Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa. Hylkäämisalue 9,488 4,35 Vastaus: Kuusamo lukiossa valmistui yhtä mota ylioppilasta vuosittai vuosia 1998-00 5%: merkitsevyystasolla. HARJOITUSKOE 1 1. Kirjasto käyttäjiä 500 Otoskoko aiaki 10 500 Poimitaväli 0, 83... 10 Vastaus: Poimitaväli korkeitaa 0.. a) Satuaisotataa tai ryväsotataa käyttäe b) Systemaattista otataa käyttäe 90 autoa autoa 3. Autoja keskimääri miuutissa µ 15, 60 mi mi Koska autoja meee harvakseltaa, käytetää Poissoi jakaumaa. k P(X k) µ µ e k! Todeäköisyys, että yhde miuuti aikaa ei saavu yhtää autoa. P(X k) µ k µ µ 15, e k! k 0 0, 15, P(X 0) 15 e 0! e 15, 0,3 Todeäköisyys, että yhde miuuti aikaa saapuu 4 autoa. P(X k) µ k µ µ 15, e k! k 3, tai 4 P(A) P(X ) + P(X 3) + P(X 4) 15 3 4, 15, 15, 15, 15, 15, e + e + e! 3! 4! 108
0,51 + 0,15 + 0,047 0,44 Vastaus: Yhde miuuti aikaa ei saavu yhtää autoa todeäköisyydellä 0,3. Yhde miuuti aikaa saapuu 4 autoa todeäköisyydellä 0,44. 4. A "Seitselapsisessa perheessä aiaki yksi poika" A "Seitselapsisessa perheessä ei yhtää poikaa" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k H G I K J Seitsehekisessä perheessä ei yhtää poikaa F P k p k q k k k H G I 7 K J 0 p 0513, q 1 0513, 0487, F H G I K J 7 0 0 7 P 0,, 0513 0487 0487, 7 Kysytty todeäköisyys P(A) 1 P( A ) 1 0, 487 7 1 0,00649 0,994 Vastaus: Seitselapsisessa perheessä aiaki yksi poika todeäköisyydellä 0,994. 5. Autoilijoide keskiopeus 9,0 km/h Nopeuksie keskihajota 8,0 km/h Autoilija opeus välillä 100 10 km/h F 100 9, 0 10 9, 0 P(100 < X < 10) P < Z < HG 80, 80, P(1,0 < Z < 3,5) P(Z < 3,5) P(Z 1,0) Φ(,) 35 Φ(,) 10 0,9998 0,8413 0,1585 15,9 % I KJ 109
1,0 3,5 Vastaus: Autoilijoista 15,9 prosettia voisi saada rikesako. 6. Otoskoko 7 Pakkauste keskipaio x x 490 + 510+... + 508 7 500, 71... Keskihajoa tiedetää oleva 8,0 g Vapausasteluku f 1 7 1 6 Koska otoskoko o piei 95%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa Studeti t-jakaumasta z,447 Luottamusväli L NM x z O L NM s x z s + QP,,,..., +, 500 71 447 80 ;,..., 7 500 71 447 80 7 493, 508 Vastaus: Pakkauksie keskipaio 95%: luottamusväli o 493, 508 g. 7. Taulukoidaa tiedot. Lasku ( ) x f sf 0 499 49,5 98 98 500 999 749,5 151 449 1 000 1 499 1 49,5 3 481 1 500 1 999 1 749,5 0 501 000 499 49,5 13 514 500 999 749,5 9 53 3 000 3 499 3 49,5 7 530 3 500 3 999 3 749,5 3 533 Asiakkaita yhteesä 533 533 Ku ostoste suuruus asetetaa suuruusjärjestyksee keskimmäie o k Kyseie havaito kuuluu luokkaa 0 499. Mediaai Md 499 + 0 49, 5 50 ( ) O QP 66, 5 110
Ostoste keskiarvo f x x 98 49, 5+ 151 749, 5+... + 3 3 749, 5 533 657, 56... 660 Keskihajota f x x s ( ) 1 98 ( 49, 5 657, 56...) + 151 ( 749, 5 657, 56...) +... + 3 ( 3 749, 5 657, 56...) 7 1 663, 0... 660 Vastaus: Mediaai 50, keskiarvo 660 ja keskihajota 660. 8. Asetetaa hypoteesit H 0 : Kaikki kahvilat ovat yhtä suosittuja eli tilasto oudattaa tasaista jakaumaa. H 1 : Kaikki kahvilat eivät ole yhtä suosittuja. Tehtävä kysymys tarkoittaa, että o tutkittava oko jakauma tasaie eli ovatko kaikkie sukuimie frekvessit samat. Tästä syystä käytetää χ -testiä. 314 + 1 997 + 16 + 15 Lasketaa teoreettie frekvessi e i 163 4 Koska kyseessä o tasaie jakauma, kaikkie luokkie teoreettie frekvessi o sama. Kahvila o i e i (o i e i ) ( oi ei) e A 314 163 ( 314 163) ( 314 163) 163 B 1 997 163 (1 997 163) ( 1997 163) 163 C 16 163 ( 16 163) ( 16 163) 163 D 15 163 ( 15 163) ( 15 163) 163 i 10,541 1,739 1,98 0,667 111
Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 10, 541... + 1, 739... + 1, 98... + 0, 667... 5, 4 Vapausasteluku f 1 4 1 3 Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 11,345. Koska laskettu arvo 5,4 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 11,345, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 11,345 5,4 Vastaus: Nuorisokahvilat eivät ole yhtä suosittuja 1 %: merkitsevyystasolla. HARJOITUSKOE 1. a) Järjestysasteikko Keskilukuia moodi, mediaai ja fraktiilit b) Välimatka-asteikko Keskilukuia moodi, mediaai, fraktiilit ja keskiarvo c) Luokitteluasteikko Keskilukua moodi d) Suhdeasteikko Keskilukuia moodi, mediaai, fraktiilit ja keskiarvo. Ryhmässä 16 tyttöä ja 1 poikaa. a) A "Neljä hege otoksessa kaikki poikia" Ryhmä koko 1 + 16 8 Ryhmässä poikia 1 F Alkeistapauksia kaikkiaa H G 8I K J 0 475 4 F Suotuisia alkeistapauksia k H G 1I K J 4 Todeäköisyys P(A) k 495 11 0 475 455 004, 495 11
b) A "Neljä hege otoksessa kaikki ovat samaa sukupuolta" "Neljä hege otoksessa kaikki ovat joko poikia tai tyttöjä" Todeäköisyys, että kaikki ovat poikia o a-kohda perusteella Lasketaa todeäköisyys, että kaikki ovat tyttöjä. Ryhmä koko 1 + 16 8 Ryhmässä tyttöjä 16 F Alkeistapauksia kaikkiaa H G 8I K J 0 475 4 F Suotuisia alkeistapauksia k H G 16I K J 180 4 Tyttöje todeäköisyys P(A) k 180 0 475 4 4095 Kysytty todeäköisyys 11 4 463 P(A) + 0113, 455 4 095 4095 11 Vastaus: a) Kaikki ovat poikia todeäköisyydellä 455 b) Kaikki ovat samaa sukupuolta todeäköisyydellä 004, 463 4095 11 455 0113, 3. Taulukoidaa kahde opa heitossa saatavat silmälukuje tulo arvot. Noppa 6 6 1 18 4 30 5 5 10 15 0 5 30 4 4 8 1 16 0 4 3 3 6 9 1 15 18 4 6 8 10 1 1 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1. Noppa Jokaise tulo todeäköisyys p i 1 113
Todeäköisyydet x i f i p i p i x i 1 1 1 1 1 1 4 3 3 6 4 3 3 3 4 1 5 5 10 6 4 4 4 6 4 8 8 16 9 1 1 1 1 1 10 10 0 1 4 4 4 1 48 15 15 30 16 1 1 1 16 16 18 18 0 0 40 4 4 48 5 1 1 1 5 5 30 30 60 1 1 1 114
Odotusarvo E( X ) px i i i 1 1 4 6 1 + + +... + 441 1 1 4 Vastaus: Kahde opa heitossa silmälukuje tulo odotusarvo o 1 1 4. 4. Otoskoko 400 Kiertokertoje keskiarvo x 15 kiertokertaa. Keskihajota s 10 kiertokertaa Koska keskihajota tiedetää ja otoskoko o suuri 95%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa ormaalijakaumasta z 1,96 Luottamusväli L NM x z O L NM s x z s + QP 10, 15 1, 96 ;... +, 400 15 1 96 10 400 14, 16 O QP Vastaus: Virvoitusjuomapulloje kiertokertoje 95%: luottamusväli o 14, 16 kiertokertaa. 5. a) Otoskoko 9 Pakkauste keskipaio x x 149 + 151+... + 169 9 158, 11... 158 115
Keskihajota s ( x x ) 1 ( 149 158, 11...) + ( 151 158, 11...) +... + ( 169 158, 11...) 9 1 6, 881... 688, b) Herkkusieipakkauste paio oudattaa jakaumaa X ~ N(158,11 ;6,881 ) Todeäköisyys, että seuraava pakkaus paiaa yli 160 g F 160 158, 11... I P(X > 160) P Z > HG 6881,... KJ P(Z > 0,74 ) 1 Φ( 074,...) 1 0,6081 0,3919 0,39 0,74 c) Otoskoko 9 Keskiarvo x 158, 11...g Keskihajota s 6,881 g Vapausasteluku f 1 9 1 8 Koska keskihajotaa ei tiedetä ja otoskoko o piei 99%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa Studeti t-jakaumasta z 3,355 Luottamusväli Lx z s x z s O L + NM QP,...,,..., NM +,... 158 11 3 355 6881 ; 158, 11... 3, 355 6881 8 8 150, 166 Vastaus: a) Pakkauksie keskipaio o 158 g ja keskihajota 6,88 g. b) Seuraava pakkaukse paio suurempi kui 160 g todeäköisyydellä 0,39. c) Pakkauksie keskipaio 99%: luottamusväli o 150, 166 grammaa. 6. Kymmee sekui aikaa tehdää keskimääri 700 matkaa 700 matkaa 700 matkaa µ 3888,... 05, h 05, 60 6 10 s 180 10 s 116 matkaa 10 s O QP
A "Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa yli 5 taksimatkaa" A " Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa korkeitaa 5 matkaa" " Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa 0, 1,, 3, 4 tai 5 matkaa" Poissoi jakauma P(X k) µ k µ µ 388,... e k! k 0134,,,, tai 5 Todeäköisyys P(A) 1 P( A ) F HG 1 388 0 1 3 4 5,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... 388,... e + e + e + e + e + e 0! 1!! 3! 4! 5! 1 (0,004 + 0,0795 + 0,1547 + 0,006 + 0,1950 + 0,1517 ) 1 0,80 0,0 Vastaus: Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa yli 5 taksimatkaa todeäköisyydellä 0,0. 7. Asetetaa hypoteesit H 0 : Koti- ja vapaa-aja tapaturmie määrillä ei ole eroa eri kuukausia. H 1 : Koti- ja vapaa-aja tapaturmie määrillä o eroa eri kuukausia. Tehtävä kysymys tarkoittaa, että o tutkittava oko jakauma tasaie eli ovatko kaikkia kuukausia tapaturmie frekvessit samat. Tästä syystä käytetää χ -testiä. 90 + 60 + 770+... + 70 Lasketaa teoreettie frekvessi e i 795 1 Koska kyseessä o tasaie jakauma, kaikkie luokkie teoreettie frekvessi o sama. Kuukausi o i e i ( oi ei) ei tammikuu 90 795 ( 90 795) 30,78 795 helmikuu 60 795 ( 60 795) 38,5 795 maaliskuu 770 795 0,78 huhtikuu 60 795 38,5 toukokuu 630 795 34,4 kesäkuu 670 795 19,65 heiäkuu 960 795 34,4 elokuu 1 150 795 158,5 syyskuu 1 050 795 81,79 lokakuu 910 795 16,63 marraskuu 1 150 795 158,5 joulukuu 70 795 7,07 117 I KJ
Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 30, 78... + 38, 5... + 0, 78... +... + 7, 07... 909 Vapausasteluku f 1 1 1 11 Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: riskitasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 4,75. Koska laskettu arvo 909 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 4,75, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 4,75 909 Vastaus: Tapaturmie määrällä eri kuukausie aikaa o eroa. 8. Tutkimukse tuusluvut tuusluku tytöt pojat x 5,47 6,48 s 3,76 3,41 105 73 Asetetaa hypoteesit H 0 : Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä ei eroa toisistaa. x x H 1 : Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä eroaa toisistaa. x x Koska perusjouko hajotaa ei tueta käytetää t-testiä. Testimuuttuja x1 5, 47 x 6, 48 x1 x 1 105 t F s + sif + I 73 1 1 1 HG + KJ HG KJ s 1 1 1 376, s 341, 5, 47 6, 48 F 105 3, 76 + 73 3, 41I + HG + K J F 105 73 105 73 HG 105 73 3, 465 I K J 1 1 118
Vapausasteluku f 1 + 105 + 73 176 Kaksisuutaise t-testi kriittiset arvot 1 %: riskitasolla ±601, Testimuuttuja arvo 3,465 o pieempi kui kriittie arvo,601. Se kuuluu siis hylkäämisalueesee, jote H 0 hylätää 1 %: riskitasolla. Hylkäämisalue Hylkäämisalue,601,601 3,465 Vastaus: Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä poikkeaa toisistaa 1 % riskitasolla. HARJOITUSKOE 3 1. Järjestetää hiihtolekkie pituudet (km) suuruusjärjestyksee. 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 1, 1, 1, 1, 15, 17, 5 Moodi Mo 1 km (suuri frekvessi) Mediaai Md 10 km (suuruusjärjestyksessä keskimmäie) Keskiarvo x x 7 + 6 + 5 +... + 1 15 10, 6 Vaihteluväli pituus R 5 km 5 km 0 km Keskihajota x x s ( ) ( 7 106, ) + ( 6 106, ) + (5 106, ) +... + ( 1 106, ) 15 53, Vastaus: Moodi 1 km, mediaai 10 km, keskiarvo 10,6 km, vaihteluväli pituus 0 km ja keskihajota 5,3 km. 119
. A "Jai voittaa koko ottelu" "Jai voittaa kaksi seuraavaa erää" Jai voittaa erä todeäköisyydellä 60% 0,60 Todeäköisyys P(A) 06, 06, 0, Vastaus: Jai voittaa koko ottelu todeäköisyydellä 0,. 3. Tehtävä pitäisi ratkaista käyttäe biomijakaumaa, koska tällöi vastaus o täsmällee oikea. Tehtävässä voi kuiteki korvata biomijakauma ormaalijakaumalla, koska toistoje määrä o suuri. Seuraavassa esitetää molemmat tavat vielä site, että ormaalijakaumassa käytetää ja ei käytetä jatkuvuuskorjausta. A "Aiaki 15 maalia 0 rakkarista" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k H G I K J Rakkareide lukumäärä 0 Oistueide rakkareide lukumäärä k 15, k 16, k 17, k 18, k 19 tai k 0 Yhde rakkari oistumistodeäköisyys p 65% 0,65 Vastatapaukse todeäköisyys q 1 p 1 0,65 0,35 Todeäköisyys P(A) F P 15 +P16 + P17 + P18 + P19 + P0 H G 0I K J F + H G I K J F + H G I K J 15 065 15 035 5 0 F 16 065 16 035 4 0 17 3,,,, 065, 035, + H G I K J F 17 0 + H G I K J F + H G I K J 18 065 035 0 19 065 035 0,,,, 065, 035, 0 18 19 1 0 0 0,171 + 0,0738 + 0,03 + 0,0099 + 0,0019 + 0,0001 0,45 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0,45. 3. Vaihtoehtoie ratkaisutapa ormaalijakaumalla ilma jatkuvuuskorjausta: Rakkareide oistumiste lukumäärää voidaa arvioida ormaalijakaumalla, joka parametrit ovat: odotusarvo x p 0 0, 65 13 keskihajota s pq 0 0, 65 0, 35 4, 55, 133.... Todeäköisyys, että aiaki 15 rakkaria oistuu F 15 13I P(15) P Z Laskussa ei käytetä jatkuvuuskorjausta. 455, HG KJ 10
P(Z 0,937 ) 1 Φ( 0, 937...) 1 0,864 0,174 0,937 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0,174. 3. Vaihtoehtoie ratkaisutapa ormaalijakaumalla jatkuvuuskorjausta käyttäe: Todeäköisyys, että aiaki 15 rakkaria oistuu. F HG I KJ 14, 5 13 P(15) P Z 455, P(Z 0,703 ) 1 Φ( 0703,...) 1 0,7580 0,4 Laskussa käytetää jatkuvuuskorjausta. 0,703 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0,4. 90 4. Jääkiekkoilija tekee ottelussa keskimääri µ maalia 0565, maalia 160 Koska maaleja tehdää vähä ottelua kohde, käytetää Poissoi jakaumaa. P(X k) µ µ e k! k a) Todeäköisyys, että pelaaja tekee seuraavassa ottelussa yhde maali. P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 1 P(X 0) 0, 565 e 1! 0,305 0,3 1 0565, 11
b) Todeäköisyys, että pelaaja tekee seuraavassa ottelussa aiaki yhde maali. A "Seuraavassa ottelussa aiaki yksi maali" A " Seuraavassa ottelussa ei yhtää maalia" P( A ) P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 0 Kysytty todeäköisyys P(A) 1 P(X 0) 1 0 565 0, 0565, e 0! 1 e 0565, 1 0,5697 0,43 c) A "Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa korkeitaa yhde maali" "Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa 0 tai 1 maalia" P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 0 tai 1 Kysytty todeäköisyys P(A) P(X 0) + P(X 1) 0 565 0 1, 0565, 0565, 0, 565 e + e 0! 1! 0,305 + 0,5697 0,89 Vastaus: Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa a) yhde maali todeäköisyydellä 0,3 a) aiaki yhde maali todeäköisyydellä 0,43 c) korkeitaa yhde maali todeäköisyydellä 0,89. 5. Kompoettie leveyde odotusarvo µ 10, 0 mm Normitetaa leveys Z X x X 13, 0 mm s x 10, 0 mm 13, 0 10, 0 3, 0 Z s s Todeäköisyys P(117,0 < X < 13,0) 0,04 0,96,0 %,0 % 3,0 s 1
Kuviosta P(X < 13,0) 1 004, 098, Taulukkokirjasta Φ( 05, ) 098, 0,98 Kuvioista 30, 05, s s 30, 05, s : 05, s 146, (mm),05 Vastaus: Levyje leveyde keskihajota oli 1,46 mm. 6. Asetetaa hypoteesit H 0 : Akkuje kestoikä o 1 00 h. ( µ 100h) H 1 : Akkuje kestoikä o alle1 00 h. ( µ < 1 00 h) Akkuje kestoiä keskiarvo x x 11+ 145+ 1096+... + 145 10 1139, 6 Keskihajota x x s ( ) 1 ( 11 1139, 6) + ( 11 1139, 6) +... + ( 11 1139, 6) 10 1 1,... 6 137 Koska perusjouko keskihajotaa ei tueta, ii käytetää t-testiä. Testimuuttuja x 1139, 6 x µ µ 1 00 t s s 1, 6... 10 13
1139, 6 1 00 1, 6... 10 1397,... Vapausasteluku f 1 10 1 9 Yksisuutaise t-testi kriittiset arvot 1 %: riskitasolla ±35, Testimuuttuja arvo 1,397 ei kuulu hylkäämisalueesee, jote H 0 pysyy voimassa 1 % riskitasolla. Hylkäämisalue Hylkäämisalue 3,5 1,397 3,5 Vastaus: Valmistaja ilmoittama aku käyttöikä ei ole liia suuri. 7. a) Haastateltuje lukumäärä 1 000 Polkupyörä omistavie osuus p $ 0838, Polkupyörää ei omistaut q$ 1 p$ 1 0838, 016, Normaalijakaumasta saatava 95%: luottamusväli kriittie arvo z 1,96 Luottamusväli L NM p$ z O P L M pq $$ pq $$,,, p $ + z,,,,, QP 0 838 0 16 0 838 1 96 0838+ 196 NM 1 000 0815, ; 0861, b) Suomalaisista omistaa pyörä 95 %: todeäköisyydellä 0815, 5, ; 0861, 5, milj. 4, ; 45, milj. 0, 838 0, 16 1000 O QP Vastaus: a) Polkupyörä omistavie suomalaiste 95%: luottamusväli o 0, 815; 0, 861. b) Suomalaista 4, 4,5 miljooaa omistaa polkupyörä. 8. Asetetaa hypoteesit H 0 : Vaalitulokset oudattivat samaa jakaumaa. H 1 : Vaalitulokset eivät oudattaeet samaa jakaumaa. Testataa yhteesopivuutta, jote käytetää χ -testiä. Käytetää vuode 000 vaalitulosta havaitoarvoia o i. Lasketaa teoreettie frekvessi e i vuode 1996 vaalitulokse suhteellisea osuutea. Paikkoja vuoa 1996: 4 65 + 559 + + 338 10 577 Paikkoja vuoa 000: 4 459 + 743 + + 9 10 789 14
Puolue o i 1996 e i ( oi ei) e Keskusta 4 459 4 65 465 10 789 10 577 ( 4 459 4 717, 70...) 4 717, 70... 4 717,70 SDP 743 559 559 10 789 10 577 ( 743 610, 9...) 610, 9... 610,9 Kokoomus 167 08 068,64 4,676 Vasemmisto- 1 18 1 07 1047,58 6,17 liitto Vihreät 9 338 344,77 8,078 i 14,186 6,746 Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 14, 186... + 6, 746... +... + 8, 078... 39, 86 Vapausasteluku f 1 5 1 4 Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: riskitasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 13,77. Koska laskettu arvo 39,86 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 13,77, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 13,77 39,86 Vastaus: Vaalitulokset eivät oudata samaa jakaumaa. 15