Fysiikan matemaattiset menetelmät IIa Luentomuistiinpanot 209 6. tammikuuta 209
Sisältö Johdanto 3 2 Ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt (ODYt) 3 2. Johdatukseksi ODY:ihin: liikennevirtaesimerkki.................. 5 2.2 ODY esimerkkejä fysiikassa............................. 7 2.3 Ensimmäisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt....... 7 2.4 Johdatukseksi karakteristikoihin........................... 9 2.5 Yleinen tarkastelu................................... 3 Toisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt 6 3. Aaltoyhtälö...................................... 6 3.. d Alembertin ratkaisu............................ 6 3..2 Opiskele etukäteen: Ratkaisu Fourier-muunnoksen avulla......... 7 3.2 Diffuusioyhtälö.................................... 9 3.3 Aaltoyhtälö äärellisellä välillä, ratkaisu separointimenetelmällä.......... 2 3.4 Toisen asteen ODYiden luokittelu.......................... 23 3.5 Karakteristiset pinnat................................ 27 3.6 Yleinen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY................. 28 3.7 Alkuehdot....................................... 29 3.7. Hyperboliset yhtälöt............................. 30 3.7.2 Paraboliset yhtälöt.............................. 3 3.7.3 Elliptiset yhtälöt............................... 32 2
Johdanto FyMM IIa on tärkeä kurssi. Se keskittyy osittaisdifferentiaaliyhtälöiden hallintaan. Ne ovat fysiikassa aivan keskeinen matemaattinen väline, ja tärkeitä myös monilla muilla tieteenaloilla. Miksi? Fysiikka keskittyy luonnon peruslakien ymmärtämiseen. Näille laille on ominaista se että ne ovat pitkälti deterministisiä: kun systeemin alkutila ja sitä kuvaava laki tunnnetaan, voidaan ennustaa sen tuleva käyttäytyminen. Tällöin tiedetään miten systeemiä kuvaavat parametrit muuttuvat pienellä aika-askeleella, ja tämän relaation matemaattinen kuvaus on usein osittaisdifferentiaaliyhtälö. Samantapaista mallintamista käytetään myös esim. biologiassa ja taloustieteessä. Niinpä haluamme kannustaa sinua panostamaan tämän kurssin asioiden opiskeluun ja harjoitteluun, sillä panostuksesi auttaa sinua myöhemmissä opinnoissasi. Fysiikan alalla determistinen aikakehitys on keskeisessä roolissa paitsi klassisessa mekaniikassa (liikeyhtälöt), myös elektrodynamiikassa (ajasta riippuvat Maxwellin yhtälöt, aaltoyhtälö), kvanttimekaniikassa (ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö), statistisessa mekaniikassa (Fokker-Planck yhtälö, diffuusioyhtälö, Langevinin yhtälö), yleisessä suhteellisuusteoriassa, kvanttikenttäteoriassa (klassiset kenttäyhtälöt), meteorologiassa (sää- ja ilmastomallit) jne. Aikakehityksen ohella kiinnostavaa on tietää miten systeemiä kuvaavat parametrit ovat riippuvat toisistaan ja ympäristön parametreistä. Niinpä myös staattisissa tilanteissa osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat tärkeitä, esim. sähköstatiikassa (annetun varaustiheyden luoma sähkökenttä), kvanttimekaniikassa (ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö) jne. Kurssin laskuharjoituksissa harjoitellaan laskutekniikoita ja pyritään tilaisuuden tullen soveltamaan niitä fysiikassa esiintyviin perusyhtälöihin. Eräänä tavoitteena on kehittää hyvää laskurutiinia, jotta myöhemmillä kursseilla sinulle jäisi enemmän resursseja keskittyä sovelluksiin ja käsitteellisiin asioihin mekaanisen laskemisen asemasta. Kurssi on työläässä maineessa. Osaltaan se on tarkoituksellista, kurssi on eräänlainen kuntosalitreeni joilla kehitetään istumalihaksia ja matemaattisia muskeleita. Ohessa on tarkoitus oppia aktiivisesti itse etsimään hyödyllisiä lähteitä jotka auttavat eteenpäin, ja kannustaa teitä oppia miettimään ja ratkomaan asioita yhdessä. Toivotamme sinulle kärsivällisyyttä ja peräänantamattomuuta, tietenkin myös onnistumisen iloa. 2 Ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt (ODYt) Aloitetaan kertaamalla aikaisemmilta kursseilta (MApu, FyMM I) osittaisderivaatat: kun u = u(x, y,...), on u x = lim ɛ 0 u y = lim ɛ 0 (u(x + ɛ, y,...) u(x, y,...)) ɛ (u(x, y + ɛ,...) u(x, y,...)) ɛ jne. Kun muuttujia on useita (eli enemmän kuin 3), on käytännölisempää merkitä u = u(x, x 2,..., x n ). Lyhennämme myös u x = u x, u yy := 2 u jne. y 2 Jos osittaisderivaatat ovat lisäksi jatkuvia, niin derivoimisjärjestyksellä ei ole merkitystä. Esimerkiksi jos u xy ja u yx ovat jatkuvia, niin Palautamme vielä mieleen lineaarisuuden. 2 u xy := u x y = u y x =: 2 u yx. 3
Derivoiminen on lineaarista: (a v + b w) = a v + b w x i x i x i kaikilla a, b R tai C ja derivoituvilla funktioilla v, w. Yleisemmin, sanomme että kuvaus (funktio) T on lineaarinen, jos jne. T (ax + by) = at (x) + bt (y). a, b R (tai C) Huomaa että lineaarisia kuvauksia voi olla ainoastaan vektoriavaruuksien välillä, jotta yhteenlasku ja reaaliluvuilla kertominen ovat määriteltyjä. Vektoriavaruuden alkiot x ja y eivät välttämättä ole vektoreita perinteisessä mielessä (eli R 3 :n alkioita), vaan ne voivat olla esimerkiksi funktioita: esimerkiksi jatkuvat funktiot muodostavat vektoriavaruuden, samoin intergoituvat funktiot. (Vektoriavaruuden alkioita voidaan laskea yhteen ja kertoa reaali- tai kompleksiluvuilla, ja alkioiden joukossa on nolla-alkio. Esim. jatkuvat funktiot toteuttavat nämä ominaisuudet.) Usein lineaarisia kuvauksia kutsutaan myös operaattoreiksi. Esim. kvanttimekaniikassa käytetään tätä termiä. Esimerkiksi jos määritellään yhden muuttujan funktioille u(x) L(u)(x) = du (x) + f(x)u(x) dx missä f(x) on jokin tietty funktio, tai kahden muuttujan funktioille u(x, y) L(u)(x, y) = 2 u x (x, y) + 2 u (x, y), 2 y2 niin L (eli kuvaus u L(u)) on lineaarinen eli se on (differentiaali)operaattori. Vastaavasti integroinnin lineaarisuuden vuoksi esimerkiksi kaavat ja L(u)(x) = b L(u)(x) = f(x)u(x) + a K(x, t)u(t)dt x a K(t)u(t)dt määräävät (integraali)operaattorit u L(u). Operaattorit toteuttavat mm. superpositioperiaatteen: jos u ja u 2 ovat yhtälön ratkaisuja, niin tällöin L(u) = 0 L(au + bu 2 ) = al(u ) + bl(u ) = 0 kaikilla a, b R. Toisin sanoen, au + bu 2 ratkaisee saman yhtälön. (Esimerkkinä vaikkapa kvanttimekaniikan ajasta riippumaton Schrödinger-yhtälö: vaihdetaan notaatiota L (H E), u ψ: (H E)(aψ + bψ 2 ) = a(h E)ψ + b(h E)ψ 2 = 0.) Huomaa kuitenkin että epähomogeenisessa tapauksessa, L(u) = f, kahden ratkaisun u, u 2 superpositio ei ole ratkaisu, vaan L(au + bu 2 ) = (a + b)f. (Lineaarisuuden sijaan yhtälö on affiini, samoin kuin kuvaus x ax + b on affiini kuvaus.) 4
2. Johdatukseksi ODY:ihin: liikennevirtaesimerkki Johdatukseksi. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöihin tarkastellaan esimerkkiä: miten mallintaisimme ruuhkaista tietä? Aluksi täytyy päättää mitkä ovat oleelliset liikennettä kuvaavat suureet. Varmaankin: ρ(x, t) = autojen lukumäärätiheys pisteessä x hetkellä t v(x, t) = liikenteen nopeus (positiivisen x:n suuntaan) pisteessä x hetkellä t Tarkastellaan tienpätkää pisteestä x pisteeseen x 2 > x. Autojen lukumäärä välillä [x, x 2 ] hetkellä t: N(t) = x2 x dxρ(x, t). (2.) Vähän myöhemmin, hetkellä t + t, lukumäärä on N(t + t). Laskeaksemme erotuksen N(t):hen, meidän täytyy laskea paljonko autoja saapui aikana t välille sisään kohdassa x ja paljonko niitä poistui kohdassa x 2. Jos v olisi vakio, sisään ehtisivät kaikki ne autot jotka olisivat korkeintaan matkan v t päässä x :stä, koska ajassa t viimeinenkin auto ehtii ajaa matkan v t ja päästä x :seen. Jos lukumäärätiheys ρ olisi myös vakio, saapuvien autojen lukumäärä olisi N sisään = ρv t. (2.2) Mutta, jos ρ ja v riippuvat ajasta, pisteen x! ohittavien autojen lukumäärä saadaan aikaintegroimalla: N sisään = t+ t Vastaavasti x 2 :ssä poistuvien autojen lukumäärä on Siispä ts. x2 x dxρ(x, t + t) = x2 N ulos = t t+ t t ρ(x, t )v(x, t )dt. (2.3) ρ(x 2, t )v(x 2, t )dt. (2.4) N(t + t) = N(t) + N sisään N ulos (2.5) x dxρ(x, t) + t+ t t ρ(x, t )v(x, t )dt Vähentämällä puolittain N(t), yhtälön vasemmalle puolelle tulee: N(t + t) N(t) = Oikealla puolella taas on N ulos +N sisään = t+ t Kaiken kaikkiaan siis: x2 t x x2 dx x dx [ρ(x, t + t) ρ(x, t)] = x2 x dx t+ t t t+ t dt [ρ(x 2, t )v(x 2, t ) ρ(x, t )v(x, t )] = t+ t t t ρ(x 2, t )v(x 2, t )dt (2.6) dt t ρ(x, t ). (2.7) t+ t t dt x2 x dx x [ρ(x, t )v(x, t )] (2.8) dt { t ρ(x, t ) + x [ρ(x, t )v(x, t )]} = 0. (2.9) 5
Jos oletetaan, että yhtälö pätee kaikilla x, x 2, t, t, integrandin tulee hävitä: t ρ(x, t) + x [ρ(x, t)v(x, t)] = 0. (2.0) Olemme johtaneet liikennevirtaa kuvaavan. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälön! Liikennevirran sijaan olisimme voinut tarkastella nesteen virtausta putkessa, joessa, tms. tilannetta. Yhtälö kuvaa lukumäärän (autojen, molekyylien, tms.) säilymistä. Sitä kutsutaan joskus jatkuvuusyhtälöksi. Usein yhdistelmästä ρv käytetäään nimitystä Φ(x, t) = ρ(x, t)v(x, t) = (hiukkas)vuo pisteessä x hetkellä t. (2.) Jos v on vakio, yhtälö (2.0) saa muodon t ρ + v x ρ = 0. (2.2) Palataan vielä liikennevirran tapaukseen. Arkikokemus kertoo, että virran nopeus v riippuu liikenteen tiheydestä, ruuhkassa (ρ iso) v pienenee ja päinvastoin. Tässä tapauksessa v:n x, t- riippuvuus tulee ρ:n kautta: v(x, t) = v(ρ(x, t)). (2.3) Silloin vuon paikkaderivaatta x Φ on Siispä yhtälö (2.0) saa muodon x Φ = x (ρv(ρ)) = v(ρ) x ρ + ρ dv dρ xρ. (2.4) t ρ + [ v + ρ dv ] x ρ(x, t) = 0. (2.5) dρ Määrittelemällä yhtälö (2.5) voidaan kirjoittaa ṽ(ρ) v(ρ) + ρ dv(ρ) dρ (2.6) t ρ(x, t) + ṽ(ρ(x, t)) x ρ(x, t) = 0. (2.7) Tämä on samannäköinen kuin (2.2), paitsi että vakionopeuden v tilalla on ajasta ja paikasta riippuva nopeus ṽ, joka puolestaan on eri kuin liikennevirran nopeus v! Nopeus ṽ kuvaa tihentymäaaltojen etenemistä liikennevirrassa. Konkreettisena esimerkkinä voidaan ajatella tapausta jossa v saa maksimiarvon (suurin sallittu ajonopeus) kun ρ lähestyy nollaa, ja tiheyden ρ kasvaessa kohti kriittistä tiheyttä ρ c nopeus v pienenee lineaarisesti kohti nollaa. Kas näin: { [ ] v v(ρ) = m ρ ρ c, 0 ρ ρ c. (2.8) 0, ρ > ρ c Tämä liikennevirran malli on kuuluisa liikenteen matemaattisen kuvauksen edelläkävijämalli. Sen kehittivät Lighthill & Whitham. Tässä mallissa aaltojen nopeus ṽ = v + ρv = v + ρ( v m /ρ c ) = v m [ 2 ρ ρ c ] v (kun 0 ρ ρ c ). (2.9) (kun ρ > ρ c, ṽ = v = 0). 6
2.2 ODY esimerkkejä fysiikassa Palataksemme ODYihin, aloitamme listaamalla fysiikassa ehkä perinteisimmät esimerkit. Laplacen yhtälö esiintyy lähes kaikilla fysiikan aloilla. Poisson (epähomogeeninen Laplace): u := 2 u = 0 (lineaarinen, homogeeninen) (2.20) 2 u = f (lin., epähom.) (2.2) esiintyy esimerkiksi elektrostatiikassa: 2 ϕ = ɛ 0 ρ. Diffuusioyhtälö: u t D 2 u = 0 (lin., hom.) (2.22) Aaltoyhtälö: 2 u c 2 t 2 2 u = 0 (lin., hom.) (2.23) Ajasta riippuva Schrödinger: Hamilton-Jacobi (klassinen mekaniikka): i ψ t = 2 2m 2 ψ + V ( x)ψ (lin., hom.) (2.24) 2m ( S)2 + V ( x) = S t (epälin., epähom.) (2.25) Korteweg de Vries (solitoniaaltojen perusyhtälö): ψ t + ψ ψ x + 3 ψ = 0 (epälin., hom.) (2.26) x3 Tavallisille DYille analogisesti, osittaisdifferentiaaliyhtälön kertaluku on korkeimman siinä esiintyvän osittaisderivaatan kertaluku. Esimerkiksi Laplacen yhtälön kertaluku on 2. Aloitamme ensimmäisen kertaluvun ODYistä, jotka ovat luonnollisesti yksinkertaisimpia. 2.3 Ensimmäisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt Ensimmäiseksi palautetaan mieleen ensimmäisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden ominaispiire: yhtälön yleinen ratkaisu sisältää tuntemattoman vakiokertoimen, joka määrittelemiseksi tarvitaan lisäehto, alkuehto. Esimerkki: yhtälön dx dt = α x(t) (2.27) ratkaisuja ovat funktiot x(t) = Ce αt, missä C R on mielivaltainen vakio. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla alkuarvo x(0) = x 0. Toisin sanoen, alkuarvo-ongelmalla { ẋ(t) = α x(t) x(0) = x 0 (2.28) on täsmälleen yksi ratkaisu x(t) = x 0 e αt. 7
Siirrytään sitten. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Aloitetaan esimerkillä: Korvataan ensinnäkin yhden muuttujan tuntematon funktio x(t) kahden muuttujan funktiolle u(x, y). Kysymme nyt: Mikä on yhtälön x u x + y u y = u (2.29) ratkaisu eli mikä u = u(x, y) toteuttaa sen? Huomataan, että jos F : R R on mikä tahansa derivoituva funktio, niin u(x, y) = x F (x/y) toteuttaa (2.29):n alueessa, jossa y 0: joten x u x + y u y u x = F (x/y) + x y F (x/y) u y = xf (x/y) ( x y 2 ) = x2 y 2 F (x/y), = xf (x/y) + x2 y F (x/y) x2 y F (x/y) = xf (x/y) = u kuten kuuluukin. Huomaamme että ratkaisuun jää nyt mielivaltainen (yhden muuttujan) funktio F ( ). Ilmiötä voi verrata tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriaan: Esimerkiksi yhtälön ẋ(t) = α x(t) (2.30) ratkaisuja ovat funktiot x(t) = Ce αt, missä C R on mielivaltainen vakio. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla alkuarvo x(0) = x 0. Toisin sanoen, alkuarvo-ongelmalla on täsmälleen yksi ratkaisu x(t) = x 0 e αt. { ẋ(t) = α x(t) x(0) = x 0 (2.3) Miten saisimme ODYn ratkaisun yksikäsitteiseksi? Palataan aiempaan esimerkkiin (2.29), jonka ratkaisuja ovat (ainakin) funktiot u(x, y) = xf (x/y). Vaaditaan että suoralla y = funktiolla u on tunnettu profiili φ(x): u(x, ) = φ(x). Tästä saadaan ehto F :lle: u(x, ) = φ(x) = xf (x/) = φ(x) = F (x) = φ(x) x, joten ratkaisu näyttäisi määräytyvän yksikäsitteisesti: u(x, y) = x φ(x/y) x/y = yφ(x/y). On siis annettava u(x, y) jollakin käyrällä (x, y)-tasossa! Tässä on kuitenkin eräs ongelma: Mitä jos olisimme valinneet käyräksi (x, cx), jollakin c 0. Tällöin olisimme ehdosta u(x, cx) = φ(x) saaneet F :lle ehdon u(x, cx) = φ(x) = xf (x/cx) = xf (/c) = φ(x), mikä pätee vain, jos φ(x) = α x ja F (/c) = α. Erityisesti F on muuten mielivaltainen! Käyrät y = cx, c 0 ovat siis yhtälön (2.29) suhteen erikoisasemassa. Sanomme, että ne ovat yhtälön karakteristikat. Kerromme niistä lisää hetken kuluttua. 8
2 y y= : sopiva alkuehtokäyrä -2-2 x - y=cx : yhtälön karakteristikat -2 Kuva : Yhtälön (2.29) karakteristikat ja sopiva alkuehtokäyrä. 2.4 Johdatukseksi karakteristikoihin Motivaatio-osuudessa johdimme jatkuvuusyhtälön, nopeuden ollessa vakio sen erikoistapaus on Joskus tätä kutsutaan myös advektioyhtälöksi. Ratkaistaan yhtälö muuttujanvaihdolla. Olkoon t u(t, x) + v x u(t, x) = 0. (2.32) x + = at + bx (2.33) x = at bx. (2.34) Eli t t = x + t x x = x + x + x x + t + x x + x = a + a a( + + ) x x + x (2.35) = b b b( + ), x x + x (2.36) joten Valitaan vakioiksi a = /2 ja b = /(2v), jolloin Nyt yhtälö (2.32) saa muodon t + v x = (a + vb) + + (a vb). (2.37) t + v x = +. (2.38) ( t + v x u) = + u = 0, (2.39) jonka ratkaisu on u = f(x ) missä f(x ) on mielivaltainen x :n funktio. Voimme lisäksi kirjoittaa ( ) f(x ) = f(t/2 x/(2v)) = f (x vt) f(x vt), (2.40) 2v missä otimme käyttöön uuden nimen f mielivaltaiselle funktiolle ja sisällyttämällä siihen vakiofunktion ( /(2v):llä kertominen). 9
Huomaamme, että yhtälön (2.32) ratkaisulla on erityisominaisuus: se on aina vakio suorilla x vt = x 0 eli x = vt + x 0. Näitä suoria kutsutaan yhtälön (2.32) karakteristisiksi käyriksi. Karakteristiset käyrät ovat siis parvi käyriä joilla yhtälön ratkaisu saa vakioarvon. Niiden avulla voidaan myös löytää yhtälön yleinen ratkaisu. Käyrät tasossa voidaan esittää parametriesityksessä. Olkoon s parametri joka parametrisoi käyrää ( käyrää pitkin kulkevan havaitsijan kellon mittaama aika ). Käyrä on siis r = r(s) = (t(s), x(s)). (2.4) Koska u:n oletetaan olevan vakio käyrällä, u(t(s), x(s)) u(s) = vakio, sen derivaatta du(s) = 0. ds Käyttämällä ketjusääntöä: du(s) = u dt ds t ds + u dx x ds = 0 (2.42) vertaamalla yhtälöön (2.32) nähdään että valitsemalla eli t = s + vakio, x = vs + vakio, päädytään juuri suoraparveen jolloin yhtälön yleinen ratkaisu on dt ds =, dx ds = v (2.43) x vt = x 0 = vakio (2.44) u(t, x) = f(x vt). (2.45) Karakterististen käyrien ei tietenkään tarvitse olla suoria. Yleisemmät käyräparvet voidaan esittää muodossa φ(t, x) = vakio C (2.46) parametriesityksen r(s) = (t(s), x(s)) ohella. Tästä seuraa esimerkki. Tarkastellaan nyt yhtälöä t u + + x xu = 0. (2.47) 2 Ratkaisu on jälleen sellainen, että se saa vakioarvon karakteristisella käyrällä (t(s), x(s)). Siispä taas: du(s) = dt ds ds tu + dx ds xu = 0. (2.48) Vertaamalla yhtälöön (2.47) nähdään, että käyrän tangenttivektorin tulee olla ( d r(s) dt = ds ds, dx ) ( ) =, (2.49) ds + x 2 (jotta (2.48) toteutuisi, kun u on (2.47):n ratkaisu) eli Siispä käyräparvi on dt = t = s + t ds 0 (2.50) dx = (x 2 + )dx = ds x3 ds +x 2 3 + x + x 0 = s + s 0. (2.5) x 3 3 + x = t + C φ(t, x) x3 3 + x t = C (2.52) Esim. yo suorille t = s + vakio,x = vs + vakio ja siis x vt = vakio x 0. 0
Mielivaltainen funktio vakioista on vakio, joten u(t, x) = f(c) = f(φ(t, x)) = f( x3 3 + x t) (2.53) on aina vakio karakteristisella käyrillä. Se on myös yhtälön (2.47) yleinen ratkaisu. Tarkistus: ts. t u + /( + x 2 ) x u = 0! 2.5 Yleinen tarkastelu t u = f (...)( ) = f (...) (2.54) ( ) + x 3x xu = 2 + x f 2 (...) 2 3 + = +f (...) (2.55) Tarkastellaan sitten yleisempää tapausta eli kvasilineaarisia. kl:n ODYä 2 : P (x, y, u(x, y)) u + Q(x, y, u(x, y))u x y = R(x, y, u(x, y)). (2.56) Jos R 0, yhtälö on homogeeninen, muuten yhtälö on epähomogeeninen. Yhtälön ratkaisu u(x, y) (jos sellainen on) määrää pinnan (x, y, u(x, y)) R 3 :ssa. Pinta voidaan esittää tasaarvopintana f(x, y, u) = 0 sopivalla funktiolla f(x, y, z), f : R 3 R (esimerkiksi f(x, y, u) = u(x, y) u = 0.) Tällä pinalla siis (huom: alla sijoitetaan u = u(x, y) joten du = ( x u)dx + ( y u)dy, ratkaisupinnallahan u riippuu x:stä ja y:stä) eli ja 0 = df = f f f dx + dy + x y z du = f ( f f u dx + dy + = x y ( f x + f z u x z ) dx + u x = f x /f z Sijoitetaan nämä yhtälöön (2.56), jolloin saadaan P (x, y, u) f + Q(x, y, u)f x y u dx + x ( f y + f z ) y dy u y ) dy (2.57) u y = f y /f z. (2.58) + R(x, y, u)f z = 0. (2.59) Määrittelemällä vektorikenttä v = P ê + Qê 2 + Rê 3, (2.59) sanoo, että (huom. pistetulo) v f = 0. (2.60) Koska, f on pintaa f 0 vastaan kohtisuorassa, on v oltava pinnalle tangentiaalinen (=integraalipinta). Pinta f = 0, määräytyy siis vektorikentän integraalikäyristä: v(x, y, u(x, y)) on pinnalla kulkevan polun, karakteristikan, tangentti (muuttuja s parametrisoi polkua): d r(s) ds 2 kvasilineaarinen = lineaarinen korkeimman kertaluvun derivaatoissa. = v( r(s)) (2.6)
Kuva 2: Karakteristinen pinta f = 0, sen yksi integraalikäyristä r(s) ja pintaa vastaava normaalivektori f. eli dx(s) ds dy(s) ds du(s) ds = P (x, y, u(x, y)), = Q(x, y, u(x, y)), (2.62) = R(x, y, u(x, y)). Miten sitten löydämme karakteristikat eli integraalikäyrät? Edellisistä yhtälöistä saadaan eli kaksi riippumatonta yhtälöä! Esimerkiksi ds = dx P = dy Q = du R dx P = dy Q = dx dy = P Q, (2.63) ratkaisu φ (x, y, u) = C. dx P = du du = R dx = R P, (2.64) ratkaisu φ 2 (x, y, u) = C 2. Yhtälöt φ i = C i määrittelevät 2 toisiaan leikkaavaa pintaa (jotka eivät yksistään ole ratkaisupintoja) kolmiulotteisessa (x, y, u)-avaruudessa, karakteristika on pintojen leikkauskäyrä. ODY:n koko ratkaisu on parvi käyriä jotka virittävät 2-ulotteisen ratkaisupinnan u = u(x, y). Tehdään nyt pieni poikkeama. Olkoon v = (P (x, y, u), Q(x, y, u), R(x, y, u) vektorikenttä. Sanomme että funktio φ = φ(x, y, u) on v : n. integraali, jos se toteuttaa yhtälön v φ = 0. (2.65) Vektori φ on pinnan φ(x, y, u) = C =vakio normaalivektori (tästä esimerkkinä voit laskea yksikköpallolle φ = x 2 + y 2 + u 2 = gradientin φ ja todeta sen olevan kohtisuorassa pallopintaa vastaan kaikkialla). Koska v R 3, sille löytyy kaksi lineaarisesti riippumatonta normaalivektoria, joten (2.65):lle löytyy kaksi ratkaisua φ (x, y, u), φ 2 (x, y, u) vastaten kahta pintaa 2
S i : φ i = C i, i =, 2. Lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä että φ φ 2 = 0 kaikkialla. Pinnat S ja S 2 leikkaavat käyrällä C, jonka tangenttivektori w φ i kun i =, 2. Tangenttivektori w voidaan valita yhdensuuntaiseksi v:n kanssa, w = λ v, jolloin käyrä C on karakteristika. Muuntelemalla ratkaisuja φ i saadaan pintoja ja niiden leikkauskohtia siirrettyä, näin löydetään kaikki ratkaisukäyrät, pintoja siirtämällä samalla leikkauskohta pyyhkäisee kaksiulotteisen ratkaisupinnan. Olkoon sitten G = G(x, y) mielivaltainen sileä kahden muuttujan funktio. Sijoitetaan siihen φ i :t ja tarkastellaan funktiota G(φ (x, y, u), φ 2 (x, y, u)). Sen gradientti on G = ( x G) φ + ( y G) φ 2, joten v G = 0. G(φ (x, y, u), φ 2 (x, y, u)) on siis ensimmäinen integraali, jota vastaa pinta G(φ (x, y, u), φ 2 (x, y, u)) = 0 (vakio voidaan asettaa nollaksi absorboimalla se mielivaltaiseen funktioon G). Tämä on itse asiassa yhtälön (2.65) yleinen ratkaisu, sillä se sisältää mielivaltaisen funktion G. Yhtälö G = 0 antaa sidosehdon kolmen muuttujan x, y, u välille, josta voidaan periaatteessa ratkaista u jäljelle jäävien muuttujien x, y avulla, näin saadaan yleinen ratkaisu u(x, y). Palataan nyt takaisin aiempaan tarkasteluun. Löysimme siis yhtälölle (2.60) kaksi. integraalia φ (x, y, u) ja φ 2 (x, y, u) ja niitä vastaavat 2 leikkaavaa pintaa φ (x, y, u) = C ja φ 2 (x, y, u) = C 2. Edellä olevan tarkastelun nojalla yleinen ratkaisu on G(φ (x, y, u), φ 2 (x, y, u)) = 0, (2.66) missä G on mielivaltainen. Muuntelemalla funktiota G voidaan siis löytää kaikki alkuperäisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisut. Käytännössä etenemme seuraavasti. Yhtälö (2.66) voidaan esittää toisellakin tavalla, ratkaisemalla toinen funktio (esim. φ ) mielivaltaisena funktiona toisesta funktiosta (esim. φ 2 ), siis φ = F (φ 2 ) tai φ 2 = F 2 (φ ). Palataan takaisin esimerkkiimme (2.29) eli P = x, Q = y ja R = u. Tällöin (2.63) ja (2.64) ovat vastaavasti dx dy = x y (= y = C x = C = y/x) ja du dx = u x (= u = C 2x = C 2 = u/x). Yleinen ratkaisu on siis G(φ, φ 2 ) = G(y/x, u/x) = 0. Ratkaistaan tämä toisen argumentin suhteen: u/x = F (y/x) = u = xf (x/y). (2.67) Karakteristikat saadaan yhtälöistä (2.62): x = C x e s, y = C y e s, u = C z e s. Esimerkiksi origon kautta kulkevat suorat: x/y = C x /C y eli (y = C y /C x x). Saimme siis juuri oletetun ratkaisun ja ymmärrämme lisäksi miksi juuri tietyt käyrät ovat erityisasemassa; ne ovat ratkaisupinnan integraalikäyriä. Yksikäsitteinen ratkaisu saadaan, jos voidaan valita yksikäsitteisesti ne integraalikäyrät, joista ratkaisupinta muodostuu. Tämä onnistuu jos alkuehtokäyrän jokaisessa pisteessä kulkee täsmälleen yksi integraalikäyrä, mutta jos alkukäyrä itse on karakteristika, on ratkaisu mahdoton tai ei yksikäsitteinen. 3
Tiivistelmä. Edellisestä tarkastelusta voidaan suodattaa algoritmi kvasilineaaristen. kertaluvun ODYjen ratkaisemiseksi:. Kirjoita yhtälö muotoon (2.56): 2. Tästä seuraa parametrisoimalla relaatio P u x + Qu y = R. ds = dx P = dy Q = du R jos R 0. Homogeenisen yhtälön tapauksessa viimeinen yhtäsuuruus korvautuu yhtälöllä du = 0. 3. Valitse näistä 2 yhtälöä ja ratkaise ne. Ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon φ i (x, y, u) = C i, missä i =, 2 ja C, C 2 ovat vakioita. (Homogeeniselle yhtälölle (R = 0) toinen yhtälö on du = 0 jonka ratkaisu on φ u = C.) 4. Aseta G(φ, φ 2 ) = 0, ratkaise G = 0 yhtälöstä toinen φ i toisen φ j :n avulla (esim. φ = F (φ 2 )). Jos mahdollista, tee valinta siten, että u esiintyy ainoastaan yhtälön vasemmalla puolella. Tällöin voit edelleen johtaa yleisen ratkaisun u = u(x, y) jossa esiintyy mielivaltainen (yhden muuttujan) funktio F. Jos u esiintyy yhtälön molemmilla puolilla, yhtälö on implisiittinen, ja jatko riippuu alkuehdosta (katso ao. esimerkki.) 5. Yksikäsitteisen ratkaisun saat alkuehdosta, jossa funktion profiili annetaan jollain sopivalla alkuehtokäyrällä (joka ei siis saa olla karakteristika). Katsotaan seuraavaksi miten tämä toimii käytännössä. Esimerkki 2. ( Shokkiaaltoyhtälö ) Olkoon u = u(x, t) ja Tällöin saadaan ja u t + uu x = 0. (2.68) du = 0 = u = C (2.69) dx dt = u = x = ut + C 2 = C 2 = x ut. (2.70) Yleinen ratkaisu G(u, x ut) = 0 tai u = F (x ut). Asetetaan alkuehto u(x, 0) = φ(x), jolloin ratkaisu on ratkaistava yhtälöstä u(x, t) = φ(x u(x, t)t). Käsin tämä onnistuu vain yksinkertaisissa tapauksissa. Esimerkiksi φ(x) = ax + b = u = a(x ut) + b = u = ax + b + at. (2.7) Huom. ratkaisu vain alueessa t > /a! 4
Esimerkki 2.2 Etsitään yhtälön u x + 2xu y = u2 (2.72) yleinen ratkaisu. Parametrisoinnista seuraa yhtälöt dx/ = dy/(2x) = du/(u 2 ) joista valitaan esim. (helpoin) pari { dy = 2xdx = y = x 2 + C du/(u 2 ) = dx = /u = x C 2. Ehdosta 0 = G(φ, φ 2 ) = G(y x 2, x + /u) voidaan ratkaista esim. x + /u = F (y x 2 ) = u = Luennolla läpi laskettuja lisäesimerkkejä: Esimerkki 2.3 Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. Esimerkki 2.4 Etsi yhtälön F (y x 2 ) x. t t u(x, t) + x x u(x, t) = u(x, t) (2.73) t u(x, t) + 4 x u(x, t) = 0 (2.74) yleinen ratkaisu, ja sen jälkeen yksikäsitteinen ratkaisu joka toteuttaa alkuehdon Esimerkki 2.5 Etsi yhtälön ratkaisu, kun u = 0 suoralla x + y =. u(x, 0) = + x 2. (2.75) x 2 x u(x, y) + u(x, y) y u(x, y) = (2.76) Menetelmä yleistyy suoraviivaisesti korkeampiin ulottuvuuksiin. Kvasilineaarinen. kertaluvun ODY R n :ssä on (x = (x,..., x n )) P (x, u) u x + P 2 (x, u) u x 2 +... + P n (x, u) u x n = R(x, u). (2.77) Yleinen ratkaisu saadaan ratkaisemalla n riippumatonta DYä dx P = dx 2 P 2 =... = dx n P n = du R. Näiden ratkaisut ovat φ i (x, u) = C i, i =,..., n. Yleinen ratkaisu on implisiittisesti F (C,..., C n ) = F (φ,..., φ n ) = 0, missä F on mielivaltainen. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi kun u annetaan n -ulotteisella hyperpinnalla, joka ei sisällä yhtään karakteristikaa. 5
3 Toisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt Siirrymme seuraavaksi toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiin. Aloitamme kahdella tärkeällä esimerkillä, aaltoyhtälöllä ja diffuusioyhtälöllä. Ratkaisumenetelmistä tärkeimmät ovat yhtälön muuntaminen algebralliseksi yhtälöksi Fourier-muunnoksella ja separointimenetelmä. Näistä jälkimmäinen soveltuu parhaiten tapauksiin joissa yhtälön ratkaisua etsitään äärellisessä alueessa jonka reunalla ratkaisun käyttäytyminen tunnetaan (reunaehdot). Aloitamme kuitenkin yksiulotteisella aaltoyhtälöllä, jolle käyttökelpoinen kolmas menetelmä on ns. d Alembertin ratkaisu. Sen esittelyn jälkeen siirrymme Fourier-menetelmään ja separointimenetelmään, jotka ovat siis jokaiselle fyysikolle tärkeimmät opittavat menetelmät. 3. Aaltoyhtälö 3.. d Alembertin ratkaisu Aloitamme tutkimalla yksiulotteista aaltoyhtälöä 2 u c 2 t 2 u 2 x = 0 (3.) 2 alueessa x R, t > 0. Tehdään valistunut arvaus: muuttujanvaihto { ξ = x ct η = x + ct { x = (η + ξ)/2 t = (η ξ)/2. Miltä aaltoyhtälö (3.) näyttää näissä muuttujissa? Ketjusäännön nojalla eli Samoin joten x = ξ x ξ + η x η = ξ + η, ( 2 x = 2 ξ + ) 2 = 2 η ξ + 2 2 2 ξη + 2 η. 2 t = ξ t ξ + η t ( η = c η ), ξ ( 2 t = 2 c2 η ) 2 ( ) = c 2 2 ξ ξ 2 2 2 ξη + 2. η 2 Sijoittamalla saadut lausekkeet aaltoyhtälöön, saadaan (3.) 4 2 u ξη = 0 2 u ξη = 0. Näistä viimeisen yleinen ratkaisu on selvästikin u(η, ξ) = f(η) + g(ξ), missä f ja g ovat mielivaltaisia kahdesti derivoituvia funktioita R R. Niinpä päätellään, että (3.):n yleisen ratkaisun on oltava u(x, t) = f(x + ct) + g(x ct). (3.2) 6
Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla (Cauchyn) alkuehdot: { u(x, 0) = ϕ(x) u t (x, 0) = ψ(x) (3.3) Sijoittamalla ratkaisu (3.2) alkuehtoihin (3.3) saadaan ehto { f(x) + g(x) = ϕ(x) cf (x) + cg (x) = ψ(x) Näistä alempi voidaan integroida, jolloin saadaan f(x) g(x) = c x 0 ψ(s)ds + f(0) g(0). On siis oltava { f(x) + g(x) = ϕ(x) f(x) g(x) = x ψ(s)ds + f(0) g(0) c 0 eli { [ f(x) = 2 ϕ(x) [ c g(x) = 2 ϕ(x) + c x 0 x ψ(s)ds + f(0) g(0)] ψ(s)ds f(0) + g(0)]. 0 Niinpä yksikäsitteiseksi (3.):n ja (3.3):n toteuttavaksi ratkaisuksi saadaan u(x, t) = 2 nk. D Alembertin ratkaisu. [ ϕ(x ct) + ϕ(x + ct) + c x+ct x ct ] ψ(s)ds, (3.4) Eräs mielenkiintoinen erikoistapaus on ψ 0 ja ϕ(x) 0 jos ja vain jos x [ ɛ, ɛ] ( häiriö ). Tällöin ratkaisu on u(x, t) = (ϕ(x ct) + ϕ(x + ct)) (3.5) 2 eli superpositio kahdesta vastakkaiseen suuntaan etenevästä häiriöstä. Lisäksi häiriöt etenevät pitkin karakteristikoita ξ = x ct = vakio ja η = x + ct = vakio, ks. esimerkkikuva Fig. 3. 3..2 Opiskele etukäteen: Ratkaisu Fourier-muunnoksen avulla Vaihtoehtoinen lähestymistapa on yhtälön Fourier-muuntaminen. Menetelmä toimii ainakin silloin kun alkuehdon funktioiden Fourier muunnokset ja käänteismuunnokset ovat hyvin määriteltyjä (esim. kun ψ, Fψ, ϕ ja Fϕ ovat integroituvia) eli silloin, kun identiteetti f(x) = (F (Ff))(x) pätee molemmilla funktioilla. Tällöin voimme etsiä ratkaisua u(x, t) = 2π R 2 ũ(k, w)e i(kx ωt) dkdω. (3.6) Tällöin (k 2 ω2 2π R c 2 2 = (k 2 ω2 c 2 ) ũ(k, w) = ) ũ(k, w)e i(kx ωt) dkdω = c 2 2 u t 2 u 2 x = 0 2 ( k ω ) ( k + ω ) ũ(k, w) = 0. c c 7
Kuva 3: Valitsimme tähän esimerkkiin häiriöksi ϕ(x) = ( x 2 /ɛ 2 )e x2 /ɛ 2 Θ (ɛ 2 x 2 ), missä Heavisiden askelfunktio Θ(z) pitää huolen siitä, että häiriö on tarkkaan rajattu x-suunnassa ja ɛ = sekä aallon propagaationopeudeksi c = /2. Näin alkuperäinen osittaisdifferentiaaliyhtälö koordinaattiavaruudessa on muuntunut algebralliseksi yhtälöksi Fourier-avaruudessa. Ratkaisu löytyy käyttämällä hyväksi Diracin deltafunktion ominaisuutta xδ(x) = 0, näin ollen ũ(k, ω) 2π = δ(ω ck)a(k) + δ(ω + ck)b(k) eli u(x, t) = 2π R A(k)e i(kx ckt) + B(k)e i(kx+ckt) dk. Ratkaisun esittäminen Fourier-muunnoksena on myös helposti fysikaalisesti tulkittavissa. Se on summa (superpositio) monokromaattisia vastakkaiseen suuntaan eteneviä tasoaaltoja, painokertoimilla A(k) ja B(k), missä k on tasoaallon aaltoluku (ja λ = /k olisi sen aallonpituus). Jos aallosta valitaan jokin tietty kohta, esim. aallosta exp(i(kx ckt)) kohta jonka vaihetekijä on φ 0 = kx 0 ckt 0 ajanhetkenä t 0 kohdassa x 0, nähdään että myöhempänä ajankohtana t sama paikka aallosta on edennyt kohtaan x = x 0 + c(t t 0 ), jotta vaihetekijä olisi sama (eikä tarkasteltaisi eri kohtaa itse aallossa). Tasoaalto exp(i(kx ckt)) etenee siis positiivisen x-akselin suuntaan ( oikealle ). Katsotaan seuraavaksi mitä alkuehdoista (3.3) saadaan: (A(k) + B(k))e ikx dk = u(x, 0) = ϕ(x) = ϕ(k)e ikx dk 2π 2π R R eli Lisäksi, eli ic 2π R A(k) + B(k) = ϕ(k). k( A(k) + B(k))e ikx dk = u t (x, 0) = ψ(x) = 2π ick( A(k) + B(k)) = ψ(k). 8 R ψ(k)e ikx dk
Näistä voidaan ratkaista A(k) = 2 ( ϕ(k) + i c ) ψ(k) k (3.7) ja B(k) = 2 ( ϕ(k) i c ) ψ(k), (3.8) k jotka määräävät u(x, t):n yksikäsitteisesti. Vastaavasti kolmiulotteisessa tapauksessa, kun aaltoyhtälö on c 2 2 u t 2 2 u = 0, (3.9) voimme etsiä ratkaisua Fourier-muunnoksen avulla (x = (x, x 2, x 3 ), k = (k, k 2, k 3 )): u(x, t) = ũ(k, t)e i(k x ωt) d 3 kdω (2π) 4/2 R 4 = 0 = 2 u c 2 t u = ( k 2 ω 2 /c 2 )ũ(k, t)e i(k x ωt) d 3 kdω 2 (2π) 4/2 R 4 = 0 = (ω c k )(ω + c k )ũ(k, ω) joten yleinen ratkaisu on = ũ(k, ω) = 2π [δ(ω c k )A(k) + δ(ω + c k )B(k)], u(x, t) = [ A(k)e ic k t + B(k)e ic k t] e ik x d 3 k. (3.0) (2π) 3/2 R 3 Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla Cauchyn alkuehdot { u(x, 0) = ϕ(x) u t (x, 0) = ψ(x), (3.) missä x R 3 (Ehdot määräävät A:n ja B:n vastaavasti kuin -ulotteisessa tapauksessa). 3.2 Diffuusioyhtälö Tutkitaan vielä hieman toista yhtälöä, nk. diffuusioyhtälöä: u t D 2 u x 2 = 0, (3.2) missä < x < ja t > 0 sekä D R. Termodynamiikassa yhtälö (3.2) tunnetaan myös nimellä Fourier n (lämpö)yhtälö, jolloin se kuvaa lämmön johtumista väliaineessa (kun vallitsee lokaali terminen tasapaino jolloin u kuvaa paikallista lämpötilaa) ja vakiota D kutsutaan tässä yhteydessä lämmönjohtumisvakioksi (ja siitä käytetään usein merkintää α). Etsitään taas ratkaisua Fourier-muunnnoksen avulla. Voisimme edetä kuten aaltoyhtälön tapauksessa ja muuntaa kaikki muuttujat t, x. Tällä kertaa esittelemme kuitenkin toisen hyödyllisen 9
tavan: Fourier-muunnamme ainoastaan paikkamuuttujan x ja säilytämme aikariippuvuuden, u(x, t) = ũ(k, t)e ikx dk 2π R = 0 = u t Du xx = ( ) ũ(k, t) + Dk 2 ũ(k, t) e ikx dk 2π t Alkuehdosta = tũ(k, t) = Dk2 ũ(k, t) = ũ(k, t) = ũ(k, 0)e Dk2t. u(x, 0) = ϕ(x) = 2π R R ϕ(k)e ikx dk saadaan ũ(k, 0) = ϕ(k). Niinpä yleinen ratkaisu on u(x, t) = ϕ(k)e ikx Dk2t dk. (3.3) 2π R Huomaa että ratkaisu pysyy rajoitettuna (kun t vain jos Dt > 0 eli D > 0 ja t > 0 tai D < 0 ja t < 0); diffuusioyhtälö kuvaa irreversiibeliä prosessia. Tämä on seuraus siitä että diffuusioyhtälö ei ole invariantti aikaheijastuksen t t suhteen. Mitä jos valitaan ϕ(x) = S δ(x) = pistelähde? Tällöin ϕ(k) = S/ 2π ja ( ) u(x, t) = S S exp x2 ( ( ) ) e ikx Dk2t 4Dt Dtk 2 ik dk = exp 2π 2π 2 dk. Dt Tekemällä muuttujanvaihto z = Dtk saadaan ( ) S exp x2 4Dt u(x, t) = 2π Dt R ik 2 Dt ic ic R =: Dtk ik 2 Dt ci, jolloin dk = dz/ Dt, e z2 dz = ) S exp ( x2. 4πDt 4Dt Viimeinen välivaihe, eli integraali = π, jääköön ylimääräiseksi harjoitustehtäväksi (vrt. FyMM Ia). Vastaavasti valinnalla ϕ(x) = Sδ(x x 0 ) saadaan u(x, t) = S 4πDt exp ( (x x 0) 2 Alkuarvo-ongelman u(x, 0) = ϕ(x) = ϕ(x 0 )δ(x x 0 )dx 0 ratkaisu saadaan superponoimalla pistemäisen lähteen ratkaisut (summa integraali): Tässä painofunktio on u(x, t) = R 4Dt ). ϕ(x 0 ) exp ( (x x ) 0) 2 dx 0. 4πDt 4Dt K(x, t) = exp ( (x x ) 0) 2, (3.4) 4πDt 4Dt jota kutsutaan diffuusioyhtälön fundamentaaliratkaisuksi (eri yhteyksissä myös Greenin funktio, lämpöydin, lähdefunktio tai propagaattori). Näin saatu kaava on siinä mielessä kätevämpi, ettei tätä varten tarvitse laskea alkudatan Fourier-muunnosta! 20
3.3 Aaltoyhtälö äärellisellä välillä, ratkaisu separointimenetelmällä Seuraavaksi esittelemme toisen tärkeän ratkaisumenetelmän, separointimenetelmän eli muuttujien erottelumenetelmän. Sitä käytetään tapauksessa jossa yhtälön ratkaisua etsitään äärellisessä alueessa. Esimerkkimme tavoitteena on nyt ratkaista 2 u c 2 t 2 u = 0, (3.5) 2 x2 äärellisessä alueessa 0 < x < L ja ajoille t > 0. Lisäksi tietysti vaaditaan (Cauchyn) alkuehto: { u(x, 0) = ϕ(x) u t (x, 0) = ψ(x), (3.6) kun 0 < x < L. Koska alue on äärellinen, on uutena lisätietona asetettava reunaehdot pisteissä x = 0 ja x = L (t > 0). Esimerkiksi u(0, t) = u(l, t) = 0 kaikilla t > 0 (kuvaa värähtelevää kieltä, jonka päät pysyvät paikoillaan, kuten esim. kitarassa). Reunaehtoja joissa poikkeama u on vakio (nolla), kutsutaan myös Dirichlet n reunaehdoiksi. Kun reunaehdot ovat jaksollisia, voidaan u(x, t) kehittää Fourier-sarjaksi x:ssä. Tällöin ODY palautuu ryhmäksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä Fourier-sarjan kertoimille. Esimerkiksi yo. reunaehdoilla ratkaisu voidaan arvata olevan muotoa u(x, t) = a n (t) sin( nπx L ), n= missä kertoimet a n (t) ratkaistaan sijoittamalla eo. yrite yhtälöihin (3.5) ja (3.6) ja ratkaisemalla niistä saatavat yhtälöt kertoimille a n. Esittelemme nyt separointimenetelmän tarkastelemalla yksityiskohtaisemmin toista esimerkkiä, missä alkuehdot ovat kuten yllä, mutta reunaehdot ovat { u(0, t) = 0 u x (L, t) = 0. (3.7) Tämä kuvaa värähtelevää kieltä, jonka toinen pää (x = L) on vapaa (ns. Neumannin reunaehto). Ratkaistaan muuttujien erottelulla: Etsitään ratkaisua, joka on muotoa u(x, t) = X(x)T (t). Tällöin (3.5) T (t)x(x) = c 2 T (t)x (x) T (t) T (t) = c2 X (x) X(x). Koska vasen puoli riippuu t:stä ja oikea vain x:stä, on molempien oltava vakioita. Vakion nimeäminen ei ole aivan yhdentekevää. Tässä tapauksessa kätevä valinta on λ 2, sillä X:n ja T :n nähdään silloin toteuttavan tuttu harmonisen oskillaattorin differentiaaliyhtälö jonka ratkaisujen pitäisi olla joka fyysikolle tuttuja: Reunaehdoista seuraa nyt X (x) = (λ/c) 2 X(x) = X(x) = A sin(λx) + B cos(λx). X(0) = 0 = B = 0 (3.8) X (L) = 0 = Aλ c cos(λl c ) = 0 (3.9) = λ = λ n = c L (2n + )π 2 = cπ L (n + ), n = 0,, 2, 3,... (3.20) 2 2
Vain tietyt arvot (nk. ominaisarvot) kelpaavat! Niinpä ja X(x) = A n sin((n + 2 )πx L ) T (t) = C n sin(λ n t) + D n cos(λ n t) vastaavasti. Aaltoyhtälön yleinen ratkaisu reunaehdoilla u(0, t) = u x (L, t) = 0 on siis u(x, t) = [C n sin(λ n t) + D n cos(λ n t)] sin( λ nx ). (3.2) c n=0 Lopulta kertoimet C n ja D n määräytyvät alkuehdoista D n sin((n + /2) πx ) = u(x, 0) = ϕ(x) L ja n=0 n=0 Käyttäen identiteettiä (ξ = x/l) (n + /2) πc L C n sin((n + /2) πx L ) = u t(x, 0) = ψ(x). ( ominaisfunktioiden ortogonaalisuus ), saadaan 0 sin[(n + /2)πξ] sin[(k + /2)πξ]dξ = 2 δ nk D n = 2 L L ja 2 C n = c(n + /2)π jotka määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti. 0 ϕ(x) sin[(n + /2)πξ]dx (3.22) L Sopivan tasoisia lisäesimerkkejä laskettaviksi 0 ψ(x) sin[(n + /2)πξ]dx, (3.23) Esimerkki 3. Osoita sijoittamalla että d Alembertin ratkaisu toteuttaa -ulotteisen aaltoyhtälön. Esimerkki 3.2 Ratkaise -ulotteinen aaltoyhtälö alkuehdoilla (Käytä d Alembertin ratkaisua.) Esimerkki 3.3 Ratkaise aaltoyhtälö (c = ) äärellisellä välillä 0 x, Dirichlet n reunaehdoilla ja alkuehdoilla u(x, 0) = sin x ; u t (x, 0) = x 2. (3.24) 2 t u(t, x) 2 xu(t, x) = 0 (3.25) u(0, t) = u(, t) = 0 (3.26) u(x, 0) = sin πx + 2 sin 3πx + 3 sin 7πx ; u t(x, 0) = π sin 2πx. (3.27) 22
Esimerkki 3.4 Ratkaise vaimennettu (screened) Poissonin yhtälö 2 u( r) λ 2 u( r) = ρ( r) (3.28) kahdessa ulottuvuudessa Fourier-muuntamalla. Oleta sen jälkeen että ρ( r) = ρ(r), missä r r (kiertosymmetria). Sievennä ratkaisua, voit tarvita Besselin funktion integraaliesitystä J 0 (x) = π Erityisesti voit vielä tarkastella tapausta ρ( r) = ρ 0 δ( r). 3.4 Toisen asteen ODYiden luokittelu π dϕ e ix sin ϕ. (3.29) Yleisin toisen asteen kvasilineaarinen 3 ODY R n :ssä on muotoa: 2 u A ij (x) + F (u, x, u ) = 0. (3.30) x i x j x i ij= Oletamme että kerroinfunktiot A ij (x) ovat reaaliarvoisia, jolloin voimme ajatella niiden olevan n n-reaalimatriisin A = (A ij (x)) komponentteja. Käytimme yhtälössä (myös jatkossa) lyhennettä F (u, x, u xi ) := F (u, x, u x,..., u xn ). Koska u xi x j = u xj x i, voimme olettaa A ij = A ji. Miksi? Tarkastellaan summaa ij A ijm ij, missä M ij = i j = j i = M ji. A ij t voidaan hajoittaa symmetriseen ja antisymmetriseen osaan: A ij = 2 (A ij + A ji ) + 2 (A ij A ji ) =: A s ij + A a ij, missä A s ij = A s ji ja A a ij = A a ji. Tällöin A ij M ij = ij ij A s ijm ij + ij A a ijm ij, mutta jälkimmäinen summa häviää, sillä A a ijm ij = A a ijm ji = ij ij ij A a jim ji = ij A a ijm ij, missä viimeisessä välivaiheessa vain nimesimme indeksit uudelleen (muista x = x x = 0). Voimme siis tarvittaessa symmetrisoida (A ij ):n muuttamatta yhtälöä. Tarkastellaan seuraavaksi kerroinmatriisin A ij (x) ominaisarvoja. Ominaisarvot saadaan ratkaistua ominaisarvoyhtälöstä det(a λi n ) = 0, (3.3) missä I n on n n-yksikkömatriisi. Ominaisarvoyhtälöstä saadaan n kappaletta ominaisarvoja λ i, joista osa voi olla samoja, jos ominaisarvoyhtälöllä on moninkertainen juuri jonkin tietyn arvon kohdalla (tällöin ominaisarvo on degeneroitunut). Ominaisarvot tarjoavat tavan luokitella toisen asteen kvasilineaariset ODYt elliptisiin, hyperbolisiin ja parabolisiin yhtälöihin. Koska kerroinmatriisi oli reaaliarvoinen ja symmetrinen, kaikki ominaisarvot ovat reaalilukuja. Elliptisen yhtälön tapauksessa kaikki ominaisarvot ovat samanmerkkisiä, joko positiivisia tai negatiivisia. Hyperbolisen yhtälön tapauksessa taas osa ominaisarvoista on positiivisia ja 3 Muistutus: kvasilineaarinen = lineaarinen korkeimmassa kertaluvussa. 23
osa negatiivisia. Jos yksi tai useampi ominaisarvo on nolla ja muut ominaisarvot ovat samanmerkkisiä, yhtälö on parabolinen. Mikäli vain yksi ominaisarvo on nolla, yhtälö on normaalinen parabolinen yhtälö. Koska kerroinmatriisi, ja siten myös ominaisarvot, voi riippua muuttujista, yhtälön tyyppi voi vaihdella pisteittäin. Miksi tällainen luokittelu sitten on kätevä? Tarkastellaan seuraavaksi vakiokertoimista tapausta, jossa siis kerroinmatriisi ja ominaisarvot ovat vakioita. Koska matriisi A on reaalinen ja symmetrinen voidaan muuntaa diagonaalimatriisiksi similaarimuunnoksella ja sitä vastaavalla lineaarisella muuttujanvaihdolla 4. Aloitetaan määrittämällä ortogonaalinen 5 matriisi O, joka diagonalisoi matriisin A. Matriisin diagonalisoinnin pitäisi olla tuttua Mapu II:lta, joten kerrataan tässä vain tärkeimmät asiat. Matriisi saadaan diagonalisoitua määrittämällä sen ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit, ja asettamalla nämä ominaisvektorit matriisin O sarakevektoreiksi. Ominaisvektorit v i saadaan tutusta kaavasta ja matriisi diagonalisoiva matriisi on tällöin A v i = λ i v i, (3.32) O = ( v v 2 v n ). (3.33) Tässä kohdassa on tärkeää muistaa normittaa ominaisvektorit ( v i = ). Koska reaalisen symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortonormitettuja, matriisi O on ortogonaalinen: v 2 0 0 O T 0 v 2 2 0 O =...... = I n. (3.34) 0 0 v n 2 Diagonalisointi tapahtuu nyt similaarimuunnoksella, eli kertomalla matriisi A vasemmalta puolelta transpoosilla O T ja oikealta matriisilla O: λ 0 0 O T 0 λ 2 0 AO =......, (3.35) 0 0 λ n jolloin ominaisarvot asettuvat diagonaalille ominaisvektorien mukaisessa järjestyksessä. Mitä merkitystä tällä sitten on differentiaaliyhtälön ja muuttujien kannalta? Tarkastellaan muuttujanvaihtoa x i = O ij ξ j, (3.36) j= jonka käänteismuunnos on yhtälön (3.34) nojalla ξ i = O T ijx j = j= O ji x j. (3.37) j= 4 Jos kertoimet eivät ole vakioita, muuttujanvaihto on epälineaarinen, eikä matriisia A pysty diagonalisoimaan näin yksinkertaisella menetelmällä. 5 Ortogonaalinen matriisi O toteuttaa O T O = OO T = I. 24
Osittaisderivaatat muuntuvat nyt ketjusäännön mukaisesti x i = j= ξ j ξ j x i = Sijoittamalla tämän tuloksen differentiaaliyhtälöön (3.30) saamme i,j= A ij k= ξ k O ik l= (O T AO) kl ξ k λ k δ kl ξ k k,l= k,l= k= j= ( O jl u + F u, ξ i, ξ l ξ l u + F ξ l u + F 2 λ k u + F ξk 2 ξ j O ij. (3.38) ( u, ξ i, ( u, ξ i, ( u, ξ i, ) = 0 ξ i (3.39) ) = 0 ξ i (3.40) ) = 0 ξ i (3.4) ) = 0. ξ i (3.42) Kun lisäksi skaalataan muuttujat ξ k s.e. toisen kertaluvun kertoimet tulevat ±ykkösiksi, on yhtälö niin kutsutussa normaalimuodossa. Kannattaa huomata, että ominaisarvot kertovat toisen kertaluvun termejä, ja näiden termien joukossa ei ole sekatermejä, joissa esiintyisi kahden eri muuttujan osittaisderivaattoja. Tämä on hyödyllistä, sillä se mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen separointimenetelmällä. Palataan nyt aiempaan kysymykseen siitä, miksi ominaisarvot ovat hyödyllisiä yhtälöiden luokittelussa. Korkeimman kertaluvun termit määräävät differentiaaliyhtälön käyttäytymisen yleisellä tasolla, joten normaalimuodossa ominaisarvot määräävät yhtälön käyttäytymisen, ja sen minkälaisia alku- ja reunaehtoja voidaan asettaa. Yhtälöiden luokittelu kerroinmatriisin ominaisarvojen mukaan perustuu juuri tähän ominaisuuteen. Tarkastellaan seuraavaksi eri yhtälöluokkia. Elliptinen yhtälö Kaikki ominaisarvot λ i 0 ja samanmerkkisiä. Esimerkiksi yhtälöt u = 0 u = f (Laplace) (Poisson) ( ± k 2 )u = 0 (Helmholtz) ovat elliptisiä (kaikilla A = = yksikkömatriisi on valmiiksi diagonalisoitu). Voimme olettaa että λ i > 0 kaikilla i (kerrotaan tarvittaessa yhtälöä :llä). Tehdään lisäksi muuttujanvaihto z k = ξ k / λ k, jolloin λ k 2 u ξ 2 k = 2 u. zk 2 Elliptinen yhtälö saadaan siis aina nk. normaalimuotoon k= 2 u z 2 k + F (z, u, u z i ) = 0. (3.43) 25
Hyperbolinen yhtälö Kaikki ominaisarvot λ i 0, mutta erimerkkisiä. Esimerkiksi aaltoyhtälö, on hyperbolinen sillä tällöin A = 2 u u = 0, c 2 t2 0 0 0 c 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mikä on hyperbolisen yhtälön normaalimuoto? Indeksöidään ominaisarvot s.e. λ,..., λ p > 0 ja λ p+..., λ n < 0, < p < n. Muuttujanvaihdolla z k = ξ k / λ k yhtälö saadaan muotoon p k= 2 u z 2 k k=p+ 2 u z 2 k joka on normaalimuoto hyperbolisessa tapauksessa. Parabolinen yhtälö. + F (z, u, u z i ) = 0, (3.44) Vähintään yksi λ i = 0; normaalinen parabolinen, jos tasan yksi ominaisarvo 0 ja muut samanmerkkisiä. Esimerkiksi diffuusioyhtälö on (normaalinen) parabolinen yhtälö, sillä tällöin Muuttujakertoimiset yhtälöt A = 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 D 0 0 0 0 D Jos A ij (x) ei ole vakio, yhtälön tyyppi määritellään pisteittäin ja se voi vaihdella pisteestä toiseen. Esimerkiksi Tricomin yhtälö y 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0 on hyperbolinen alueessa y < 0, elliptinen alueessa y > 0 ja (normaalinen) parabolinen suoralla y = 0.. Luennoilla laskettuja esimerkkejä Esimerkki 3.5 Mikä on yhtälön xu(x, 2 y) 2 x y u(x, y) + 3yu(x, 2 y) = 0 tyyppi? Muunna yhtälö normaalimuotoon. Esimerkki 3.6 Tutki alueittain mitä tyyppiä on yhtälö yxu(x, 2 y) 2x x y u(x, y) + xyu(x, 2 y) = 0. 26
3.5 Karakteristiset pinnat Karakteristiset pinnat ovat pintoja ω(x,..., x n ) = vakio, jotka toteuttavat epälineearisen ODYn A ij (x) ω ω x i x j = 0. (3.45) ω(x)=0 i,j= Tapauksessa n = 2, ω(x, y) = vakio on käyrä (karakteristika), ja yleisessä tapauksessa (n )- ulotteinen pinta. Diagonalisoivissa muuttujissa ξ i (kts. edellinen kappale), on ( ) 2 ω (3.45) λ k = 0, (3.46) ξ k k= joten elliptisessä tapauksessa ei ole reaalisia karakteristisia pintoja. Jos laajennamme karakteristisen pinnan käsitteen myös kompleksiarvoisiin tapauksiin, saamme elliptisessä tapauksessa ratkaisuja kompleksilukujen joukossa. Esimerkiksi kaksiulotteiselle Laplacen yhtälölle ) 2 ) 2 + = 0, jonka ratkaisut ovat Hyperbolisessa tapauksessa (3.45) (3.45) ( ω x ( ω y ω(x, y) = y ± ix + C. (3.47) p k= ( ) 2 ω λ k = ξ k k=p+ ( ) 2 ω λ k ξ k joten reaalisia ratkaisuja löytyy. Esimerkiksi aaltoyhtälölle (Huom. x R n ) (3.45) ( ) 2 ω = ω ω, c 2 t jonka ratkaisuja ovat mm. valokartiot sekä valoluontoiset tasot w(t, x) = c 2 (t t 0 ) 2 x x 0 2 w(t, x) = ct + e x C, eli valokartioiden tangenttitasot, missä C on vakio ja e =. (Normaalissa) Parabolisessa tapauksessa (3.45) k=+m ( ) 2 ω λ k = 0, (3.48) ξ k missä 0 < m < n, joten reaalisia ratkaisuja ei ole. Esimerkiksi kaksiulotteiselle diffuusioyhtälölle (kaksi paikkakoordinaattia ja aikakoordinaatti) ( ) 2 ( ) 2 ω ω (3.45) + = 0, x y jonka ratkaisut ovat aiemman perusteella ω(x, y) = y ± ix + C. (3.49) 27
3.6 Yleinen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY Yleisessä kahden muuttujan tapauksessa jolloin kerroinmatriisi on a(x, y) 2 u x 2 + 2b(x, y) 2 u yx + c(x, y)2 u y 2 + F = 0, ( a b A = b c Ominaisarvot saadaan yhtälöstä det(a(x) λ)) = a λ b jonka ratkaisu on selvästi λ = λ(x, y) = a + c 2 = a + c 2 ). b c λ = 0, (a + c) 2 ± ac + b 4 2 (a + c) 2 ± det(a). 4 Kerroinmatriisin determinantti määrää nyt yhtälön luonteen det(a) > 0 = elliptinen det(a) = 0 = parabolinen det(a) < 0 = hyperbolinen. Tämä determinanttisääntö on voimassa vain kahden muuttujan tapauksessa. Esimerkiksi (2+)- ulotteiselle aaltoyhtälölle det(a) =, mutta yhtälö on silti hyperbolinen. Kannattaa myös huomata, että yleisessä tapauksessa determinantti on muuttujien funktio, ja yhtälön tyyppi voi vaihdella pisteittäin. Eräs hyödyllinen menetelmä yleisen yhtälön L(u) = a 2 u x 2 + 2b 2 u xy + c2 u y 2 = 0 (3.50) ratkaisemiseksi on karakterististen käyrien integrointi. Karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ω ω ω ω a + 2b + c = 0. (3.5) x x y y Aiemmin todettiin, että karakteristiset pinnat ovat pintoja ω(x, y) = vakio, joten karakteristisen käyrän differentiaali on dω = ω x dx + ω y dy = 0. (3.52) Tästä saamme säännön ω x = dy ω y dx, (3.53) ja sijoittamalla yhtälöön (3.5) (ja jakamalla puolittain ωy:lla) 2 saamme ( ) 2 ( ) dy dy a 2b + c = 0. (3.54) dx dx 28
Saimme siis toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisu on dy dx = b ± b2 ac = b ± det A. (3.55) a a Integroimalla puolittain saamme karakteristiset pinnat muodossa ω(x, y) = C, (3.56) missä C on integroimisvakio. Näemme nyt, että kerroinmatriisin determinantti det(a) määrää karakterististen pintojen luonteen, kuten aiemman perusteella voisi olettaakin. Vakiokertoiminen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY Tarkastellaan seuraavaksi vakiokertoimista yhtälöä, jolloin yhtälön (3.55) integrointi on triviaalia ja saamme karakteristikoiksi ω(x, y) = y + r ± x = y b ± det A x = C = vakio. (3.57) a missä r ± ovat yhtälön juuret. Hyperbolisessa tapauksessa det(a) < 0 ja molemmat juuret ovat reaalisia. Yleinen ratkaisu on tässä tapauksessa u(x, y) = F (y + r + x) + G(y + r x), (3.58) missä F ja G ovat mielivaltaisia kahdesti derivoituvia funktioita eli F, G C 2. Parabolisessa tapauksessa det(a) = 0 ja juuret yhtyvät r + = r r eli saamme vain yhden ratkaisun u (x, y) = F (y + rx). (3.59) Toinen ratkaisu on esimerkiksi u 2 (x, y) = xg(y + rx) sillä L(u 2 ) = xg (y + rx) (a b2 a 2b b ) 2 a + c + G (y + rx) ( 2a ba ) + 2b = 0. (3.60) Elliptisessä tapauksessa taas det(a) > 0, jolloin juuret ovat kompleksisia ja r + = r r. Yleinen ratkaisu on tällöin kompleksinen u(x, y) = F (y + rx) + G(y + rx), (3.6) mutta reaali- ja imaginääriosat toteuttavat differentiaaliyhtälön erikseen. Esimerkiksi Laplacen yhtälölle yleinen ratkaisu on funktion u(x, y) = f(x + iy) + g(x iy) reaali- tai imaginääriosa. Valitsemalla g 0 ja merkitsemällä z = x + iy huomataan, että ratkaisu on jonkin analyyttisen funktion reaali- tai imaginaariosa. Toisaalta analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosat ovat aina harmonisia (FyMM Ia). 3.7 Alkuehdot Oikeat alku- ja reunaehdot tekevät ratkaisun yksikäsitteiseksi. Yhtälön tyyppi määrää, mitkä alkuehdot ovat sopivat. 29
3.7. Hyperboliset yhtälöt Tarkastellaan yhtälöjä, jotka ovat (sopivien muuttujien vaihtojen jälkeen) muotoa u tt (x,..., x n ; t) = c 2 u xi x i + f(x, t, u, u xi, u t ), (3.62) i= missä x = (x,..., x n ) U R n ja t (t 0, ). Mikäli U R n, on annettava reunaehdot ratkaisualueen reunalla. Kun ratkaisualue U (t 0, ) on tarpeeksi säännöllinen (ja luonnollisesti yhtenäinen), on sen reuna sileä (hyper)pinta f(x, t) = 0. Hyperboliseen tapaukseen käy Cauchyn reunaehdot: u(x,..., x n, t) = ϕ(x,..., x n, t) ja (3.63) u n = n u = ψ(x,..., x n, t) (3.64) kaikilla (x, t), jotka kuuluvat alueen reunalle (f(x, t) = 0), missä on pinnan f(x, t) = 0 n normaaliderivaatta. Tärkeää: Pinta f = 0 ei saa olla karakteristinen pinta ω = 0! Selitämme syyn rajoitukseen kahdessa ulottuvuudessa u = u(x, t) (epä)homogeenisille yhtälölle L(u) = au xx + 2bu xt + cu tt F (x, t,...) = 0. Reunapinta (eli reunakäyrä) olkoon C 0 = {(x 0 (s), t 0 (s)) : s R}. Sen tangenttivektori kohdassa s on (dx 0 /ds, dt 0 /ds) ja normaalivektori n(s) = (dt 0 /ds, dx 0 /ds). Oletetaan että alkuehtoina on annettu ratkaisun u(t, x) ja sen normaaliderivaatan u/n = n u arvo käyrällä C: u u(x 0 (s), t 0 (s)) = f(s) sekä n (x 0(s), t 0 (s)) = g(s), missä siis f(s) ja g(s) ovat alkuehtoina annettuja funktioita. Seuraavakse kokeilemme pystymmekö ODY:ä käyttäen löytämään ratkaisun u(x, y):n yksikäsitteisesti myös alkuehtokäyrän C 0 :n ympäristössä. Käytämme apuna (kahden muuttujan) Taylorin kehitelmää. Olkoon (x 0, t 0 ) := (x 0 (s), t 0 (s)) C 0, tällöin u(x, t) = u(x 0, t 0 ) + u x (x 0, t 0 )(x x 0 ) + u t (x 0, t 0 )(t t 0 ) + 2 u xx(x 0, t 0 )(x x 0 ) 2 + u xt (x 0, t 0 )(x x 0 )(t t 0 ) + 2 u tt(x 0, t 0 )(t t 0 ) 2. Löydämme siis yksikäsitteisen ratkaisun jos pystymme ratkaisemaan kaikkien termien kertoimet alkuehtojen ja ODY:n avulla. Ensimmäinen nollannen kertaluvun termi u(x 0 (s), t 0 (s)) = f(s) tunnetaan, entä ensimmäisen kertaluvun kerrointermit u x ja u t? Yksi yhtälö niiden ratkaisemiseksi saadaan kun kirjoitetaan f (s) }{{} tunnetaan = u (s) = u x (x 0, t 0 ) dx 0(s) ds }{{} tunnetaan +u t (x 0, t 0 ) dt 0(s), } ds {{} tunnetaan mutta tarvitsemme vielä toisen yhtälön. Tämä saadaan toisesta Cauchyn ehdosta kirjoittamalla g(s) = u }{{} tunnetaan Näistä voimme siis ratkaista u x :n u y :n. n = n u = ux(x 0, t 0 ) dt0(s) } ds {{} tunnetaan 30 u t (x 0, t 0 ) dx 0(s). } ds {{} tunnetaan