MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Idea
Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon A R n n ja b R n. Tarkastellaan tehtävää Ax = b. Tällä kurssilla pohdimme mm. seuraavia kysymyksiä: Milloin tehtävällä on ratkaisu? Milloin ratkaisu on yksikäsitteinen? Miten ratkaisu muuttuu, jos matriisi A tai vektori b muuttuu hieman? Miten tarkasti tällainen yhtälö voidaan ratkaista tietokoneella? Kurssi loppupuolella tarkastelemme vastaavaa lineaarista differentiaaliyhtälöä x = Ax, sen ratkaisuita ja ominaisuuksia. 1 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Sisältö Vektoriavaruudet Lineaarikuvaukset Normi, sisätulo, ortogonaalisuus PNS-menetelmä ja QR-hajotelma Matriisinormi ja häiriöalttius Ominaisarvoteoriaa Matriisihajotelmat Matriisieksponentti Differentiaaliyhtälöt DY-systeemin ratkaisujen tyypit ja luokittelu Stabiilius, tasapainopisteet ja linearisointi 2 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektoriavaruus
Vektoriavaruus Vektoriavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Vektoriavaruuksia käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Skalaarit kuuluvat tiettyyn kerroinkuntaan K, esim. R tai C. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi (vaikka ne siis eivät ollenkaan aina ole perinteisiä vektoreita). 3 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektoriavaruus Määritelmä 1 Joukkoa V sanotaan vektoriavaruudeksi, jos V :n alkioille on määritelty yhteenlasku + : V V V ja skalaarilla kertominen : K V V siten, että (1) (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V (liitäntälaki) (2) On olemassa alkio 0 V, (nolla-alkio) s.e. v + 0 = v v V (3) jokaisella v V on olemassa v V s.e. (vasta-alkio) v + ( v) = 0 (4) u + v = v + u u, v V (vaihdantalaki) (5) α (u + v) = α u + α v α K, u, v V (osittelulaki) (6) (α + β) v = α v + β v α, β K, v V (osittelulaki) (7) α (β v) = (α β) v α, β K, v V (liitäntälaki) (8) 1 v = v v V. (yksikköalkio) 4 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektoriavaruus Esimerkki 2 (Vektoriavaruuksia) R, R 2, R n varustettuna tutuilla kerto- ja yhteenlaskuilla V = {v R 2 v 2 = mv 1 }, tavalliset tason vektorien yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen Kaikkien reaalisten m n -matriisien muodostama joukko R m n, matriisien yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen Korkeintaan toista astetta olevien x :n polynomien joukko P 2 = {p p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, a 0, a 1, a 2 C}, polynomien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen samoin P n, P välillä [a, b] jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukko C[a, b] 5 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektoriavaruus Esimerkki 3 (Eivät vektoriavaruuksia) V = {v R 2 v 2 = mv 1 1}, eli ne tason vektorit, jotka muodostavat suoran y = mx 1. V ei voi olla vektoriavaruus koska 0 V. W = {(x, sin(x)) x R} normaalein vektorien laskusäännöin ei ole vektoriavaruus, sillä (π/2, sin(π/2)) + (π, sin π) = (3π/2, 1) (3π/2, sin(3π/2)). 6 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektorialiavaruus Määritelmä 4 K -kertoimisen vektoriavaruuden V ei-tyhjä osajoukko S V on V :n aliavaruus, jos pätee a) u, v S u + v S, b) v S, α K α v S, kun käytetään V :ssä määriteltyjä laskutoimituksia. Ehdot a) ja b) voidaan kirjoittaa yhteen ekvivalentiksi ehdoksi: u, v S, α, β K α u + β v S. 7 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektorialiavaruus Esimerkki 5 Vektoriavaruuden R 3 kaikki vektorialiavaruudet ovat triviaaliavaruus {(0, 0, 0)} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot avaruus R 3 itse Esimerkki 6 Onko S = {v R 2 v 1 0} vektoriavaruuden R 2 aliavaruus? Ei, sillä S ei ole skalaarilla kertomisen suhteen suljettu: esim. 1 (1, 1) / S. 8 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Vektorialiavaruus Määritelmä 7 Ei-tyhjän joukon S V viritelmä (engl. span) sp(s) on kaikkien S :n alkioista muodostettujen lineaarikombinaatioiden joukko eli sp(s) = { u V u = n a i s i, a i K, s i S, 1 n < }. i=1 Viritelmä on aina alkuperäisen joukon aliavaruus. Jos U = sp(v 1,..., v k ), vektorijoukko {v 1,..., v k } virittää U :n. 9 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kanta
Kanta Määritelmä 8 Vektoriavaruuden osajoukko {v 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippumaton, jos nollavektori voidaan esittää näiden lineaarikombinaationa vain siten, että kaikki kertoimet ovat nollia, eli kun c 1 = c 2 = = c n = 0 on yhtälön c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c n v n = 0 ainoa ratkaisu. Jos muitakin ratkaisuja on, niin joukkoa {v 1, v 2,..., v n } sanotaan lineaarisesti riippuvaksi. 10 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kanta Lause 9 Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippuva jos ja vain jos jokin vektoreista voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Esimerkki 10 Olkoon p 1 (t) = 1, p 2 (t) = t, p 3 (t) = 4 t. Joukko {p 1, p 2, p 3 } P 1 on lineaarisesti riippuva, sillä p 3 = 4p 1 p 2. 11 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kanta Määritelmä 11 Vektoriavaruuden V äärellistä osajoukkoa B = {b 1, b 2,..., b n } sanotaan V :n kannaksi, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää V :n. Vektoriavaruuden V dimensio, dim(v ), on V :n kantavektoreiden lukumäärä. Dimension määritelmä on järkevä: vaikka kantavektorit voidaan valita monella tavalla, niitä on aina sama määrä! Tämä nähdään seuraavasta: Lause 12 Olkoon V vektoriavaruus. Jos joukko {w 1, w 2,..., w n } virittää V :n ja {v 1, v 2,..., v k } V on lineaarisesti riippumaton joukko, niin n k. 12 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kanta Sanotaan, että vektoriavaruus V on ääretönulotteinen, dim(v ) =, jos on olemassa vektorijono {v 1, v 2,... } V siten, että joukko {v 1,..., v n } on lineaarisesti riippumaton kaikilla n N. Esimerkki 13 Ääretönulotteisia vektoriavaruuksia ovat esim. kaikkien rajoitettujen lukujonojen joukko l kaikkien polynomien muodostama avaruus P kaikkien välillä [a, b] jatkuvien funktioiden vektoriavaruus C[a, b] 13 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kanta Lause 14 Jos dim(v ) = n ja {v 1,..., v n } V on lineaarisesti riippumaton, niin se on V :n kanta. Lause 15 Jos B = {b 1, b 2,..., b n } on vektoriavaruuden V kanta, niin jokainen vektori v V voidaan esittää muodossa v = c 1 b 1 + c 2 b 2 + + c n b n täsmälleen yhdellä tavalla. 14 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kannanvaihto
Kannanvaihto Ongelma: tunnetaan vektorin esitys kannassa B = {b 1, b 2,..., b n } ja halutaan vaihtaa toiseen kantaan U = {u 1, u 2,..., u n }. Merkitään vektorin v koordinaatteja näissä kannoissa [v] B = (β 1,..., β n ) ja [v] U = (η 1,..., η n ). Jos b j = n i=1 s ij u i, j = 1,..., n, niin v = n η i u i = i=1 n β j b j = j=1 n j=1 β j n s ij u i = i=1 n ( n ) s ij β j u i. i=1 j=1 Vektorin koordinaatit (kannassa U ) ovat yksikäsitteiset, joten η i = n j=1 s ij β j, i = 1,..., n. 15 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kannanvaihto s 11... s 1n Merkitään S =... s n1... s nn Tällöin koordinaattien välinen yhtälö on [v] U = S [v] B. Matriisia S kutsutaan kannanvaihtomatriisiksi. Se on aina kääntyvä, joten vanhat koordinaatit saadaan uusista vastaavasti [v] B = S 1 [v] U. 16 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kannanvaihto Esimerkki 16 Tarkastellaan R 2 :n kantoja B = {b 1, b 2 } ja C = {c 1, c 2 }, missä [ ] [ ] [ ] [ ] 9 5 1 3 b 1 =, b 2 =, c 1 =, c 2 =. 1 1 4 5 Etsi kannanvaihtomatriisi kannasta B kantaan C. Ratkaisu: Halutaan siis löytää kertoimet, joilla B:n kantavektorit voidaan esittää C:n kantavektorien avulla, eli kertoimet x 1, x 2, y 1, y 2 siten, että [ ] [ ] x 1 c 1 c 2 x 2 = b 1 ja [ ] [ ] y 1 c 1 c 2 = b 2. y 2 17 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Kannanvaihto Yhtälöt voidaan ratkaista kerralla tekemällä liittomatriisi [c 1 c 2 b 1 b 2 ] ja käyttämällä siihen Gaussin algoritmia. Saadaan [ ] 1 3 9 5 4 5 1 1 [ ] 1 0 6 4. 0 1 5 3 [ ] 6 4 Kannanvaihtomatriisi B:stä C:hen on siis. 5 3 [ ] [ ] [ ] 1 6 4 1 Esimerkiksi, jos [v] B =, niin [v] C = 0 5 3 0 [ ] 6 =. 5 18 / 100 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet