Matematiikan peruskäsitteitä

2 Matematiikan peruskäsitteitä Kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä kurssilla ei esitellä. Kurssilla ei siis tutkita raja-arvoja, ei derivoida, ei integroida eikä ratkaista yhtälöryhmiä. Kurssi ei edellytä mitään erityisiä esitietoja edes lukion matematiikasta, mutta osa käsitteistä on tuttuja lukiomatematiikasta ja opetus etenee lukiomatematiikkaa nopeammin. Kurssilla perehdytään jossain määrin matemaattisiin todistuksiin, mutta täsmällisen todistustekniikan hallitseminen ei ole välttämätöntä kurssin läpäisemiseksi. Tampereen yliopistossa kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn perehdytään systemaattisesti tällä kurssilla esitettyjen käsitteiden soveltamiseen erinäisissä todistustehtävissä. 1 Oheislukemisto Kurssin luentomateriaalin lähteenä on käytetty kirjaa Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan WSOY 2004

4 Kurssin sisältö Kurssi koostuu seuraavista osioista: Lauselogiikkaa Predikaattilogiikkaa Joukko-oppia Alkeita relaatioista Kuvaukset eli funktiot Relaation ominaisuudet 3 LAUSELOGIIKKAA Keskeiset asiat: 1 Konnektiivit: negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi 2 Totuustaulumenetelmä 3 Tautologiat 4 Looginen ekvivalenttisuus 5 Pätevä päättely Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 1, s. 7 21. Sopivaa oheislukemistoa on myös http://www.sis.uta.fi/ matematiikka/modaalilogiikka/logpk2003.pdf

6 Logiikasta Logiikkaa tutkitaan filosofiassa, matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteissä. Logiikan sanotaan usein olevan tiede, joka tutkii päätelmiä eli argumentteja. Se koettaa erotella pätevät päätelmät epäpätevistä. Nykyaikaisen käsityksen mukaan logiikka on kuitenkin paljon muutakin kuin pätevän päättelyn tutkimista. Se on erilaisten asioiden eksaktia analyysia. 5 Logiikasta Matemaattinen logiikka on matematiikan eräs osa-alue, mutta tällä kurssilla logiikkaa käsitellään pelkästään työvälineenä. Matematiikan määritelmät, lauseet ja päättelyt on esitettävä täsmällisesti ja riittävän yksityiskohtaisesti, mutta myös ymmärrettävästi ja lyhyesti. Jos käytettäisiin vain luonnollista kieltä, niin esityksestä tulisi pitkä ja kömpelö. Tarvitaan lyhennysmerkintöjä eli symboleja matemaattisille käsitteille ja päättelyille.

8 Propositio eli suljettu lause (Lause)logiikan yksinkertaisin tutkimuskohde on propositio eli suljettu lause eli lyhyesti lause. Propositio on ilmaisu, joka sisältää toden tai epätoden väitteen. Jos kyseessä on ilmaisu, jota ei lauselogiikan näkökulmasta voi jakaa osiin, propositiolle voidaan käyttää nimityksiä lausemuuttuja, atomilause tai propositiosymboli. Esimerkki: 1.1.2000 oli maanantai (atomilause) jos 1.1.2000 oli maanantai, niin 2.1.2000 oli tiistai (kaksi atomilausetta) maanantaita seuraava päivä on tiistai (atomilause lauselogiikan näkökulmasta) 7 Propositio eli suljettu lause Proposition käsite on ehkä filosofisesti ongelmallinen, mutta matematiikassa voidaan yksinkertaisesti konstruoida formaali systeemi määrittelemällä toden proposition totuusarvoksi 1 ja epätoden 0: Nyt sataa p tosi 1 epätosi 0

10 Loogiset konnektiivit Propositiologiikassa eli lauselogiikassa tutkitaan annetuista lauseista loogisten konnektiivien avulla muodostettavien lauseiden ominaisuuksia. Konnektiiveilla on vastineet luonnollisessa kielessä: Negaatio : ei, ei pidä paikkaansa, että... Konjunktio : ja, sekä... että... Disjunktio : tai, joko... tai... tai molemmat Implikaatio : jos..., niin..., Ekvivalenssi : jos ja vain jos..., niin.... 9 Loogiset konnektiivit Formaalisessa systeemissämme loogisia konnektiiveja voidaan määritellä totuustaulukoilla. Totuustaulukosta näemme yhdistetyn lauseen totuusarvon, kun alkuperäisten lauseiden p ja q totuusarvot tunnetaan. Negaatio ei p p p 0 1 1 0

12 Loogiset konnektiivit Konjunktio p ja q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 11 Loogiset konnektiivit Disjunktio p tai q p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

14 Loogiset konnektiivit Implikaatio jos p, niin q p q p q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 13 Loogiset konnektiivit Ekvivalenssi p, jos ja vain jos q p q p q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

16 Implikaatio Merkinnän p q muita lukutapoja: silloin kun p, niin q, p:stä seuraa q, p implikoi q:n, p on riittävä ehto q:lle, q on välttämätön ehto p:lle. 15 Riittävä ja välttämätön ehto Oletetaan, että p q tosi. Tällöin jos p on tosi, myös q on tosi. Siis p:n totuudesta seuraa q:n totuus. Siis p on riittävä ehto q:lle. Vastaavasti jos q on epätosi, niin myös p on epätosi. Siis p ei voi olla tosi, jollei q ole tosi. Siis q on välttämätön ehto p:lle.

18 Ekvivalenssi Merkinnän p q on muita lukutapoja: p silloin ja vain silloin, kun q, p ja q ovat ekvivalentteja eli yhtäpitäviä, p on välttämätön ja riittävä ehto q:lle. 17 Vertailua luonnolliseen kieleen Ja. Tavallisessa kielessä ja-sanalla voidaan ilmoittaa ajallisia ja muunkinlaisia järjestyksiä. Tai Luonnollisessa kielessä kaksi erilaista tai-sanaa. Esimerkki: (1) Viran kelpoisuusehtona on filosofian maisterin tai diplomi-insinöörin tutkinto (2) Lounaan jälkiruoaksi voidaan valita kahvi tai jäätelö Looginen konnektiivi vastaa tai-sanaa viranhakijan tulkinnalla. Tarjoilijan tulkinta on poissulkeva tai. Sille käytetään myös ilmausta joko... tai....

20 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos... niin. Lauselogiikan implikaatiolle ei voida antaa luonnollisen kielen syy-seuraus -tulkintaa. Tosi, mutta epämielekäs lause: 2 + 2 = 5 Kuu on juustoa 19 Vertailua luonnolliseen kieleen Miten osoittaa epätodeksi sinua koskeva väite Ulkona sataa Sinä et lähde kävelylle? Vastaus: odota sadetta ja lähde kävelylle. Siis implikaation etulause todeksi, jälkilause epätodeksi.

22 Vertailua luonnolliseen kieleen Jos ja vain jos... niin. Luonnollisessa kielessä tämän ilmauksen sijasta käytetään usein lyhyttä muotoa jos... niin eli implikaatiota. Esimerkki: Jos on totta Jos maksat 30 euroa, niin saat tämän kirjan niin tarkoitetaanko, että saat ottaa kirjan myös maksamatta? 21 Vertailua luonnolliseen kieleen Matematiikassakin on vakiintunut tapa, että määritelmissä sanotaan jos, vaikka tarkoitetaan jos ja vain jos. Esimerkiksi Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät tarkoittaa: Kolmiota sanotaan tasasivuiseksi, jos ja vain jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Matemaattisissa lauseissa on erittäin tärkeää erottaa, onko väite voimassa kumpaankin suuntaan vai pelkästään toiseen. Ilmaisu jos ja vain jos voidaan lyhentää muotoon joss (engl. iff ).

24 Jos vai joss? Laskemalla on helppo todeta, että jos x = 1, niin 3x 4 + 18x 2 + 3 = 12x(x 2 + 1). Mutta sen osoittaminen, että 3x 4 + 18x 2 + 3 = 12x(x 2 + 1), jos ja vain jos x = 1 vaatii paljon enemmän laskemista. 23 Useampi kuin yksi konnektiivi Sovimme loogisten konnektiivien suoritusjärjestykseksi 1 negaatiot, 2 konjunktiot ja disjunktiot, 3 implikaatiot ja ekvivalenssit, ellei sulkumerkein toisin ilmoiteta. Esimerkki on sama kuin p q q r (( p) q) (q r)

26 Useampi kuin yksi konnektiivi Yhdistettyjen lauseen totuusarvo kaikissa mahdollisissa tilanteissa? Tutkimme esimerkkinä totuustaulukon avulla lauseen p r q r totuusarvoa. 25 Esimerkki totuustaulusta p q r p r q r p r q r 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

28 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Loogiset konnektiivit eivät ole toisistaan riippumattomia. Voimme esimerkiksi määritellä muut konnektiivit negaation ja konjunktion avulla: p q := ( p q), p q := (p q), p q := (p q) (q p). Merkinnät :=, def =, = df yms. tarkoittavat, että määritellään samoiksi. ( def kuten definition eli määritelmä.) Yllä olevat määritelmät voi oikeuttaa totuustauluilla. 27 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Lauseiden p q ja ( p q) totuusarvot ovat samat: p q p q p q p q ( p q) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 Vastaavasti voidaan osoittaa, että lauseiden p q ja (p q) totuusarvot ovat samat.

30 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Totuustaulut voi tehdä myös lyhyemmin merkitsemällä totuusarvot suoraan ilman välivaiheita. Tällöin numeroinnilla voi osoittaa järjestyksen, missä totuustaulu on tehty. 1. vaiheessa merkitään totuustaulut atomilauseiden kohdalle. ( p q ) ( q p ) 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 4. 1. 3. 2. 1. 8. 7. 1. 6. 5. 1. Tämän totuustaulun viimeisessä eli 8. vaiheessa saatu sarake on sama kuin ekvivalenssin p q. 29 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Peruskonnektiiveiksi voimme ottaa myös esimerkiksi negaation ja disjunktion tai vaikkapa negaation ja implikaation. Negaatiota ei voi määritellä käyttämällä pelkästään konjunktiota, disjunktiota, implikaatiota ja ekvivalenssia.

32 Konnektiivien palauttaminen toisiinsa Poissulkeva tai-konnektiivin : Miten totuustaululla? p q def = (p q) (p q). Muitakin loogisia konnektiiveja voidaan määritellä, esimerkiksi Shefferin viiva (NAND, ei molemmat ) ja Peircen nuoli (NOR, ei... eikä... ) eli Nicodin funktio. Kaikki mahdolliset konnektiivit ovat palautettavissa kumpaankin niistä. 31 Esimerkkejä totuusarvojen määrittämisestä Tiedetään, että A on tosi ja B on epätosi, mutta lauseen C totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)? A C? B C 0 A C 1 B C? A C? B C 1 C A 1 C B?

Tautologia Tautologia on identtisesti tosi lause, eli se on tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Totuustaulussa sitä vastaavassa pystyrivissä pelkkiä ykkösiä. p 1... p n 2 p n 1 p n A 0... 0 0 0 1 0... 0 0 1 1 0... 0 1 0 1 0... 0 1 1 1.. 1... 1 1 1 1 33 Tautologia sataa ja tuulee p q ei ole tautologia; se antaa informaatiota säätilasta: sataa ja tuulee. sataa tai ei sada p p on tautologia, ei informaatioarvoa Kontradiktio eli ristiriita on lause, jonka negaatio on tautologia (tai yleisemmin loogisesti tosi). Huomaa, että myöskään kontradiktiolla sataa ja ei sada p p ei ole informaatioarvoa. Ovatko tautologiat hyödyttömiä? Eivät ole, esimerkiksi: Jos A B tautologia, niin tiedetään, että jos A on tosi, niin tiedetään, että myös B on tosi. 34

36 Tärkeitä tautologioita Tautologian voi tunnistaa luonnollisella päättelyllä eli pohtimalla tällaisten lauseiden merkitystä luonnollisessa kielessä. Alla A ja B voivat olla lausemuuttujia (p, q, r jne.) tai yhdistettyjä lauseita. Tautologia A A Nimi Identiteetin laki 35 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A A) A A A A Nimi Poissuljetun ristiriidan laki Poissuljetun kolmannen laki Kaksoisnegaation laki

38 Tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) A B (A B) A B A A A A A A A B B A A B B A Nimi de Morganin säännöt Idempotenssilait Vaihdantalait 37 Tärkeitä tautologioita Tautologia A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Nimi Liitäntälait Osittelulait (A B) A B Implikaation määritelmä (A B) (A B)

40 Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan ensiksi poissuljetun ristiriidan lakia. Koska lauseesta A ei ole tarkempaa tietoa, oletetaan olevan mahdollista, että se saa sekä totuusarvon 0 että 1. ( A A ) 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 4. 1. 3. 2. 1. 39 Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan seuraavaksi ensimmäistä de Morganin sääntöä. ( A B ) A B 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 3. 1. 2. 1. 7. 4. 1. 6. 5. 1. Tässä viimeksi tehty sarake on rutiinomainen tarkistus sille, että 3. ja 6. vaiheen sarakkeet, jotka edustavat ekvivalenssin vasenta ja oikeaa puolta, ovat samat. Osoitettaessa ekvivalenssia tautologiaksi tämän viimeisen vaiheen voi jättää poiskin ja tehdä vain ekvivalenssin vasemman ja oikean puolen totuustaulut.

42 Tautologiaksi osoittaminen Tarkastellaan kolmantena esimerkkinä osittelulakia. A B C A (B C) (A B) (A C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Lauseiden A (B C) ja (A B) (A C) totuusarvot ovat siis samat, joten ekvivalenssi A (B C) (A B) (A C) on tautologia. 41 Esimerkkejä tautologioista Edellä esitetyissä tautologioissa A, B ja C voivat siis viitata yhdistettyihin lauseisiin: (p q) (p q) (identiteetin laki) (p q r) (p q r) (poissuljetun kolmannen laki) p (q r) (q r) p (vaihdantalaki) ( p q) p q (de Morganin sääntö) p q (r s) (p q r) (p q s) (osittelulaki)

44 Looginen ekvivalenttisuus Jos lause A B on tautologia, niin lauselogiikan kannalta lauseiden A ja B merkitys on sama. Sanomme, että lauseet A ja B ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit. Merkitsemme tällöin A B. 43 Merkinnöistä ja Logiikassa on tapana käyttää implikaatiolle ja ekvivalenssille merkintöjä ja, jolloin merkinnät ja ovat metakielen käytössä. Muulle kuin logiikkaa käsittelevälle matematiikalle riittää merkinnät ja.

46 Ketjukonjunktiot ja -disjunktiot Lauseiden p (q r) ja (p q) r merkitys on sama, joten voimme käyttää merkintää p q r kummallekin. Vastaavasti ketjudisjunktio p q r. Tämä merkintätapa voidaan yleistää useammalle lauseelle, esimerkiksi: p 1 p 2 p 3 p n. 45 Lauseiden sieventäminen Yhdistetty lause ei muutu merkitykseltään, jos jonkin siinä esiintyvän lauseen tilalle sijoitetaan loogisesti ekvivalentti lause: Jos A B, niin C(... A...) C(... B...). Esimerkki 4 Sievennettävä lause (p q p q) esittämällä mahdollisimman yksinkertainen sen kanssa yhtäpitävä lause.

48 Lauseisen sieventäminen (p q p q) (implikaation määritelmä) ( (p q) ( p q) ) ( ) (kaksoisnegaatio) (p q) ( p q) (de Morganin sääntö) (p q) ( p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (kaksoisnegaatio) (p q) (p q) (idempotenssilaki) p q Siis lause on tautologia. (p q p q) p q 47 Päättely 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siis Sokrates on kuolevainen. Oletukset eli premissit: lauseet 1 ja 2. Johtopäätös: lause 3. Tämä päättely on pätevä.

50 Pätevä päättely Pätevä päättely säilyttää totuuden: jos premissit ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Vastaesimerkki pätevälle päättelylle: tilanne, jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös on epätosi. Todistusteoriassa tutkitaan formalisoituja päättelyitä; muoto ratkaisee Premissit: Johtopäätös: Jokainen A on B s on A s on B 49 Päättelyn formalisoinnista Kaikkea pätevää päättelyä ei voida formalisoida. Matematiikassakin käytetään tavallisesti luonnollista päättelyä. Matemaattiset päättelyt ovat usein pitkiä ja monimutkaisia. Logiikassa tutkitaan päättelyä pelkistetyssä muodossa. Kriteeri pätevälle päättelylle: Premisseistä A 1, A 2,..., A n voidaan tehdä johtopäätös B, jos (ja lauselogiikassa vain jos) A 1 A 2 A n B on tautologia.

52 Päättelyn merkintätavoista Sille, että premisseistä A 1, A 2,..., A n voidaan tehdä johtopäätös B, voidaan käyttää merkintätapaa A 1 A 2. A n B tai vähemmän tilaa vievää merkintää A 1, A 2,..., A n B Logiikassa käytetään merkintää B sille, että B on loogisesti tosi (tällaisen lauseen voidaan ajatella olevan pääteltävissä tyhjästä premissijoukosta). 51 Päättelyn formalisoinnista Esimerkiksi tautologiaa A (A B) B vastaa päättelysääntö modus ponendo ponens eli lyhyemmin modus ponens A, A B B Sitä käytetään usein: esimerkiksi tiedetään yleinen sääntö jos A, niin B, selvitetään, että A pitää paikkansa, ja tehdään johtopäätös, että B pitää paikkansa.

54 Päättelyssä tärkeitä tautologioita Tautologia (A B) (B A) (A B) Nimi Ekvivalenssin ja implikaation yhteys (A B) ( B A) Kontrapositio A (A B) B Modus ponendo ponens (A B) B A Modus tollendo tollens 53 Päättelyssä tärkeitä tautologioita A ( B A) B Reductio ad absurdum eli epäsuoran todistamisen sääntö (A B) (B C) (A C) Syllogismi

56 Esimerkki päättelyn osoittamisesta päteväksi Yleisesti jos pitää osoittaa lauselogiikan päättely A 1, A 2,..., A n B, voi totuustaululla osoittaa implikaation A 1 A 2 A n B tautologiaksi. Mutta tämän mekaanisen tavan sijasta voi myös pyrkiä osoittamaan, että oletuksesta A 1, A 2 jne. A n ovat tosia seuraa, että B on tosi. 55 Esimerkki päättelyn osoittamisesta päteväksi Tarkastellaan esimerkkinä syllogismia. Sen voi esittää päättelysääntönä A B, B C A C. Oletetaan nyt, että ( ) lauseet A B ja B C ovat tosia. Tällöin jos A on tosi, implikaation A B totuudesta seuraa, että B on tosi. Tällöin implikaation B C totuudesta seuraa, että C on tosi. Tässä tapauksessa siis A C on tosi. Toisaalta jos A on epätosi, niin triviaalisti A C on tosi. Kun siis oletetaan ( ), niin A C on tosi. Täten A B, B C A C.

58 Esimerkkejä päättelyistä A A B B A B B B A B 57 Esimerkkejä päättelyistä Olkoon päätelty B oletuksesta A: Tällöin voi päätellä A B. Tämän päättelyrakenteen voi esittää myös seuraavasti: A. B jos A B, niin A B.

60 Esimerkkejä päättelyistä Olkoon päätelty C sekä oletuksesta A että B. Tällöin voi oletuksesta A B päätellä C:n. Siis kaaviona Jos A C ja B C, niin A B C 59 Epäsuora todistus kaaviona Halutaan todistaa, että A. Tehdään vastaoletus: A ja johdetaan ristiriita. Tiedetään, että B. Päätellään B oletuksesta A: A. B Saatiin siis ristiriita B B. Vastaoletus on siis väärä ja voidaan päätellä, että A.

Esimerkki epäsuorasta todistuksesta Epäsuoraa todistusta voi käyttää myös logiikassa. Tarkastellaan uudelleen syllogismia A B, B C A C ja osoitetaan se päteväksi epäsuoralla todistuksella. Oletetaan, että A B ja B C ovat tosia ja tehdään vastaoletus, että A C on epätosi. Vastaoletuksen perusteella A on tosi ja C on epätosi. Koska A on tosi, niin oletuksen perusteella B on tosi. Tällöin oletuksen perusteella C on tosi, mutta tässä on ristiriita. 61

2 PREDIKAATTILOGIIKKAA Keskeiset asiat: 1 Universaali- ja eksistenssikvanttori 2 Peräkkäiset kvanttorit 3 Konnektiivien käyttö predikaattilogiikassa 4 Negaation siirto kvanttorien ohi Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 1, s. 22 30. 1 Predikaatti eli avoin lause 2 + 2 = 5 on epätosi propositio 3 + 2 = 5 on tosi propositio x + 2 = 5 ei ole suljettu lause, sillä sen totuusarvo riippuu muuttujan x arvosta. Predikaatilla eli avoimella lauseella tarkoitamme väitettä, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta. Se joukko, josta muuttuja valitaan, on predikaatin (muuttujan) määrittelyjoukko. Merkintä: p(x) (lue: x:llä on ominaisuus p).

4 Predikaatin määrittelyjoukko Predikaatin p(x) : x + 1 = 2 määrittelyjoukoksi voimme ottaa vaikkapa reaalilukujen joukon. p(2) ja p(3) ovat epätosia, sillä 2 + 1 2 ja 3 + 1 2. Mutta p(1) on tosi, sillä 1 + 1 = 2. 3 Predikaatti eli avoin lause Predikaatti eli avoin lause p(x) on siis ilmaisu, josta saadaan propositio eli suljettu lause aina, kun muuttujan x paikalle sijoitetaan predikaatin määrittelyjoukon alkio(n nimi). Yksipaikkainen predikaatti p(x) ilmaisee tiettyä ominaisuutta.

6 Useampipaikkainen predikaatti Kaksi- tai useampipaikkaiset predikaatit ilmoittavat suhteita määrittelyjoukkojen alkioiden välillä. p(x, y) luetaan: x ja y ovat keskenään suhteessa p. Esimerkki p(x, y) = x on suurempi kuin y, p(1, 0) on tosi, sillä 1 > 0. p(0, 1) on epätosi, sillä ei ole niin, että 0 > 1 (on voimassa 0 1). 5 Joukko-opin merkintöjä {x 1, x 2,..., x n } joukko, jonka alkiot ovat x 1, x 2,..., x n. Jos x kuuluu joukkoon A eli x on joukon A alkio, niin merkitsemme x A. Jos x A eli x ei kuulu joukkoon A, niin merkitsemme x A. Tyhjässä joukossa ei ole alkioita. Joukot voivat olla äärettömiä.

8 Joukko-opin merkintöjä N on luonnollisten lukujen 0, 1, 2,... joukko, Z on kokonaislukujen joukko, Z + on positiivisten kokonaislukujen 1, 2, 3,... joukko, Z on negatiivisten kokonaislukujen 1, 2, 3,... joukko, Q on rationaalilukujen joukko, Q + positiivisten ja Q negatiivisten, R on reaalilukujen joukko, R + positiivisten ja R negatiivisten, C on kompleksilukujen joukko. 7 Universaalikvanttori Universaalikvanttori eli kaikkikvanttori : x A : p(x) Joukon A kaikilla alkioilla on ominaisuus p p(x) on voimassa aina, kun x A. Esimerkki Lause x R : x 2 0 tarkoittaa, että jokaisen reaaliluvun neliö on ei-negatiivinen, ja on siis tosi.

10 Induktioperiaate formalisoituna Induktioperiaate on todistusmenetelmä, jossa todistetaan kaikkia luonnollisia lukuja 0, 1, 2,... koskeva väite osoittamalla ensin, että väite pitää paikkansa luvulle 0, ja sitten, että jos väite pitää paikkansa luvulle k, se pitää paikkansa myös luvulle k + 1. Voimme formalisoida induktioperiaatteen seuraavasti: p(0) k N : (p(k) p(k + 1)) n N : p(n) 9 Eksistenssikvanttori Eksistenssikvanttori eli olemassaolokvanttori : x A : p(x) Joukossa A on sellainen alkio, jolla on ominaisuus p Ominaisuus p on voimassa ainakin yhdellä joukon A alkiolla. Vaikka lauseissa x A : p(x) ja x A : p(x) on näkyvissä muuttuja x, nämä lauseet eivät ole avoimia vaan suljettuja. Nimittäin muuttuja x ei ole nyt vapaa vaan sidottu.

12 Eksistenssikvanttori Esimerkki Lause x R : x 2 5x + 6 = 0 on tosi, sillä löytyy reaaliluku (itse asiassa jopa kaksi), jolla on ominaisuus x 2 5x + 6 = 0. 11 Eksistenssikvanttori ja lukujoukot x N : x + 1 = 0 epätosi, x Z : x + 1 = 0 tosi. x Z : 2x = 1 epätosi, x Q : 2x = 1 tosi. x Q : x 2 = 2 epätosi, x R : x 2 = 2 tosi.

14 Eksistenssikvanttori ja lukujoukot x R : x 2 = 1 epätosi, x C : x 2 = 1 tosi. Lause x X : 0 x = 1 on epätosi, olipa X mikä lukujoukko tahansa. 13 Useampi kuin yksi kvanttori Esimerkki. (1) x N : y N : x + y = 0 Epätosi, koska (esimerkiksi) 1 + 1 0. (2) x N : y N : x + y = 0 Tosi, koska 0 + 0 = 0.

16 Useampi kuin yksi kvanttori (3) x Z : y Z : x + y = 0 Tosi, sillä kun x Z on annettu, niin x Z ja x + ( x) = 0. (4) y Z : x Z : x + y = 0 Epätosi; jos olisi olemassa tällainen y, niin esimerkiksi 0 + y = 0 = 1 + y, mutta tämä on mahdotonta. 15 versus x X : y X : p(x, y) y saa riippua x:stä y X : x X : p(x, y) y on valittava riippumattomasti x:stä

18 versus Esimerkki Lauseet ja x N : y N : x y x Z : y Z : x y ovat tosia, sillä aina, kun x on annettu luonnollinen luku tai kokonaisluku, löytyy sellainen y, että x y = 0, nimittäin vaikkapa y = x. 17 versus Mutta myös lause y N : x N : x y on tosi, sillä kun valitaan y = 0, niin x y = 0 olipa x mikä tahansa luonnollinen luku. Lause y Z : x Z : x y on sen sijaan epätosi. Nimittäin valittiinpa y miten tahansa, kokonaisluku y 1 ei ole sitä suurempi.

20 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Avoimesta lauseesta x + 1 > 0 2x 3 < 0 saamme olemassaolokvanttorilla suljetun lauseen x N : (x + 1 > 0 2x 3 < 0), joka on tosi (miksi?). Esimerkki Lause ( x Z : x > 0) ( x Z : x < 0) on tosi, mutta lause x Z : (x > 0 x < 0) epätosi. 19 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki (1) x R : x > 0 x + 1 > 0. Tutkimme predikaatin x > 0 x + 1 > 0 totuutta muuttujan x eri arvoilla: x > 0 x + 1 > 0 x 1 0 1 0 1 < x 0 0 1 1 x > 0 1 1 1 Siis lause (1) on tosi. Voimme täten ilman vaikeuksia tulkita tämän lauseen seuraavasti: Jos x > 0, niin x + 1 > 0.

22 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Lause x N : x + 1 > 0 x > 0 on epätosi, sillä 0 + 1 > 0, mutta 0 > 0 epätosi. 21 Loogisten konnektiivien käyttö Matematiikassa jätetään usein kaikkikvanttori kirjoittamatta muotoa x R : p(x) q(x) ja x R : p(x) q(x) olevista lauseista, ja kirjoitetaan lyhyesti p(x) q(x) ja p(x) q(x). Jos määrittelyjoukko on muu kuin R, sen on lyhennettyä merkintää käytettäessä selvittävä asiayhteydestä.

24 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki Lauseesta x R : x + 1 > 0 x > 0 ei voida jättää kaikkikvanttoria pois ilman, että sen merkitys muuttuu. Ottamalla käyttöön merkinnän (lue: ei välttämättä seuraa ) voimme kirjoittaa tämän lauseen ilman kaikkikvanttoria muodossa x + 1 > 0 x > 0. 23 Loogisten konnektiivien käyttö Esimerkki x > 0 x 2 > 0 x 2 > 0 x > 0

26 Implikaation paradoksi Identtisesti epätosi lause implikoi mitä tahansa lauseita. Esimerkiksi x 2 + x + 1 = 0 x = 1 tuntuisi (määrittelyjoukossa R) epätodelta, mutta tämä lause on tosi. Huomaa, että x = 1 x 2 + x + 1 = 0. 25 Kvanttorin vaikutusalue Logiikassa sovitaan yleensä, että kvanttorin vaikutusalue on sama kuin negaationkin eli kvanttoria välittömästi seuraava kaava. Matematiikassa ajatellaan yleisesti kvantorin vaikutusalueen ulottuvan ainakin seuraavaan suljettuun lauseeseen saakka ja selviävän asiayhteydestä. Selvyyden vuoksi kannattaa käyttää kuitenkin tarvittaessa sulkuja.

28 Kvanttorin vaikutusalue Esimerkiksi lauseen x N : x > 2 x 2 > 2 ainoa matemaattisesti mielekäs tulkinta on, että x N : (x > 2 x 2 > 2). Sen sijaan lauseella x N : x > 2 2 2 > 2 on kaksi eri tulkintaa (kumpikaan ei tosin ole kovin mielekäs matemaattinen väite): x N : (x > 2 2 2 > 2) (epätosi, valitse vaikka x = 3) tai ( x N : x > 2) 2 2 > 2 (tosi, sillä etulause epätosi). 27 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Vertaa: 2x + 3 = 7 2x = 4 x = 2 x = 1 x 1 = 0 (x 1)(x 2) = 0 x 2 3x + 2 = 0

30 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Mikä nuolista, tai? ax 2 2ax + a = 0? x 2 2x + 1 = 0? (x 1) 2 = 0? x = 1 29 Yhtälön ratkaisemisen merkintätavoista Tosi vai epätosi? x 2 = 4 x = 2 epätosi x = 2 x 2 = 4 tosi x 2 = 4 (x = 2 x = 2) epätosi x 2 = 4 (x = 2 x = 2) tosi (x = 2 x = 2) x 2 = 4 tosi (x = 2 x = 2) x 2 = 4 tosi x 2 = 4 x = ±2 tosi?

32 Luonnollinen päättely predikaattilogiikassa Predikaattilogiikan lauseen totuus voi seurata joskus lauselogiikasta, joskus siinä esiintyvien predikaattien ominaisuuksista (siis esim. matemaattisesta sisällöstä). Esimerkki Lauselogiikan tautologian A A perusteella lauseet ( x R : p(x)) ( x R : p(x)) ja ovat tosia. x R : (p(x) p(x)) Johtuen relaation > ominaisuuksista lause x R : y R : x > y y > x on tosi. 31 Luonnollinen päättely predikaattilogiikassa On myös loogisia, sisällöstä riippumattomia totuuksia, joita ei voida perustella lauselogiikalla. Negaation siirto kvanttorin ohi. Olkoon p(x) joukossa X määritelty predikaatti. Tällöin lauseet (1) x X : p(x) x X : p(x) ja (2) x X : p(x) x X : p(x) ovat tosia.

Negaation siirto... Perustelemme lauseen x X : p(x) x X : p(x) totuuden: x X : p(x), joss ei ole niin, että kaikilla x X on ominaisuus p, joss jollakin x X ei ole ominaisuutta p, joss on olemassa sellainen x X, että p(x), joss x X : p(x). 33

2 JOUKKO-OPPIA Keskeiset asiat: 1 Joukon käsite ja merkintätavat 2 Joukon alkio 3 Osajoukko 4 Perusjoukko, tyhjä joukko ja potenssijoukko 5 Komplementti, leikkaus, unioni, joukko-opillinen erotus 6 Joukko-opin laskusääntöjä Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luku 3, s. 47 60. Sopivaa oheislukemistoa myös www.sis.uta.fi/ matematiikka/modaalilogiikka/liitejoukoista.pdf 1 Joukko Mitä joukolla tarkoitetaan? Cantor (ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/georg_cantor) määritteli, että joukolla ymmärretään mitä tahansa kokonaisuudeksi muodostettua kokoelmaa täysin määrättyjä erillisiä olioita, jotka ovat tajuntamme tai ajatuksemme kohteina.

4 Joukko-oppi Intuitiivinen eli naiivi joukko-oppi: käsitteet joukko, alkio, kuuluu joukkoon ja ei kuulu joukkoon ovat niin itsestään selvästi ihmisen välittömässä tajunnassa (intuitio), ettei niitä tarvitse määritellä. Aksiomaattinen joukko-oppi: pyritään aikaansaamaan peruskäsitteiden määrittelyä myöten tarkka looginen järjestelmä. 3 Joukko Merkintä {x 1, x 2,..., x n } tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat x 1, x 2,..., x n, ja merkintä { x X p(x) } tarkoittaa joukon X kaikkien niiden alkioiden joukkoa, joilla on ominaisuus p.

6 Joukko Kaksi joukkoa ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot: Joukkojen samuus. A = B x(x A x B). Merkintä A B tarkoittaa, että joukot A ja B eivät ole samat. Esimerkki {0, 2, 4,...} = { x N x/2 N } = { 2x x N } = { x x on parillinen luonnollinen luku}. 5 Joukko Olkoon a, b R, a < b. Määrittelemme reaalilukuvälit ]a, b[ = { x R a < x < b }, [a, b] = { x R a x b }, [a, b[ = { x R a x < b }, ]a, b] = { x R a < x b }. Väli ]a, b[ on avoin, [a, b] suljettu [a, b[ ja ]a, b] puoliavoimia.

8 Joukko Määrittelemme myös äärettömät välit ]a, [ = { x R x > a }, [a, [ = { x R x a }, ], b[ = { x R x < b }, ], b] = { x R x b }. Voimme myös merkitä, että ], [ = R. 7 Osajoukko Joukko A on joukon B osajoukko, A B (tai myös B A), jos joukon A jokainen alkio kuuluu joukkoon B: Osajoukko A B x(x A x B). Sanomme myös, että A sisältyy B:hen ja että B sisältää A:n (alkio kuuluu, osajoukko sisältyy), Merkitsemme A B, ellei joukko A ole joukon B osajoukko. Jos A B, mutta A B, niin sanomme, että A on B:n aito osajoukko, ja merkitsemme A B.

10 Osajoukko Esimerkki. 1 N {1} N, {1} N, {1} N, {1, 2} N, ]1, 2[ N, ]1, 2[ N, ]1, 2[ [1, [, ]1, 2[ [1, [. 9 Osajoukko Lause 4, s. 49. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin on voimassa A A (refleksiivisyys). Jos A B ja B A, niin A = B (antisymmetrisyys). Jos A B ja B C, niin A C (transitiivisuus).

12 Osajoukko Transitiivisuuden perusteella voimme kirjoittaa A B C tarkoittamaan sitä, että A B ja B C. Vastaavasti voimme käyttää merkintää. Esimerkki ja myös Z + N Z Q R C Z + N Z Q R C 11 Osajoukko Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) A = B, (2) A B ja B A.

14 Perusjoukko Jos joukko muodostetaan predikaatin avulla, niin predikaatin määrittelyjoukko on tiedettävä. Esimerkki Merkintä { x 1 x 3 } ei sellaisenaan tarkoita mitään, ellei predikaatin 1 x 3 määrittelyjoukkoa ole ilmoitettu. Jos määrittelyjoukko on N, niin { x 1 x 3 } = {1, 2, 3}. Jos määrittelyjoukko on R, niin { x 1 x 3 } = [1, 3]. 13 Perusjoukko Joukko-opilliset tarkastelut rajoitetaan tavallisesti koskemaan vain tietyn perusjoukon eli avaruuden X alkioita ja osajoukkoja. Jos predikaatin määrittelyjoukoksi ei voida ottaa koko perusjoukkoa, niin tämä määrittelyjoukko on syytä mainita. Esimerkki. Olkoon perusjoukko R. Jos halutaan merkitä niiden reaalilukujen joukko, joiden neliöjuuri on > 10, niin ei voida kirjoittaa { x R x > 10 }, koska predikaatti x > 10 ei ole määritelty, kun x < 0. Tämän predikaatin määrittelyjoukko on R 0+, joten on kirjoitettava { x R 0+ x > 10 }.

16 Russellin paradoksi Perusjoukon X käyttöönotolla on muutakin merkitystä kuin epäselvyyksien välttäminen. Russellin paradoksi. (Ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/bertrand_russell) Tarkastelemme kaikkien sellaisten joukkojen joukkoa M, jotka eivät kuulu itseensä; siis M = { x x / x }. Saattaa vaikuttaa siltä, että mikään joukko ei voi olla itsensä alkio. Mutta esimerkiksi kaikkien joukkojen joukko (jos sellainen olisi olemassa) olisi joukko ja siten itsensä alkio. Samoin jos olisi olemassa joukko { x x ei ole Luuppi ry:n jäsen }, niin se ei varmastikaan olisi Luupin jäsen ja täten sekin olisi itsensä alkio. 15 Russellin paradoksi Kysymme, kuuluuko joukko M itseensä. Katsomme aluksi, mitä tapahtuisi, jos M M. Tällöin siis M { x x / x }, joten M / M ja päädymme ristiriitaan. Miten sitten käy, jos M / M? Yhtä huonosti, sillä tällöin M { x x / x } eli M M. Siis M ei voi kuulua itseensä eikä olla kuulumatta, joten paradoksi on valmis.

18 Russellin paradoksi Voimme muotoilla Russellin paradoksin myös seuraavasti: Joukon M määritelmän mukaan jokaiselle joukolle A pätee A M A / A. Sijoittamalla tähän joukon A paikalle joukon M saamme paradoksin M M M / M. 17 Tyhjä joukko Myös tyhjä joukko = { x X x x } saattaa vaikuttaa paradoksaaliselta. Se on kuitenkin joukko, jossa ei ole yhtään alkiota ja jonka olemassaolosta ei seuraa mitään ristiriitaista. Ristiriitaan päädyttäisiin vasta, jos olisi olemassa jokin sellainen x, että x. Tyhjälle joukolle voidaan käyttää myös merkintää { }. Joukko { } ei ole tyhjä, sillä siinä on yksi alkio, nimittäin.

20 Tyhjä joukko Lause 6. (s. 52). Olkoon perusjoukkona X ja A X. Tällöin A. Toisin sanoen tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. Esitämme tälle kaksi todistusta. Ensimmäisessä hyödynnetään sitä, että x on aina epätosi. Täten implikaatio x x A on tosi aina, kun x X. Siis lause x X : x x A on tosi, joten määritelmän mukaan A. Toisessa todistuksessa teemme vastaoletuksen: A. Tällöin on olemassa sellainen olio x, että x ja x A. Mutta tällöin siis olisi olemassa sellainen olio x, että x eli x x, jossa on ristiriita. 19 Potenssijoukko Joukon A potenssijoukko P(A) on A:n kaikkien osajoukkojen joukko. Kun perusjoukko on X, niin kaikki tarkasteltavat joukot ovat X :n osajoukkoja ja siis P(X ):n alkioita. Potenssijoukon määritelmän perusteella A B A P(B). Aina P(A) ja A P(A).

22 Potenssijoukko Esimerkki Olkoon A = {0}. Tällöin P(A) = {, {0} }, P ( P(A) ) = P ({, {0} }) = {, { }, {{0}}, {, {0}} }. Esimerkki Olkoon B = {0, 1, 2}. Tällöin P(B) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} }. Joukossa P ( P(B) ) on 2 8 = 256 alkiota. 21 Potenssijoukko Esimerkki Olkoon A = {1, 2, {1, 2}}. Nyt sekä {1, 2} A että {1, 2} A. Siis {1, 2} P(A) ja koska {{1, 2}} A, niin {{1, 2}} P(A). Joukossa P(A) on 2 3 = 8 alkiota.

24 Potenssijoukko (Lause 7, s. 53.) Jos joukossa on n alkiota, niin sillä on 2 n osajoukkoa. Perustellaan tämä seuraavasti: Olkoon A joukko, jossa on n alkiota. Tällöin voidaan merkitä A = {a 1, a 2,..., a n }. Jokainen joukon A osajoukko B A voidaan esittää bittijonon α 1 α 2... α n avulla, jossa α i = { 1, jos ai B 0, jos a i B 23 Potenssijoukko Esimerkiksi jos n = 6 ja B = {a 1, a 3, a 5, a 6 }, niin vastaava bittijono on 101011. Erityisesti (1, 1,..., 1) vastaa joukkoa A A ja (0, 0,..., 0) vastaa joukkoa A. Tällaisia n:n pituisia, ykkösistä ja nollista koostuvia bittijonoja on 2 n kappaletta. Siis jos joukossa A on n alkiota, sillä on 2 n osajoukkoa. Kaava pätee myös, jos A = eli n = 0. Miksi?

26 Komplementti Olkoon X perusjoukko ja A X. Joukon A komplementti A on X :n niiden alkioiden joukko, jotka eivät kuulu A:han. Siis A = { x X (x A) } = { x X x / A }. Komplementti riippuu täten perusjoukosta. Esimerkki Jos perusjoukko on Z, niin joukon N komplementti N = Z, mutta jos perusjoukko onkin N, niin N =. Kun perusjoukkona on X, = X, X =, A = A. 25 Unioni, leikkaus ja erotus Olkoon A, B P(X ). Määritellään: unioni A B = { x X x A x B }, leikkaus A B = { x X x A x B }, erotus A \ B = { x X x A x / B }. Unionille on käytössä suomenkielinen nimitys yhdiste.

28 Komplementti ja erotus Joukon A komplementti A on perusjoukon X suhteen voidaan määritellä joukko-opillisen erotuksen avulla: A = X \ A. Toisaalta joukko-opillinen erotus voidaan määritellä komplementin ja leikkauksen avulla Perustelu? A \ B = A B. 27 Esimerkki Olkoon perusjoukkona X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja A ja B sen osajoukot A = {1, 2, 5} ja B = {2, 3, 4, 5}. Tällöin joukko vastaava bittijono X (1, 1, 1, 1, 1, 1) A (1, 1, 0, 0, 1, 0) B (0, 1, 1, 1, 1, 0) A (0, 0, 1, 1, 0, 1) B (1, 0, 0, 0, 0, 1) A B (1, 1, 1, 1, 1, 0) A B (0, 1, 0, 0, 1, 0) A \ B (1, 0, 0, 0, 0, 0) B \ A (0, 0, 1, 1, 0, 0).

30 Venn-diagrammi Joukko-opin laskutoimituksia voidaan havainnollistaa Venn-diagrammeilla, jolloin tarkasteltavat joukot esitetään tason pistejoukkoina. Katso kirjan s. 56, oheislukemisto liitejoukoista.pdf tai wikipedia Venn-diagrammi 29 Joukko-opin laskusääntöjen todistaminen Yksi tapa todistaa joukko-opin laskusääntöjä on palauttaa ne vastaaviksi loogisia konnektiiveja koskeviksi väitteiksi. Pelkkä lauselogiikka ei kuitenkaan yleensä riitä, vaan on käytettävä myös predikaattilogiikkaa. Toinen tapa on käyttää luonnollista päättelyä. Kolmas tapa on käyttää aiemmin todistettuja joukko-opin laskusääntöjä. Täsmällisissä todistuksissa Venn-diagrammia voidaan käyttää apuvälineenä, joka helpottaa varsinaisen todistuksen kirjoittamista ja lukemista, mutta valmiissa todistuksessa siihen ei saa enää nojautua.

32 Joukko-opin laskusääntöjä Lause 9., s. 59. A = A A A = A A = X A A = A A A = A A = A = A A X = A A X = X Identiteetin laki Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa Idempotenssilait Leikkaus ja yhdiste tyhjän joukon kanssa Leikkaus ja yhdiste perusjoukon kanssa 31 Joukko-opin laskusääntöjä A B = A B A B = A B A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) de Morganin säännöt Vaihdantalait Liitäntälait Osittelulait

Komplementti tulkittuna joukko-opilliseksi erotukseksi 34 Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa sekä de Morganin säännöt voidaan esittää myös muodossa A (X \ A) =, A (X \ A) = X, X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), X \ (A B) = (X \ A) (X \ B). 33 Joukko-opin laskusääntöjä lisää Lause 10. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B A A B. Lause 11. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B B A.

Lause 12. (s. 60.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. (1) A B, (2) A B = A, (3) A B = B, (4) A \ B =. Riittää todistaa jokin sopiva implikaatioketju, esimerkiksi (1) (2) (3) (4) (1). 35

2 RELAATIOT Keskeiset asiat: 1 Järjestetty pari ja tulojoukko 2 Relaation käsite, relaation lähtö-, maali-, määrittely- ja arvojoukko 3 Relaation esitystavat, erityisesti digraafit 4 Käänteisrelaatio 5 Yhdistetty relaatio Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luvut 4.1 ja 4.2, s. 67 83. 1 Järjestetty pari Joukkojen alkioiden järjestykseen ei kiinnitetä huomiota eikä saman alkion useampikertaisella esiintymisellä ole vaikutusta. Esimerkiksi: {1, 2, 3} = {3, 3, 3, 2, 2, 1}. Jono (x, y) on alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari, jossa x on ensimmäisenä ja y toisena. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niiden ensimmäiset alkiot keskenään ja toiset keskenään ovat samat: (x, y) = (u, v) x = u y = v.

4 Esimerkki {1, 2} = {2, 1}, (1, 2) (2, 1), {1, 1} = {1}, (1, 1) (1). Merkintä (x) tarkoittaa jonoa, jonka ensimmäisellä ja ainoalla paikalla on x. Yleisesti aina (x, x) (x) ja (x, y) = (y, x) x = y. 3 Järjestetty pari Mutta mitä tarkoittaa alkioiden järjestäminen jonoon? Määrittelemme myöhemmin yleisesti järjestetyn joukon käsitteen. Tämä määritelmä tarvitsee relaation ja edelleen järjestetyn parin käsitettä, joten meidän olisi ensin määriteltävä parin käsite. Sivuutamme kuitenkin tässä järjestetyn parin muodollsien määritelmän ja toteamme, että matemaattisesti kiinnostavinta järjestetyn parin määritelmässä on, että sen perusteella (x, y) = (u, v) x = u y = v.

6 Tulojoukko Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = { (x, y) x A y B }. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B. Esimerkki Olkoon A = {1, 2, 3} ja B = {a, b}. Tällöin A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} 5 Tulojoukko Yleensä A B B A ja A B = B A, jos ja vain jos A = B A = B =.

8 Tulojoukko Joukkojen A 1,..., A n tulojoukko A 1 A n = { (x 1,..., x n ) x 1 A 1 x n A n }. Merkitsemme A n = n kertaa {}}{ A A A. 7 Tulojoukko Esimerkki Joukko R 2 on järjestettyjen reaalilukuparien joukko. Sen geometrinen vastine on taso. Joukko R 3 on järjestettyjen reaalilukukolmikoiden joukko. Sen geometrinen vastine on kolmiulotteinen avaruus. Joukko R n on järjestettyjen reaaliluku n:kköjen joukko. Sen vastine on n-ulotteinen avaruus.

10 Tulojoukon laskusääntöjä Tulojoukon muodostaminen ei noudata vaihdantalakia. Myöskään liitäntälaki ei ole voimassa, sillä jonot ( x, (y, z) ), ( (x, y), z ) ja (x, y, z) eivät ole samat. Lause 13. Tulojoukon muodostaminen noudattaa osittelulakia yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen suhteen (1) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (2) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (3) (A 1 \ A 2 ) B = (A 1 B) \ (A 2 B). Vastaavat tulokset ovat voimassa joukolle A (B 1 B 2 ) jne. 9 Relaation käsite Jos R X Y (X, Y ), niin sanomme, että R on relaatio joukkojen X ja Y alkioiden välillä. Lyhyemmin: R on joukkojen X ja Y relaatio. Relaatio R X Y : R on relaatio joukosta X joukkoon Y. X on relaation R lähtöjoukko ja Y maalijoukko.

12 Relaation käsite Kaikkein yksinkertaisimmat relaatiot joukkojen X ja Y alkioiden välillä ovat ja X Y. Jälkimmäisessä relaatiossa ovat keskenään kaikki alkiot x ( X ) ja y ( Y ), ja edellisessä eivät mitkään. Esimerkki. Relaatioita joukkojen N ja Z välillä: R 1 = {(0, 0), (1, 1)}, R 2 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2),...}, R 3 = {(0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2), (2, 2),...}, R 4 = {(3, 141), (5, 92653), (5, 89793), (2, 38)}. 11 Relaation käsite Merkitsemme xry tarkoittamaan sitä, että R(x, y) on voimassa eli että (x, y) R. Vastaavasti merkitsemme x Ry tarkoittamaan, että R(x, y) ei ole voimassa.

14 Relaation käsite Jos R on relaatio suurempi tai yhtäsuuri eli R = {(x, y) x y}, voidaan merkitä yhtäpitävästi: (x, y) R, R(x, y), xry, x y. 13 Relaation käsite Myös useampipaikkainen relaatio voidaan määritellä (ja myös yksipaikkainen). Yleisesti osajoukko R X 1 X 2 X n on joukkojen X 1, X 2,..., X n ( ) alkioiden välinen relaatio. R(x 1, x 2,..., x n ) on voimassa, jos ja vain jos (x 1, x 2,..., x n ) R.

16 Relaation määrittely- ja arvojoukko Olkoon R X Y, relaation R lähtöjoukko on siis X ja maalijoukko Y. Relaation R määrittelyjoukko on joukon X niiden alkioiden joukko, jotka ovat relaatiossa joukon Y jonkin alkion kanssa eli määrittelyjoukko M R = { x X y Y : xry }. Arvojoukko on joukon Y niiden alkioiden joukko, jotka ovat relaatiossa joukon X jonkin alkion kanssa eli arvojoukko A R = { y Y x X : xry }. 15 Relaation määrittely- ja arvojoukko Esimerkki Olkoon R {a, b, c, d, e, f, g, h, i} N, R = {(a, 1), (a, 5), (e, 5), (e, 9), (i, 9)}. Tällöin relaation R määrittelyjoukko on {a, e, i} ja arvojoukko {1, 5, 9}.

18 Relaatio joukossa X Jos relaation R lähtöjoukko ja maalijoukko ovat kumpikin X, niin sanomme, että R on joukossa X määritelty relaatio (tai joukon X relaatio). Esimerkki Joukon X identtinen relaatio on I = { (x, x) x X }. Jokainen alkio on identtisessä relaatiossa itsensä kanssa eikä minkään muun kanssa. Tämän relaation lähtö-, maali-, määrittely- ja arvojoukko on X. 17 Relaation esitystapoja Nuolikuvio Polkukuvio eli digraafi Esitys koordinaatistossa Esitys matriisina Ks.luentotehtävä Moodlessa

20 Käänteisrelaatio Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. 19 Käänteisrelaatio Nuolikuviossa ja digraafissa relaation käänteisrelaatiota esittävä kuvio saadaan kääntämällä nuolien suunnat. Esimerkki Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Sen käänteisrelaatio on R 1 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3)}.

22 Käänteisrelaatio Esimerkki. Tarkastellaan (jossain ihmisten joukossa määriteltyä) relaatiota xry : x on y:n vanhempi (isä tai äiti). Käänteisrelaation R 1 sääntö on yr 1 x x on y:n vanhempi eli yr 1 x y on x:n lapsi. Kirjoittamalla x:n paikalle y:n ja y:n paikalle x:n saamme sen muotoon xr 1 y x on y:n lapsi. 21 Yhdistetty relaatio Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis R:n maalijoukko on sama kuin S:n lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka laki on Toisin sanoen x R S z y Y : xry ysz. R S = { (x, z) X Z y Y : (x, y) R (y, z) S }.

24 Yhdistetyn relaation kuvio Olkoon R X Y ja S Y Z. Kätevin tapa muodostaa yhdistettyä relaatiota R S esittävä kuvio on piirtää ensin relaatiota R esittävä nuolikuvio, jatkaa samaa kuviota oikealle lisäämällä relaatiota S esittävä nuolikuvio ja sitten yhdistää nuolella ne joukon X ja Z pisteet (x, z), joissa R-nuoli lähtee pisteestä x johonkin pisteeseen y Y, josta S-nuoli lähtee pisteeseen z. 23 Yhdistetty relaatio ei ole vaihdannainen Olkoon R = {(1, 2), (2, 3)} ja S = {(1, 1), (3, 3)}. Tällöin R S = {(2, 3)} ja S R = {(1, 2)}, joten tässä tapauksessa R S S R. Esimerkki. Olkoon xpy x on y:n poika xty x on y:n tytär Tällöin ja x P T z x on z:n tyttären poika x T P z x on z:n pojan tytär.

26 Yhdistetty relaatio Alkio x on relaatiossa R 2 alkion y kanssa, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä. Olkoon R R relaation xry : x on y:n vanhempi yhdistetyn relaation itsensä kanssa. Relaation R R sääntö on x R R z x on z:n isovanhempi 25 Yhdistetty relaatio Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Lisäksi on luonnollista määritellä R 0 = I (joukon X identtinen relaatio) ja R n = (R 1 ) n. Relaation potenssimerkintä on valitettavasti ristiriidassa tulojoukon potenssimerkinnän A n = A A (n kpl) kanssa. Jos siitä aiheutuu väärinkäsityksen vaara, niin relaation potenssia voidaan merkitä vaikkapa R (n).

28 Yhdistetty relaatio, esimerkki 1 Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Tällöin R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} R 3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} Siis R 2 = R 3 = R 4 =. 27 Yhdistetty relaatio, esimerkki 2 Olkoon S = {(1, 2), (2, 3), (3, 1))}. Tällöin S 2 = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)} S 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} S 4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1))} = S Siis S = S 1+3k, k = 0, 1, 2,... S 2 = S 2+3k, k = 0, 1, 2,... S 3 = S 3+3k, k = 0, 1, 2,...

30 Yhdistetty relaatio, esimerkki 3 Olkoon R = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Tällöin R 1 = {(1, 2), (1, 3), (2, 1)} R R 1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} ja R 1 R = {(1, 1), (2, 2)}. 29 Yhdistetty relaatio Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R relaatio joukosta X joukkoon Y ja olkoon S relaatio joukosta U joukkoon Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme eli x R S z y Y U : xry ysz R S = { (x, z) X Z y Y U : (x, y) R (y, z) S }.

32 Relaatioiden yhdistämisen liitännäisyys Relaatioiden yhdistäminen ei noudata vaihdantalakia, mutta noudattaa liitäntälakia. Lause 14. (s. 78.) Olkoon R relaatio joukosta X joukkoon Y, S relaatio joukosta Y joukkoon Z ja T relaatio joukosta Z joukkoon U. Tällöin R (S T ) = (R S) T. Liitäntälain perusteella voimme jättää sulut pois ja siis kirjoittaa R S T. Vastaavasti voimme menetellä, kun yhdistettäviä relaatioita on useampia. 31 Relaatioiden laskusääntöjä Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Esimerkki Tietyssä ihmisjoukossa X määritellään xiy x on y:n isä, xäy x on y:n äiti. Tällöin x Ä (I Ä) z x on z:n isoäiti.

34 Relaatioiden laskusääntöjä Lause 15. (s. 79.) Olkoot R ja S joukossa X määriteltyjä relaatioita. Tällöin (1) (R 1 ) 1 = R, (2) R S R 1 S 1, (3) (R S) 1 = R 1 S 1, (4) (R S) 1 = R 1 S 1, (5) (R S) 1 = S 1 R 1. 33 Polut digraafissa Olkoon R relaatio. Sanomme, että jono (x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n ) on polku relaatiossa R, jos x 0 Rx 1, x 1 Rx 2, x 2 Rx 3,..., x n 1 Rx n. Polun (x 0, x 1,..., x n ) pituus on n. Alkioita x 0, x 1,..., x n kutsutaan tässä yhteydessä solmuiksi.

Yhdistetty relaatio n kertaa itsensä kanssa Jos relaatiossa R on n:nnän pituinen polku (a, x 1, x 2,..., x n 1, b), niin R:ää esittävässä digraafissa päästään solmusta a solmuun b yksittäisiä nuolia pitkin kulkemalla ensin solmusta a solmuun x 1, sitten solmusta x 1 solmuun x 2 jne. vihdoin saapuen perille solmusta x n 1 solmuun b. Näin kuljetussa reitissä solmusta a solmuun b on siis n nuolta. Olkoon n Z +. Tällöin xr n y, jos ja vain jos relaatiossa R on solmusta x solmuun y polku, jonka pituus on n. 35

2 KUVAUKSET Keskeiset asiat: 1 Kuvauksen käsite 2 Nuolikuvio kuvauksen esitystapana 3 Kuva ja alkukuva, kuvajoukko ja alkukuvien joukko 4 Injektio, surjektio ja bijektio 5 Käänteiskuvaus 6 Yhdistetty kuvaus Lähde: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, Luvut 5.1, 5.2 ja 5.3 (s. 107 123). 1 Kuvaus Kuvaus eli funktio joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn yhden alkion.

4 Kuvauksen määritelmä Relaatio R X Y on siis kuvaus, jos x X : y Y : (x, y) R, (1) ja (x, y 1 ) R (x, y 2 ) R y 1 = y 2. (2) 3 Kuvauksen nuolikuvio Relaatio on kuvaus, jos relaatiota esittävässä nuolikuviossa jokaisesta lähtöjoukon alkiosta lähtee täsmälleen yksi nuoli.

6 Kuva ja alkukuva Relaatioita, jotka ovat kuvauksia, on tapana merkitä pienillä kirjaimilla f, g, h jne. Kun relaatio f on kuvaus ja (x, y) f, merkitään y = f (x). Joskus tässä yhteydessä käytetään myös merkintää x f y tai vain x y. y on funktion f arvo muuttujan eli argumentin arvolla x. y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Jokaisella x X on siis täsmälleen yksi kuva. Alkiolla y Y voi sen sijaan olla alkukuvia yksi, useampia tai ei yhtään. 5 Kuvauksen täsmällinen määritelmä Kuvaukset f X Y ja g U V ovat samat, jos X = U, Y = V sekä f ja g ovat tulojoukkojen osajoukkoina samat. Täsmällisesti ottaen siis kuvaus on järjestetty kolmikko (X, Y, f ), jossa relaatio f toteuttaa ehdot x X : y Y : f (x) = y, x 1, x 2 X : x 1 = x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ). Ottamalla jälkimmäisestä ehdosta kontrapositio saadaan ehkä havainnollisempi versio x 1, x 2 X : f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2.

8 Kuvauksen täsmällinen määritelmä Esimerkki Olkoon f = {(1, 1), (2, 2)}. ({0, 1}, N, f ) ei ole kuvaus, (N, N, f ) ei ole kuvaus, ({1, 2}, N, f ) on kuvaus, ({1, 2}, {1, 2}, f ) on kuvaus, kuvaukset ({1, 2}, N, f ) ja ({1, 2}, {1, 2}, f ) eivät ole samoja. 7 Merkintä kuvaukselle Jos f on kuvaus joukolta X joukkoon Y, niin merkitsemme f : X Y. tai myös X f Y. Tällöin lähtöjoukko X on kuvauksen määrittelyjoukko (joukkoa Y kutsutaan maalijoukoksi.

10 Arvojoukko Kuvauksen f arvojoukko A f on määrittelyjoukon X alkioiden kuvien joukko: A f = f (X ) = { f (x) x X }. Ts. f (X ) = { y Y x X : y = f (x) }. Siis aina f (X ) Y. Nämä joukot voivat olla samoja, mutta eivät välttämättä. 9 Esimerkki Olkoon X = {1, 2, 3, 4}, Y = N ja f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}. Siis f on kuvaus f : X Y. Voimme merkitä myös f (1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 7, f (4) = 9.

12 Kuvajoukko ja alkukuvien joukko Olkoon f : X Y,A X,B Y. Joukon A kuvajoukko f (A) = {f (x) x A}. Joukon B alkukuvien joukko on f 1 (B) = {x f (x) B}. Kun f : X Y, niin f (X ) on siis kuvauksen f arvojoukko ja aina f 1 (Y ) = X. 11 Kuvajoukko ja alkukuvien joukko, esimerkki Olkoon f : {1, 2, 3, 4, 5} {a, b, c, d, e}, f = {(1, a), (2, a), (3, c), (4, e), (5, e)}. Tällöin f (X ) = {a, c, e}, f ({1, 2, 3}) = {a, c}, f ({1}) = {a} f 1 ({Y }) = X, f 1 ({a, b, c}) = {1, 2, 3}, f 1 ({a}) = {1, 2}, f 1 ({b}) =.

14 Esimerkkejä kuvauksista Yksinkertaisimmat kuvaukset ovat identtinen kuvaus f : X X : f (x) = x ja vakiokuvaus f : X Y : f (x) = c, missä c Y. Kuvauksen relaatiomääritelmää on arvosteltu. Nimittäin sovelluksissa funktiolle on luonteenomaista tietty dynaamisuus. 13 Esimerkkejä kuvauksista Funktion sääntö voidaan joskus esittää analyyttisena lausekkeena, esimerkiksi x e tan(1/x). Mutta mikä tässä on määrittelyjoukko, mikä maalijoukko? Olkoon f : R R: f (x) = x 2 + 1, g : R R + : g(x) = x 2 + 1, h : C C: h(x) = x 2 + 1. Vaikka kuvausten f, g ja h sääntö onkin sama, ne ovat eri kuvauksia.

16 Esimerkkejä kuvauksista Saattaa olla myös muunlainen algoritmi funktion laille. Esimerkkejä: Itseisarvo f : R R: f (x) = x eli f (x) = { x kun x 0 x kun x < 0 kattofunktio x = pienin kokonaisluku, joka x lattiafunktio x = suurin kokonaisluku, joka x Kaikilla funktioilla ei ole algoritmilla ilmaistavaa sääntöä. 15 Järjestetty jono funktiona Järjestetty jono (x 1, x 2,..., x n ) X n voidaan määritellä kuvauksena {1, 2,..., n} X. Vastaavasti voidaan määritellä ääretön jono (x 1, x 2, x 3,...) kuvauksena Z + X.