Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin käsitettä. Luku 2 3 voidaan määritellä kaavalla 2 3 = sup{2 p p Q ja p 3}. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 89 / 189
Reaalilukupotenssit Määritelmä Kun x 1, luvun x reaalilukupotenssi x r missä r R määritellään asettamalla x r = sup{x p p Q ja p r}. Kun 0 < x < 1 ja r R, asetetaan ( ) 1 r x r = x Lause Olkoon x > 0 ja r, s R. Tällöin x (r+s) = x r x s x rs = (x r ) s. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 90 / 189
Lukujonot ja niiden raja-arvot Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 91 / 189
Lukujonon määritelmä Lukujonossa (a n ) n=1 jokaista positiivista kokonaislukua n Z + vastaa reaaliluku a n R. Määritelmä Lukujono on muotoa (a 1, a 2, a 3,...) missä a n R kaikilla n = 1, 2,.... Lukujonoa merkitään (a n ) n=1 tai lyhennetysti (a n ). Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 92 / 189
Esimerkkejä Esimerkki Kaava a n = 2 n määrää lukujonon (a n ) n=1. Tämä on siis jono (2, 4, 8, 16, 32, 64,...). Esimerkki Piin desimaalit määräävät lukujonon (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1,...). Tämä on hyvin määritelty lukujono, vaikka ei olekaan selvää kaavaa, joka antaisi jonon alkiot a n. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 93 / 189
Huomautuksia 1 Lukujono (a 1, a 2,...) voidaan ajatella funktioksi f : Z + R missä f (n) = a n kaikilla n = 1, 2,.... 2 Lukujonon indeksointi voi alkaa myös muusta kokonaisluvusta kuin 1. Esimerkiksi jonoa (0, 1, 2, 3,...) voidaan merkitä (a n ) n=0, a n = n. 3 Jono (a n ) n=1 voidaan esittää graafisesti kuvaajan avulla, esittämällä pisteparit (n,a n ) (x,y)-tasossa. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 94 / 189
Lukujonon graafinen esitys (π:n desimaalijono) a n 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 95 / 189
Jonon a n = 1/n kuvaaja a n 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 96 / 189
Esimerkki Tutkitaan jonoa (a n ) n=1, missä a n = 1 n. Kuinka suuri luvun n tulee olla, jotta luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,1? Kuinka suuri luvun n tulee olla, että luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,03? https://www.geogebra.org/m/d7gbc0x9 Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 97 / 189
Raja-arvon määritelmä Määritelmä Luku a R on jonon (a n ) n=1 sellainen N ɛ Z + että raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 on olemassa Merkitään a a n < ɛ kaikilla n > N ɛ. a = lim n a n tai a n a kun n. Tällöin sanotaan, että jono (a n ) n=1 suppenee pisteeseen a. Jos jono ei suppene mihinkään pisteeseen sanotaan, että jono hajaantuu. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 98 / 189
Formaali versio ja tulkinta Raja-arvon määritelmä voidaan kirjoittaa lyhennysmerkinnöin seuraavasti. Luku a on jonon (a n ) n=1 raja-arvo mikäli ɛ > 0, N ɛ Z +, n > N ɛ : a a n < ɛ. Määritelmän tulkintaa: Jonon alkiot saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa a, kun edetään tarpeeksi pitkälle jonossa ja tämä koskee kaikkia jonon alkioita jostain tietystä kohdasta alkaen. Tässä mielivaltaisen lähelle viittaa lukuun ɛ, joka on mielivaltainen virhetermi (voi olla kuinka pieni tahansa kunhan on aidosti positiivinen). Vastaavasti tarpeeksi pitkälle viittaa indeksiin N ɛ, joka yleensä riippuu luvusta ɛ. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 99 / 189
Geogebra-demo jonon suppenemisesta https://www.geogebra.org/m/d7gbc0x9 Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 100 / 189
Esimerkki suppenevasta jonosta Perustellaan tarkasti että jonon ( 1 n ) n=1 raja-arvo on 0. Jokaiselle ɛ > 0 pitäisi löytää sellainen luku N ɛ Z + (joka saa riippua luvusta ɛ) että 0 1 < ɛ n kaikilla n > N ɛ eli 1 n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Aiemmassa esimerkissä huomattiin että 0 1 < 0,1 kaikilla n > 10. n Jos siis ɛ = 0,1, niin luku N 0,1 = 10 toteuttaa vaaditun ehdon. Myös mikä tahansa muu kokonaisluku N > 10 kelpaisi N 0,1 :n arvoksi. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 101 / 189
Esimerkki jatkuu... Kun ɛ = 0,001, voidaan valita N 0,001 = 1000: 1 < 0,001 kaikilla n > 1000. n Olkoon nyt ɛ > 0 mielivaltainen (eli mikä tahansa positiivinen luku, emme vain tiedä mikä). Asetetaan 1 N ɛ = ɛ missä merkitsee ylöspäin pyöristystä. Tällöin 1 n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Täten määritelmän ehto toteutuu (jokaiselle ɛ > 0 löytyy sopiva N ɛ ) ja täten 1 lim n n = 0. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 102 / 189
Esimerkki hajaantuvasta jonosta Jono ( 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) ei suppene mihinkään pisteeseen. Oletetaan että a on jonon (a n ) n=1 raja-arvo, kun a n = ( 1) n. Asetetaan ɛ = 0,5. Määritelmän nojalla on olemassa sellainen N ɛ Z +, että a a n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Olkoon k = 2N ɛ ja l = k + 1 jolloin k > N ɛ ja l > N ɛ. Täten 2 = 1 ( 1) = a k a l = a k a + a a l a k a + a a l = a a k + a a l < ɛ + ɛ = 1, missä käytettiin hyväksi myös kolmioepäyhtälöä. Tämä on ristiriita, joten raja-arvoa a ei voi olla olemassa. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 103 / 189
Jonon a n = ( 1) n kuvaaja a n 1 n 1 Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta 2018 104 / 189