Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017
Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n................................... 6 1.1.1 Karteesinen tulo.................................. 6 1.1.3 Vektoriavaruus R n................................. 6 1.1.4 Avaruus R n on n-ulotteinen............................ 6 1.1.5 Avaruuden R n sisätulo............................... 7 1.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys...................... 7 1.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille................. 8 1.1.14 Täydellinen metrinen avaruus........................... 9 1.1.15 Joukon halkaisijan merkintä............................ 9 1.2 Vektorifunktioista...................................... 9 1.2.2 Funktion graafin määritelmä............................ 10 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko............................. 11 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen...................... 11 1.3.1 Suppenemisen määritelmä............................. 12 1.3.3 Cauchy-ehto.................................... 12 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 13 2.1 Raja-arvo.......................................... 13 2.1.1 Raja-arvon määritelmä............................... 13 2.2 Jatkuvuus.......................................... 15 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä.............................. 15 3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 18 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista.................. 18 3.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä........... 19 3.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa............................. 21 3.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta..................... 21 3.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista........................ 23 3.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n.................... 23 3.2 Suunnatuista derivaatoista................................. 24 3.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä......................... 24 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio........................ 25 3.3.1 Tangenttitasoista.................................. 25 3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista........................... 28 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä................ 28 3.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä........................... 28 3.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi......................... 28 3.4.3 Avaruuden R n vektorien esityksestä........................ 28 3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori.................. 29 3.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa)........... 29 3.5 Gradientista......................................... 29 1
3.5.1 Gradientin määritelmä............................... 29 3.6 Derivaatasta......................................... 30 3.6.1 Derivaatan määritelmä............................... 30 3.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä.......................... 31 3.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista..................... 34 3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle....................... 34 3.7 Derivoimissääntöjä..................................... 36 3.8 Ketjusääntö I........................................ 38 3.9 Ketjusääntö II........................................ 39 3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi............................. 40 3.11 Gradientin geometrinen merkitys.............................. 41 4 Reaaliarvoisten kuvausten korkeammat osittaisderivaatat ja lokaalit ääriarvot 45 4.1 Korkeammat osittaisderivaatat............................... 45 4.1.1 Korkeampien osittaisderivaattojen määritelmä................... 45 4.1.3 C k ja C -funktioiden määritelmät........................ 45 4.2 Korkeammat differentiaalit................................. 46 4.2.1 Korkeampien differentiaalien määritelmä..................... 46 4.3 Taylorin kaava........................................ 48 4.3.1 Kertaus yhden muuttujan Taylorin kaavasta.................... 48 4.3.4 Taylorin polynomin määritelmä.......................... 49 4.3.12 Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause.............. 50 4.4 Kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvot............................ 51 4.4.1 Ääriarvojen määritelmä.............................. 51 4.4.11 Kriittisen pisteen ja satulapisteen määritelmä................... 54 4.4.13 Mahdollisten ääriarvopisteiden laadun etsiminen.................. 55 Viitteet 62 2
Luennot syyslukukaudella 2017 Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessa R n, n 2, määriteltyjen reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskennan perusteita. Luentojen runkona olen seurannut Olli Martion kirjaa Vektorianalyysi. Luentoja tehdessäni olen käyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonistetta Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa, omia Differentiaalilaskenta luentojani ja James Stewartin kirjaa Calculus. Early Transcendentals. Ilmari Lehmusoksalle, Outi Bomanille ja Saara E. Pesoselle suurkiitos luentojen LATEX:lla kirjoittamisesta. Ilmarille myös suurkiitos kuvien piirtämisestä. Kiitos kaikille luennoille osallistuneille. Helsingissä 20.10.2017 Ritva Hurri-Syrjänen 3
Esimakua (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x Kuva 1: Funktioiden f R R kuvaajia analyysin kursseilta. (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva{ 2: Reaaliarvoisten vektorifunktioiden } kuvaajia. Vasemmanpuoleinen graafi on tarkemmin joukko S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. (a,b,c) b c a Kuva 3: Pinta S = piste (a, b, c). } {(x, y, z) R 3 z = x 2 y 2 + 12, (x, y) R2 vektoriavaruudessa R 3 ja pinnan 4
Kertaus Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja eli: R 2 = { (x 1, x 2 ) x 1, x 2 R } missä R on reaalilukujen joukko. Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x 1, x 2 ) ja (u 1, u 2 ) määritelty luonnollinen vektorisumma eli yhteenlasku: ja reaalisella skalaarilla λ R kertominen: (x 1, x 2 ) + (u 1, u 2 ) = (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Muistutus! (R 2, +) on Abelin ryhmä, nolla-alkiona 0 = ( 0, 0 ) ja vasta-alkiona a kun a R 2. 5
1 Euklidinen avaruus 1.1 Euklidinen avaruus R n 1.1.1 Karteesinen tulo Joukko R n = R R R on R avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruus R n, n = 1, 2,, n määritellään joukkona: R n = { (x 1,, x n ) x k R, k = 1, 2,, n } (1.1.2) missä x 1,, x n on reaalilukujono, jossa on n-termiä. Vektori: x = (x 1,, x n ) on avaruuden R n alkio, kunhan x 1,, x n R. Luku x k on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti. 1.1.3 Vektoriavaruus R n Olkoot (x 1,, x n ) R n ja (y 1,, y n ) R n. Tällöin vektroreille määritellään: (a) yhteenlasku (b) skalaarilla kertominen (c) sekä nolla-alkio x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λx = (λx 1,, λx n ) λ R 0 = (0,, 0) R n ; x + 0 = x. 1.1.4 Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruus R n on n-uloitteinen eli dim R n = n. Yksikkövektorit: e 1 = (1, 0,, 0) e 2 = (0, 1,, 0) e n = (0, 0,, 1) muodostavat avaruuden R n luonnollisen kannan eli kanonisen kannan. Jokaisella vektorilla x = (x 1, x 2,, x n ) R n on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla: x = x 1 e 1 + x n e n = n x k e k. k=1 6
1.1.5 Avaruuden R n sisätulo 1. Kuvaus (x, y) x y, R n R n R +, joka määritellään: x y = x 1 y 2 + + x n y n = n x k y k (1.1.6) kun x = (x 1,, x n ) R n ja y = (y 1,, x n ) R n on sisätulo (eli skalaaritulo eli pistetulo) avaruudessa R n. Merkitään myös (x y). 2. Vektoriavaruus R n varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen avaruus R n. 3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruuden R n euklidinen normi on kuvaus: k=1 R n R + = {t R t 0} x = x x, x R n. Huomaa! x x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n ja luku x x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden. 4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu: { 1, kun i = j e i e j = δ i,j = 0, kun i j, kun i, j = 1, 2, 3,, n. (1.1.7) Jossa δ i,j on Kroneckerin symboli. Lisäksi: 5. Cauchyn Schwarzin epäyhtälö x = n x k e k = k=1 1.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys n (x e k )e k k=1 x y x y, kun x, y R n. Avaruuteen R n tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden R n euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d, d R n R n R +, että d(x, y) = x y, kun x, y R n. Huomautus 1.1.9. Kaava d(x, y) = x y määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyyden euklidisen metriikan suhteen. Huomautus 1.1.10. Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa R n. Näille pätee, että x max = max x i 1 i n n x abs = x i i=1 x max x x abs n x max. 7
1.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Avaruuden R n topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta. 1. Olkoon x 0 R. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = B n (x 0, r) = {x R n x x 0 < r} (1.1.12) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen avoin pallo. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = {x R n x x 0 r} (1.1.13) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen suljettu pallo. r r x 0 x 0 Kuva 4: Avoin pallo B(x 0, r) ja suljettu pallo B(x 0, r). 2. Joukon A R n sisus eli sisäpisteiden joukko inta määritellään: inta = { x A r > 0 siten, että B(x, r) A }. Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = inta. Merkitään: A R n. 3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ystö). Pallo B n (x, r) on erikoistapaus tästä. 4. Piste x R n on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo B n (x, r) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. 5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo B n (x, r) sisältää joukon A ja joukon A kompelementin R n A pisteitä. Reunaa merkitään A = { x R n x on joukon A reunapiste. } Joukon A sulkeuma on A = inta A. 8
A x r A y x 0 Kuva 5: Joukon A reunapiste x 0. Tässä x A B n (x 0, r) ja y (R n A) B n (x 0, r). 1.1.14 Täydellinen metrinen avaruus Avaruus R n on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden R n Cauchy jono suppenee. 1.1.15 Joukon halkaisijan merkintä Epätyhjän joukon A R n, A, halkaisija diam (A) määritellään Joukko on rajoitettu, jos A = tai jos diam (A) <. 1.2 Vektorifunktioista diam (A) = sup d(x, y) = sup x y. (1.1.16) x,y A x,y A Kuvaus f R n R p missä, n > 1 tai p > 1, on vektorifunktio. Erityisesti (a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p 2, (b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1. Esimerkki 1.2.1. Olkoon g R 2 R, kuvaus (x 1, x 2 ) Kuvauksen määrittelyjoukko on 9 x 2 1 x2 2. D = {(x 1, x 2 ) 9 x 2 1 x2 2 0} = {x2 1 + x2 2 9} = B2 (0, 3). Kuvajoukko on { } x 3 x 3 = 9 x 21 x22 ; (x 1, x 2 ) D. 9
Koska x 3 0 ja x 2 1 + x2 2 9, niin 9 x 2 1 x2 2 3. Siis kuvauksen arvojoukko on [ 0, 3 ]. { } Graafi = (x 1, x 2, 9 x 21 x22 ) (x 1, x 2 ) D. x 3 (0, 0, 3) (3, 0, 0) Kuva 6: Esimerkin 1.2.1 graafi = (0, 3, 0) x 1 x 2 { } (x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D. 1.2.2 Funktion graafin määritelmä Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on D, niin funktion f graafi on joukko { (x1, x 2, x 3 ) R n x 3 = f(x 1, x 2 ) ; (x 1, x 2 ) D }. Esimerkki 1.2.3. Kuvaus f R 2 R, u u 2 määrittelee avaruuteen R 3 pinnan { } S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. Esimerkki 1.2.4. Kuvaus h R 2 R, h(x) x. Kuvauksen h graafi on joukko {( x 1, x 2, h(x 1, x 2 ) ) R 3 ( x 1, x 2 ) R 2 } (a) f R 2 R, f u u 2 (b) h R 2 R, h x x Kuva 7: Esimerkkien 1.2.3 ja 1.2.4 kuvauksien graafit. 10
1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko Kuvauksen f A R, A R n, vakiota r f(a) vastaava tasa-arvojoukko on S f (r) = { x A f(x) = r }. Jos f on riittävän siisti (säännöllinen), niin S f (r) on (n 1) ulotteinen pinta avaruudessa R n. Esimerkki 1.2.6. Määritä kuvauksen f R n R, x x 2, tasa-arvojoukko. Tasa-arvojoukko on S f (r 2 ) = {x R n f(x) = x 2 = r 2} S n 1 (0, r) eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa R n, Esimerkki 1.2.7. Määritä funktiolle f R 2 R, x x 1 x 2, tasa-arvokäyrät. Tasa-arvokäyrät { } S f (r) = x R 2 f(x) = x 1 x 2 = r ovat hyperbelejä. Huomautus! Tasa-arvokäyrä f(x 1, x 2 ) = k on kaikkien niiden määrittelyjoukon pisteiden joukko, joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo käyrä näyttää missä graafilla on korkeus k. x 2 r = 1 r = 1 x 1 r = 1 r = 1 Kuva 8: Esimerkin 1.2.7 tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = 1. 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Avaruuden R n jono on kuvaus φ N R n. 11
Sen arvoja φ(k) merkitään alaindeksillä φ k eli φ(k) = φ k ja itse jonon merkintä on (φ k ) k=1. Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on x k. Jonolle käytetään merkintää: 1.3.1 Suppenemisen määritelmä (x k ) = (x k ) k=1, missä x k = φ(k). Olkoon (x k ) jono avaruudessa R n. Olkoon a R n. Jono (x k ) suppenee kohti pistettä a R n, jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k 0 N siten, että x k U kaikilla k k 0. Merkitään x k a, kun k, lim x k = a tai k lim x k a = 0. k Alkiota a sanotaan jonon x k raja-arvoksi eli raja-alkioksi. Huomautus 1.3.2. Jonoista 1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. 2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu. 1.3.3 Cauchy-ehto Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy-jono, jos jokaisella ε > 0 on olemassa k ε N siten, että x j x k < ε aina kun j, k > k ε. Huomautus 1.3.4. Suppeneva jono on Cauchy-jono. Avaruudessa R n on myös käänteinen tulos: Lause 1.3.5. Avaruus R n on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa R n on suppeneva. Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis. 12
2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 2.1 Raja-arvo 2.1.1 Raja-arvon määritelmä Olkoon A R n ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f A R on pisteessä a raja-arvo b R joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ a,ε = δ > 0 siten, että Merkitään f(y) b < ε, aina kun y A ja 0 < y a < δ. lim y a y a lim f(y) = b y A {a} Huomautus 2.1.2. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen. Huomautus 2.1.3. Olkoon A R n ja f A R ja a joukon A kasautumispiste. Olkoon b R. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a A, jos jokaisella jonolla (x k ), jolla x k A ja x k a, pätee, että f(x k ) b. Esimerkki 2.1.4. Osoitetaan, että raja-arvoa x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ei ole olemassa. Ratkaisuehdotus: Olkoon f R 2 { 0 } R, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y2. Ensin lähestytään pistettä (0, 0) pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f(x, 0) = x2 x2 = 1 kaikilla x 0. Siis f(x, y) 1, kun (x, y) 0 pitkin x-akselia. Lähestytään origoa nyt pitkin y-akselia, eli x = 0. Silloin f(0, y) = y2 = 1, kaikilla y 2 y 0. Siis f(x, y) 1, kun (x, y) (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen. z x y Kuva 9: Esimerkin 2.1.4 tilanne: funktion z = f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y2 kuvaaja ja origon lähestyminen sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin. 13
Esimerkki 2.1.5. Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa ) sin (x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 olemassa. Esimerkki 2.1.6. Selvitä, onko raja-arvoa olemassa. Ratkaisuehdotus: Valitaan y = x 2. Silloin Valitaan x = y 2. Silloin Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa! lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y = 3x4 2 x 2 + x = x 2 3x 2 4 x ( 0, kun x 0 ja x 0. 2 1 + x2) 3x 2 y x 2 + y = 3y5 2 y 4 + y = y 2 3y 3 2 y ( ) 0, kun y 0 ja x 0. 2 y 2 + 1 z y Kuva 10: Esimerkin 2.1.6 tilanne: funktion z = f(x, y) = 3x2 y 2 x = y 2 pitkin (punaisella). x x 2 +y 2 Olkoon ε > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään δ > 0 siten, että jos 0 < (x, y) (0, 0) < δ, niin 3x 2 y x 2 + y 0 < ε. 2 14 kuvaaja ja origon lähestyminen käyrää
(Huomaa: (x, y) (0, 0) = (x, y) = x 2 + y 2 ) Siis etsitään δ ε > 0 siten, että jos 0 < x 2 + y 2 < δ ε, niin 3x2 y x 2 +y2 < ε. Nyt Jos nyt valitaan δ ε = ε 3, niin Siis määritelmän nojalla lim (x,y) (0,0) 2.2 Jatkuvuus 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä 3x 2 y 3 y = 3 y 2 3 x 2 + y 2, ** sillä 0 < x 2 x 2 + y 2. x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y 0 3 x 2 + y 2 < 3δ 2 ε = 3ε 3 = ε. 3x 2 y x 2 +y 2 = 0. Olkoon A R n kuvaus. f A R on jatkuva pisteessä x A, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ x,ε = δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä. Huomautus 2.2.2. Kuvaus f on jatkuva pisteessä x A R n, jos f(y) saadaan mielivaltaisen lähelle pistettä f(x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f(y) f(x), kun y x. Huomautus 2.2.3. Jos x A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim f(y) = f(x). Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä. y x y A x δ (l 1, l 2 ) Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, katso määritelmä edellä. Lisäksi kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä (l 1, l 2 ). Lause 2.2.4. Olkoon A R n ja olkoon f A R kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä a A, jos ja vain jos f(x k ) f(a), kaikilla jonoilla (x k ), jolla x k a, x k A. 15
Esimerkki 2.2.5. Määrää lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y). Ratkaisuehdotus: Koska voidaan määritellä f(x, y) = x 2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y ja f on polynomi, niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y) = 1 8 1 4 + 3 + 4 = 11. Esimerkki 2.2.6. Olkoon f R 2 { 0 } R, (x, y) x2 y 2 x 2 +y2. Tutki kuvauksen jatkuvuutta. Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa! Ratkaisuehdotus: Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) (0, 0). Olkoon (x k, y k ) (x, y) ja (x k, y k ) (0, 0). Siis x k x ja y k y, kun k. Siis x 2 k x2 ja y 2 k y2, kun k. Näin ollen x 2 k y2 k x 2 k + y2 k x2 y 2 x 2 + y 2. Siis f(x k, y k ) f(x, y) x 2 = k y2 k x 2 k + x2 y 2 y2 x 2 + y 2 0, kun k. k Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) (0, 0). Huomautus 2.2.7. Jos määritellään funktio f origossa siten, että f(0, 0) = 0, niin lim f(x, y) = 0 = f(0, 0). (x,y) (0,0) Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla. Huomautus. Jos määritellään f(0, 0) = b 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa. Esimerkki 2.2.8. Onko kuvaus f R 2 R x 1 x 2 2, kun (x f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0) jatkuva? Ratkaisuehdotus: Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x 1 = kx 2, k 0, antaa 2 kx 4 2 f(x 1, x 2 ) = f(kx 2 2, x 2) = k 2 x 4 2 + x4 2 = k 1 + k 2 0. 16
x 3 x 2 x 1 Kuva 12: Esimerkin 2.2.8 kuvauksen x 3 = f(x 1, x 2 ) = x 1 x2 2 graafi. x 2 1 +x4 2 Esimerkki 2.2.9. Olkoon funktio g R 2 R, x x g(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x2 2 2, kun (x x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0). Funktio g on jatkuva origossa. Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x 1 = r cos φ ja x 2 = r sin φ): g(r, φ) = r 2 cos φ sin φ r2 cos 2φ. r 2 ( ) cos 2 φ sin 2 φ = cos 2φ ja sin 2 φ + cos 2 φ = 1. Siis g(r, φ) r2 0, kun r 0. 17
3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Esimerkki 3.1.1. On kehitetty ns. Humindex (temperature humidity index), joka kuvaa lämpötilan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila ( C) ja H = kosteus eli I = f(t, H). Suhteellinen ilmankosteus % T ( C ) H 40 45 50 55 60 65 70 26 31 28 35 30 36 37 38 40 32 42 34 47 Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorological Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.) Kun H = 60%, niin Humidex iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siis H:n arvo kiinnitetty]. Merkitään g(t ) = f(t, 60). Silloin g(t ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteus on koko ajan 60%. Funktion g derivaatta, kun T = 30 C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilan suhteen: g g(30 + h) g(30) f(30 + h, 60) f(30, 60) (30) = lim = lim. h 0 h h 0 h Valitaan h = 2 ja tehdään approksimaatio Valitaan h = 2 ja nyt g (30) g (30) g(32) g(30) 2 g(28) g(30) 2 Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, että = = f(32, 60) f(30, 60) 2 f(28, 60) f(30, 60) 2 g (30) 1, 75. = = 42 38 2 35 38 2 = 2. = 1, 5. Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30 C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin koettu lämpötila (Humidex) nousee noin 1, 75 C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötila nousee. Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30 C. Luvut G(H) = f(30, H) ovat funktion arvot. 18
Funktio G(H) = f(30, H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa ja todellinen lämpötila on mittarissa 30 C. Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun H suhteen: G G(60 + h) G(60) f(30, 60 + h) f(30, 60) (60) = lim = lim. h 0 h h 0 h Otetaan h = 5 ja h = 5 ja approksimoidaan lukua G (60) taulukon avulla. Saadaan G G(65) G(60) f(30, 65) f(30, 60) 40 38 (60) = = = 2 = 0, 4 ja 5 5 5 5 G G(55) G(60) f(30, 55) f(30, 60) 37 38 (60) = = = 1 = 0, 2. 5 5 5 5 Siis G (60) 0, 3. Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30 C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidex nousee noin 0, 3 C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden. Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y). Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloin meillä on yhden muuttujan funktio g(x) = f(x, b). Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään f x (a, b). Siis Derivaatan määritelmän mukaan g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = g (a), kun g(x) = f(x, b). f(a + h, b) f(a, b), siis f x (a, b) = lim. h 0 h Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään f y (a, b), saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolle G(y) = f(a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin f(a, b + h) f(a, b) f y (a, b) = lim. h 0 h Siis esimerkissämme 3.1.1 näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpötilan suhteen kun T = 30 C ja H = 60% on f T (30, 60) 1, 75 ja Humidexin I muutosnopeus todellisen kosteuden suhteen, kun T = 30 C ja H = 60% on f H (30, 60) 0, 3. Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin f x ja f y tulevat olemaan kahden muuttujan funktioita. 3.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä Jos f on kahden muuttujan funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y), niin sen osittaisderivaatat ovat 19
f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h = f x (x, y) = f y (x, y) mikäli raja-arvot ovat olemassa. Merkinnöistä: Jos z = f(x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään (3.1.3) f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = D 1 f = D f xf = x ja vastaavasti f y (x, y) = 2 f. y = 1 f = x f Esimerkki 3.1.4. Olkoon f R 2 R, (x, y) x 3 + x 2 y 3 2y 2. Määrää f x (2, 1) ja f y (2, 1). Ratkaisuehdotus: f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 4y f x (2, 1) = 16 f y (2, 1) = 8 Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuutta pisteessä a. Esimerkki 3.1.5. Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g R 2 R, { xy g(x, y) = x 2 +y2, kun(x, y) (0, 0) 0, kun(x, y) = (0, 0). Silloin g x (0, 0) ja g y (0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa. Huomautus 3.1.6. Nyt h R, x R, y R, e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1); e 1 ja e 2 ovat avaruuden R 2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt ( ) ( ) f (x, y) + h(1, 0) f(x, y) f (x, y) + he1 f(x, y) f x (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(1, 0) = (x, y) + he 1 = (x + h, y + 0) = (x + h, y). Vastaavasti ( ) ( ) f (x, y) + h(0, 1) f(x, y) f (x, y) + he2 f(x, y) f y (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(0, 1) = (x, y) + he 2 = (x + 0, y + h) = (x, y + h). Huomautus 3.1.7 (Sovelluksista). Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, esimerkiksi jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja. Esimerkki 3.1.8. Laplacen yhtälö 1 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Osoita, että funktio u(x, y) = e x sin y toteuttaa Laplacen yhtälön. 1 Pierre Laplace 1749-1827. 20
Ratkaisuehdotus: u x = e x sin y u xx = e x sin y u y = e x cos y u yy = e sin y. Siis u xx + u yy = 0. Esimerkki 3.1.9. Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön Ratkaisuehdotus: 2 u t = 2 u 2 a2 x. 2 u x = cos(x at) u y = a cos(x at) u xx = sin(x at) u yy = a 2 sin(x at) = a 2 u xx. 3.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa Olkoon R 2 avoin. Olkoon f R kuvaus, a. Olkoon e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1). Voidaan olettaa, että on avoin pallo. Olkoon k = 1, 2 kiinnitetty. Jos raja-arvo f(a + te lim k ) f(a) t 0 t on olemassa, niin raja-arvo on kuvauksen f osittaisderivaatta pisteessä a muuttujan x k suhteen (eli k. muuttujan suhteen) ja sitä merkitään k f(a). Kun k = 1: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a ensimmäisen muuttujan suhteen, 1 f(a) = k f(a). Kun k = 2: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a toisen muuttujan suhteen, 2 f(a) = k f(a). 3.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta Joukko {(x, y, z) R 3 z = f(x, y); (x, y) R 2} on funktion graafi ja esittää pintaa S avaruudessa R 3. (Olettaen, että f on siisti.) Jos f(a, b) = c, niin piste P (a, b, c) on pinnalla S. Kun kiinnitämme y = b, niin rajoitamme huomion käyrään C 1, jossa pystysuora taso y = b leikkaa pinnan S. (Siis C 1 on pinnan S jälki tasolla y = b.) Vastaavasti pystysuora taso x = a leikkaa pinnan S käyrällä C 2. Kumpikin käyrä kulkee pisteen P kautta. Käyrä C 1 on funktion g(x) = f(x, b) graafi. Siis tangentin T 1 kulmakerroin pisteessä P on g (a) = f x (a, b). Käyrä C 2 on funktion G(y) = f(a, y) graafi. Siis tangentin T 2 kulmakerroin pisteessä P on G (b) = f y (a, b). 21
z P (a, b, c) x y = b x = a Kuva 13: Funktion f graafi ja osittaisderivaatoista. Tasot x = a ja y = b leikkaavat funktion f graafin pisteessä P ( a, b, c = f(a, b) ). Funktion f osittaisderivaatat tässä pisteessä P saadaan laskemalla tasojen ja graafin leikkauskäyrien derivaatat. (Selkeyden vuoksi tasoista on piirretty vain funktion graafin alapuolinen osa.) Siis osittaisderivaatat f x (a, b) ja f y (a, b) voidaan tulkita vastaavien tangenttisuorien kulmakertoimina, jota pisteessä P (a, b, c) ovat tangenttisuorina pinnan S käyrille C 1 ja C 2, tasoissa y = b ja x = a. Kuten Humindex -esimerkissämme 3.1.1 näimme, voidaan osittaisderivaatat tulkita edustavan muutosnopeutta. Jos z = f(x, y), niin z x kiinnitetty. Vastaavasti z y. esittää funktion f hetkellistä muutosnopeutta muuttujan x suhteen, kun y on Esimerkki 3.1.12. Olkoon f R 2 R, f(x, y) = 4 x 2 2y 2. Etsi f x (1, 1) ja f y (1, 1), sekä tulkitse nämä luvut. Ratkaisuehdotus: y f x (x, y) = 2x f x (1, 1) = 2 f y (x, y) = 4y f y (1, 1) = 4 Funktion f graafi on paraboloidi. Pystysuora taso y = 1 leikkaa sen paraabelilla z = 2 x 2, y = 1 (käyrä C 1 ). Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 1 kulmakerroin on f x (1, 1) = 2. Vastaavasti, käyrä C 2 tasossa x = 1 leikkaa paraboloidin ja C 2 on paraabeli z = 3 2y 2, x = 1. Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 2 kulmakerroin on f y (1, 1) = 4. 22
z T 1 T 2 P (1, 1, 1) x y C 2 C 1 Kuva 14: Esimerkkin 3.1.12 osittaisderivaattojen tangenttisuorat pisteessä x = 1, y = 1. 3.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista Jos f on kahden muuttujan funktio, niin sen osittaisderivaatat f x ja f y ovat myös kahden muuttujan funktioita: ( fx )x = f xx = ( f) x( x) = 2 f x 2 ( fx )y = f xy = ( f) y( x) = 2 f y x missä siis ensin derivoidaan muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen. Lause 3.1.14 (Clairautin lause 2 ). Olkoon f määritelty avoimessa pallossa B. Olkoon (a, b) B. Jos sekä f xy että f yx ovat olemassa ja jatkuvia pallossa B, niin f xy (a, b) = f yx (a, b). 3.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n Olkoon R n avoin ja f R. Kiinnitetään piste a. Koska on avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että B n (a, r). Vektorit e 1 = (1, 0, 0,, 0) e 2 = (0, 1, 0,, 0) e k = (0,, 0, 1, 0,, 0) e n = (0, 0,, 0, 1) (jossa e k vektorin k. alkio on 1 ja sen muut alkiot 0) muodostavat avaruuden R n luonnollisen ortonormeeratun kannan. 2 Alexis Clairaut 1713-1765. 23
Kiinnitetään k. Jos raja-arvo f(a + he lim k ) f(a) h 0 h on olemassa, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x k suhteen pisteessä a ja merkitään 3.2 Suunnatuista derivaatoista k f(a) = f x k (a). Jyväskylä +0 C Joensuu +10 C +5 C +15 C Turku +20 C Porvoo Helsinki Kuva 15: Esimerkkin 3.2.1 yksinkertaisettu sääkartta lämpötilan tasa-arvokäyrineen (paikkakunnat ovat tasavälisessä lieriöprojektiossa.) Esimerkki 3.2.1. Sääkartta näyttää lämpötilafunktion T (x, y) tasa-arvokäyrät, jotka aina yhdistävät paikat, joissa on sama lämpötila. Osittaisderivaatta T x Helsingissä on lämpötilan muutos etäisyyden suhteen, kun menemme Helsingistä itään. Osittaisderivaatta T y on lämpötilan muutos, kun menemme pohjoiseen. Mutta, jos haluamme mennä koilliseen, esimerkiksi Joensuuhun, niin kuinka tiedämme lämpötilan muutosnopeuden etäisyyden suhteen? Tähän tarvitaan suunnattua derivaattaa! 3.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin, f R, x 0 ja olkoon e R n yksikkövektori, s.e. e = 1. Jos raja-arvo f(x lim 0 + te) f(x 0 ) t 0 t on olemassa, niin sitä merkitään e f(x 0 ) R ja raja-arvo on kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x 0 suuntaan e. Myös merkitään D e f(x 0 ) = e f(x 0 ). Esimerkki 3.2.3. Olkoon f R 2 R, f(x) = x 1 x 2, eli x = (x 1, x 2 ), f(x 1, x 2 ) x 1 x 2 ja e = e ( ) ( ) 1 + e 2 2 2 = 2 2, 1 1 =,. 2 2 2 24
Määrää e f(1, 1). Ratkaisuehdotus: Koska (1, 1) + te = (1, 1) + t ( ) ( ) 1 1, = 1 + t 1, 1 + t 1, 2 2 2 2 niin lim t 0 ( ) ( ) 1 + t 1 + t 1 2 2 t 2 = lim t 0 t 2 + t2 2 t t 0 = 2 = 2 = e f(1, 1). 2 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio Yksi tärkeimmistä asioista yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskennassa on, että kun zoomaamme derivoituvan funktion graafilla olevaa pistettä, niin graafia ei enää erota selvästi tangenttisuorasta pisteen pienessä ystössä. Toisin sanoen graafi näyttää enemmän ja enemmän suoralta ja voimme approksimoida funktiota lineaarisella funktiolla. Kun nyt zoomaamme kohti pistettä kahden muuttujan funktion graafilla (joka on pinta; oletetaan, että f on siisti), niin pinta näyttää enemmän ja enemmän tasolta (pinnan tangenttitasolta) ja voimme approksimoida funktiota kahden muuttujan lineaarifunktiolla. Laajennamme differentiaalin ideaa reaaliarvoisille vektorifunktioille. 3.3.1 Tangenttitasoista Olkoon f R 2 R ja olkoon funktiolla f jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat f x ja f y. Funktion graafi { } (x, y, z) R 3 (x, y) R 2, z = f(x, y) on pinta S. Olkoon P = P (x 0, y 0, z 0 ) pinnalla S. Olkoon nyt C 1 ja C 2 käyrät, jotka saadaan leikkaamalla pinta tasolla y = y 0 ja vastaavasti x = x 0. Olkoot T 1 ja vastaavasti T 2 tangenttisuorat käyrälle C 1 ja vastaavasti käyrälle C 2 samassa pisteessä P. Silloin pinnan S tangenttitaso samassa pisteessä P määritellään tasona, joka sisältää sekä tangenttisuoran T 1 että tangenttisuoran T 2. Jos C on mikä tahansa käyrä, joka on pinnalla S ja kulkee pisteen P kautta, niin sen tangenttisuora pisteessä P on myös tällä tangenttitasolla. 25
z P ( ) 1 2, 1 2, 3 4 { x } Kuva 16: Pinnalla S = (x, y, z) R 3 z = f(x, y) f R 2 R, (x, y) 1 2 x2 1 2 y2 + 1 ( ) ( ) olevan pisteen P 1 2, 1 2, 3 kautta kulkeva yhtälön 3.3.3 antama tangenttitaso T = 4 } {(x, y, z) R 3 z = 12 x 12 y + 34, (x, y) R2. y Siis tämä tangenttitaso sisältää kaikki mahdolliset tangenttisuorat, jotka sivuavat pistettä P kaikille käyrille, jotka ovat pinnalla S ja kulkevat pisteen P kautta. Tangenttitaso pisteessä P on taso, joka tarkimmin approksimoi pintaa S pisteen P pienessä ympäristössä. Mikä tahansa taso, joka kulkee pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) kautta on muotoa A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 C 0 A C (x x 0 ) + B C (y y 0 ) + z z 0 = 0 z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) ; a = A C, b = B C (3.3.2) Jos tämä yhtälö esittää tangenttitasoa pisteessä P, niin sen leikkaus tason y = y 0 kanssa täytyy olla tangenttisuora T 1 : z z 0 = a(x x 0 ) ; y = y 0. Siis suoran kulmakerroin on tangenttisuoran T 1 kulmakerroin f x (x 0, y 0 ). Siis Vastaavasti, kun x = x 0 saamme z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ). z z 0 = b(y y 0 ), joka esittää tangenttisuoraa T 2 ja b = f y (x 0, y 0 ). Jos funktiolla f on jatkuvat osittaisderivaatat, niin pinnan S tangenttitaso pisteessä P (x 0, y 0, z 0 ) on z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). (3.3.3) 26
Huomautus 3.3.4. Lyhyesti kirjoitettuna gradienttivektorin avulla. Funktion f R 2 R gradientti pisteessä u 0 määritellään f(u 0 ) = ( 1 f(u 0 ), 2 f(u 0 ) ) kunhan osittaisderivaatat 1 f ja 2 f ovat olemassa. Saadaan z z 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ). Huomautus 3.3.5. Vertaa tangenttisuoran yhtälö pisteessä t 0 ; f R R derivoituva f(t) f(t 0 ) = f (t 0 )(t t 0 ). Esimerkki 3.3.6. Etsi tangenttitaso elliptiselle paraboloidille pisteessä (1, 1, 3). Paraboloidin määrää yhtälö z = 2x 2 + y 2. Ratkaisuehdotus: Olkoon f(x, y) = 2x 2 + y 2, f R 2 R. Silloin Silloin f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) z = 4x + 2y 3 Tangenttitason piste (x, y, z) toteuttaa yllä olevan yhtälön. Esimerkistä 3.3.6 vielä: esimerkin funktio h(x, y) = 4x + 2y 3 on affiinikuvaus. Funktio h on hyvä approksimaatio funktiolle f(x, y), kun (x, y) on pisteen (1, 1) riittävän pienessä avoimessa palloympäristössä. (1, 1) r (x, y) Kuva 17: Piste (x, y) on pisteen (1, 1) pienessä avoimessa palloympäristössä B 2 ((1, 1), r), r > 0. Funktion f, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat, tangenttitaso pisteessä ( a, b, f(a, b) ) on z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) eli z = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). Siis affiinikuvaus, jonka graafi on tämä tangenttitaso, on h(x, y) = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). 27
3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista Olkoon f R 2 R siten, että funktiolla f on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat. Kuvausta f approksimoidaan affiinilla kuvauksella h(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) ( (x, y) (x 0, y 0 ) ) pienessä pisteen (x 0, y 0 ) avoimessa palloympäristössä. Kuvauksen f graafia { (x, y, f(x, y) ) (x, y) R 2, z = f(x, y)} approksimoidaan sen tangenttitasolla pisteen u 0 = (x 0, y 0 ) ympäristössä. Approksimoivan affiinikuvauksen graafi { (x, y, h(x, y) ) R 3 (x, y) R 2, z = h(x, y)} on R 3 -avaruudessa 2-ulotteinen tangenttitaso pinnalla S (oletetaan, että f on siisti), jonka määrää yhtälö z = f(x, y), pisteessä ( x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) ). 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä 3.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä Kuvaus L R n R p on lineaarinen, jos a) L(x + y) = Lx + Ly b) L(λx) = λl(x) kaikilla x, y R n, λ R. Toisin sanoen L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) kaikilla x, y R n ja α, β R. 3.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi Jos vektoriavaruuksien V 1 ja V 2 (dimv 1 = n, dimv 2 = p) kannat on kiinnitetty, niin lineaarikuvausta L V 1 V 2 vastaa yksikäsitteisesti määrätty p n matriisi ja kääntäen. 3.4.3 Avaruuden R n vektorien esityksestä Usein avaruuden R n vektori x = (x 1, x 2,, x n ) samaistetaan n 1 sarakematriisin tai 1 n matriisin kanssa. x = (x 1, x 2,, x n ) [ x 1 x 2 x n ] x 1 x = (x 1, x 2,, x n ) x 2 x n 28
3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori Reaaliarvoista lineaarikuvausta L R n R vastaa yksikäsitteinen vektori a R n siten, että Lx = a x, x R n. (3.4.5) Kääntäen jokaisella a R( n vastaavuus ) a a x, x R n määrittelee reaaliarvoisen lineaarikuvauksen L R n R siten, että 3.4.5 on voimassa. Esimerkki 3.4.6. Lineaarikuvausta A R 5 R x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Ax = x 1 + x 2 x 3 x 4 3x 5 vastaa rivimatriisi [ 1 1 1 1 3 ] ( 1, 1, 1, 1, 3 ). 3.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa) Yhdistämällä lineaarikuvaus A R n R ja avaruuden R siirto vektorin b R verran, y y + b R R, saadaan affiinikuvaus h R n R, h(x) = Ax + b, x Ax + b. 3.5 Gradientista 3.5.1 Gradientin määritelmä Olkoon funktiolla f R, missä on avoin joukko avaruudessa R n, kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0. Funktion f gradientti pisteessä x 0 on f(x 0 ) = gradf(x 0 ) = ( 1 f(x 0 ), 2 f(x 0 ),, n f(x 0 ) ) R n. ε a f R x 0 B n (a, ε) Kuva 18: Funktio f kuvaa pisteen x 0 avoimesta joukosta, joka on tässä avoin pallo B n (a, ε), reaaliluvuksi. Jos funktiolla f on kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0, niin sillä on määritelmän 3.5.1 mukaan gradientti pisteessä x 0. 29
Esimerkki 3.5.2. Olkoon f R 2 R, f(x) = sin(x 1 ) cos(x 2 ). Määrää f(x). Ratkaisuehdotus: Koska siis 1 f(x) = cos(x 1 ) cos(x 2 ) 2 f(x) = sin(x 1 ) ( sin(x 2 ) ) = sin(x 1 ) sin(x 2 ), f(x) = ( cos(x 1 ) cos(x 2 ), sin(x 1 ) sin(x 2 ) ). Esimerkki 3.5.3. Olkoon f R n R, f(x) = x 2. Määrää f(x). Ratkaisuehdotus: Olkoon x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Silloin x 2 = x 2 1 + x2 2 + + x2 n f(x) = x 2 1 f(x) = 2x 1, 2 f(x) = 2x 2,, n f(x) = 2x n f(x) = ( 2x 1, 2x 2,, 2x n ) = 2(x1, x 2,, x n ) = 2x R n. x 3 x 2 x 1 Kuva 19: Esimerkin 3.5.3 funktion f R n R, f(x) = x 2 graafi, kun n = 2. 3.6 Derivaatasta 3.6.1 Derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin joukko. Lineaarikuvausta L R n R sanotaan reaaliarvoisen vektorifunktion f R n R derivaataksi pisteessä x 0, jos on voimassa esitys f(x 0 + h) = f(x 0 ) + Lh + h ε(h) kaikille h R n, joille x 0 + h, missä ε(h) 0, kun h 0. Merkitään Df(x 0 ) = L. Yhtäpitävästi f(x lim 0 + h) f(x 0 ) Lh = 0. h 0 h 30
r x 0 Kuva 20: Derivaatan määritelmästä: riittävän pienelle r > 0 pätee B n (x 0, r). Huomautus (1): Rajankäynnissä oletetaan, että h 0 ja x + h, eli riittävän pienelle r > 0, pätee B n (x 0, r). Huomautus (2): Määritelmä on hyvin asetettu, sillä derivaattoja voi olla enintään yksi. Jos L 0 L (R n, R) eli L 0 on toinen lineaarikuvaus, joka on myös derivaatta, niin ) L L0 (tu) 0 = lim ( t 0 tu u 0 t 0 3.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä Avoimen joukon R n kuvaus f R on ) L L0 (u) = ( u 1. differentioituva pisteessä x 0, jos sillä on derivaatta Df(x 0 ) pisteessä x 0. 2. differentioituva, jos funktiolla f on derivaatta jokaisessa pisteessä x 0 ; tällöin on derivaattakuvaus. Merkitään myös df = Df. Df L ( R n, R ), x Df(x) Lause 3.6.3. Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja Lisäksi, kaikilla u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. Df(x)u = e f(x) = Df(x)e. n u i i f(x) = f(x) u i=1 31
f on jatkuvasti differentioituva funktion f kaikki 1. osittaisderivaatat ovat olemassa ja ne ovat jatkuvia lause 3.6.11 huom. 3.6.12 f on differentioituva lause 3.6.6 huom. 3.6.10 lause 3.6.4 huom. 3.6.5 f on jatkuva suuntaisderivaatat e f ovat olemassa kaikilla e R n, e = 1 määritelmästä esim. 3.6.15 osittaisderivaatat i f ovat olemassa kaikilla j = 1, 2,, n Kuva 21: Päämäärä luennolta torstaina 28.9.2017. Olkoon f B R, B R n on avoin pallo. Riittävä ehto differentioituvuudelle ja differentioituvuuden seurauksia. Numerot viittaavat kunkin tuloksen määritteleviin lauseisiin ja huomaa, että minkään tässä esitettyjen differentioituvuudesta seuraavien ominaisuuksien välillä ei ole (yleisesti) ekvivalenssia (viittaukset vastaesimerkkeihin.) Lause 3.6.4. Olkoon R n avoin joukko. a) Pisteessä x 0 differentioituva kuvaus f R on jatkuva tässä pisteessä. b) Differentioituva kuvaus f R on jatkuva. Lauseen 3.6.4 todistus. Differentioituvuus pisteessä x 0 tarkoittaa, että f(y) f(x 0 ) = Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) kaikille y B n (x 0, r), riittävän pienillä r > 0. Siten kun y x 0 0. f(y) f(x 0 ) Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) 0 Huomautus 3.6.5. Varoitus! Tulos 3.6.4 ei käänny. Esimerkiksi f R n R, x x, origossa. Funktio f on jatkuva origossa, mutta f ei ole differentioituva origossa. Lause 3.6.6. Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva pisteessä x. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja Lisäksi e f(x) = Df(x)e. (3.6.7) n Df(x)u = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( ) u 1, u 2,, u n = f(x) u (3.6.8) kaikille u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. 32
Lauseen 3.6.6 todistus. Koska pisteessä x on olemassa derivaatta Df(x), niin kunhan t on kyllin pieni. Kun t 0: f(x + te) f(x) t Siis Erityisesti f(x + te) = f(x) + Df(x)(te) + te ε(te) t 0 = Df(x)e + t t ε(te) t 0 Df(x)e. f(x + te) f(x) e f(x) = lim = Df(x)e. t 0 t i f(x) = Df(x)e i ; e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) on i. kantavektori. (3.6.9) Jokaiselle u R n u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + + u n e n, koska joukko { e 1, e 2,, e n } on avaruuden R n kanonisen kannan kantavektoreiden joukko. Siis jokaiselle u R n Df(x)u = Df(x)(u 1 e 1 + u 2 e 2 + + u n e n ) lin. = u 1 Df(x)e 1 + u 2 Df(x)e 2 + + u n Df(x)e n 3.6.9 = u 1 1 f(x) + u 2 2 f(x) + + u n n f(x) n = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( u 1, u 2,, u n ) = f(x) u. Huomautus 3.6.10. Varoitus! Suuntaisderivaattojen olemassaolo ei takaa jatkuvuutta, saati sitten differentioituvuutta. Esimerkki: olkoon f R 2 R, Olkoon e = (a 1, a 2 ) R 2, e = 1. Silloin x 1 x 2 2, kun x 0 f(x) = x 2 1 +x4 2 0, kun x = 0. f(0 + te) f(0) t = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t t 3 a 1 a 2 2 = ( ) t 3 a 2 1 + (ta2 2 )2 t 0 = a 1 a 2 2 a 2 1 + t2 a 4 2. 33
Siis a 2 2, jos a e f(0) = a 1 0 1 0, jos a 1 = 0. Kuitenkaan f ei ole jatkuva origossa. Jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin 2 f(x 1, x 2 ) = 1 2 0 = f(0). Siis f ei ole differentioituva origossa. Lause 3.6.11. Olkoon R n avoin, f R. Oletataan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat jokaisessa pisteessä x 0 osittaisderivaatat ovat jatkuvia koko alueessa. Silloin f on differentioituva koko alueessa. ja Huomautus 3.6.12. Lauseeen 3.6.11 ehdot eivät ole välttämättömiä! Esimerkki: f R n R ( ) x 2 sin 1, kun x 0 f(x) = x 0, kun x = 0. Silloin f on differentioituva, vaikka mikään sen osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. (Funktion f derivaatta origossa on 0.) 3.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista Määritelmä. Olkoon R n avoin. Differentioituva kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos derivaattakuvaus Df L ( R n, R ), x df(x) on jatkuva. Keskeinen tulos: Olkoon R n avoin. Olkoon f R. Kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos sen kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa jatkuvina. 3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle On olemassa tulos, jota emme kuitenkaan todista. Olkoon f R n R. Jos yksi osittaisderivaatta k f(x) on olemassa pisteessä x ja muut osittaisderivaatat j f(x), j = 1, 2,, n, j k, ovat olemassa pallossa B n (x, r), jollekin r > 0, ja jatkuvia pisteessä x, niin f on differentioituva pisteessä x. 34
r x 0 Kuva 22: Avoin pallo B n (x, r) R n. Huomautus: Tämän tuloksen ehdot ovat riittäviä, mutta eivät välttämättömiä. Esimerkki: f R n R Funktio f on differentioituva origossa, koska Esimerkki: Kuvaukselle f R n R ( ) x 2 + x 2 x 1 sin 1, kun x x 1 1 0 x 2, kun x 1 = 0. 1 f(0) = 0, j f(x) = 2x j, j 2. ( ) x 2 sin 1, kun x 0 x x 0, kun x = 0 osittaisderivaatat ovat olemassa, mutta mikään osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. Kuitenkin funktio f on differentioituva origossa ja Df(0) = 0. Esimerkki 3.6.15. Olkoon f R 2 R f(x) = f(x 1, x 2 ) = { x 1 + x 2, kun x 1 = 0 tai x 2 = 0 1, kun x 1, x 2 0. Osittaisderivaatat 1 f(0), 2 f(0) ovat olemassa. Funktio f ei ole jatkuva origossa: jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin f(x 1, x 2 ) = 1 0 = f(0, 0). Mutta e f(0) ei ole aina olemassa: Olkoon e = (a 1, a 2 ), a 1 0, a 2 0, e = 1. Silloin jolla ei ole raja-arvoa, kun t 0. f(0 + te) f(0) t = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t t 0 = 1 t 35
f(x 1, x 2 ) x 2 x 1 Kuva 23: Esimerkin 3.6.15 funktion f kuvaaja. (Hyppyä x 1 ja x 2 -akseleille on levennetty selkeyden vuoksi.) 3.7 Derivoimissääntöjä Lause 3.7.1 (Summa). Jos f, g R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin on differentioituva pisteessä x 0 ja f + g R D(f + g)(x 0 )h = Df(x 0 )h + Dg(x o )h, h R n, ts. D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 ) + Dg(x 0 ). Lause 3.7.2 (Tulo). Jos φ R ja f R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin kuvaus on differentioituva pisteessä x 0 ja φf R, x φ(x)f(x), eli (φf)(x) = φ(x)f(x) D(φf)(x 0 )h = ( Dφ(x 0 )h ) f(x 0 ) + φ(x 0 )Df(x 0 )h, h R n. Korollaari 3.7.3. Jos f R, R n avoin, on differentioituva pisteessä x 0, niin λf R, λ R, on differentioituva pisteessä x 0 ja D(λf)(x 0 ) = λdf(x 0 ). Lause 3.7.4 (Ketjusääntö). Olkoot R n avoin ja R n avoin. Jos kuvaus f on differentioituva pisteessä x 0 ja kuvaus g R on differentioituva pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty kuvaus g f R on differentioituva pisteessä x 0 ja D(g f)(x 0 )h = Dg ( f(x 0 ) ) Df(x 0 )h, h R n. Lauseiden 3.7.1, 3.7.2 ja 3.7.4, sekä korollaarin 3.7.3 todistukset ohitetaan. Ne ovat johdettavissa suoraan derivaatan määritelmästä 3.6.1. 36
Korollaari 3.7.5. Olkoot f R n R ja g R R differentioituvia. Yhdistetyn kuvauksen g f R n R gradientille pisteessä x pätee: eli Korollaarin 3.7.5 todistus. (g f)(x) = g ( f(x) ) f(x), x R n (g f)(x) h = g ( f(x) ) f(x) h, x, h R n. (g f)(x) h = D(g f)(x)h = Dg ( f(x) ) Df(x)h = Dg ( f(x) ) f h = g ( f(x) ) f h. Esimerkki 3.7.6. Olkoon f R n R, f(x) = x. Tällöin f on differentioituva pisteessä x 0. Nyt f = φ g, missä g R n R, x x 2 ja φ R + R, t t, nimittäin (φ g)(x) = φ ( g(x) ) = x 2 = x. Lisäksi φ (t) = 1 2 t 1 2. Ketjusäännön sovelluksena, kun x 0, Df(x)h = D (φ g) (x)h ( = D φ ( g(x) )) Dg(x)h = φ ( g(x) ) Dg(x)h ( x 2) 12 2x h = 1 2 yllä : g(x) h, on laskettu esimerkissä 3.5.3. = x h x Esimerkki 3.7.7. Olkoon f R R differentioituva ja g R n { 0 } R, g(x) = f ( x ). Määrää g(x). Ratkaisuehdotus: g = f h, h R n { 0 } R, h(x) = x differentioituva. Siis g(x) v = Dg(x)v = Df ( h(x) ) Dh(x)v = f ( h(x) ) x v x = f ( x ) x v. x g(x) = f ( x ) x x. 37
3.8 Ketjusääntö I Lause 3.8.1. Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio. Olkoot { x = g(t) y = h(t) derivoituvia muuttujan t funktioita. Silloin z on differentioituva muuttujan t funktio ja dz dt = f dx x dt + f dy y dt. Esimerkki 3.8.2. Okoon z = x 2 y + 3xy 4, missä { x = sin(2t) y = cos(t). Etsi dz, kun t = 0. dt Ratkaisuehdotus: dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4) ( ) ( 2 cos(2t) + x 2 + 12xy 3) ( ) sin(t). Kun t = 0, niin sin(0) = 0 = x(0) ja cos(0) = 1 = y(0). Siis dz dt t=0 = (0 + 3) ( 2 cos(0) ) + (0 + 0) ( sin(0) ) = 6. Huomautus 3.8.3. Esimerkin 3.8.2 derivaatta voidaan tulkita funktion z muutosnopeudeksi muuttujan t suhteen, kun (x, y)-piste kulkee käyrällä Γ, jonka parametriesitys on { x = sin(2t) y = cos(t) 38
y (0, 1) Γ x Kuva 24: Esimerkin 3.8.2 parametrinen käyrä Γ. Jos z = T (x, y) = x 2 y+3xy 4 esittää lämpötilaa pisteessä (x, y), niin yhdistetty kuvaus z = T ( sin(2t), cos(t) ) antaa lämpötilan käyrän Γ pisteissä. Derivaatta dz edustaa muutosnopeutta, millä lämpötila muuttuu pitkin dt käyrää Γ. 3.9 Ketjusääntö II Lause 3.9.1. Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio, missä x = g(s, t) ja y = h(s, t) ovat muuttujien s ja t differentioituvat funktiot. Tällöin z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t. z x z z y x s x x t y s y y t s t Kuva 25: Lauseen 3.9.1 osittaisderivaattojen ja niiden muuttujien hierarkia. Esimerkki 3.9.2. Olkoon z = e x sin(y), missä { x = st 2 y = s 2 t. s t 39
Etsi z s. Ratkaisuehdotus: z s = z x x s + z y y s = ( e x sin(y) ) t 2 + ( e x cos(y) ) 2st 3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t). Olkoon f(x, y) R 2 R, (x, y) f(x, y); kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan kaikkia mahdollisia suunnattuja derivaattoja annetussa pisteessä. Toisin sanoen otetaan suunnatut derivaatat kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Nämä antavat funktion f muutosnopeuden kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Luonnolliset kysymykset: Missä näistä suunnista funktion f muutosnopeus on suurin? Mikä on suurin muutosnopeus? Lause 3.10.1. Olkoon f R 2 R, (x, y) f(x, y) differentioituva. Suunnatun derivaatan u f(x), u = 1, maksimiarvo on f(x) ja se saadaan, kun vektorin u suunta on sama kuin gradienttivektorin f(x). Lauseen 3.10.1 todistus. u f = f u = f u cos(θ), =1 missä θ = ( f, u) vektoreiden f ja u välinen kulma. Funktion θ cos(θ) maksimiarvo on 1 ja se saavutetaan kun θ = 0. Lauseen 3.10.1 todistus kurssin tietojen avulla. Olkoon f R 2 R differentioituva. Funktion f suunnattu derivaatta suuntaan h R n, h = 1, pisteessä x 0 on h f(x 0 ) = Df(x 0 )h, mikä ilmaisee funktion f muutosnopeuden suuntaan h. Olkoon f R, R n avoin, differentioituva kuvaus pisteessä x 0 ja f(x 0 ) 0. Silloin gradienttivektori f(x 0 ) osoittaa suuntaan, johon f kasvaa pisteessä x 0 maksimaalisesti ja f(x 0 ) on maksimaalisen kasvun nopeus. Perustelu: Jokaiselle h R n, h = 1 on koska f on differentioituva. Cauchyn-Schwartzin epäyhtälön nojalla h f(x 0 ) = Df(x 0 )h = f(x 0 ) h, f(x 0 ) h f(x 0 ) h = f(x 0 ) =1 40
ja toistaalta Edellä huomataan, että h f(x 0 ) = f(x 0 ), jos ja vain jos h = f(x 0) f(x 0 ), ja h f(x 0 ) = f(x 0), jos ja vain jos h = f(x 0 ) f(x 0 ). f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) = f(x 0) 2 = f(x 0 ) f(x 0 ), sillä f(x 0 ) 0. Siis f kasvaa maksimaalisesti suuntaan f(x 0 ) vähenee maksimaalisesti suuntaan f(x 0 ). 3.11 Gradientin geometrinen merkitys Olkoon R 2 avoin ja f R. Oletetaan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia. Tarkastellaan funktion f tasa-arvojoukkoa f(x, y) = C. a b γ R 2 Kuva 26: Muistutus: polku on jatkuva kuvaus γ [a, b] R 2. Oletetaan, että on olemassa polku γ(t) = ( x(t), y(t) ), missä x, y [a, b] R siten, että f ( x(t), y(t) ) = C. Siis γ kulkee tasa-arvokäyrällä f(x, y) = C. Oletetaan, että x, y C 1 ([a, b]). Tällöin f ( γ(t) ) γ (t) = 0, t [a, b] eli f ( x(t), y(t) ) ( x (t), y (t) ) = 0, t [a, b]. Siis f on kohtisuorassa jokaista tasa-arvokäyrällä kulkevaa C 1 -polkua kohtaan. Perustelu: Tarkastellaan funktiota t (f γ) (t) = f ( x(t), y(t) ). 41
R 2 γ f a b h = f γ R Kuva 27: Yhdistetty kuvaus h = f γ [a, b] R, t (f γ) (t) = f ( x(t), y(t) ). Eli funktion f R 2 R arvoja lasketaan kuljettaessa polkua γ [a, b] R 2 pitkin. Koska γ sisältyy tasa-arvojoukkoon, niin Nyt I Ketjusäännön (3.8) nojalla h (t) = (f γ) (t) = 0, t [a, b]. 0 = D (f γ) (t) = d dt = d dt f ( x(t), y(t) ) = f dx x dt + f dy y dt = ( xf, y) = f(x, y) γ(t) ( dx dt, dy dt (f ( γ(t) )) Huomautus 3.11.1. Jos f R 2 R, (x, y) f(x, y) ja piste (x 0, y 0 ) R 2. Gradienttivektori f(x 0, y 0 ) antaa funktion f nopeimman kasvun suunnan. Toisaalta gradienttivektori f(x 0, y 0 ) on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää f(x, y) = C vastaan. ) 42