Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207

Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................ 3.2 Sarjoista.............................. 4 2 Ensimmäinen todistus 7 3 Toinen todistus 0 4 Kolmas todistus 4 5 Neljäs todistus 7 Lähdeluettelo 9

Johdanto Tässä tutkielmassa syvennymme hieman alkulukujen ja sarjojen maailmaan. Aluksi käydään läi tämän työn kannalta oleellisia alkulukujen ja sarjojen määritelmiä ja tuloksia. Viimeisenä määritellään Alkulukujen harmoninen sarja ja esitellään lause, jonka mukaan tämä sarja hajaantuu. Tässä työssä tämän sarjan hajaantumiselle on esitelty neljä todistusta, jotka on jaoteltu kaaleittain. Ensimmäisen kerran Alkulukujen harmonisen sarjan hajaantumisen todisti Leonhard Euler vuonna 737, kuitenkaan tätä todistusta en esitä tässä työssä. Päälähteenä tutkielmassa käytetään kirjaa Problem- Solving and Selected Toics in Number Theory. 2

Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä. Alkuluvuista Määritelmä.. Numeroa yksi suuremaa luonnollista lukua sanotaan alkuluvuksi, mikäli se on jaollinen vain numerolla yksi ja itsellään. Määritelmä.2. Numeroa yksi suuremaa luonnollista lukua, mikä ei ole alkuluku sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Määritelmä.3. Kahta numeroa yksi suuremaa luonnollista lukua a ja b kutsutaan keskenään jaottomiksi tai suhteellisiksi alkuluvuiksi, jos ja vain jos mikään numeroa yksi suuremi luonnollinen luku c ei jaa sekä lukua a ja lukua b. Toisin sanottuna luvun a ja luvun b suurin yhteinen tekijä on. Esimerkki.4. Esimerkiksi luonnolliset luvut 2 ja 7 ovat suhteellisia alkulukuja, sillä ei ole olemassa sellasita luonnollista lukua c, joka jakaisi molemmat luvut. Lause.5. Alkulukuja on äärettömän monta. Todistus. Todistettu kurssilla Algebran erusteet. Lause.6. Aritmetiikan eruslause). Jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen otenssien tulona. Toisin sanottuna n = a a 2 2... a k k, missä < 2 <... < k ovat alkulukuja ja eksonentit a, a 2,...a k ovat ositiivisia kokonaislukuja. Todistus. Todistettu kurssilla Algebran erusteet. Esimerkki.7. Luku 2646 voidaan esittää alkulukujen otenssien tulona seuraavasti 2646 = 7 2 3 2 2. Määritelmä.8. Positiivista luonnollista lukua n sanotaan neliövaaaksi jos ja vain jos sitä ei voi jakaa minkään alkuluvun neliöllä. Esimerkki.9. Luku 24 ei ole neliövaaa luku, sillä se on jaollinen luvulla 4 ja 4 on alkuluvun 2 neliö. Esimerkki.0. Pienimiä neliövaaita lukuja ovat:,2,3,5,6,7,0,,3,4. 3

Lemma.. Jokainen ositiivinen luonnollinen luku n voidaan esittää yksikäsitteisenä tulona a 2 b, missä a on ositiivinen luonnollinen luku ja b on neliövaaa luku. Todistus. Jos n =, lemma selvästi itää aikkaansa. Oletetaan nyt, että n >. Aritmetiikan eruslauseen nojalla tiedetään, että luku n voidaan esittää alkulukujen otenssien tulona n = a a 2 2... a k k. Jos a i on arillinen, merkataan a i = m i tai jos a i on ariton, merkataan a i = h i. Tästä seuraa, että n = m 2 m 2...λ m λ ) j h j2 h 2... jµ h µ ) = 2e 2 2e 2...λ 2e λ ) j 2f j2 2f 2... jµ 2f µ ), missä 2e i = m i ja 2f = h i ja e i ja f i ovat luonnollisia lukuja. Nyt n = e 2 e 2...λ eλ j f j2 f 2... jµ f µ ) 2 j j2... jµ ) = a 2 b. Tässä alkuluvut ja j ovat yksikäsitteisiä ja myös luonnolliset luvut m i ja h j ovat yksikäsitteisiä, joten luonnolliset luvut a ja b ovat yksikäsitteisiä..2 Sarjoista Määritelmä.2. Olkoon x k ) reaalilukujono. Muodostetaan uusi jono s n ), jolle n s n = x k = x x 2...x n. k= Jonoa s n ) sanotaan jonoon x k ) liittyväksi osasummien jonoksi tai sarjaksi. Määritelmä.3. Mikäli on olemassa sellainen reaaliluku S, että lim s n = S n niin sanotaan, että sarja suenee ja lukua S sanotaan sarjan summaksi. Jos sarja ei suene, niin sanotaan, että sarja hajaantuu. 4

Määritelmä.4. Summaa R n = k=n sanotaan sarjan s n. jäännöstermiksi. x k = S s n Lause.5. Geometrinen sarja x k = x x 2..., k=0 missä x on reaaliluku, suenee jos ja vain jos x <. Jos x <, niin sarjan summa on x k = x. k=0 Todistus. Todistettu kurssilla Sarjat ja integraalit. Seuraus.6. Sarja k=0 x = k, x missä x on reaaliluku ätee jos ja vain jos x >. Todistus. Oletetaan, että x on sellainen reaaliluku, jolle ätee x >. Nyt sarja x k voidaan kirjoittaa muodossa k=0 k=0 ) k, x ja koska x >, niin <. Merkataan nyt = y eli sarja saa muodon x x y k. Tämä on geometrinen sarja ja y >, joten sarja suenee ja x = k. x k=0 k=0 5

Määritelmä.7 Maclaurin sarja). Olkoon fx) jatkuvasti derivoituva funktio, missä x on reaali- tai komleksiluku. Nyt fx) voidaan kirjoittaa muodossa f n) 0) fx) = x n, n! n=0 missä f n) x) tarkoittaa funktion fx) n. derivaattaa. Esimerkki.8. Olkoon fx) = e x, joten yllä olevan määritelmän mukaan e x = x x2 2! x3 3!... = n= x n n!. Lause.9 Majorantti- ja minoranttieriaate). Oletetaan, että jonoille x k ) ja y k ) on voimassa 0 x k y k, kaikilla k =, 2,... i) Jos k= y k suenee, niin k= x k suenee majoranttieriaate). ii) Jos k= x k hajaantuu, niin k= y k hajaantuu minoranttieriaate). Todistus. Todistettu kurssilla Sarjat ja integraalit. Määritelmä.20. Sarjaa n= missä n on luonnollinen luku, sanotaan harmoniseksi sarjaksi. Lause.2. Harmoninen sarja hajaantuu. Todistus. Harmoninen sarja n= n = > n= n, n ) 2 3 ) 4 5 6 7 ) ) 8 9...... ) 2 4 ) 4 8 8 8 ) ) 8 6...... 6

= 2 2 2 2... Nyt ääretön sarja... hajaantuu, eli harmoninen sarja hajaantuu 2 2 minoranttieriaatteen nojalla. Määritelmä.22. Harmonista sarjaa missä on alkuluku, sanotaan alkulukujen harmoniseksi sarjaksi. =2, Lause.23. Alkulukujen harmoninen sarja i= hajaantuu, missä = 2, 3,..., kun i =, 2,... 2 Ensimmäinen todistus Tehdään oletus, että sarja S = suenee. Oletuksen mukaan sarja S suenee. Näin on olemassa ositiivinen kokonaisluku n, jolle ätee joten n n2... < 2, k=n < 2. 2.) Määritelmä 2.. Olkoon Q m sellainen kokonaisluku, että Q m = mn, missä m =, 2,... ja N = 2... n. Lause 2.2. Luvun Q m alkulukutekijät ovat joukosta { n, n2... }. 7

Todistus. Olkoon m =, 2,... ja N = 2... n ja määritellään joukko A = {, 2,..., n }, missä, 2,..., n ovat alkulukuja. Nyt luku N on jaollinen jokaisella joukon A alkiolla. Tarkastellaan nyt tuloa mn. Tämä tulo on selvästi jaollinen kaikilla joukon A alkioilla, sillä tulo mn on N:n m. monikerta. Koska > ja mn on jaollinen kaikilla joukon A alkioilla, tästä seuraa, että jakojäännös jaettaessa lukua Q m = mn jollakin joukon A alkiolla on. Tästä seuraa, että mikään joukon A alkio ei voi olla Q m :n alkulukutekijä, niin luvun Q m alkulukutekijät ovat joukosta { n, n2...}. Lemma 2.3. Olkoon Q m kuten yllä määritelty, nyt... < Q Q 2 Q m t= k k=n ) t. Todistus. Kirjoitetaan auki sarja ) t = )... ) 2...... n n2 n n2 t= k k=n ) t...... n n2 Huomataan, että jokainen luku, joka on muotoa m n m 2 n2... ma n esiintyy sarjassa, mutta sarjassa esiintyy myös monia muita termejä. Koska jokainen luku Q m on muotoa Q m = m n m 2 n2... ma na, niin tästä seuraa, että... < Q Q 2 Q m t= k=n k ) t. Nyt summa Q Q 2... Q m ) voidaan kirjoittaa muodossa ja tästä seuraa, että m l= Q l < m l= Q l, t= 8 k k=n ) t.

Koska oletettiin, että S suenee, niin eäyhtälön 2.) nojalla m l= Q l < 2 )t. Määritelmän 2. mukaan luku m saa arvoja, 2,... joten edellinen eäyhtälö saa muodon < Q l 2 )t. l= Tiedetään, että sarja t= 2 )t suenee, sillä se on geometrinen sarja ja <. Nyt majoranttieriaatteen nojalla sarjan 2 l= Q l itäisi sueta, mikä on ristiriita, sillä sarja hajaantuu ja Q m = m= t= t= N m) = N m= m mn > N mn = N m). Joten m= Q m > N m= m, niin minoranttieriaatteen nojalla sarja m= että suenee, on eätosi. Mistä seuraa, että sarja Q m hajaantuu. Nyt oletus, hajaantuu. 9

3 Toinen todistus Määritelmä 3.. Olkoon n sellainen ositiivinen kokonaisluku, että n >. Niin, 2, 3,..., k n k, jollekin kokonaisluvulle k. Nyt jokaisen ositiivisen kokonaisluvun l n alkulukutekijät ovat joukosta {, 2,... k }. Tästä seuraa, että jokainen l voidaan ilmaista muodossa missä a i 0 ja i =, 2,..., k. a a 2 2... a k k, Määritelmä 3.2. Olkoon m sellainen kokonaisluku, jolle ätee 2 m > n. Seuraus 3.3. Jokaiselle alkuluvulle ätee m i > n ja i =, 2,..., k. Todistus. Koska 2 m > n ja 2 kaikilla i =, 2,..., k,.... Tästä seuraa m i 2 m eli m i > n. Nyt Seurauksen 3.3. erusteella m m 2... m k > n ja a a 2 2... m i... a k k > n, i =, 2,...k. Lause 3.4. Olkoon m i > n Seaurauksen 3.3. mukaisesti ja n < a a 2 2... m i... a k k tällöin k i= > n l= l. Todistus. Tiedetään, että eli = > j j=0 i m j=0 j 0

Kirjoitetaan summa m j=0 m j=0 joten tästä saadaan k i= Jos aukaistaan tulo j = > k i= j auki 2 i k i= 2 i 2 i... m i... m i saadaan summa, jonka kaikki termit ovat muotoa a a 2 2... a k k, ),... m i missä 0 a i m kaikilla i =, 2,..., k. Nyt a a 2 2... a k k luku q i,missä q i = i,i =, 2,...t ja t > n. Nyt tulo k i= 2 i q i summana... m i ) ). 3.) on jokin luonnollinen ) voidaan kirjoittaa luonnollisten lukujen q q 2... q t. Summassa esiintyy kaikki luvut,,...,, mutta summassa esiintyy myös 2 n monia muita ositiivisia termejä. Tästä seuraa. k i= 2 i eli Eäyhtälöstä 3. saadaan k i= Lause 3.5. Olkoon alkuluku, nyt missä i =, 2,..., k.... m i > n l= l ) > ln <, 2 i n l= l

Todistus. Logaritmien laskusääntöjen nojalla ) ln = ln i Tiedetään myös, että ln x) = x x2 2 jos x <. Nyt <, sillä >, joten ) ln i = 2 2 i = 2 2 i < 2 2 i = 2 2 i... )n xn n..., 3 3 i = 2 2 i 2 3 i 4 4 i 2 4 i 3 3 i 2 i....... )... Koska on jokin alkuluku, niin 2. Tästä seuraa eli 2 2 4 4 i )... ja Näin ollen ln < 2 2 i. 2 2 2 i 2 =, 2 i joten kun i =, 2,...k. ln <, 2 i 2

Lauseen 3.5. nojalla k ln < Toisaalta i= k ln i= = ln = ln i= k i= k i= ln 2... 2 i < k i= 2... ln k ) = ln k i= l= l 2. 3.2) k. Yhdistämällä Lause 3.4. ja eäyhtälö 3.2) saadaan uusi eäyhtälö k k n ) l > ln 2 > ln. 3.3) l l= Nyt eäyhtälöstä 3.3) seuraa k i= > ln i= n l= l ) l. 2 l= Jos n, siten myös k. Tiedetään, että l =, joten Tiedetään myös, että suenee reaaliluvuksi, joten ln l= ln l= n l= l ) =. l= l 2 ) l hajaantuu. Näinä minoranttieriaatteen nojalla sarja hajaantuu. 3 l= l 2 l=

4 Kolmas todistus Määritelmä 4.. Olkoon sarja S N määritelty, että S N = N n= n, missä N on luonnollinen luku ja n on alkuluku. Näin ollen e S N = e 2... N = N n= e n. 4.) Lause 4.2. e S N > q N q, missä q on Määritelmän.8 mukainen neliövaaaluku. Todistus. Nyt Esimerkin.8. mukaan joten ja tästä selvästi seuraa, että Nyt yhtälöstä 4.) saadaan e x = n= x n n!, e n =... n 2! 2 n 3! 3 n e n > n. e S N > N ). n n= Avataan nyt tuloa N ) n = 2 n= ) 3 )... ) N 4

= 2 3 ) )... ) 2 3 5 N = t t 2 2... t, N N missä = 2, 3,... N ja t = 0 tai t =. Nyt nimittäja saa jokaisen arvon joukosta {, 2,..., k j,..., 2... N }, missä k j on määritelmän.8 mukainen neliövaaaluku. Koska 2... N > N, niin nimittäjien joukossa esiintyy ainakin jokainen neliö vaaa luku k N. Merkitään tätä lukua q:lla. Tästä seuraa, että N n= ) > n q, q N joten myös e S N > q N q. Lause 4.3. Oletetaan, että lukujono S N suenee reaaliluvuksi lim S N = S, N missä S on reaaliluku. Tällöin on selvää, että S > S N, ja e S > q N q, 4.2) jokaisella luonnollisella luvulla N. Lause 4.4. Olkoon D sellainen reaaliluku, että D > N a= a 2, missä a on luonnollinen luku. Nyt luvuille q ja D ätee eäyhtälö q N q > D missä n on luonnollinen luku ja N. 5 N n= n,

Todistus. Lemman. nojalla tiedetään, että jokainen ositiivinen luonnollinen luku n voidaan esittää muodossa a 2 q, missä q on neliö vaaa luku, joten voidaan esittää yhtälö q N ) q N a= missä N. Lisäksi tiedetään, että sarja N a= a > N 2 n, 4.3) a 2 n= suenee. Nyt voidaan valita sellainen reaaliluku D, että D > N a= a 2. Tästä seuraa q N q > D N n= n. Koska tiedetään, että sarja hajaantuu seuraa tästä, että n= n D N n= n > es, sillä N voidaan valita mielivaltaisen suureksi. Näin ollen q > es, q N mikä on ristiriita eäyhtälö 4.2) kanssa. Joten oletus, että lim S N = S, N 6

on eätosi. Siisä sarja hajaantuu. n= n 5 Neljäs todistus Oletetaan, että sarja suenee, joten on olemassa sellainen kokonaisluku k, että Nyt myös ätee eäyhtälö missä x on ositiivinen kokonaisluku. P... < k k2 2. x x... < x k k2 2, 5.) Määritelmä 5.. Olkoon Nx, k ) kaikkien sellaisten kokonaislukujen n lukumäärä, missä n x ja n ei ole jaollinen millään alkuluvulla ehdolla > k. Lause 5.2. Luvulle n on olemassa enintään 2 k x arvoa, eli Nx, k ) 2 k x. Todistus. Nyt Lemman. mukaan mielivaltainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa n = m 2 m, missä m on jokin kokonaisluku ja m = 2 b 3 b2 b i i b i = ja i =, 2,..., k. Nyt luku b i b k k, missä b i = 0 tai voi saada arvon tai, joten luvulle m on yhteensä 2 k mahdollista arvoa ja n = m m, ja tästä saadaan, että m n x. Joten näin ollen luvulle m on olemassa enintään x arvoa. Tämä tarkoittaa, että luvulle n on olemassa enintään 2 k x arvoa. 7

Lause 5.3. Alkuluku k voiaan siten, että k > x mikäli x on arillinen tai 2 jos x on ariton niin k > x. Näin ollen luvulle n on olemassa enemmän 2 kuin x arvoa, eli 2 Nx, k ) > x 2. Todistus. Alkuluku k on valittu siten, että k > x mikäli x on arillinen 2 tai jos x on ariton niin k > x. Koska mikään kokonaisluku, 2, 3,... 2 k ei selvästi ole jaollinen alkuluvulla, sillä > k, näin ollen Nx, k ) > x 2. Seuraus 5.4. Yhdistämällä Lauseet 5.2 ja 5.3 saadaan, että x 2 < Nx, k) 2 k x. Kuitenkin jos luku x valitaan siten, että x 2 2k2 Seuraus 5.4 on eätosi, sillä eäyhtälön mukaan x 2 < 2k x, eli x < 2 2k2, joten luvun x tulisi olla ienemää kuin 2 2k2. Näin ollen sarja hajaantuu. P 8

Lähdeluettelo [] Michael Th. Rassias,Problem-Solving and Selected Toics in Number Theory. [2] Kari Myllylä, Algebralliset rakenteet luentorunko 206. [3] Mahmoud Filali, Sarjat ja Integraalit luentomoniste 206. 9