa toisea tekijää o luku 4, kahde peräkkäise parittoma kokoaisluvu summa o jaollie luvulla 4. b) Muodostetaa lause: Kahde peräkkäise parillise kokoaisluvu summa o aia jaollie luvulla 4. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: + 4 = 6. Koska luku 6 ei ole jaollie luvulla 4, kahde peräkkäise parillise kokoaisluvu summa ei ole aia jaollie luvulla 4. Alkuperäie lause o epätosi.
0 Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva elikulmio kolme kulma kulmapuolittajat eivät leikkaa samassa pisteessä. Koska lauseella o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
a) Todistetaa lause. Olkoo ABCD leija, joka sivut AB ja AD ovat yhtä pitkät ja sivut CB ja CD ovat yhtä pitkät. Tällöi kärjet A ja C ovat jaa BD keskiormaalilla. Eli leija lävistäjät ovat aia kohtisuorassa toisiaa vastaa. Väite o tosi.
b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
a) Todistetaa väite x y : xy = x eli kaikilla reaaliluvuilla x o olemassa joki y site, että xy = x. Olkoo x mikä tahasa reaaliluku. Valitaa y =. Jos luku x kerrotaa luvulla y (joka o ), tuloksea o luku x. Eli jos luvulla kerrotaa mikä tahasa reaaliluku, tuloksea o reaaliluku itse. Väite o tosi. b) Todistetaa väite y x : xy = x eli kaikilla reaaliluvuilla y o olemassa joki x site, että xy = x. Olkoo y mikä tahasa reaaliluku. Valitaa x = 0. Jos yt luku y kerrotaa luvulla x (joka o 0), tuloksea o luku x. Eli jos luvulla 0 kerrotaa mikä tahasa reaaliluku, tuloksea o 0. Väite o tosi.
b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
3 a) Todistetaa väite x y: x+ y = x eli kaikilla reaaliluvuilla x o olemassa joki y site, että x+ y = x. Olkoo x mikä tahasa reaaliluku. Valitaa y = 0. Jos lukuu x lisätää luku y (joka o 0), tuloksea o luku x. Eli jos luku 0 lisätää mihi tahasa reaalilukuu, tuloksea o reaaliluku itse. Väite o tosi. b) Todistetaa väite y x: x+ y = x eli kaikilla reaaliluvuilla y o olemassa joki x site, että x+ y = x. Esitetää vastaesimerkki. Valitaa y =. Tällöi mikää luku x ei toteuta yhtälöä x+ = x. Väite o epätosi.
b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
Tekijä Pitkä matematiikka 0..07 4 Oletus Väite Todistus Lapsia o kahdeksa. Aiaki kaksi lasta o sytyyt samaa viikopäivää. Oletetaa vastoi väitettä, että kaikki lapset ovat sytyeet eri viikopäiviä. Koska viikopäiviä o seitsemä, lapsia voi olla eitää seitsemä. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
5 Oletus Väite Todistus Päivittäi sytyy oi 360 000 lasta. Aiaki viisi lasta sytyy samalla sekuilla. Oletetaa vastoi väitettä, että eitää eljä lasta sytyy samalla sekuilla. Koska vuorokaudessa o 4 60 60 = 86400 sekutia, vuorokaudessa voisi sytyä eitää 4 86400 = 345600 lasta. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
6 Oletus Kokoaisluvu eliö a o parito. Väite Todistus Kokoaisluku a o parito. Oletetaa vastoi väitettä, että kokoaisluku a o parillie. Tällöi o olemassa sellaie kokoaisluku, että a =. Lasketaa eliö a. a = ( ) = 4 = ( ) Koska luku o kokoaisluku, ii kokoaisluvu eliö a = ( ) o parillie. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
7 Oletus Väite Todistus Kokoaislukuje a ja b tulo ab o parillie. Aiaki toie luvuista a ja b o parillie. Oletetaa vastoi väitettä, että molemmat luvut a ja b ovat parittomia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m+ ja b= +. Lasketaa tulo ab. ab = (m + )( + ) = 4m + m + + = ( m + m + ) + Koska luku m + m + o kokoaisluku, ii kahde kokoaisluvu tulo ab = ( m + m + ) + o parito. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
8 Oletus Väite ABC o kolmio. Kolmiossa o eitää yksi kulma, joka o suurempi kui 90. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että aiaki kulmat A ja B ovat suurempia kui 90. Tällöi kulmie A ja B summa o suurempi kui 90 + 90 = 80. Koska kolmio kulmie summa o aia 80, o päädytty ristiriitaa. Siis väite o tosi.
9 Oletus ABC o kolmio. C Väite Kulma α o suurempi kui 90. D Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kulma α o pieempi tai yhtä suuri kui 90. Koska kolmio kulmie summa o aia 80, tällöi kolmio ABD katakulmie summa o vähitää 80 90 = 90. Koska kolmio ABD katakulmat ovat kolmio ABC katakulmie puolikkaita, kolmio ABC katakulmie (kaksi kulmaa) summa o vähitää 90 = 80. Koska kolmio kaikkie kulmie summa o aia 80, o päädytty ristiriitaa. Siis väite o tosi. A B
30 Oletus x o irratioaaliluku. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että x = m. Lasketaa eliö x. x = m ( ) = m Koska m ja ovat kokoaislukuja, o x ratioaaliluku. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis x o irratioaaliluku.
3 Väite Luku 6 o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että 6 o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että 6 = m. Koska murtoluku ei eää supistu, eitää toie luvuista m ja o parillie. Tutkitaa luvu 6 eliötä. ( 6 ) = m ( ) 6 = m Ratkaistaa tästä yhtälöstä m. m = 6 = (3 ) Koska 3 o kokoaisluku, o m parillie kokoaisluku. Tällöi myös m o parillie kokoaisluku (todistettu esimerkissä ). Tällöi o olemassa sellaie kokoaisluku k, että m = k.
Saadaa: m = (3 ) ( k) = (3 ) 4k = (3 ) : k = 3. Nyt luku 3 o parillie. Tästä seuraa, että luku o välttämättä parillie (koska luku 3 o parito), ja samoi luvu o oltava parillie (Esimerkki ). O päädytty ristiriitaa, sillä edellä todettii, että eitää toie luvuista m ja o parillie. Siis luku 6 o irratioaaliluku.
3 Oletus Luku x o irratioaaliluku. Väite Luku x o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Ratkaistaa x. x = m x = m : ) x = m x = m Laveetaa murtoluvut samaimisiksi. Koska m ja ovat kokoaislukuja, o x ratioaaliluku. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
33 Oletus Luku x o yhtälö 3 x = ratkaisu. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Koska 3 x = >, ii x > 0. Voidaa olettaa, että kokoaisluvut m ja ovat molemmat positiivisia. Saadaa: m 3 = m 3 = m 3 =. Korotetaa yhtälö molemmat puolet potessii. Luku 3 m o parito. Tämä voidaa johtaa tiedosta, että kahde parittoma luvu tulo o parito. Luku parillie, sillä = ( ) ja o kokoaisluku, jos o kokoaisluku. O päädytty ristiriitaa, sillä luku 3 m o parito ja o parillie. Siis x o irratioaaliluku.
34 Oletus Espoo väkiluku o oi 70 000. Väite Todistus Aiaki kolmella espoolaisella o päässää yhtä mota hiusta. Oletetaa vastoi väitettä, että eitää kahdella espoolaisella o päässää yhtä mota hiusta. Koska ihmise päässä voi olla eitää oi 00 000 hiusta, espoolaisia voi olla eitää 00000 = 00000. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
35 Oletus Väite Todistus Kokoaislukuje a ja b summa a + b o parito. Täsmällee toie luvuista a ja b o parito. ) Oletetaa vastoi väitettä, että luvuista a ja b molemmat ovat parillisia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m ja b =. a+ b= m+ = ( m+ ) Koska summa a + b o kokoaislukuje ja m + tulo, se o parillie. ) Oletetaa vastoi väitettä, että luvuista a ja b molemmat ovat parittomia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m + ja b = +. a+ b= (m+ ) + (+ ) = m+ + = ( m+ + ) Koska summa a + b o kokoaislukuje ja m + + tulo, se o parillie. 3) O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis täsmällee toie luvuista a ja b o parito.
36 Oletus Kokoaisluvu eliö ei ole jaollie luvulla 9. Väite Kokoaisluku ei ole jaollie luvulla 3. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kokoaisluku o jaollie luvulla 3. Tällöi o olemassa kokoaisluku a site, että = 3a. Muodostetaa eliö. = (3 a) = 3 a = 9a Huomataa, että kokoaisluvu eliö o jaollie luvulla 9. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
37 Väite Todistus Nelikulmiossa o eitää yksi kupera kulma. Oletetaa vastoi väitettä, että elikulmiossa o vähitää kaksi kuperaa kulmaa. Kupera kulma o kulma, joka o suurempi kui 80 ja pieempi kui 360. Tällöi kahde kupera kulma summa o välttämättä suurempi kui 80 + 80 = 360. O päädytty ristiriitaa, sillä elikulmio kulmie summa o täsmällee 360. Siis väite o tosi.
38 Oletus Käytetää kuva merkitöjä. ABCD o puolisuuikas. Väite Kulma γ ei aia ole 90. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kulma γ o aia 90. Koska kolmio ABE kulmie summa o 80, ii α + β = 90. Puolisuuikkaa ABCD katakulmie A ja B summa o ( α + β) = 90 = 80. Tästä seuraa, että myös sivut AD ja BC ovat yhdesuutaiset ja ABCD o suuikas. O päädytty ristiriitaa, sillä kaikki puolisuuikkaat eivät ole suuikkaita. Siis väite o tosi.
39 Oletus x o irratioaaliluku (x 0). Väite x o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi x voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja (m 0 ja 0 ). Saadaa: = m x xm = x = m Kerrotaa ristii. Ratkaistaa x. Mutta tällöi x olisi ratioaaliluku, mikä o ristiriita. Siis väite o tosi.
40 Väite Luku 3 o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että luku 3 o ratioaaliluku. Tällöi luku 3 voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Tutkitaa luvu ( 3) = m ( ) 3 = m m = 3 3 eliötä. Ratkaistaa m. Koska m o kokoaislukuje 3 ja tulo, ii se o jaollie luvulla 3. Site myös luku m o jaollie luvulla 3. O siis olemassa sellaie kokoaisluku k, että m = 3k.
Saadaa m = 3 (3 k) = 3 9k = 3 Ratkaistaa. = 3 k. Site luvut ja ovat jaollisia luvulla 3. Eli molemmat kokoaisluvut m ja ovat jaollisia luvulla 3. Tämä o ristiriita, sillä aiemmi todettii, että murtoluku m ei eää supistu. Siis väite o tosi.
4 Oletus Luku x o yhtälö 5 x = 3 ratkaisu. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Koska 5 x = 3 >, ii x > 0. Voidaa olettaa, että kokoaisluvut m ja ovat molemmat positiivisia. Saadaa: m 5 = 3 m 5 = 3 m 5 =3. Korotetaa yhtälö molemmat puolet potessii. Luku 3 m o parito. Tämä voidaa johtaa tiedosta, että kahde parittoma luvu tulo o parito. Luku parillie, sillä = ( ) ja o kokoaisluku, jos o kokoaisluku. O päädytty ristiriitaa, sillä luku 5 m ei ole jaollie luvulla 3, mutta luku 3 o jaollie luvulla 3. Siis x o irratioaaliluku.
4 Oletetaa, että luku esittää muodossa m o ratioaaliluku. Tällöi luku voidaa, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Saadaa: = m Kerrotaa ristii. = ( ) m = m m Ratkaistaa. + m = m ( + m) = m = m. m+ Saadu tulokse mukaa ristiriita. voidaa esittää murtolukua. Tämä o Eli luku o irratioaaliluku.
43 Oletus Luku x o irratioaaliluku. Väite Luku x o irratioaaliluku. x + Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että luku x x + o ratioaaliluku. Tällöi luku x x + voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Saadaa: x = m Kerrotaa ristii. x+ ( x+ ) m = ( x ) Lähdetää ratkaisemaa, mitä x o. xm + m = x xm x = m xm ( ) = ( m+ ) x = m+. m x o yt ratioaaliluku. Tämä o ristiriita, sillä oletukse mukaa x o irratioaaliluku. Väite o siis tosi.
44 a) Oletus a = 3 ja a = a, ku =, 3, 4,.... Väite a = + kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = 3 ja toisaalta a = + = 3. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = +, ii a = + +. + Iduktio-oletus: a = + mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: a + + = +.
Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = a jäseee a +. a = a - + ( + ) - = a - = ( + ) - + = + - + = + Käytetää iduktio- oletusta a = +. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu. b) Lukujoo 3. jäse eli a3 voidaa yt laskea lausekkeella a = +. 3 a 3 = + = 89 Vastaus: a 3 = 6385
45 a) Lähdetää taulukoimaa rekursiokaava avulla saatavia joo jäseiä. a = a a = 4 a = 4 = 8 3 a3 a a 4 a4 a 3 3... = 4 = 4 (4 ) = 4 = 3 = 4 = 4 (4 ) = 4 = 8 a ( ) a = 4 = 4 (4 ) = 4 Todistetaa joo yleise jäsee lauseke a = 4 oikeaksi iduktiolla. Oletus a = ja a = 4 a, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. 0 a = ja toisaalta a = 4 = 4 = =. Väite o tosi, ku =.
) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = 4, ii a = 4( ) + = 4. + Iduktio-oletus: a = 4 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: a + = 4. Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = 4 a jäseee a +. a = 4a + ( + ) - = 4 a - = 4 4 = 4 Käytetää iduktio-oletusta a = 4-. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu.
b) Lukujoo 0. jäse eli a0 voidaa yt laskea lausekkeella a = 4. 0 9 a 0 = 4 = 4 = 5488 Vastaus: a 0 = 5488
46 Väite ( ) kaikil + 3 + 5 +... + = la =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. = = Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: + 3 + 5 +... + = ( ) mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: + 3 + 5 +... + ( + ) = (+) ( )
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee + 3 + 5 +... + ( + ) = (+) ( ) puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. + 3 + 5 +... + (( + ) -) = + 3 + 5 +... + (- ) + (( + ) -) ((( ((( iduktio-oletukse perusteella = + (+ -) = + + = ( + ) vaseta Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
47 Väite + 3 + 3 + 33 +... + 3 = 3 3 kaikilla =,,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. + 3 = 3 3 3 3 = 3 3 = 9 3 3= 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 3 + 3 + 33 +... + 3 = 3 3 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: 3 + 3 + 33 +... + 3 + = 3( + ) + 3
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee ( + ) + + 3 + 3 + 33 +... + 3 = 3 3 vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. 3 + 3 + 3 + 3 +... + 3 3 + = 3 + 3 + 3 +... + 3 + 3 3+ - 3 iduktio-oletukse perusteella + ) + = 3-3 + 3 Laveetaa yhteelaskettavat samaimisiksi. + + = 3-3+ 3 Yhdistetää termit 3 + ja 3 +. = = + 33-3 3 + ) + - 3 m m+ a a = a Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
48 Oletus Joo esimmäie jäse o a. Väite Joo yleie jäse o. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = a q a = a q a = a a = a 0 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a = aq mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: a + = aq = aq ( + )
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee a+ = aq vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. a+ = a q - aq idu tiooletu se perusteella - = aq q = aq Perä äiste jäsete suhdelu u o q. Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
49 Väite ( ) + kaikilla = 3, 4, 5,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 3. ( ) 3 3 + 9 6 8 6 Väite o tosi, ku = 3. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + ) mielivaltaisella = 3, 4, 5.... Iduktioväite: ( + ) ( + ) + ( )
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( + ) = ( + + ) = + 4+ ( + ) idu tiooletu se perusteella ( + ) + 4+ = + + + 4+ = + 4+ + 3 >, u 3 + 4+ 4 = ( + ) ( a + b) = a + ab + b Saatii ( + ) ( + ) = (( + ) + ). Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
Tekijä Pitkä matematiikka.3.07 50 Kirja. paioksessa o virhe a-kohda kysymyksessä. Kysymykse pitäisi olla Tutki, mistä kokoaisluvusta > lähtie epäyhtälö pätee. a) Tutkitaa sijoittamalla, mistä kokoaisluvusta > lähtie epäyhtälö pätee. 3 3 4 4 5 5 = 4 = 8 = 6 = 3 = 4 tosi 3 = 9 epätosi 4 = 6 tosi 5 = 5 tosi Epäyhtälö äyttää pätevä luvusta = 4 alkae. b) Väite Todistus o tosi kaikilla = 4, 5, 6,.... ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 4. 4 4 6 6 Väite o tosi, ku = 4.
) Iduktioaskel Iduktio-oletus: mielivaltaisella = 4, 5, 6.... Iduktioväite: + ( + ) Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + = iduktiooletukse perusteella a = a a m+ m = + = + + > 3, ku 4 = + + 3 >, ku 4 + + = + ( ) Saatii + ( + ). Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
5 Väite ( ab) = a b o tosi kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. ( ab) = ab = ab Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( ab) = ab mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: ( ab) = a b + + +
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + ( ab) = ab ( ab) = = a b idu tiooletu se perusteella ab a b = aa bb x = x x m+ m ryhmitellää uudellee x x = x m m+ = a b + + + + + Saatii ( ab) = a b. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
5 Väite 7 4 o jaollie luvulla 3 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 0 7 4= 4 = 3 = 3 ( ) Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 7 4 o jaollie luvlla 3 mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 7 4= 3s. Iduktioväite: 7 + 4 o jaollie luvulla 3.
Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 7 4= 3s. Site 7 = 4+ 3s. Sieveetää luku 7 + 4 muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla 3. + 7-4 = 7 7-4 = 4+ 3s idu tiooletu se perusteella = 7 (4 + 3 s) -4 = 7 4 + 7 3s -4 = 7 3s + 6 4 3 = 3(7s + 4) = 3(7s + 8) x m+ m = x x Yhdistetää termit 7 4 ja -4. Erotetaa lu u 3 yhteise si te ijä si. Koska s o kokoaisluku, ii myös 7s + 8 o kokoaisluku. Site 7 4 o jaollie luvlla 3 Iduktioväite o tosi.. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
Tekijä Pitkä matematiikka.3.07 53 Väite 9 + 7 o jaollie luvulla 8 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 0 9 + 7= + 7 = 8 Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 9 + 7 o jaollie luvulla 8 mielivaltaisella Z. Iduktioväite: 9 + + 7 o jaollie luvulla 8.
Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 9 + 7= 8s. Site 9 = 8s 7. Sieveetää luku 9 + + 7 muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla 8. + 9 + 7 = 9 9 + 7 = 8s 7 iduktiooletukse perusteella a = a a m+ m = 9 (8s 7) + 7 = 9 8s 9 7 + 7 = 98 s 87 Yhdistetää termit 9 7 ja 7. Erotetaa luku 8 yhteiseksi tekijäksi. = 8(9s 7) Koska s o kokoaisluku, ii myös 9s 7 o kokoaisluku. Site 9 + + 7 o jaollie luvulla 8. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
Tekijä Pitkä matematiikka 0..08 54 Väite o parillie kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 0 0= 0 Luku 0 kuuluu parillisii lukuihi. Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: o parillie mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että = s. Iduktioväite: ( + ) ( + ) o parillie.
Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että = s. Site = + s. Sieveetää luku muotoo, josta ähdää, että se o parillie. ( + ) -( + ) = + + -- = + + s idu tiooletu se perusteella = + s+ = s+ = ( s + ) ( a + b) = a + ab + b Yhdistetää termit ja. Erotetaa lu u yhteise si te ijä si. Koska ja s ovat kokoaislukuja, ii myös s+ o kokoaisluku. Site o parillie luku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
55 a) Oletus a = ja a = a + 3, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 3 kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = ja toisaalta a = 4 3 = 4 3 =. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = 4 3, ii a = 4 ( + ) 3. + Iduktio-oletus: a = 4 3 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: a ( + ) + = 4 3 = 4 3
Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = a + 3 jäseee a +. a = a + 3 + ( + ) - = a 3 + - = 4-3 idu tiooletu se perusteella - = (4-3) + 3 = 4 - - 3+ 3 = 4 ( - ) + -3 = 4-3 Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu. b) Lukujoo 5. jäse eli a5 voidaa yt laskea lausekkeella a = 4 3. 5 a 5 = 4 3 = 67 08 86 Vastaus: a 5 = 67 08 86
56 a) Lähdetää taulukoimaa rekursiokaava avulla saatavia joo jäseiä. a = 3 a = 4 a + 3= 4 3+ 3 a 3 a 3 a 4 a 3 4 a 3... = 4 + 3= 4 (4 3+ 3) + 3= 4 3+ 4 3+ 3 = 4 + 3= 4 (4 + 4 3+ 3) + 3= 4 + 4 3+ 4 3+ 3 a = 4 a + 3 = 4 3 + 4 3 +... + 4 3 + 4 3 + 3 3( 4 ) 3( 4 ) = = (3 = ( 4 ) = 4 4 3 Hyödyetää geometrise summa kaavaa. Todistetaa joo yleise jäsee lauseke a = 4 oikeaksi iduktiolla. Oletus a = 3 ja a = 4a + 3, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 kaikilla =,, 3,....
Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = 3 ja toisaalta a = 4 = 4 = 3. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a = 4 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: a 4 + + =. Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = 4a + 3 jäseee a +. a = 4a + 3 + ( + ) - = 4 a 3 + = 4 - idu tiooletu se perusteella = 4 (4 - ) + 3 = 4+ - 4+ 3 = 4+ - Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu.
57 a) Väite 3 3 3 3 ( ) + 3 + 5 +... + = + 4 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. 3 ( + ) = 4 = 4 = 4 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 3 3 3 3 ( ) + 3 + 5 +... + = + 4 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: 3 3 3 3 + 3 + 5 +... + ( + ) = = ( + ) (( + ) + ) 4 ( + ) ( + ) 4
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + 3 + 5 +... + ( + ) 3 3 3 3 = (( ( + 3 + 5 +...( + + ( + ) ( + ) 4 iduktio-oletukse perusteella 3 3 ( + ) = + ( + ) 4 = = = 4) 3 Erotetaa ( + ) yhteiseksi tekijäksi. (((+((( 3 ( + ) + 4( + ) 4 + + + 4 ( ) ( 4( )) + + 4 ( ) ( 4 ( + ) ( + ) = 4 + 4) Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
b) Laskettava summa o S00 S 99. S S S 00 99 00 99 Vastaus: 379 507 500 00 (00 + ) = = 404 00 000 4 99(99 + ) = = 4 50 500 4 S = 379 507 500
58 Väite ( + )( + ) + 3 + 3 4 +... + ( + ) = 3 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. ( + )( + ) = 3 = 3 = 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + )( + ) + 3 + 3 4 +... + ( + ) = 3 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: + 3 + 3 4 +... + ( + ) (( + ) + ) ( + )(( + ) + )(( + ) + ) = 3
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. + 3 + 3 4 +... + ( + ) (( + ) + ) = + 3 + 3 4 +... + ( + ) + ( + ) (( + ) + ) ((( ( ((((( ( + )( + ) = 3 iduktio-oletukse perusteella ( + )( + ) 3) = + ( + )( + ) 3 ( + ) ( + ) + 3( + )( + ) Erotetaa (+)(+ ) = 3 yhteiseksi tekijäksi. = ( + )( + )( + 3) 3 Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
59 (4 ) Väite 3 5... ( ) + + + + = 3 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. (4 ) = 3 = 3 = 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: + 3 + 5 +... + ( ) = 3 mielivaltaisella =,, 3.... (4 ) Iduktioväite: ( ) + 3 + 5 +... + ( + ) ( + )(4( + ) ) = 3
Iduktioväittee todistus: Sieveetää esi oikea puole lauseketta. ( + )(4( + ) ) 3 ( + )(4( + + ) ) = 3 ( + )(4 + 8+ 4 ) = 3 43 8 3 4 = + + + + 8+ 3 3 43 = + + + 3 3
Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. (4 -) 3 ( ) + 3 + 5 +... + ( + ) - 3 5... ( ) (( + = + + + + - (((( (((( iduktio-oletukse perusteella (4 -) = + ( + -) 3 (4 -) = + ( + ) 3 = = = 3) (4 - ) + 3(+ ) 3 - + + + 3 3 4 3(4 4 ) - + 3 + 3 4 3 + )-) Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
60 Väite ( )... a + aq+ aq + + aq a q = q o tosi kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a( q ) a = q = a ( ( q) Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus:... a + aq+ aq + + aq a q = mielivaltaisella =,, 3.... ( ) q Iduktioväite: ( ) ( + )... + + + + + a q a aq aq aq = q
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. a + aq+ aq +... + aq ( + ) - = a + aq+ aq +... + aq + aq (((( (((( - ( + ) - a ( - q ) - q = + a (-q ) = -q iduktio-oletukse perusteel l a aq ( (-q) a( - q ) + aq ( -q) = - q a- aq + aq -aq q = - q + a -aq a( -q = = - q - q + ) Erotetaa a yhteiseksi tekijäksi. Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
6 a) k = Väite k = ( + )(+ ) 6 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. ( + )( + ) = 6 = 6 = 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: k = k ( + )(+ ) = 6 mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: + k = k ( + )(( + ) + )(( + ) + ) = 6
Iduktioväittee todistus: Sieveetää esi oikea puole lauseketta. ( + )(( + ) + )(( + ) + ) 6 ( + )( + )(+ 3) = 6 + = 3 ( + + + )(+ 3) = 6 3 3 6 = + + + 9+ 4+ 6 6 3 9 = + + 3+ 6 6
Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. + = + ( + ) = = ( + )(+ ) = 6 idu tio-oletu se perusteella ( + )(+ ) = + ( + ) 6 (6 = ( + )(+ ) + 6( + ) 6 = = = 6 ( + )( + ) + 6( + + ) 6 3 + + + + 6 + + 6 + + + 6 3 9 3 6 Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
b) Lasketaa summie erotus: S0 S 9 S 0 0 (0 + ) ( 0 + ) = 6 = 870 S 9 9 (9 + ) ( 9 + ) = 6 = 85 S S = 870 85 = 585 0 9 Vastaus: 585
6 Väite ( a+ b) a + b kaikilla =,, 3,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. ( a+ b) = a+ b = a + b Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( a+ b) a + b mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: ( a+ b) a + b + + +
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( a+ b) + = ( a+ b)( a+ b) ( ( a + b iduktiooletukse perusteella ( a+ b)( a + b ) + + = a + ab ( + ba ( + b + + a + b 0, ku a ja b ovat positiivisia kokoaislukj u a Saatii ( a+ b) + a + + b +. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
63 a a b b Väite ( ) = kaikilla =,, 3,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. a ( ) b = = a b a b Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a ( ) = a b b mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: + a + ( ) = a b b+
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + a a a = b b b a a = b b a a = b b a = b a = b idu tiooletu se perusteella + + Iduktioväittee vase puoli ja oikea puoli ovat samat. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
64 Väite! > kaikilla 4. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 4. 4! = 4 3 = 4 4 = 6 Väite o tosi, ku = 4. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus:! > mielivaltaisella = 4, 5, 6.... Iduktioväite: ( + )! > +
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse ja kertoma määrittely perusteella. ( + )! = ( + ) ( -)... ((( ((( = ( + )! >, u 4, u 4 idu tiooletu se perusteella ( + ) = + =! Iduktioväittee vase puoli ja oikea puoli ovat samat. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
65 Väite Luvu 6 viimeie umero o 6 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. 6 = 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: Luvu 6 viimeie umero o 6 mielivaltaisella =,, 3... eli luku 6 voidaa kirjoittaa muodossa 0s + 6, missä s o kokoaisluku. Iduktioväite: Luvu 6 + viimeie umero o 6.
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväitettä iduktio-oletukse perusteella. + 6 = 6 6 = 0s+ 6 idu tiooletu se perusteella = 6 (0s + 6) = 60s + 36 = 60 ( s + ( 30 + 6 Erotetaa 0 yhteise si te ijä si. = 0 (6s + 3) + 6 Saatii 6 + = 0 (6s + 3) + 6, jossa luku 6s + 3 o kokoaisluku, ku s o kokoaisluku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
66 Väite 3 + o jaollie luvulla 3 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 03 + 0= 0 Luku 0 o jaollie luvulla 3. Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 3 + o jaollie luvulla 3 mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 3 + = 3s. Iduktioväite: ( + ) 3 + ( + ) o jaollie luvulla 3
Iduktioväittee todistus: Sieveetää luku ( + ) 3 + ( + ) muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla 3. 3 3 ( + ) + ( + ) = + 3 + 3+ + + 3 = ( + ( + 3 + 3+ 3 = 3s iduktiooletukse perusteella = 3 (( (( s+ 3 + 3+ 3 Erotetaa luku 3 yhteiseksi tekijäksi. = 3( s+ + + ) Luku 3( s+ + + ) o jaollie luvulla 3, ku s+ + + o kokoaisluku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
67 Väite Todistus Origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa. ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. Yksi suora jakaa taso kahtee osaa. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: Origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa mielivaltaisella =,, 3.... Iduktioväite: Origo kautta kulkevat + eri suoraa jakavat taso ( + ) osaa.
Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa.
Ku tähä lisätää uusi origo kautta kulkeva suora +, se jakaa kaksi olemassa olevaa taso osaa molemmat kahtee osaa (alkuaskelee perusteella). Eli taso o tämä jälkee jakautuut + = ( + ) osaa. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
68 Väite 3 + 5 o kokoaisluku kaikilla =,, 3,... 6 Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. 3 + 5 = 6= 6 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 3 + 5 mielivaltaisella =,, 3.... 6 3 Eli + 5 = s, ku s o kokoaisluku. 6 Iduktioväite: ( + ) 3 + 5( + ) 6 o kokoaisluku.
Iduktioväittee todistus: 3 Iduktio-oletukse perusteella + 5 = s, ku s 6 o kokoaisluku. Tästä saadaa 3 + 5 = 6s eli 3 + 5 o jaollie luvulla 6. Muokataa iduktioväitettä iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. 3 3 ( + ) + 5( + ) = + 3 + 3+ + 5+ 5 6 6 = 6 s iduktio- Erotetaa 3 oletukse yhteiseksi perusteella tekijäks i. + ( + ( 3 5 3 = + + + 3 + 6 6 6s+ 3 ( + ) + 6 = 6 Luku 6s+ 3 ( + ) + 6 o jaollie luvulla 6, sillä yhteelaskettavat 6s, 3( + ) ja 6 ovat jaollisia luvulla 6. Luvu 3( + ) tekijöistä tai + o parillie ja site luku 3( + ) o jaollie luvulla 6. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
69 a) Väite ( ) + x + x, missä x >, o tosi kaikilla = 0,,,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 0 ( + x) = + 0 x = Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + x) + x, missä x >, o tosi mielivaltaisella = 0,,.... Iduktioväite: + + x + ( + ) x( missä x > ). ( )
Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( ) + + x = ( + x) ( + x) ( ( + x idu tiooletu se perusteella ( + x) ( + x) = + x + x + x Erotetaa x 0 yhteise si te ijä si. + ( + ) x Saatii ( + x) + + ( + ) x. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
b) Väite ( ) 3 +, kaikilla = 0,,,.... + +. Nähdää, että epäyhtälö o Beroulli epäyhtälö, jossa x =. Todistus Kirjoitetaa epäyhtälö muotoo ( ) Koska Beroulli epäyhtälö pätee, aia ku x > ja N, epäyhtälö ( ) 3 + pätee.