Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman Geogebran CAS puolen toiminnon ( CAS = computer algebra system = symbolinen laskenta). CAS-ikkunan saat näkyviin valitsemalla Näytä valikosta CAS, tai tablettiversioissa valitsemalla alkuvalikosta CAS. Varmista, että löydät näppäimistöltä peruslaskutoimitusten merkit: kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus Lausekkeita voi sieventää kirjoittamalla ne ja painamalla rivinvaihtonäppäintä. Huomaa, muuttujien välinen kertolasku on aina merkittävä, koska symbolisessa laskennassa on sallittu monikirjaimiset muuttujan nimet. Geogebrassa kertolaskun voi tehdä välilyönnillä, itse en tätä suosittele. Symbolisen laskennan alkuun pääsee hyvin CAS-ikkunan komentopainikkeiden avulla. Ohjetekstin saat näkyviin viemällä hiiren komentopainikkeen päälle. Tarkka arvo Tarkista lauseke Sijoita Likiarvo Jaa tekijöihin Poista sulut Ratkaise Ratkaise numeerisesti
Yhtälöt ja epäyhtälöt voi CAS puolella ratkaista painikkeiden ratkaise ja ratkaise numeerisesti avulla. Kirjoita ensin esim. yhtälö ja paina painiketta. Ratkaise yhtälön ratkaisu tarkoilla arvoilla RatkaiseNumeerisesti yhtälön likiarvoratkaisu Tarkasta vastauksesta voi laskea likiarvon myös kopioimalla ensin vastaus uudelle riville ja painamalla likiarvo painiketta. Funktio määritellään := merkinnän avulla. Funktio kannattaa kirjoittaa Geogebraan tässä muodossa; funktion kuvaaja näkyy samalla Piirtoalueessa. Kun funktion lauseke on määritelty, funktion nollakohta ratkaistaan ratkaisemalla yhtälö f (x)=0. Ratkaise yhtälön ratkaisu tarkoilla arvoilla Likiarvo Edellisen kohdan vastaus kopioitu hiirellä napsauttamalla. Yhtälöparit voi ratkaista kirjoittamalla ensin yhtälöt omille riveilleen. Seuraavaksi valitse yhtälöt hiirellä yhtälöiden vieressä olevasta sinisestä alueesta, hiiren vasen painike alhaalla ja paina ratkaise painiketta.
Lausekkeen arvon voi laskea kahdella eri tavalla. Määritetään ensin funktio, ja sitten lasketaan arvo jossakin kohdassa. Tai kirjoitetaan lauseke, ja käytetään sijoita arvo painiketta. Tekijöihin jako. Jaa tekijöihin Lauseke kirjoitetaan tulomuodossa. Geogebran komento toimii silloin, kun lausekkeella juuret ovat rationaalilukuja. Komennolla ITekijät[<Polynomi>] jaetaan tekijöihin, kun juuret ovat irrationaalilukuja. Neliöön täydentäminen Komento täydentää neliöksi toisen asteen polynomifunktion. Ympyrän yhtälön saa muutettua muotoon (x x 0) 2 +(y y 0) 2 =r 2 kirjoittamalla ympyrän yhtälön syöttökenttään ja algebraikkunasta voi sitten muuttaa yhtälön haluttuun muotoon yhtälön kohdalta hiiren oikealla painikkeella avautuvasta valikosta.
Esim 1. Funktio f(x) = 2x 2 3x + 5 ja g(x) = x 2 + 6x. a) Laske funktion f arvo kohdassa x = 1. Miten tämä näkyy funktion kuvaajassa? b) Ratkaise yhtälö g(x) = 0. Miten nollakohdat näkyvät funktion kuvaajassa? c) Ratkaise yhtälö f(x) = g(x). Anna tarkka vastaus sekä kolmidesimaalinen likiarvo. Geogebrassa kannattaa aina tarkastella tilannetta myös piirtoalueessa. CAS-ikkunassa lasketun tuloksen saa näkyviin piirtoalueessa rivinumeron alla olevasta pallukasta. Alla olevassa kuvaajassa käyrien leikkauspisteet on erikseen määritelty piirtoalueen komennolla Kahden objektin leikkauspiste. Kolmidesimaalinen likiarvo saadaan valitsemalla Asetukset ja Pyöristä ylävalikosta.
Esim 2. Millä parametrin a arvolla x = 3 2 on yhtälön x 2 a x 3 = 0 ratkaisu. Ratkaisu. 1. Kirjoitetaan yhtälö ja käytetään sijoita arvo toimintoa. Annetaan x:n arvo. 2. Vastauksena saadaan yhtälö, jossa x:n arvo on sijoitettu. Saatu vastaus kopioituu, kun ensin hiirellä valitsee uuden laskentaruudun ja sitten hiirellä painaa saatua vastausta. Tämän jälkeen voi ratkaista a:n ratkaisupainikkeella. Itseisarvofunktio, itseisarvoyhtälö ja epäyhtälö Esim 3. Piirrä funktioiden f (x)= (x 2) ja g(x)= (x+4) kuvaajat. Ratkaise milloin a) f(x)=1, b) f(x)=g(x). Itseisarvofunktio (x) Geogebrassa ja laskimella on abs(x).
Onko ratkaise-komennon käyttäminen tässä kohtaa mielekästä? Tässä Geogebran tapa ratkaista yhtälö on pimennossa, puhutaan välineen käytöstä mustana laatikkona. Geogebraa voi käyttää myös niin sanottuna valkoisena laatikkona. Itseisarvoyhtälö ratkaistaan korottamalla molemmat puolet potenssiin kaksi. Lopussa pitää tarkistaa, kelpaako saatu ratkaisu, eli toteuttaako se alkuperäisen yhtälön. Hannu Mäkiö Komentoja analyyttisen geometrian kurssille Geogebrassa on varsin paljon CAS-puolen komentoja. Tutustu niihin. Etäisyys[<piste>, <piste>] laskee kahden pisteen välisen etäisyyden Etäisyys[<piste>, <suora>] laskee pisteen etäisyyden suorasta Suora[ <Piste>, <Piste> ] Suora[ <Piste>, <Yhdensuuntainen suora> ] Suora[ <Piste>, <Suuntavektori> ] Ympyrä[ <Piste>, <Säteen pituus> ] Ympyrä[ <Piste>, <Segmentti> ] Ympyrä[ <Piste>, <Piste> ] Ympyrä[ <Suora>, <Piste> ] Ympyrä[ <Piste>, <Piste>, <Piste> ] Ympyrä[ <Piste>, <Säde>, <Suunta> ] Ympyrä[ <Piste>, <Piste>, <Suunta> ]
Trigonometriset funktiot ja niiden käänteisfunktiot Yleensä laskimissa säädetään erikseen, lasketaanko kulmat asteina vai radiaaneina. GeoGebrassa toimitaan toisin. Kun trigonometristen funktioiden arvoja lasketaan asteina, tulee kirjoittaa aste merkki luvun perään. Käänteiset trigonometriset funktiot asind(), acosd() ja atand() palauttavat kulmat asteina. Vastaavat funktiot asin(), acos() ja atan() palauttavat kulman radiaaneina. Näitä funktioita käytettäessä kannattaa laskea tulos likiarvona. Esim. Suorakulmaisessa kolmiossa kulman vastaisen kateetin pituus on 7 ja hypotenuusan pituus on 9. Laske kulman suuruus. Ensimmäiseen riviin on kirjoitettu lauseke ja tarkista lauseke painikkeella GeoGebra toistaa saman. Varsinainen lasku on toisella rivillä, jolla kulman suuruus lasketaan. Esim. Kolmiossa kulman α = 69 viereisen sivun pituus on 5,0 ja vastakkaisen sivun pituus on 4,7. Laske vastakkaisen kulman suuruus sille sivulle, jonka pituus on 5,0. Tehtävän voi ratkaista eri tavoin GeoGebralla. Oikealla puolella on esitetty yksi. Tapa 2. Muistetaan siniyhtälössä kulmien perään laittaa aste merkki. Ratkaistaan yhtälö ratkaisepainikkeesta. Geogebra antaa aivan oikein äärettömän monta ratkaisua, mutta kun symbolisen laskun tuloksen kopioi seuraavalle riville ja ottaa siitä likiarvon, saakin kaksi erisuurta arvoa.