Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() = 4 + = 0, joten piste (, 0) on kuvaajalla. d) B 3. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 3 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. e) F Toisen asteen polynomifunktio, ylöspäin aukeava paraabeli. f) C Toisen asteen polynomifunktio, alaspäin aukeava paraabeli.
K. a) (x + 3) + 3x = (x) + 3 + 3 + 3x = 4x + x + 9 + 3x = 7x + x + 9 b) (3 x)(3 + x) x = (3 x ) x = 9 x x = x + 9 c) (x 3 + )(x 3 ) = (x 3 ) = x 6 d) (x + )(x )(x + ) = (x )(x + ) = (x ) = x 4 K3. a) x(3x + 4) + = 6x + 8x + b) 3(x ) + x( 4x + 5) = 6x 3 4x + 5x = 4x + x 3 c) (x )(x + 3) = (x + 6x x 3) = (x + 5x 3) = x 5x + 3 d) (3x 4 + ) = (9x 8 + 6x 4 + ) = 9x 8 6x 4 = 9x 8 6x 4
K4. a) Sijoitetaan funktion f(x) = x x 3 lausekkeeseen x = ja x = 3. f( ) = ( ) ( ) 3 = + 3 = 0 f(3) = 3 3 3 = 9 6 3 = 0 Tosi, sillä molemmat ovat tämän funktion nollakohtia, eikä toisen asteen polynomifunktiolla voi olla muita nollakohtia. b) Sijoitetaan funktion f(x) = x x lausekkeeseen x =. f( ) = ( ) ( ) = 8 + = 0 Epätosi, sillä 0 0. c) Sijoitetaan funktion f(x) = 7x x 3 lausekkeeseen x =. f( ) = 7 ( ) ( ) 3 = 7 + = 6 Epätosi, sillä 6 8. d) Ratkaistaan funktion f(x) = x 4 + nollakohdat yhtälöstä x 4 + = 0. x 4 + = 0 x 4 = Parillinen potenssi ei voi olla negatiivinen. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Tosi, sillä tällä funktiolla ei ole nollakohtia.
K5. a) Nollakohtia on korkeintaan asteluvun verran. Parittomilla asteluvuilla nollakohtia on vähintään yksi. b) Ensimmäisen asteen polynomilausekkeen kerroin a kertoo suoran jyrkkyyden ja kulkusuunnan. Suora on nouseva, kun a > 0 ja suora on laskeva, kun a < 0. c) Toisen asteen polynomilausekkeen kerroin a kertoo paraabelin aukeamissuunnan ja paraabelin leveyden. Kun a > 0, niin paraabeli on ylöspäin aukeava. Kun a < 0, niin paraabeli on alaspäin aukeava. d) Vakio c kertoo kuvaajan ja y-akselin leikkauskohdan. K6. a) x + 6x = x(x + 3) (yhteinen tekijä x) b) x 4 = (x + )(x ) (muistikaava) c) x x + = (x ) (muistikaava) d) 9x 5 = (3x) 5 = (3x + 5)(3x 5) (muistikaava)
K7. a) 3x + 3x 8 = 3(x + x 6) Jaetaan polynomi x + x 6 tekijöihin nollakohtien avulla. x + x 6 = 0 4 ( 6) 5 x 4 tai x 6 3 3(x + x 6) = 3(x )(x + 3) b) x 7x + 6 Jaetaan polynomi x 7x + 6 tekijöihin nollakohtien avulla. x 7x + 6 = 0 7 4 3 8 6 x tai x 3 4 4 ( 7) ( 7) 4 6 x 7x + 6 = (x )(x 3 ) = (x ) (x 3 ) = (x )(x 3)
c) 0x 3x Jaetaan polynomi 0x 3x tekijöihin nollakohtien avulla. 0x 3x = 0 3 ( 3) 40 ( ) 0 3 7 0 0 = tai 4 0 0 5 5 0(x 3x ) = 0(x )(x + 5 ) = (x ) 5(x + 5 ) = (x )(5x + ) K8. a) Nollakohdista saadaan selville tekijät. Nollakohtaa x = vastaa tekijä x ja nollakohtaa x = vastaa tekijä x ( ) = x +. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on (x )(x + ) = x + x x = x x. b) Polynomilla vain yksi nollakohta x = 3, joten sillä on tekijä x 3. Kyseessä on toisen asteen polynomi, joten tekijä on kaksinkertainen. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on (x 3)(x 3) = (x 3) = x 6x + 9. c) Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on x +. Tällä polynomilla ei ole nollakohtia, koska yhtälöllä x + = 0 x = ei ole ratkaisuja. d) Nollakohtia x = 4 ja x = 0 vastaavat tekijät ovat x 4 ja x. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on x(x 4) = x 4x.
K9. a) 3x 5 + x 3 = 3x 3 (x + 4) b) 3x 5 x 3 = 3x 3 (x 4) = 3x 3 (x + )(x ) c) x 3 x + 3x 6 = x (x ) + 3(x ) (ryhmittely) = (x )(x + 3) d) x 4 = (x + )(x ) = (x + )(x )(x + ) K0. Jos polynomilla on nollakohta, sillä on myös tekijä. Tutkitaan diskriminantin avulla, onko polynomilla x + x + 4 nollakohtia. D = 4 4 = 5 < 0 Koska diskriminantti on negatiivinen, polynomilla ei ole nollakohtia eikä sitä voida jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin. Tutkitaan diskriminantin avulla, onko polynomilla x + 4x + nollakohtia. D = 6 4 = > 0 Koska diskriminantti on positiivinen, polynomilla on kaksi nollakohtaa, joten se voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.
K. a) 3x + 6 = 0 3x = 6 : 3 x = b) 4x 5 = x + 6 4x x = 6 + 5 x = : 5 c) (3 )( ) = 0 3 = 0 tai = 0 3x :3 x : x x 3 d) (3 )( ) = (3 )( ) = 0 6x 3 4x + = 0 6x 7x = 0 x(6 7) = 0 x = 0 tai 6 7 = 0 : 6 x = 0 7 6 6
K. a) x 80 = 0 x = 80 : x = 40 x 40 tai x 40 x 0 x 0 b) 0x 3 + 0 = 00 0x 3 = 00 0 0x 3 = 80 : 0 x 3 = 8 3 8 c) 3x 6 + 50 = 0 3x 6 = 50 : 3 x 6 = 50 6 6 x 50 tai x 50
K3. a) x x x 3 3 4 4x3( x) x3 4x3x3x30 0 0 Yhtälö on tosi, joten x. b) (x + ) = (x + )(x ) x + 4x + 4 = x 4 x + 4x + 4 x + 4 = 0 4x = 8 : 4 x = c) x x = 0 4 ( ) 8 x =+ tai x
K4. a) x0 5 5 5 x x00 ( ) ( ) 4 ( 0) 8 4 9 4 5 0 8 5 tai 4 4 Nollakohdat ovat x = ja x =. Kuvaajasta luettuna toisen asteen polynomifunktion, jonka kuvaaja on paraabeli (punainen), nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat. b) 3 x0 3 3 3 3 3x0 xx ( x3) 0 x x 0 tai 3 0 x0 x x0 x 6 x0 x 4 x0 x3 tai x ( ) 4 ( 3) Nollakohdat ovat x =, x = 0 ja x = 3. Kuvaajasta (sininen) luettuna nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat.
K5. a) f(x) = x + x 3 f(0) = 0 + 0 3 = 3 b) f(x) = 3 x + x 3 = 3 x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = c) f(x) = x + x 3 = x + x 5 = 0 4 ( 5) 4 6 x 6 tai x 6 K6. a) 9x 6x + = 0 6 ( 6) 49 9 6 0 8 3 Kuvaajasta luettuna nollakohta on sama kuin laskettu nollakohta eli. 3
b) x 4 + 4x 3 5x = 0 x (x 4x +5) = 0 x = 0 tai x 4x + 5 = 0 x = 0 x 4x + 5 = 0 4 ( 4) 45 4 4 ei ratkaisua Kuvaajasta luettuna nollakohta on sama kuin laskettu nollakohta eli x = 0.
c) 3 4x0 3 8x0 xx ( x8) 0 x x 0 tai 8 0 4 ( 8) 36 6 x 6 4 tai x 6 8 4 Kuvaajasta luettuna nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat eli x = 4, x = 0 ja x =.
K7. a) x 5 3x 4 x + 3 = 0 x 4 (x 3) (x 3) = 0 (x 3)(x 4 ) = 0 x 3 = 0 tai x 4 = 0 x = 3 : x 4 = x = 3 x = tai x = b) x 3 + 3x = 3x + 9 x 3 + 3x 3x 9 = 0 x (x + 3) 3(x + 3) = 0 (x + 3)(x 3) = 0 x + 3 = 0 tai x 3 = 0 x + 3 = 0 x = 3 x = 3 x = 3 tai x = 3 K8. a) f(x) = qx 3x + Funktiolla f voi olla kaksi nollakohtaa, kun se on toisen asteen polynomifuntio, eli q 0. Tutkitaan yhtälön qx 3x + = 0 diskriminanttia. Jos diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. ( 3) 4 0 D q 98q 0 8q 9 :( 8) q 9 8 Funktiolla f on kaksi nollakohtaa, kun q < 9 ja q 0.
b) f(x) = 3x + qx +. Tutkitaan yhtälön 3x + qx + = 0 diskriminanttia. Jos diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua ja funktiolla kaksi nollakohtaa. D q 43 0 q 0 Lasketaan lausekkeen q nollakohdat. q 0 q q tai q q 3 tai q 3 Diskriminantti on positiivinen, kun q 3 tai q 3. Funktiolla f on kaksi nollakohtaa, kun q 3 tai q 3. K9. Funktion arvo on positiivinen, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella. a) x < b) x < tai x >
K0. Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö f(x) > 0 toteutuu. a) 0 ( ) 4 Funktion arvo on positiivinen, kun x < 4. b) x 8 > 0 Ratkaistaan nollakohdat. x 8 = 0 x = 8 : x = 4 x = tai x = Funktion arvo on positiivinen, kun x < tai x >. c) 3x x + > 0 Ratkaistaan nollakohdat. 3x x + = 0 ( ) ( ) 4 ( 3) ( 3) 4 6 4 6 x 4 6 tai x 4 6 6 6 6 3 Funktion arvo on positiivinen, kun, kun. 3 d) x 3 + 6 > 0 x 3 > 6 : ( ) x 3 < 6 x < 3 6 x < 6
K. a) 3 x (6x3) 3 3x4x 3x4x x 4 :( ) 4 b) (x + )(x + ) > x + 5 x + x + x + x 5 > 0 x + x 3 > 0 Nollakohdat: x + x 3 = 0 4 ( 3) 6 4 x 4 tai x 4 6 3 (x + )(x + ) > x + 5, kun x < 3 tai x >.
c) x < 5(x 5) x < 5x 5 x 5x + 5 < 0 Nollakohdat: x 5x + 5 = 0 5 ( 5) 4 ( ) 5 ( ) 5 5 4 55 4 x 5 5 0 5 tai x 5 5 0 5 4 4 4 4 x < 5(x 5), kun x < 5 tai x > 5. d) x 3 + x x x 3 + x 0 x(x + x ) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden merkit. Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x 3 + x x = 0 x(x + x ) = 0 x = 0 tai x + x = 0 x = 4 tai x = 0 tai x = 3 4 ( ) 49 7 x 6 3 tai x 8 4
4 0 3 x + + x + x + + x(x + x ) + + x 3 + x x, eli x 3 + x 0, kun x 4 tai 0 x 3.
K. a) Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö (x + ) 4 > 0 toteutuu. Nollakohdat: (x + ) 4 = 0 (x + ) = 4 x + = tai x + = x = tai x = 3 Positiivinen, kun x < 3 tai x >. Negatiivinen, kun 3 < x <. b) Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö x x + > 0 toteutuu. Nollakohdat: x x + = 0 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 3 3 = 3 tai 3 = 3 Positiivinen, kun 3 < x < + 3. Negatiivinen, kun x < 3 tai x > + 3.
K3. a) x 3 + x 8x + 8 x 3 + x 8x 8 0 x (x + ) 8(x + ) 0 (x + )(x 8) 0 Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x (x + ) 8(x + ) = 0 (x + )(x 8) = 0 (x + )(x 8) = 0 x + = 0 tai x 8 = 0 x = x = 8 x = 9 tai x = 9 9 9 x 8 + + x + + + (x 8)(x + ) + + x 3 + x 8x + 8, eli x 3 + x 8x 8 0, kun 9 x tai x 9.
b) x 6 + x 5 3x 64 < 0 Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x 6 + x 5 3x 64 = 0 x 5 (x + ) 3 (x + ) = 0 (x + )(x 5 3) = 0 x + = 0 tai x 5 3 = 0 x = x = 5 3 = Lasketaan lausekkeen x 6 + x 5 3x 64 arvo ja päätellään merkki nollakohtien välissä olevissa testikohdissa. x = 3: ( 3) 6 + ( 3) 5 3 ( 3) 64 = 75 > 0 x = 0: 0 6 + 0 5 3 0 64 = 64 < 0 x = 3: 3 6 + 3 5 3 3 64 = 055 > 0 x 6 + x 5 3x 64 + + x 6 + x 5 3x 64 < 0, kun < x <. K4. a) Funktion f(x) = x + 4x 5 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Funktio saa vain negatiivisia arvoja, jos sen kuvaaja on kaikilla x:n arvoilla x-akselin alapuolella eli sillä ei ole nollakohtia. Toisen asteen polynomifunktiolla ei ole nollakohtia, kun vastaavan yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Diskriminantti D = 4 4 ( ) ( 5) = 6 0 = 4 < 0. Funktio saa vain negatiivisia arvoja. b) Molemmat tulon (x + )(x 4 + ) tekijät ovat positiivisia, koska parilliset potenssit x ja x 4 ovat aina ei-negatiivisia, joten x + > 0 ja x 4 + > 0. Näin ollen myös niiden tulo on positiivinen. Lauseke ei voi saada negatiivista arvoa, joten epäyhtälö on epätosi.
K5. a) x + px + 3 > 0 Tutkitaan funktiota f(x) = x + px + 3. Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos diskriminantti on negatiivinen, niin silloin funktiolla ei ole yhtään nollakohtaa, ja funktio saa vain positiivisia arvoja. D = p 4 3 = p < 0 Nollakohdat: p = 0 p = p 3 tai p 3 Diskriminantti on negatiivinen, kun 3 p 3. Epäyhtälö x + px + 3 > 0 on aina tosi, kun 3 p 3. b) x + x + p 0 Tutkitaan funktiota f(x) = x + x + p. Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö toteutuu vain yhdellä muuttujan x arvolla, kun vain epäyhtälön yhtäsuuruus toteutuu. Kun diskriminantti on nolla, funktiolla on yksi nollakohta ja funktio saa vain negatiivisia arvoja tai arvon nolla. D = 4 ( ) p = 4 + 4p 4 + 4p = 0 4p = 4 : 4 p = Epäyhtälö x + x + p 0 toteutuu vain yhdellä muuttujan arvolla, kun p =.