Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan taaksepäin nopeudella, joka on lentokoneen suhteen sama, mutta siis vastakkaissuuntainen kuin lentokoneen nopeus maan suhteen? Ratkaisu Tämän kuten niin monen muunkin fysiikan probleeman ratkaiseminen alkaa koordinaatiston valinnalla. Tarkastellaan asiaa ensin lentokoneen matkustajan kannalta. Hänen näkökulmastaan tässä yhdistyvät kaksi asiaa: luodin liike suoraan koneesta ja hänestä poispäin ja vetovoiman vaikutus luodin lentorataan. Matkustaja näkee luodin piirtävän juuri sen paraabelin kaaren kuin minkä sen luulisikin piirtävän: vaakasuorassa suunnassa luoti etääntyy nopeudella, joka vähenee hitaasti. Pystysuunnassa luoti putoaa kiihtyvällä vauhdilla kohti maata. Asiaan liittyviä yhtälöitä tutkitaan myöhemmin. Maassa olevan tarkkailijan kannalta luodin lähtönopeus kumoaa tarkasti lentokoneen nopeuden eli v v = 0 ja luoti siis putoaa kiihtyvällä vauhdilla suoraan alas. Tässä suhteessa tilanne on sama kuin se, minkä itse koet noustuasi linja-autoon. Kun kävelet kohti auton takaosaa, auto kulkee eteenpäin hetken samalla vauhdilla, jolla itse kuljet kohti auton takaosaa: pysyt hetken paikallasi pysäkin suhteen, jona hetkenä sinun kävelyvauhtisi kumoaa auton liikkeen. Huomataan siis, että ei siinä mitään kompaa ollut! Fysiikassa yleensäkin ja erityisesti myös liikkumiseen liittyvät laskut saadaan vektoreitten avulla yksinkertaisempaan muotoon kuin muilla keinoilla. Vektorissa on aina yhtä monta komponenttia kuin tarkasteltavassa koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Äärimmäisessä, mutta ei kovin harvinaisessa tilanteessa, jollainen oli vaikkapa Esimerkki 4, niitä on vain yksi. Tarkastellaan seuraavaa tilannetta. Olet veneinesi puoli kilometriä leveän joen rannassa. Koska kyseessä on vesialue, tilanne on olennaisesti kaksiulotteinen. Jos tässä tilanteessa käytetään vektoreita vauhdin tai paikan ilmaisemiseen, ne ovat kaksiulotteiset. 1(8)
Oletetaan, että vesi virtaa joessa nopeudella 10 km/h. Sinulla on moottorivene, jonka mukava matkanopeus on niinkin kova kuin 20 solmua. Suuntaat sen kohtisuoraan rannasta, kun lähdet joen toiselle puolelle. Koska ja missä saavutat vastarannan? Kuinka suuri on keskinopeutesi matkan aikana? Kuinka pitkän matkan kuljit? Voit ratkaista tämän kahdella tavalla, jotka ovat kovasti toistensa näköiset. Ensiksikin voi laskea niin, että koska nopeutesi on 20 solmua eli noin 37 km/h, joen ylittäminen kestää 49 sekuntia, missä ajassa virta vie venettä 135 metriä alajuoksulle. Matkaa kertyy Pythagoraan lauseen mukaan noin 517 metriä ja keskinopeutesi on siis 518 m 49 s 21 solmua. Toinen mahdollisuus on käyttää vektoreita. Valitaan koordinaatiston origoksi sinun lähtöpisteesi ja positiivisen y akselin suunnaksi joen vastavirran suunta sekä positiivisen x akselin suunnaksi vastavirtaan katsottuna suunta vasemmalta oikealle. Veneen rata veden suhteen on 37 km h i 0 j t=37 km h i t ja veden rata rannan suhteen on 0 i 10 km h j t= 10 km h j t ja nämä ovat yhteensä eli veneen rata rannan suhteen on s t =37 km h t i 10 km h t j. Ehdot antavat yhtälön 37 km h t=500m, josta t = 49 s. Tällöin s 49 s =37 km h 49 s i 10 km h 49s j=500 m i 135m j. Tämän vektorin pituus on 517 metriä, joten veneen nopeus rannan suhteen on 517 m 49 s =11 m s =.... 2(8)
Siltä varalta, että tämä ei vakuuttanut sinua vektorien etevyydestä kovin selvästi, niin otetaan avuksi seuraava esimerkki. Esimerkki 6 Ajat autoa tihkusateessa. Pisarat putoavat tasaisella nopeudella 7,8 m/s ja sinun ajonopeutesi on 60 km/h. Missä kulmassa ja millä nopeudella pisarat törmäävät autoon? Ratkaisu Valitaan ensin koordinaatisto. Otetaan osumiskulman nollakulmaksi auton suhteen pystysuora suunta alaspäin. Kulma kasvaa vastapäivään kuten tavallista. Jos siis hiutaleet putoaisivat autonkin suhteen pystysuoraan, niin osumiskulma olisi nolla ja jos ne tulisivat suoraan kohti, niin osumiskulma olisi 90 astetta. Katsellaan autoa sen oikealta puolelta ja valitaan positiiviseksi kulkusuunnaksi suunta vasemmalta oikealle. Koordinaattiakselien suunta on siis se tavallinen. Tällöin auton vauhtivektori maan suhteen on v A =60 km h i ja pisaroitten vauhtivektori jälleen maan suhteen on v L = 7,8 m s j. Koska maan vauhtivektori auton suhteen on v A = 60 km h i 17 m s i, niin pisaran 3(8)
nopeusvektori auton suhteen on v L v A = 17 m s i 7,8 m s j. Pisaran vauhdin suuruus ja suunta auton suhteen ovat täten 18 m/s eli 66 km/h ja 65 astetta. Vastaus: Pisarat törmäävät autoon nopeudella 18 m/s, auton koordinaatiston mukaan suuntakulmassa 155 astetta. Maan suhteen: v A =60 km h i v L = 7,8 m s j Auton suhteen: v A = 0 v L =18 m s 4(8)
Huomaa Esimerkin 6 suoritusjärjestys. Määrittelin tehtävän ensin maan suhteen paikallaan olevan koordinaatiston suhteen eli tehtävä annettiin tässä koordinaatistossa. Sitten muunsin vektorit auton koordinaatistoon: vesipisaroitten liike auton suhteen ja maan liike auton suhteen! Nämä vektorit laskin sitten yhteen. Esimerkki 7 Kuvittele kuorma-auto, jonka nopeus on 50 km/h ja joka kulkee pystysuoraan putoavassa sateessa. Auton hytin taakse jää kuivaksi 280 sentin kaistale lavaa. Hytin katon ja lavan välinen korkeusero on 160 cm. Laske veden pystysuora putoamisnopeus sekä vauhti auton suhteen. Ratkaisu v S v A Kuvion v S = sateen pystysuora nopeus ja v A = auton nopeus. Piirretään kuva tilanteesta vielä auton lavalla, hytin takan kyyristelevän matkustajan kannalta. 1,6m α 2,8m 5(8)
Koska hytin korkeus on 160 cm ja kuivan alan koko on 280 cm, niin sade osuu vaakasuoraan lavaan tulokulmassa α, missä tan α = 2,8 m 1,6 m =1,75. Sama kulma α esiintyy myös pystysuoran suunnan ja matkustajan kokeman vesipisaroiden suunnan välillä. Piirränpä kuvan! Merkitään matkustajan näkemää sateen nopeusvektoria kirjaimella v. α v v S Koska v= v S x, niin x= v v S, joten vektorien x ja v S pituuksien suhde x x v on α:n sini eli sin = x v. Vektori x on määritelmänsä mukaan maiseman nopeus auton matkustajan näkökulmasta eli auton nopeusvektorin vastavektori: matkustaja kulkee auton mukana. Sen pituus on siis 50 km/h, koska se on vauhti, jolla auto liikkuu. Tästä saadaan v = x 50 km/h sin 0,87 16 m s. Sateen nopeus lavan suhteen on siis 16 metriä sekunnissa. Sateen pystysuora nopeus saadaan samasta kuvasta: josta tan = x v S, v S = x tan 8 m s. Sateen pystysuora nopeus on siis noin 8 metriä sekunnissa. 6(8)
Esimerkki 8 Tervahöyry hinaa tukkilauttaa järvenselällä, Suomen suvessa. Yhdistelmän nopeus on 3 solmua norpan näkökulmasta, joka lepäilee luodolla, mutta on tarkkana. Tukkilainen etenee lautalla vinosti kohti keulaa nopeudella, jonka suuruus on 7 km/h ja suuntakulma 60 astetta koordinaatistossa, jonka x koordinaatti kasvaa yhdistelmän kulkusuunnassa ja on levossa lautan suhteen. Laske tukkilaisen vauhti norpan suhteen. Ratkaisu Nyt aloitan kuvalla, joka keskittyy lähinnä tukkilaisen nopeusvektoriin. Tätä vektoria esittää kuvan oranssi nuoli. Tarkastelen mainittua vektoria ensin koordinaatistossa, joka on levossa lautan suhteen, koska haluan tietää vektorin koordinaattiakselien suuntaiset komponentit. α y 0 x 0 Kuvan oranssin vektorin pituus on 1,9, koska 7 km/h on noin 1,9 m/s. Merkitään mainittua oranssia 7(8)
vektoria vaikkapa v 1 :llä. Tervahöyryn nopeus norpan suhteen olkoon v 0. Merkitsen 60 asteen suuntakulmaa α -kirjaimella. Piirrän kuvaan sellaiset koordinaattiakselien suuntaiset suoranpätkät, jotka kulkevat nopeusvektorin kärjen kautta, kun vektori ajatellaan kiinnitetyksi alkamaan origosta. Käytän sinistä väriä. Näin saan aikaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden yhteinen hypotenuusa on oranssi vektorimme (tai suuntajanamme). Trigonometrian eli kosinifunktion määritelmän nojalla ja cos = x 0 v 1 joten sin = y 0 v 1, x 0 =cos v 1 0,97 m s ja y 0 =sin v 1 1,7 m s. Tästä saadaan v 1 =0,97 m s i 1,7 m s j. Norpan koordinaatiston valitsen niin, että tervahöyry kulkee sen kasvavan x akselin suuntaan. Silloin tervahöyryn nopeusvektori norpan suhteen on v 0 =1,5 m s i, koska yksi solmu on 1,852 kilometriä tunnissa. Tukkilaisen nopeusvektori norpan koordinaatistossa on nyt v 0 v 1 =2,47 m s i 1,7 m s j. Vastaus: Kysytty nopeusvektori on 2,47 m s i 1,7 m s j. 8(8)