TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa ormaalikauma parametre koskevia tilastollisia testejä. Yhde otokse testit: t-testi ormaalikauma odotusarvolle χ -testi ormaalikauma variassille Kahde otokse testit: t-testi A ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu erisuurte variassie tapauksessa t-testi B ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu yhtä suurte variassie tapauksessa t-testi ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu parivertailutilateessa F-testi ormaalikauma variassie vertailuu Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia luku: Tilastolliste aieistoje keräämie mittaamie Tilastolliste aieistoje kuvaamie Otos otoskaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Tilastolliset testit Satuaismuuttut todeäköisyyskaumat Jakaumie tuusluvut Jatkuvia kaumia Normaalikaumasta johdettu kaumia TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Lisätiedot Testejä järjestysasteikollisille muuttujille käsitellää luvussa Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testejä laatueroasteikollisille muuttujille käsitellää luvussa Testit laatueroasteikollisille muuttujille Jakaumaoletuksie testaamista käsitellää luvussa Yhteesopivuude, homogeeisuude riippumattomuude testaamie Testit suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Testit ormaalikauma parametreille Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametrie tilastolliset testit / Avaisaat Kahde otokse testit Normaalikauma Odotusarvo Otos Parametri Riippumattomat otokset Variassi Vertailutesti Yhde otokse testit Normaalikauma o tilastotietee tärkei kauma. Oletetaa, että satuaismuuttu X oudattaa ormaalikaumaa parametrei µ σ : X N( µ, σ ) Tällöi E(X) o ormaalikauma odotusarvo Var(X) = σ o ormaalikauma variassi. Parametrit µ σ määräävät täysi ormaalikauma. TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametrie tilastolliset testit / Normaalikauma parametre koskevat testit voidaa kaa kahtee ryhmää: Yhde otokse testit Kahde otokse testit eli vertailutestit Yhde otokse testeissä testataa yksikertaisia ollahypoteese, jotka koskevat ormaalikauma odotusarvo- tai variassiparametria. Kahde otokse testit ovat vertailutestejä, joilla verrataa kahde ormaalikauma odotusarvo- tai variassiparametre toisiisa. Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametreille tarkoitettuje testie yleie soveltuvuus / Testejä ormaalikauma odotusarvolle sovelletaa usei myös sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalikaumaa. Tämä perustuu seuraavii seikkoihi: (i) Esitettävät testit odotusarvolle perustuvat havaitoje aritmeettisii keskiarvoihi. (ii) Keskeise ra-arvolausee mukaa myös eiormaaliste havaitoje aritmeettiset keskiarvot ovat tietyi ehdoi suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalikautueita. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametreille tarkoitettuje testie yleie soveltuvuus / Se sia testit ormaalikauma variassille eivät yleesä ole käyttökelpoisia ei-ormaalisille havaioille tilae ei välttämättä parae suurillakaa havaitoje lukumäärillä. Testit ormaalikauma parametreille Tavaomaiset testit ormaalikauma parametreille Tarkastelemme seuraavia testejä ormaalikauma parametreille: Yhde otokse t-testi odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t-testi A odotusarvoille erisuurte variassie tapauksessa Kahde riippumattoma otokse t-testi B odotusarvoille yhtä suurte variassie tapauksessa Yhde otokse χ -testi variassille Kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Yhde otokse t-testi Testit ormaalikauma parametreille >> Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Voimakkuus Yhde otokse testit Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Yhde otokse t-testi Testausasetelma / Yhde otokse t-testi Testausasetelma / Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Asetetaa ormaalikauma N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametrille µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse t-testi. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Yhde otokse t-testi ypoteesit Yhde otokse t-testi Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : (i) avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, (ii) avaiot X, X,, X ovat riippumattomia Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot Xi i = X = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X i ), i =,,, Var(X i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Yhde otokse t-testi Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure X µ s / Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Yhde otokse t-testi Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X X i N( µ, σ ), i =,,, Koska tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= ii X µ z = N(,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde otokse t-testi Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa vastaavalla otossuureella s = ( Xi X) i= saadaa t-testisuure X µ s / joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Väliestimoiti. Yhde otokse t-testi t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure X µ s / mittaa havaitoarvoje aritmeettise keskiarvo ollahypoteesi :µ kiiittämä odotusarvoparametri µ arvo µ tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X µ stadardipoikkeama σ / estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde otokse t-testi Testi Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree X µ s / ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ > µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita /4 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ < µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ µ ii kriittiset rat t α/ t α/ saadaa ehdoista Pr(t t α/ ) = α/ Pr(t t α/ ) = α/ t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita 4/4 Yhde otokse t-testi Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ :µ µ > :µ < µ t ( ) t ( ) t ( ) Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t. Testi p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α t α α α t α α α t α t α / / p p p p p p p t t t t ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Yhde otokse t-testi Normaalisuusoletukse merkitys / Yhde otokse t-testi Normaalisuusoletukse merkitys / Yhde otokse t-testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalikautueita. t-testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku havaitoje lukumäärä > 5 ellei havaitoje kauma ole kovi vio havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos havaitoje lukumäärä > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus /6 Tarkastellaa t-testi hyväksymisvirhee todeäköisyyttä voimakkuutta tilateessa, ormaalikauma N( µ, σ ) variassi σ oletetaa tuetuksi. Olkoo ollahypoteesi muotoa :µ vaihtoehtoie hypoteesi muotoa :µ < µ Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus /6 t-testisuure X µ σ / oudattaa ollahypoteesi :µ pätiessä stadardoitua ormaalikaumaa (ks. lukua Otos otoskaumat): t N(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 3/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi päätössäätö o muotoa: ylkää ollahypoteesi :µ jos X µ < zα σ / Kriittie ra z α saadaa ehdosta Pr(z z α ) = α z N(, ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 4/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi päätössäätö voidaa kirjoittaa myös seuraavaa muotoo: ylkää ollahypoteesi :µ jos X < µ zασ / = Xc Kriittie ra z α saadaa ehdosta Pr(z z α ) = α z N(, ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 5/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi hyväksymisvirhee todeäköisyys β o ehdollie todeäköisyys β = Pr( jätetää voimaa ei ole tosi) = Pr( X Xc µ ) X c µ = Pr z σ / µ µ Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 6/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi voimakkuus β o ehdollie todeäköisyys β = Pr(hylätää ei ole tosi) = Pr( X < Xc µ ) X c µ = Pr z < σ / µ µ TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus /3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus /3 Kuvio oikealla havaiollistaa t- testi hyväksymisvirhee todeäköisyyttä β voimakkuutta β. Yleie hypoteesi : X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Nollahypoteesi : µ Vaihtoehtoie hypoteesi : µ < µ N(µ,σ / ) N(µ,σ /) α β µ µ Valitaa merkitsevyystasoksi α. Kriittie ra z α : Pr(z z α ) = α z N(, ) Kriittie ra X c : X c zασ / Päätössäätö: ylkää ollahypoteesi, jos N(µ,σ / ) N(µ,σ /) α β µ µ X c X c TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus 3/3 Testit suhdeasteikollisille muuttujille yväksymisvirhee todeäköisyys β : β = Pr( X X c µ ) Voimakkuus β : β = Pr( X < X c µ ) N(µ,σ / N(µ,σ /) Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi >> Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti α β µ µ X c TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi A Testausasetelma /4 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otosvariassi Parametri Riippumattomat otokset Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma /4 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma 3/4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma 4/4 Kahde otokse t-testi A Yleie hypoteesi Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ) N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi erisuurte variassie tapauksessa. uomautus: Jos voidaa olettaa, että σ = σ, testauksessa kaattaa käyttää kahde riippumattoma otokse t-testiä B. TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j. uomautuksia: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. Jakaumie variasse ei ole oletettu yhtä suuriksi; vrt. kahde otokse t-testi B. TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Kahde otokse t-testi A Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Kahde otokse t-testi A Parametrie estimoiti Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ k, i =,,, k, k =, TKK (c) Ilkka Melli (4) 47 TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Kahde otokse t-testi A Testisuure se asymptoottie kauma Määritellää t-testisuure X X s s Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalikaumaa N(,): t a N(,) Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µσ, ), i=,,, i X N( µσ, ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= σ X = X j N µ, j= Koska X X, ii σ σ X X N, TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Edellä esitetystä seuraa, että z = X X N(,) σ σ Koska variassit σ ovat tutemattomia, satuaismuuttu z σ lauseke o epäoperatioaalie. Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa variassit σ σ korvataa vastaavilla otossuureilla k sk = ( Xik Xk), k =, k i= saadaa t-testisuure X X s s joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalikaumaa N(, ): t a N(, ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma approksimoiti Kahde otokse t-testi A t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Pieissä otoksissa saadaa testisuuree t kaumalle parempi approksimaatio käyttämällä approksimaatioa Studeti t-kaumaa vapausastei (s. Satterthwaite approksimaatio) ν = s s s s Testisuure X X s s mittaa otoksie aritmeettiste keskiarvoje tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X X stadardipoikkeama σ σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Kahde otokse t-testi A Testi Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree X X s s ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ > µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t a N(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita /4 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ < µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t a N(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ µ ii kriittiset rat t α/ t α/ saadaa ehdoista Pr(t t α/ ) = α/ Pr(t t α/ ) = α/ t a N(,) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita 4/4 Kahde otokse t-testi A Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ N(,) N(,) N(,) Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t. Testi p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ N(,) N(,) N(,) α α α α t α t α α t α t α / / p p p p p p p t t t t ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 59 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Kahde otokse t-testi A Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi A Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi A yleise hypoteesi mukaa havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos molempie otoste otoskoot ovat kylli suuria. Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 > 5 eivät eroa toisistaa kovi paljo, elleivät havaitoje kaumat ole kovi vio ellei havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos > 4 > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Kahde otokse t-testi B Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A >> Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 63 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otosvariassi Parametri Riippumattomat otokset Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 64 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma /4 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma /4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 65 TKK (c) Ilkka Melli (4) 66
TKK (c) Ilkka Melli (4) 67 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma 3/4 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma 4/4 Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ ) N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi yhtä suurte variassie tapauksessa. uomautus: Jos kaumie variassit eivät ole yhtä suuret, testauksessa o käytettävä kahde riippumattoma otokse t-testiä A. TKK (c) Ilkka Melli (4) 68 Kahde otokse t-testi B Yleie hypoteesi Kahde otokse t-testi B Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Yleie hypoteesi : () Xi N( µ, σ ), i=,,, () X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j uomautuksia: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. Jakaumie variassit o tässä oletettu yhtä suuriksi; vrt. kahde otokse t-testi A. Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 69 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Kahde otokse t-testi B Parametrie estimoiti Kahde otokse t-testi B Yhdistetty variassiestimaattori Olkoot X k = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ, i =,,, k, k =, Määritellää s. yhdistetty variassiestimaattori ( ) s ( ) s sp = Yhdistetty variassiestimaattori s P o harhato estimaattori variassiparametrille σ, jos ollahypoteesi :µ pätee. uomautus: Yhdistetty variassiestimaattori s P ei ole sama kui yhdistety otokse variassi, koska otoskeskiarvot X X eivät (yleesä) ole yhtä suuria. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7
TKK (c) Ilkka Melli (4) 73 Kahde otokse t-testi B Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure X X sp Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µσ, ), i=,,, i X N( µσ, ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= σ X = X j N µ, j= Koska X X, ii X X N, σ TKK (c) Ilkka Melli (4) 74 Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Edellä esitetystä seuraa, että X X z = N(,) σ Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. Määritellää otosvariassit k sk = ( Xik Xk), k =, k i= Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa otossuureella ( ) s ( ) s sp = saadaa t-testisuure X X sp joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 75 TKK (c) Ilkka Melli (4) 76 Kahde otokse t-testi B t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Kahde otokse t-testi B Testi Testisuure X X sp mittaa otoksie aritmeettiste keskiarvoje tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X X stadardipoikkeama σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. Testisuuree X X sp ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. TKK (c) Ilkka Melli (4) 77 TKK (c) Ilkka Melli (4) 78
TKK (c) Ilkka Melli (4) 79 Kahde otokse t-testi B Testi hylkäysaluee valita sekä testi p-arvo Kahde otokse t-testi B Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi B hylkäysaluee valita tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa paitsi, että t-testisuure oudattaa tässä Studeti t-kaumaa vapausastei ( ). Kahde otokse t-testi B testisuuree arvoa vastaava p- arvo määräämie tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa paitsi, että t-testisuure oudattaa tässä Studeti t-kaumaa vapausastei ( ). Kahde otokse t-testi B yleise hypoteesi mukaa havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos molempie otoste otoskoot ovat kylli suuria. TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Kahde otokse t-testi B Normaalisuusoletukse merkitys / Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 > 5 eivät eroa toisistaa kovi paljo, elleivät havaitoje kaumat ole kovi vio ellei havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos > 4 > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B >> Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Parivertailuasetelma Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Parivertailu Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Yhde otokse testit Yleie hypoteesi Parivertailuasetelma sytyy tilastollisessa tutkimuksessa esimerkiksi seuraavissa tilateissa: (i) Päämäärää o verrata kahta mittaria mittaamalla molemmilla mittareilla samo kohteita samoissa olosuhteissa. (ii) Päämäärää o tutkia joki käsittely vaikutusta mittaamalla samo kohteita ee käsittelyä käsittely jälkee. (iii) Päämäärää o vertailla kahta perusjoukkoa mittaamalla sama muuttu arvo perusjoukkoje alkioide sovitetuissa pareissa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 83 TKK (c) Ilkka Melli (4) 84
TKK (c) Ilkka Melli (4) 85 Testausasetelma / Testausasetelma / Oletetaa, että havaiot muodostuvat muuttua X koskevista mittaustuloksie pareista (X i, X i ), i =,,, jotka ovat toisistaa riippumattomia. Päämäärää o verrata mittauksia toisiisa: Atavatko mittaukset keskimääri sama tulokse? Tällaisissa parivertailuasetelmissa ei saa käyttää riippumattomie otoksie t-testejä A tai B, koska parivertailuasetelmissa mittaustuloksia X i X i ei voida pitää riippumattomia. Muodostetaa mittaustuloksie X i X i erotukset,,,, i = Xi Xi i= Mittaukset atavat keskimääri sama tulokse, jos erotukset i saavat keskimääri arvo olla. Testausogelma ratkaisua o tavaomaie yhde otokse t-testi mittaustuloksie X i X i erotuksille i. TKK (c) Ilkka Melli (4) 86 ypoteesit Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : () Erotukset i N( µ, σ ), i=,,, () Erotukset,,, ovat riippumattomia Nollahypoteesi : : µ = Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < : µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot i i = = s = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E( i ), i =,,, Var( i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 87 TKK (c) Ilkka Melli (4) 88 Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure s / Jos ollahypoteesi : µ = pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät:,,, i N(, σ ), i =,,, Koska tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ = i N, i= ii z = N(,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) 89 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa vastaavalla otossuureella s = ( i ) i= saadaa t-testisuure s / joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Väliestimoiti. t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure s / mittaa havaitoarvoje erotuksie aritmeettise keskiarvo tilastollista etäisyyttä ollasta. Mittayksikköä o erotuksie i aritmeettise keskiarvo stadardipoikkeama σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testi Testi hylkäysaluee valita sekä testi p-arvo Testisuuree s / ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi : µ = pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Parivertailutesti hylkäysaluee valita tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa. Parivertailutesti testisuuree arvoa vastaava p-arvo määräämie tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 93 TKK (c) Ilkka Melli (4) 94 Normaalisuusoletukse merkitys / Normaalisuusoletukse merkitys / Parivertailuasetelma t-testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaitoarvoje erotukset ovat ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 ellei erotuste kauma ole kovi vio erotuksie joukossa ole poikkeavia erotuksia. Jos havaitoje lukumäärä > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille erotuksie kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 95 TKK (c) Ilkka Melli (4) 96
TKK (c) Ilkka Melli (4) 97 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testi variassille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B >> Testi variassille Variassie vertailutesti Avaisaat Aritmeettie keskiarvo χ -kauma Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo Variassi Yhde otokse testit Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 98 Testi variassille Testausasetelma / Testi variassille Testausasetelma / Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Asetetaa ormaalikauma N( µ, σ ) variassiparametrille σ ollahypoteesi :σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse χ -testi variassille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 99 TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille ypoteesit Testi variassille Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X, X,, X ovat riippumattomia. Nollahypoteesi : :σ = σ Vaihtoehtoie hypoteesi : : σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : σ < σ : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot Xi i = X = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X i ), i =,,, Var(X i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Testi variassille Testisuure se kauma Määritellää χ -testisuure ( ) s χ = σ Jos ollahypoteesi :σ = σ pätee, ii testisuure χ oudattaa χ -kaumaa vapausastei ( ): χ χ ( ) Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X X i N( µσ, ), i =,,, Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) X i µ Y = χ ( ) i σ = Koska odotusarvo µ o tutemato, satuaismuuttu Y lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa odotusarvo µ korvataa vastaavalla otossuureella X i i = X = saadaa χ -testisuure Xi X ( ) s χ = i= σ = σ s = ( Xi X) i= Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos ollahypoteesi pätee, testisuure χ oudattaa χ -kaumaa vapausastei ( ): χ χ ( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Otos otoskaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Testi variassille Testi Testi variassille Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree ( ) s χ = σ ormaaliarvo = ( ), koska ollahypoteesi pätiessä E(s :σ = σ ) = σ, jolloi E(χ ) = Site sekä pieet että suuret testisuuree χ arvot se ormaaliarvoo ( ) ähde viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ > σ ii kriittie ra χ α saadaa ehdosta Pr(χ χ α ) = α χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) χ α TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testi variassille Testi hylkäysaluee valita /4 Testi variassille Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ < σ ii kriittie ra χ α saadaa ehdosta Pr(χ χ α ) = α χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) χ α Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ σ ii kriittiset rat χ α χ α saadaa ehdoista Pr(χ χ α ) = α/ Pr(χ χ α ) = α/ χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) (, ) χ α χ α TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille Testi hylkäysaluee valita 4/4 Testi variassille Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. Olkoo χ -testisuuree havaittu arvo. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o -suutaie, p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. χ :σ > σ :σ < σ :σ σ :σ > σ :σ < σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) α χ α α α α α χ α χ α χ α p p χ p χ p ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille Normaalisuusoletukse merkitys Testit suhdeasteikollisille muuttujille Tässä esitety variassitesti yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalikautueita. Testi o herkkä poikkeamille ormaalisuudesta testi ei toimi kovi hyvi, jos havaitoje kauma o vio tai havaitoje joukossa o poikkeavia havaito. Tällöi suuretkaa havaitoje lukumäärät eivät yleesä paraa tilaetta. Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille >> Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Variassie vertailutesti Variassie vertailutesti Testausasetelma /4 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo F-kauma Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Variassie vertailutesti Testausasetelma /4 Variassie vertailutesti Testausasetelma 3/4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Variassie vertailutesti Testausasetelma 4/4 Variassie vertailutesti Yleie hypoteesi Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ) N( µ, σ ) variassiparametreille σ σ ollahypoteesi :σ = σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille. Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j uomautus: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) Variassie vertailutesti Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Variassie vertailutesti Parametrie estimoiti Nollahypoteesi : :σ = σ = σ Vaihtoehtoie hypoteesi : : σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : σ < σ : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ k, i =,,, k, k =, TKK (c) Ilkka Melli (4) Variassie vertailutesti Testisuure se kauma Määritellää F-testisuure s F = s Jos ollahypoteesi :σ = σ = σ pätee, ii testisuure F oudattaa Fisheri F-kaumaa vapausastei ( ) ( ): F F (, ) Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µ, σ ), i=,,, i X N( µ, σ ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) X i µ Y = χ ( ) i= σ X j µ Y = χ ( ) j σ = Koska Y Y, ii Y/( ) Y = F(, ) Y /( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Koska odotusarvot µ µ ovat tutemattomia, satuaismuuttu Y lauseke o epäoperatioaalie. Jos satuaismuuttu Y lausekkeessa odotusarvot µ µ korvataa vastaavilla otossuureilla k X = X, k =, k k i = ik saadaa F-testisuure s F = s k sk = ( Xik Xk), k =, k i= Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos ollahypoteesi pätee, testisuure F oudattaa Fisheri F- kaumaa vapausastei ( ) ( ): F F(, ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Variassie vertailutesti Testi Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree s F = s ormaaliarvo, koska ollahypoteesi :σ = σ = σ pätiessä ( jos o kylli suuri) E( F) = 3 Site sekä pieet että suuret testisuuree F arvot se ormaaliarvoo ähde viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ > σ ii kriittie ra F α saadaa ehdosta Pr(F F α ) = α F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (F α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita /4 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ < σ ii kriittie ra F α saadaa ehdosta Pr(F F α ) = α F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, F α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ σ ii kriittiset rat F α/ F α/ saadaa ehdoista Pr(F F α/ ) = α/ Pr(F F α/ ) = α/ F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, F α/ ) (F α/, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita 4/4 Variassie vertailutesti Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa olevilla kuvioilla. Olkoo F-testisuuree havaittu arvo F. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o -suutaie, p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :σ > σ :σ < σ :σ σ :σ > σ :σ < σ F (, ) F (, ) F (, ) F (, ) F (, ) α α α F α F α α α F α F α p p p F F p ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 Variassie vertailutesti Normaalisuusoletukse merkitys Tässä esitety variassie vertailutesti yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi o herkkä poikkeamille ormaalisuudesta testi ei toimi kovi hyvi, jos havaitoje kauma o vio tai havaitoje joukossa o poikkeavia havaito. Tällöi suuretkaa havaitoje lukumäärät eivät yleesä paraa tilaetta.