Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )].

Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ¾ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ã ÚØ ¾¼½ Ã Ö ÐÐ ÙÙØØ ÖØ Û Ø ÂÓÐÐ ÂÓÒ ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÈÖ Ò¹ Ø À ÐÐ ¾¼¼¾ ÓÙÒ ËÑ Ø ÒØ Ð Ó ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼ ÐÐ Ö Ö ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò ÖÓÓ» ÓÐ ¾¼¼¾ Ï ÐÐ Ñ Ï Ò Ø Ç ÓÙÖ Ò ÈÖÓ Ð ØÝ Ò ËØ Ø Ø Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼½ ÊÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ ÅÓ Ð Ñ ÈÖ ¾¼¼¾ Ú ÓÒ ËØ Ø Ø Ð ÅÓ Ð Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼ ½

ÃÙÖ Ò ÐØ Ò ÑÑ Ò Ò Ó ½º Ý Ð Ò ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ µ ¾º ÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ô Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ º Ý Ð Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø Ý Ð Ò Ò ÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù º Ó ØÙ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ¹ Ø Ø Ö ØÝ ÐÙ ÙØ Ø Ø Å¹ Ø Ñ ØØÓÖ Øµ º Ð ÒØ ÒØ Ò Ú Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÓØ ØÖ Ô Ð Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø Ðѵ ÌÓ Ò Ò Ó º Ó ØÙ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò º Ð ÒØ ÒØ Ò Ú Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ Ò ÔÓ Ñ Å ØÖÓÔÓÐ ¹ Ð ÓÖ ØÑ µ º Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÚ Ð ÒØ Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ö Ø Ö Øµ ¾

½ Ý Ð Ò Ò Ø Ð ØÓØ ½º½ È ÖÙ Ø Ø Ý Ò Ú Ý Ð Ò Ò Ø Ð ØÓØ Ô ÖÙ ØÙÙ Ý Ò Ú Ò ÝØØ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1,A 2,...,A k Ó ØØ Ú Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø º Ω = A 1 A 2... A k,a i A j = ÙÒ i jµ B ÓÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô ØÙÑ ÓÐÐ Pr(B) > 0º ÌÐÐ Ò Ý Ò Ú ÓÒ Pr(A j B) = Pr(A j )Pr(B A j ) kj=1 Pr(A j )Pr(B A j ). Ý Ò Ú ÐÐ ÚÓ Ò ÒØ ÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÂÓ Ò Ñ Ø¹ Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ò Ó Ø Ô ØÙÑ Ò A j ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò B ¹ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Pr(B A j ),j = 1,...,k Ú Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð ¹ Ó Ø Ô ØÙÑ Ò A j ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Pr(A j Bµº Ý Ð Ð Ò ÝØ Ø Ô ØÙÑ Ò A j ØÓ ÒÒ ÝÝ Pr(A j ) ÙØ ÙØ Ò ÔÖ ÓÖ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Pr(A j B) ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ º Ì Ô ØÙÑ Ò A j ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ Ò Ð Ò ÙÒ Ø ØÒ ÓÒ Ó B Ø Ô ØÙÒÙغ Ѻ ÒÓ Ø Ø Ø Ø Ø ÇÐ ÓÓÒ γ ÓÒ Ò Ö Ù Ò ÒØÝÚÝÝ θ Ó Ó Ø ÒÑÙÙØØÙ Ó ÐÑÓ Ø¹ Ø ÓÒ Ó Ý ØØ ÐÐ Ò Ð ÐÐ Ý Ò Ò Ö Ù θ = 1 Ó Ö θ = 0 Ó Ø ÖÚ µº ÒÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÒØ ØÙÐÓ Ò Y ÓÒ ÙÑ Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F 1 (y) Ó Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ö Ù F 0 (y) Ó ÓÐ º Ð Ò Ø Ø ØÝÝÔÔ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ò Ð ÑÖ Ø ØÒ Ö ØÙÒ Ó Y > y 0 Ñ y 0 ÓÒ ÑÔ Ò ØÙØ ÑÙ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒ Ø ØØÝ Ö º ÆÝØ ÚÓ Ò Ð Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ Ö Ù Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ö y 0 ÝÐ ØØÝÝ Pr(θ = 1 Y > y 0 ) = = Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )]. ÌÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ø Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÒÒÙ Ø ÖÚÓ F 0 (y 0 ) ÓÒ Ø ¹ Ø Ò Ô ÝÝ ØÒº ØØ Ø ÖÚ Ò Ð ÑÖ Ø ØÒ Ø ÖÚ µ 1 F 1 (y 0 )

Ø Ø Ò Ö ÝÝ Ò Ø Ú ØÝ ØÒº ØØ Ö ÑÖ Ø ØÒ Ö µº Ð Ò Ø Ø ÔÝÖ ØÒ ÙÙÒÒ ØØ Ð Ñ Ò Ò Ò ØØ Ö ÝÝ ØØ Ô ÝÝ ÓÚ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÓÖ Ø º ÈÖ ÓÖ ¹ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ð ÑÑ Ø Ô Ù Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø ÖÚÓ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ Ø Ø ÙÚ Ø Ô Ù ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ π(θ)º ÌÑ ÙÚ ØÙØ Ò ÒÒ Ó ØÝ Ø Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº ÀÙÓÑ ÖÓ Ð Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ Ø¹ ØÓÑ ÑÙØØ ÒØ Ø Ð Ô ØÙÒÒ µº Ë Ý Ð Ø Ð ØÓØ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò º ÃÙÒ ÓÒ ÝØ Ú ÒØÓ Ò ØÓ y Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú ÒÒ Ó ¹ ØÝ Ø ÚÓ Ò Ø Ö ÒØ º Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÂÓ Ô Ö Ñ ØÖ θ ÚÓ ÖÚÓØ 1,...,k Ò ÐÐ ÓÒ ÔÖÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø π 1,..,π k ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð¹ ÑÓ ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Pr(θ = j y) = π jf(y θ = j) ki=1 π i f(y θ = i), j = 1,...,k. ½µ ÃÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ ÓÒ Ø ÙÚ ¹ ÖÚÓ Ò Ò ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó π(θ y) = π(θ)f(y θ), ¾µ π(θ)f(y θ)dθ Ñ π(θ) ÓÒ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(y θ) ÓÒ Ú ÒØÓ Ò Ý ¹ Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ð Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ѻ Ä Ò Ñ Ö Ò Ó ÙÙ Ä Ø ÓÓ Ñ Ö ÒÓ ÙÙ Ò Ð Ò ÔÔÓÚ ÚÓ Ò ÐÙ¹ ÐÚ ØØ Ý Ò Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ñ Ö Ò Ó ÙÙ Ò θº ÌÙØ ÑÙ ¹ Ø Ø ÐÐ Ò n Ò Ð Ø Y ÒÓÓ ÓÚ Ò Ó Ø Ð Ø¹ غ ÃÐ Ò ¹ Ý Ð Òµ Ò ÐÝÝ Ò ÑÙ Ò θ [0,1] Y ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò n θº ÑÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÑÑ ØØ ˆθ = Y/n ÓÒ Ö ÒÓÑ Ò Ò θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Ë ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ¹ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò Ò Ò Ø Ö ÒØÙÚ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Òº

Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò ÑÙ Ø ÔÝÖ ØÒ Ò Ñ Ò ØÙ Ø Ò Ø Ó ÓÐ Ú θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º Ì Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ýع Ø ÝÚ ÑÑ Ò Ñ Ö ÒÓ ØÙ Ò Ú Ø Ú ÒØÝÝÔÔ Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó ¹ Ñ Ñ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ÂÓ Ò Ò Ú ÐÐÓ ØØ Ñ Ò Ñ Ö Ò Ó ÙÙ Ò Ö¹ ÚÓØ Ú Ø Ð Ú Ø ÚÐ ÐÐ 0.05 0.15 ÓÐ Ø ÑÑ ÖÚÓØ Ñ Ò ØÙÐÐ ÚÐ ÐÐ Ø ¹ ÙØÙÒ Ò Ò θ Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÐÐ Ò π(θ) = { 1/(0.15 0.05) = 10, 0.05 θ 0.15 0, muualla. ÌÐÐ Ò Ú ÒÒÓÒ Y Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n u(y,θ) = π(θ)f(y θ) = 10 θ y (1 θ) n y, y ÙÒ y = 0,1,...,n θ [0.05,0.15] Ú ÒÒÓÒ y Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ( ) n 0.15 g(y) = 10 θ y (1 θ) n y dθ. y 0.05 Ë θ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò π(θ y) = θ y (1 θ) n y 0.15 0.05 θy (1 θ) n y dθ. Ѻ Ê ÙÐ ÖÙÓ Ø Ò Ý Ú ÐØ Ò ÐÙÓØ Ó Ò Ã Ò Ò ØÙÒÒ ØÙ Ò ÑÒØÝÐ ÓÒ Ú Ð ÓÑÒ¹ Øݺ Ë ÓÒ ÐØ Ö ÙÐ ÖÙÓ Ø Ö Ù ÐÐ Ó ÙØØ ÖÙÓ Ø ÒØ ¹ Ú ÙÑ ÙÓÖ Òº ÆÑ Ú ÙÑ Ø Ð Ò Ú Ø ÙØØ Ú Ø Ô ÒØ Ò Ó Ò Ø Ñ Ò ÙÓÐ Ñ º Å Ø Ò Ó Ø ÐÙ Ø ÑÓ Ø Ö Ó Ø Ö ¹ ØÙÒ Ò ÔÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÖÚÓÒº Ë Ö ØÙÒ Ò ÔÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ö ÐÐ ÚÓ Ò Ô Ø ÈÓ ÓÒ¹ ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò λº ÃÓ Ô Ö Ñ ØÖ λ Ú Ø ¹ Ð Ö ÐÙ ÐÐ Ô ØÒ Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò λ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ θ ÓØ Ò π(λ) = { 1 θ e λ/θ, jos λ > 0 0, muualla.

ÌÙØ ÑÙ Ø Ú ÖØ Ò Ú Ð Ø Ò n ÐØ Ö Ð ÐØ Ø Ö Ò ÐÙ ÐØ n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ º ÌÐÐ Ò i=1 y i e nλ u(y 1,...,y n,λ) = 1 θ e λ/θ λ n ni=1 y i! 1 g(y 1,...,y n ) = θ n i=1 y i! 0 ( n ) = Γ y i +1 i=1 e λ(n+1/θ) λ n i=1 y i dλ 1 (n+1/θ) n i=1 y i+1 1 θ n i=1 y i!, Ñ ÐÐ ÓÐ Ú ÒØ Ö Ð ÓÒ Ð ØØÙ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ÓÒ Ñ¹ Ñ ÒØ Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ò α = n i=1 y i +1 β = n+1/θ. ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ λ ÐÐ ÑÑ ÒÝØ π(λ y 1,...,y n ) = (n+1/θ) n i=1 y i+1 Γ( n λ n i=1 y i e λ(n+1/θ), i=1 y i +1) Ó ÓÒ ÑÑ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò α = n i=1 y i + 1 β = (nθ+1)/θ. ½º¾ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø Ý Ð Ò Ò ÐÝÝ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ º Ë ÐØ ÔÖ ÓÖ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØØ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ ÒØ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Í Ò Ù Ø Ò Ò ÐÙØ Ò Ø Ú Ø ÔØØ ÐÝÒ ØÙÐÓ Ý Ø Ò ÐÙ ÙÙÒ Ó ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ñ Ò Ø ÑÓÓ º ÌÙØ ÑÑ ÙÖ Ú Ñ ÐÐ Ø ÓÖ ØØ Ô ÖÙ Ø Ø Ò Ò Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÝØ ÐÐ ÓÒº Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÑÖÝØÝÝ ÝØ ØØÚÒ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ Ø Ñ Ø Ò δ(y) ÝØ Ø ÙØÙÙ Ø ÔÔ Ó L S [δ(y),θ] ÙÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ θº ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ E{L S [δ(y),θ] y} = L S [δ(y),θ]π(θ y)dθ.

Ì ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓØÓ Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ù Ø Ò ÙØ ÙØ Ò Ö ÙÒ Ø Ó R δ (θ) = E{L S [δ(y),θ] θ} = L S [δ(y),θ]f(y θ)dy, Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ù Ø Ò Ý ¹Ö Bδ π = E[R δ(θ)] = R δ (θ)π(θ)dθ. ÃÓ ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ Ø ÚÓ Ò Ú Ø Ù Ò Ò Ð Ù µ π(θ)f(y θ) = f(y)π(θ y) R δ (θ)π(θ)dθ = = π(θ) f(y) L S [δ(y),θ]f(y θ)dydθ L S [δ(y),θ]π(θ y)dθdy, Ò Ò ØØ Ý ¹Ö Ñ Ò ÑÓ ØÙÙ ÙÒ ÙÐÐ Òy ÐÐ Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ¹ Ô ÒØ Ö Ð º Ë ÑÔ ÒØ Ö Ð Ø Ñ Ò ÑÓ ØÙÙ ÙÒ ÝØ ØÒ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ º Ë ÙÖ Ú ØÙØ ÑÑ Ñ ÐÐ Ò Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÝÐ ÑÑØ Ø Ô¹ Ô Ó ÙÒ Ø ÓØ Ó Ø Ú Øº ½µ ¹ÒÓÐÐ ¹Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó L S = Ñ a,b > 0 ÓÚ Ø ÓØ Ò Ú Ó Ø º { 0, δ(y) θ < b a, δ(y) θ b, Å Ò ÑÓ Ø Ú ÙÙÖ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓµ ÓÒ L S [δ(y),θ]π(θ y)dθ = = 1 Ó Ñ Ò ÑÓ ØÙÙ ÙÒ Ñ ÑÓ Ò δ(y)+b δ(y) b δ(y)+b δ(y)+b π(θ y)dθ + δ(y) b π(θ y)dθ. δ(y) b π(θ y)dθ, π(θ y)dθ

ÂÓ π(θ y) ÓÒ Ý Ù ÔÔÙ Ò Ò Ñ Ñ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ δ(y) ÓÒ ÐÐ Ò ÚÐ Ò Ô Ø ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ 2b ÓÒ ÔØ Ô Ø π(θ y) ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÚÓº ÃÙÒ b 0 Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ δ(y) Ð ØÝÝ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ÑÓÓ¹ º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ÑÓÓ ÓÒ Ø Ñ Ù Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø ÙÑ º ¾µ ÁØ ÖÚÓØ ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó L S [δ(y),θ] = a δ(y) θ Ñ a > 0 ÓÒ Ó Ò Ú Óº Ð Ø ÓÒ ÚÓ Ñ ØØ Ó X ÓÒ Ó Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ( X d ) Ñ Ò ÑÓ ØÙÙ ÙÒ d ÓÒX Ò ÙÑ Ò Ñ Ò º Ë Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÖÚÓØ ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ñ Ò º à º Ø Ö ÑÑ Ø Ô ÖÙ Ø ÐÙØ ÖØ Û Ø µº µ Æ Ð ÐÐ Ò Ò Ú Ö ØØ Ò Òµ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó L S [δ(y),θ] = a(δ(y) θ) 2 Ñ a > 0 ÓÒ Ó Ò Ú Óº Å Ö ØÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ˆθº ÌÐÐ Ò Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓ ¹ Ø Ö ÓÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ { [δ(y) θ] 2 y } [[δ(y) ] } 2 = { ˆθ] [θ ˆθ] y = { [δ(y) ˆθ] 2 y } 2[δ(y) ˆθ] { θ ˆθ y } + { [θ ˆθ] 2 y }. ÌÓ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ¼ ÐÐ {θ ˆθ y} = 0 ÓÐÑ Ø ÖÑ ÐÐ δ(y) غ Ë Ø Ò Ó ÓØ ØØÙ Ø ÔÔ Ó Ñ Ò ÑÓ ØÙÙ ÙÒ δ(y) = ˆθº Ë Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ð ÐÐ ÐÐ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ç ÓØ Ø ØÙÒ Ø ÔÔ ÓÒ Ñ Ò Ñ ÓÒ {[θ ˆθ] 2 y} Ó ÓÒ θ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ú Ö Ò º Ѻ Ê ÙÐ ÖÙÓ Ø Ò Ø Ó ÑÑ Ñ Ö Ø ÑÓ Ø Ò ÑÖ Ø Ö ØÙÒ ØØ Ò ÑÒØݹ Ò ÐÙ ÙÑÖ λ Ø Ö ÐÐ º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ø Ò ÑÑ ÙÑ ÑÑ n i=1 y i +1,(nθ+1)/θµº Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ð ÐÐ ÐÐ Ø ÔÔ Ó ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÑÒ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ( n i=1 y i + 1)/(n + 1/θ)º Ë Ò Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ÑÓÓ Ø Ñ Ò ÑÑ ¹ ÙÑ Ò Ø Ô Ù ÓÐ ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ð Ò Ò ¹ Ý Ð Ò Òµ λ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ȳº

½º ÃÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÙÙÐÙÙ Ó ÓÒ Ò ÝÐ Ò ÙÑ Ô Ö Ò ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÙÓÖ Ú Ú Ø º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ ¹ Ò Ò Ñ ØØ Ò ØØ ÑÙÓ Ó π(θ y) π(θ)l(θ; y), Ñ π(θ) ÓÒ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó L(θ;y) Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Å Ö Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ð Ù Ø ÓÚ Ø Ù Ø ØÓ Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò π(θ y) = c π(θ)l(θ;y), Ñ cóò θ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Óº ÂÓ ØÙÐÓπ(θ)L(θ;y) ÓÒ Ú Ó ÖÖÓ ÒØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ ÓÒ Ò θ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ Ý Ò Ò ÙÑ ÓÒ θ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ º Ѻ Ø ¹ ÙÑ ÑÑ Ñ Ö Ø ÑÓ Ø Ò Ñ Ö Ò Ó ÙÙØØ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÓÐ Ø ÙÑ ÚÐ ÐÐ ¼º¼ ¼º½ º Ë Ò Ò ÚÓ ÑÑ ÝØØ ÔÖ ÓÖ Ù¹ Ñ Ò Ø α,βµ¹ ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ π(θ) = 1 B(α,β) θα 1 (1 θ) β 1, ÙÒ 0 < θ < 1. ÃÓ θ Ò ÔÖ ÓÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ (θ) = α/(α + β) Ú Ð Ø Ñ ÐРѺ α = 1 β = 9 Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ñ Ù Ò ÑÑ Ñ Ö º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ π(θ y) π(θ)l(θ;y) θ α+y 1 (1 θ) β+n y 1, Ó Ø Ò Ò Ø ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø (α+y,β +n yµº ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ð ÐÐ ÐÐ Ø ÔÔ Ó¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ µ ÓÒ (α + y)/(α + β + n) ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ÑÓÓ Ý ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ý ¹ÒÓÐÐ ¹Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ ÙÒ Ø ÔÔ ÓØØÓÑ Ò ÚÐ Ò Ô ØÙ٠й ØÝÝ ÒÓÐÐ µ (α+y 1)/(α+β+n 2) ÓÐ ØÙ ÐÐ ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ý Ù ÔÔÙ Ò Òº ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ñ Ò Ò ÚÓ ÑÖ ØØ Ø ÙÐÙ Ó Ø Ø Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ º

Ѻ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ Y 1,Y 2,...,Y n ØÙÒÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,σ 2 ) Ñ Ú Ö Ò σ 2 ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ ÓÐ ÓÓÒ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÔÖ ÓÖ ¹ ÙÑ N(µ,τ 2 )º ÌÐÐ Ò θ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ ( ) 2 θ µ π(θ y) π(θ)l(θ;y) = (2πτ 2 ) 1/2 exp 1 2 τ ( ) n 2 (2πσ 2 ) 1/2 exp 1 yi θ i=1 2 σ. ÅÖ Ø ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÚÓ Ò Ó ØØ Ø Ø ÓØ ÚØ ÐÐ θ { π(θ y) exp 1 [ ( 1 θ 2 2 τ + n ) ( )]} µ 2θ 2 σ 2 τ + yi 2 σ 2 +nτ 2 [ ) = exp (σ2 θ µσ2 +nȳτ 2 ] 2 +vakio 2σ 2 τ 2 σ 2 +nτ 2. Ì Ø Ò Ò ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ (µσ 2 +nȳτ 2 )/(σ 2 +nτ 2 ) Ú Ö Ò ÐÐ [(σ 2 +nτ 2 )/σ 2 τ 2 ] 1 º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ ¹ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ( µ τ + ȳ )/( 1 2 σ 2 /n τ + 1 ), 2 σ 2 /n Ó Ø Ò Ò ØØ ÓÒ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓØÓ ÖÚÓÒ Ô ¹ ÒÓØ ØØÙ ÖÚÓ Ô ÒÓ Ò ÔÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Ò Ò¹ Ø ÐÙÚÙغ Æ Ø Ô ÒÓ ÖØÓ Ñ ÙØ ÙØ Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ö ÙÙ ÓØÓ Ö¹ ÚÓÒ Ø Ö ÙÙ Ò Ðº ÔÖ ÓÒµº ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ö ÙÙ Ú Ö Ò Ò ÒØ ÐÙ Ùµ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ö ÙÙ Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ Ø Ö ÙÙ Ò ÙÑÑ º ÃÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÐÐ Ñ Ö ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÙÙÐÙ Ñ Ò ÙÑ Ô Ö ¹ Ò Ù Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ º ÌÐÐ Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ó ÖÖÓØØÙÒ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒØ Ñ Ò ÙÑ Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ù¹ Ñ Ò ÙØ ÙØ Ò ÓÒ Ù ØØ ÔÖ ÓÖ ÙÑ θ ÐÐ º Í Ò ÓÒ Ù ØØ ¹ Ø Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÝØØ ÐÔÓØØ ÓÐ ÐÐ Ø Ð ÒØÓ º ½¼

Ð Ò ÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ò Ò ØØ ÓÖÚ ¹ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ θ Ø Ö ÔÔÙÚ Ó ÓØÓ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ð Ù ¹ Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ º Ѻ ÃÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÈÓ ÓÒ¹ ÙØÙÒ ÐÐ ÓØÓ ÐÐ ÇÐ ÓÓÒ Y 1,...,Y n ÓØÓ ÈÓ θµ¹ ÙÑ Ø º ÌÐÐ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L(θ;y) = n θ y i e θ θ y i e nθ. y i! i=1 ÃÙÒ ÓÖÚ Ø Ò ÓØÓ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø y i n ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ α 1 α 2 Ò ÓÒ Ù ØØ ÔÖ ÓÖ ÙÑ π(θ) θ α 1 e α 2θ, Ó ÓÒ ÑÑ α 1 +1,α 2 µ¹ ÙÑ º ÂÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò ØÑ ÙÑ ÙÙ¹ ÐÐ Ò Ò Ò ØØα = α 1 +1 β = α 2 Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÑÑ α βµº Ѻ ÃÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ø ÙØÙÒ ÐÐ ÓØÓ ÐÐ ÇÐ ÓÓÒY 1,...,Y n ØÙÒÒ ÓØÓ Ø ÙÑ Ø Ì 0,θµº ÆÝØ Y i Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 1 0 y f(y i θ) = θ i θ, 0, ÑÙÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó θ ÐÐ ÓÒ L(θ;y) = { 1 θ n 0 y (1)... y (n) θ 0, ÑÙÙØ Ò = 1 θ ni {θ y (n) }(y) I {y(1) 0}(y). ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ ÓØÓ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø n y (n) ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ò π(θ) 1 θ αi {θ β}(θ) { 1, ÙÒ θ β, = θ α 0, ÑÙÙØ Ò. Ë ÓÒ Ù ØØ Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÒ È Ö ØÓ¹ ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ { (α 1) β α 1, ÙÒ θ β, π(θ) = θ α 0, ÑÙÙØ Ò. ½½

ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò π(θ y) L(θ; y)π(θ) { 1, ÙÒ θ max(β,y θ n+α (n) ) 0, ÑÙÙØ Ò. Ë ÑÝ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ È Ö ØÓ¹ ÙÑ º ½º Ô Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ ÓÐ ÝØ ØØÚ ÒÒ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ø ÑÓ Ø Ú Ø Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ô Ò ÓÖÑ Ø Ú ÔÖ ÓÖ ÙÑ º Æ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÙØ Ò ØÙØ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÔÖ Ó¹ Ö ÙÑ Ú ÙØØ ÔØØ ÐÝÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Òº Ô Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÝØ ØÒ Ù Ò Ø ÙÑ π(θ) 1º Ì ÙÑ Ò ÝØØ ÓÐ Ù Ø Ò Ò ØÝ Ò ÓÒ ÐÑ ØÓÒØ º ÂÓ Ø ¹ ÙÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ØÓ ÐÐ ÙÙ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ô¹ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Òº Ñ Ö ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ì ¼ ½µ ÐØ Ñº Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ ØØ θ ÓÒ ÚÐ ÐÐ ¼º¾ ¼º ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ¼º¾º ÌÑ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó ÐØ ØÙÐ Ö ØÝ Ò ÐÑ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÒÑÙÙÒ¹ ÒÓ º ÅÙÙÒÒ ØÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÑ ÓÐ Ò Ò Ø ÙÑ º Ѻ Ó θ Ì (0,1) Ò Ò φ = log(θ) ÜÔ(1)º ÌÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ó Ð ØØÝÝ Ø Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÝØØ Ò ÓÒ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ ÚÓ ÖÚÓ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ÐÐ ÚÐ Ðк ÌÐÐ Ò ÓÐ ÓÐ ¹ Ñ ØÓ Ø ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÒØ ÖÓ ØÙ Ý º Ì Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØØ Ô ØÓ Ø ÙÑ ÓÐÐÓ Ò ÔÓ Ø ¹ Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ó ÖÖÓ ÒØ ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ Ñ Ù Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò ØØ ÑÙÙÒÒ ØÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÐ Ò Ø ÙÑ º ÂÓØ ÙØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñº Ø ÓÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÙÑ Ò Ú Ö Ò Ø ÚÓ ¹ Ú Ø Ô Ð ØÒ ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù ÖÚÓ º ÌÐÐ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÝØ ØÒ ÝÐ Ò Ô ØÓ ÔÖ ÓÖ ÙÑ π(θ) 1/θº ÌÑ Ú Ø Ø ØØ log(θ) ÐÐ ÓÒ Ø Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ º Ò Ö Ø ÙÒ ÑÖ ØØ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÒÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÔÖ ÓÖ Ù¹ Ñ ÓÒ ØØÒÝØ Â Ö Ý º ÀÒ Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÓÒ Ø ÙÑ ÐРй Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ φ(θ) ÓÒ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ú Óº ÂÓ φ = φ(θ) ÓÒ Ó Ò θ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ θ = θ(φ) Ò ½¾

ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ò φ Ò Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ [ ] 2 [ ] 2 d l(θ(φ)) d l(θ) dθ I(φ) = = dφ dθ dφ 2 dθ = I(θ) dφ Ó Ø Ò I(φ) 1/2 = I(θ) 1/2 dθ/dφ º ÌÓ ÐØ Ó π(θ) ÓÒ θ Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ú Ø φ Ò ÔÖ ÓÖ π(φ) = π(θ) dθ/dφ º Ì Ø Ò Ò ØØ ÔÖ ÓÖ ÙÑ π(θ) I(θ) 1/2 µ ÝØØÝØÝÝ Ó ÓÒÑÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÙÒÒÓ º ÌØ ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÙØ ÙØ Ò Â Ö Ý Ò ÔÖ ÓÖ º ÃÙÒ θ ÓÒ Ú ØÓÖ Ú µ ÓÒ I(θ) Ò Ø Ð ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ I(θ) º Ѻ ÒÓÑ ÙÑ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÓÒ I(θ) = n/[θ(1 θ)]º Ë Â Ö Ý Ò Ô Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ π(θ) [θ(1 θ)] 1/2 Ó ÓÒ Ø ¹ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò α = β = 1/2º Ѻ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ θ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ I(θ) = n/σ 2 º ÌÑ Ö ÔÙ θ Ø ÓØ Ò Â Ö Ý Ò ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ú Ó π(θ) 1º Ѻ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ú Ö Ò ÇÐ ÓÓÒ Y 1,...,Y n ØÙÒÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,θ 2 ) Ñ µ ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙº ÌÐÐ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó θ ÐÐ ÓÒ l(θ) = n 2 log(2πθ2 ) 1 2θ 2 n (y i µ) 2, i=1 Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó [ d 2 ] [ l(θ) n I(θ) = = dθ 2 θ 3 ] (yi µ) 2 2 θ 4 = n θ 2 + 3n θ 2 = 2n θ 2. Ë Â Ö Ý Ò ÔÖ ÓÖ ÓÒ π(θ) 1/θº ÀÙÓѺ ÂÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ ÓÒØ σ ÓÚ Ø ØÙÒØ ¹ Ñ ØØÓÑ ÝÐ Ò ÝØ ØÒ Ý Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ π(µ,σ) 1/σ Ø Ó Ô ¹ Ö Ñ ØÖÓ Ò Ú Ö Ò Ò ÚÙÐÐ π(µ,σ 2 ) 1/σ 2 µº ÌÑ ÓÒ Ö ÔÖ ÓÖ Ù Ò Ó Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Â Ö Ý Ò ÔÖ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ ÐÐ θ = (µ,σ)º ½ 2,

Ì ÙÐÙ Ó ½ ÃÙÓÐÐ ÙÙ Ø r/m Ý ÒÐ Ù Ø ½¾ Ö Ð ËÔ Ð¹ ÐØ Ö Øº Ð Í Ë ¼º Ü ÑÔÐ ÎÓÐÙÑ ½ Ñ Ö ÅÊ Ó Ø Ø Ø ÍÒ Øº ½ µº Ì ÙÐÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÙÓÐ Ñ Ò Ð Ñ r Ð Ù Ø Ò Ð Ñ mº ¼» ½»½»½½» ½¼»¾½½ ½»½»½ À ½»¾½ Á ½»¾¼ » à ¾»¾ Ä ¾» ¼ ½º Ý Ð Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ø Ú Ø ÝØØÑÐÐ Ô Ø ¹ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ Ø ÙØ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ÑÓÓ º Ð Ò Ù Ø Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÙ Ø Ø ¹ÚÐ Ø ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ ÑÔ º Ì ÓÒ 1 2α Ý Ð Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ θ ÙÙÐÙÙ Ú ÒØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 2αº ÃÙÒ θ ÓÒ Ø ÙÚ 1 2α = Pr(θ C y) = π(θ y)dθ. ÃÙÒ θ ÓÒ Ö ØØ ÒØ Ö Ð ÓÖÚ Ø Ò ÙÑÑ ÐÐ θ C π(θ y)º Ë Ð Ö ÖÚÓ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ý Ð ÐÙÓØØ ¹ ÑÙ ÚÐ º Ì ÒØ Ò Ò ÕÙ ¹Ø Ð µ Ý Ð Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÑÙÓ¹ ØÓ (θ L,θ U ) Ñ Pr(θ < θ L y) = Pr(θ > θ U y) = αº ÃÝØ ØÒ ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ø Ý Ò ÐÙ Ø Ø ÔÓ Ø ¹ Ö ÓÖ Ò ØÝ ÐÝ º ÀÈ µ Ó ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ø Ý ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ñ Ò Ô Ø ÐÙ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó θ C Ò Ò π(θ y) π(θ y) ÐÐ θ / Cº ÀÈ ¹ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ØÙ ØØ ÓÒ ÓÓÐØ Ò Ô Ò Ò Ø ÓÒ1 2α Ý Ð Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÙ º ÌÓ ÐØ Ø ÒØ ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ØÙ ØØ Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ú¹ Ð Ò Ö Ø Ò Ø ÑÐÐ Ú Ø Ú ÑÙÙÒÒÓ Ð ÙÔ Ö Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ö Ó ÐÐ º ÀÈ ¹ÚÐ ÐÐ ØÐÐ Ø ÓÑ Ò ÙÙØØ ÓÐ º Ѻ ËÝ ÒÐ Ù Ò ØÓ Ì ÙÐÙ Ó ÓÒ Ò ØÓ Ú ÙÚÓ Ò Ý ÒÐ Ù Ø ½¾ Ö Ð º ¹ Ò ÖØ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ØØ ÙÓÐ Ñ Ò ÐÙ ÙÑÖ r ÓÒ ÒÓÑ ÙØÙÒÙØ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ò θ mº Ñ Ö Ö Ð m = 47 r = 0 Ñ Ò¹ Ø ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò ˆθ A = 0/47 = 0º ÌÑ Ø Ñ Ø¹ Ø Ú ÙØØ ÓÔØ Ñ Ø ÐØ ÙÒ ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÙÓÐÐ ÙÙ Ò ÑÙ ¹ Ö ÐÓ º ÂÓ ÝØÑÑ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ø ÙÑ ÚÐ ÐÐ ¼ ½ Ó ÓÒ ½ C

Posterioritiheys 0 10 20 30 40 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 θ ÃÙÚ ½ ÈÓ Ø Ö ÓÖ Ø Ý ÙÒ Ø Ó θ A ÐÐ ÙÒ ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø ÙÑ º Ø ½ ½µ¹ ÙÑ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø ½ µº ÌÐÐ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ù¹ Ñ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ½» ± ÀÈ ¹ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÚÐ ÓÒ ¼ º¼ µ±º Ì Ò¹ Ø Ò Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÚÐ ÝØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò ¾º º ± Ú ÒØ Ð ÓÒ ¼º¼ º ¼µ±º ÃÙÚ Ó ½ ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ë Ò ÓÒ ÖÓØ ØØÙ ÔÝ ØÝÚ ÚÓ ÐÐ ÀÈ ¹ÚÐ Ò Ö Ø Ø ÒØ Ò ÚÐ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ø Ý ÓÒ ÚÖ Ø ØØݺ Ð Ù Ó Ø ÔÓ Ò Ò Ú Ò ¼ Ø ØØ ÖÓØÙ ÙÚ Ø º ÌÓ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ Ø ÑÓ θ A ÓÐ ÓÐ ØØ ØØ ÙÓÐÐ ÙÙ ÓÒ Ñ ¹ Ö ÐÓ Ý Ø Ö Ö ÐÓ Ò ØÙÐÓ Øº ÃÙ Ø Ò Ò ØÑ Ò Ú ØÓ ØÙÒÒÙ ØÝ Ò Ö Ð Ø ÐØ º ÃÓÐÑ Ð ØÝÑ Ø Ô Ø ÑÓ ÒØ Ò ÓØ Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÓÒ ÝØØ ÝÚ Ö ÐÓ Ø Ó Ú Ø Ð ¹ ØÓ ÑÙØØ Ñ ÐÐ ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Ö ÐÓ Ò ÚÐ ÐÐ ÚÓ ÒØÝ Ú Ø ÐÙ ÙÓÐÐ ÙÙ º ½º Ý Ð Ò Ò ÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÃÙÒ Ú ÖÖ Ø Ò ÒÓÐÐ ÝÔÓØ H 0 Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ Ò H 1 Ö Ú Ò¹ Ø Ø Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò T ÝØØ Ò Ó ØÝÝÔ ÐÐ ¹ Ø ÙÙÖ ÑÑ Ò ÖÚÓÒ ÐÐÓ Ò ÙÒ H 1 ÓÒ ØÓ H 0 ÔØÓ º ÆÓÐÐ ÝÔÓØ H 0 ÝÐØÒ Ö Ø ÓÐÐ α Ó Ú ØØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ t obs ÓÒ ÙÙÖ Ñ¹ ½

Ô Ù Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ t C Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò ØØ T Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÝÐ ØØ Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ α ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÓÐÐ ØÓ Pr(T > t C H 0 µ αº Í Ò Ð Ø Ò ÑÝ p¹ ÖÚÓ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ø ÙÙÖ ÝÐ ØØ ÓØÓ Ø Ð ØÙÒ ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø p = Pr(T t obs H 0 )º ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ö Ú ÒØ Ø Ð ØÝÑ Ø Ú ÔÙ ÙØ Ý¹ ÔÓØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ѻ p¹ ÖÚÓ Ô ØÙÐ Ø ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ë Ò Ò Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú ÒÒ Ø Ò Ý¹ ÔÓØ ÐÐ ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Pr(H i ), i = 0,1 Ð Ø Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ø Pr(H i y) = Pr(H i )Pr(y H i ) Pr(H 0 )Pr(y H 0 )+Pr(H 1 )Pr(y H 1 ), i = 0,1. Ö Ú ÒØ Ø Ð ØÝÑ Ø Ú Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ØØ Ú p¹ ÖÚÓ Ö ÔÙ Ú Ð ØÙ Ø Ú ØÓ ØÓ Ø Ý¹ ÔÓØ Ø º Ë Ò Ò Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú ÑÝ Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ Ò Ô Ø ÓÐÐ ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ ÂÓ Ù ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø Ð Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù H 1 Ò Ù Pr(H 1 y) Pr(H 0 y) = Pr(y H 1) Pr(y H 0 ) Pr(H 1) Pr(H 0 ). µ ÌÑ Ù Ö ÔÔÙÙ Ò ØÓ Ø y ÒÓ Ø Ò Ý Ò Ø Ò B 10 = Pr(y H 1) Pr(y H 0 ) µ ÚÐ ØÝ Ðк Ë Ø Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù Ý Ò Ø ÔÖ ÓÖ Ú ÓÒ¹ ÐÝ ÒØ Ù º ÃÙÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ B 10 ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù H 1 Ò Ù º Ð Ò Ù Ø Ò Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÝÔÓØ Ø ÐØÚØ Ô Ö Ñ ØÖ ÒÓØ Ò θ 0 θ 1 º ÌÐÐ Ò Pr(y H i ) = f(y H i,θ i )π(θ i H i )dθ i, i = 0,1, Ñ π(θ i H i ) ÓÒ θ i Ò ÔÖ ÓÖ H i Ò Ú ÐÐ Ø º ÆÝØ Ý Ò Ø ÓÒ ÔÖ ÓÖ ¹ ÙÑ ÐÐ Ô ÒÓØ ØØÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ù º Ò ÐÓ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù ¹ Ø Ø ÙÙÖ Ò Ò ÙÙÖ ØØ 2logB 10 ÝØ ØÒ ÐÑ Ñ Ò Ú Ò H 1 Ò Ù Ú ÖÖ ØØ Ø H 0 Ò Ò º Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ö ØÙÐ ÒØ Ý Ò Ø ÐÐ º ½

Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÌÙÐ ÒØ Ý Ò Ø ÐÐ B 10 B 10 2logB 10 Ú Ò H 0 Ú Ø Ò ½¹ ¼¹¾ ØÙ Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÖÚÓ Ò Ò ¹¾¼ ¾¹ ÈÓ Ø Ú Ò Ò ¾¼¹½ ¼ ¹½¼ Î Ú ËØÖÓÒ µ ½ ¼ ½¼ ÀÝÚ Ò Ú Ú Ñº ÀÍ˹ Ò ØÓ Ì ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ÐØÝ ÖÐÐ ÖÑ Ò Ñ Ò Ð Ò ÐÐ Ó ØØÙ Ò ÀÍ˹ Ø Ô Ù Ø Ò ÑÓÐÝØ ÙÖ Ñ ÝÒ ÖÓÑ µ ÐÙ ÙÑÖ ÚÙÓ Ø ½ ¼ ÚÙÓØ Ò ½ º Ø Ö ÑÑ Ò Ú ÓÒµº Ò ØÓ ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò ÐÚ Ð Ý ÚÙÓ¹ Ò ½ ¼ Ô ÐÐ º Ì Ø Ø ÑÑ ØØ ÓÐ Ø ÑÑ ØØ ÚÙÓ ØØ Ø Ø Ô Ù ¹ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ y 1,...,y n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÈÓ ÓÒ¹ ÙØÙÒ Ø Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ÐÐ (Y j ) = λ 1 ÙÒ j = 1,..,τ (Y j ) = λ 2 ÙÒ j = τ + 1,...,nº ÅÙÙØÓ Ô Ø τ ÚÓ ÖÚÓØ 1,...,n 1º ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÓÒ λ 1 = λ 2 = λ Ð ØØ ÑÙÙØÓ Ø Ø Ô Ù Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ H τ ÓÒ ÑÙ Ò ÚÙÓ Ò τ Ð Ò Ø Ô ØÙÙ ÑÙÙØÓ º ÇÐ Ø ÑÑ ØØ H τ Ò Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ λ 1 λ 2 ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò α βº ÌÐÐ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ α/β Ú Ö Ò α/β 2 º ÆÝØ Pr(y H τ ) ÓÒ 0 τ λ y j 1 y j! e λ 1 βα λ α 1 Γ(α) j=1 Ó Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒ β 2α 1 e βλ 1 dλ 1 0 n j=τ+1 λ y j 1 y j! e λ 2 βα λ α 1 Γ(α) Γ(α+s τ )Γ(α+s n s τ ) Γ(α) 2 n j=1 y j!(β +τ) α+sτ (β +n τ) α+sn sτ, 2 e βλ 2 dλ 2, Ñ s τ = y 1 +...+y τ s n = y 1 +...+y n º ÇÐ Ø ÑÑ ÑÝ ØØH 0 Ò Ú ÐÐ Ø λ ÓÒ ÑÑ ¹ ÙØÙÒÙØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò α βº Ý Ò Ø Ò ÙÒ ÑÙÙØÓ Ô Ø ÓÒ ÚÙÓÒÒ τ B τ0 = Γ(α+s τ )Γ(α+s n s τ )β α (β +n) α+sn Γ(α)Γ(α+s n )(β +τ) α+sτ (β +n τ) α+sn sτ, τ = 1,...,n 1. ½

Ì ÙÐÙ Ó ½ ¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ý ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¼ ¾ ½ 2logB τ0,α = β = 1 º ¹¼º ¼º º º ½ ¾ ½ ½ 2logB τ0,α = β = 0.01 ¹½º ¹ º ¹ º ¹½º¼ º¼ º ¾¼ ¾ ½ 2logB τ0,α = β = 0.0001 ¹½¼ ¹½ ¹½ ¹½¼ ¹ º½ ¼º ½½ ¾ ¼ ¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ý ½ ½½ ½¼ ½ ½ ½ 2logB τ0,α = β = 1 ¾ ¼ ½ ½½ ¹¾º ¹ º ¼ 2logB τ0,α = β = 0.01 ¼ ½ ½º ½º¾ ¼ 2logB τ0,α = β = 0.0001 ½ ¾ º ¹ º½ ¹ º ¼ Ì ÙÐÙ Ó Ø Ò Ò 2logB τ0 ÙÒ τ = 1,...,19 ÝØ ØÒ Ö Ð ÔÖ Ó¹ Ö ÙÑ º Ú Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ Ò ÝÚ ÓÒ Ö ØØ Ò Ú Ú ÐÐ ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÑÙÙØÓ ÚÙÓ ÓÒ ÚÐ ÐÐ ½ ¹½ º ½º Ý Ð Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò ÌÙÐ Ú Ò Ú ÒÒÓÒ Z ÖÚÓÒ ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ÙÒ Ô Ö Ñ Ø¹ Ö Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø Ó º Ø ÙÑ Z ÐÐ Ò ØÓÐÐ Y ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f(y,z) = f(z y, θ)f(y θ)π(θ)dθ, ÙÒ Y ÓÒ ÒÙØ ÖÚÓÒ y Z Ò Ó ØÙÚ ÔØØ ÐÝ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ÔÓ Ø ¹ Ö ÓÖ ÒÒÙ Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÓÒ f(z y) = f(z y, θ)π(θ y)dθ = f(z y,θ)f(y θ)π(θ)dθ f(y θ)π(θ)dθ, Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ Ô ÒÓØ ØØÙ ÒÒÙ Ø ÙÑ Ò f(z y,θ) Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÈÓ Ø Ö ÓÖ ÒÒÙ Ø ÙÑ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ò ÖÓ Ñ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Øθ l, l = 1,...,L ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ø π(θ y) Ò ÖÓ Ñ ÐÐ Ò Ø Ú Ø Ú Ø Ú Ò¹ ÒÓØ Z l, l = 1,...,L ÒÒÙ Ø ÙÑ Ø f(z y,θ l )º ½

Ѻ ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ó Ø À Ø ØØ ÓÐ Ó n Ò ÑÑ Ò ØÓÒ ÓÙ Ó ÓÒ r ÖÙÙÒ º Å ÓÒ ÖÙÙÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÖ Ú ÐÐ ØÓÐÐ ÇÐ ÓÓÒ θ ÖÙÙÒ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ö Ø Ò Z = 1 Ø ¹ Ô ØÙÑ ØØ ÙÖ Ú ØØÓ ÒØ ÖÙÙÒ Òº ÃÙÒ ÓÐÐ Ø Ø Ò θ Ò Ù ¹ Ø Ò Z ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐ Ø ØÓ Ø Pr(Z = 1 y,θ) = θº ÂÓ θ Ò ÔÖ ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ø α,βµ Ò Ò Pr(Z = 1 y) = = = 1 0 1 0 Pr(Z = 1 θ, y)π(θ y)dθ θ θα+r 1 (1 θ) β+n r 1 B(α+r,β +n r) dθ α+r α+β +n. ÃÙÒ n,r ØÑ Ð ØÝÝ ÖÙÙÒ Ò Ó ÙÙØØ ÓØÓ r/n ÓÐÐÓ Ò ÔÖ ÓÖ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÙØÙ Ú º ¾ ÂÓ ØÙ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ¾º½ ÂÓ ÒØÓ Ì Ò Ñ ÒÒ Ø ØÝ ÔØØ ÐÝ Ö Ú ÒØ Ø ØØ Ý Ð ¹ ÓÐ ÑÑ ÓÐ ØØ Ò Ø Ú ÒØÓ Ò ÙÑ Ò f(y;θ) ØÙÒÒ ØÙ Ô Ö Ñ Ø¹ Ö θ ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ º ÃÝØÒÒ ØÐÐ Ò Ò ÓÐ ØÙ ÓÒ Ù Ò ÔÖ Ð Ø Ò Òº Í Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ú ÖÑ ØÙ ÙÑ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñº Ú ÒØÓ Ò Ú Ò ÑÖÒ ÚÙÓ º ÌÑÒ ÚÙÓ ÓÒ ÝÚ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓØ ÚØ Ö ÔÙ ÙÑ Ó¹ Ð ØÙ Ø Ø ÚØ ÓÐ Ö Ò ÐÐ ÓÐ ØÙ ÐÐ º ÆÑ Ú Ø ÑÙ Ø Ó Ø ¹ Ú Ø ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÐÝ ÝØ Ø Ù Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Òº ¾º¾ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ÇÐ Ø ÑÑ Ò Ò Ù Ò ÑÑ Ò Ò ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ØÙÒÒ ÓØÓ (y 1,...,y n ) ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(y;θ) ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÐ Ø ¹ ½

Ó ÙÑ Ô Ö {f(y;θ) θ Θ} ÓÐ ÐÚ Ñ Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ô Ö ¹ Ñ ØÖ θ Ó Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐк ÃÙ Ø Ò Ò Ø ØÝØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙØ Ò Ñ Ò ÑÙÙØ Ú ÒØ Ð Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÙÑ Ò ÑÙÓØÓ ÓÐ ¹ ÓÐ Ø ØØÙ Òº à ØØ Ð ÑÑ ÙÖ Ú ØÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ð ØØÝÚ ÔØØ Ðݺ ÃÙÒ f(y;θ) ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ý Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓØ ÚØ Ö ÔÙ ÙÑ Ò ÑÙÓ Ó Ø º Æ Ø ÙØ ÙØ Ò Ù¹ Ñ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö µ Ñ Ò Ø ÐÑ º Ð Ò ÓÒ Ñ ¹ ÓØÓÒØ Ô Ø ØÝ Ò ÖÓÓÒ ÙÑ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÐ ØÙ Ø ÑÙØØ ÓÐ ¹ ØÙ Ø ÔÝÖ ØÒ Ô ØÑÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Òº Ñ Ö ÓÐ Ø Ø Ò ÙÑ Ò ÓÐ Ú Ò Ø ÙÚ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ÒÓÒ¹ Ô Ö Ñ ØÖ µ Ú ØØ Ø Ö Ø ÓØØ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ó Ð Ò Ò ÒÒÝ Ô Ö Ñ ØÖ ÙØ Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø Òº ÃÙ Ø Ò Ò ÝÐ Ø ÓÑ ÙØÙÒ Ð Ò ÝØ Ò ÑÙ Ø ³ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò³ Ø ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ¹ ØÓÒµ Ø Ö Ó ØØ Ñ Ù Ò ³ ÙÑ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ³º ¾º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Y 1,...,Y n ÓÒ ØÙÒÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(y;θ) θ ÓÒ ÙÑ Ò ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ º ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÔÔ Ö Ñ ØÖ ¹ ÔØØ ÐÝ ÓÒ Ñ Ò ÑÙØØ Ò ÚÐØØÑØØ Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ º Ì Ö Ó ¹ ØÙ Ò ÓÒ Ø Ø Ø ÝÔÓØ H 0 : θ = θ 0 ÓØ Ò Ú ØÓ ØÓ Ø ÝÔÓØ Ú Ø Òº ÂÓ ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò ÓÐÐÓ Òθ ÓÒ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ø Ø ÙÙÖ ÓРع Ø Ø ÙÙÖ T = ( X θ 0 )/(S/ n). ̹ Ñ Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ ÑÓÒ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÙÒ ÓÐ ØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙÙ Ø Ô Ø Ô Ò º ÅÙÙ Ø Ô Ù ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÚÓ ÓÐÐ ÓÔ Ú º È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø Ø È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø ÓÒ ØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ Ð ¹ Ø ÑÐÐ Ð ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò ÓØÓ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø º Ì Ý Ø Ý Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ ÑÔ Ñ Ö ØÝ Ù Ò ÓÑ Ò ØÓÖ º Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò Ú ÓÒ Ð ÝØ Ø Ø ÙÙÖ Ó ÓÚ ÐØÙÙ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ¹ ÐÐ Ú ØÓ ØÓ ÐÐ ÝÔÓØ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓØÓ Ò Ô Ö¹ ÑÙØ Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ò Ò ØØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØÙÒÒ Ø Ò ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø º Ð Ò ØÑ ÓÙ Ó Ú Ð Ø Ò Ò Ò Ø¹ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø º Ë ØØ Ò Ø Ø ¹ ¾¼

ÙÙÖ Ò ÖÚÓ Ð Ø Ò ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ò Ø Ø ÙÙÖ ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ ÝÐ Ð ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò º Ô ÖÑÙØ ¹ Ø Ó ÙÑ º ÄÓÔÙ ÑÖ Ø ØÒ p¹ ÖÚÓ Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ø Ø ÙÙÖ Ò Ú ØØÙ ÖÚÓ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Òº ÃÝØÒÒ Ù Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ø Ú Ø Ø Ø ÙÙÖ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Ò ÒØ º Ñ Ö Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÔÓØ Ô Ö H 0 : θ = 0 Ú º H 1 : θ 0 Ñ θ ÓÒ ÙÑ Ò ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ º Ò ÑÑ Ò Ò Ð ÓÒ Ð ÝØ Ø Ø ÙÙÖ Ø¹ Ø Ø ÙÙÖ T = X/(S/ n) Ú ÙØØ Ö ÚÐØ Ú ØÓ ÓÐØ º ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ÓÐ ÑÑ Ò Ø Ú ÒÒÓØ y 1,...,y n ØØ ÙÑ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò θ Ò Ù Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø ¹ Ú Ø y i Ù Ò y i i = 1,2,...,nº Ë ÑÑ 2 n Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø ³Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓØ ³ ÒØ Ñ ÐÐ Ó Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ñ Ö Ò Ó ÐÐ Ú Ò¹ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò Ð T Ò Ò Ò T Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÙÑ º À Ú ØÙÒ T Ò ÖÚÓÒ ÒØ Ø ÙÑ ÑÖ Ø Ø Ò p¹ ÖÚÓÒº Ñ Ö Ó n = 10 Ú ØØÙ T ÓÒ ÝÑÑ Ò ÒÒ ÙÙÖ Ò 2 10 Ð ØÙÒ ÖÚÓÒ ÓÙ Ó Ò Ò p¹ ÖÚÓ ÓÒ 2 10/2 10 = 0.0195 ÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ø ÐÐ º È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø Ò p¹ ÖÚÓ ÚÓ Ò ÝÐ Ò ÑÖ ØØ ÓÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø Ø ÚÓ Ø ½º ÔÔÖÓ ÑÓ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ ÓÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ù¹ Ñ ÐÐ ÝÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÐÐ º ¾º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ º ÈÓ Ñ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ØÙÒÒ ÓØÓ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Ø ØÙÒ¹ Ò Ø Ñ Ø Ø µ º ÂÓ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ Ó ØØÙÙ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Ò ÒÒ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÑ Ò Ø ØÓ ÓÒ ØØ Ò Ý ÐÔ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓØ Ó Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÙÙÖ Ò Ö ÑÑ Ò ÖÚÓ Òº Å Ò Ø ÐÑØ ¾ ÓÚ Ø Ð ÒØ ÒØ Ò Ú Ó Ò ÝØØÚØ ÝÚ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØ Ô Ø ØØ º ¾½

ÂÖ ØÝ ÐÙ ÙØ Ø Ø ÅÓÒ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ñ Ò Ø ÐÑ Ú ÒÒÓØ Ö Ø ØÒ ÓÐÐ Ò ÓÔ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú ÒÒÓØ ÓÖÚ Ø Ò Ö ØÝ ÐÙÚÙ ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ù¹ Ö Ú ÝÔÓØ Ò H 0 : θ = θ 0 Ú º H 1 : θ θ 0 Ø Ø Ñ Ø Ñ Ö ÐÐ Ö ØÝ Ø Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ø Ø Ï ÐÓÜÓÒ Ø Øµº  ÙÑ ÓÐ Ø Ø Ò Ýѹ Ñ ØÖ θ Ò Ù Ø Òº Ì Ø ÖÚÓØ Y i θ 0,i = 1,2,...,n ÓÖÚ Ø Ò Ö ¹ ØÝ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ø Ø ÙÙÖ Ò ÓÒ Ò Ò Ö ØÝ ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ó ÐÐ Y i θ 0 ÓÒ Ò Ø Ú Ò Òº È ÖÑÙØ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ù Ò Ö ØÝ ÐÙ Ù 1,2,...,n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ò ÖÚÓÒ Ø Ø ÙÙÖ Ð Ø Ò ÙÐÐ Ò Ò Ø 2 n Ú ØÓ Ó Ø º ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ¹ ÒÒ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø ØØ ÖÓØÙ Y i θ 0 ÔÓ Ø ¹ Ú Ò Ù Ò Ò Ø Ú Ò Ñ Ö Òº È Ö ÒØ Ø ÓÒ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÝØ Ø¹ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ¹ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØ ÑÙØØ Ø ØÓ Ó¹ Ò Ò Ð ÒØ Ô Ø Ø Ò ÚÙ Ñ ÓÐÐ Ø ³Ø Ö Ó Ò³ ÙÑ Ò Ý¹ Ø Òº È ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ò Ò ØØ ÔÓ ¹ Ñ Ø Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ó ÓÙ ÓØ ÐÙ Ù Ò ½ ¾ ººº Ò ÓÙ Ó Ø Ð Ø Ò Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙÚÙØ Ý Ø Òº Ñ Ö º Ê Ø Ò Ñ ØØ Ù Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ò Ö Ø ½¼¼ Ω Ú ØÙ ½¼ Ú ØÙ Ò ÓØÓ Ñ ¹ Ø Ø Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ø 99.7 99.9 100.4 100.6 100.7 101.1 101.3 101.6 102.1 102.3 ÃÙÒ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÒ H 0 : θ = 100 ÖÓØÙ Ø Y i θ 0 (= Y i 100) ÓÚ Ø 0.3 0.1 0.4 0.6 0.7 1.1 1.3 1.6 2.1 2.3 Ø ÖÚÓ Ò Y i 100 Ö ØÝ ÐÙÚÙØ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10. Ì Ø ÙÙÖ W ÓÒ Ò Ò Ö ØÝ ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ó ÐÐ Y i 100 ÓÒ Ò Ø Ú ¹ Ò Ò Ð ¾ ½ º ÂÓØØ Ø Ò ÐÚ ÐÐ Ø Ø ÙÙÖ Ò Ñ Ö ØØÚÝÝ ÓÒ Ð ØØ Ú ÐÐ Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó ÐÐ W 3º Æ Ø ÓÒ ÐÐ W ÚÓ ÖÚÓØ ¼ ½ ¾ Ý ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÖÚÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ó Ò Ò ØØ Ú Ð Ø Ò Ø Ú Ð Ø Ò ½ ¾µº Ë Ý ÙÙÒØ Ò Ø Ø Ò p¹ ÖÚÓ ÓÒ 5/2 10 = 0.0049 Ý ÝØÝÒ ¾¹ ÙÙÒØ Ò 2 0.0049 = 0.0098º ¾¾

Å Ö Ø Ø Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ ØØ ØÙÒÒ ÓØÓ Y 1,...,Y n ÓÒ ÙÑ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ θ 0 º Ä Ø Ò Ò Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò Ñ¹ Ô Ù Ò θ 0 º ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ú ÒØÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò θ 0 Ù Ò ØØ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ º ÒÒ Ø Ò ¹ ¹Ñ Ö Ò ÐÐ ¹ Ú ÒÒÓ ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø < θ 0 º ÆÝØ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ØÑ ¹ ¹Ñ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ S ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ S Ò( 1,n) ÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ¹ 2 Ú ÒØÓ ÓÐ Ø Òθ 0 º ÆÝØ Ø Ø Òp¹ ÖÚÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØS Ú ÒØÒ Ý Ø Ö ÑÑ Ò ÖÚÓÒ Ù Ò ÓØÓ Ø Ð ØØÙ ÖÚÓº Ê Ø Ò Ñ ØØ Ù Ø Ø Ó µ Ä Ø Ò Ñ Ö Ø Ø Ú Ø Ú p¹ ÖÚÓ Ö Ø Ò Ñ ØØ Ù Ò ØÓÐÐ º Ì ¹ Ø ÙÙÖ ÖÚÓÒ S = 2 Ò Ø Ú Ø Ò Ñ Ö Ò Ð Ñµº H 0 Ò Ú ÐÐ Ø S Ò(10, 1 2 ) Pr(S 2) = ( ) (1 ( ) 10 1 10 ( ) (1 ) 10 1 9 + + 0 2)0 2 1 2)1( 2 ( 1+10+ 10 9 ) = 56 = 0.0547, 2 210 = 1 2 10 Ó Ø Ò ¾¹ÔÙÓÐ Ò Ø Ø Ò p¹ ÖÚÓ ¼º½¼ º Ì Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ó ÙÙ ( ) (1 ) 10 1 8 2 2)2( 2 ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ Ø ÔÓ Ñ ÒÐ Ò ÝÔÓØ Ò Ø Ø Ñ Òº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ý ÝÑÝ ÓÒ Ñ Ø Ò Ú ÖÖ Ø Ö Ð Ø Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ º Ì Ú Ð¹ Ð Ò Ø Ô ÓÒ Ý ÝÒØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ù Ø ÐÐ Ø Ø Ó ÙÙØØ Ê µº ÂÓ n 1 n 2 ÓÚ Ø Ô Ò ÑÑØ Ñ ÓÐÐ Ø ÓØÓ ÓÓØ Ø Ø ÐÐ ½ ¾ Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÚÙØØ Ó Ó Þ µ α ÚÓ Ñ ÙÙ η Ò Ò Ø Ø Ò ½ Ê Ú ÖÖ ØØÙÒ Ø ¹ Ø Ò ¾ ÓÒ Ó ÑÖÒ n 2 /n 1 Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ α ÔÝ ÝÝ ÒØ Ò η 1 Óй ÐÓ Ò n 1,n 2 µº ÂÓ T 1 ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ø¹Ø Ø ÙÙÖ T 2 Ñ Ö Ø Ø ÙÙÖ T 3 Ï ÐÓÜÓÒ Ò Ø Ø ÙÙÖ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ ÐÐ ¹ Ú ÒÒÓ ÐÐ Ê [T 2,T 1 ] = 2/π Ê [T 3,T 1 ] = 3/πº ÅÓÐ ÑÑ Ø ÔÔ Ö Ñ Ø¹ Ö Ø Ø Ø Ø ÚÓ Ú Ø ÝÐ ØØ Ø¹Ø Ø Ò Ø Ó ÙÙ Ô Ø ÒØ Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ô Ù º à º Ò ÑÑÒ Ý ØÝ Ó Ø Ê Ò Ð Ñ Ø ÖØ Û Ø ¹ Ø ºµ ¾

¾º È Ø ¹ ÚÐ Ø ÑÓ ÒØ ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÚÓ Ò Ð ÝØ ÒØÑÐÐ ÝÔÓØ Ø Ø Øº È Ø ¹ Ø Ñ ØØ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÔÙÓÐ Ø Ò ÚÓ Ò Ù Ò ÝØØ ÝÚ Ø Ø Ô ÓÐÐ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙº Å Ö Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ø Ø ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÐÐ H 0 : θ = θ 0 º Ì Ø ÙÙÖ S ÓÒ Ò Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ص ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò θ 0 º ÆÓÐÐ ¹ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø S Ò(n, 1 ) ÓÐ ØÙ ÐÐ ØØ Ý Ò Ú ÒØÓ ÓÐ 2 Ø Ò θ 0 µº Ì Ø ØØ ÔÙÓÐ Ø ÝÔÓØ Ú Ø Ò Ó Ó α ÓÐ Ú Ö ØØ Ò Ò ÐÙ ÓÒ ÑÙÓØÓ {S s 1 Ø S n s+1} ÓØ Ú Ø ÝÚ ÝÑ ÐÙ {s S n s}º ÎÓ ÑÑ ÒØ ØÑÒ ÝÚ ÝÑ ÐÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÒ 1 α ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ ÓÙ Ó {s S n s} ÓÒ Ñ Ù Ò {Y (s) < θ 0 < Y (n s+1) }º ÆÝØ 1 α = Pr[s S n s θ = θ 0 ] = Pr[Y (s) < θ 0 < Y (n s+1 θ = θ 0 ] = Pr[Y (s) < θ < Y (n s+1) ]. Ë (Y (s),y (n s+1) ) ÓÒ Ø ÓÒ (1 α) ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ θ ÐÐ º ÃÓ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØ Ò ÝØÑÐÐ ÓØÓ Ò Ú ÒØ Ð ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ø Ú Ø Ú Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ñ Ò º Å Ö Ò Ö ØÝ Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Å Ö Ò Ö ØÝ Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÒÐ ÐÐ Ú Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÑÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Å Ö Ò Ö ØÝ ¹ Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙÖ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ÑÙÓ Ó n n n n W = φ(d i )r( D i ) = φ(d i )+ φ(d i )φ( D j D i ), i=1 i=1 i=1 j=1( i) µ Ñ D i = Y i θ 0 r( D i ) ÓÒ Ø ÝÝ Ò Y i θ 0 Ö ØÝ ÐÙ Ù φ(x) = { 1, x < 0 0, ÑÙÙØ Òº ¾

Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú 1 2 n(n+1) Ô Ö ØØ Ø ÖÚÓ (Y i+y j )/2 Ñ ¹ i jº Æ Ø ÖÚÓ ÙØ ÙØ Ò Ï Ð Ò ÖÚÓ º Ç Ó Ø ÑÑ Ù¹ Ö Ú ØØ W ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ò Ò Ï Ð Ò ÖÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò θ 0 º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö Y i,y j, i j ÓÐ Ø Ø Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ Ú ÒÒÓØ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ò Ò ØØ Y i Y j º ÃÙÒ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ ÔÐÐ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÖ Ú Ø Ñ Óй Ð ÙÙ Ø (1) i = j, Y i < θ 0 (2) Y i < Y j < θ 0 (3) Y i < θ 0 < Y j, D i > D j (4) i = j, Y i > θ 0 (5) θ 0 < Y i < Y j (6) Y i < θ 0 < Y j, D i < D j ÃÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ô Ù (Y i + Y j )/2 < θ 0 Ú ÒØÓÔ Ö Ð Ý ØÐ Ò µ Ó ÔÙÓÐØ ½ Ðк Î Ø Ú Ø (Y i +Y j )/2 > θ 0 Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÐÐ µ¹ µ Ñ Ò Ò Ø Ð Ý ØÐ Ò µ Ó ÔÙÓÐØ º Ë W ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ò Ò Ï Ð Ò ÖÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò θ 0 º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ C α Ú Ð ØØÙ Ò Ò ØØ Pr[C α W 1 2 n(n+1) C α θ = θ 0 ] = 1 α. µ ÌÐÐ Ò Pr[W (Cα) < θ 0 < W ( 1 2 n(n+1) Cα+1) θ = θ 0] = 1 α, µ Ñ W (k) ÓÒk ÒÒ Ô Ò Ò Ï Ð Ò ÖÚÓº Ë ÚÐ (W (Cα),W ( 1 2 n(n+1) Cα+1)) ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÒ 1 α ÚÐ θ ÐÐ º Ì Ø Ú Ø Ú Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò º ÀÓ ¹Ä Ñ Ò ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ï Ð Ò ÖÚÓ Ò Ñ Ò º Ѻ Ê Ø Ò Ñ ØØ Ù Ø Ø Ó Ê Ø Ò Ñ ØØ Ù Ñ Ö ØÓ ØØ Ò ØØ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÓÐÐ ØÓ Pr[W 3] = 0.0049º ËÝÑÑ ØÖ Ý Ø Pr[W 52] = 0.0049 ÓØ Ò Pr[4 W 51] = 0.9902 Ó Ø Ò ÑÙÙÒÒ ØØÙ º¼¾ ± ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ θ ÐÐ (W (4),W (52) ) = (100.05,101.95)º ¾

ÅÙÓ Ó Ø ØØ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ñ Ö Ø Ø Ò ÚÙÐÐ Ú Ð ÒÒ ÒÚ Ö Ú Ð Ø¹ Ø Ú Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÓÒ Ú ÑÑÒº ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò (Y (2),Y (9) ) = (99.9,102.1) ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ Pr[2 S 8] = 0.979 ÚÐ Ò (Y (3),Y (8) ) = (100.4,101.6) Ø Ó ÓÒ ¼º ½º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ö Ò Ö ØÝ Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÒÓ Ò Ø ÓÒ ¼º ÚÐ ÓÒ ÐÝ Ý ÑÔ Ù Ò Ú Ø Ú Ñ Ö Ø Ø Ò ÚÐ º ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ñ Ö Ò Ò Ö ØÝ Ø Ø ÝØØ ÝÚ Ò ÑÑÒ ÓØÓ Ò ÒØ Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ¾º Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø Ø ÐÐ ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ø ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ú ÙÑ Ò ÑÙÓØÓ ÒÒ Ø ØØݺ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ò Ò Ø Ó Ó ÙÑ Ó Ú ÔØ ÐÑ º Ã Ò Ò Ð ¹Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø È Ö Ø Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø ÓÒχ 2 ¹Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø º Ò¹ ÖØ ÑÑ Ø Ô Ù ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÒÒÓØ Y 1,...,Y n ÓÚ Ø ØÙÒ¹ Ò ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(y)º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ø ¹ Ø ÝÔÓØ H 0 : F(y) = F 0 (y) ÐÐ yº Ì Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y Ú Ø ÐÙÚÐ Ø Ò k ÐÙÓ Ò Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ C = k i=1 (O i E i ) 2 E i, Ñ O i ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ E i Ú ÒØÓ Ò Ó ÓØ ØØÙ ÐÙ ÙÑÖ ÐÙÓ i ÝÔÓØ Ò H 0 Ú ÐÐ Ø º ÀÝÔÓØ ÒH 0 Ú ÐÐ Ø Ø Ø ÙÙÖ ÒC ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÙÑ ÓÒχ 2 (k 1) º Ì Ø ÙÙÖ ÓÒ ÙÙÖ ÐÐ ÓØÓ ÓÓÐÐ Ð Ñ Ò 2lnλ = 2 k i=1 O i ln(o i /E i ) Ñ ¹ λ ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙÖ Ö Ó ØÙ Ø ØÚصº ÌÓ ÐØ C ÚÓ Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò Ô Ø ÑÖØ Ø Øº Ï Ð Ò Ø Ø Ó Ø Ñ Ò ÐØ ¹ Ò Ø Ø ÙÙÖ Ò C = k i=1 (O i E i ) 2 /O i º Ì Ø ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø Ð ÒØ Ø Ð ÒØ Ò Ó ÙÑ F 0 (y) ÓÐ ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ò ÓÒ Ó Ø Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ º ÃÙÒ ÒÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ú Ô Ù Ø Ø Ú ÒÒ ØÒ Ø ÑÓ Ø Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖй к ¾

ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ¹Ø Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ¹Ø Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÝÔÓØ Ò H 0 : F(y) = F 0 (y) Ø Ø Ñ Ò ØØ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F(y) ÙÒ Ý ÓÒ Ø ÙÚ ÙÑ º ÇÐ ÓÓØ ÓØÓ Ò Ö ØÝ ÙÙÖ Ø Y (1) Y (2)... Y (n) º ÌÐÐ Ò ÑÔ Ö ¹ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓØÓ ÐÐ ÓÒ F n (y) = k/n ÙÒ X (k) y < X (k+1), k = 0,1,...,n, Ñ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Y (0) = Y (n+1) = º Ì Ø ÙÙÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ D n = sup F n (y) F 0 (y). y ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø Ø ÓÒ ÙÑ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº Ì Ø ÙÙÖ Ò Ù¹ Ñ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ð ÙÙÖ ÐÐ ÓØÓ ÓÓÐÐ nø Ø ÙÙ¹ Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ D n;α Ø Ø ÙÙÖ Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ Ö Ø ÓÐÐ αº Ë Pr(D n D n;α H 0 ) = α. Ì Ø ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø Ó Ø ØØ Ø ÓÒ 1 α ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÝ ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ F(y) ÓÒ (F n (y) D n;α, F n (y)+d n;α ). Ë ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(y) ÓÒ ØÐÐ ÚÐ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ y ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 αº ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ò Ø Ø Ò ØÙ Ú ÖÖ ØØÙÒ χ 2 ¹Ø Ø Ò ÓÒ ØØ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ú Ø ÐÙÚÐ Ò Ó ÐÙÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÝ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ¹ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ º Ì Ø ÚÓ Ò ÑÝ ÓÚ ØØ ÑÝ Ø Ð Ò¹ Ø Ò Ó ÓÒ Ý ÙÙÒØ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ H 1 : F(y) F 0 (y) ÐÐ yº Ä Ó Ø Ø ÙÙÖ Ò Ø ÙÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÖ ØØ Ø Ø ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÝ Ô Ò ÐÐ ÓØÓ ÓÓÐÐ º ÌÓ ÐØ χ 2 ¹Ø Ø Ò ØÙÒ ÓÒ ØØ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ Ö Ø ÐÐ ÙÑ ÐÐ Ø Ø Ò ÝÐ ØÑ Ò Ò Ø Ô Ù Ò Ó ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÙÑ ÓÐ ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÒ ÐÔÔÓ º ¾

¾º Ë Ñ ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ Ì ØÝ Ø Ð ØÓÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ Ó Ñ ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò ÑÙØØ Ó Ø ØÒ Ô Ö Ñ ØÖ ØØÓÑ º Æ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÙØ ÙØ Ò Ñ ¹Ô Ö Ñ ØÖ º ÌÙÒÒ ØØÙ Ñ Ö ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÓÜ Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðµº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ö ÙÒ Ø Ó Þ Ö ÙÒØ ÓÒµ h(y;θ) = f(y;θ)/(1 F(y;θ) Ñ f(y;θ) ÓÒ Ð Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó F(y;θ) ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø Óº ËÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ö ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓ¹ ØÓ h(y;θ) = exp(θ 1 z 1 +...+θ p z p )h 0 (y), Ñ z 1,...,z p ÓÚ Ø Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ h 0 (y) ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô ÖÙ Ú Ö ¹ ÙÒ Ø Óº Ð Ò ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ 1,...,θ p Ø º Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Ø Ú ØØ Ú Ø Ö Ò Ò Ò Ö Ò ÙÙÖÙÙ Ø Ø Òº Šй Ð Ò ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ó h 0 (y) ÓÒ Ñ ÐÐ Ò º ØØ ÙÒ Ø Ó ÒÙ Ò ÙÒ¹ Ø ÓÒµ Ó Ð Ñ ÒÓ Òº ¾º ÊÓ Ù Ø ÔØØ ÐÝ Ì Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÓØ Ò ÖÓ Ù Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ø ØÚØ ÔØ Ð¹ ÑØ ÚØ ÓÐ Ö ÔÓ Ñ ÐÐ ÝØ ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ø º ÐÐ ¹ Ø ÐÐÝØ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÙÑ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ù Ò ÐÙÓÒØ ÐØ Ò ÖÓ Ù Ø ÑÙØØ ÖÓ Ù Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ù¹ Ñ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÊÓ Ù Ø ÔØØ ÐÝ Ð Ø Ó Ø Ò ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ ÐÐ f(y;θ) ÑÙØØ Ò ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓ Ñ Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø º Í ÑÑ Ø Ò ÔÓ Ñ ÐÐ ÓÐ ØÙ Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø ØØ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÙÑ f(y;θ) ÔÓ ÓÐ Ø ØÙ Ø ÙÑ Ø f 0 (y;θ) Ø Ø ØØ Ò ØÓ ÓÒ ÔÓ Ú Ú ÒØÓ º ÈÓ Ú Ò Ú ÒØÓ Ò Ø Ô Ù ¹ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ ØÓ ÐÐ Ò Ò ÙÑ f(y;θ) ÓÒ Ó ØÙ Ñ ÜØÙ¹ Ö µ ÙÑ Ø f 0 (y;θ) ÔÓ Ú Ú ÒØÓ Ò ÖÓ Ú Ø ÙÑ Ø º  ÙÑ ÓÐ ØÙ Ò Ð ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ù Ø ÙÙØØ Ñº Ú ÒØÓ¹ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐ ØÙ Ò Ù Ø Ò Ø ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ù Ø Ò Ý Ð Ò ÐÝÝ º ÊÓ Ù Ø ÙÙØØ ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ö ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ù Ø Òº Ñ Ö ¹ ÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ò Ý Ø Ý ÖÓ Ù Ø ÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ò Ñ¹ Ñ Ò Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÔÝ ÝÝ Ù Ø ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙÑ ØØÓÑ Ò ØØ Ø Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ú Ø Ò ÙÒ Ú ÒØÓ Ò ÙÑ ÔÓ ÓÐ Ø ØÙ Ø º ¾

È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ÇÐ ÓÓÒ Y 1,...,Y n ØÙÒÒ ÓØÓ ÙÑ Ø F(y;θ) ˆθ n (Y 1,...,Y n ) Ø ¹ Ñ ØØÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θº Ä ÙÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÖÓ Ù Ø ÙÙ ÐÐ ÓÒ ØØ Ô ¹ Ò Ø ÑÙÙØÓ Ø ÙÑ F(y;θ) ÙØØ Ú Ø ÒÓ Ø Ò Ô Ò Ò ÑÙÙØÓ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ ÙÑ Òº ÇÐ Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÙÑ F(y;θ) ÓÒ Ð Ò ÙÑ ÒF 0 (y;θ) ØÙØØ Ú Ò ÙÑ ÒF 1 (y;θ) ÙÑ F(y;θ) = (1 ǫ)f 0 (y;θ)+ǫf 1 (y;θ). ÄÙ ÙǫÚÓ Ò ÝÑÑÖØ ØÓ ÐÐ Ò ÙÑ ÒF(y;θ) Ð Ò ÙÑ Ò F 0 (y;θ) Ø ÝÝØ Òº Í Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙÐÐ ǫ Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ ǫ ÓÒ Ð ÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ ˆθ n Ó Ô ÖÙ ØÙÙ ÓØÓ Ò ÙÑ Ø F(y;θ) Ñ ÒÐ ÖÚÓ Ù Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ó Ô ÖÙ ØÙÙ ÓØÓ Ò ÙÑ Ø F 0 (y;θ)º ÃÙÒ ØÑ Ö ¹ ÝÐ ØØÝÝ Ø Ñ ØØÓÖ ÚÓ Ö Ø Ú Ø Ö Ð ÖÚÓ Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó ÓØÓ ÙÑ Ø F(y;θ) Ú ÙÑ Ø F 0 (y;θ)º ÌØ Ö ØØ Ø ÖÚÓ ǫ ÙØ ÙØ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÑÙÖØÙÑ Ô Ø Ö ÓÛÒ ÔÓ Òصº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ º Ú ØØ Ø ÖØ Û Ø Ò Ø Ðº Ö Ø µ ØØ ÙÒ ¹ ÙÑ F 0 (y;θ) ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò Ø ÑÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓØÓ ÖÚÓÒ ÑÙÖØÙÑ Ô Ø ÓÒ ǫ = 0 ÓØÓ Ñ Ò Ò ÑÙÖØÙÑ Ô Ø ǫ = 0.5 ØÝÔ Ø ØÝÒ ÖÚÓÒ ÑÙÖØÙÑ Ô Ø ǫ = α Ñ α ÓÒ ÖÚÓ Ø ÔÓ Ø ØØÚ Ò Ú ÒØÓ Ò Ó ÙÙ º ØØ Ò Ú ÒÒÓÒ Ú ÙØÙ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÚÓ Ò ØÙØ Ò º Ú ¹ ÙØÙ ÝÖÒ Ò Ù Ò ÙÖÚ µ Ø Ú ÙØÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ T(F) й Ð Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÐÐ F ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØØ T(F(y;θ)) = θº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØØÝ ÙÑ F Ó Ó ÙÙ ǫ, 0 < ǫ < 1, ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ñ Ø ÖÖ ØÒ Ô Ø Ò y Ø º F = (1 ǫ)f +ǫ y Ñ y ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ó ÖÚÓÒ y ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ½º Î ÙØÙ ÝÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ [ T(F ] ) T(F) IF(y;T,F) = lim. ǫ 0 ǫ ÇØÓ Ú Ø Ò Ú ÙØÙ ÝÖÐÐ ÓÒ Ò º Ö ÝÝ ÝÖ Ò Ø Ú ØÝ ÙÖÚ µ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ SC n 1 (y) = n [ˆθn (y 1,...,y n 1,y) ˆθ n 1 (y 1,...,y n 1 ) ]. ¾

À Ö ÝÝ ÝÖ Ó Ó ØØ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ñ ØØ ÑÙÙØØÙÙ ÙÒ ÓØÓ Ò Ð ¹ ØÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓ yº Ñ Ö º à ÖÚÓÒ Ñ Ò Ò Ö ÝÝ ÝÖغ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ø ÑÓ ÒØ º ÂÓ ˆθ n = ȳ n Ò Ò SC n 1 (y) = n = ( [( n 1 i=1 y i +y (n 1)y = y ȳ n 1, ) n 1 i=1 /n ( n 1 i=1 y i )/(n 1) y i )/(n 1) Ó Ø Ò Ò ØØ Ø Ñ ØØ ÚÓ ÑÙÙØØÙ Ö ØØ ÙÒ y Ú Ø Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÓØÓ Ñ Ò y (i) ÓÒ i ÒÒ Ö ØÝ ÙÙÖ ÓØÓ ÐÐ y 1,...y n 1 º ÂÓ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ n = 2k+1 Ò Ò ˆθ n 1 = 1 [y 2 (k) +y (k+1) ] y (k), ÙÒ y < y (k) ˆθ n = y, ÙÒ y (k) y y (k+1) y (k+1), ÙÒ y > y (k+1). ÌØ Ò SC n 1 (y) = n[y 2 (k+1) y (k) ], ÙÒ y < y (k) n [2y y 2 (k) y (k+1), ÙÒ y (k) y y (k+1) n [y 2 (k+1) y (k) ], ÙÒ y > y (k+1). Ë Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ Ø Ò ÙÙÖ Ø Ô Ò y ÓÒ Ñ Ò Ò ÑÙÙØÓ ÓÒ Ò Ö Ó Ò ± 1 2 [y (k+1) y (k) ] ÔÙÓÐ ÐÐ º Ź Ø Ñ Ø Ø ÐÐ Ú Ø ÑÑ ØØ ÓØÓ Ñ Ò ÓÒ ÝÚ Ò ÖÓ Ù Ø ÔÓ Ú ¹ Ú ÒØÓ Ú Ø Òº ÌÓ ÐØ ÓÐ Ð Ò Ý Ø Ø Ó Ù Ò ÓØÓ ¹ ÖÚÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù º Ð Ø ÓØØ Ò ÐÐ Ò Ò Ø Ñ ØØÓ¹ Ö ÓÐ ÝÚ Ó ÓÐ Ø Ó ÓÐÐ ÓÐ ÓÖ ÑÙÖØÙÑ Ô Ø º ÇÒ ¹ Ø ØØÝ Ö ¹Ð Ô Ö ØØ Ø Ø Ó Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ¹ Ñ º Ë ÙÖ Ú ØÙØÙ ØÙÑÑ Å¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓØ ÓÚ Ø ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ¹ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ØÝÝÔÔ Ö Ò Å ØÙÐ Ò Ñ ØÝ Ø ³Ñ Ü ¹ ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ØÝÔ ³µº ¼ ]

Ź Ø Ñ ØØ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÙÑÑ n i=1 ρ(y i ; ˆθ n ) Ñ ρ(y;θ) ÓÒ Ó Ò y Ò ÙÒ Ø Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÐÐ θº ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ Ú ÙÙ Ò ¹ Ø ÑÓ ÒÒ Ò Ø Ô Ù ρ(y;θ) = log(f(y;θ)) Ñ f(y;θ) ÓÒ Ý ØØ Ò Ú ÒÒÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÂÓ ρ(y;θ) ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ θ Ò Ù Ø Ò Ø Ñ ØØ Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ n i=1 ψ(y i ; ˆθ n ) = 0 Ñ ψ(y;θ) = θ ρ(y;θ). Î ÒØÙÒ Ò ÝØÒÒ Ò ÑÙ Ò Ð Ù ÓÒ ¹Ñ Ö Ú ÓÐ Ö Ø ÙÒ ÒÒ ÐØ ÚÐØØÑØ Òºµ Ë Ò Ö Ó Ø Ô Ù ØØ θ ÓÒ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ó ρ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó ρ(y θ) Ź Ø Ñ ØØ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø ψ(y i ˆθ n ) = 0. i=1 Ź Ø Ñ ØØ Ò Ú ÙØÙ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ý º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ º Ú Ø ÖØ Û Ø Ø Ðºµ ØØ Ú ÙØÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ó ÖÖÓ ÒØ ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ψº ÌØ Ò ψ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò Ò ØØ ÐÐ ÓÒ ØÓ ÚÓ¹ ØÙÒÐ Ò Ú ÙØÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ñ Ö Ø Ó µº ÂÓ ÐÙ ÑÑ Ø ÑÓ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ρ(y;θ) = (y θ) 2 ÑÑ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ö Ø ÙÒ ˆθ n = ȳº Î ÙØÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø Ø Ô Ù ψ(y;θ) = ρ(y;θ)/ θ = 2(y θ)º ÂÓ Ú Ð Ø ÑÑ ρ(y;θ) = y θ Ò Ò ˆθ n ÓÒ ÓØÓ Ñ Ò Ú ÙØÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ ψ(y;θ) = 1, y < θ 0, y = θ 1, y > θ. ÌÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ØÓ Ò Ù Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ Ú ÙØÙ ÙÒ Ø Óº ÇÒ ÓØ ØØÙ Ù Ø ÑÙ Ø Å¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓØ Ô Ö ÒØ Ú Ø ÓØÓ ¹ ÖÚÓÒ ÖÓ Ù Ø ÙÙØØ ÑÙØØ ÚØ Ñ Ò Ø Ô Ð ÓÒ Ø Ó ÙÙØØ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò ØÓÒ Ø Ô Ù º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ ÀÙ Ö Ò Å¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÐÐ { (y θ) ρ(y;θ) = 2 /2, y θ c c y θ c 2 /2, y θ > c, µ ½

Ñ c ÓÒ Ó Ò ÓÔ Ú Ø Ú Ð ØØÙ Ú Óº Ì Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒ Ø Ó c, y < θ c ψ(y;θ) = y θ, θ c y θ+c c, y > θ+c. Ð Ò Å¹ Ø Ñ Ø Ò Ð ÒØ ÓÙ ÙØ Ò Ø ÑÒ Ø Ö Ø Ú Ø º Ú ØÓ ØÓ ÓÒ Ð Ø Ð ÐÐ Ý ØÐ Ø Ñ n w i (y i ˆθ n ) = 0, i=1 w i = ψ(y i; ˆθ n ) y i ˆθ n. Ê Ø Ù ÓÒ Ú ÒØÓ Ò Ô ÒÓØ ØØÙ ÖÚÓ ˆθ n = ni=1 w i y i ni=1 w i. ½¼µ ½½µ ÅÙØØ Ó Ô ÒÓØw i Ö ÔÔÙÚ Ø Ø Ñ Ø Ø ˆθ n Ø Ø Ò Ø Ñ Ø ÐÐ ÐÙ Ð Ù ÖÚÓ ØÓ Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò ½¼µ ½½µ Ð ÒØ ÙÒÒ ÚÙØ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òº ÇÒ ÐÑ Ò ÐÐ Ø ØÝÐРŹ Ø Ñ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÐÐ ÓÒ ØØ ÓØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ó º ÌÑÒ ÓÖ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ ¹ Ò ÑÙÙØØ Ò Ò ØØ Ý ØÐ Ò µ Ø Ö Ø Ø Ò ( n yi ψ ˆθ ) n = 0, i=1 S n Ñ S n ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÖÓ Ù Ø Ø Ñ ØØ º ÅÙÙØ Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ĺ ʹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÇÒ ÓØ ØØÙ ÑÝ ÑÓÒ ÑÙ Ø Ø ÔÓ ÑÙÓ Ó Ø ÖÓ Ù Ø Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ Ø º Ĺ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ ÙÙÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ø º ¹ Ñ Ö ÓØÓ Ñ Ò ØÝÔ Ø ØØÝ ÖÚÓ ÙÙÐÙÚ Ø Ø Ò ÐÙÓ Òº ʹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓÒ Ó ØØÙ Ö ØÝ Ø Ø Ø Ñº ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ ÀÓ ¹ Ä Ñ Ò¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÙÙÐÙÙ Ø Ò ÐÙÓ Òº ÅÙ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø ¹ ¹ ȹ ˹ Ϲ Ø Ñ ØØÓÖ Øº ¾

ÅÙÙÒÒ ÐÐÙØ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ø Ì Ù Ì Ò Ð Ö Ò Ò ÊÓ Ù Ø Ò Ö Ò Å Ö Ð Ö Æ Û ÓÖ ½ µ ÓÚ Ø ÙÚ ÐÐ Ø ØÓ ÒÐ Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ø ÑÓ ÒØ Òº Á ¹ Ò ÓÒ ÔÓ Ø ÙÙÖ ÑÑ Ø Ô Ò ÑÑØ Ú ÒÒÓØ ÑÓ Ò Ù Ò ØÝÔ Ø ØÝ ÖÚÓ º ÃÙ Ø Ò Ò Ò Ò Ú ÒØÓ Ò ØØÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ò ÔÓ ÓÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ñ Ø º Ë Ò Ò Ò Ø Ú ÒØÓ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ò¹ ÙÖÓ ØÙ Ò º Å Ö ØÒ ÐÐ Ò Ö ØÝ ÙÙÖ Ø y (1),...,y (n) º ÂÓ Ò ÙÖÓ ÑÑ r 1 Ò ÑÑ Ø r 2 Ú Ñ Ø Ú ÒØÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó ( [ ]) r1 ( [ ]) r2 n! y(r1 +1) θ y(n r2 ) θ F 1 F r 1!r 2! σ σ σ (n r 1 r 2 ) n r 2 i=r 1 +1 ( ) y(i) θ f, σ Ñ f((y θ)/σ)/σ ÓÒ Ý ØØ Ò Ú ÒÒÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Óº Å ÑÓ Ñ ÐÐ ØÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÑÓ ØÙ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ø Ó¹ Ô Ö Ñ ØÖ σº ÃÙ Ø Ò Ò ÑÓÒ ÐÐ ÙÑ ÐÐ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ì Ù Ø Ðº ½ µ ÓÚ Ø ØØÒ Ø Ð ÑÖ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓØ ÒÓØ Ò ÑÙÙÒÒ ÐÐÙ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ÑÓ ÒÒ ÑÓ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ÅÅĵº ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ú ÓØÓ Ó Ó ÓÐ Ú Ò ½¼º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø Í ÑÑ Ø ÖÓ Ù Ø Ø Ø ÑÓ ÒÒ Ò Ø ÚÓ Ò ÖØ ÝÔÓØ Ò Ø Ø Ñ ¹ Òº Ñ Ö Ø Ø ØØ ÙÑ Ò ÒØ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ø¹Ø Ø ÙÙÖ T = X/(S/ n) ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ Ø Ø ÙÙÖ ˆµ/(ˆσ/ n) Ñ ˆµ ˆσ ÓÚ Ø ÅÅĹ Ø Ñ ØØÓÖ Øº Ì Ù Ø Ð ½ µ ÓÚ Ø Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó Ú ÒØÓ Ò ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò ØÑÒ ÑÙÙÒÒ ÐÐÙÒ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ ÒÓÐРݹ ÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø¹ ÙÑ n 2r Ú Ô Ù Ø ÐÐ Ñ r ÓÒ ÙÑÑ ÐØ Ò ÒÒÐØ Ò ÙÖÓ ØÙ Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº Î Ø Ú ¹ Ø Ø ÓÒ 1 α ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ö Ó ÚÓ Ò ØØ ˆµ±t (n 2r);α/2ˆσ/ nº

Ä ÒØ ÒØ Ò Ú Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º½ È ÖÑÙØ Ø Ó¹ ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ø Ø È ÖÑÙØ Ø Ó¹ ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ø ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ý ÝÒØÑÐÐ Ø ¹ ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØ Ô Ø ØØ º È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ð ÙÔ Ö Ø ÓØÓ Ø Ò Ò ØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ö Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø º Ð Ò Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ì Ø ÙÙÖ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ ÒÓÐÐ ÝÔÓ¹ Ø Ò Ú ÐÐ Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ø Ø ÙÙÖ Ù Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø º ÂÓ ¹ Ù Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò Ò ÙÙÖ ØØ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ¹ ØÓ ÓÒ ÐÐ Ý ÐÔ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò Ø ØÙÒ¹ Ò Ø Ñ Ø Ø ÔÓ Ñ Ñ ÐÐ ØÙÒÒ ÓØÓ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ø Ð Ø Ø ÙÙÖ ÒÓ Ø Ò ØÑÒ ÓØÓ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÐÐ º Ì ÖÑ ÐÐ ³ ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ø ³ Ú Ø Ø Ò ØÓ Ò Ò ÑÝ Ó Ø ÐÑ Ò ¹ ØÙÒÒ Ø Ñ Òº ÌÐÐ Ò Ö ØØ ÐÝØ ÖÚÓØ Ò ØÙÒÒ Ø Ó Ý ÐÐ º Ì Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØ Ú Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ú Ø Ú Ø Ò Ø ØÙÐÓ ÓØ ÓÐ Ú Ø ÚÓ Ò Ø ÝÒØÝ Ó Ø ÐÑ ØÙÒÒ Ø ØØ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÓÐÐ ØÓ¹ º Ѻ ¾¹ ÙÙÒØ Ò Ò Ú Ö Ò Ò ÐÝÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò ØÓÖ Ò Ó ØØ Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐÑ ÐÐ Ø Ó º Å ÓÐÐ ØÓÖ Ò Ø Ó Ò Ý Ø ÐÑ ÓÒ ØÐÐ Ò ½¾ ÒÑ ÓÒ ØØÙ ØÙÒÒ Ø ¾ Ó Ý ÐÐ Ò Ò ØØ ÙÐÐ Ò Ý Ø ÐÑÐÐ ÓÒ Ý º À Ú ÒÒÓØ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ø ÙÐÙ Ó º Ì ÙÐÙ Ó Ò ØÓ ¾ ØÓÖ Ò Ó Ø B 1 B 2 B 3 B 4 Ø Ò A 1 5 8 11 9 5 0 12 16 A 2 0 4 5 10 0 6 16 15 A 3 0 8 12 8 5 10 22 26 ½ Ø Ò ¾ ¾ ½¼ ¾½ ÇÐ ØØ ÑÑ ØØ ÐÙ ÑÑ Ø Ø Ø ÝÔÓØ ØØ ØÓÖ ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ú Ø ÑÙÙØØÙ Òº ÌÐÐ Ò Ó Ý Ò Ô ÖÑÙØÓ ÒØ Ú ÙØ Ò Ò Ú Ø Ò Ó Ú Ò ØÓÖ Ò Ø Ó ÔÝ ÝÝ Ô ÖÑÙØÓ ÒÒ Ñ Ò

ÙÐÐ Ò Ó Ý ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÐ Ó Ý Ò Ô ÖÑÙØÓ ÒØ ÓØ ÓÐ Ú Ø ÚÓ Ò Ø ØÓØ ÙØÙ Ó Ø ÐÑ ÓØ ÚØ ÑÙÙØ ØÓÖ Ò Ø Ó º Ë Ò ÙÙ Ý ÓØ Ú Ø ØØ ÐÝÒ B 1 Ô ÖÑÙØÓ Ò ÒÒ ÑÓ Ò Ò ÙÙ ÓØ Ú Ø ØØ ÐÝÒ B 2 ¹ ÒÒ Ò º Ë ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ø ÓÐÐ B 1 Ó ÙÐÐ Ò Ò Ø ÓÐÐ ØÙÐ ¾ Ý ¹ ÓÒ» ¾ ¾ ¾ µ ¼º ÌØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ó Ò Ø Ó ÑÙÙØÙ ÓÒ Ø Ò 90 4 = 6561 10 4 Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓØØ Ò ÒÒ ØØ Ý ÐÔ º Ë Ò Ò Ø ÑÑ ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ø Ò Ó ÔÓ Ñ ÑÑ ØÙÒ¹ Ò Ø ¼¼¼ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ º Ì ÖÚ Ø ÑÑ Ø Ø ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ Ö ØÓÖ Ò Ø Ó Ò ÑÙÙØÓ ÐÐ º ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ñ Ö Ø Ú ÒÓÑ Ø ¾¹ ÙÙÒØ Ò Ú Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ¹ Ø Ø ÙÙÖ ØØ ÓØ ÝØ ØÒ Ö Ú ØÓÖ Ò ÓÑ Ú ÙØÙ Ò Ø Ø Ñ Ò F = MS A /MS E Ñ MS A = SS A /(I 1) MS E = SS E /[(IJ(K 1)] I ÓÒ Ö Ú Ò J Ö Ò K ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ N = IJKº Æ Ð ÙÑÑ Ø ÚÓ Ò Ð ÚÓ ÐÐ SS A = i SS B = j SS AB = i SS E = i yi../(jk) y 2.../N, 2 y.j./(ik) y 2.../N, 2 yij./k 2 y.../n 2 SS A SS B j yijk 2 yij./k, 2 j k i j Ñ Ô Ø Ø Ð Ò Ø Ö Ó ØØ Ú Ø ÙÑÑ Ù Ø Ý Ò Ò Ò ÝÐ º Ò ØÓ Ø ÚÓ ÑÑ Ð ØØ MS A = { 1 8 (662 +56 2 +91 2 ) 1 24 2132 }/2 = 40.63 MS E = {5 2 +8 2 +0 2 +...+26 2 (13 2 +4 2 +...+48 2 )/2}/12 = 10.54, ÓØ Ò ¼º»½¼º º º ÂÓ Ö Ú ØÓÖ ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ú ÙØÙ Ø Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙØÙÒ Ø Ø Ø ÙÙÖ ÒÓÙ ØØ ÙÑ F F(I 1,IJ(K 1)º ÌØ Ú Ø Ú p¹ ÖÚÓ ÓÒ Pr(F(2,12) > 3.854) = 0.051º

È ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ØÝØ Ñ Ö ØØÚÝÝ Ø ÓØ ÓÒ ÔØ Ú Ú ÒÓÖÑ Ð ÙÙØØ ÚÓ Ø Ò ÓÐ ØØ º Ë ÑÙÐÓ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ ÙÑ ¾ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ð ØØÙ F ÝÐ ØØ º ÓØ Ú Ø p¹ ÖÚÓ ¾» ¼¼¼ ¼º¼ º ÀÙÓÑ ØØ F ¹Ø Ø ÙÙÖ Ò Ø Ð ÐÐ ÚÓ Ø Ò ÝØØ Ô Ð¹ ØÒ MS A Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÙÑ ÝØ ØØ Ø Ø ÙÙÖ ØØ ÓÐ Ø ÖÔ Ò Ù Ø ÙØØ ÓÐÙ Ò Ò Ú Ö Ò Òº º¾ Ä Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ä Ò ÙÚ Ø ¹ Ò µ ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÓØÓ Ò ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ Ò Ø ÐÑ Ö ÑÔÐ Ò Ñ Ø Ó µ ÑÓ Ò Ù Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓØ Ø Øº È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÓØÓ Ò Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓØ ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ò º ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ º Ä Ò ÙÚ Ø ¹ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÑÓ Ø Ú ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò º Ú Ð ÖÚÓØ Ð Ù¹ Ô Ö Ò ÓØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ú Ð ÖÚÓ ÝØ ØÒ ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú Ò ÔØ ÐÑ Ò Ø ÓÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÓØÓ Ò Ø º Ë Ð Ò ÙÚ Ø ¹ ØØ ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò ÝØØ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ö¹ Ò ÔÓ Ø Ñ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ò ÖÚ Ó Ñ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Òº ÇÐ ÓÓÒ ˆθ Ø Ñ ØØÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ Ó Ô ÖÙ ØÙÙ Ð ÙÔ Ö Ò ÓØÓ ¹ ÒY 1,Y 2,...,Y n º Ä Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ñ Ø Ø ˆθ i, i = 1,..,n ÔÓ Ø Ñ ÐÐ ÓØÓ Ø ÚÙÓÖÓØ ÐÐ Ò i Ú ÒØÓ Y i Ð Ñ ÐÐ Ø ¹ Ñ ØØÓÖ θ ÐÐ ÐÓÔÔÙ Ò n 1 Ú ÒÒÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ð ÖÚÓØ Ô Ù Ó Ú ÐÙ µ θ i = nˆθ (n 1)ˆθ i, i = 1,2,...,n ½¾µ Ò Ò ÚÙÐÐ Ð Ò ÙÚ Ø Ø Ñ ØØÓÖ θ J = 1 n θ i. n i=1 ½ µ Ë ÐÚ Ø Ò θ J ÓÒ Ö ØÓÒ Ó ˆθ ÓÒ Ö ØÓÒº Ç Ó Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ Ð Ò ÙÚ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ú ÒØ Ð ÙÔ Ö Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ö º ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ˆθ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó [ˆθ] = θ+ c i /n i, i=1 ½ µ

Ñ c i Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ θ Ò ÑÙØØ ÚØ n Ò ÙÒ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò [ˆθ i ] θ + i=1 c i /(n 1) i ÓØ Ò [ [ ] [ θ i ] = n θ+c 1 /n+ c i /n ] (n 1) i θ+c 1 /(n 1)+ c i /(n i) i i=2 = θ+ (c i /n i 1 c i /(n 1) i 1 ). i=2 Ë [ θ i ] = θ+o(n 2 ) Ó Ø ÙÖ ØØ [ θ J ] = θ+o(n 2 )º Ë Ó ˆθ Ò Ö ÓÒ ÑÙÓØÓ [ˆθ] θ = c 1 /n+o(1/n 2 ), Ð Ò ÙÚ Ø ÔÓ Ø ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ 1/n ÓÐ Ú Ò Ø ÖÑ Òº ÂÓ (ˆθ) = θ+c 1 /n Ð Ò ÙÚ Ø ÔÓ Ø Ö Ò Ó ÓÒ Òº Ѻ Î Ö Ò Ò Ø ÑÓ ÒØ À ÐÙØ Ò Ø ÑÓ θ = Ú Ö(Y) ÝØ ØÒ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ = 1 n (Y i n Ȳ)2, i=1 Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ú ÒØÓ Ò ÓÐÐ ÒÓÖÑ ¹ Ð º ÃÓ ÓØÓ Ú Ö Ò ÓÒ Ö ØÓÒ θ ÐÐ [ (Y i Ȳ)2 /(n 1)] = θ ѹ Ñ ØØ [ˆθ] = θ θ/nº ÃÓ Ö ÓÒ ÑÙÓØÓ θ/n Ð Ò ÙÚ Ø Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓÒº ÌÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÐÔÓ Ø ÙÓÖ Ò Ò ÐÐ [ θ i ] = n (ˆθ) (n 1) (ˆθ i ) = n[θ θ/n] (n 1)[θ θ/(n 1)] = θ. Ë θ i ÓÒ Ö ØÓÒ ÓØ Ò θ J = θi /n ÓÒ Ö ØÓÒº Ä Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÝ ÚÐ Ø ÑÓ ÒÒ º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ Ø ÐÐ Ú Ð ÖÚÓ θ 1, θ 2,..., θ n Ú Ò Ù Ò Ò ÓÐ Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ú ÒØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ θº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ Ø Ø ÙÙÖ θ J θ ˆσ 2 /n, ½ µ i=2 Ñ ˆσ 2 = i( θ i θ J ) 2 /(n 1) ÓÒ Ô Ù Ó ÖÚÓ Ò Ø ÑÓ ØÙ Ú Ö Ò ÒÓ٠ع Ø Ð Ñ Òt¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Òn 1º Ì Ø Òθ ÐÐ Ð ÑÖ Ò Ò 100(1 α)% ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ θ J ±t (n 1);α/2 ˆσ 2 /nº

Ò ÖØ Ò Ò Ñ Ö Ó Ú Ð ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÙÒ Ø ÑÓ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø Ú ÐÐ ÐÐ ÖÚÓÐÐ º ÌÐÐ Ò Ú ¹ Ð ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÙÓÖ Ò Ø Ú ÐÐ Ú ÒØÓ º Ð Ò Ú Ð ÖÚÓØ ÚØ ÓÐ Øݹ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ÇÒ Ù Ø Ò Ò Ó Ó Ø ØØÙ º Ú ØØ Ø ÖØ Û Ø Ø µ ØØ ÑÓÒ Ø Ô Ù t¹ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ Ñ Ð Ó Ø Ö Ú ÔÓ Ñ Ú Ð ÖÚÓ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÓÐ ÙÓÑ ØØ ¹ Ú º Ð ÒØ Ò ÚÓ Ò ÒÓ ØØ Ð Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò Ýع Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÑÓ ÒÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ò ÖÚ Ó ÒÒ Ó Ø Ñ ØØÓÖ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓØÓ ÑÓÑ ÒØØ Òº ÂÓ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓØÓ Ú ÒØ Ð Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ØÓ Ñ º Ѻ Ä Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ì ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ½¼ Ú ÒØÓÔ Ö Ò (x i,y i ) Ò ØÓ ÓÒ ÚÙй Ð ÚÓ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ð Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐѺ Ø ÑÓ Ø Ð Ò Ö ¹ Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ y = α +βx+ε Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ø Ñ Ø ˆα = 39.156 ˆβ = 2.434º ÃÙÐÐ Ò Ø Ù¹ ÐÙ ÓÒ Ö Ú ÐÐ i ÓÒ Ø ØØÝ Ø Ñ Ø Ø ˆα i ˆβ i ÓØ ÓÒ ØÙ ØØÑÐÐ Ò ØÓ Ø ÔÓ Ú ÒØÓÔ Ö (x i,y i )º Æ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð Ú Ð ÖÚÓØ β 1 = 10 2.434 9 2.564= 1.264, β 2 = 10 2.434 9 2.190= 4.630,..., β 10 = 10 2.434 9 2.544 = 1.444º Æ Ø Ò Ð Ò ÙÚ Ø Ø Ñ ØØ β ÐÐ β J = (1.264 + 4.630 +... + 1.444)/10 = 2.419º Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ð α J = 39.7º ÅÖ ØÑÑ ÙÖ Ú ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò β ÐÐ º ÆÝØ Ú Ð ÖÚÓ Ò Ú Ö Ò ÓÒ ˆσ 2 = {(1.264 2.419) 2 + (4.630 2.419) 2 +... + (1.444 2.419) 2 }/9 = 1.296. ÃÓ t 9;0.025 = 2.262 Ð ÑÖ Ò Ò ± ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ β ÐÐ ÓÒ 2.419 ± 2.262 1.296/10 = 2.419±0.814º Ì Ú ÒÓÑ Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ó Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÐ ØÙ ÐÐ Ú Ö Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ ÙÙ Ø ÓÒ2.434±0.766ºµ º ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò Ú ÒØÓ Ò ¹ ÙÑ ÑÔ Ö ÐÐ ÙÑ ÐÐ ÑÙÐÓ Ò ØØ ÑÔ Ö Ø ÙÑ º Çй ÓÓÒ Y 1,...,Y n ØÙÒÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(y) ÓÐ ÓÓÒ ˆθ Ø Ò ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θº ÇØÓ Ò ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÒØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò 1/n ÙÐÐ Ò ¹ Ú ØÙÐÐ ÖÚÓÐÐ y 1,...,y n ˆF(y) = 1 n I {y yi y}(y). n i=1 ½ µ

Ì ÙÐÙ Ó Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ØÓ Ð Ò ÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ø ÒÚ Ð ¹ Ó ÒØ Ú ÖØ Ò ÔÓ Ñ ØØÙ ÖØ Û Ø Ø µ i x i y i ˆα i ˆβ i ŷ i (y i ŷ i ) 2 ½ ¾¾º¼ º ¾º ½º½ ¾ º ¾ ¾ º º ¾º½ ¼ º¼ ½¾½º½ ¾ º ½¼ º ¾º ¼ º º¾ ¾ º ½½½ º ¾º ½¼ º¾ º ¾ º ½¼ ¼º½ ¾º ½ ½½¾º¾ ¾ º ½º ½½ º¾ ¾º ½½ º ½½º º¾ ½ ¾ ½º ¾º ½ ½¾¼º ½¾ º º ½¾¾ º½ ¾º ½¾ º¾ ½º¾ º ½ ¾º½ ¾º ¾¼ ½¾ º ¾ º ½¼ º¼ ½ ½ º¾ ¾º ½ º ½ º Ì Ø ÙÑ Ø ÔÓ Ñ ØØÙ n Ú ÒÒÓÒ ÓØÓ Ø Ñ Ö º Y 1,...,Y n ÒÓØ Ò ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ º ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ò ÔÓ Ñ Ñ ÐÐ n Ú ÒÒÓÒ ØÙÒ¹ Ò ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Ò ÓÙ Ó Ø {y 1,...,y n }º ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ø Ð Ø Ò ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ù Ò ˆθ Ð Ø Ò Ð ÙÔ Ö ¹ Ø ÓØÓ Ø º ÓÓØ ØÖ Ô¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ ÙÑ Ó ÝÒØÝÝ ØÓ Ø ØØ ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØ ÒØ ÙØ ÙØ Ò ÓÓØ ØÖ Ô¹ ÙÑ Ó ÑÖÝØÝÝ Ñ¹ Ô Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ˆF(y) Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ ˆθ ÓÒ ÑÔ Ö Ò ¹ ÙÑ Ò ˆF Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú Ø Ð ÙÔ Ö Ò ÙÑ Ò F Ô Ö Ñ ØÖ θº Ñ Ö Ó θ ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ˆθ ÓÒ ÑÔ Ö Ò ¹ ÙÑ Ò ˆF Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ð Ú ÒØÓ Ò y 1,...,y n ÖÚÓº Î Ø Ú Ø Ó θ ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÙÑ Ò Ú Ö Ò ˆθ = 1 n ni=1 (y i ȳ) 2 º ÓÓØ ØÖ Ô¹ ÙÑ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ò ÖÓ Ñ ÐÐ ÙÙÖ ÑÖ Ôе ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ð Ñ ÐÐ Ò Ø Ø Ñ Ø Ø ˆθ 1,...,ˆθ Bº Ø Ñ ØØÓÖ ÓÓع ØÖ Ô¹ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò ÐÐ θ = 1 B ˆθ i B i=1 ˆσ 2 (ˆθ ) = 1 B 1 B (ˆθ i θ ) 2. i=1 Ð Ø ÓØØ Ò ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ F(y) ˆF(y)

ØØ ˆθ Ò Ù θ Ò ÓÒ Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò ˆθ Ò Ù ˆθ Òº ÌÐÐ Ò Ô ¹ Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÓØ ØÖ Ô¹ ÙÑ Ò ÝØØ Òº Ö ØÝ Ø Ó ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ ÖÓØÙ Ò ˆθ θ ÙÑ ÓÒ Ð Ñ Ò Ñ Ù Ò ÖÓØÙ Ò ˆθ ˆθ ÙÑ ÑÑ ÙÖ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆθ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ö ÐÐ º Î Ö Ò ˆθ ÐÐ ÓÒ Î Ö(ˆθ) = Î Ö F [ˆθ θ] Î ÖˆF [ˆθ ˆθ] = Î ÖˆF[ˆθ ] ˆσ 2 (ˆθ ) À Ö ˆθ ÐÐ ÓÒ (ˆθ θ) ˆF[ˆθ ˆθ] = ˆF(ˆθ ) ˆθ θ ˆθ, Ó Ø Ò θ ÐÐ Ö ÓÖ ØØÙ Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ( θ ˆθ) = 2ˆθ θ. ½ µ ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Å Ö ØÒ θα ÐÐ Ø ÓÒ α Ú ÒØ Ð ÓÓØ ØÖ Ô¹ ÙÑ ÐÐ Ø º PrˆF[ˆθ θα ] = αº Ë ÑÑ α = Pr(ˆθ θα ) ˆF = Pr(ˆθ ˆθ θα ˆθ) ˆF Pr(ˆθ θ θ α ˆθ), ÓØ Ò Î Ø Ú Ø 1 α Pr(θ < ˆθ +[ˆθ θ α ]). α Pr(θ < ˆθ [θ 1 α ˆθ]). Ì Ø Ò Ø ÓÒ 100 (1 2α)% ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ (ˆθ [θ 1 α ˆθ], ˆθ+[ˆθ θ α ])º ÃÙØ ÙÑÑ Ø Ô ÖÙ ¹ ÓÓØ ØÖ Ô¹ÚÐ º ÅÙ Ø ÓÓØ ØÖ Ô¹ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ½µ ÂÓ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ˆθ ÓÒ Ð ¹ Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ ÚÓ Ò ÝØØ ÚÐ ˆθ ± z α ˆσ(ˆθ ) Ñ z α ÓÒ ¼

Ø Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ú ÒØ Ð Φ 1 (α)º ÂÓ Ð Ø Ò Ö¹ ÓÖ Ù Ò ÚÐ ˆθ ( θ ˆθ)±z α ˆσ(ˆθ ) ¾µ ÂÓ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ˆT = (ˆθ θ)/ˆσ(ˆθ) ÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓ Ò ÙØÙÒÙØ Ù Ò ˆT = (ˆθ ˆθ)/ˆσ (ˆθ ) Ñ ˆσ(ˆθ) ÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆθ Ø ÑÓ ØÙ Ú Ö ˆσ (ˆθ ) ÓÒ ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ò y 1,...,y n Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ØØ Ú Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ Ò ÓÒÒ ÐÐ Ò Ò º ØÙ ÒØÓ ØÙ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ð ÓÓØ ØÖ Ô Ø ¹ÚÐ º ÇÒ Ú ØØÙ ØØ ØÙ ÒØÓ ØÙ ÚÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ö ÑÔ Ù Ò ÑÑ Ò Ñ Ò ØÙØ ÚРغ Å Ö ØÒ ˆT Ò ÙÑ Ò Ú ÒØ Ð T α T 1 αº ÌÐÐ Ò α Pr [ (ˆθ θ)/ˆσ(ˆθ) < T α] = Pr [ θ > ˆθ ˆσ(ˆθ)T α ], ÓØ Ò [ˆθ ˆσ(ˆθ)T 1 α, ˆθ ˆσ(ˆθ)T α] ÚÓ Ò ÓØØ Ø ÓÒ 1 2α ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ θ ÐÐ º Å Ò Ø ÐÑ Ú Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆσ(ˆθ) ˆσ (ˆθ )º Ò ÑÑ Ò ÚÓ Ò Ð ÑÑ Ò ÙÚ ØÙÐÐ Ø Ú ÐÐ ˆσ(ˆθ) = ˆσ(ˆθ )µ Ð ÑÑ Ò Ò ÚÓ Ò Ð ÙÐÐ Ò ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ ÐÐ Ö Ò Ð Ò ÙÚ Ø Ñ Ø ÐÑÐÐ Ø ÐØ ¹ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø ÓÓØ ØÖ ÔÔ Ñ ÐÐ ÓÓØ ØÖ Ô¹ÓØÓ Ø ¾º ÖØ ÐÙÚÙÒ ÓÓع ØÖ Ôµ Ó ÓÒ Ö ØØ Ò Ð ÒØ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ñ Ò Ø ÐѺ µ ÐÐ Ø Ò Ð ÝØ ØÒ Ô ÖÙ ÔÖÓ ÒØØ Ô Ø ÚÐ (θα, θ 1 α ) ÑÙع Ø Ò Ú Ø Ñ Ø ÓÐ ØÙ Ø ÚØ ÝÐ Ò ÓÐ ÚÓ Ñ º Å Ò Ø ÐÑ ÝÐ Ò¹ ØÙÓØ ÓÚ Ò Ò ÝÚ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÇÒ ÑÝ Ø ØØÝ Ô Ð ÓÒ ÑÙ Ø ÓÓØ ØÖ Ô¹Ñ Ò Ø ÐÑ º Ú ÓÒ À Ò Ð Ý ½ µ ÓÓØ ØÖ Ô Å Ø Ó Ò Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º ÂÓ ØÙ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò º½ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÐ ÑÑ Ø ÐÐ Ø Ú ÒØÓ ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ º Ý Ò ÖØ ÑÔ ØÙÒÒ ÔÖÓ Ó Ô Ö ÐÐ Ú ÒÒÓ ÐÐ ÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ö ÒÒ ÓÚ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø Ùغ Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÙÖ Ú ÝÐ Ø ØÙÒÒ ÔÖÓ {X t } ÓÒ ¹ Ú ÒÒÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ ÓÓÒ S = {1,2,...,S} Ñ S ÚÓ ÓÐÐ Ö Ø Òº ÖÚÓ ½

1,...,S ÙØ ÙØ Ò ÔÖÓ Ò Ø ÐÓ ÓÙ Ó S ÓÒ ÔÖÓ Ò Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ º ËØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ò t ÙØ ÙØ Ò Ú ÓÚ ÐÐÙ ¹ Ø Ö Ó Ø º ÂÓ ÔÖÓ Ú Ø Ò Ò Ø Ò 0 < t 1 < t 2 <... < t k Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó Pr(X 0 = s 0,...,X tk = s k ) k = Pr(X 0 = s 0 ) Pr(X tj = s j X tj 1 = s j 1,...,X 0 = s 0 ). j=1 ÈÖÓ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ò º Å Ö ÓÚ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Pr(X tj = s j X tj 1 = s j 1,...,X 0 = s 0 ) = Pr(X tj = s j X tj 1 = s j 1 ). ÌÐÐ Ò ÔÖÓ Ò ³ØÙÐ Ú ³ Ú ÒØÓ X tj ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ³Ñ ÒÒ Ø³ Ú Ò¹ ÒÓ Ø X tj 2,...,X 0 ÙÒ ³ÒÝ Ý Ò Ò³ Ú ÒØÓ X tj 1 ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó X t Ò ØÙÐ Ú Ø ØÝ Ø ÐØÝÝ ÔÖÓ Ò ÒÝ Ý Ò Ø Ð Òº Ë ØÙÒÒ ÔÖÓ ÓÐÐ ÓÒ Å Ö ÓÚ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÒÓØ Ò Å Ö Ó¹ Ú Ò ÔÖÓ º À Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÒÝØ ØØ k Pr(X 0 = s 0,...,X tk = s k ) = Pr(X 0 = s 0 ) Pr(X tj = s j X tj 1 = s j 1 ). j=1 ½ µ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ {X t } ÒÓØ Ò ÓÑÓ Ò Ó ÓÐÐ Ø ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ø Pr(X t+h = s X t = r), r,s S ÚØ ÑÙÙØÙ Ò t ¹ Ú ÖÓÒ h > 0 ÔÝ Ý Ú ÓÒ º ÓÑÓ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ØØ Pr(X t = s X u = r) = Pr(X t u = s X 0 = r). º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ ÓÐÐ ÓÒ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ µ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ø Ò ÚÐ Ò ÙØ ÙØ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù º Ì Ö¹ Ø Ð ÑÑ ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÓØ ÓÒ Ú Ø¹ ØÙ Ô Ø t = 0,1,..,k Ó ÐÐ ÓÒ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ S = {1,2,...,S}º Óй Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÖØÝ Ø Ð Ø ØÓ Ò p rs = Pr(X 1 = s X 0 = r), r,s S ¾