RASITUSKUVIOT (jatkuu) Rakenteiden suunnittelussa yksi tärkeimmistä tehtävistä on rakenteen mitoittaminen kestämään ja kantamaan annetut kuormitukset muotonsa riittävässä määrin säilyttäen. Kun on selvitetty rakenteen eniten rasitetut poikkileikkaukset ja niiden rasitukset, suoritetaan palkin poikkileikkauksen tai sen osien mitoitus lujuusopissa esitetyllä tavalla. Suurimpien rasitusten ja niiden yhdistelmien selvittämiseksi laaditaan niin sanotut rasituskuviot, joissa esitetään kunkin rasituksen arvot kaikissa rakenteen poikkileikkauksissa. Rasituskuvioita tasotehtävän palkille ovat normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomenttikuviot. Sanoja rasituspinta ja jännitysresultanttipinta myös käytetään. ESIMERKKI Määritä kuvan palkin rasitusten lausekkeet ja piirrä rasituskuviot. Kun 0 x 3 : 2,5 Q 0 Q 2,5 2,5 x M 0 M 2,5x t Kun 3 x 6 : 2,5 5 Q 0 Q 2,5 2,5 x 5 ( x 3) M 0 M 15 2,5x t t t
Edellisen sivun lausekkeista nähdään helposti, että leikkausvoima on paloittain vakio, kun palkin kuormituksena on pistevoima. Leikkausvoimalla on epäjatkuvuuskohta (hyppäys) pistevoiman kohdalla. Taivutusmomentin lausekkeet esittävät suoraa, kummallekin palkin puoliskolle omaansa. Suoran kulmakerroin muuttuu, kun leikkausvoimalla on hyppäys. ESIMERKKI Määritä ja piirrä kuvan pistevoimalla kuormitetun palkin leikkausvoima ja taivutusmomenttikuviot. RATKAISU Tukireaktiot ovat kuvan mukaiset (totea!). Kun 0 x a Qx ( ) bfl / bf Mt x L Kun a x L Qx ( ) afl / af Mt ( L x) L
Kun x a, leikkausvoima on epämääräinen ja muuttuu tässä kohdassa vasemman puoleisesta arvosta bf/ L oikeanpuoleiseen arvoon af/ L. Taivutusmomentti kohdassa x a vasemmalta puolelta on bf Mt ( a) a L ja oikealta puolelta af Mt ( a) ( L a) L Koska L a b, momentin arvo on sama kummaltakin puolelta (kuten pitääkin). ESIMERKKI Määritä ja piirrä kuvan tasaisella kuormituksella kuormitetun palkin leikkausvoima ja taivutusmomenttikuviot. RATKAISU Tukireaktiot ovat kuvan mukaiset (totea!). Kohdasta x irti leikatun osan pysty tsp ehdosta:
On helppo nähdä, että leikkausvoiman lauseke esittää suoraa. Lasketaan sen arvot päätepisteissä ja piirretään niiden avulla leikkausvoimakuvio. Kohdasta x irti leikatun osan momentti tsp ehdosta: Tämä esittää paraabelia, lasketaan arvot päätepisteissä ja sen derivaatan 0 kohdassa Ehdosta seuraa Sijoittamalla saadaan
RASITUSTEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Edellä esitetyissä yksinkertaisissa esimerkeissä palkin rasitusten lausekkeet muodostettiin tarkasti. Hiukankin mutkikkaammassa rakenteessa leikkausvoiman ja taivutusmomentin määrittäminen näin alkeistyylillä (paloittain) on vaivalloinen ja aikaa vievä tehtävä. Rasituspintojen määrittämistä voidaan kehittää eteenpäin johtamalla sääntöjä, joiden avulla rasituspintojen piirtäminen sujuu joutuisasti. Tarkastellaan kuvan palkkia, jota kuormittaa alaspäin suuntautunut kuormitus q q( x). Leikataan kohdasta x pieni pala, jonka pituus on x. Irti leikatun osan vkk Kun x on hyvin pieni qx ( x) qx ( ) Palan pystysuuntainen tasapainoehto on Q q( x) x Q Q 0 ja momenttitasapainoyhtälö on (A:n ymp.) M Q x q( x) x 1 x 0 t (Momentit M t ja M t on jätetty suoraan pois tästä.) Jakamalla yhtälöt puolittain pituudella x saadaan 2
Kun annetaan palan pituuden x rasitusten differentiaaliyhtälöihin lähestyä rajatta nollaa, päädytään Nämä differentiaaliyhtälöt eivät ole voimassa niissä kohdissa, joissa palkkia kuormittaa pistevoima tai pistemomentti (voimapari). Edellä esitettyjen esimerkkien leikkausvoiman ja taivutusmomenttien lausekkeet toteuttvat nämä differentiaaliyhtälöt,mikä on helposti nähtävissä. Differentiaaliyhtälöiden perusteella voidaan esittää muutamia rasituspintojen laatimisessa hyödyllisiä sääntöjä: Palkin kuormittamattomalla osalla ( qx ( ) 0) Q kuvio on vaakasuora (vakioarvo). M t kuvio on vino suora (kulmakertoimen arvo on yhtä suuri kuin kyseisen poikkileikkauksen leikkausvoiman arvo). Tasaisen kuormituksen alueella ( qx ( ) qo vakio) kuvio on vino suora (kulmakerroin on yhtä suuri kuin kuormituksen arvon vastaluku tällä kohdalla). M t kuvio on paraabeli (toisen asteen käyrä). Jos kuormitus vaikuttaa alaspäin, aukeaa paraabeli ylöspäin (kovera ylöspäin). Taivutusmomentin ääriarvot ovat leikkauksissa, joissa leikkausvoiman etumerkki vaihtuu (poikkeuksena pistemomentin vaikutuskohta, jossa leikkausvoiman merkki ei välttämättä vaihdu).
Sopivien rajankäyntien perusteella voidaan vielä lausua säännöt: Pistevoiman kohdalla on Q kuviossa pistevoiman suuruinen hyppäys (epäjatkuvuuskohta) ja M t kuviossa kärkipiste (kulmakerroin muuttuu pistevoiman kohdalla). Pistemomentin (voimaparin) kohdalla M t kuviossa on momentin suuruinen hyppäys, mutta Q kuviossa ei ole kärkeä eikä hyppäystä. Jos jatkuvassa kuormituksessa on äärellinen hyppäys (epäjatkuvuuskohta), niin Q kuviossa on kärkipiste. ESIMERKKI Lasketaan tarvittavat leikkausvoimat:
Lasketaan tarvittavat taivutusmomentit (pistevoimien kohdalle!): Taivutusmomentin kuvaaja on kuormittamattomissa pistevoimien väleissä vino suora. ( V: Mtmax 12kNm)
Kuinka suuri on? M tmax ( V: M 16,5kNm) tmax Kuinka suuri on? M tmax ( V: M 0,3kNm) tmax
Kuinka suuri on? M tmax ( V: M 2kNm) tmax Kuinka suuri on? M tmax ( V: M 32kNm) tmax
Määritä kuvan palkin rasitukset merkityissä leikkauksissa ja piirrä arvojen perusteella rasituspinnat. Kuinka suuri on? M tmax ESIMERKKI Tukireaktiot
Koska pistemomentti ei vaikuta leikkausvoimaan millään tavoin, on leikkausvoima vakio koko palkin alueella Taivutusmomentissa on hyppäys pistemomentin kohdalla. Lasketaan se pistemomentin molemmille puolille Isostaattisen palkin rasituskuvioita
Isostaattisen palkin rasituskuvioita ESIMERKKI Tukireaktiot B A y y Q 1 7,5 kn 22,5kN 7,5kN
Leikkausvoiman 0 kohta: Q2 22,5 +10 a 0 a 2,25m Taivutusmomentit: Mt1 7,5 3 = 22,5kNm 2,25 Mt2 22,5 2,25 10 2,25 2 = 25,31kNm ESIMERKKI Leikkausvoimat: Q1 22,5 kn Q3 22,5 20 2,5 kn Taivutusmomentit: Mt2 22,5 1,5 = 33,75kNm Mt3 22,5 3 20 1,5 = 37,5kNm
Leikkausvoiman 0 kohta: Qx 27,5 +10 x 0 x 2,75m Taivutusmomentti: 2,75 Mt2 27,5 2,75 10 2,75 2 =37,81kNm ESIMERKKI Tukireaktiot
( V : Mtmax 160 knm) ( V : Mtmax 130 knm)
( V : Mtmax 11,25 knm) ( V : Mtmax 24,375 knm)
( V : Mtmax 1,985 knm) ( V: Mtmax XXX knm)
( V : Mtmax 1,778 knm) ( V: Mtmax 35kNm)
( V : Mtmax xxx knm) ( V : Mtmax 100 knm)